נסיכת המדעים

אל הדף "Facts about poop" הגעתי דרך הרסס שעוקב אחרי הדפים המתוייגים בדלישס בתגיות סטטיסטיקה והומור. הנה חלק המידע המעניין נמצא בדף.

בסוף המאה הקודמת עבדתי בשירות חברה שמייצרת, בין היתר, תחליפי חלב אם לתינוקות. החברה ערכה ניסוי קליני בו השתתפו קרוב לעשרת אלפים תינוקות, חלקם הוזנו בתחליף החלב שייצרה החברה הזו וחלקם במוצרים של המתחרים (כאשר בין המתחרים נכללו גם חלב אם, כלומר הנקה, חלב פרה, ותחליפים אחרים).

מטרת הניסוי הייתה לבדוק האם יש הבדלים בין המזונות השונים בכל הקשור לתוצרי מערכת העיכול. הורי התינוקות ניהלו יומנים, ותיעדו (בקפידה, אני מקווה) את היציאות של ילדיהם: כמה, מתי, וגם את התכונות הספציפיות של כל תוצר: צבע, מרקם, ריח ועוד. תפקידי היה כמובן לנתח את הנתונים שנאספו.

סיפרתי לבני הבכור, שהיה אז בן 5 בערך, על הניסוי הזה. הוא הקשיב בעניין, ולבסוף שאל: "וכל התינוקות האלה, כשהם בוכים, הם לא מפריעים לך בעבודה?"

זמן קצר לאחר שהגעתי לשיקגו, בקיץ 1996, נסענו אני ומשפחתי לבקר מכרים ישראלים שגרו ברחוב שפילד בעיר. הם הציעו שנצא לערוך סיור רגלי בשכונה, וכך עשינו. להפתעתי הרבה, במרחק כמה בלוקים ממקום מגוריהם, ניצב לו אצטדיון. זהו ריגלי פילד, האצטדיון של קבוצת הבייסבול של שיקגו, הקאבס, הם הסבירו לנו. הם ניצחו היום, הוסיף המארח, והצביע על הדגל שהתנוסס מעל האצטדיון, דגל לבן שעליו אות W כחולה. בייסבול, את מי זה מעניין? חשבתי לעצמי.

לשעריו של אותו אצטדיון נכנסתי לראשונה כעשרה חודשים מאוחר יותר, ב-3 ביוני 1997. לא שהתאריך הזה נחרט בזכרוני. שחזרתי אותו לכבוד הרשימה הזו, בעזרת כמה פרטים שדליתי מזכרוני והצלבה עם נתונים מאתר baseball-reference.com . אני כן זוכר שזה יום אביבי, חמים למדי, השמש זרחה. המשחק היה משחק יום, כלומר התחיל בשעת אחר הצהריים מוקדמת. הגעתי למשחק בחברת חבריה לעבודה של אשתי דאז, שהזמינו אותנו להצטרף אליהם. התמקמנו במרומי היציע הדרומי של האצטדיון שהיה ריק ברובו, ושיפרנו עמדות בהמשך והתמקמנו סמוך לאזור ה-right field. אחד המלווים שלנו הסביר לנו ממש בקצרה את חוקי המשחק, ומצוידים בידע הזה התחלנו לצפות. היו לי שני חששות עיקריים לקראת המשחק. ראשית, האם נספיק לאסוף את הילדים בזמן מהמעון. שנית, מה אעשה במשך כל הזמן הזה, זה אמור להיות משחק נורא משעמם, והוא אמור להמשך כשעתיים וחצי.

אובייקטיבית, כמעט 13 שנה לאחר מכן, המשחק הזה היה אכן משעמם. הקבוצה שהתמודדה מול הקאבס היייתה הפיטסבורג פיראטס. הקאבס אמנם ניצחו את הפירטים מפיטסבורג יום קודם לכן, ומאזנם עמד טרם תחילת המשחק על 23 נצחונות ו-32 הפסדים, מה שהציב אותם במקום הרביעי (מתוך 5) בבית המרכזי של הנשיונל ליג. לפירטים היה מאזן של 27 נצחונות ו-28 הפסדים, שהספיק להם כדי להתנחל במקום הראשון של אותו בית. אז במובן מסויים, זה היה משחק קצוות. מצד שני, העובדה שאפילו לקבוצה שהובילה את הבית היה מאזן שלילי לא הבטיחה רבות לגבי איכות המשחק הצפויה (לא שידעתי את זה אז). מהצד החיובי, הקאבס היו דווקא בתקופה טובה, עם מאזן של 23 נצחונות ו-18 הפסדים בחודש וחצי האחרונים, בהחלט שיפור ביחס לשלושת השבועות הראשונים של העונה שנפתחה ב-14 הפסדים רצופים.

פרטים רבים וחשובים מהמשחק הזה אני לא זוכר, והם ידועים לי רק מתיעוד המשחק באתר בייסבול רפרנס נקודה קום. הפיצ'ר הפותח של הקאבס היה סטיב טראשל, אותו סטיב טראשל ששנה לאחר מכן העלה את הקאבס במו ידיו לפלייאוף, בתצוגה מבריקה מול הסן פרנציסקו ג'יאנטס. על הבסיס השני של הקאבס שיחק אחד מאגדות הבייסבול, ריין סנדברג, שלבש ככל הנראה את חולצה מספר 23 של הקאבס, שכיום איש אינו מורשה ללבוש אותה. זו הייתה העונה האחרונה שבה סנדברג שיחק לפני שפרש סופית, וכך אני יכול לומר היום כי ראיתי אותו בפעולה על המגרש. עוד אגדת קאבס שלא הייתי מודע לקיומה באותה עת היה מארק גרייס, ששיחק על הבסיס הראשון. אותו זכיתי לראות משחק במדי הקאבס עוד כמה פעמים.

מספרי החולצות של וויליאמס וסנדברג שהוצאו לפנסיה. שום שחקן של הקאבס לא יורשה ללבוש את חולצה מספר 23. מספר זה שייך לריין סנדברג.

אני דווקא כן זוכר את אחד השחקנים ששיחקו באותו משחק, כיוון ששמו שיעשע אותי. הוא הזכיר לי תכנית ילדים ששודרה בטלויזיה הישראלית בסוף שנות השישים.

עוד אירוע שנחרט בזכרוני מהמשחק הזה: באמצע הסיבוב השביעי, כל הקהל קם על רגליו ופצח בשירה. לא הבנתי מה קורה. המארח שלנו ניסה להסביר לנו במהירות על המסורת של השירה באמצע הסיבוב השביעי, אבל בהחלטה מהירה העדיף קודם כל להצטרף לשירה, ולהסביר לנו אחר כך מה קרה כאן.

למי שממש מתעניין, הנה מהלך המשחק: הפיראטס עלו ליתרון 1:0 בתחילת הסיבוב השלישי. הקאבס הגיבו מייד בהום ראן שהשווה את התוצאה ל-1:1, אך השוויון לא נשמר זמן רב, כי כבר בסיבוב הרביעי עלו הפיראטס ליתרון 2:1. בסיבוב התשיעי הגדילו הפיראטס את יתרונם ל-3:1, לקול שריקות בוז שקיבל הפיצ'ר המחליף מל רוחס (דווקא אותו אני זוכר מהמשחק הזה, ולא, לא מגיע לו לינק). כל הסיפור נמשך שעתיים וחצי, הגענו לגן בזמן.

מדהים שבכל זאת הפכתי לחובב בייסבול למרות החוויה המתסכלת הזו.

אני חושב שמתישהו באמצע כיתה ב הבנתי כי לכל מספר שיעלה בדעתי ניתן למצוא מספר גדול יותר. אם אני חושב על מאה, אז יש מספר גדול יותר ממאה: מאה ואחד. מליון – מליון ואחד. פטרוזיליה – פטרוזיליה ואחד. כיום אני יודע שפשוט תפסתי אז באופן טבעי את מהות האקסיומה השניה של פיאנו (מתוך 5 אקסיומות המאפיינות את המספרים הטבעיים) – לכל מספר טבעי יש עוקב. אחר כך גדלתי, והלכתי לאוניברסיטה, ושם למדתי על תורת הקבוצות, קנטור, הרצף ועוד כל מיני דברים מסובכים הקשורים לאינסוף. וכל זה לא משנה את העובדה שבעוד כמה שנים ייגמרו המספרים. מספרי הרישוי בני 7 הספרות עומדים לאזול.

הנה היסטוריה קצרה של מספרי הרישוי בישראל (המבוססת כמעט אך ורק על הזכרון שלי, אז סילחו לי על אי דיוקים, אם ישנם). אני לא יודע אם מספר הרישוי של המכונית הראשונה בישראל היה 1, אבל ברחובות עוד נראה לפני כמה שנים רכב אספנות בעל מספר רישוי תלת ספרתי. לאבי הייתה אופל רקורד מודל 1958 שמספר הרישוי שלה היה בן 5 ספרות: 47-086. כאשר הוא שדרג (בדיעבד שינמך) את האופל לפורד מודל 1963 (אי שם בתחילת שנות השבעים) הוא כבר היה הבעלים הגאה של מכונית עם מספר רישוי 6 ספרתי. בשנות השישים והשבעים של המאה העשרים הונפקו למכוניות בישראל מספרי רישוי 6 ספרתיים.

המהפך חל בתחילת 1980. למכוניות שעלו על הכביש משנה זו ואילך היו מספרי רישוי 7-ספרתיים, כאשר שתי הספרות הראשונות היו שנת הייצור של הרכב. לכן הרכב הראשון של שנות השמונים היה מן הסתם בעל מספר הרישוי 10-000-80 (או שלא). מכוניות משנת המודל 1981 זכו למספר רישוי שמסתיים ב-81. ב-1982 הייתה הפתעה. היו (כנראה) יותר מכוניות ממספרים, ולכן חלק ממכוניות מודל 82 קיבלו מספר רישוי שהסתיים בספרות 52. הפרקטיקה הזו חזרה על עצמה גם בשנים הבאות.

כמו כן, הופיעו עוד על מיני מספרי רישוי, כמו כאלה שמסתיימים בספרות 77 וציינו רכב בבעלות ממשלתית. באמצע שנות השמונים קיבלו כל המוניות בישראל מספרי רישוי חדשים שמסתיימים בספרות 25.

בשנת 1990 – הפתעה נוספת. במקום מספרי רישוי המסתיימים ב-90, הונפקו מספרי רישוי המסתיימים בספרות 0X. מהר מאוד למדנו ש-03 זה סובארו, 02 – "מיציבושי" וכולי. ב-1995, כשאזלו כנראה המספרים עם סיומת 0X, הופיעו שלל סיומות חדשות, כמו 10, 15 (אך לא 11, 12,13 ו-14), 24 ו-27 (אך לא 26) ועוד ועוד. עדיין ניתן היה לזהות את יצרן הרכב עם סיומת המספר.

בשנת 2003 הופיע סיומת חדשה ואחידה לכל המכוניות: 50, ובעקבותיו 51, 52 וכן הלאה, לאחר מכן סיומות 60 למינהן. מכוניות עם הסיומת רבת המשמעות 69 נצפו לראשונה באפריל 2009.  עד כה הגיעו ל-72. סדרת המספרים שמסתיימים ב-80 כבר הייתה בשימוש, סדרת ה-90 עדיין על המדף.

נצפה לראשונה באפריל 2009

בואו נעשה קצת סדר. יש בסך הכל 9000000 (תשעה מליון) מספרים בני 7 ספרות, שהרי הספרה הראשונה אינה יכולה להיות אפס. אם התחילו להשתמש במספרי רישוי בני שבע ספרות ב-1.1.1980, יהיה צורך לעבור למספרי רישוי בני 8 ספרות לאחר שיעלו לכבישי ישראל 9 מליון כלי רכב חדשים (כאשר הספירה מתחילה, כאמור, ב-1.1.1980). מייד אביא נתונים לפיהם אפשר להעריך מתי זה יקרה. נקווה שהתוכנות של מחשבי משרד הרישוי, חברות הביטוח, תחנות הדלק ועוד מסוגלות להתמודד עם מספרי רישוי בני 8 ספרות. זה לא באג 2000, אבל דיי דומה. צפויים עוד קשיים. למשל – גודל לוחית הרישוי קבוע. האם יהיה צורך להקטין את הספרות? האם המצלמות של כביש שש יוכלו להתמודד עם זה? ומה עם מצלמות האכיפה של המשטרה? (אני מניח שאלה אולי חדשות משמחות לחלק מהקוראים).

למעשה, עידן מספרי הרישוי ה-8 ספרתיים יגיע לפני שיעלו תשעה מליון כלי רכב חדשים על הכביש. הרבה מספרים "בוזבזו". מה קרה לכל המספרים המסתיימים ב-26? (ספקולציה – נשמרים למוניות). איפה המספרים שמסתיימים ב-40 עד 49, וב-30 עד 34? הוקצו לרשות הפלסטינית, למיטב ידיעתי. איפה 11, 12, 21? לא יודע.

החלטה שהתקבלה בשנות השמונים הייתה לסמן רכב שעבר תאונה חמורה ו-"החלפת מספר" על ידי שינוי הספרה הלפני אחרונה המספר הרישוי שלו מ-8 ל-6. לדוגמא, אם רכב מספר 12-345-87 עבר תאונה, שוקם, והועלה מחדש על הכביש, קיבל מספר רישוי חדש: 12-345-67. מספר נפלא, אבל אני לא הייתי קונה את הרכב הזה, לפחות לא בשנת 1988. ההחלטה האומללה הזו זרקה לפח 10% ממאגר מספרי הרישוי האפשריים. למרבה המזל, היא בוטלה לאחרונה. ככל הנראה מישהו במשרד הרישוי ראה שהיום בו ניאלץ לעבור למספרי רישוי בני 8 ספרות מתקרב במהירות, ודחק קצת את הקץ על ידי החזרת המספרים בסיומת שישים ומשהו (או לפחות חלקם) למאגר המספרים הלגיטימיים.

האם המספרים הקיימים מנוצלים כראוי? קשה לדעת. לשם כך, יש צורך בנתונים על מספר כלי הרכב המתווספים כל שנה. לפי הלמ"ס,(קישור להודעה לעיתונות, קובץ pdf) בשנת 2008 נוספו לכבישי הארץ כ-254000 כלי רכב חדשים. מאחר וכל סיומת דו-ספרתית מגדירה 90000 מספרים, הרי שאפשר היה, תיאורטית, לסגור את כל המספרים של 2008 בשלוש סיומות, נניח 62, 63 ו-64, ועוד היה נשאר עודף. מצד שני, הגענו מ-69 ל-72, תיאורטית יותר מ-270,000 מספרים, תוך  תשעה חודשים, מאפריל 2009 לינואר 2010. אם נניח שמ-2003 (שם התחילה סדרה ה-50) ועד אמצע 2009 (שם התחילה סדרת ה-70) היו בממוצע 200000 כלי רכב לשנה, אז יש לנו בסך הכל כמליון ושלוש מאות אלף כלי רכב על פני שש וחצי שנים, שהשתמשו ב-20 סיומות (מ-50 עד 69), שמגדירות מליון ושמונה מאות אלף מספרים. לאן נעלמו חצי מליון מספרים? בחלקם השתמשו כאמור בשנות השמונים. אני מניח שחלק מהמספרים בוזבזו, בגלל שהמספרים מוקצים ליבואני הרכב בסדרות.

בהנחה שרוב המספרים מסדרת ה-70 וכל המספרים מסדרת ה-90 עדיין פנויים, ובקצב של כרבע מליון כלי רכב חדשים לשנה, המספרים ה-7 ספרתיים יספיקו לעוד 6, אולי 7 שנים. בסביבות 2016 נראה מכונית עם מספר רישוי 8 ספרתי.

גרה באיזור חיוג 646

הבעיה לא מוגבלת למספרי רישוי בישראל. תחשבו על מספרי טלפון למשל. מספר טלפון הוא בן 7 ספרות, כאשר הספרה הראשונה אינה יכולה להיות 1 או 0. זה אמר שיש 8 מליון מספרים אפשריים בכל אזור חיוג. למדינה כמו ישראל זה צריך להספיק, אבל ישראל מדינה קטנה. כשגרתי בשיקגו, בסוף שנות התשעים של המאה הקודמת, היו לאזור המטרופוליטני של שיקגו 7 או 8 אזורי חיוג (אני לא זוכר במדויק), שהיו אמורים לספק את צרכיהם של 9 מליוני תושבי המטרופולין למספרי טלפון, פקס וטלפון סלולרי. בעבר, היו 144 אזורי חיוג אפשריים בארה"ב (הספרה הראשונה לא יכלה להיות 0 או 1, הספרה השניה הייתה חייבת להיות 0 או 1, הספרה השלישית לא יכלה להיות 0). התברר שזה לא מספיק, וההגבלות על הספרה השניה והשלישית הוסרו. בארה"ב מקווים ש-800 אזורי חיוג אפשריים יספיקו בעתיד הנראה לעין. כמובן, הוספת אזורי חיוג יוצרת בעיות חדשות. אתה יכול לגור בבניין שכל הטלפונים בו נמצאים באזור החיוג 212, ורק לך יש טלפון באזור חיוג 646. זה מה שקרה לאיליין בניס, והיא נתקלה בקשיים בלתי צפויים עקב כך.

קודי חיוג בינלאומיים טומנים בחובם פוטנציאל לסכסוכים דיפלומטיים. רק לשתי מדינות יש קוד חיוג בינלאומי חד ספרתי (ארה"ב – 1 ורוסיה – 7). מספר מדינות נהנות מקוד דו-ספרתי. היתר קיבלו קוד חיוג תלת ספרתי. לא נראה כי יהיה צורך בקרוב בקוד חיוג בינלאומי ארבע ספרתי.

מי רוצה לנסוע ל-AX?

לעומת זאת, יש מספר הרבה יותר קטן של סיומות אינטרנט של שתי אותיות – רק 676. מספר זה עדיין גדול יותר ממספר המדינות והאוטונומיות הזכאיות לקבל סיומת משלהן, אבל אם המדינה שלך עומדת לקבל עצמאות עדיף שהשם שלה לא יתחיל ב-A, למשל. כך למדו תושבי איי אולנד (Aland), אוטונומיה של מיעוט שוודי בפינלנד. הסיומות AL (אלבניה) AN (האנטילים הולנדיים) ו-AD (אנדורה) תפוסות. האולנדים קיבלו את סיומת AX.

יום אחד התג הזה יופיע על המזוודה שלי

גם מספר הקודים לשדות תעופה מוגבל על ידי שיטת הסימון של 3 אותיות. כשיהיו בעולם  17577 שדות תעופה בינלאומיים, יהיה צורך לעבור לקוד שדה תעופה של ארבע אותיות. כיום יש 915 שדות כאלה (כולל 7 בישראל!), אז אין מקום לדאגה.

רשימה זו נכתבת בעקבות דיון שנערך ביני ובין ידידי משכבר הימים ראובן בתגובות לרשימה "מה רע בקצת סטרואידים". (ניתן לראות כאן את שרשור התגובות, שהתחיל הקורא סמיילי).

הדיון התנהל סביב הטענה שהעליתי, לפיה חוקים נוצרים כדי להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים. ראובן אמר כי לדעתו זו גישה נאיבית, ולכן אנסה להסביר ברשימה הזו באופן משכנע יותר מדוע הגישה שהצגתי אינה נאיבית כלל וכלל.

בטרם אגש לשטוח את טיעוניי, אקדים ואציין כי הרעיון בדבר הקשר בין דילמת האסירים והיווצרות חוקים אינו רעיון מקורי שלי. אני שמעתי אותו לראשונה מפי פרופ' מיכאל משלר ז"ל, אצלו למדתי כמה קורסים בתורת המשחקים. פרופ' משלר אף סיפר על אחת הסטודנטיות שלו שנסעה עד לפיטסבורג הרחוקה כדי לכתוב שם דיסרטציה בפילוסופיה שעסקה ברעיון הזה ממש, והוכתרה בתואר דוקטור בזכות עבודתה זו. לצערי, לא הצלחתי למצוא זכר לכך בחיפושיי ברשת. אם למישהו מהקוראים יש מידע על כך, אשמח לשמוע.

בואו וניזכר בדילמת האסירים "המקורית". המשטרה עוצרת שני אנשים החשודים בביצוע פשע חמור כלשהו. ברור לחלוטין (למשטרה לפחות) כי השניים אכן אשמים, אך אין די ראיות כדי להרשיעם בבית המשפט. חוקר המשטרה נוקט גישת הפרד ומשול, וכולא את כל אחד מהחשודים בתא נפרד. לאחר מכן הוא מביא בפני כל אחד מהחשודים סיכום מצב קצר. אם שני החשודים ישתקו בחקירתם, המשטרה לא תוכל להאשימם בפשע החמור שביצעו, אך הם יואשמו באחזקת נשק בלתי חוקי, וכל אחד מהם צפוי למאסר של חצי שנה. אם שניהם יודו בפשע בו הם חשודים, כל אחד מהם צפוי ל-10 שנות מאסר. אבל, אם אחד החשודים יודה בפשע בעוד חברו שותק בחקירה, הוא יוכל לשמש כעד מדינה נגד חברו ולהשתחרר ללא מאסר כלל, בעוד שחברו יישלח למאסר של 15 שנה. ניתן לסכם את כל התוצאות האפשריות (מנקודת מבטו של אחד החשודים) בטבלה הבאה:

הנה השיקול של החשוד: אם השותף שלו שותק, עדיף לו להודות באשמה, כי אז יצא לחופשי, וזה יותר טוב מחצי שנה שיקבל אם גם הוא ישתוק. לעומת זאת, אם שותפו מודה באשמה, אז בודאי עדיף להודות באשמה ולקבל 10 שנים, שכן זו תוצאה טובה יותר ממאסר של 15 שנים שיקבל אם ישתוק במקרה זה. לסיכום, לא משנה מה יעשה השותף, בכל מקרה עדיף להודות באשמה מאשר לשתוק.

החשוד השני, השותף לפשע, עומד בדיוק מול אותה טבלת תוצאות, שוקל את אותם שיקולים, ומגיע בהכרח לאותה מסקנה: עדיף לדבר.

התוצאה הסופית: שני החשודים מודים באשמה ונשלחים למאסר של 10 שנים כל אחד, כאשר יכלו לקבל עונש קל של חצי שנת מאשר, לו שניהם מילאו את פיהם מים.

כל זה טוב ויפה בתיאוריה. למה חוקרי המשטרה לא משתמשים בתרגיל הזה שוב ושוב כדי להוציא הודאות מהחשודים? כי גם הפושעים מתוחכמים. הם אולי לא למדו קורסים בתורת המשחקים, אבל יודעים היטב כי מי שיעיד נגד חברו לא יסתובב חפשי זמן רב, ותוך זמן קצר יימצא עם כדור בראש. החוק הבלתי כתוב של העולם התחתון שינה את טבלת התוצאות של דילמת האסירים:

עכשיו, אם השותף שותק, גם לחברו עדיף לשתוק. עדיף לשבת חצי שנה בכלא מלקבל כדור בראש. יש נסיונות מצד רשויות החוק להתחכם ולשנות עוד את הטבלה על ידי החלפת "כדור בראש" ל-"תכנית להגנת עדים". לפעמים יש פושעים שזה משתלם להם, לפעמים לא. בכל מקרה, דילמת האסירים שוב אינה דילמה.

לא תמיד ניתן לשנות את הדילמה באמצעות חוק. בואו ניקח לדוגמא סטודנט שגר לו בבניין 9 במעונות שבגבעת רם. לבניין הזה יש מטבח אחד המשמש את כל דייריו. כאשר הסטודנט מכין לעצמו במטבח חביתה לארוחת ערב, הוא יכול לנקות אחריו את משטח העבודה והכיריים, או להשאיר אותם מלוכלכים. אתם מוזמנים לבדוק כי זו וריאציה על דילמת האסירים. לא משנה מה הדיירים האחרים עושים, לכל דייר תמיד כדאי יותר לא לנקות אחריו. המטבח נשאר מלוכלך עד שעובדי הנקיון של המעונות ינקו אותו למחרת בבוקר. אפשר לקבוע בחוק (או בתקנון המעונות) כי כל סטודנט המשתמש במטבח חייב לנקות אחריו (ואולי יש כלל כזה בתקנון). אבל אם הכלל הזה לא יאכף, איש לא ינקה.

לפעמים אין צורך באכיפה של ממש, די בחינוך. דוגמא מצוינת היא שמירת פרחי הבר. אם כל אחד יקטף לעצמו פרח בר אחד, הוא ירוויח בטווח הקצר, התוצאה הרסנית לכולם. דילמת אסירים. יש חוק להגנת פרחי בר. הוא לא נאכף באינטנסיביות. אין צורך. שנים של חינוך טבעו בתודעת כולנו את הכלל לפיו אין לקטוף פרחי בר.

לעומת זאת, אם תתבוננו בצומת הקרוב למקום מגוריכם, תגלו שם דילמת אסירים מסוג אחר. כאשר כמה מכוניות מתקרבות לצומת, כל נהג יכול לבחור אם להכנס לצומת או לתת זכות קדימה לנהגים האחרים. בדקו ותראו כי תמיד "משתלם יותר" לנהג להכנס לצומת ולא לתת זכות קדימה לאחרים, בין אם האחרים נותנים לו זכות קדימה ובין אם לאו. הבעיה היא שהתשלום המשולם בנקודת שיווי המשקל בה איש לא נותן זכות קדימה הוא כבד למדי: פקק במקרה הטוב, תאונה + פקק במקרה הפחות טוב. הפתרון: בכל צומת מוצבים תמרורים ואף רמזורים המסדירים את סדר הקדימויות בין הנהגים השונים. תמרורים ורמזורים הם נגזרות של חוקים. כאן, לצערנו, יש צורך גם לאכוף את החוקים האלה, כיוון שרב מספר הנהגים המתייחסים לתמרורי עצור ולרמזורים אדומים כאל המלצות בלבד. שימו לב, אגב, שהפתרון שמציעים התמרורים והרמזורים אינו בהכרח "צודק". חלק מהנהגים עלולים להמתין יותר זמן בצומת מאשר נהגים אחרים. אבל הפקקים והתאונות נמנעים, לפחות חלקית.

הבאתי כאן מספר דוגמאות הממחישות כיצד מצבים הדומים לדילמת האסירים נפתרים על ידי שינוי טבלת התשלומים באמצעות כלל, תקנה או חוק. האם זה מוכיח שכל חוק בא למנוע מצב של דילמת אסירים? ודאי שלא. אבל נדמה לי שהעקרון הובהר. גם אם תובא דוגמא של חוק שלא נובע ממצב של דילמת אסירים (ואשמח לראות דוגמא כזו, אני עצמי לא הצלחתי לחשוב על אחת), עדיין יהיה אפשר לומר כי ניתן להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים באמצעות שינוי טבלת התשלומים על ידי חיקוק, וגם זו טענה חזקה מאוד.

עולם הבייסבול הזדעזע קלות השבוע. מרק מגווייר, בעבר כוכב הסנט לואיס קרדינלס וכיום מאמן החובטים של הקבוצה, התוודה והודיע כי השתמש בסמים אסורים (סטרואידים וכולי) שסייעו לו לשבור בשנת 1998 את שיא ההום ראנס ההיסטורי של רוג'ר מאריס (61 הום ראנס) ולהעמידו של 70 הום ראנס. (השיא,  דרך אגב, החזיק מעמד במשך שלוש שנים בלבד. בארי בונדס חבט 73 הום ראנס בשנת 2001, ככל הנראה גם בעזרת סטרואידים).

הוידוי המפתיע (בעל התוכן המאוד לא מפתיע) של מגווייר מספקים לי הזדמנות למלא הבטחה שנתתי כאן לפני כשמונה חדשים, לאחר שכוכב בייסבול אחר, מני רמירז, הושעה לחמישים משחקים עקב שימוש בסמים אסורים. מה בכלל לא בסדר בשימוש בסמים? למה לא להרשות לספורטאי שרוצה בכך להלעיט את גופו בסטרואידים, הורמוני גדילה ושאר ירקות, ובכך לשפר את יכולותיו? התשובה, רמזתי אז, מגיעה מתחום הכלכלה. עתה אביא אותה במלואה.

לפני שאמשיך, אציין כי ההסבר שיובא כאן מתבסס על פרק מספרו של ג'יי סי ברדבורי: "כלכלן הבייסבול", ואני רק מביא את הדברים בשם אומרם (אם כי בהמשך אחווה גם את דעתי בנושא).

סטרואידים, אומר ברדבורי, הם רק עוד דרך לשיפור הביצועים (של הספורטאי), כמו שמירה  על תזונה נכונה או אימונים מרובים. ובכל זאת אנשים נוטים להתייחס בצורה שונה (ושלילית) כלפי ספורטאים שמשתמשים בהם. טענה אחת היא שהסטרואידים "אינם טבעיים". ברדבורי טוען שזה לא העניין. התערבויות "לא טבעיות" אחרות, כגון ניתוחים למיניהם (החל בניתוחי לייזר לשיפור הראיה וכלה בניתוח "טומי ג'ון"), זריקות קורטיזון וכדומה נחשבות כלגיטימיות. גם הטענה כי שימוש בסמים למינהם אינה לגיטימית כי אנשים "רגילים" אינם משתמשים בחומרים ממריצים נדחית על ידי ברדבורי: ניקוטין, קפאין וסוכר הם כולם סטימולנטים לגיטימיים שנמצאים בשימוש נרחב. אענה אפשרית נוספת היא שסטרואידים למינהם מסכנים את בריאות הספורטאים. גם אם זה נכון, אומר ברדבורי, זה לא צריך לשנות. זכותו של כל אחד לקחת על עצמו סיכונים. העיסוק בבייסבול עצמו הוא מסוכן (אחרי הכל, מישהו שעומד במרחק של 18 מטר ממך זורק לעברך כדור שמשקלו 150 גרם במהירות של כ-150 קמ"ש). ואם באמת הדאגה לבריאות השחקנים חשובה, עדיף לאסור עליהם לעשן ולצרוך אלכוהול, זה יועיל להם הרבה יותר.

הבעיה העיקרית, טוען ברדבורי, היא שהחלטה של שחקן להשתמש בסטרואידים משפיעה גם על השחקנים האחרים. שחקן שמשתמש בסטרואידים משפר את ביצועיו, ועקב כך ישפר ככל הנראה גם את שכרו. מי שייפגע עקב כך הם שחקנים אחרים, שרמת משחקם דומה לשחקן שמשתמש בסטרואידים, ששכרם ייפגע, אם באופן מוחלט ואם באופן יחסי לאותו שחקן סורר. מה יכולים אותם שחקנים לעשות כדי לסגור את הפער? לקחת סטרואידים גם הם. ובסופו של דבר, נגיע למצב בו כולם (או כמעט כולם) לוקחים סטרואידים,  והיתרון של שימוש בסטרואידים מתבטל. אשתמש בפרפרזה על לואיס קרול: נוצר מצב שבו כולם רצו בכל הכח קדימה וכולם נשארו במקום. זהו מצב קלאסי של דילמת האסירים.

עד כאן עיקרי טיעוניו של ברדבורי.

אין לי ביקורת על הניתוח המתמטי של ברדבורי, הוא מדוייק לחלוטין. הבעיה שלי עם ברדבורי היא שהוא טוען שההסבר הרציונלי שנתן הוא היחיד התקף. הנימוקים שנתן נגד הטענות המקובלות (לא טבעי, לא לגיטימי, וכולי) הם נכונים ורציונליים, אבל האם רק השיקולים הרציונליים תקפים? ומה בדבר המושג הבסיסי של "הוגנות"? האם הוא לא משחק תפקיד? אני חושב שכן, ברדבורי לא התייחס לכך.

עוד בעיה עם הטיעונים של ברדבורי: הוא מניח שגודל העוגה נשאר קבוע. בפועל, במהלך תקופת הסטרואידים בבייסבול חל סחרור שדחף את משכורות כל השחקנים כלפי מעלה, כולל את משכורותיהם של אלה שלא השתמשו בסטרואידים. השחקנים הרוויחו בגדול, למגינת ליבם של בעלי הקבוצות. הסטרואידים השתלמו לשחקנים. מי שבאמת מתנגד לסטרואידים הם בעלי הקבוצות.

ובואו לא נשכח – אין ספק שהמשחק היה מלהיב יותר בשיא תקופת הסטרואידים. גרתי בשיקגו בתקופת המירוץ לשבירת שיא ההום ראנס שנערך בין מרק מגווייר לסמי סוסה. זו הייתה תקופה נפלאה. דיבורים על סטרואידים היו גם אז, אבל לאף אחד לא היה איכפת. זכיתי לראות את שני השחקנים האלה בפעולה, ואף הייתי אחד מבין כ-40000 העדים להום ראן מספר 60 של סוסה. הספורט המקצועני הוא בראש ובראשונה בידור, ובסוף שנות התשעים גם בעלי הקבוצות הרוויחו מהשימוש בסטרואידים, ולכן כולם עצמו את עינהם. ההתעוררות חלה כאשר בעלי הקבוצות הבינו כי הנזק הכספי הצפוי להם בטווח הארוך עקב העליה בשכר השחקנים עולה על הרווחים של הטווח הקצר.

לפני כשנה כתבתי כאן על חויותי ממשחק דילמת האסירים ששיחקתי במסגרת קורס שלמדתי. לפני כעשרה ימים השתתפתי בקורס ניהול משא ומתן שניתן על די אותו המנחה, עו"ד יונתן קוברסקי (לחצו על הלינק כדי לראות אותו מרצה ביוטיוב), ובאחד התרגילים שנערכו, שוחקה גירסה אחרת של דילמת האסירים. אתאר כאן את חוויותי ותובנותי מהמשחק הזה. אין בכוונתי להתעמק בניחוח אנליטי של המשחק.

בשלב הראשון המשתתפים בקורס חולקו לשש קבוצות, ונערכו שלושה משחקים במקביל, כשבכל משחק מתחרות שתי קבוצות זו בזו . מאחר ובכל קבוצה היו בין שלושה לארבעה חברים, תהליך קבלת ההחלטות בכל קבוצה היה נתון למו"מ (כך לפחות זה היה בקבוצה שלי).

סיפור המסגרת למשחק (למעוניינים, הנה ההסבר המלא באנגלית, קובץ pdf): שתי מדינות, אלבה ובתיה, הן יצרניות נפט קטנות, שמוכרות את תפוקת הנפט שלהן לשכנתן הגדולה והעשירה, מדינת קפיטה. מחירי הנפט של כל מדינה נקבעים כל חודש על ידי ועדה מיוחדת לקביעת מחירי הנפט (אלה אנחנו, השחקנים). המחיר יכול להיות 10, 20 או 30 דולר לחבית. ההכנסות החדשיות ממכירת הנפט תלויות במחירים שקבעו שתי המדינות. אם בתיה, למשל, מוכרת את הנפט שלה ב-20 דולר לחבית, ואלבה קובעת מחיר של 30 דולר לחבית, אז בתיה תיהנה מהכנסה של 18 מליון דולר, בעוד אלבה תכניס לקופת שני מליון דולר בלבד. באופן כללי, אלה הן ההכנסות של מדינת בתיה בהנתן מחירי הנפט שלה ושל אלבה בחודש נתון לחבית (אני שיחקתי באחת הקבוצות של בתיה, ולכן מתאר את נקודת המבט שלה. חוץ מזה, יש לי דודה נפלאה ששמה בתיה.):

מטריצת ההכנסות של אלבה זהה לזו של בתיה.

אלבה ובתיה כמובן מסוכסכות ביניהן, מה שלא אפשר מו"מ או תיאום של מחירי הנפט. מטרת כל קבוצה להביא למקסימום את רווחי המדינה שלה בשמונת החודשים הקרובים, תוך כדי אדישות לביצועים של המדינה המתחרה. כמו כן נאמר לנו כי כרגע שתי המדינות מוכרות את הנפט שלהן ב-20 דולר לחבית.

בכל זאת ניתוח אנליטי קצר של המשחק, לפני שאעבור לחוויות ולתובנות. קל לראות כי האסטרטגיה של קביעת מחיר הנפט ב-20 דולר לחבית שולטת על האסטרטגיה של 30 דולר. לא משנה מה יהיה המחיר שאלבה תקבע, תמיד עדיף לבתיה למכור ב-20 ולא בשלושים. אם למשל, המחיר של אלבה הוא 30 דולר לחבית, אז במחיר של 30 דולר לחבית בתיה תרוויח 11 מליון דולר, ובמחיר של 20 דולר לחבית בתיה תרוויח 18 מליון דולר, וכן הלאה. מכאן שאף פעם לא כדאי לבתיה לקבוע מחיר של 30 דולר לחבית. אותם השיקולים נכונים גם למדינת אלבה, ולכן אם אנשי אלבה רציונליים, גם הם לעולם לא יקבעו מחיר של 30 דולר לחבית. מעשית, ניתן למחוק את המחיר 30 מטבלת התשלומים, ולהסתפק בטבלה מצומצמת:

הבעיה היא שעכשיו, הפלא ופלא, ניתן להפעיל את אותו השיקול על הטבלה המצומצמת, ואם מניחים שאלבה לעולם לא תקבע מחיר של 30 דולר לחבית, תמיד עדיף למכור ב-10 דולר לחבית ולא 20 דולר לחבית. אותם השיקולים אמורים להנחות גם את אלבה, ובסיכומו של דבר, נקודת שיווי המשקל (של נאש) במשחק הזה היא שכל מדינה מוכרת את הנפט שלה ב-10 דולר לחבית ונהנית מהכנסה חדשית של 5 מליון דולר, תוצאה נחותה מהתוצאה שהייתה מתקבלת לו היו קובעות שתי המדינות מחיר של 20 דולר לחבית או אפילו 30 דולר לחבית.

הדינמיקה שהתפתחה הייתה דומה לדינמיקה שהתפתחה אז. (המעוניינים יכולים לראות כאן את מהלכי שלושת המשחקים. אני שיחקתי בקבוצת בתיה במשחק 2).  שתי קבוצות התחילו מייד לשחק את נקודת שיווי המשקל 10-10. בדיון שנערך לאחר סיום המשחק הסבירו זאת ברצון להביא את הסיכון שלהם למינימום. שתי קבוצות אחרות פתחו ב-20-20, ובדיון שלאחר המשחק הסבירו זאת ברצון לשמר את המצב שהיה קיים (כזכור היה נתון כי בתחילת המשחק מחיר הנפט של שתי המדינות היה 20 דולר לחבית). המשחק השלישי החל גם הוא ב-20-20. הקבוצה ששיחקה מול הקבוצה שלי גם היא רצתה לשמר את המצב הנתון. אני, לעומת זאת, שכנעתי את חברות הקבוצה שלי כי כדאי להתחיל ב-20 כאיתות לרצון טוב, והמחיר של 20 ממזער נזקים אפשריים שיגרמו עקב מחיר תחרותי של המדינה השניה, אך עדיין נותן מרחב לתמרון. למעשה, האסטרטגיה "מידה כנגד מידה" עמדה מול עיניי.

אולם בהמשך העניינים התחממו. שתי הקבוצות שפתחו ב-10-10 עברו עוד סיבוב של 10-10, ואז אחת הקבוצות העלתה את המחיר שלה ל-20, כדי לאותת "בואו נתקדם". שתי הקבוצות האחרות שהתחילו ב-20-20 הדרדרו לשני סיבובים רצופים של 10-10. במשחק "שלי" שיחקנו 20 גם בסיבוב השני אך קיבלנו 10 מהקבוצה השניה. לכן החלטנו להעניש אותם ב-10 בסיבוב השלישי, ולהפתעתנו הקבוצה שמולנו שיחקה 30 בסיבוב השלישי, ומאוחר יותר הסבירו זאת בכך שרצו לאותת כי הם רוצים להמנע מנקודת הקפאון של 10-10.

בשלב הזה התאפשר משא ומתן בין הקבוצות המתחרות. כמו כן נמסר כי עקב המצב בקפיטה, ההכנסות בסיבוב הרביעי יהיו כפולו מהרגיל.

מה קרה לאחר המשא ומתן? שתי קבוצות של משחק מספר 3 סיכמו על 30-30 ועמדו בסיכום בשלושת הסיבובים הבאים.

שתי הקבוצות של משחק מספר 1 סיכמו גם הן על 30-30, אך אלבה לא עמדה בסיכום, וכבר בסיבוב הראשון אחרי המו"מ "הכניסו" לבתיה 10, וגרפו 30 מליון בעוד שהכנסות בתיה צנחו ל-4 מליון. בסיבוב הבא הם שיחקו 10-10, ובסיבוב שלאחריו אני אלבה כנראה חשו רגשות אשמה על הבגידה שני סיבובים קודם לכן, ובהניחם כי בתיה תשחק שוב 10 קבעו את מחיר הנפט שלהם ל-20, כסוג של פיצוי לבתיה על הפסדיהם בסיבוב הרביעי. האם זה השתלם? אם תעשו חשבון תגלו כי אלבה הרוויחו מכל התרגיל 3 מליון דולר. האם זה היה שווה את המשקעים שנוצרו בעקבות הפרת האמון?

אצלנו, לעומת זאת הדברים התפתחו אחרת. אני נשלחתי כנציג הקבוצה שלי. לפני שיצאתי למו"מ סיכמנו ביננו כי נציע לקבוצה הבאה שנשחק 2 סיבובים 20-20 ואחר כך נעלה ל-30-30. לא היינו מעוניינים להציע לשחק מייד 30-30, משתי סיבות: ראשית, היו לנו חששות לאור ה-10 ששוחק מולנו בסיבוב השני. שנית, הפיתוי לסטות מ-30-30 גדול מדי. לכן כשבעת המו"מ הקבוצה שמולנו הציעה שנתאם את מחיר הנפט ונקבע אותו על 30 דולר סירבתי, והעליתי את ההצעה שלנו. הנציגה שמולי אמרה לי כי אין לה סמכות לקבל החלטה על כך. לכן הבהרתי כי בסיבוב הבא נשחק 20, ונמשיך לעשות כן כל עוד הם ישחקו 20 גם הם. 2 הסיבובים הבאים לאחר המו"מ התנהלו כצפוי – פעמיים 20-20. אבל בסיבוב שלאחר מכן חלה התפתחות מעניינת. שתי שותפותיי לקבוצה דרשו להוריד את מחיר הנפט ל-10, ולאחר דין ודברים נאלצתי לקבל את הכרעתן. הקבוצה שמולנו העלתה את המחיר ל-30, כי הבינו שאנו בכל זאת נעלה את המחיר ל-30 אחרי שני סיבובים ב-20. התוצאה: משבר אמון. אחרי המשחק התברר לי כי בקבוצה שמולי שיחק אדם שאני עובד איתו באופן סדיר, וגם מי שהייתה המנהלת שלי במשך יותר מ-4 שנים (עד שקודמה לתפקיד בכיר יותר). מייד שנפגשנו בסיום המשחק (במהלך המשחק ישבנו בחדרים נפרדים) הם שאלו אותי "איך עשיתי להם כזה דבר". לא נעים.

בתום הסיבוב השישי הודיעו לנו כי תנאי המשחק משתנים שוב: בשני הסיבובים האחרונים, השביעי והשמיני, הכנסותיה של הקבוצה שתציע מחיר נמוך יותר יוכפלו פי ארבע (אם שתי הקבוצות קובעות את אותו המחיר, ההכנסות נשארות ללא שינוי), וזאת בגלל המצב במדינת קפיטה. כמו כן, התאפשר לנו לקיים עוד מפגש עם נציג הקבוצה שמולנו. הפעם סירבתי לצאת למו"מ, בעקבות התקרית שחוללנו בסיבוב השישי.

מהן האפשרויות שעמדו בפנינו? אפשרות אחת היא לשחק 30-10 ואחר כך 10-30. כך הקבוצה שתשחק 10 בסיבוב השביעי תרוויח 60 מליון והקבוצה שתשחק 30 תרוויח 2 מליון, ובסיבוב שלאחר מכן מתחלפים. באפשרות הזו כל קבוצה תרויח סך של 62 מליון בשני הסיבובים האחרונים. אם משחקים 30-20 ואח"כ 20-30, כל קבוצה תרויח 74 מליון, ואם משחקים 10-20 ואח"כ 20-10, כל קבוצה תרויח 63 מליון. כיוון שהאפשרות של 30-10 כמעט זהה לאפשרות של 20-10 היא ירדה מהפרק, והאופציה שנדונה ברצינות היא האופציה של 20-10, שוב, בגלל שהפיתוי לבגוד כאשר מנסים לשחק 30-10 גדול מדי.

השאלה העיקרית היא – מי יהיה ראשון? כלומר, איזה צד יזכה להציע את המחיר הנמוך בסיבוב השביעי, ואז הצד שכנגד ייאלץ לסמוך עליו כי יקיים את חלקו בהסכם בסיבוב השמיני? כולם רצו להיות ראשונים, גם הנציגה שלנו שיצאה למו"מ מול נציג הקבוצה שמולנו. אולם היא לא זכתה לנהל מו"מ של ממש. הנציג של הקבוצה השניה הודיעה לה כי הוא ישחק 10 בסיבוב השביעי בכל מקרה. לנו רק נותר לבחור אם נשחק בסיבוב השביעי 10 או 20. אם נשחק 20, הובהר לנו, אזי הקבוצה שמולנו תשחק 20 בסיבוב השמיני ותאפשר לנו לרבע את הכנסתנו ממשחק 10 בסיבוב השמיני. אם נבחר ב-10 בסיבוב השביעי, אז הם ישחקו 10 גם בסיבוב השמיני. אכן, מידה כנגד מידה.וכך היה: שיחקנו 20 בסיבוב השביעי, 10 בשמיני, וגרפנו 63 מליון. אותו מהלך קרה פחות או יותר (אם כי איני יודע את פרטי המו"מ) במשחק נוסף.

במשחק השלישי חלה התפתחות מעניינת. סוכם שם לשחק 20-30 ואח"כ 30-20, אולם הקבוצה שהייתה אמורה לשחק 30 בסיבוב השביעי טעתה ושיחקה 20 בטעות. התוצאה: 20-20, אף קבוצה לא קיבלה את הבונוס. בסיבוב השמיני, הקבוצה שנבגדה כמובן הורידה את המחיר ל-10, והקבוצה שטעתה העלתה את המחיר ל-30, כדי לפצות את הקבוצה שמולם על הטעות שעשו.כאן המשחק היה אמור להסתיים, וכאן באה עוד הפתעה: סיבוב נוסף. המסר: תמיד יש טווח ארוך. דובי הסביר זאת היטב בתגובה שלו לרשימה שלי על החוויות  מדילמת האסירים שפרסמתי לפני כשנה:

האיטרציה של המשחק לא באמת נגמרה אחרי הפעם העשירית. המשחק הזה היה מוטמע בתוך משחק אחר, הרבה יותר משמעותי בתועלות ובהפסדים הפוטנציאליים שלו. כאמור, אם המשחק היה על סכום כסף משמעותי, ובמיוחד אם המשחק היה עם זרים גמורים, סביר להניח שהתוצאות היו שונות בעליל. ההטמעה של המשחק במשחק החברתי הגדול יותר של מקום העבודה יצרה את התנאים הדרושים לקיומו של אמון – שבלעדיו אין משמעות לעצם יצירת התקשורת ביניכם.

עוד שלוש הערות לסיום:

בדפים שקיבלנו היה מקום לרשום את מהלי המשחק והרווחים של כל אחת מהקבוצות בכל סיבוב. מעניין שכולם, פרט למשתתפת אחת, מילאו באדיקות את כל הנתונים וחישבו את רווחי הקבוצה המתחרה, למרות שנאמר לנו בפירוש כי אנו אמורים להיות אדישים לרווחי הקבוצה שמתחרה מולנו. מתברר יכ יצר התחרות חזק מההוראות.

שנית, מתברר שהתחרות בין אלבה ובתיה הועילה להן, אך לא לקפיטה. כזכור, במצב שהיה קיים לפני תחילת המשחק, מחיר הנפט היה 20 דולר לחבית. לו נשמר המחיר בכל 8 סיבובי המשחק, אלבה ובתיה היו מכניסות 72 מליון דולר כל אחת (וקפיטה הייתה משלמת 144 מליון דולר). בפועל, הקבוצה שלי, בתיה, הרוויחה 128 מליון דולר וקבוצת אלבה שהתמודדה מולנו שלשלה לקופתה 114 מליון. קפיטה שילמה בסך הכל 98 מליון דולר יותר מאשר הייתה משלמת לו לא הייתה תחרות בין שתי ספקיות הנפט שלה. בעקבות הדיון בתגובות עם דובי, אני כבר לא בטוח בדברים האלה, ולכן הן נמחקו. ברור שחלק מההכנסות גדלו עקב סיבובי הבונוס (שעל פי סיפור המסגרת נבעו מבעיות בקפיטה – מזג אויר קשה ותקלה בכור הגרעיני שהביאו להגדלת הביקוד ליבוא נפט). אבל גם אם מוציאים אותם מהחישוב, לא ברור מה קורה. בכל מקרה, אני לוקח את דבריי בחזרה, ומודה לדובי על קריאתו הביקורתית והערותיו המועילות.

ולסיום – דבר שכבר עמדתי עליו במהלך הרשימה אבל נראה לי שחשוב להדגיש אותו: גם כאשר אין ערוץ תקשורת בין המשתתפים במשחק, ניתן בהחלט להעביר מסרים בין הקבוצות, על ידי המהלכים שמשחקים. מי שמשחק ברידג' מכיר את הרעיון הזה היטב. המעשים שלנו מהווים מסר בפני עצמם, ולא רק הדברים שאנו אומרים. התובנה הזו מסבירה גם את התפקיד שיש במשחק למחיר של 30 דולר לחבית (ואני מודה כי הבנתי זאת רק בסיום המשחק, לא בתחילתו). באמצעות קביעת מחיר של 30 ניתן לאותת לקבוצה השניה על רצון טוב, וגם לפצות אותה על מעשים שאנו מצטערם עליהם, בין אם עשינו זאת בכוונה ובין אם לאו. כשאר מחקתי את העמודה והשורה של ה-30 מטבלת המשחק, עשיתי מעשה נכון מבחינה מתמטית, אבל לא בהכרח מעשה נכון מבחינת התנהלות.

ביום חמישי האחרון הייתי בהרצאתו של מריו ליביו שנושאה היה כשם ספרו החדש: "האם אלוהים מתמטיקאי". לשמחתי הגעתי מוקדם מספיק כדי להכנס לאולם. אלה שהגיעו מאוחר מדי מצאו אולם מלא ונאלצו לצפות בהרצאה בשידור האינטרנט באולם סמוך. המעוניינים יכולים לצפות בהקלטת ההרצאה באתר יוטיוב.

ההרצאה הייתה בהחלט מעניינת, וליביו הוא בהחלט מרצה טוב. הוא הביא במשך כשעה את ה-highlights של ספרו האחרון. אני עדיין קורא את הספר, אולם לא נתקלתי בהרצאה כספוילרים של ממש. למי שעדיין לא שמע, הספר עוסק בעצם בשאלה הפילוסופית האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה. ליביו סוקר בספרו (וסקר בהרצאתו) את הגישות הפילוסופיות שעסקו ועוסקות בשאלות האלה, תןך כדי שהוא שם על ציר הזמן את האירועים המדעיים ש השפיעו על הדיון הזה, ובינהם תצפיותיהם האסטרונומיות של קפלר וגליליאו, פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגלי על ידי ניוטון ולייבניץ, הופעתן של הגיאומטריות הלא אויקלידיות, ומשפטי אי השלמות של גדל.

במקביל, הוא הראה כיצד המתמטיקה והמדע צועדים יד ביד, כאשר פיתוחים מתמטיים חדשים נמצאים מתאימים למוגלים מדעיים חדשים. כדוגמא מרכזית בהרצאתו הביא את תורת הקשרים, שאמנם המוטיבציה הראשונית לפיתוחה הייתה תיאוריית מבנה האטום של הלורד קלווין (אשר שרדה רק כעשרים שנה לפני שהופרכה), אך המחקר המתמטי של תורה זו נמשך, ובסופו של דבר נמצאה שימושית עבור תיאוריות מדעיות חדשות, ובהן תורת המיתרים וחקר מבנה ה-DNA.

הכל טוב ויפה ומרשים, עד שליביו הציג את השאלה הבאה: האין זה מפתיע/מדהים שתורה מתמטית שפותחה ללא כל יישום שהוא, כמו תורת הקשרים, נמצאת לפתע כמתאימה ביותר לתיאור תיאוריה פיזיקלית שכלל לא הייתה מוכרת עד לפני זמן לא רב, כמו תורת המיתרים? השאלה הייתה אמורה להיות שאלה רטורית, אבל לדעתי לפחות, התשובה לשאלה הזו ברורה לחלוטין. לא, זה לא מפתיע בכלל. זה אפילו היה צפוי. יש הרבה תיאוריות מדעיות, יש הרבה תורות מתמטיות, והסיכוי שעם הופעת תיאוריה מדעית חדשה יתברר כי כבר קיימת תורה מתמטית שיכולה להתאים לה, הוא לכן, לדעתי, לא מבוטל כלל וכלל. כבר הסברתי, ברשימה על הלוטו הבולגרי, כי אירוע שנראה בהסתכלות נקודתית כצירוף מקרים מדהים אינו כל כך נדיר, אם בוחנים את כל פוטנציאל צירופי המקרים.

בסיום ההרצאה, כאשר ניתנה לקהל האפשרות לשאול שאלות, הרמתי את ידי ושאלתי אל פרופ' ליביו בדיוק את השאלה הזו. התשובה הייתה מאכזבת (התשובה של ליביו לשאלתי נמצאת 1:04:50 שעות מתחילת הקלטת ההרצאה ביוטיוב). ליביו ענה לי כי אמנם "יש משהו" בדברי, אך מייד המשיך ושאל שאלה נוספת, שנראתה רטורית בעיניו שלפחות. איך אתה מסביר את העובדה שניוטון פיתח תיאוריה מדעית ומתמטית כה מדוייקת על הכבידה, וזאת בהסתמכות על תצפיותיו הלא מדוייקות של קפלר, שאל ליביו. והוסיף ושאל ליביו, האם אין זה מדהים כי התיאוריה של ניוטון, שנבנתה על בסיס התצפיות הלא מדוייקות של קפלר, נתנה תחזיות הרבה יותר מדוייקות? שאל ולא ענה, ואני נמנעתי מלהכנס לדיון איתו בנושא (אני מניח שהוא גם לא היה נותן לי).

אז הנה כאן תשובותיי לליביו. קודם כל, אני חושב שבדבריי יש יותר מ-"משהו". אנחנו חיים בעולם מסויים, ומושפעים ממנו. לכן, אין זה מפתיע כלל וכלל כי גם התיאוריות המדעיות שאנו מפתחים וגם התורות המתמטיות שאנו מפתחים מושפעות מהעולם הזה ומתארות אותו בעת ובעונה אחת. קשרים, למשל, קיימים במציאות. אז מדוע שמתממטיקאים לא יחקרו את תכונותיהם המתמטיות? ולמה בדיוק אנחנו צריכים להיות מופתעים שקשרים קיימים במציאות לא רק בשרוכי נעליים ובספינות מפרשים אלא גם במקומות נוספים, לא בהכרח מעשי ידי אדם? תורת הקשרים, חקר ה-DNA ותורת המיתרים היו על מסלול התנגשות. זה שאנחנו, בני האדם, לא ראינו את זה קורה, לא אומר שהיה כאן אירוע מדהים. ליביו עצמו הביא את דוגמת המדוזה: האם מדוזה תבונית שחיה בקרקעית האוקיינוס, וכל תחושותיה הן שינויי לחץ וטמפרטורה, תפתח מספרים טבעיים? מדוזה כזו תפתח מן הסתם מתמטיקה רציפה, ובמקביל תיאוריות מדעיות על העולם הרציף שהיא חווה. האם נופתע אם נגלה שהמתמטיקה הרציפה שהמדוזה הזו תפתח תהווה שפה מתאימה למדע שאותה מדוזה מפתחת?

השאלה שליביו הציב בפני כתשובה לשאלתי גם היא אינה רטורית בעיני. קודם כל, היא לא ממש עונה על השאלה ששאלתי. מעבר לכך, אני לא מופתע מהיכולת של ניוטון לעבד מידע לא מדוייק ולהפיק ממנו תיאוריה שתפיק אינפורמציה מדוייקת יותר. עשו זאת לפניו, עשו זאת אחריו, ויעשו זאת שוב ושוב בעתיד. דוגמא קלאסית, שליביו לא התייחס אליה בספרו: גאוס השתמש במידע חלקי ביותר על מסלולו של האסטרואיד צרס כדי לחשב במדוייק את מסלולו. אני מעריך מאוד (איך לא) את היכולות של ניוטון וגאוס. מופתע? לא בטוח. זו מהות המדע: הרחבת הידע. אפילו העובדה שמדובר בשני ענקים אינה מטה את הכף לצידו של ליביו. הפיתוחים המתמטיים פורצי הדרך שלהם פותחו כמעט במקביל על ידי מתמטיקאים נוספים (ע"ע לייבניץ, לזנדר, לשתי הדוגמאות האלה). לו לא היו לנו ניוטון וגאוס, עדיין היו לנו החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ושיטת הריבועים הפחותים. אני בטוח שרוב הקוראים יוכלו להביא שפע של דוגמאות נוספות.

ואסיים בדעתי האישית (ללא נימוק, איני רואה טעם לחזור על הנימוקים בעד גישה זו שמתוארים היטב בספרו של ליביו, לצד נימוקי הנגד). אני חושב מהמתמטיקה היא פרי המצאתו של האדם. אמנם נחמד לחשוב על המתמטיקה כספר שכתב אלוהים, ואנו מגלים מתוכו דף אחר דף, כפי שתיאר זאת פול ארדש. אבל אני מתחבר יותר לאמירתו של דויד הילברט על תורת הקבוצות: "איש לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור ברא עבורנו".

הנה היא – בחסות חדשות FOX (המקור: FlowingData):

אם פעם חשבתם שאי אפשר לאכול את העוגה ולהשאיר אותה שלמה, באו חכמי פוקס ולימדו אותנו איך אפשר לאכול 193% מהעוגה.

בהזדמנות זו, אני מפנה את הקוראים לפוסט של טל גלילי על ההיסטוריה של תרשימי העוגה ועל חלק מהבעיות שכרוכות בהם.

פרופ' מריו ליביו, מחברם של מספר ספרי מתמטיקה פופולרית, ירצה בתאריך 17.12.09 במועדון האסטרונומי של אוניברסיטת תל אביב בנושא ספרו האחרון "האם אלוהים הוא מתמטיקאי?". לפרטים לחצו כאן. אני אשתדל מאוד להיות שם.

אני קורא כעת את ספרו האחרון של ליביו. לשבחו אוכל לומר שסגנון הכתיבה שלו משתפר, והספר יותר מעניין לקריאה מספריו הקודמים. התכנים שבספריו מרתקים כמובן, בלי קשר לסגנון הכתיבה. בספר האחרון יש פרק העוסק בסטטיסטיקה – אני חייב לומר שקצת התאכזבתי כשקראתי אותו. מקווה לדווח בקרוב על רשמי מהקריאה.

ברשימה קודמת הסברתי מהו ה-p-value, אותו ערך מיסטי שאיש כמדומה אינו יכול לחיות חיים שלמים בלעדיו. אחזור ואומר, לטובת מי שלא זוכר, כי בניסוי מבוקר המלווה בבדיקת השערות סטטיסטיות, הp-value הוא ההסתברות כי בניסוי חוזר תתקבל עדות לדחיית השערת האפס שהינה משכנעת לפחות כמו העדות שהתקבלה בניסוי הנוכחי, וכל זאת תחת ההנחה כי השערת האפס נכונה.

לאחר שנערך הניסוי והתקבל ה-p-value, מה עושים איתו? בקורסים של מבוא לסטטיסטיקה למיניהם נהוג ללמד כי אם ה-p-value קטן מ-5% אז דוחים את השערת האפס לטובת ההשערה האלטרנטיבית, ואם הוא גדול מ-5% אז לא דוחים את השערת האפס (ההסתברות כי יהיה שווה בדיוק ל-5% היא, תיאורטית, 0). אפשר להראות כי הכלל הזה שקול לכלל ההחלטה המתקבל מהלמה של ניימן ופירסון (בין שתי טעויות), אם רמת המובהקות שנקבעה מראש לבדיקת ההשערות היא 5% (למה 5%? על כך בשיעור ההיסטוריה הקרוב). עם זאת, אני וחברי למקצוע נתקלים פעמים רבות בפרשנויות שגויות למושג ה-p-value ולערכיו. רשימה זו תסקור חלק מהפרשנויות האלה ותנסה להסביר מדוע הן שגויות. הרשימה מתבססת בחלקה על הערך של p-value בויקיפדיה (באנגלית),  ועל מאמרם של שטרן וסמית: "Sifting the evidence—what's wrong with significance tests?".

ה-p-value אינו ההסתברות כי השערת האפס נכונה. אני שומע את הפרשנות הזו לעתים קרובות: "יצא p-value של 2%, ולכן יש רק 2% סיכוי שאין הבדל בין הקבוצות". אבל זה פשוט לא נכון. ה-p-value הוא פונקציה של תוצאות הניסוי שערכנו. בין הקבוצות יש הבדל או שאין הבדל, וקיומו או אי קיומו של ההבדל הזה, או במלים יותר פורמליות, נכונותה או אי נכונותה של השערת האפס, אינו תלוי בתוצאות הניסוי שערכנו. אם השערת האפס נכונה, אז ההסתברות שהיא נכונה היא 1, ואם לא, אז ההסתברות היא 0. ה-p-value רק מבטא את חוזקן של העדויות שאספנו נגד נכונותה של השערת האפס. באותו אופן, 1 פחות ה-p-value אינה ההסתברות כי ההשערה האלטרנטיבית נכונה. (לפני שתגיבו: הסטטיסטיקה הבייסיאנית מאפשרת השמת הסתברויות להשערות, אולם יש לכך מחיר כבד).

ה-p-value אינו ההסתברות כי תוצאות הניסוי התקבלו "במקרה". כבר התייחסתי לכך ברשימה הקודמת שהבהירה את הפרשנות הלא נכונה שנתן הוול-סטריט ג'ורנל ל-p-value של הניסוי לחיסון לוירוס HIV. הראיתי כי ניתן לחשב את ההסתברות לקבלת תוצאת הניסוי בהנחה שהשערת האפס נכונה, והסתברות זו שונה תמיד מה-p-value על פי עצם הגדרתו.

באופן דומה, ה-p-value אינה ההסתברות כי בחזרה על הניסוי תתקבל אותה תוצאה כמותית (לדוגמא, בניסוי הפרות שתיארתי ברשימה הקודמת, ה-p-value שחושב שם אינו ההסתברות כי בניסוי חוזר יהיו שוב 15 המלטות נקבה).

ערכים נמוכים של ה-p-value אינם "מוכיחים" כי השערת האפס נכונה. זכרו כי ה-p-value מחושב תחת ההנחה כי השערת האפס נכונה, אז איך בדיוק הוא יכול "להוכיח" את ההנחה שעליה הוא מתבסס?

ה-p-value אינו ההסתברות לדחיה מוטעית של השערת האפס. ההסתברות לדחיה מוטעית של השערת האפס אמורה להקבע מראש לפני עריכת הניסוי, וממנה נגזר כלל ההחלטה לדחיית השערת האפס על פי הלמה של ניימן ופירסון.

באופן דומה, ה-p-value אינו ההסתברות כי בחזרה על הניסוי תתקבל אותה תוצאה איכותית (השערת האפס תידחה שוב, או תתקבל שוב). ההסתברות לדחיה (או קבלה) חוזרת של השערת האפס בניסוי חוזר נגזרת מרמת המובהקות והעוצמה של המבחן הסטטיסטי, מהמצב האמיתי (כלומר מנכונותה של השערת האפס או ההשערה האלטרנטיבית), וכן מפרמטרים נוספים.

p-value הקרוב בערכו לרמת המובהקות (בדרך כלל 5%) אינו מעמיד בספק את ההחלטה המתקבלת. אם מקבלים p-value של 0.048 למשל, פירוש הדבר כי תוצאות הניסוי סיפקו עדות מספקת כדי לדחות את השערת האפס (אם רמת המובהקות הנדרשת היא אכן 5%), ולכן דינה להידחות, ובאותו אופן p-value של 0.052 פירושו כי תוצאות הניסוי אינן מהוות עדות מספקת לדחיית השערת האפס. טענה כמו "הערך של ה-p-value מובהק, אבל גבולי…" הינה בעייתית, כיוון שהיא למעשה נסיון לשנות את כלל ההחלטה בדיעבד, לאחר שהניסוי בוצע ותוצאותיו התקבלו. בדרך כלל טענות כאלה נשמעות כאשר התוצאות אינן מתיישבות עם האמונות של האדם שמנסה לפרש את תוצאת הניסוי ("התוצאות מראות שהטיפול שנתנו עוזר בדיוק כמו שתיית מים, אבל אני יודע שזה עוזר לרפא את המחלה הזו…").

באופן דומה, p-value שערכו נמוך במיוחד (או גבוה במיוחד) אינו מחזק יותר את ההחלטה המתקבלת, ובמלים אחרות – p-value נמוך יותר אינו "דוחה יותר" את השערת האפס. אמנם ערך נמוך יותר של p-value אומר כי ישנן עדויות רבות יותר לדחיית השערת האפס, ובכל זאת, זה לא משנה אם דוחים את השערת האפס עם p-value של 0.048 או 0.001. השורה התחתונה היא אותה שורה: או שדוחים או שלא. כדי לחדד את הנקודה, אביא כאן את הדוגמא ששמעתי פעם ממורי ורבי, פרופ' צבי גילולה. ברשימה הקודמת הבאתי אנלוגיה מעולם המשפט. תיארתי מצב בו אדם מואשם בשוד תחנת דלק, ומספר שופטים היפותטיים שלכל אחד מהם כלל החלטה אחר לפיו יקבע אם הנאשם אשם.שופט אחד יכול להחליט כי ירשיע את הנאשם אם יופיעו בפניו שני עדי ראיה שיעידו כי הנאשם הוא אכן השודד. שופט מחמיר יותר  ידרוש שלושה עדים, וגם הוכחה כי הכסף נמצא בידי הנאשם, ושופט אחר אולי יסתפק בוידאו של מצלמת האבטחה. עכשיו תארו לכם שני שודדי תחנות דלק. אחד מהם שדד את תחנת הדלק בתל-מונד, ושני עדי ראיה הופיעו בבית המשפט והעידו כי אכן ביצע את השוד. השודד השני בחר לשדוד דווקא את תחנת הדלק שליד אצטדיון טדי בירושלים, במוצאי שבת, כאשר זה עתה מכבי חיפה ניצחה את בית"ר ירושלים שלוש אפס, ועשרים אלף איש יצאו מהאצטדיון, ראו את השוד, וכולם מוכנים לבוא לבית המשפט ולהעיד נגדו, כי השודד אוהד הפועל. האם השודד השני אשם יותר מהשודד הראשון?

ואחרון חביב: ערכו של ה-p-value אינו מעיד על גודל האפקט או חשיבותו. אפקט (הבדל בין הקבוצות) נמוך יכול להיות מובהק, ואפקט גבוה יכול להיות לא מובהק. אפקט מובהק יכול להיות בלתי משמעותי בהקשר בו נערך הניסוי (וחלק מקוראיי תהו ברשימה על הניסוי לחיסון נגד HIV האם האפקט המובהק שגילה הניסוי הוא גם משמעותי מבחינה קלינית). אפקט לא מובהק יכול להיות משמעותי – זה קורה הרבה בניסויים קליניים בשלב II. כל האפשרויות קיימות.