נסיכת המדעים

לפני כשנה קראתי את הספר “17 משוואות ששינו את העולם” מאת איאן סטיוארט, וכתבתי את רשמיי בסדרת ציוצים בטוויטר. פוסט זה מבוסס על סדרת הציוצים ההיא וסוקר את שבעת הפרקים הראשונים של הספר. למה רק שבעה? התשובה בסוף הפוסט.

לפני הכל, כמה מילים על המחבר. בשתי מילים: איאן סטיוארט. סטיוארט הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת וורוויק באנגליה. הוא כתב הרבה ספרים העוסקים במתמטיקה שמיועדים לקהל הרחב, ואני מברך אותו על כך. קראתי מספר ספרים שהוא כתב, והם נמצאים על מדפי הספרייה שלי. הוא יודע מתמטיקה, והרבה, אין ספק. גם בפיזיקה הוא לא קוטל קנים. אבל לדעתי יש לו בעיה ככותב. הוא טרחן ונסחף בקלות. הוא רוצה לספר סיפורים, וזה מצויין, אבל לעיתים הוא סוטה מהנושא, ו/או נכנס לדיונים טכניים מיותרים. בספר הזה יש עוד בעיות, לדעתי לפחות.

הפרק הראשון של הספר עוסק במשפט פיתגורס.  סטיוארט  מסביר כמובן מה המשפט אומר ומסביר מה השימושים שלו. זה אכן משפט מאוד שימושי, וסטיוארט מפרט את ההתפתחות בשימושים שלו לאורך השנים. סטיוארט גם סוקר את ההיסטוריה של המשפט, שהיה מוכר עוד הרבה לפני תקופתו של פיתגורס.

הוא מנצל את ההזדמנות לדון גם באוקלידס ובגאומטריה שפיתח, ואז מתחילות הבעיות. כאשר הדיון הגיע אל האקסיומה החמישית של אוקלידס, הלא היא אקסיומת המקבילים. סטיוארט לא מצליח להסביר באופן בהיר מהי המשמעות שלה, אלא נתפס לניסוח המסורבל של אוקלידס. הוא מציין כי לא ניתן להוכיח את האקסיומה מתוך האקסיומות שקדמו לה, וזה נכון, אבל שוכח משום מה להזכיר כי גם לא ניתן לסתור אותה, וזה כל העניין כאן. העובדה שהאקסיומה בלתי תלויה באקסיומות האחרות היא מה שמאפשרת את החלפתה באקסיומה אחרת. זה שלא מצליחים להוכיח משהו לא מספיק כדי להצדיק את זניחתו. מכיוון שלא הבהיר כהלכה את הנקודה הזו הוא גם לא נותן קרדיט לניקולאי לובצ’בסקי שהוכיח את אי תלות האקסיומה באקסיומות הקודמות. ברנרד רימן ופועלו, לעומת זאת, זוכים אצלו לתיאור נרחב, אבל כאן הפרק מתדרדר. ההסברים שלו הופכים להיות יותר ויותר טכניים. אני לא יכול להעיד על כל ציבור הקוראים, אבל אני באופן אישי נשברתי ודילגתי על כל הקטעים האלה והמשכתי לפרק הבא.

מה חסר לי בפרק הזה? לפיתגורס ולכת המתמטיקאים שלו הייתה בעיה קטנה: אם יש משולש ישר זווית שאורכי הניצבים שלו שווים שניהם ל-1, אז אורך היתר צריך להיות שווה לשורש של 2. השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי, ופיתגורס סירב להכיר בקיומם של מספרים כאלה. אני לא זוכר את כל פרטי ההתמודדות של פיתגורס וחבריו עם המציאות הלא נעימה הזו, אבל האגדה מספרת כי הם הוציאו להורג את האיש שהוכיח כי השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי. לדעתי היה מקום לדון כאן בעניין הפעוט הזה, אבל אולי יהיה מקום לדון בזה בהמשך הספר.

הפרק השני, העוסק בלוגריתמים, כתוב היטב. המשוואה/נוסחה היא שהלוג של a כפול  b שווה ללוג של a ועוד הלוג של b. לא להיבהל. סטיוארט מסביר כי הרעיון הוא שיש דרך להפוך פעולת כפל, שהינה מסובכת יחסית, לפעולת חיבור, שהיא קלה יותר לביצוע. אתם מוזמנים להיווכח בעצמכם: נסו להכפיל 24 ב-12 בלי מחשבון, רק עם נייר ועיפרון, ואחר כך תנסו לחבר את שני המספרים האלה.

סטיוארט סוקר את ההיסטוריה של הרעיון, שהגה המתמטיקאי החובב ג’ון נפייר, ושופצר על ידי המתמטיקאי הנרי בריגס. אחר כך הוא מסביר את הרעיון בצורה מאוד בהירה. הוא ממשיך בתיאור של סרגלי החישוב , שהם יישום מכני של עקרון הלוגריתמים, שהיו נפוצים כמעט עד סוף המאה הקודמת^[1] , וזה תיאור קצת טכני מדי לטעמי. הוא מסיים בשני שימושים עדכניים לפונקציית הלוגריתם. הראשון הוא חישובי דעיכה רדיואקטיבית בהקשר של תאונת הכור הגרעיני בפוקושימה (כתוב היטב). היישום השני, מדידת עוצמת הקול/צליל/רעש, על ידי סולם הדציבל, כתוב באופן קצת מסורבל לטעמי.

מה היה חסר לי בפרק הזה? ובכן, אני לא יודע איך המחשבים/מחשבונים של ימינו מבצעים פעולות כפל. מהו האלגוריתם? האם האלגוריתם משתמש בלוגריתם? אני חושב שזה היה יכול לעניין את הקוראים.

הנוסחה של הפרק השלישי היא נוסחת הגדרת הנגזרת. כצפוי, סטיוארט נותן תיאור של ההיסטוריה הלא כל כך ארוכה של מושג הנגזרת, ומזכיר, בין היתר את פייר דה פרמה ואת ג’ון ואליס. הוא מסביר באופן יפה את הרעיון על ידי הדגמה של בעיית חישוב המהירות הרגעית של גוף, שהייתה גם הבעיה שנתנה לאייזק ניוטון את המוטיבציה לפיתוח התיאוריה. הוא עובר מכאן לתיאור נרחב של בעיית התנועה וסוקר את הגישות אליה, החל מאריסטו ועד ניוטון, כמובן. הוא מסביר באופן מתקבל על הדעת את שלושת חוקי התנועה של ניוטון, באופן פחות מתקבל על הדעת כיצד בעזרת חוקים אלה ניתן לחשב את מהירותו של גוף על ידי מהירותו ההתחלתית, התאוצה שלו והזמן שעבר – זו לא גזירה אלא אינטגרציה, ואחר כך מסתבך לגמרי בניסיון להסביר מה זה תנע. תוך כדי כך הוא גם משחיל דיון קטן על גרביטציה. בנוסף, הוא דן גם במושג האנרגיה. הוא גם מתייחס ללייבניץ, שכידוע פיתח את החשבון הדיפרנציאלי באופן בלתי תלוי ובערך באותו זמן כמו ניוטון. סטיוארט, אנגלי, טוען שניוטון זכאי לקרדיט גדול יותר מכיוון שהוא פיתח את הרעיון בקונטקסט פיזיקלי, בעוד שהקונטקסט של לייבניץ היה יותר “מתמטי טהור”, whatever it means.

סטיוארט לא מתעלם מהפיל הגדול שבחדר, עליו הצביע כבר בימי ניוטון הארכיבישוף ברקלי^[2] . במתמטיקה של ניוטון, וגם בזו של לייבניץ, יש כשל לוגי חמור. אסביר: בנוסחאות מתמטיות, אותיות מסמלות מספרים. אחת האותיות בסימון של ניוטון היא האות o. ניוטון, וגם לייבניץ, מניחים במפורש כי o חייב שונה מאפס^[3].  כדי ליישם את הנוסחה, יש צורך לבצע כל מיני מניפולציות אלגבריות: חיבור, חיסור, כפל, וחילוק. בפרט, בשלב מסויים חייבים לחלק ב-o, וזה בסדר גמור כי כזכור  o שונה מאפס. בסוף מקבלים משהו שכולל בתוכו את o, ואז ניוטון, ולייבניץ אומרים משהו כמו “עכשיו o יהיה שווה לאפס”. זה לא הולך ככה. אי אפשר שמשהו יהיה שונה מאפס כשזה מתאים לך ואחר יהיה בכל זאת שווה לאפס כי הנסיבות השתנו ועכשיו זה יותר מתאים לך. את הכשל הלוגי הזה התחילו ליישב רק לקראת סוף המאה ה-18, כאשר המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין קושי הציג את מושג הגבול. סטיוארט נכשל לחלוטין בניסיון להסביר את מושג הגבול, אבל אני לא מאשים אותו. זה קשה.

מה עוד? סטיוארט מתאר כמה יישומים נוספים של מושג הנגזרת, אבל הוא מתעלם מהשימוש העיקרי: אופטימיזציה, כלומר מציאת נקודות מינימום או מקסימום של פונקציה. הנגזרת מאפשרת למצוא את הנקודות האלה גם באופן ישיר וגם באופן עקיף על ידי חישוב נומרי (בשיטות כמו ניוטון-רפסון,gragient decent  ודומותיהן). לשיטות האלה יש שימוש מרכזי בסטטיסטיקה ובתחום הבינה המלאכותית.

מי חסר בפרק הזה? אלברט איינשטיין. אני לא מבין איך אפשר לדון כל כך הרבה בחוקי התנועה של ניוטון ולהתייחס אליהם כנקודה האחרונה בתהליך המחשבתי שנמשך דורות. התהליך המשיך גם אחרי ניוטון. לאיינשטיין היה חלק מכריע בהרחבת התיאוריה של ניוטון. אי אפשר להתעלם ממנו. אבל סטיוארט התעלם.

הפרק הרביעי של הספר עוסק בחוק הכבידה של ניוטון. במילים מאוד לא מדוייקת, החוק אומר כי כח המשיכה של גופים גדול יותר ככל שהמסה שלהם גדולה יותר, וההשפעה של כח המשיכה הולכת ונחלשת ככל שמתרחקים מהגוף המושך. מחבריי הפיזיקאים אני מבקש סליחה, אבל התיאור הזה מתאים לצרכי הטוויטר.

סטיוארט לא מדבר יותר מדי על המשוואה עצמה. הוא מביא סקירה היסטורית רחבה של תפיסת מבנה היקום, החל מהבבלים, דרך תלמי, כל הדרך עד לקפלר. הוא מתאר את סיפור התפוח המפורסם שנפל על ראשו של ניוטון כאשר נח תחת עץ (האמת היא שזה לא קרא באמת אלא שניוטון השתמש המטאפורה הזו כדי להסביר חלק מהרעיון). סטיוארט גם מדגיש כי חוק הכבידה הוא אוניברסלי – המשיכה קיימת בין כל שני גופים ביקום, וזו נקודה חשובה. מה עוד? הוא מתאר באריכות את המחלוקת בין ניוטון ורוברט הוק בעניין הקרדיט לגילוי חוק הכבידה. הוק כנראה ידע את זה לפני ניוטון, אבל ניוטון נתן את הניסוח המתמטי המדוייק, וגם נתן קרדיט להוק על התרומה שלו בספרו, ולכן הקרדיט המלא אכן מגיע לניוטון. סטיוארט מסביר בקצרה את המשמעות של חוק הכבידה בחישובי מסלולים של חלליות ולוויינים, ועובר לדיון ארוך ומייגע בתיאוריה/ספקולציה של חורי התולעת.

נחמד, אבל כאן יש לי כמה הערות: ראשית, סטיוארט כותב כי החוק מדגים את היכולת של המתמטיקה למצוא תבניות נסתרות ביקום ולגלות פשטות החבויה במורכבות של היקום. אני לא כל כך מסכים עם האמירה הזו. החוק של ניוטון הוא לדעתי מודל פשוט מאוד של היקום שנגזר מתוך תצפיות. אין עוררין על כך שהמודל הזה הוא ציון דרך סופר חשוב במדע, אבל התצפיות על היקום הובילו לתיאור המתמטי ולא להיפך. וכפי שהתברר לאחר זמן לא ארוך, כשמנסים לבנות מודל מתמטי שיתאר את כוחות המשיכה ההדדיים בין 3 גופים, המתמטיקה לא כל מצליחה לעשות את זה, בטח לא בקלות ובפשטות כמו החוק של ניוטון.

שנית,  סטיוארט כותב במקום אחד כי ניוטון פיתח את החוק/מודל שלו מתוך חוקי קפלר, ובמקום אחר הוא כותב כי ניוטון גזר את חוקי קפלר מתוך חוק הכבידה שלו. זה לא מסתדר לי ביחד. כפי שאני הבנתי מהציטוטים שסטיוארט הביא מדברי ניוטון, הטענה הנכונה היא הטענה הראשונהת ואזכיר את אמירתו של ניוטון עצמו כי הרחיק ראות מכיוון שעמד על כתפי ענקים.

ושוב: מה עם איינשטיין? איך אפשר לדבר על כבידה בלי להזכיר את איינשטיין?

המשוואה של הפרק החמישי אומרת כי i בריבוע שווה למינוס אחד.

זו בהחלט נקודת התחלה טובה לתיאור של המספרים המרוכבים. הבעיה הראשונה: זו לא המשוואה ששינתה את העולם בהקשר הזה, אלא משוואה אחרת. מצד שני, המשוואה הזו הרבה יותר פשוטה, ולכן אני לא מבקר את סטיוארט בעניין הזה.

סטיוארט מתחיל בתיאור של איטליה בתקופת הרנסנאס ואז עובר למשוואות אלגבריות. הוא חוזר אחורה בזמן אל הבבלים שידעו לפתור משוואות ריבועיות, ועובר לתקופה מאוחרת יותר בה החלו הניסיונות לפתור משוואות יותר מסובכות, כאלה שמכילות גם איקס בשלישית. הוא מציין מספר מתמטיקאים, בעיקר ערבים, שמצאו פתרונות חלקיים, כולל אל-ח’ואריזמי שמשמו נגזרה המילה אלגוריתם, ומקור המילה אלגברה הוא מכותרת ספרו “חיסאב אל-ג’אבר ואל-מוקאבלה” שיצא לאור בשנת 830. לבסוף חוזר אל איטליה והרנסנאס, ועורך לנו היכרות עם ג’ירולמו קרדאנו, איש רב פעלים ומעללים.

קרדאנו מופיע בסיפור כי הוא גילה/מצא את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה השלישית, ובמשותף עם תלמידו לודוביקו פרארי מצאו את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה הרביעית, כלומר משוואה שמופיע בה X בחזקת 4.

הנוסחה של הפתרון הכללי של המשוואה מהמעלה השלישית היא זו ששינתה את העולם. כמו נוסחת הפתרון למשוואה הריבועית, גם הנוסחה הזו כללה בתוכה הוצאת שורשים. אבל, לפעמים היה צורך להוציא שורש ממספר שלילי, וזאת כידוע בעיה.

פרארי פתר את הבעיה בכך שהתעלם ממנה. שורש של מספר שלילי? נו פרובלם, נמשיך כאילו כלום. מה איכפת לי אם יש שורש של מינוס ארבע עשרה? נמשיך הלאה ובסוף הוא יצטמצם, ומקבלים תשובה נכונה.

כאן נפתח הפתח אל המספרים המדומים, ומהם מגיעים אל המספרים המרוכבים. סטיוארט מתאר איך הרחיבו את המתמטיקה כדי לכלול בתוכה את המספרים האלה, ועל הדרך מספר כי e בחזקת i כפול π שווה למינוס 1. זוהי נוסחה מדהימה בלי כל ספק, אולי הנוסחה הכי יפה בכל המתמטיקה. סטיוארט מנסה להסביר איך מגיעים לשוויון הזה, אבל כושל.

בהמשך, סטיוארט אומר בקצרה שבעזרת מספרים מרוכבים אפשר לפתור משוואות דיפרנציאליות בקלות (יחסית, הכל יחסי) ואת ההשפעה העצומה של זה על התפתחות הטכנולוגיה. הוא גם מזכיר כמה אנשים שנתנו פרשנות גיאומטרית למספרים המרוכבים, כמו ואליס וגאוס, מסביר איך המילטון פיתח את ההגדרה הפורמלית, וזהו.

מה???

הנה כמה דברים שחסרים. קודם כל, זוכרים את הפרק על משפט פיתגורס? אם כבר מדברים על הרחבות של מערכת המספרים, מה עם המספרים האי רציונליים? תהיתי כבר אז, וחשבתי שהם ייכנסו במקום אחר. הפרק הזה, שבו מדברים על פתרון משוואות אלגבריות בעזרת שורשים יכול להיות מקום מצויין לדון בהם. אבל מספרים אי-רציונליים – יוק.

הנה עוד יוק אחד: סטיוארט מציין כי קארדנו ופרארי לא ידעו לפתור משוואה כללית מהמעלה החמישית, ומציין ביובש כי פיתרון כזה לא קיים, וזהו. לדעתי היה מקום לומר עוד כמה מילים או פסקאות בנושא, ולפחות להזכיר את אווריסט גלואה ואת נילס אבל. סטיוארט לא חשב שזה חשוב או מעניין.

היוק השלישי: איך אפשר לכתוב פרק שלם על המספרים המרוכבים ולהזכיר את גאוס בפחות מרבע משפט? הוא מתעלם לחלוטין מהתרומה העצומה של גאוס לתחום. המשפט  היסודי של האלגברה, מישהו?

לדעתי סטיוארט נכשל בפרק הזה בגדול.

הפרק השישי עוסק בנוסחת הפאונים של ליאונרד אוילר: לכל פאון, מספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים שווה ל-2.

אסביר: פאון הוא גוף הנדסי שמורכב ממשטחים, למשל קובייה או פירמידה.

קחו קובייה ותבדקו: לקובייה יש 6 פאות (כלומר 6 צדדים). כל שתי פאות מופרדות על ידי צלע, ובסך הכל יש לקובייה 12 צלעות. הצלעות נפגשות בקודקודים. לקובייה יש 8 קודקודים. 6 פחות 12 ועוד 8 שווה ל-2.

זה נכון גם לפירמידה. לפירמידות במצרים יש בסיסים מרובעים, ולכן לכל פירמידה יש 5 פאות: הבסיס המרובע ועוד 4 משולשים. קל להשתכנע כי לפירמידה יש 8 צלעות: 4 צלעות הבסיס, ועוד ארבע צלעות שמחברות את בסיס הפירמידה לקודקוד שלה. לסיום, לפירמידה יש 5 קודקודים: 4 בבסיס ועוד אחד בראש הפירמידה. 5 פחות 8 ועוד 5 שווה ל-2. קסם! את הנוסחה הזו הוכיח כאמור אוילר.

סטיוארט מסביר את רעיון ההוכחה, ואני אתרכז רק בפרט אחד, אבל חשוב: הרעיון הוא שלוקחים קובייה או פירמידה שעשויים מפלסטלינה, מכווצצים אותה לצורה של כדור או משהו דומה (ואיכשהו הפאות, הצלעות והקודקודים נשארים מסומנים). מה שחשוב הוא שפעולת הכווצוץ היא רציפה: אסור לקרוע את הפלסטלינה, וגם אסור להדביק קצה אחד של הגוש לקצה אחר. תוך כדי הכווצוץ מבצעים כל מיני פעולות על הגוש, ומסירים צלעות או קודקודים באופן כזה שמספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים לא משתנה. למשל, אם הכווצוץ ידביק שני קודקודים זה לזה, אז שני הקודקודים יתמזגו לקודקוד אחד, אבל גם הצלע שמחברת אותם תיעלם, ולכן ההפרש בין מספר הצלעות ומספר הקודקודים לא משתנה.

ועכשיו יש טוויסט בעלילה: קחו מסגרת של תמונה. גם לה יש פאות וצלעות וקודקודים, אבל אם תחשבו את מספר הפאות של המסגרת פחות מספר הצלעות שלה ועוד מספר הקודקודים שלה לא תקבלו 2 אלא 0. הסיבה לכך היא שבמסגרת יש חור.

וכך, בשישה ציוצים, או בכמה דפים בספר, קיבלתם את ה-א”ב של הטופולוגיה. עד כאן סטיוארט עשה עבודה מצויינת. אבל כרגיל, הוא לא יודע לפרוש בשיא, וכותב כמה עמודים טובים (12 עמודים בעצם, ספרתי) של כניסה לפרטים טכניים, בשפה לא מובנת לאדם פשוט כמוני. אני אחסוך מכם את המעט שקראתי מתוך העמודים האלה.

לסיום, סטיוארט מנסה להסביר למה המשוואה הזו שינתה את העולם. האמת, המשוואה הזו שינתה בעיקר את עולם המתמטיקה בהיותה אבן היסוד לתחום הטופולוגיה. הוא מציין, ובצדק, שלטופולוגיה אין יישומים ישירים, אבל אומר משהו על פיזיקת קוונטים, ומבנה הד.נ.א.

הפרק השביעי עוסק, או אמור לעסוק, בהתפלגות הנורמלית. אני מניח שאתם מכירים אותי מספיק טוב כדי שלא תופתעו אם אומר לכם שהפעם באמת התעצבנתי. לכן הסקירה של הפרק הזה תהיה ארוכה, למרות שהתאפקתי מאוד כשכתבתי את הטיוטה לציוצים בטוויטר. מתנצל מראש.

בעיה ראשונה: בעמוד הראשון של כל פרק מופיעה המשוואה שהפרק אמור לדון בה, עם כל מיני הסברים. המשוואה שסטיוארט מציג בפרק הזה היא פשוט שגויה. לא נכונה מבחינה מתמטית. אין שום דרך לייפות את זה. השגיאה נמשכת גם בטקסט: הוא מבלבל בעקביות בין המונחים הסתברות והתפלגות (וגם צפיפות, למרות שהוא לא מזכיר את המונח).

אבל זאת לא סיבה להפסיק לקרוא כמובן. סטיוארט החליט להקדיש את כל הפרק הזה להסתברות וסטטיסטיקה, וכרגיל הוא מתחיל בסקירה היסטורית מבולבלת. הוא קופץ מקרדאנו אל לפלאס, יעקב ברנולי, קטלה, דה-מואבר, לז’נדר (תיכף ארחיב עליו), פרמה ופסקל, וסליחה אם שכחתי מישהו. אה, כן, שכחתי את גאוס. תיכף נגיע גם אליו.

נתחיל את סקירת הפרק בלז’נדר. סטיוארט מציין, ובצדק, שלז’נדר הוא שפירסם ראשון את שיטת הריבועים הפחותים, ונותן לו את כל הקרדיט על כך. מה עם גאוס? סטיוארט לא מתלהב ממנו. האמת היא שלז’נדר פירסם טכניקה, ללא כל הצדקה למה השיטה שלו עדיפה על שיטה אחרת.

גאוס הוא זה שקשר את שיטת הריבועים הפחותים להתפלגות הנורמלית, והראה מדוע זוהי השיטה האופטימלית להתאמת קו ישר לתצפיות; קוראים לזה משפט גאוס-מרקוב. אנחנו גם יודעים בוודאות כי גאוס הכיר את שיטת הריבועים עוד לפני שלז’נדר פירסם את המאמר שלו, אבל זה לא משנה לסטיוארט. ולמה בכלל קוראים להתפלגות הנורמלית גם בשם התפלגות גאוסיאנית? סטיוארט ממלמל משהו.

סטיוארט עובר לדבר על סיר פרנסיס גאלטון ועל עבודתו בחקר התורשה. כאן הוא דווקא עושה עבודה די טובה, ומתאר בפירוט את מחקריו של גאלטון שהובילו לעדויות האמפיריות הראשונות על תיאוריית האבולוציה של דודו צא’רלס דארווין. הוא מתאר את תופעת הרגרסיה לממוצע ואת הפיתוח הראשוני של מקדם המתאם. יש לו פה ושם אי דיוקים קלים, אבל בסך הכל זה בסדר.

עכשיו הגיע הזמן לסלט. סטיוארט מחליט לדבר על בדיקת השערות, וזורק לתוך הסלט הזה את רונלד פישר, קרל פירסון ובנו אגון פירסון, וכמובן גם את ג’רזי ניימן. אז קודם כל, פירסון האב לא שייך לכאן. אדרבא. הוא התנגד בעקביות לגישה של פישר לבדיקת מובהקות. מי שכן שייך אבל לא מוזכר הוא ויליאם סילי גוסט (הידוע בכינוי student) , הראשון שהגה את התובנה של בדיקת המובהקות, ועבודתו הייתה הבסיס לעבודה של פישר.

סטיוארט מנסה ניסיון אומלל להסביר מה זה בעצם בדיקת השערות. הוא מערבב את הגישה של פישר עם הגישה (המנוגדת) של ניימן ופירסון, ואני חושש שההסבר היחיד לכל הסלט הזה הוא שסטיוארט פשוט לא מבין כאן על מה הוא מדבר. אני לא מאשים אותו. זה קשה. אבל הוא היה יכול אולי להתייעץ עם מישהו שכן מבין. מצד שני, מכיוון ההסבר שלו כל כך מבולבל ומסורבל אני מעריך שאין סיכוי שמישהו יקרא את זה ולא יתייאש, ולכן לא ייגרם נזק.

לאחר הסלט, מה יותר מתאים לקינוח מאשר רגל קרושה? ב-1994 יצא לאור ספר בשם “The bell curve”  שביטא עמדות גזעניות בעזרת ניתוחים סטטיסטיים שגויים ומוטים^[4]. סטיוארט מחליט להקדיש לספר האומלל הזה לא פחות מתשעה עמודים, תוך כדי התפזרות לכל מיני כיוונים שלא קשורים בכלל לסטטיסטיקה, או להתפלגות הנורמלית.

מה חסר בפרק הזה? הרבה, אבל אני רוצה להתעכב על דבר אחד חשוב באמת: סטיוארט כותב בתחילת הפרק כי ההתפלגות הנורמלית מהווה מודל טוב להרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי, וזה נכון.

אבל סטיוארט שוכח לציין כי יש הרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי שההתפלגות הנורמלית לא מהווה מודל טוב עבורם. המשבר הפיננסי של 2008 הוא דוגמה טובה, אם מכירים אותה כמובן. הערכת הסיכונים של כל בנקי ההשקעות השתמשו במודל שהתבסס על ההתפלגות הנורמלית, אבל ההתפלגות הייתה התפלגות קושי. אופס.

הדבר שהכי מטריד אותי בעקבות קריאת הפרק הזה הוא עד כמה ניתן לסמוך על סטיוארט בהמשך הקריאה. ככל שהספר יתקדם יהיו בו נושאים שאני פחות ופחות מכיר ומבין. האם אחרי שאקרא את הפרקים האלה אבין משהו בנושאים שלהם? מושגי יסוד? עד כמה הם אמינים? אני ממש לא יודע. ולכן החלטתי להפסיק כאן את הקריאה, והסקירה שלי הגעה לסופה.

---

הערות

1. ניתן לראות את תפקידם החשוב של הסרגלים האלה באחת הסצינות הדרמטיות של הסרט “אפולו 13” [↩]
2. הקשר לאוניבסיטת ברקלי אינו מקרי כלל וכלל. האוניברסיטה והעיר בה היא שוכנת נקראות על שמו [↩]
3. לא לבלבל בין o ובין 0 ! [↩]
4. מצטער, אבל אני לא נותן לינק לתועבה הזו [↩]

היום, 15.7.2019, מציינים את יום הולדתו ה-110 של הסטטיסטיקאי ויליאם ג. קוקריין.

קוקריין נולד למשפחה מהמעמד הבינוני הנמוך בעיירה ראתרגלן בסקוטלנד. בבית הספר הצטיין בלימודים, וכך זכה במילגות ללימודים  באוניברסיטת גלזגו, תחילה לתואר ראשון, ולאחר מכן למד לתואר שני במתמטיקה בהדרכת ג’ון וישארט.

למרות שלא השיג תואר דוקטור, התקבל לעבודה בתחנת המחקר החקלאי ברותהאמסטד, בהמלצתו של פרנק ייטס. במהלך שהותו בתחנת המחקר בין השנים 1934 ל-1939 למד אצל רונלד פישר שנתן הרצאות בסטטיסטיקה לחוקרים, ועסק במחקר יישומי, עם דגש על תכנון ניסויים.

ב-1939 עבר לארצות הברית, שם עסק בהוראה ומחקר במספר אוניברסיטאות: איובה סטייט, פרינסטון, המכון לסטטיסטיקה של צפון קרוליינה ואוניברסיטת ג’ונס הופקינס. ב-1957 עבר לאוניברסיטת הרווארד, שם התבקש להקים מחלקה חדשה לסטטיסטיקה. הוא נשאר שם עד פרישתו לגימלאות בשנת 1976.

במהלך הקריירה שלו שיתף פעולה עם סטטיסטיקאים רבים, וביניהם פרנק ייטס, פרדריק מוסטלר, סם וילקס, וגרטרוד מרי קוקס. קוקריין וקוקס כתבו יחד ספר רב השפעה על תכנון ניסויים. ספר רב השפעה נוסף שכתב קוקריין עוסק בשיטות דגימה. בין היתר, הוא היה מעורב במחקרים אודות ההתנהגות המינית האנושית בצוותא עם אלפרד קינסי, השפעת הקרינה על ניצולי הירושימה, חיפוש החיסון למחלת הפוליו, ניתוחים לטיפול באולקוס. ביחד עם חוקרים נוספים עסק בהשפעת העישון על בריאות הציבור.  מחקרים אלה הובילו להכרה כי עישון הוא גורם סיכון משמעותי למחלת סרטן הריאות. למרות שלא היה דוקטור, הוא היה מדריך הדוקטורט של יותר מ-40 סטטיסטיקאים, הידוע שבהם הוא דון רובין.

קוקריין פיתח מספר שיטות סטטיסטיות הנקראות על שמו. הידועה  שבהן היא מבחן קוקראן-מאנטל-האנזל.

קוקריין זכה להכרה רבה בזכות תרומתו למדע הסטטיסטיקה. הוא נבחר לחבר כבוד באגודה המלכותית לסטטיסטיקה, וב-1967 זכה במדליה על שם וילקס. הוא היה נשיא המכון לסטטיסטיקה מתמטית, נשיא האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה ונשיא האגודה הבינלאומית לביומטריקה.

קוקריין נפטר ב-1980, מספר חודשים לפני יום הולדתו ה-70.

 

לקריאה נוספת:

• William G. Cochran (1909–1980), AMSTAT News, September 22, 2016
• William Gemmell Cochran, J J O’Connor and E F Robertson, MacTutor History of Mathematics archive
• William Gemmell Cochran, The Mathematics Genealogy Project

רשימה זו נכתבה בעקבות המפגש האחרון של קבוצת הדיון בהיסטוריה של הסטטיסטיקה שעסקה בניסויים קליניים. אציין כי אני הוא שהעלה את הנושא לדיון, והייתי אחראי לאיסוף והפצת חומר הקריאה למפגש. חלק מהחומרים שנקראו כבר סקרתי בעבר בהרצאה “מהלימון ועד הקופקסון” שנתתי במסגרת “ספקנים בפאב” (ואפשר לצפות בהקלטתה על ידי לחיצה על הקישור). רשימה זו כוללת סקירה היסטורית קצרה של חמשת הניסויים הקליניים שנדונו.לאחר הסקירה ההיסטורית שנתתי נערך דיון מעניין שעסק בהיסטוריה ובפילוסופיה של המדע, ובהשפעות של בייקון ומיל על התפתחות השיטה המדעית והשתקפותם בתהליך התפתחות הניסויים הקליניים. למרבה הצער, לא הצלחתי לארגן את ההערות שרשמתי לעצמי בזמן הדיון לטקסט קוהרנטי שאני יכול לפרסם כאן.

הניסוי הראשון הוא ניסוי הצפדינה של ג’יימס לינד, שנחשב בעיני רבים לנקודת ההתחלה של הרפואה המודרנית. זהו הניסוי הקליני המבוקר המתועד הראשון^[1]. לינד ערך ניסוי לבדיקת טיפולים אפשריים למחלת הצפדינה, גורם המוות העיקרי בקרב מלחים עד סוף המאה ה-18.^[2]. בניסוי שנערך בהפלגה קצרה יחסית בים התיכון בשנת 1749, חילק לינד את 12 המלחים שחלו בעת ההפלגה לשש קבוצות שוות. כולם שוכנו באותו מקום בספינה וקיבלו תפריט זהה, שנבדל רק בטיפול הניסיוני שניתן להם. הטיפולים היו: שתיית ליטר סיידר ביום, שתיית 25 טיפות חומצה גופרתית 3 פעמים ביום, שתיית שתי כפות חומץ 3 פעמים ביום, שתיית חצי ליטר מי ים ביום, משחה שהוכנה משום, חרדל, צנון ושרף, או  אכילת שני תפוזים ולימון ביום. המטופלים בפירות הדר החלימו כליל, ובמצבם של המטופלים בסיידר חל שיפור קל. ההשוואה בין הקבוצות אפשרה ללינד להעריך את יעילותו של כל טיפול ביחס לאלטרנטיבות הטיפוליות האחרות.

ציון הדרך הבא הוא סדרת הניסויים של וויליאם ווטסון לבחינת טיפולים להפחתת הסיכון במחלת האבעבועות השחורות. כבר במאה ה-11 היה ידוע כי מי שחלה במחלה זו ושרד לא יחלה בה שוב. עקב כך התפתחה פרקטיקה של מעין חיסון למחלה על ידי “הדבקה קלה” של אנשים בריאים במחלה. עם זאת, בין הרופאים היו מחלוקות בדבר אופן ההדבקה האופטימלי ובדבר טיפול נלווה להדבקה. ווטסון ערך סדרה של שלושה ניסויים קליניים בבית החולים לילדים בלונדון בשנת 1767^[3]. המתודולוגיה שלו הייתה דומה לזו של לינד: הילדים המשתתפים בכל ניסוי חולקו לקבוצות, ובכל קבוצה בוצעה בנבדקים “הדבקה מבוקרת” על ידי שימוש בשלפוחית משלב מוקדם של המחלה. לכל קבוצה ניתן טיפול נלווה אחר שהיה אמור להפחית את הסיכון בהדבקה. בתכנון הניסויים של ווטסון יש מספר חידושים לעומת הניסוי של לינד. ווטסון דאג כי בכל קבוצת טיפול יהיה מספר שווה של בנים ובנות, כדי למנוע הטיה אפשרית למקרה שהתגובה לטיפול שונה בין המינים. כמו כן, קבוצה אחת בכל ניסוי לא קיבלה טיפול נלווה אלא שימשה כקבוצת ביקורת. והחשוב מכל: ווטסון היה הראשון שהנהיג מדידה כמותית של התוצאות. המדד להצלחת הטיפול היה מספר האבעבועות שהופיעו בכל ילד שהשתתף בניסוי. הוא אף ערך ניתוח סטטיסטי בסיסי ופרסם את ממוצע מספר השלפוחיות לילד בכל קבוצה. מסקנתו של ווטסון הייתה כי הטיפולים המקובלים להפחתת הסיכון, שכללו כספית, צמחים שונים ומיני משלשלים, לא הביאו להקלה בחומרת ההדבקה בהשוואה למודבקים שלא קיבלו טיפול נלווה.

נקודת הציון המשמעותית הבאה היא ניסוי החלב במחוז לאנרקשיר בסקוטלנד בראשית המאה ה-20^[4]. מטרת הניסויים היה לבדוק האם הזנה יומית בחלב משפרת את הגדילה של ילדים (וילדות) בהשוואה לילדים שלא שתו חלב על בסיס יומי, וכן לבדוק האם יש הבדל בשיעורי הגדילה בין ילדים שהוזנו בחלב טרי ובין אלה שהוזנו בחלב מפוסטר. הניסוי, שנערך ב-1930 היה רחב היקף וכלל בסך הכל כעשרים אלף ילדים בגילאי 6-12, שלמדו ב-67 בתי ספר. כ-5000 הוזנו בחלב טרי, כ-5000 בחלב מפוסטר, וכ-10000 ילדים שויכו לקבוצת הביקורת. גובהם ומשקלם של הילדים נמדדו בתחילת הניסוי (פברואר 1930) ובסופו (יוני 1930). המסקנה הייתה כי תזונה יומית של חלב משפרת את גדילת הילדים, וכי אין הבדל משמעותי בין חלב טרי לחלב מפוסטר. כמו כן הסיקו החוקרים כי אין השפעה לגיל הילדים על האפקט של קצב הגדילה.

ניסוי זה נכנס לרשימה שלי דוקא בשל הביקורת שהוטחה בו. עם המבקרים נמנו פישר ובארטלט, אולם את הביקורת המקיפה ביותר הטיח “סטודנט”, הלא הוא ויליאם סילי גוסט. במאמר שפרסם בכתב העת ביומטריקה^[5] קבע למעשה סטודנט כללים שקיומם הכרחי להבטחת התקפות של ניסוי קליני:

• סטודנט מעיר כי בכל בית ספר בניסוי הוזנו הילדים המטופלים בחלב טרי או בחלב מפוסטר, אך לא הייתה נציגות לשתי הקבוצות יחד באף בית ספר. עקב כך, אין אפשרות להשוות באופן ישיר בין חלב טרי ומפוסטר, עקב הבדלים בין בתי הספר השונים.
• שיוך התלמידים בניסוי לקבוצת הטיפול (הזנה בחלב או ביקורת) נקבע על ידי המורים בכל כיתה ולא באופן רנדומלי. עקב כך, נוצר מצב בו התלמידים בקבוצת הביקורת היו גדולים יותר במימדי גופם לעומת התלמידים בקבוצות הטיפול.
• המדידות נערכו בפברואר ויוני. בגדי חורף הינם כבדים יותר מבגדי אביב/קיץ, והבדל המשקל בין הבגדים קיזז את ההבדלים במשקל האמיתי. החוקרים הניחו כי ההבדל במשקל הבגדים יהיה דומה בין הקבוצות, אולם סטודנט טען כי יש ההטיה בחלוקת התלמידים לקבוצות מושפעת ממצבם הכלכלי – תלמידים ממשפחות אמידות הוכללו בדרך כלל בקבוצות הביקורת – הביאה לכך שמשקל בגדי החורף של קבוצת הביקורת יהיה גבוה יותר.

סטודנט הסיק לכן כי התוצאות שהתקבלו לא תומכות בטענה כי אין הבדל בין תזונה בחלב טרי ותזונה בחלב מפוסטר, וגם כי אי אפשר להסיק שאין קשר בין הגיל ובין השינוי בקצב הגדילה. הוא מזכיר גם את הניתוח של פישר וברטלט^[6] המראה כי לחלב טרי יתרון על חלב מפוסטר באשר לקצב הגדילה.

סטודנט הביא גם מספר המלצות, ובהן הצעה לערוך את הניסוי באוכלוסיה של תאומים, כאשר אחד התאומים יוזן בחלב והשני ישמש כביקורת (או שאחד מהם יוזן בחלב טרי והשני בחלב מפוסטר לצורך השוואה בין שני סוגי החלב). אני סבור כי תכנון כזה לא מקובל בימינו מבחינה אתית, המלצה יותר מעשית היא לנתח מחדש את הנתונים שנאספו כדי לנסות להתגבר על ההטיה שנוצרה בהקצאה הלא רנדומלית לקבוצות טיפול וביקורת. ההמלצה האוטינטיבית שלו היא לערוך מחדש את הניסוי, תוך כדי הקפדה על רנדומיזציה, לקיחה בחשבון של הטיה עקב משקל הבגדים שלובש כל תלמיד, ותכנון הניסוי כך שבכל בית ספר יהיה ייצוג לשלוש קבוצות הטיפול.

ההמלצה העיקרית של סטודנט, להקפיד על הקצאה רנדומלית של המטופלים לקבוצות, לא התקבלה מייד, שכן רעיון זה נתפש בעיני חלק מהקהילה המדעית כ-“לא אתי”. יש לציין כי עקרון הרנדומיזציה רק הוצג על ידי פישר ב-1923, ועדיין לא  הייתה הכרה מספקת בחשיבותו. הניסוי הקליני הראשון עם הקצאה רנדומלית לקבוצת טיפול ולקבוצת ביקורת נערך רק ב-1947, והוא הרביעי ברשימה שלי. מדובר בניסוי לבדיקת היעילות של אנטיביוטיקה מסוג סטרפטומיצין לטיפול בדלקת ריאות^[7]. עקב המחסור באנטיביוטיקה, לא הייתה ברירה אלא להחליט על ידי ביצוע “הגרלה” בין החולים מי יקבל טיפול ומי לא, וכך התגבר תכנון הניסוי על המחסום האתי. עם זאת, הניסוי לא היה כפול סמיות (Double Blind), ולא נעשה שימוש בפלסבו כטיפול דמה לקבוצת הביקורת,^[8] וזאת למרות שכבר היה תקדים לקיום ניסוי כזה: הניסוי הקליני הראשון שנערך בשיטת הסמיות הכפולה נערך כבר בשנת 1943 לבדיקת היעילות של פניצילין כטיפול להצטננות. החולים המטופלים לא ידעו האם הם שויכו לקבוצת טיפול ואכן טופלו בפניצילין, או שמא שויכו לקבוצת הביקורת וטופלו בפלסבו. גם הרופאים שטיפלו בחולים לא ידעו מהו הטיפול שקיבל כל חולה. תכנון כזה מונע הטיה שעלולה לנבוע מדיעה קדומה של הרופאים לגבי יעילות הטיפול, ולמעשה מכריח אותם לתת חוות דעת אובייקטיבית לגבי המצב הרפואי של החולה המטופל. עם זאת, בניסוי זה לא נערכה הקצאה רנדומלית של החולים לטיפול או ביקורת.

הויכוח בדבר חשיבות העקרונות שהתוו סטודנט ופישר הסתיים סופית בניסוי לבדיקת יעילות החיסון של סאלק נגד נגיף הפוליו, שנערך ב-1954^[9]. למעשה נערכו שני ניסויים. הניסוי שבראשו עמד הסטטיסטיקאי פול מאייר היה ניסוי כפול סמיות בהקצאה רנדומלית, והוא הראה ירידה של 70% במקרי השיתוק עקב פוליו בקבוצת הטיפול לעומת קבוצת הביקורת. גודל המדגם הגדול (כ-400 אלף ילדים בגילאי 6-8) סייע לביסוס התקפות החיצונית של התוצאות. במקביל נערך ניסוי נוסף, בו הקצאת הטיפול (חיסון או פלסבו) לא הייתה רנדומלית. 725,000 תלמידי כיתות א ו-ג שהשתתפו בניסוי שימשו כקבוצת ביקורת, ואליהם צורפו גם 125,000 ילדים מכיתות ב’ שהוריהם סירבו לחיסון. נתוניהם הושוו עם הנתונים של 225,000 תלמידי כיתות ב’ שהוריהם הסכימו לחסנם. סה”כ השתתפו בניסוי מעל מליון תלמידים, כמעט פי 3 מגודל הניסוי של מאייר. ניסוי זה הראה ירידה של 44% בלבד בשיעור מקרי השיתוק עקב פוליו, ואולם התברר כי האפקט הוקטן עקב הטיה הקשורה למצב הסוציו-אקונומי של קבוצת הטיפול. ילדי קבוצת הטיפול הגיעה ממשפחות אמידות יותר, ובשכבת אוכלוסיה זו שיעור מקרי השיתוק עקב פוליו היה גבוה יותר מכיוון ששיעור הילדים המחוסנים טבעית (חלו בפוליו באופן קל והחלימו ללא תיעוד) הינו נמוך יותר עקב רמת הסניטציה הגבוהה יותר בסביבתם. המקרה של ניסוי הפוליו הוכיח כי גודל המדגם אינו בהכרח הפרמטר החשוב ביותר בניסוי הקליני^[10], וכי רק הקצאה רנדומלית וסמיות כפולה מבטיחים את התקפות הפנימית של הניסוי.

---

הערות

1. 1. אם מתעלמים מפרק א’ של ספר דניאל [↩]
2. 2. 2 מתוך כל 3 מלחים לקו במחלה ומתו. במלחמת 7 השנים בין אנגליה לצרפת, 1512 מלחים אנגלים נהרגו בקרבות, כ-100,000 מתו מצפדינה. [↩]
3. 3. Boylston, A. W. (2002). Clinical investigation of smallpox in 1767.New England Journal of Medicine, 346(17), 1326-1328. [↩]
4. 4.  Leighton G, McKinlay P (1930). Milk consumption and the growth of school-children. Department of Health forScotland, Edinburgh and London: HM Stationery Office. [↩]
5. 5. Student (1931). The Lanarkshire Milk Experiment. Biometrika 23:398-406. [↩]
6. 6. Fisher RA, Bartlett S (1931). Pasteurised and raw milk. Nature 127:591-592.  [↩]
7. 7. Medical Research Council Streptomycin in Tuberculosis Trials Committee. (1948). Streptomycin treatment for pulmonary tuberculosis. BMJ, 2, 769-82. [↩]
8. 8. Hart, P. D. A. (1999). A change in scientific approach: from alternation to randomised allocation in clinical trials in the 1940s.BMJ, 319(7209), 572-573. [↩]
9. 9. Meier, Paul. “Polio trial: an early efficient clinical trial.” Statistics in medicine 9.1‐2 (1990): 13-16.  [↩]
10. 10. ראו גם את הרשימה בחירות 1936 – המנצח שלא היה, שעסקה במקרה מפורסם אחר בו מדגם גדול לא הצליח לחזות את המנצח בבחירות לנשיאות ארצות הברית עקב הטיה בתכנונו [↩]

המפגש השני של קבוצת הדיון בהיסטוריה של הסטטיסטיקה עסק בתולדות ההתפלגות הנורמלית. הדיון הסתמך בעיקר על פרק 13 מספרו של איאן האקינג, “אילוף הגורל”^[1], ובמידה פחותה על מאמרה של לוריין דאסטון^[2], שעקבה אחרי תולדות ההתפלגות בין 1770 ל-1870. עם זאת, רשימה זו הולכת בדרך שהתוותה דאסטון. בכתיבת הרשימה נעזרתי גם בפרק  2 מספרו של סטיגלר^[3].

ההתפלגות הנורמלית, אותה התפלגות פעמונית מפורסמת, הופיעה ככל הנראה לראשונה כאשר המתמטיקאי הצרפתי-הוגנוטי אברהם דה-מואבר חקר את התפלגות מספר ה-“ראשים” המתקבלים בסדרה של הטלות מטבע, כאשר מספר ההטלות הולך וגדל. ב-1733 הוכיח דה-מואבר כי כאשר מספר ההטלות שואף לאינסוף, אז ההתפלגות הולכת ומתקרבת בצורתה לאותו פעמון מיוחד:

אותו פעמון הופיע במפתיע במקום אחר לגמרי – מדידות אסטרונומיות. מי שגרם למהומה הוא האסטרונום הדני טיכו ברהה, שבסוף המאה ה-16 החליט לבצע מדידות מרובות של גרמי שמיים והמרחקים בינם. תוצאות המדידות לא היו זהות. בכך הראה טיכו לא רק כי קיימת אפשרות לטעות במדידה, אלא אף כי טעויות המדידה הן אולי בלתי נמנעות. נעשו נסיונות לשפר את איכות המדידה ודיוק המכשירים, אך הבעיה נשארה. עד אמצע המאה ה-18 הצטברו ערימות של מדידות אסטרונומיות וגיאודזיות, והתגלע ויכוח עז בין האסטרונומים מה לעשות בקשר לכך: האם לקחת ממוצע של התצפיות, לבחור את המדידה ה-“טובה ביותר”, או לפטר את עוזר המחקר שחישוביו היו שונים במיוחד מאלה על עמיתיו?

המתמטיקאי הצרפתי פייר סימון לפלס הציע ב-1810 פתרון שיכונה בימינו “בייסיאני”^[4] – הוא הניח כי לטעויות המדידה יש התפלגות מסויימת, ובהתאם לכך בנה פרוצדורה לצירוף המדידות כך שטעות המדידה הכוללת תהיה מינימלית. יותר מכך, לפלס הראה כי אם התפלגות טעויות המדידה היא ההתפלגות הפעמונית, אז ממוצע המדידות יביא למינימום את טעות המדידה הכוללת. שנה לפני כן, נקט קרל פרידריך גאוס בגישה הפוכה: הוא הניח כי הדבר הנכון הוא לחשב את ממוצע המדידות, כלומר ממוצע המדידות יביא למינימום את טעות המדידה הכוללת, ועל סמך הנחה זו חישב ומצא כי התפלגות טעויות המדידה צריכה להיות אותה התפלגות פעמונית. ההתפלגות הפעמונית, שהופיעה לראשונה בהקשר של משחקי מזל והטלות מטבע, תפסה לעצמה מקום מרכזי במדע האסטרונומיה. גאוס אף זיהה את הקשר בין ההימורים והטלות המטבע ובין טעויות המדידה האסטרונומיות. הוא הבחין בין טעויות שיטתיות, בהן ניתן לטפל ולהקטין למינימום את השפעתן, ובין טעויות מקריות (“chance errors”) שמקורן בחושים לא חדים דיים, תנאים אטמוספריים וכדומה. גאוס וגם לפלס סברו כי יש מספר רב של גורמים לטעויות המקריות האלה, חלקם מטים את המדידה כלפי מעלה וחלקם כלפי מטה. במובן מסויים, לדעתי, הם הבינו את רעיון משפט הגבול המרכזי. עם זאת, הקישור בין ההתפלגות הנורמלית כגבול של תוצאות הימורים/הטלות מטבע, ובין התפלגות טעויות המדידה, נעשה עדיין באופן פורמלי בלבד, על ידי זיהוי הפונקציה המשותפת לשניהם. ההתפלגות הנורמלית מכונה עד היום בשם “התפלגות לפלסיאנית” בצרפת, ובשם “התפלגות גאוסיאנית” בגרמניה ובקרב מספר בעלי מקצוע (פיזיקאים, מהנדסים ועוד), לציון תרומתם של שני מתמטיקאים אלה לגילויה.

האקינג מדגיש כי ההתפלגות הנורמלית הופיעה בהקשר של ערכים ממשיים: ההסתברות של מטבע ליפול על ראש, ההסתברות לנצח במשחק מזל מסויים, או המרחק בין שני כוכבים. ההתפלגות עצמה, והפרמטרים שלה (הממוצע וסטיית התקן) נותרו ערכים אידאליים, פרמטרים מתמטיים בלבד. האסטרונום הבלגי אדולף קטלה^[5] שינה את כללי המשחק. בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-19 פרסם קטלה סדרת מאמרים בה הראה כי עקומת ההתפלגות הנורמלית מופיעה גם כאשר מתבוננים בתופעות ביולוגיות וחברתיות. ב-1835 הוא הציג בפני העולם את “האדם הממוצע”, שבוהו 168 ס”מ, התגרש 0.17 פעמים והינו אב ל-2.2 ילדים. קטלה לא טען כי יש אדם כזה, בניגוד לגאוס ולפלס, שאמרו כי אם ממוצע המדידות למרחק בין שני כוכבים הוא 10 שנות אור, אז המרחק האמיתי קרוב מאוד לערך זה. קטלה תיאר באמצעות ערכים אלה מאפיינים כמותיים  של אוכלוסיה, בדיוק כמו שמוצא אתני, למשל, הינו מאפיין איכותי. קטלה הפך את הממוצע מפרמטר מתמטי לערך כמותי ממשי.

ב-1844 צעד קטלה צעד גדול נוסף קדימה: הוא שינה את התיאוריה של מדידת ערך ממשי לא ידוע עם טעויות מדידה, לתיאוריה של מדידת ערך מאפיין של אוכלוסיה. במלים אחרות, הוא הופך את השיטות הסטטיסטיות של תיאור וסיכום תצפיות לחוקים המתייחסים לתופעות בטבע ובחברה, ועוסקים במהותן ובגורמים להן. זה נעשה בארבעה צעדים:

1. קטלה מזכיר כי אם ימדוד את גובהו של אדם מסויים מספר פעמים, המדידות לא יהיו זהות עקב טעויות המדידה, ותתקבל התפלגות סביב הגובה האמיתי.
2. הוא משווה את הסיטואציה הקודמת למדידות חוזרות של ערך אסטרונומי, בה מתקבלת התקבלות “גאוסיאנית” סביב הערך האמיתי. אין הבדל עקרוני, טוען קטלה, בין מדידת גובהו של אדם ובין מדידת ערך אסטרונומי.
3. עכשיו מציע קטלה להתבונן באוסף של מדידות גובה, כאשר אנו לא יודעים האם מדובר במספר מדידות של אותו אדם, או במדידות של מספר אנשים. האם נוכל לדעת באיזה מקרה מדובר? לא נוכל לדעת מכיוון שהתפלגות המדידות החוזרות של אדם אחד היא אותה התפלגות כמו מדידות של אנשים שונים מתוך האוכלוסיה.
4. ומכיוון שקטלה הראה כי ההתפלגות הנורמלית מופיעה במגוון רחב של מדידות תכונות של אוכלוסיות, הוא מצדיק בכך את המעבר מדיון בערך ממשי בלתי ידוע (כמו גובה של אדם מסויים) לערך שמניחים כי הוא ממשי, המהווה תכונה אובייקטיבית של האוכלוסיה (הגובה הממוצע של האוכלוסיה, שאינו בהכרח ממוצע הגבהים של המדגם שנלקח).

האקינג מנסה להסביר את הלך המחשבה של קטלה שהוביל אותו למסקנה כי אכן ההתפלגויות המופיעות בטבע ובתופעות חברתיות היא אכן פעמונית/נורמלית. אני מודה שלא ירדתי לסוף דעתו של האקינג, ובודאי לא אוכל לתמצת כאן את ההסבר שלו. אומר רק כי למיטב הבנתי, האקינג טוען כי קטלה תפס גם הוא את משפט הגבול המרכזי באופן אינטואיטיבי בדומה ללפלס ולגאוס,^[6] ומקור ההתפלגות הוא בהצטברות של סיבות רבות בלתי תלויות אשר כל אחת מהן מושכת את הגובה של אדם אל מעל או מתחת לממוצע האוכלוסיה.

החוקר האנגלי פרנסיס גאלטון אימץ את שיטותיו של קטלה במחקריו שלו. גאלטון היה חובב נלהב של מדידות: באפריקה מדד את גופן של בנות השבטים ממרחק בעזרת סקסטנט, הוא אסף נתונים על גיל המוות כדי לבדוק האם כמרים, המבלים זמן רב בתפילות לאל חיים זמן רב יותר מאנשים “רגילים” (הם לא), והמציא מכשירים למדידת רמת השעמום בישיבות. בהיותו מושפע עמוקות מהתיאוריה של בן-דודו, צ’ארלס דארווין, כי מוטציות מקריות הן הכוח המניע של האבולוציה הביולוגית, התעניין גאלטון בפיזור, למעשה בסטיית התקן, של ההתפלגות, בניגוד לקטלה שהתעניין בממוצעים. עבודתו של גאלטון בפיתוח הרגרסיה ומקדם המתאם מתבססת במפורש על ההנחה כי למשתנים המעורבים יש התפלגות נורמלית, ולפי סטיגלר, מנסה ליישב בין הטענה של קטלה להומוגניות של האוכלוסיות (הניתנות לאפיון על ידי פרמטר בודד) ובין מגוון הסיבות המובילות לשונות בין פרטי האוכלוסיה.

גאלטון התעניין גם במדידת אינטליגנציה ובדרך בה היא עוברת בתורשה. אם גובה ומשקל של אדם מפולגים נורמלית, שאל גאלטון, מדוע שהתפלגות האינטליגנציה לא תהיה נורמלית?^[7] גאלטון עצמו לא הצליח למדוד אינטליגנציה באופן שהשביע את רצונו, לא כל שכן את מידת ההורשה שלה. מבחני אינטליגנציה החלו להכנס לשימוש בשנות ה-20 של המאה ה-20.

ההתפלגות הנורמלית המשיכה להופיע במקומות מפתיעים. ב-1873 נאם הפיזיקאי ג’יימס קלרק מקסוול הרצאה בפני האגודה הבריטית לקידום המדע, והציג בה את תגליותיו האחרונות בתחום הדינמיקה והקינטיקה של הגזים. מקסוול דיבר גם על הבעיות המתודולוגיות בהן נאבק במחקריו. אין זה אפשרי, הסביר, למדוד את מהירותן של מיליוני מולקולות גז ולחשב את מסלוליהן, כאשר הן נעות במהירות ומתנגשות זו בזו. לכן אימץ מקסוול, יחד עם עמיתיו למחקר, שיטות מתחום מדעי החברה: במקום לדון במהירות ובמסלול של כל מולקולה ומולקולה, חקר מקסוול את התפלגות המהירויות. הוא עשה זאת כבר ב-1859, בגישה דומה לגישתו של לפלס. ההתפלגות, המכונה כיום התפלגות מקסוול-בולצמן, אינה התפלגות נורמלית, אך קשורה אליה קשר הדוק. הסטטיסטיקאים מכירים התפלגות זו בשם “התפלגות חי-בריבוע”, והיא מתקבלת על ידי העלאה בריבוע של ערכי ההתפלגות הנורמלית.

בהרצאתו ב-1873 מקסוול סטה סטייה חדה מהדרך שהתוו עד כה לפלס וממשיכיו. לפלס טען כי העולם הינו דטרמיניסטי, והמקריות הנצפית בו (המתבטאת במשחקי מזל, וגם במדידות אסטרונומיות) משקפת למעשה חוסר ידע ויכולת שלנו, בני האדם, לדעת מהם כל הכוחות הפועלים על המטבע המוטל, למשל, ולו ידענו מהם יכולנו לדעת מראש אם יפול על ראש או על זנב. מקסוול טען כי השונות בתופעות פיזיקליות הינה אמיתית, ולא רק שיקוף של הבורות האנושית. הוא אמנם נמנע מלטעון כי קיימת מקריות אמיתית בעולם; טענה זו הועלתה רק בתחילת המאה ה-20, ובקונטקסט של תורת הקוואנטים^[8]. עם זאת, מקסוול הראה כיצד ניתן ליישם את התיאוריה הסטטיסטית, שצמחה מניתוח משחקי הימורים, ופותחה ככלי למחקרים סוציולוגיים וביולוגיים, במדע מדוייק יותר כפיזיקה.

---

הערות

1. 1. Hacking, I. (1990). The taming of chance (Vol. 17). Cambridge University Press. [↩]
2. 2. Daston, L. (2008). Analogies and the migration of scientific ideas: the strange career of the normal curve. Nova Acta Leopoldina, N. F, 97(358), 169-185. [↩]
3. 3. Stigler, S. M. (2002). Statistics on the table: The history of statistical concepts and methods. Harvard University Press. [↩]
4. 4. על הסטטיסטיקה הבייסיאנית אכתוב, אולי, בפעם אחרת [↩]
5. 5. אותו קטלה שלכבודו סומן מקדם המתאם של יול באות Q [↩]
6. 6. משפט הגבול המרכזי הוכח רק בראשית המאה ה-20. גירסה ראשונית הוכחה על ידי ליאפונוב ב-1901, והמשפט כפי שהוא מוכר כיום הוכח על ידי לינדברג ב-1920 [↩]
7. 7. המונח “התפלגות נורמלית” נטבע ככל הנראה על ידי צ’רלס פירס, פרנסיס גאלטון, ווילהלם לקסיס, באופן בלתי תלוי, בסביבות 1875 [↩]
8. 8. שבה הבנתי דלה ביותר [↩]

לא מכבר התחלתי להשתתף בקבוצת דיון בהיסטוריה של הסטטיסטיקה, ואשתדל לתעד את המפגשים החודשיים של הקבוצה. המפגש הראשון של הקבוצה עסק במחלוקת ביןקרל פירסון ותלמידו אדני יוּל בדבר הדרך הראויה למדוד את עצמת ההקשר (“מתאם”) בין שני משתנים איכותיים (כלומר משתנים שסולם המדידה שלהם אינו רציף).  בתחילה אסביר בקצרה את הבעיה הסטטיסטית. לאחר מכן אתאר את הגישות השונות של השניים לפתרון הבעיה, את הרקע שהוביל כל אחד מהם לגישה אחרת, וכמובן, את ההתגוששות בין השניים (חלק זה יסתמך בעיקר על מאמרו של דונלד מקנזי מ-1978^[1].  לסיום אביע את דעתי בנושא. לטובת הקוראים שאינם בקיאים בסטטיסטיקה, אשתדל לבדל את הקטעים הטכניים בפסקאות נפרדות. אם תחושו כי אתם הולכים לאיבוד, המשיכו ללא חשש לפיסקה הבאה.

הבעיה הסטטיסטית מאוד פשוטה למעשה^[2] . אסביר אותה על ידי דוגמה שיול עצמו הציג. מדובר בנתונים שנאספו במהלך התפרצות מחלת האבעבועות השחורות בעיר שפילד בשנים 1877-1878. בסך הכל נרשמו 4703 מקרים של המחלה. קרוב ל-90% מהחולים קיבלו קודם לכן חיסון נגד מחלה זו ורובם המכריע (כ-95%) החלימו. מבין אלה שלא חוסנו, קרוב ל-50% מתו מהמחלה. יול הציג את הנתונים בטבלה:

מעניין כמובן לשאול האם החיסון גרם לשיפור סיכויי ההחלמה במקרה של הדבקות, אך לפני כן יש לשאול האם יש קשר בין עצם העובדה שחולה קיבל (או לא קיבל) חיסון מוקדם נגד המחלה ובין מצבו לאחר המחלה (החלים או מת).

אני מניח (ובודאי מקווה) כי רוב הקוראים שיעיינו בנתונים הנ”ל יגיעו למסקה כי אכן קיים קשר בין שני המשתנים. ובכל זאת, עולות מהנתונים מספר שאלות. ניתן למשל לשאול לגבי עצם יעילותו של החיסון – כיצד יותר מ-4000 איש שחוסנו נגד המחלה בכל זאת חלו? לא ניתן לענות על שאלה זו מתוך נתונים אלו. שאלה אחרת לגבי יעילות החיסון עולה מהעובדה שבכל זאת 200 מבין המחוסנים שחלו מתו במחלה. האם זה טוב? כנראה שלא. האם יכלה להתקבל תוצאה יותר טובה? בודאי. עד כמה התוצאה הייתה יכולה להיות טובה יותר? התוצאה הטובה ביותר הייתה אילו כל המחוסנים היו מחלימים. תוצאה זו הייתה מדגימה קשר חיובי חזק ביותר בין שני המשתנים.

התוצאה גם הייתה יכולה להיות גרועה יותר. תוצאה גרועה אפשרית היא שכ-50% מהמחוסנים מתים, כפי שגם כ-50% מהלא מחוסנים מתו. מצב כזה מראה שאין כל קשר בין עצם קבלת החיסון ובין הסיכוי לשרוד את המחלה.

יש תוצאה עוד יותר גרועה: על המחוסנים מתים, כל הלא מחוסנים מחלימים. תוצאה כזו הייתה מעלה מייד את הטענה שיש קשר שלילי בין מתן החיסון וסיכויי ההחלמה.

מה הייתם אומרים על הקשר אילו המספרים בטבלה היו משתנים מעט יחסית? למשל, אם 205 מחוסנים מתו במקום 200 (ו-3946 החלימו), ומבין הלא מחוסנים מספר המחלימים היה 273 במקום 278 (ומספר המתים הוא 279)? האם הקשר בין המשתנים שמראים נתונים אלה חזק יותר מהקשר שמראים הנתונים המקוריים או חלש יותר? איך בכלל מודדים את חוזקו/עוצמתו של הקשר? על שאלה זו ניסו פירסון ויול לענות בתחילת המאה ה-20.

השאלה הדומה, אשר נשאלה לגבי משתנים כמותיים (למשל גובה ומשקל), נחשבה כבר לפתורה. הפתרון התבסס על עבודתו החלוצית של פרנסיס גאלטון בנושא הרגרסיה והמתאם, ופירסון עצמו הוא זה שחתם את הדיון בנושא וסיפק את נוסחת מקדם המתאם הנמצאת השימוש עד עצם היום הזה וידועה בשם “מקדם המתאם של פירסון“. מקדם המתאם של פירסון מקבל ערך 1 כאשר יש קשר לינארי מלא וחיובי בין שני המשתנים, ערך 1- כאשר יש קשר לינארי מלא ושלילי בין שני המשתנים, וערך 0 כאשר אין כלל קשר לינארי בין המשתנים (כלומר הם “בלתי מתואמים” בשפת הסטטיסטיסטיקאים). המקדם של פירסון יכול לקבל למעשה כל ערך תחום שבין 1- ל-1. ערכים קרובים ל-1 (או ל-1-)  מעידים כי הקשר הלינארי בין המשתנים חזק, וככל שהערכים מתקרבים ל-0 זה מעיד על החלשות הקשר הלינארי.

בצומת דרכים זו נפרדו דרכיהם של פירסון ויול. פירסון סבר כי תיאוריה למדידת עצמת הקשר בין שני משתנים איכותיים צריכה להתבסס על התיאוריה הקיימת למשתנים כמותיים ולהכליל אותה. יול, לעומת זאת, סבר כי משתנים איכותיים שונים באופן מהותי ממשתנים כמותיים, ולכן יש צורך לפתח עבורם תיאוריה נפרדת.

אפתח בתיאור הגישה של יול. הוא טען כי מדד לעצמת הקשר צריך לקיים שלוש תכונות (בדומה למקדם המצתם של פירסון): ערכו שווה ל-0 כאשר אין קשר בין המשתנים, שווה ל-1 כאשר יש קשר חיובי מלא בין המשתנים, ושווה ל-1- כאשר יש קשר שלילי מלא בין המשתנים.

 כמו כן, יול הבחין כי כאשר אין קשר בין שני משתנים איכותיים, אז השורות בטבלה כגון זו שהוצגה קודם פרופורציוניות זו לזו (כפי שהדגמתי קודם לכן, זה עשוי להיות מקרה בו 50% מהמחוסנים מחלימים מהמחלה, וגם 50% מהלא מחוסנים מחלימים ממנה). קשר חיובי מלא קיים כאשר במשבצת השמאלית העליונה מופיע אפס  (בדוגמא שלנו- איש מהמחוסנים לא נפטר), ו/או כאשר מופיע 0 במשבצת הימנית התחתונה ( כלומר מי שלא חוסן לא החלים, רק למי שחוסן היה סיכוי להחלים). קשר שלילי מלא יתבטא לעומת זאת על ידי הופעת 0  במשבצת השמאלית התחתונה ו/או במשבצת הימנית העליונה (המחוסנים לא מחלימים, הלא מחוסנים דוקא כן)^[3] .

מכאן הייתה קצרה הדרך להגדיר מדד שמקיים בדיוק את התכונות האלה: שווה ל-0 כאשר ארבעת המספרים בטבלה יוצרים שתי שורות מספרים פרופורציוניות, שווה ל-1 כאשר באלכסון הראשי מופיע 0 באחד התאים (או שניהם), ושווה ל-1- כאשר מופיע באלכסון המשני מופיע 0 באחד התאים (או שניהם). יול כינה את המדד שלו Q, לכבודו של הסטטיסטיקאי הבלגי אדולף קאטלה.

למדד Q שהציע יול היו גם חולשות, ויול היה מודע להן. אחת החולשות העיקריות הייתה ש-Q אינו המדד היחיד העומד בשלושת הקריטריונים שדרש יול – יש עוד מדדים רבים כאלה. יול עצמו הציע עוד מספר מדדים, וניסה להצדיק כמיטב יכולתו את הצעת Q כמדד הקשר העיקרי.

פירסון כאמור, בחר ללכת בדרך אחרת, וניסה לבנות תיאוריה שתכליל את מקדם המתאם שלו, שנבנה למשתנים כמותיים, כך שישמש למדידת קשר בין שני משתנים איכותיים. אתאר את הגישה שלו בעזרת דוגמה.

נניח שאנו מעוניינים לבדוק האם יש קשר בין גובהו של אדם ומשקלו (באוכלוסיה נתונה). אין בעיה. אם נתונים לנו גובהו ומשקלו של כל אדם באוכלוסיה, אפשר לעבד את הנתונים בעזרת נוסחת מקדם המתאם ולקבל איזשהו מספר. אבל מה קורה אם אין לנו את הנתונים המלאים? נניח שיש לנו רק נתון איכותי לגבי כל אדם. אנו יודעים האם הוא “גבוה” או “נמוך”, וכן אם הוא “רזה” או “שמן”, ואין אינפורמציה לגבי הגבול המפריד בין גבוה לנמוך ובין רזה לשמן. כל מה שיש לנו זה ארבעה מספרים, מסודרים בטבלה דומה לזו שהוצגה בתחילת הרשימה: יש כך וכך אנשים גבוהים ורזים, כך וכך אנשים גבוהים ורזים, וכולי. מה עושים?

פירסון טען כי הנתונים האלה מקורם בהתפלגות נורמלית (“פעמונית”). ידוע כי התפלגות גובהם של בני אדם היא בקירוב נורמלית, וידוע גם כי התפלגות המשקל היא בקירוב נורמלית. יתר על כן, ידוע כי לגובה ולמשקל יש התפלגות משותפת דו-נורמלית (תחשבו על פעמון תלת מימדי).

להתפלגות נורמלית יש שני פרמטרים – התוחלת וסטיית התקן של ההתפלגות. להתפלגות דו-נורמלית יש חמישה פרמטרים: התוחלת וסטיית התקן של כל אחד מהמשתנים, וכן פרמטר נוסף הקושר את שני המשתנים בהתפלגות המשותפת.

לו היו בידינו נתוני המשקל והגובה המקוריים, אזי מקדם המתאם של פירסון מהווה אמד לפרמטר חמישי של ההתפלגות הדו נורמלית (ופרמטר זה מכונה אכן בשם “מקדם המתאם”). פירסון פיתח שיטה מתמטית לאמידת הפרמטר החמישי של ההתפלגות הדו-נורמלית מהנתונים החלקיים של החלוקה גבוה/רזה/נמוך/שמן. את האמד שקיבל כינה “מקדם המתאם הטטרהכורי” – ” Tetrachoric correlation coefficient”.  פירסון יישם את השיטה שלו גם כאשר לא היה ברור לחלוטין כי מקורם של הנתונים האיכותיים הוא בהתפלגות נסתרת (בלתי ניתנת לצפיה) דו-נורמלית.

פירסון ידע היטב כי המקדם הטטרהכורי אינו אמד טוב במיוחד עבור מקדם המתאם של ההתפלגות הדו-נורמלית. עם זאת, הוא סבר כי זהו האמדן הטוב ביותר שניתן להגיע אליו כאשר הנתונים הם איכותיים. הוא סבר גם כי מקדם ה-Q של יול הינו אמד למקדם המתאם של ההתפלגות הדו-נורמלית, וטען כי המקדם שהוא פיתח עדיף על Q.

יול, מצידו, טען כי במקרים רבים ההנחה הבסיסית של פירסון לפיה מקורם של הנתונים האיכותיים נמצא בהתפלגות דו-נורמלית שאינה ניתנת לצפיה אינה נכונה. האם ערכים של “מוות ממחלה” ו-“החלמה ממחלה” מקורם במשתנה רציף נורמלי? שאל ולא נענה. יול פיתח שיטות לבדיקת ההנחה של פירסון, ובדק בדקדקנות את כל הדוגמאות שפירסון הביא במאמריו. במקרים רבים הגיע למסקנה כי הנחת הנורמליות של פירסון אינה ניתנת להצדקה.

גם פירסון היה מודע לבעיות של המקדם הטטרהכורי. הוא השקיע עבודה בפיתוחו ושיפורו, וב-1922 הציג את מקדם המתאם הפוליכורי^[4] . עם זאת, החליט לנסות ולפתח מקדם קשר אחר, המבוסס על מבחן החי-בריבוע לבדיקת אי תלות בין שני משתנים (שהוא עצמו פיתח מוקדם יותר).

חילוקי הדיעות בין השניים היו ידועים. בדצמבר 1905 תקף יול את מורו וחברו פירסון בפומבי כאשר הרצה בפני החברה הסטטיסטית המלכותית, וטען כי ההנחות שבבסיס המקדם הטטרהכורי אינן תקפות. פירסון השיב ליול במאמר שפרסם בעיתון הבית שלו, ביומטריקה^[5]. אולם השניים הקפידו לשמר את הויכוח במסגרת מדעית במידת האפשר.

הכפפות הוסרו כאשר פרסם יול את ספרו “מבוא לתיאוריה של הסטטיסטיקה” ב-1911. יול הציג בספרו את מקדם המתאם של פירסון למשתנים כמותיים, ולמשתנים איכותיים המליץ לקוראיו להשתמש ב-Q או במדד נוסף שאותו פיתח, אך נמנע מלציין את המקדם הטטרהכורי של פירסון כאפשרות נוספת למדידת עצמת הקשר. תלמיד אחר של פירסון, דויד הרון, הגיב על כך במאמר שכותרתו “הסכנה שבנוסחאות מסויימות המוצעות כתחליף למקדם המתאם”^[6].

היחסים בינו ובין פירסון הדרדרו במהירות למריבה אישית. בהרצאה נוספת שנשא בפני החברה הסטטיסטית המלכותית ב-1912^[7] , יול תקף את גישתו של פירסון ואף את פירסון אישית. “הצגת הנחות בלתי נחוצות שאינן ניתנות לאימות אינה נראית לי כהתקדמות רצויה במחקר המדעי”, אמר יול. והעיר כי בכל זאת קיימים מקרים מעטים בהם הנחה זו הינה “פחות בלתי מתקבלת על הדעת” ועדיין לעיתים קרובות יש להטיל ספק, לדעתו, בטענה כי ההתפלגות הבלתי נצפית היא דו-נורמלית.

פירסון והרון לא נשארו חייבים. הם השיבו ליול ב-1913, עת  פירסמו מאמר נוסף בביומטריקה שהשתרע על פני לא פחות מ-157 עמודים^[8] . “המחלוקת בינינו”, הבהירו פירסון והרון, “היא המחלוקת ארוכת הימים בין הגישה הנומינליסטית והגישה הריאליסטית. מר יול מלהטט בהגדרות מושגים כאילו מדובר בעצמים אמיתיים. ניתוחיו הסטטיסטיטיים הם למעשה סוג של לוגיקה סימבולית. תיאוריות כאלה לא הניבו מעולם שום תועלת מעשית. ייתכן כי יש בתרגילים לוגיים כאלה יש ערך חינוכי עבור סטודנטים, אבל ייגרם נזק גדול לסטטיסטיקה כמקצוע מודרני, אם המתודולוגיות של מר יול ייעשו מקובלות. יש בכך סכנה ממשית^[9] , כי קל ללכת בדרך שיול מתווה, ורוב האנשים מתעלמים מהסכנות”.

ב-1914 פרצה מלחמת העולם הראשונה והשעתה את הויכוח בין השניים. לאחר המלחמה, תחומי העניין המחקריים של פירסון השתנו, ועימם גם ירדה המוטיבציה שלו לעסוק בבעיית מדידת עצמת הקשר. יתר על כן, גישה חדשה לתיאוריה הסטטיסטית, שהוביל רונלד פישר, הפנתה את תשומת הלב של הסטטיסטיקאים לבעיות אחרות. למרות שהויכוח בין השניים שכך, היחסים בין פירסון ויול לא שבו לקדמותם.

לדעת מקנזי, מקור הסיבה למחלוקת בין פירסון ויול הוא ב-“אינטרסים הקוגניטיביים” השונים שלהם. מטרות המחקר שלהם היו שונות, וכל אחד מהם נקט בגישה המתאימה למטרותיו, אך לא למטרות של חברו/יריבו.

פירסון היה בין החוקרים המובילים בתחום האאוגניקה , ועבודתו בתחום הסטטיסטיקה נעשתה כדי לקדם את מחקריו האאוגניים/ביומטריים^[10] . הוא היה מעוניין בעיקר בכלים לחיזוי: אם ידוע ערכו של משתנה אחד, מהי תוחלת ערכו הצפוי של המשתנה האחר? משום כך היה סבור כי יש להכליל את תיאוריית הרגרסיה של גאלטון גם למשתנים איכותיים. ההנחה של ההתפלגות הדו-נורמלית הייתה עבורו רק הנחה. התפלגות זו הייתה חלק מהמודל שלו, לא חלק מהנתונים. התוצאות שקיבל היו די טובות, לדעתו, גם אם ההנחה לא הייתה נכונה. לעומת זאת, שאלות בדבר סיבתיות לא עניינו אותו – אין זה סביר כי תכונה מסויימת של אדם (למשל, רגל גדולה) תגרום לתכונה אחרת (כמו ראש גדול, למשל). שתי התכונות מושפעות מהרקע הגנטי/משפחתי של האדם.

מחקריו של יול, לעומת זאת, היו בתחום מדעי החברה, ושם שאלת הסיבתיות האפשרית הייתה חשובה יותר. לכן, בעיניו של יול, הקשר בין המשתנים היה ביטוי לקשר סיבתי אפשרי בינם, ולא רק תכונה של ההתפלגות המשותפת^[11]. העובדה שאדם הוא קבצן, טען יול, אינה תלויה ברקע (ובניוון) הגנטי שלו כפי שטוענים תומכי האאגוניקה.^[12] במחקריו הראה יול כיצד רפורמות חברתיות הביאו להקטנה במספר הקבצנים.

מקנזי מרחיק לכת ומעלה השערה כי התיאוריה/אידיאולוגיה האאוגנית ביטאה את ההעדפות החברתיות של חלק מסויים בלבד בחברה הבריטית של סוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, המאופיין על ידי רקע מעמדי והעדפות פוליטיות. לדעת מקנזי, ייתכן כי ההבדלים האלה שבין יול ופירסון גרמו לכיווני המחקר השונים שלהם, ומכך נבע הניגוד שבין גישותיהם לנושא מדידת עצמת הקשר בין המשתנים.

מי ניצח בסופו של דבר בויכוח? לדעת מקנזי, הויכוח לא הוכרע עד ימינו, ומסתמך, בין היתר, על מאמרם הקלאסי של גודמן וקראסקל מ-1954.^[13], אך מציין כי מדד ה-Q של יול עדיין פופולרי, בעוד שמקדם המתאם הטטרהכורי כמעט ונעלם. אציין כי נתקלתי במהלך לימודי הסטטיסטיקה שלי במקדם המתאם הטטרהכורי. היה זה כאשר קראתי, בהיותי תלמיד שנה ג’ לתואר ראשון בסטטיסטיקה, את אותו מאמר של גודמן וקראסקל. הם מציינים בפירוש כי ניתן להשתמש במקדם הטטרהכורי במקרים בהם מקור הנתונים בהתפלגות דו-נורמלית. למען ההגינות, אומר גם כי לא זכרתי זאת במשך השנים שעברו. חזרתי למאמר של גודמן וקראסקל בעקבות הקריאה המאמר של מקנזי, ראיתי כי המקדם הטטרהכורי הוזכר בתחילת המאמר, והסקתי כי נתקלתי בו גם בפעם הראשונה בה קראתי את המאמר.

למיטב הבנתי, גודמן וקראסקל ממליצים בפועל על הגישה של יול, לפיה יש לבחור את מדד הקשר בהתאם לבעיה הנדונה, ואינם מעודדים הנחת התפלגות נסתרת. לכן, לדעתי יול הם למעשה הכתירו את יול כמנצח בקרב הזה. המקדם הטטרהכורי כמעט ונכחד, בעוד שכל תכנה סטטיסטית המכבדת את עצמה מחשבת את Q ומדדים דומים נוספים.

עם זאת, גישתו של פירסון המניחה התפלגות נסתרת/בלתי-נצפית עדיין חיה וקיימת. בסטטיסטיקה המודרנית, סוס העבודה העיקרי לניתוח נתונים איכותיים הוא הרגרסיה הלוגיסטית. בבסיסה של שיטה זו טמונה ההנחה כי מקורו של המשתנה האיכותי הוא במשתנה נסתר/בלתי-נצפה, שמניחים כי התפלגותו היא התפלגות לוגיסטית^[14] . אם ערכו של המשתנה הנסתר נמוך מסף מסויים, המשתנה האיכותי מקבל ערך מסויים (“החלים מהמחלה”, אם ניצמד לדוגמה של יול שהובאה בראשית הרשימה הזו), וכאשר ערכו של המשתנה הנסתר חוצה את הסף, המשתנה האיכותי מקבל ערך אחר (“מת מהמחלה”). גישה זו ננקטת גם בשיטת סטטיסטיות נוספות, כאשר הסטטיסטיקאי מודע לכך כי המשתנה הנסתר אינו חלק מהנתונים שלו, אלא רק חלק מהמודל. מכאן, למרות שגישתו של פירסון נוצחה בקרב המסויים שתיארתי כאן, היא הוכיחה את עצמה כגישה יעילה לניתוח נתונים איכותיים ונמצאת בשימוש יומיומי במחקר המדעי.

---

הערות

1. 1. MacKenzie, D. (1978). Statistical Theory and Social Interests A Case-Study. Social studies of science, 8(1), 35-83. [↩]
2. 2. יש לציין כי המחלוקת בין פירסון ויול לא הייתה מוגבלת לדיון בבעיה זו בלבד [↩]
3. 3. יש להגדרה זו ניואנסים שלא פירטתי [↩]
4. 4. Pearson, K., & Pearson, E. S. (1922). On polychoric coefficients of correlation. Biometrika, 14(1-2), 127-156. [↩]
5. 5. פירסון יסד את כתב העת ביומטריקה וערך אותו עד מותו ב-1936 [↩]
6. 6. Heron, D. (1911). The danger of certain formulae suggested as substitutes for the correlation coefficient. Biometrika, 109-122. [↩]
7. 7. Yule, G. U. (1912). On the methods of measuring association between two attributes. Journal of the Royal Statistical Society, 579-652. [↩]
8. 8. Pearson, K., & Heron, D. (1913). On theories of association.Biometrika, 9(1-2), 159-315.  [↩]
9. 9. פירסון והרון השתמשו בבביטוי “grave danger”, כלומר סכנת נפשות [↩]
10. 10. למעשה פירסון לא ראה את עצמו כסטטיסטיקאי, למרות שהיה האדם הראשון שנשא בתואר “פרופסור לסטטיסטיקה”. הוא מעולם לא ביקש להצטרף לחברה הסטטיסטית המלכותית, וממילא לא היה חבר בה [↩]
11. 11. ראו גם Stigler, S. M. (1986). The history of statistics: The measurement of uncertainty before 1900. Harvard University Press. Pages 352-358. [↩]
12. 12. יול התנגד לתורה זו. במכתב לחברו הטוב, מייג’ור גרינווד כתב: “התיאוריה האאוגנית מעוררת בי סלידה כמו הרעיון לתת זכות הצבעה לנשים”. [↩]
13. 13. Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications*. Journal of the American Statistical Association, 49(268), 732-764.  [↩]
14. 14. אם מניחים כי התפלגות של המשתנה הנסתר היא נורמלית, הכלי המתקבל הוא “מודל פרוביט“ [↩]