נסיכת המדעים

אבל לא ברור האם סטטיסטיקאים בייסיאניים נהנים יותר.

לחצו על התמונה כדי לראות אותה בגודל מלא. המקור: טור הקומיקס המצויין Spiked Math.

הכנתי רשימה של בלוגים נוספים העוסקים בסטטיסטיקה, עבור אתר האיגוד הישראלי לסטטיסטיקה, ולנוחות המתעניינים, היא מופיע גם כאן. אם מי מהקוראים מכיר עוד בלוגים סטטיסטיים, אשמח להכיר.

הכנס השנתי של האיגוד הישראלי לסטטיסטיקה ייערך השנה ביום שני, 24.5.2010, במרכז הכנסים ברמת אפעל.

בין האירועים הצפויים בכנס: הרצאת אורח של פרופ' ריי קרול מאוניברסיטת טקסס A&M, הרצאת סקירה של ד"ר סהרון רוסט אודות אתגרים סטטיסטיים מרכזיים בחקר הגנום, מושב סטודנטים, ופאנל בנושא פעילות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה.

תכנית הכנס מתעדכנת באתר האיגוד, ושם גם ניתן להרשם לכנס. אני אהיה שם. כל מי שעוסק בסטטיסטיקה צריך להיות שם.

בת-ים. יום חמישי אחרי הצהריים, אי שם בשנות השבעים. אמא במטבח, אופה עוגות לשבת. צריך לאפות לפחות שתי עוגות, כי עוגה אחת תיגמר עוד לפני יום שישי בערב.

היא שולפת את המחברת שלה מדפדפת, מוצאת את המתכון, מציצה, ומתחילה במלאכה. הכל מתוקתק, הכל נראה כל כך פשוט. חצי שעה, וניחוחות האפיה מתפשטים ברחבי הדירה.

לפעמים היא שואלת אותי איזה עוגה אני רוצה. כך למדתי ש-"עוגת גן נורית" האהובה מופיעה במחברת תחת הכותרת "העוגה של גאיה". למדתי עוד קודים וטריקים למיניהם. את חלקם אני פשוט זוכר. חלק צפו ועלו בזכרון תוך כדי הקריאה במחברת ונסיונות השחזור.

בכיתה ה או ו למדתי בבית הספר מקצוע שנקרא "תזונה ומשק בית". המורה הייתה אחותה של הסבתא שלי, הדודה מרגה המיתולוגית. היו גם שיעורים מעשיים. שלוש פעמים במהלך אותה שנה הגעתי אל מטבח "מסעדת בית הספר", עם עוד 9 תלמידים נרגשים, ושם לימדה אותנו הדודה מרגה להכין נקניק שוקולד, בורקס, ועוד משהו שאיני זוכר. חזרתי הבייתה נרגש, וביחד עם אמא שחזרתי את הרפתקאותיי מבית הספר במטבח של הבית. אבל ההתלהבות חלפה, והשיעורים של הדודה מרגה לא הפכו אותי לבשלן/אופה.

אמא נפטרה ממחלת הסרטן בשנת 1988, חמישה ימים לפני יום הולדתה ה-49. בזמן השבעה, כשאף אחד לא ראה, ניגשתי אל המטבח, ולקחתי לעצמי את המחברת עם מתכוני העוגות. היה לי ברור שהמחברת הזאת חייבת להשמר במקום בטוח, וכי המקום הבטוח ביותר הוא אצלי. עברו עוד 15 שנה עד שהעזתי לפתוח את המחברת ולנסות לאפות את אחת העוגות – אותה עוגת גן נורית, העוגה שאפתה לכבוד יום הולדתי השלישי. הטעם של פעם שוחזר. מאז הצלחתי לשחזר בעזרת המחברת עוד כמה טעמים של פעם.

בבלוג חדש, העוגות של אמא, אני מתכוון לחשוף לעולם את כל מתכוני המחברת ההיא. חלק מהמתכונים כתובים בקודים. פרטים, שהיו מובנים לאמא מאליהם, חסרים. אני אתעד את נסיונותיי, הצלחותיי וכשלונותיי. הקוראים מוזמנים לנסות את כוחם. אשמח לתגובות, הערות, הצעות.

לכבוד שבוע המודעות העולמי להומיאופתיה שיתקיים בתאריכים 10-16 לאפריל, 2010, אני שמח להגיש לקוראיי הנאמנים מבחר לינקים לרשימות שלי ושל אחרים בנושא החשוב הזה.

לינקים לרשימות שפורסמו כאן בעבר

• מבט אל ההומיאופתיה: במאמר זה סקרתי את שיטת הטיפול ההומיאופתית וההנחות העומדות בבסיסה. בהמשך בחנתי את ההומיאופתיה באמות המידה המקובלות של הרפואה המדעית – היא הרפואה מבוססת הראיות (Evidence based medicine): יעילות קלינית (efficacy) ובטיחות השימוש  (safety). כמו כן סקרתי את ההיבטים המדעיים של התיאוריה ההומיאופתית והסברים אלטרנטיביים לפעולת התכשירים הומיאופתיים, התייחסתי למספר היבטים אתיים הקשורים בשיטת טיפול זו, ונתתי מענה לכמה טיעונים נפוצים התומכים בהומיאופתיה כאמצעי טיפולי לגיטימי.
• סיכום הדיון על ההומיאופתיה: סיכום ההתרשמות הסובייקטיבית שלי מגל התגובות לרשימתי "מבט אל ההומיאופתיה", לרשימה נוספת שכתבתי בה הזכרתי מאמר שפרסם ד"ר בני מוזס ב"הארץ" (לינק בהמשך), ודיונים נוספים ברשת שנערכו בנושא. התייחסתי בעיקר לביטויי האמונה והדיסוננס שבין מדע ואמונה המופיעים בטיעוניהם של תומכי ההומיאופתיה.
• מאמר ב-Lancet על ההומיאופתיה: לינק למאמר שהופיע בכתב העת Lancet בו נמסר כי מחקר קליני מבוקר הראה כי ההשפעה של תכשירים הומיאופתיים אינו שונה מהשפעה של אי טיפול (כלומר – טיפול על ידי פלסבו). המאמר עצמו פתוח רק למנויי כתב העת. עיקרי המאמר הובאו בידיעה ב-  Ynet   (לינק בהמשך).  מעניין לקרוא את התגובות לרשימה הזו, אם כי הטיעונים הבסיסיים הם אותם טיעונים שהופיעו בתגובות לרשימות קודמות.

לינקים חיצוניים

• אשליית הרפואה האלטרנטיווית –מאת ד"ר בני מוזס: הפופולריות הגואה של הרפואה האלטרנטיווית גובה מחיר בבריאותם של מטופלים רבים. משיקולים כלכליים קצרי טווח מעדיף הממסד הרפואי לאמץ את הרפואה האלטרנטיווית ללב הקונסנזוס. הוא מעמיד אותה במבחנים מדעיים מופרכים. אך תוצאותיהם מכרסמות דווקא באמינות הרפואה המדעית
• עכשיו זה מדעי: הומיאופתיה אינה משפיעה על הגוף: סקירת המאמר שהופיע ב-Lancet שקבע כי הומיאופתיה אינה יעילה יותר מפלסבו. הקביעה "עכשיו זה מדעי", דרך אגב, היא של עורכי וויינט. לא היה צורך במאמר בלנצט לצורך הזה. חובת ההוכחה היא על בעלי התיאוריה, וההומיאופתים מעולם לא סיפקו עדויות מדעיות התומכות בתיאוריה שלהם, או הצהירו אלו עדויות יגרמו להפרכת התיאוריה שלהם. חלק מהם אף עושים זאת מתוך אידיאולוגיה.
• ירוק עוזר יותר מאדום: זוהי תגובתו של בן גולדאקר למאמר שפורסם ב-Lancet.
• ארגון הבריאות העולמי מזהיר מפני טיפולים הומיאופתיים:ראשי המחלקות לטיפול באיידס, שחפת ומלריה, בארגון קראו לאמץ טיפולים מבוססי מחקר, ולזנוח טיפולים שאין להם ראיות מדעיות
• הבלוף ששמו: "רפואה אלטרנטיבית": רשימה מאת חגי גלבוע באתר "צופר
• "הומאופתיה, רפואה או אשליה? הפולמוס הבריטי מגיע לישראל עם ספר חדש: סקירת ספרם של סיימון סינג ואדוארד ארנסט, "ריפוי או פיתוי", העוסק ברפואה אלטרנטיבית וחלק ניכר ממנו מוקדש להומיאופתיה, מאת שאול אדר
• עיוותים, טעויות ואי הבנה? ד"ר בועז רון, רופא והומאופת (זה צירוף אוקימורוני משהו), מערער על הטענה כי המחקר המדעי הוא הכלי הבלעדי לקבוע מה אמת ומה לא. טיעונים מעגליים נפלאים, יחד עם כל הכשלים הלוגיים הרגילים.
• כוסות רוח וצלצולים: גם אביה שטויר סוקרת את ספרו של סיימון סינג, וקולעת אל המטרה: "הרפואה המערבית, עם כל הצלחותיה המרשימות, עדיין לא רשמה ניצחון מלא במאבקה הנצחי של האנושות במחלות ובמוות, וכל עוד היא מותירה את הריק הזה לפנינו, יצמחו בו פתרונות-שווא כפטריות בצלחת פטרי.
• מדע וחיות אחרות – הבלוג של lotem82 – רשימה לכבוד שבוע המודעות להומיאופתיה. לוטם מעלה נקודה חשובה ומעניינת שנעלמה עד כה מעיני: עקרונות ההומאופתיה מציינים כי יש לטפל בסימפטומים ולא בגורם למחלה – לא רפואה מונעת כי אם מעלימת תסמינים. למעשה הנמן, ממציא ההומיאופתיה, התלונן על הרופאים והחוקרים ועל עיקשותם לברר את הגורם האמיתי למחלה. עבורו גישה זו נחשבה מיותרת.
• הומיאופת התחזה לרופא וכמעט גרם למותו של נער: הומיאופת מצפון הארץ התחזה לרופא ודרש מנער שחלה במחלה נדירה כי יפסיק מיידית את הטיפול התרופתי הקונבנציונאלי. כתוצאה מכך הידרדר מצבו של הנער עד לכדי סכנת חיים. פניות חוזרות ונשנות של הורי הנער להומיאופת, יוסף רווס, נענו בתשובה: "אנחנו בדרך הנכונה". לבסוף החליטו ההורים לקחת על דעת עצמם את בנם לבית-החולים – שם התברר כי מצבו קריטי.  בבית-משפט השלום בחיפה, הורשע ההומיאופת בהתחזות לרופא ובעיסוק רשלני ברפואה שלא כדין.
• הומיאופתיה בפעולה:

לפני שבועיים פרסמתי כאן חידון על המספר פיי – π. לאלה מכם שלא ישנו בלילות בציפיה לתשובות (וגם לאלה שלא), הנה התשובות לרוב השאלות בחידון. אני מקווה שתסלחו לי , אבל מספר הספרות שחושב אחרי הנקודה העשרונית  של פיי משתנה מדי פעם, והדברים בבלוג הזה אמורים להיות נכונים לנצח.

פיי בעולם העתיק

מתברר כי הבבלים השיגו קירוב טוב מאוד לערך של פיי, שעולה אך במעט על הקירוב המצרי. התנ"ך, לעומת זאת. אינו מומלץ כטקסט ללימוד מתמטיקה.

בתנ"ך, בספר מלכים א, פרק ז' בו מתואר המקדש שבנה שלמה, מתואר בפסוק כ"ג ים הנחושת שבמקדש:

"וַיַעַשׂ אֶת הַיָם מוּצָק, עֶשֶר בָאַמָה מִשְפָתוֹ עַד שְפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָאַמָה קוֹמָתו וְקָו  שְלשִים בּאַמּה יָסב אתוֹ סָבִיב"

כלומר היקפו של ים הנחושת 30 אמה וקוטר של 10 אמות, ומכאן שלפי נתוני ספר מלכים ערכו של פיי שווה ל-3. אמנם קיים איזה פלפול ולפיו הערך של פיי גם על פי ספר מלכים הוא 3.14, ומי שמעוניין יכול לחפש אותו ברשת ולהתרשם.

המצרים (על פי התיעוד בפפירוס רינד) העריכו כי שטחו של מעגל החסום בריבוע שווה לשטחו של ריבוע שאורך צלעו  היא 8/9 מצלע הריבוע החוסם את המעגל (זוהי בעצם הערכה לפיה שטח המעגל שווה לשטח מתומן משוכלל החסום בתוכו), ומהערכה זו נובע כי ערכו של פיי הוא בערך 256/81 או 3.16. ערך זה גבוה ב-0.6% מהערך האמיתי.  אולם כבר 500 שנים קודם לכן השתמשו הבבלים בחישוביהם בערך  לקירוב היחס בין היקף המעגל וקוטרו, 25/8. ערך זה נמוך ב-0.5% מהערך האמיתי של פיי.

גם תרבויות אחרות השיגו קירובים טובים לערך של פיי. האסטרונום ההודי יאגנואלקיה השתמש במאה התשיעית לפני הספירה בקירוב 339/108 (0.09% מתחת לערך האמיתי). ארכימדס שכלל את השטטה המצרית, וקירב את שטח המעגל של ידי מצולע משוכלל בן 96 צלעות. הוא השיג קירוב של 0.02% במאה השלישית לפני הספירה. כ-500 שנה מאוחר יותר, שיפר תלמי את קירוב ארכימדס על ידי שימוש במצולע משוכלל בן 360 צלעות, והשיג דיוק של יותר מ99.999%. קירוב דומה השיג גם המתמטיקאי הסיני ליו הוי.

מי הנהיג את השימוש באות היוונית פיי לציון היחס בין היקף המעגל לקוטרו?

ובכן, כיום סבורים כי השימוש הראשון באות היוונית פיי לסימון הקבוע המתמטי החשוב הזה נעשה בספרו של ויליאם ג'ונס, שיצא לאור ב-1706, אולם עדיין נהוג לייחס את הפצת השימוש באות פיי לליאונרד אוילר, שהשתתמש בו לראשונה במאמר שכתב ב-1737.

הקשר בין פיי ובעיית ריבוע המעגל

בעיית ריבוע המעגל (או יותר נכון, ריבוע העיגול) היא הבעיה של בניית ריבוע ששטחו שווה לשטח של עיגול נתון בעזרת מחוגה וסרגל.  בעיה זו אינה ניתנת לפתרון כיוון שפיי הוא מספר טרנסצנדנטי. אני לא ארחיב כאן מלים רבות על הנושא – פשוט משום שגדי אלכסנדרוביץ כבר עשה זאת בבלוג המצויין שלו, ואני פשוט אפנה אתכם לרשימה שכתב: "אז למה אי אפשר לרבע את העיגול?". המתמטיקאי שהוכיח כי הבעיה אינה ניתנת לפתרון, או יותר נכון, הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטי ומכך נבע כי בעיית ריבוע המעגל אינה ניתנת לפתרון, הוא פרדיננד פון-לינדמן, שפרסם את הוכחתו ב-1882. ההוכחה, אגב, מתבססת על הקשר המופלא שהראה אוילר בין פיי וקבועים מתמטיים אחרים – המספר e, המספר המדומה i, והמספרים 0 ו-1:

תפקידו של פיי בסטטיסטיקה

לפיי תפקיד חשוב בסטטיסטיקה כיוון שפיי מופיע בנוסחת ההתפלגות הנורמלית. שתי תשובות כאן נועדו לבלבל את המנסים לנחש ניחושים אינטליגנטיים. אין בכלל דבר כזה "עקומת צפיפות האוכלוסיה של אוילר". אני המצאתי את העקומה הזו כשכתבתי את החידון המקורי לפני חמש שנים. גם עניין נוסחת גודל המדגם הוא מופרך למדי. אין דבר כזה "נוסחה לחישוב גודל מדגם". זה עניין הרבה יותר מורכב משימוש בנוסחא.

מה שמעניין הוא שאכן ניתן לקרב את ערכו של פיי באמצעות הטלת מחט על גיליון נייר,  בתנאי שעושים זאת הרבה מאוד פעמים. תוצאה זו ידועה בשם בעיית המחט של בופון (על שם הרוזן דה-בופון, שהציג לראשונה את הבעיה במאה ה-18). אם מטילים את המחט על גבי גליון נייר שעליו משורטטים קוים מקבילים, אז ההסתברות כי המחט תיפול כך שתחצה את אחד הקוים תלויה בפיי. למשל, אם המרחקים בין הקוים שווים לאורך המחט, אז ההסתברות כי המחט תחצה את אחד בקווים שווה ל-2 חלקי פיי. איך פיי מופיע כאן? ההסתברות תלויה במקום בו נמצא מרכז המחט ובזוית בין המחט ובין הקוים המקבילים. כאן נכנסת פונקציית הסינוס לתמונה, ועימה פיי. אם תטילו מחט כזו על דף פעמים רבות, אז תוכלו לקבל קירוב לערכו של פיי על ידי חלוקת 2 בפרופורציית הפעמים בהן המחט חצתה את אחד הקוים. חוק המספרים הגדולים מבטיח לכם כי הקירוב יהיה טוב יותר ככל שיגדל מספר הנסיונות.

מי נולד ביום הפיי?

המתמטיקאי שיום הולדתו הוא יום הפיי, ה-14 למרץ, הוא אלברט איינשטיין, שנולד ביום זה בשנת  1879. איינשטיין ידוע בראש ובראשונה כפיזיקאי, וזה אכן היה עיסוקו העיקרי. אולם ברור לכל שאין כל אפשרות לעסוק בפיזיקה ברמה שבה עסק איינשטיין ללא ידע מתמטי נרחב ויכולות בתחום. למעשה, איינשטיין נאלץ לפתח בעצמו (למעשה, בצוותא עם ידידו ושותפו למחקר גרוסמן) את הכלי המתמטי העיקרי בו השתמש בפיתוח תורת היחסות הכללית – אנליזה טנזורית. תורת היחסות הכללית פורסמה ב-1915, וממש באותו זמן פרסם המתמטיקאי דויד הילברט עבודה משלו בתחום האנליזה הטנזורית, שחפפה לחלק המתמטי של עבודתם של איינשטיין וגרוסמן. כאשר ב-1921 נסע איינשטיין לארה"ב יחד עם ד"ר חיים וייצמן, במטרה לגייס כספים להקמת האוניברסיטה העברית. ניצל את ההזדמנות כדי לתת הרצאה על תורת היחסות בפרינסטון. האולם היה מלא מפה לפה, ועל כך העיר איינשטיין: "לא ידעתי כי כל כך הרבה אנשים באמריקה מתעניינים באנליזה טנזורית".

באיזה אופן מתנהגות הספרות בפיתוח העשרוני של פיי ?

הטענה היחידה  שניתן לטעון בודאות בודאות לגבי הספרות בפיתוח העשרוני של פיי היא שהן מתנהגות באופן לא מחזורי, וזה נובע מאי הרציונליות של פיי. הן לא מתנהגות באופן סטטיסטי כי אין חיה כזו. האם הן מתנהגות באופן אקראי ? ההשערה היא שכן, אבל איש עדיין לא הוכיח זאת.

איזה מהנוסחאות הבאות אינן מהוות קירוב טוב לפיי?

אני לא זוכר למה בדיוק התכוונתי כשכתבתי את השאלה הזו לפני כמה שנים.

הנוסחה שבסעיף א התגלתה/פותחה על ידי וייטה:

בסעיף ב מופיעה הנוסחה שפיתח לייבניץ, אחד מאבות החשבון הדיפרנציאלי, לפיי:

המכפלה האינסופית שבסעיף ג ידועה בשם מכפלת ואליס, ואינה מתכנסת לפיי, אלא לפיי חלקי 2.

בסעיף ד מופיע מופיע טור הדומה לטור של לייבניץ – שימו לב לסימנים ההפוכים, ואם הוא מתכנס אז בודאי לא לפיי.

היום נתתי במועדון קשישים בתל-אביב הרצאה שנשאה את הכותרת: "מהלימון ועד הקופקסון – קיצור תולדות הנסויים הקליניים", לחיצה על הקישור תפתח קובץ pdf של מצגת ההרצאה. אני מקווה לכתוב אחלק מהדברים בצורת רשימה מסודרת כאן בבלוג בעתיד הקרוב. חלק מהדברים כבר מוכרים לכם, ומבוססים על הרשימה "הסטטיסטיקה שהצילה חיים – סיפורה של פלורנס נייטינגייל" שהתפרסמה כאן בעבר.

המתמטיקאים בעולם חוגגים היום את יום הפיי. פיי הוא קבוע מתמטי שודאי שמעתם עליו, וערכו שווה בקירוב ל-3.14.בשיטה הנהוגה בארה"ב, התאריך של היום, ה-14 במרץ, נכתב כך: 3.14, ומכאן מקור המנהג.

בגוגל מציינים את היום על ידי לוגו מיוחד (שהוא התירוץ לכל הפוסט הזה):

ואם כבר כתבתי פוסט, אז הנה חידון פיי שכתבתי פעם כאשר ניהלתי את פורום המתמטיקה בתפוז. אתם מוזמנים לנסות את כוחכם. בהצלחה!

1) בעולם העתיק פיי מוזכר בכתבים בבליים, מצריים ואף בתנ"ך. מי מהשלושה נותן את הקירוב המדוייק ביותר לערך האמיתי של פיי?
א. המצרים.
ב. התנ"ך.
ג. הבבלים.

2) מבין ארבעת השברים הבאים – איזה הוא הקירוב המדוייק ביותר לפיי?
א. 2549491779/811528438
ב. 22/7
ג. 864/275
ד. 3927/1250

3) מי הנהיג את השימוש באות היוונית פיי לציון היחס בין היקף המעגל לקוטרו?
א. ארכימדס
ב. אוילר.
ג. גאוס
ד. איינשטיין.

4) בעיית ריבוע המעגל קשורה למספר פיי. בעיה זו אינה ניתנת לפתרון כיוון ש-
א. פיי הוא מספר אלגברי.
ב. פיי הוא מספר רציונלי.
ג. פיי הוא מספר אירציונלי.
ד. פיי הוא מספר טרנסצנדנטי.

5) המתמטיקאי שהוכיח כי בעיית ריבוע המעגל אינה ניתנת לפתרון הוא:
א. אוילר.
ב. גאוס.
ג. לינדמן.
ד. לז´נדר.

6) לפיי תפקיד חשוב בסטטיסטיקה כיוון ש-:
א. ניתן לקרב את ערכו של פיי באמצעות הטלת מחט על גיליון נייר.
ב. פיי מופיע בנוסחה לחישוב גודל המדגם.
ג. פיי מופיע בנוסחת ההתפלגות הנורמלית.
ד. פיי הוא הערך המקסימלי בעקומת צפיפות האוכלוסיה של אוילר.

7) המתמטיקאי שיום הולדתו הוא יום הפיי, ה-14 למרץ, הוא:
א. אוילר.
ב. איינשטיין.
ג. גאוס.
ד. פרמה.

8 ) עד לכמה ספרות (בערך) אחרי הנקודה העשרונית חושב ערכו של פיי?
א. מיליון.
ב. 206 מיליארד.
ג. 25,000.
ד. 75 מיליון.

9) באיזה אופן מתנהגות הספרות בפיתוח העשרוני של פיי ?
א. באופן מחזורי.
ב. באופן אקראי.
ג. באופן סטטיסטי.
ד. באופן לא מחזורי.

10) איזה מהנוסחאות הבאות אינן מהוות קירוב טוב לפיי?

עדכון 14.3.2019: הוספתי סוף סוף את התשובות בתגובות.

במשחק השביעי והמכריע בסדרת גמר אליפות הכדורסל הארצית, התמודדה קבוצת ספרינגפילד בולס מול יריבתה המושבעת, קבוצת יוטה סופרגז. כצפוי, המשחק הוכרע על פי היכולות האישיות של כוכבי שתי הקבוצות: בארט מספרינגפילד ויוחנן מיוטה. במחצית הראשונה היו לבארט 40% אחוזי קליעה מהשדה, בעוד שיוחנן צלף ב- 50% מנסיונות הקליעה שלו.  במחצית השניה צפינו בהתעלות אישית של שני הכוכבים. בארט הדהים והכפיל את אחוז הקליעה שלו ל-80%, אך יוחנן שוב התעלה עליו, והשיג הישג בלתי יאמן של 90% קליעה. את סל הנצחון לזכות ספרינגפילד קלע בארט עם שריקת הסיום. הוא גם נבחר לשחקן המצטיין של המשחק המותח והשקול, לאחר שסיים אותו עם 67% קליעה, בעוד שאחוזי הקליעה של יוחנן במשחק היו בסופו של דבר נמוכים יותר: 63% בלבד.

לא, אין כאן טעות חישוב וגם לא טעות בסטטיסטיקה. למרות שיוחנן היה טוב יותר מבארט בכל אחת ממחציות המשחק, הרי בסיכום הכולל של המשחק בארט היה טוב יותר מיוחנן. זו תופעה סטטיסטית הידועה בשם "פרדוקס סימפסון".

הקוראים מוזמנים לעצור כאן, ולנסות למצוא מספרים ש-"יסתדרו" עם הדוגמא המלאכותית בה פתחתי. (המספרים שלי יובאו בהמשך הרשימה).

אולי הדוגמא המפורסמת ביותר לפרדוקס סימפסון היא פרשת ההפליה על רקע מגדרי בקבלה ללימודים מתקדמים באוניברסיטת ברקלי. בשנת 1973, נדהמו ראשי האוניברסיטה לגלות כי 44% מהגברים שנרשמו ללימודים מתקדמים (תואר שני ושלישי) באוניברסיטה התקבלו ללימודים, אך רק 35% מהנשים התקבלו. ראשי האוניברסיטה, שחששו מתביעה, הזעיקו לעזרה את הסטטיסטיקאי פיטר ביקל, וביקשו ממנו לבחון את נתוני הקבלה. ביקל ועמיתיו האמל ואו'קונל, פרסמו את ממצאיהם כעבור שנתיים בכתב העת היוקרתי Science. אביא כאן ניתוח של נתונים חלקיים אך מייצגים של נתוני הקבלה, כפי שהופיעו בספר הקלאסי של פרידמן ועמיתיו – Statistics.

לצורך הדגמת העקרון, נתרכז בששת החוגים הגדולים ביותר באוניברסיטה, אליהם נרשמו קצת יותר משליש מהמועמדים והמועמדות (באוניברסיטת ברקלי יש למעלה ממאה חוגים שהציעו תכניות ללימודים מתקדמים). נתוני ההרשמה והקבלה לחוגים אלה נתונים בטבלה הבאה:

התמונה הכללית המוצגת כאן דומה לתמונה שהתגלתה בנתונים המלאים: 45% מהגברים התקבלו ללימודים, רק 30% מהנשים. אבל שימו לב: ברוב החוגים אחוזי הקבלה של גברים ונשים דומים זה לזה, עם הבדלים של אחוזים בודדים לכאן או לכאן. רק בחוג A נראה שיש (אולי) אפליה על רקע מגדרי: לחוג זה התקבלו 82% מהנשים, אבל רק 62% מהגברים. הנשים משחקות כאן את תפקידו של יוחנן, הגברים את בארט. איך זה קרה?

שימו לב כי לחוגים A ו-B קל להתקבל – כשני שליש מהנרשמים מתקבלים. יותר ממחצית הנרשמים הגברים ביקשו להתקבל לחוגים אלה. לחוגים C עד F הרבה יותר קשה להתקבל. יותר מ-90% מהנרשמות ביקשו להתקבל לחוגים אלה. אופס.

תופעות כאלה אינן נדירות כלל וכלל, ויש שפע של דוגמאות נוספות (ראו למשל בערך של ויקיפדיה על הנושא). הוול סטריט ג'ורנל, למשל, העלה את השאלה הבאה: האם נתוני האבטלה במשבר הכלכלי הנוכחי גרועים יותר מאלה של המשבר של תחילת שנות ה-80 של המאה הקודמת? נראה שלא, או לפחות עדיין לא: בנובמבר 1982 עמד אחוז המובטלים בארה"ב על 10.8%, בעוד שבאוקטובר 2009 היה אחוז המובטלים 10.2%. אבל, בקרב העובדים בעלי תואר אקדמי אחוז האבטלה ב-2009 גבוה מזה של 1982, וכך הדבר גם בקרב בעלי השכלה אקדמית חלקית, בוגרי תיכון, ובעלי השכלה תיכונית חלקית. מה שקורה הוא שכיום יש יותר בעלי השכלה אקדמית, שבקרבם אחוז האבטלה נמוך יחסית לקבוצות האחרות, והרבה פחות בעלי השכלה תיכונית חלקית, שבקרבם תמיד אחוז האבטלה גבוה יותר. אחוז האבטלה הכולל הוא ממוצע משוקלל על פי גודל תת האוכלוסיה, וכאשר משקלם של האקדמאים גבוה יותר, הם מושכים את הממוצע המשוקלל כלפי מטה.

באותו אופן, כאשר יותר נשים נרשמות לחוגים עם אחוזי קבלה נמוכים, הן מושכות את הממוצע המשוקלל של נתוני הקבלה לנשים כלפי מטה, בעוד שהגברים שנרשמו ברובם לחוגים עם תנאי קבלה קלים מושכים את הממוצע המשוקלל של נתוני קבלת הגברים כלפי מעלה.

ואם נחזור לבארט ויוחנן, הנה נתוני הקליעות שלהם:

כל שחקן זרק את הכדור לסל 30 פעם במהלך המשחק, ובסך הכל יוחנן החטיא פעם אחת יותר מבארט. אבל בארט לקח את רוב הזריקות שלו במחצית השניה בה שני השחקנים התעלו, בעוד יוחנן הרבה לזרוק לסל במחצת הראשונה, בה גם הוצגה יכולת טובה, אבל פחות טובה מהיכולת המופלאה של המחצית השניה.

מה שראינו בשתי הדוגמאות היא נוכחות של משתנה מתווך (confounding variable). בדוגמת הכדורסל המשתנה המתווך הוא מחצית המשחק. אני מניח שיתפתח ויכוח האם תואר השחקן המצטיין אכן מגיע לבארט, או שמא יוחנן היה טוב יותר. מי היה נבחר אילו יוטה ניצחה במשחק? האם החלוקה למחציות משנה משהו? מה היה קורה לו היינו מסתכלים על נתוני המשחק לפי רבעים? האם יש טעם להסתכל על נתונים חלקיים של המשחק ולא על המשחק כשלם?

משתנה מתווך הוא משתנה המסביר את מבנה הקשר בין שני משתנים אחרים. דנתי בנושא כבר ברשימה הראשונה שפורסמה אי פעם בבלוג הזה (האם החסידה מביאה ילדים לעולם?). הדוגמא הקלאסית היא הקשר בין מספר הנעליים לידע במתמטיקה: בכל בית ספר תמצאו כי לתלמידים שמספר הנעליים שלהם גדול יותר יש ידע רב יותר במתמטיקה (גילוי נאות: מספר הנעליים שלי הוא 46). מהו המשתנה המתווך בדוגמא זו?

בדוגמת נתוני האבטלה המשתנה המתווך הוא ההשכלה, ובדוגמא של אוניברסיטת ברקלי הדברים לדעתי קצת יותר ברורים. אין טעם, לדעתי, להסתכל על הנתונים הכוללים של האוניברסיטה, ויש לבחון מה המצב בכל חוג בנפרד. החוג (ומדיניות הקבלה שלו) הוא משתנה מתווך בין המגדר ובין אחוז הקבלה הכולל.

בזמנו פרסמתי כאן בבלוג רשימה שעסקה בנושא הממוצע המשוקלל תחת הכותרת "ממוצע משוקלל – איך ולמה" שזכתה לתגובות רבות ועוררה פולמוס עז בתגובות. הטענה שטענתי שם, ואני עדיין עומד מאחוריה, היא כי יש טעם בחישוב ממוצע משוקלל רק אם המשקלות מתאימים, ובמקרה של מיצוע יחסים, המשקל המתאים הוא המשתנה שבמכנה. כך, טענתי, יש למצע מהירויות תוך כדי שקלול בזמני התנועה, יחסי חוב-תוצר יש לשקלל בתוצר, וכן הלאה. שימו לב כי כל המדדים הכוללים שהובאו כאן הם ממוצעים משוקללים נכונים. בדוגמת הכדורסל אחוז הקליעות הכולל של כל שחקן הוא ממוצע משוקלל של אחוזי הקליעות בכל מחצית כשהמשקלות הם מספר הזריקות לסל בכל מחצית. בדוגמא של אוניברסיטת ברקלי, אחוז הקבלה הכולל של הנשים (גברים) הוא ממוצע משוקלל של אחוזי הקבלה של הנשים (גברים) בכל חוג, כשהמשקלות הם מספר הנשים (גברים) שניסו להתקבל לכל חוג. בדקו זאת!

את הרשימה על הממוצע המשוקלל כתבתי כהמשך לרשימה קודמת בנושא "ממוצע פוליטי" שם יצאתי נגד חישוב ממוצע כלשהו באחד ממסמכי משרד האוצר, וטענתי (או יותר נכון, תמכתי בסבר פלוצקר שטען) כי על האוצר היה להשתמש בממוצע משוקלל ולא בממוצע פשוט. אז הנה אשאל את השאלה לפני שתעלה בתגובות. אם הממוצע המשוקלל בברקלי הוא ממוצע משוקלל על פי המשקלות הנכונים, כפי שאני טוען, הרי שברקלי אכן הפלתה נשים לרעה בקבלה לאוניברסיטה. ורק לפני כמה פסקאות נכתב כאן כי אין לדון בממוצע המשוקלל אלא הנתונים הפרטניים???

גם כאן יש לי תשובה, אך היא אינה מתמטית. התשובה שלי היא שיש תמיד לזהות את המשתנה המתווך (אם ישנו כזה) ולהעריך את חשיבותו לטיב הקשר בין המשתנים (ראו את תגובתו המצויינת של דודי קינג לרשימה "ממוצע פוליטי") . סטטיסטיקאי טוב (כמו פיטר ביקל, למשל) יעשה את זה, ולא יסתפק רק בהצבת נתונים בנוסחאות. אין כל ספק שאחוז הקבלה הכולל של נשים באוניברסיטת ברקלי נמוך מזה של הגברים. כל מי שיודע לחשב ממוצע יכול לומר את זה. השאלה החשובה היא האם האחוז הנמוך נובע מאפליה מכוונת או מסיבות אחרות, ולשם כך צריך גם קצת חשיבה סטטיסטית, לא רק חישובים סטטיסטיים.

השיר Take Me Out To The Ball Game מסכם את כל חווית הבייסבול. כשלקחתי את בני הבכור למשחק לראשונה בחייו (קאבס נגד הקרדינלס, הפסדנו 8:5 למרות ההום ראן ה-7 מתוך 66 שסמי סוסה הכה באותה עונה) הוא אמר לי בדרך:אני מקווה שלא יהיה shame, מתייחס בבירור לשורה מהשיר ""If they don't win it's a shame. היה shame.

קצת היסטוריה (בחסות ויקיפדיה): השיר נכתב בשנת 1908 (שהייתה שנה היסטורית לבייסבול, דרך אגב). לשיר מספר בתים, ובמשחקי הבייסבול שר הקהל רק את הפזמון החוזר. יש רק שני שירים המושרים יותר ממנו בארה"ב. אלה הם ההמנון הלאומי – "הדגל הזרוע כוכבים" ושיר היומולדת הידוע "Happy Birthday To You". לשיר יש, מטבע הדברים, ביצועים רבים. הוא בוצע, בין היתר, בסרטם של האחים מרקס "לילה באופרה", והרפו מרקס ניגן אותו על נבל דווקא בתכנית הטלוויזיה המיתולוגית "I Love Lucy". אחד הביצועים הידועים ביותר של השיר הוא הביצוע של פרנק סינטרה וג'ין קלי, במיוזיקל משנת 1949 שנקרא על שם השיר. עוד ביצועים ראויים לציון הם ביצוע א-קאפלה של בוב דילן, וגירסת היידיש של מנדי פטנקין. השיר הושמע גם בסרט המלחמה המופתי מ.א.ש, ובשלל סרטי בייסבול, כולל הסרט "גאוות היאנקיז" שסיפר את סיפרו חייו של לו גריג.

את המסורת של שירת Take Me Out To The Ball Game באמצע האינינג השביעי של המשחק התחיל השדר האגדי של הקאבס, הארי קארי. למען האמת, קארי נהג לשיר אותו עוד כאשר שידר את משחקי הקבוצה השניה של שיקגו, הוויט סוקס, באצטדיון קומיסקי פארק, אבל ההיסטוריה בכל זאת זוכרת אותו כשדר של הקאבס, ומסורת השירה מזוהה עם ריגלי פילד (כיוון שכאשר קארי עבר לקאבס, מסורת השירה עברה איתו, וננטשה על ידי הווייט סוקס). אני זכיתי לראות את קארי שר ב"לייב" מספר פעמים.למי שלא זכה, או סתם רוצה להזכר, הנה סרטון מיוטיוב שצולם ב-10 ביולי, 1985 (הקאבס ניצחו את סן דייגו 4:3, זה היה משחק יום, כמובן, התאורה בריגלי התחילה לפעול רק ב-8.8.88):

כשהלך הארי קארי לעולמו המשיכה מסורת השירה בריגלי, כשבכל משחק עלה סלבריטאי אחר להוביל את השירה. הנה למשל אוזי אוסבורן, לא ברור מה הוא לקח לפני ההופעה:

אם חשבתם שהביצוע של אוסבורן לא משהו, תשנו את דעתכם אחרי שתצפו בביצוע של מייק דיטקה, מאמן הפוטבול הנערץ שהוביל את השיקגו בירס לנצחון בסופרבול של 1985 (שהיה גם משחק הפוטבול הראשון בו צפיתי מימי, בטלוויזיה):

המנהג של שירת Take Me Out To The Ball Game באמצע האינינג השביעי התפשט במשך השנים אל מחוץ לריגלי פילד, ונדמה לי שהיום הוא מושר בכל משחק בכל מגרש. הנה דוגמא מאצטדיון הדודג'רס, שם נהוג לשיר את הפזמון פעמיים:

ונעצור כאן, כי אין לזה סוף. חיפוש ביוטיוב יעלה עוד ביצועים רבים. כל אחד מוזמן לחפש את הביצוע באצטדיון של קבוצתו האהודה.