כמה עובדות על פיי

לפני שבועיים פרסמתי כאן חידון על המספר פיי – π. לאלה מכם שלא ישנו בלילות בציפיה לתשובות (וגם לאלה שלא), הנה התשובות לרוב השאלות בחידון. אני מקווה שתסלחו לי , אבל מספר הספרות שחושב אחרי הנקודה העשרונית  של פיי משתנה מדי פעם, והדברים בבלוג הזה אמורים להיות נכונים לנצח.

פיי בעולם העתיק

מתברר כי הבבלים השיגו קירוב טוב מאוד לערך של פיי, שעולה אך במעט על הקירוב המצרי. התנ”ך, לעומת זאת. אינו מומלץ כטקסט ללימוד מתמטיקה.

בתנ”ך, בספר מלכים א, פרק ז’ בו מתואר המקדש שבנה שלמה, מתואר בפסוק כ”ג ים הנחושת שבמקדש:

“וַיַעַשׂ אֶת הַיָם מוּצָק, עֶשֶר בָאַמָה מִשְפָתוֹ עַד שְפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָאַמָה קוֹמָתו וְקָו  שְלשִים בּאַמּה יָסב אתוֹ סָבִיב”

כלומר היקפו של ים הנחושת 30 אמה וקוטר של 10 אמות, ומכאן שלפי נתוני ספר מלכים ערכו של פיי שווה ל-3. אמנם קיים איזה פלפול ולפיו הערך של פיי גם על פי ספר מלכים הוא 3.14, ומי שמעוניין יכול לחפש אותו ברשת ולהתרשם.

המצרים (על פי התיעוד בפפירוס רינד) העריכו כי שטחו של מעגל החסום בריבוע שווה לשטחו של ריבוע שאורך צלעו  היא 8/9 מצלע הריבוע החוסם את המעגל (זוהי בעצם הערכה לפיה שטח המעגל שווה לשטח מתומן משוכלל החסום בתוכו), ומהערכה זו נובע כי ערכו של פיי הוא בערך 256/81 או 3.16. ערך זה גבוה ב-0.6% מהערך האמיתי.  אולם כבר 500 שנים קודם לכן השתמשו הבבלים בחישוביהם בערך  לקירוב היחס בין היקף המעגל וקוטרו, 25/8. ערך זה נמוך ב-0.5% מהערך האמיתי של פיי.

גם תרבויות אחרות השיגו קירובים טובים לערך של פיי. האסטרונום ההודי יאגנואלקיה השתמש במאה התשיעית לפני הספירה בקירוב 339/108 (0.09% מתחת לערך האמיתי). ארכימדס שכלל את השטטה המצרית, וקירב את שטח המעגל של ידי מצולע משוכלל בן 96 צלעות. הוא השיג קירוב של 0.02% במאה השלישית לפני הספירה. כ-500 שנה מאוחר יותר, שיפר תלמי את קירוב ארכימדס על ידי שימוש במצולע משוכלל בן 360 צלעות, והשיג דיוק של יותר מ99.999%. קירוב דומה השיג גם המתמטיקאי הסיני ליו הוי.

מי הנהיג את השימוש באות היוונית פיי לציון היחס בין היקף המעגל לקוטרו?

ובכן, כיום סבורים כי השימוש הראשון באות היוונית פיי לסימון הקבוע המתמטי החשוב הזה נעשה בספרו של ויליאם ג’ונס, שיצא לאור ב-1706, אולם עדיין נהוג לייחס את הפצת השימוש באות פיי לליאונרד אוילר, שהשתתמש בו לראשונה במאמר שכתב ב-1737.

הקשר בין פיי ובעיית ריבוע המעגל

בעיית ריבוע המעגל (או יותר נכון, ריבוע העיגול) היא הבעיה של בניית ריבוע ששטחו שווה לשטח של עיגול נתון בעזרת מחוגה וסרגל.  בעיה זו אינה ניתנת לפתרון כיוון שפיי הוא מספר טרנסצנדנטי. אני לא ארחיב כאן מלים רבות על הנושא – פשוט משום שגדי אלכסנדרוביץ כבר עשה זאת בבלוג המצויין שלו, ואני פשוט אפנה אתכם לרשימה שכתב: “אז למה אי אפשר לרבע את העיגול?“. המתמטיקאי שהוכיח כי הבעיה אינה ניתנת לפתרון, או יותר נכון, הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטי ומכך נבע כי בעיית ריבוע המעגל אינה ניתנת לפתרון, הוא פרדיננד פון-לינדמן, שפרסם את הוכחתו ב-1882. ההוכחה, אגב, מתבססת על הקשר המופלא שהראה אוילר בין פיי וקבועים מתמטיים אחרים – המספר e, המספר המדומה i, והמספרים 0 ו-1:

תפקידו של פיי בסטטיסטיקה

לפיי תפקיד חשוב בסטטיסטיקה כיוון שפיי מופיע בנוסחת ההתפלגות הנורמלית. שתי תשובות כאן נועדו לבלבל את המנסים לנחש ניחושים אינטליגנטיים. אין בכלל דבר כזה “עקומת צפיפות האוכלוסיה של אוילר”. אני המצאתי את העקומה הזו כשכתבתי את החידון המקורי לפני חמש שנים. גם עניין נוסחת גודל המדגם הוא מופרך למדי. אין דבר כזה “נוסחה לחישוב גודל מדגם”. זה עניין הרבה יותר מורכב משימוש בנוסחא.

מה שמעניין הוא שאכן ניתן לקרב את ערכו של פיי באמצעות הטלת מחט על גיליון נייר,  בתנאי שעושים זאת הרבה מאוד פעמים. תוצאה זו ידועה בשם בעיית המחט של בופון (על שם הרוזן דה-בופון, שהציג לראשונה את הבעיה במאה ה-18). אם מטילים את המחט על גבי גליון נייר שעליו משורטטים קוים מקבילים, אז ההסתברות כי המחט תיפול כך שתחצה את אחד הקוים תלויה בפיי. למשל, אם המרחקים בין הקוים שווים לאורך המחט, אז ההסתברות כי המחט תחצה את אחד בקווים שווה ל-2 חלקי פיי. איך פיי מופיע כאן? ההסתברות תלויה במקום בו נמצא מרכז המחט ובזוית בין המחט ובין הקוים המקבילים. כאן נכנסת פונקציית הסינוס לתמונה, ועימה פיי. אם תטילו מחט כזו על דף פעמים רבות, אז תוכלו לקבל קירוב לערכו של פיי על ידי חלוקת 2 בפרופורציית הפעמים בהן המחט חצתה את אחד הקוים. חוק המספרים הגדולים מבטיח לכם כי הקירוב יהיה טוב יותר ככל שיגדל מספר הנסיונות.

מי נולד ביום הפיי?

המתמטיקאי שיום הולדתו הוא יום הפיי, ה-14 למרץ, הוא אלברט איינשטיין, שנולד ביום זה בשנת  1879. איינשטיין ידוע בראש ובראשונה כפיזיקאי, וזה אכן היה עיסוקו העיקרי. אולם ברור לכל שאין כל אפשרות לעסוק בפיזיקה ברמה שבה עסק איינשטיין ללא ידע מתמטי נרחב ויכולות בתחום. למעשה, איינשטיין נאלץ לפתח בעצמו (למעשה, בצוותא עם ידידו ושותפו למחקר גרוסמן) את הכלי המתמטי העיקרי בו השתמש בפיתוח תורת היחסות הכללית – אנליזה טנזורית. תורת היחסות הכללית פורסמה ב-1915, וממש באותו זמן פרסם המתמטיקאי דויד הילברט עבודה משלו בתחום האנליזה הטנזורית, שחפפה לחלק המתמטי של עבודתם של איינשטיין וגרוסמן. כאשר ב-1921 נסע איינשטיין לארה”ב יחד עם ד”ר חיים וייצמן, במטרה לגייס כספים להקמת האוניברסיטה העברית. ניצל את ההזדמנות כדי לתת הרצאה על תורת היחסות בפרינסטון. האולם היה מלא מפה לפה, ועל כך העיר איינשטיין: “לא ידעתי כי כל כך הרבה אנשים באמריקה מתעניינים באנליזה טנזורית”.

באיזה אופן מתנהגות הספרות בפיתוח העשרוני של פיי ?

הטענה היחידה  שניתן לטעון בודאות בודאות לגבי הספרות בפיתוח העשרוני של פיי היא שהן מתנהגות באופן לא מחזורי, וזה נובע מאי הרציונליות של פיי. הן לא מתנהגות באופן סטטיסטי כי אין חיה כזו. האם הן מתנהגות באופן אקראי ? ההשערה היא שכן, אבל איש עדיין לא הוכיח זאת.

איזה מהנוסחאות הבאות אינן מהוות קירוב טוב לפיי?

אני לא זוכר למה בדיוק התכוונתי כשכתבתי את השאלה הזו לפני כמה שנים.

 

הנוסחה שבסעיף א התגלתה/פותחה על ידי וייטה:

 

בסעיף ב מופיעה הנוסחה שפיתח לייבניץ, אחד מאבות החשבון הדיפרנציאלי, לפיי:

המכפלה האינסופית שבסעיף ג ידועה בשם מכפלת ואליס, ואינה מתכנסת לפיי, אלא לפיי חלקי 2.

בסעיף ד מופיע מופיע טור הדומה לטור של לייבניץ – שימו לב לסימנים ההפוכים, ואם הוא מתכנס אז בודאי לא לפיי.