נסיכת המדעים

כל מי שלמד קורס בסיסי בסטטיסטיקה והסתברות צריך לדעת (אני מקווה) כי הסתברות של מאורע חייבת לקבל ערך בין 0 ל-1, וכי סטיית התקן לעולם אינה שלילית. כאשר לימדתי קורסים כאלה, חזרתי והתרעתי בפני הסטודנטים, כי עליהם לשים לב לתוצאות חישוביהם, ולעולם לא להשאיר תוצאות בלתי אפשרויות ללא התייחסות. זה בהחלט יכול להיות שעקב טעות חישוב (או כל טעות אחרת) מישהו יקבל כי ההסתברות שהיה עליו לחשב היא 1.3 או 0.22-. אבל כאן התוצאה הסופית מתריעה על עצמה כי היא שגויה. מה עושים במקרה כזה? מחפשים את הטעות, כמובן. ואם אין זמן כי הבחינה מסתיימת עוד מעט? המינימום לו אני מצפה, אמרתי לסטודנטים, הוא שתבהירו לי כי ידוע לכם שיש כאן טעות. אפשר לכתוב הערה, כמו: "קיבלתי כי ההסתברות גדולה מ-1, וזה לא ייתכן. יש כאן טעות, אך איני מצליח למצוא אותה". במקרה כזה, אני, המרצה, אמצא את הטעות, והניקוד במבחן יהיה בהתאם לגודל הטעות. אבל, אם תושאר תוצאה כזו ללא התייחסות, הבהרתי, תיפסל השאלה כולה.

ההגיון הוא שכמורה עלי ללמד את תלמידי הסטודנטים לא רק את הטכניקות החישוביות. עלי להקנות להם הבנה של הנושא הנלמד, כי בעתיד הלא רחוק (חלקם, לפחות) יצטרכו להסתמך על הידע שרכשו  וליישם אותו. לחשב הסתברויות זה חשוב, אבל הרבה יותר חשוב להבין אותן, ומי שמקבל בשוויון נפש הסתברות גדולה מ-1 או קטנה מ-0 פשוט אינו מבין את המושג. נקודה.

העקרון הזה נכון לא רק להסתברויות. סטיית התקן, למשל, גם היא אינה יכולה להיות קטנה מ-0, ולכן חלים עליה כללים דומים. הסטודנט של היום יכול להיות האדם שמגיש מחר דו"ח להנהלה, או ללקוח. אם יופיעו בדו"ח כזה נתונים כגון הסתברויות או סטיות תקן שליליות, הסטודנט של היום יהיה בצרות מחר.

ולמה אני מספר את כל זה?

ובכן, במסגרת עבודתי, אני צריך לסקור דוח"ות מחקריים שונים. בדו"ח שסקרתי אתמול, ביצעו כותבי הדו"ח מבחן סטטיסטי בשם מבחן חי-בריבוע. השם של המבחן מדבר בעד עצמו. הביטוי "בריבוע" אומר כי הערך המספרי המחושב של המבחן אינו יכול להיות שלילי. ובכל זאת, הערך שהופיע בטבלה היה 0.077-. אבל זה לא סטודנט, זה רק מישהו שמגיש ללקוח שלו דו"ח.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 12 באפריל 2006  שם התקבלו 5 תגובות

איריס  בתאריך 4/13/2006 12:09:35 PM

גדול

יכול גם להיות שזה קרה כי מישהו הכניס נתונים לתכנת מחשב, וזה מה שיצא לו. אפשר למצוא ברשת טבלאות פשוטות שמזינים אליהן נתונים והתוצאה של מבחן החי בריבוע, למשל, מתקבלת. אבל למי שאין מושג, זה לא יעזור, ואם הכניס נתונים לא נכונים או אין לו הבנה בסיסית בנושא, הוא יאמין לכל מה שיקבל.
לא מחשבה ביקורתית במיוחד.
צודק המורה

משוטט  בתאריך 4/15/2006 3:04:37 AM

פויה, אינטיליגנציה!

לך תדע איזה חידקים יש בזה ובאילו מחלות אתה עלול להדבק. מהר, לשטוף את הידיים! טוב, בתור סטטיסטיקאי שעובד בחברת תרופות יש סיכוי (קרוב ל-1) שאתה יודע איזה מחלות.
וכל הקטע הזה של לחשוב. זה כל כך מעייף, עדיף להריח את תאי המוח נשרפים מול הטלוויזיה (גם לה יש כמה מעלות…)
ובטון פחות אירוני/מבדר, אתה כרגיל צודק. האם הדרישה שילד בכיתה ו"ו ידע לכתוב רופא ללא שגיאות כתיב זה סביר? האם אדם העוסק בתחום מסוים שדורש ידע מסוים, גם ידע אותו זה סביר? תלוי את מי שואלים.
במתמטיקה לדוגמא, יש להרבה שאלות דרכים לוודא את נכונות התשובה או ההוכחה, שגוזלות זמן מועט. הדבר נראה כל כך פשוט, שלפעמים לא עושים אותו- כמו בדוגמא שנתת.

mrbob  [אתר]  בתאריך 4/17/2006 3:34:44 PM

צחוק הגורל

אולי הוא היה סטודנט שלך.

n  בתאריך 5/3/2006 1:20:19 PM

סיימתי תואר ראשון שהסטטיסטיקה בו קשה

אני בוגר תואר ראשון בפסיכולוגיה ותקשורת, מעולם לא הבנתי למה אני צריך ששליש מהתואר ימולא בסטטיסטיקה שנועדה בעיקר כדי להכשיר את עשרת האחוזים (או פחות) שמצליחים להתקבל לתואר השני. לא שיש לי בעיה עם שיטות מחקר שאכן צריך ללמד, או סטטיסטיקה ברמה הגיונית, אבל אם הלימוד משרת רק את תלמידי התואר השני, מדוע לא ללמד את הסטטיסטיקה במסגרת התואר השני ולא להעמיס סתם על כל היתר?

אלי  בתאריך 5/20/2006 1:05:57 PM

בוגר תואר ראשון. "בוגר"???

צר לי "בוגר תואר ראשון" יקר על שאינך מבין מדוע רצוי שאדם העוסק בפסיכולוגיה יהיה בעל ידע בסיסי בסטטיסטיקה. אין לי אלא להאשים כאן שני גורמים:
א. סגל ההוראה שאינו טורח במקרים רבים להצביע בפני הסטודנטים על הקשר בין "התאוריה" לבין "השדה" [מקום העבודה].
ב. ההתדרדרות במערכת החינוך [מהגן ועד לאוניברסיטה] שבמסגרת "ההפרטה" הכללית נאלצת לראות בסטודנט "לקוח".
את הלקוח, כידוע, אסור להרגיז כי אחרת הוא "ילך למסעדה אחרת". וכך כל מי שמכיר את השאלונים לשביעות רצון שממלאים הסטודנטים [לקוחות] בכל סמסטר יש שאלות מהסוג: "הקורס הקנה לי ידע בנושא הנלמד" [לשון פאסיבית]. השאלון לא כולל שאלות מהסוג "מה עשיתי על מנת לבחון את נושא הקורס בהקשר לכלל תוכנית הלימודים?" [לשון אקטיבית מבחינת הסטודנט.
ולגופה של שאלתך: אם אתה עוסק בפסיכולוגיה, ראוי שתתעדכן הנעשה בתחום – צורך זה מופיע גם בקוד האתי של איגוד הפסיכולוגים, איגוד העובדים הסוציאלים, ועוד איגודים ואירגונים מקצועיים בתחום "העבודה עם אנשים". כאשר אתה קורא מאמר מקצועי, ראוי שתהיה לך יכולת לקריאה ביקורתית שכוללת הבנה ביחס למהות הנתונים הסטטיסטיים.
בהצלחה במקצוע

בעקבות הרשימה על האוניברסיטאות הטובות ביותר כתב אלי גיא יריב מחברת "מעל הממוצע – מחקר וייעוץ ללימודים אקדמיים" והפנה את תשומת ליבי לדרוג האוניברסיטאות והמכללות בישראל שעורכת החברה. מאחר וזו חברה מסחרית, ניתן לראות רק את צמרת הדירוג. דירוג זה נעשה על סמך פרמטרים הקשורים לרווחת הסטודנט, על פי התפיסה הרואה את הסטודנט כלקוח ואת המוסד האקדמי כנותן שירות, ולכן סדר הדירוג שונה מסדר הדירוג של אוניברסיטת זיאו טנג, וזה לגיטימי, כמובן.

באתר של "מעל הממוצע" ניתן למצוא גם סקירה רחבה של מתודולוגית המחקר והדירוג, שנעשתה על ידי פרופ' יעקב הורניק מאוניברסיטת תל-אביב. מומלץ לקרוא.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 26 באוגוסט 2005 14:48שם התקבלו 4 תגובות

lior  [אתר]  בתאריך 8/26/2005 7:33:13 PM

ומה עם ביקורת?

מה שאתה מציג נראה לי חסר ערך כמעט לחלוטין. קודם כל, כפי שאתה מציין, לא מדובר בדירוג אוניברסיטאות ואפילו לא בדירוג איכות ההוראה באוניברסיטאות אלא בדירוג רווחת הסטודנט. דבר שני מדובר בסקר, ולא בפרמטרים אובייקטיביים אמיתיים. קשה לעשות דירוג אמיתי בלי לכלול פרמטרים כמו השכר הממוצע של הבוגרים, אחוז הממשיכים לתארים מתקדמים, מספר הפטנטים שרושמים בוגרי המוסד ומספר הזוכים בפרסים הישגיים בתחום המדע. אלה הפרמטרים החשובים באמת. לדעתי הדירוג שאתה כותב עליו שווה ביקורת פחות מרומזת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/27/2005 12:51:14 PM

תשובה לליאור

אני מסכים איתך.

אלי  בתאריך 2/5/2006 6:25:00 PM

ובכן …

מה עם לטביה …הסטודנטים הכי אוהבים אותה התואר בא בקלות .
מספר המסיימים בפתוחה הוא הנמוך מבין כל המוסדות בודאי ..
אז למה שסטודנטים יאהבו את המוסד??

גיא יריב  [אתר]  בתאריך 6/28/2006 2:30:48 PM

לא כדאי לקרוא קודם לפני שמותחים ביקורת?

הדרוג מתבסס על הרבה יותר מידע מאשר רווחת הסטודנט, במיוחד בהתחשב במאמצים שהאוניברסיטאות עושות למנוע פרסום מידע בכלל ומידע שלילי בפרט.
נתונים אלמנטריים כמו מספר הסטודנטים בפקולטה (כדי להשוות למספר הסגל) או תקציב המוסד (והחלק ממנו שמוקדש למחקר) אינם מתפרסמים.
כתוצאה מכך היה צורך לאסוף מידע באמצעים 'עוקפי צנזורה' כמו ספירת תעודות זהות על לוחות ציונים או הערכת מספר פרסומים לפי מספר הדרגות המוענק. אלו כמובן כלים גסים יותר, אבל הם נותנים מידע בעל מהימנות ותוקף סבירים לגמרי.
אגב, גם הסטודנטים הרבה פחות מטומטמים ממה שאתם נותנים להם קרדיט- במוסדות שמתאפיינים בעומס נמוך ורמת דרישות נמוכה ישנה שביעות רצון נמוכה. הם יודעים בדיוק מה הם מקבלים.
גיא

אוניברסיטת זיאו טנג שבשנחאי פירסמה את דירוג 500 האוניברסיטאות הטובות בעולם, זו השנה השלישית. רוב עיתוני העולם סיקרו את ראש הרשימה (הארווארד עדיין ראשונה, למי שמודאג), ודנו בכובד ראש בזינוק של קיימברידג' הבריטית אל המקום השני, מייד לאחר סטנפורד, תוך כדי דחיקת ברקלי ו-MIT אל המקומות הרביעי והחמישי.

איך מדרגים? ראשית, אספו החוקרים משנחאי נתונים לגבי ההישגים האקדמיים של כל אוניברסיטה, כגון מספר אנשי הסגל והבוגרים שזכו בפרס נובל או במדליית פילדס (פרס טיורינג לא נחשב), מספר המאמרים שפורסמו על ידי אנשי הסגל והבוגרים בכתבי העת Nature ו-Science,  מספר המאמרים המצוטטים באינדקסים נחשבים, כולל מאמרים התחומי מדעי הרוח והחברה, וכדומה. גם גודל האוניברסיטה (כלומר – מספר הסטודנטים) נלקח בחשבון. לאחר מכן, ניתן לכל אוניברסיטה ציון יחסי באחוזים בכל אחת מהקטגוריות (ביחס לאוניברסיטה המובילה באותה קטגוריה), ולבסוף, משקללים את ציוני הקטגוריות לציון אחד לפיו נקבע הדירוג. מעל 1000 אוניברסיטאות דורגו, אך פורסמה רק רשימת 500 הראשונות בדירוג.

עורכי הדירוג מודעים לבעיות המתודולוגיות המתעוררות ומפרטים אותן בדף השאלות הנפוצות. המעוניינים ימצאו גם הפניה למאמר הדן בבעיות אלה ובהתמודדות עימן בפירוט.

ועכשיו, למי שהגיע עד לכאן, הפרטים המעניינים באמת. איפה אנחנו?

האוניברסיטה הטובה ביותר בישראל, על פי הדירוג, היא האוניברסיטה העברית, המדורגת בסה"כ במקום ה-78 בעולם. (גילוי נאות – כל שלושת תארי הוענקו לי על ידי האוניברסיטה העברית). הטכניון, מכון ויצמן, ואוניברסיטת תל-אביב מתחלקים במקום ה-101 (יחד עם עוד 49 אוניברסיטאות אחרות שזכו לאותו ציון). אוניברסיטאות בר-אילן ובן-גוריון מדורגות במקום 301-400 ואוניברסיטת חיפה במקום 401-500. כל שבע האוניברסיטאות שבישראל נכנסו לרשימת ה-500, הישג מכובד.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 21 באוגוסט 2005 שם התקבלו 3 תגובות

יעקב  בתאריך 8/25/2005 11:27:46 PM

אז מה היה לנו

אוניברסיטה אחת בעשירון העליון, שלוש בעשירון השני, והיתר ברביעי ובחמישי.
נאה, אך לא מעורר השתאות.

עודד  בתאריך 8/27/2005 11:04:10 PM

הישג מכובד

דורגו 1000 אוניברסיטאות מתוך יותר מ 2000
להיכנס לרשימת ה 500 זהו אכן הישג מכובד

יעקב  בתאריך 8/28/2005 2:01:36 AM

לעודד

לא נכנסנו ל-500 הראשונים, נכנסנו ל-50% הראשונים.
מוסד שלא נסקר, יכול היה טכנית להגיע להישגים גבוהים, נמוכים או שווים למוסדות שנסקרו. אין שום משמעות לכמות הכוללת של המוסדות, בהתייחס לרמת ההישגיות, כל עוד המוסדות לא נסקרו.

לפני יומיים פורסמה בפורום מתמטיקה בתפוז ההודעה הבאה:

נתונים מספר נקודות (x,y) .אני צריך למצוא קו מקורב לכל הנקודות. (אין לי הגדרת מתמטית לזה). אני צריך רק את הנוסחא לזה, אין צורך בהסברים

כיוון שכך, הוא אכן קיבל את הנוסחא בלבד, ללא הסברים, ממנהל הפורום שהיה באותו בוקר במצב רוח ציני משהו:

אתה מעוניין לחשב את קו הריבועים הפחותים, שנקרא גם קו הרגרסיה.
אמנם אתה לא מעוניין בהסברים אבל אני ממליץ לך להתעניין – הנה סיפור שיבהיר מדוע זה כדאי.
הנוסחא, בכל אופן היא:

b=inv(X'X)*X'*Y

בהצלחה.

וכצפוי, כעבור שעה קלה באה הודעת תגובה משואל השאלה שכותרתה "סליחה, אבל לא הבנתי את התשובה" עם בקשות להסברים ("מה זה INV?" וכולי), בהם לא היה מעוניין בתחילה.

כל אחד מאיתנו משתמש בחיי היום יום במכשירים רבים. לרובנו אין מושג כיצד המכשירים האלה פועלים. איך פועלת הטלוויזיה? מה גורם למקרר לקרר? ומהם העקרונות הפיזיקליים והמכניים המניעים את המכונית שלנו? ובכל זאת, רובנו המכריע יודע להשתמש במכשירים האלה בצורה נכונה. אנו יודעים שצפיה מרובה בטלוויזיה מזיקה, שאין להכניס סיר חם למקרר, ושיש לבדוק בקביעות את מצב השמן והמים במנוע המכונית, למלא את מיכל הדלק ולנהוג לפי חוקי התנועה.

אבל כשהדברים מגיעים לשימוש בכלי סטטיסטי מתוחכם, הגישה משתנית פתאום.

נכון, כדי להשתמש בשיטת הריבועים הפחותים לא צריך ידע מעמיק בתיאוריה של מרחבים וקטוריים והבנה של משפט גאוס-מרקוב. אבל צריך בכל זאת לדעת איך להשתמש בכלי הזה. כי לא מספיק רק לחשב את המקדמים של קו הרגרסיה על פי הנוסחה הנ"ל. צריך לבדוק תחילה האם השימוש ברגרסיה לינארית מתאים לנתונים שבידי השואל (ובהמשך השרשור מתברר שלא), ואם מתברר שכן, צריך גם לבדוק האם התוצאה שהתקבלה מתקבלת על הדעת. ובשביל זה צריך לדעת יותר מאשר להציב מספרים בנוסחה ולחשב.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 באוגוסט 2005

היום ב"הארץ", מופיע מאמר מאת דונלד מקניל (מתורגם מהניו יורק טיימס) שכותרתו "מי צריך מתמטיקה?". כותרת המשנה, שמסכמת היטב את רוח המאמר היא: "ארה"ב הגיעה בשבוע שעבר רק למקום ה-28 בעולם במבחני המתמטיקה; נו אז?".

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 20 בדצמבר

שם התקבלו 9 תגובות

הסטוריון מצעד המחץ  [אתר]  בתאריך 12/20/2004 8:56:34 AM

ואיפה ישראל בעולם?

עידן  בתאריך 12/20/2004 10:39:23 AM

זוועה

נקווה שלא יאמצו גישה זו אצלנו.
מילא העובדה שמדענים חייבים מתמטיקה ושלמדע יש חשיבות מכרעת לטווח ארוך.
למטמתיקה וחשיבה לוגית יש חשיבות עצומה ביום יום.
אדם מהישוב לא פותר משוואות ריבועיות אולם מאד כדאי שידע להסיק מסקנות באופן לוגי ולא פחות חשוב, לזהות מתי מסקנה כלשהיא לא נכונה.
וכל זאת בלי להזכיר את האלגנטיות והיופי.

הקומיקסר  בתאריך 12/20/2004 12:17:58 PM

השורה התחתונה החשובה שם

בעיני היא שמתמטיקה חשובה כמו כל מיומנות מחשבה אחרת.
כולל שירה.

אורן  [אתר]  בתאריך 12/20/2004 12:34:54 PM

מעשה שהיה

שלום רוזנברג, מרצה לפילוסופיה ואדם משעשע שהיה בעברו מורה למתימטיקה סיפר פעם (באחד השיעורים בקורס מבוא לתורת ההכרה. אני לא זוכר מה הקשר) שתלמידה שלו בתיכון שאלה אותו בשביל מה ללמוד מתמטיקה.
הוא ענה לה שהמח הוא כמו עיפרון – צריך לחדד אותו כדי שיהיה אפשר להשתמש.
היא ענתה, כך הוא מספר, שעיפרון שמחדדים יותר מדי – נשבר לו השפיץ ואי אפשר להשתמש בכלל…

גיל  [אתר]  בתאריך 12/20/2004 7:02:58 PM

שירה היא מיומנות מחשבה?

לקומיקסר, בתמיהה-
האם ניתוח שיר הוא כניתוח צפרדע
והתרגשות ממטאפורה כתזזית האינדוקציה?

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 12/21/2004 12:02:34 AM

הרבה מתמטיקה לא צריך

לדעתי אין הצדקה לחייב אוניברסלית ללמוד אלגברה, חדו"א, טריגונומטריה, לוגריתמים, וכו'. יש לשמור על מסלול "ריאלי", היינו לאנשים שמתעתדים לעסוק במדעים או בהנדסה, ולדרוש מכלל האוכלוסיה רק מיומנות באריתמטיקה (כולל אחוזים, כמובן) ובהסתברות, שהם לטעמי שני התחומים השימושיים לכל אדם בחברה המודרנית.
את הפונקציה הממיינת של לימודי המתמטיקה, שמוזכרת במאמר, יש להחליף במיון לפי נושא לימוד חשוב יותר, ואמין יותר כקריטריון ממיין, לטעמי, והוא הלשון: רמת לימודי הלשון, ההבעה, הלוגיקה המילולית, והרטוריקה הנהוגים כיום מחפירים, והרמה הנדרשת מכל תלמיד מייצרת אזרחים בורים, עילגים, ומעורפלי מחשבה.
*בכל* נושא יש חשיבות ליכולת ביטוי והבעה בהירה ומדויקת, ובכל נושא יש צורך בהבנת הנקרא ובחשיבה מופשטת. לכן את הזמן שיתפנה אם יופחת הדגש על לימודי המתמטיקה הבלתי-נחוצים שתיארתי כדאי להקדיש לשיפור הוראת הבנת הנקרא, חשיבה מילולית, וכן לפתוח בלימודי רטוריקה בסיסיים, שנעדרים לחלוטין מתכנית הלימודים התיכונית, ואפילו מזו של האוניברסיטאות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 12/21/2004 1:56:37 PM

תגובה לאסף

ראשית, אציין כאן כי אסף העלה את הנושא לדיון גם בבלוג שלו, ושם התפתח דיון מעניין שבו יש כרגע 17 תגובות. אני ממליץ לקרוא:
http://www.livejournal.com/users/ijon/150038.html?view=862486
התגובה ה-17 בדיון הנ"ל היא תגובתי, ואני מביא אותה גם כאן (חלק מהתגובה מתייחס גם לדברים שנאמרו במהלך הדיון בבלוג של אסף):
אני חושב שיש הסכמה גורפת על כך שצריך לשנות את האופן שבו מלמדים היום את רוב המקצועות בבתי הספר. אני בהחלט חושב שיש צורך לערוך רפורמה רצינית בייחוד בלימודי המתמטיקה.
אולם, הטענה המרכזית במאמר מהניו יורק טיימס, שאתה חוזר עליה במובלע, היא כי לימודי המתמטיקה (או רובם) "מיותרים", והטיעון הדמגוגי של קתלין טרנר (?, או יותר נכון של הדמות שאותה היא מגלמת בסרט כלשהו) כי מעולם לא נאלצה לפתור משוואה אחרי סיום הלימודים בתיכון עובד גם לגבי מקצועות אחרים. למשל:
* מעולם לא נזקקתי לניתוח ספרותי של שיר משירי ביאליק לאחר סיום הלימודים בתיכון.
* מעולם לא הייתי צריך לנקד מילה עברית כלשהי לאחר סיום הלימודים בתיכון.
* מעולם לא נזקקתי לפרש פרק בתנ"ך לאחר סיום לימודי בתיכון.
ועוד ועוד.
אני בטוח שאתה יכול להבין להסביר מדוע בכל זאת חשוב ללמוד ספרות, תנ"ך, לשון עברית, ועוד מקצועות אחרים (אזרחות? היסטוריה? מי צריך את זה?) בבית הספר. יש גם נימוקים כבדי משקל לטובת המתמטיקה, ואני סבור שאדם בעל רמת השכלה מינימלית בחברה המודרנית אכן צריך ללמוד פרקים מסויימים במתמטיקה מתקדמת – כן, וזה כולל גם טריגונומטריה וחשבון דיפרנציאלי.
אני מקווה להרחיב על כך במאמר שאכתוב בעתיד.

ג'ון דו  בתאריך 12/23/2004 10:55:08 AM

צודק בהחלט

העיתונאי לא משתמש לאחר סיום לימודיו במשוואות טריגונומטריות, והפיזיקאי לא משתמש בשירי ביאליק.
הסופר לא יצטרך לעולם לחשב אינטגרלים, והמתמטיקאי לא ימצא שימוש בפירוש רש"י לבראשית י"ג.
אז למה להסתפק רק בלימודי המתמטיקה? בוא נסיים את הלימודים בכיתה ז' (בערך הכיתה שבה מסיימים ללמוד את המעט שצריך לחיים), וניתן לתלמידים ללכת לעבוד.
הבעיה לדעתי, היא שבניגוד להיסטוריה ולספרות, משום מה מתמטיקה לא נחשבת כ"תרבות", כדבר שחיוני לדעת גם מעבר לשימושים הפרקטים בחיי היומיום. נערים שלא יודעים מי היה הרצל או מי היה ביאליק מוקעים בעיתונות ובתקשורת כחסרי השכלה ותרבות. לעומת זאת, לא מעט אנשי רוח מפורסמים דווקא מתגאים (במידה זו או אחרת) בכך שאין להם מושג קלוש במתמטיקה.
הסיבה לחלוקה הזאת היא פשוטה: אותם האנשים שנוטים באופן טבעי להומניסטיקה, הם אלה שיתפסו את משבצות העיתונאים, הסופרים, כתבי הטלוויזיה ושאר המדיומים שבהם ניתן להשפיע על תפיסת העולם של הציבור. אלה הנוטים דווקא לתחום הריאלי הולכים לאוניברסיטה ונחשבים כ"עופות מוזרים".
לדעתי, אדם שרוצה להחשיב עצמו כאינטלקטואל צריך לדעת מהו הקשר בין מושג האינפלציה למושג הנגזרת, בדיוק כמו שהוא צריך להכיר את "עוד חוזר הניגון" של אלתרמן
(אגב – חידה ידועה שואלת מי היה הנשיא האמריקאי שנעזר בנגזרת שלישית כדי לזכות בבחירות)

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 5/13/2008 8:51:17 AM

תשובה לחידה של ג'ון דו

ניקסון
http://homepage.smc.edu/nestler_andrew/math7/derivatives.htm

איתמר שאלתיאל כתב שלשום 100 מלים על המצב באתר נענע: "חיים הכט ניסה למכור לציבור 'דמוקטטורה', והציבור קנה. ככה זה כשבמערכת החינוך מעדיפים ללמד אותך אינטגרלים במקום אזרחות".

אני האחרון שיזלזל בחשיבות של לימודי האזרחות, ואני מסכים עם רוב אמירותיו של שאלתיאל לגבי חשיבות לימודי האזרחות, והבעייתיות הרבה באופן שבה מלמדים מקצוע זה כיום.

אולם – המשוואה שהוצבה מולנו – אזרחות מול מתמטיקה – הינה דמגוגית, מזיקה ומטעה.

כאן המקום להזכיר כי המתמטיקה תרמה לקידום הדמוקרטיה בעולם לא פחות, ואף יותר, מלימודי האזרחות והפילוסופיה. המתמטיקה תרמה תרומה מכרעת לנצחון בעלות הברית במלחמת העולם השניה. פיצוח צופן האניגמה, שהכריע את הקרב על האוקיינוס האטלנטי, הושג הודות לעבודה מאומצת של בכירי המתמטיקאים באנגליה, ובראשם אלן טיורינג. פיתוח הפצצה האטומית, שזירזה את סיום המלחמה מול יפן, לא היה מתאפשר לולא הגה מתמטיקאי אנגלי אחר, אייזיק ניוטון, את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי 200 שנה קודם לכן.

כן. אני מסכים עם שאלתיאל וקורא למנהיגי המדינה ליישם את כל המלצותיו לרפורמות בלימודי האזרחות. אבל לא על חשבון המתמטיקה.

הערה: בעקבות הערתה של אורית למטה, תוקן נוסח הרשימה. הציטוט "אינטגרלים במקום אזרחות" מקורו בכותרת המשנה של המאמר בנענע. ברור לי כי המאמר עצמו אינו קורא להרחיב את לימודי האזרחות על חשבון המתמטיקה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 30 בנובמבר 2004 20:21 במדור בנימה אישית שם התקבלו 3 תגובות

אורית  בתאריך 11/30/2004 8:40:04 PM

הוצאו מהקשרם

כנראה שגם בהבנת הנקרא לא השקיעו במשרד החינוך 🙂
שאלתיאל לא מציע לבטל שעות מתמטיקה לטובת שעות אזרחות אלא מראה את הזלזול שמפגין משרד החינוך כלפי מקצוע האזרחות כפי שהוא משתקף – לדוגמא – מול מקצוע "נחשב" כמו מתמטיקה.
(ובסוגריים, לעיתים רחוקות לכותב המאמר יש שליטה על תוכנן של כותרות המשנה)

יוסי

בתאריך 11/30/2004 9:20:49 PM

תשובה לאורית

כן, אני מסכים איתך בעקרון (לא בעניין הבנת הנקרא אלא בעניין כותרת המשנה).

איתמר שאלתיאל  בתאריך 12/1/2004 11:26:05 AM

כמה מלים

ראשית, המאמר אליו אתה מפנה אינו חלק מהטור "מאה מלים על המצב" (שמכיל, אגב, מאה מלים בלבד).
חוצמזה, לא התכוונתי לטעון ולו לרגע שלימודי מתמטיקה אינם חשובים. כל שרציתי לומר הוא שלימודי אזרחות מקבלים יחס מפלה, שאינו מוצדק, לעומת דברים אחרים, וביניהם מתמטיקה.
אגב, אני מאמין שגם מתמטיקה לא מלמדים כהלכה. מה שמלמדים בבתי הספר הוא משחק בנוסחאות, לא מתמטיקה. עדות לכך תמצא אם תשאל תלמידי תיכון מהי אותה "מתמטיקה" שהם לומדים.

אחד האנשים הנושאים באחריות להתפתחותי כמתמטיקאי הוא מר יוסף רוטנברג ז"ל, שהיה המורה שלי למתמטיקה בכיתה י"א וגם בתחילת י"ב, עד שחלה ונפטר. לא נעים לומר (כי יש לכבד את המת) אבל אין ברירה: מר רוטנברג היה אחד המורים הגרועים ביותר שהיו לי אי פעם, וללא ספק הגרוע ביותר מבין כל המורים (והמורות) למתמטיקה שלמדתי אצלם.

טכניקת ההוראה שלו הייתה פשוטה: הוא מסר לנו את ההגדרות הבסיסיות של הנושא הנלמד (נניח – הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות), ולפעמים גם מסר בידינו משפט או שניים (בנושא הטריגונומטריה זכיתי ללמוד ממנו את הוכחת הנוסחה לסינוס סכום של שתי זוויות, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוס – זהו). עכשיו, תלמידים מכובדים, פתחו את הספר ופתרו את תרגיל מספר 1. מי שהצליח מצביע, ונקרא אל הלוח להציג את פתרונו בפני שאר הכיתה. עכשיו נעבור לתרגיל 3 (תרגיל 2 – לשיעורי הבית), ואח"כ ל-5, וכן הלאה. למעשה, למדנו את החומר בלימוד עצמי. הכשרה מצויינת למי שמתעתד להיות מתמטיקאי מקצועי, אבל לא לתלמיד בכיתה י"א שחושש לגורלו בבחינת הבגרות.

ובכל זאת – יש הגיון בשיגעון. כאשר הייתי סטודנט, מספר שנים מאוחר יותר, נהגתי לגשת לספריה בתחילת כל סמסטר ולצלם את הבחינות משנים קודמות בקורסים שהתעתדתי ללמוד באותו סמסטר. מיותר לציין שכל הצצה בטופס בחינה עוררה בי חלחלה – הכל נראה בעיני כסינית עתיקה. כמובן שטופס בחינה בנושא ניתוח שונות למשל נראה אחרת לגמרי בסוף הסמסטר מאשר בתחילתו. השיטה של מר רוטנברג חסכה את המבט לעתיד.

ההיגיון של מר רוטנברג אמר –  מי שלומד לשחות, כדאי שיעשה זאת במים הרדודים, ומי שאינו יודע לפתור את שאלה מספר 3, עדיף לו שלא ינסה כלל להתמודד עם שאלה מספר 5. אכן, קו מחשבה נכון בהחלט, וכפי שהמתמטיקאים אומרים – זהו תנאי הכרחי, אבל בהחלט לא מספיק.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 22 באוגוסט 2004 00:00 במדור מתמטיקה של בית-ספר

לפני "כמה" שנים, בערך שנה אחרי שסיימתי את הב.א. שלי במתמטיקה, חיפשתי עבודה. רציתי לעשות משהו שאני אוהב, שלא ידרוש ממני הרבה שעות עבודה, ויאפשר לי להמשיך בעיסוקים שלי באוניברסיטה (הייתי אז מאסטרנט, וגם עבדתי כמתרגל).

בתמימותי, החלטתי שמה שאני צריך לעשות זה להיות מורה למתמטיקה,  וכך, בראש חודש ספטמבר שנת אלף תשע מאות לא משנה כמה, התייצבתי בחדר המורים של בי"ס תיכון מקצועי לא ממש ידוע בעיירת פיתוח לא רחוקה ממרכז הארץ. קיבלתי לידי כיתה י' אחת, כיתה י"א אחת במסלול "עיוני", ושתי כיתות י"ב – האחת "עיונית" (5 תלמידים) והשנייה של בנות מגמת התפירה שנכשלו שנה קודם לכן במבחן של 3 יחידות והחליטו לנסות שוב בכיתה י"ב.

מי שמכיר אותי מספיק בטח יסכים איתי שמתמטיקה אני יודע. ובאותה עת גם לימדתי בהצלחה באוניברסיטה מזה שלוש שנים (הייתי מתרגל כבר בשנה ג'). אבל ללמד בבית-ספר – זה סיפור אחר. הייתי מורה גרוע. נקודה. ואחרי שנה – פרשתי מההוראה ופניתי לעיסוקים שבהם אני יותר מוכשר.

מורה בבית הספר צריך לדעת לעמוד מול כיתה, לנהל מאבק כוחות ומוחות מול התלמידים שלא ממש רוצים ללמוד (בטח לא מתמטיקה), צריך לדעת איך להסביר את החומר באופן שהתלמידים יבינו, צריך לעורר בתלמידים רצון ללמוד, צריך לנטוע בתלמידים את האמונה שהם מסוגלים ללמוד ולהצליח, צריך לכבד את התלמידים. אה, כן, ומורה למתמטיקה צריך גם לדעת מתמטיקה.

זה קשה.

נכון, יש הרבה מורים לא טובים במערכת, אפילו מורים גרועים לא חסר. אבל…

אם המורה שלכם לא (היה) כל כך טוב (או טובה…), תעמידו את עצמכם במקומו. תחשבו על מה שהוא צריך לעבור. תחשבו עם מה הוא צריך להתמודד. ותחשבו על זה שהוא בכל זאת בא כל יום, ומנסה לעשות את העבודה שלו. כי כל מורה למתמטיקה יכול להיות פקיד בבנק, ולהרוויח כפליים כסף תמורת עבודה קלה הרבה יותר. המורה שלכם בחר/ה להיות מורה, וזה אומר עליו/ה משהו. משהו חיובי.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 באוגוסט 2004 14:09 במדור מתמטיקה של בית-ספר שם התקבלו 3 תגובות

אני מניח שלאור 25 אחוזי הרייטינג להם זכה חיים הכט אתמול (11 ביולי 2004) בתכניתו "בין כרכור לסינגפור", חלק מכם ראה את התכנית. אני מניח שעוד יאמרו וייכתבו דברים רבים על יצירתו האחרונה של מייקל מור של הימין הישראלי, לכן אסתפק כאן בדיון קצר אודות אפיזודה קטנה מהתכנית הנ"ל, הקשורה (כמובן) לנסיכת המדעים, היא הסטטיסטיקה.

כדי לקלס את מערכת החינוך הסינגפורית, הביא הכט את מה שכינה "מדגם אקראי" של תלמידות כיתה ג' סינגפוריות וישראליות, וממנו עלה כי הסינגפוריות מעדיפות לקרוא ספרים, לעומת הישראליות המעדיפות לצפות ב-MTV. אבל למה התכוון במילים "מדגם אקראי"?

מה שראינו בהחלט היה מדגם, שכן מדגם מוגדר כקבוצה חלקית של האוכלוסייה. בדרך כלל, שואפים שמדגם יהיה מדגם מייצג לאוכלוסיה. אני מניח כי במילים "מדגם אקראי" התכוון הכט לומר כי המדגם לא היה מייצג, ולכן אין לראות בתשובות שהציג בתכנית עדות מוסמכת להעדפותיהן של בנות ה-9 בשתי הארצות (מה שכל צופה רציונאלי היה מסיק ממילא). ברור לי כי הכט ראיין מספר תלמידות, ובעריכה שתל את התשובות שידגישו את המסר שהוא רוצה להעביר. התלמידות שהוצגו בתכנית נבחרו באופן בלתי אקראי כלל וכלל. להיפך. העדויות שהוצגו בפנינו היו מוּטוֹת (biased) לטובת המסר של הכט.

ואם המדגם שהוצג לא היה מדגם אקראי, למרות שכך נאמר, מהו באמת מדגם אקראי, ומה תועלתו?

הארי טרומן לא ממש מתרגש מסקר השיקאגו טריביון שהכריז על הפסדו לדיואי בבחירות לנשיאות ארה"ב ב-1948

סוקרים למדו בדרך הקשה כי לקיחת מדגם מייצג היא בעיה קשה במיוחד (הדוגמא הבולטת היא הסקר שהכריז על הפסדו של הארי טרומן בבחירות לנשיאת ארה"ב ב-1948). ניתן לקחת מדגם שייצג תכונות ידועות באוכלוסיה בקלות (יחס בין מספר הגברים לנשים למשל), אולם כיצד נדע אם המדגם מייצג את האוכלוסייה גם בערכו של הפרמטר הבלתי ידוע, למשל העדפה בין קריאה לצפייה בטלוויזיה? מתברר שניתן לעשות זאת אם שיטת הדגימה היא הסתברותית. אם נדע בדיוק את ההסתברות של כל פרט באוכלוסיה להיכלל במדגם, אזי נוכל לאמוד בדיוק רב את ערכו של הפרמטר הבלתי ידוע (למשל, איזה אחוז מתלמידות כיתה ג בישראל מעדיף קריאת ספרים על פני צפייה ב-MTV). הדרך הקלה ביותר לעשות זאת, היא על ידי בחירת המדגם באופן אקראי לחלוטין מתוך האוכלוסייה. מתודולוגיה זו נקראת בסטטיסטיקה בשם "מדגם מקרי פשוט" (simple random sample – באנגלית זה נשמע יותר טוב).

מוזר – אך המדגם האקראי הוא המדגם האמין שניתן להסתמך על תוצאותיו.

פורסם לראשונה ב 12 ביולי 2004 באתר "רשימות"

התמודדות עם בעיות תמיד מהווה אתגר. התמודדות עם בעיות מתמטיות אינה יוצאת מכלל זה. כאשר בעיה מתחום אחד מנוסחת בשפה מתחום אחר – ההתמודדות עלולה להיות קשה מאוד.

אני מלמד קורסים בסטטיסטיקה מזה שנים רבות. שמתי לב כי סטודנטים השולטים היטב בטכניקות סטטיסטיות מורכבות, כושלים בהתמודדות עם בעיות הדורשות מהן ליישם שיטות אלה. גם רבים מתלמידי בית הספר השולטים היטב בטכניקות המתמטיות, כגון פתרון משוואות, כאילו נתקלים במחסום בלתי עביר בהגיעם לפרק המכונה "בעיות מילוליות". 

לא אדון כאן בסיבות לתופעה זו – זהו נושא לרשימה אחרת. אולם, ברצוני להביא כאן דרך אסטרטגית להתמודדות עם בעיות הדורשות פתרון בפרט, ועם "בעיות מילוליות במתמטיקה" בפרט.
 
האסטרטגיה שתתואר כאן הוצעה על ידי המתמטיקאי ג'ורג' פוליה בספרו הקלאסי "כיצד לפתור זאת". היא מורכבת מארבע שלבים:

• זיהוי
• תכנון
• פתרון
• בקרה
   

כעת נסקור בפירוט את כל אחד מהשלבים.
 
זיהוי

• קראו את ניסוח הבעיה בעיון.
• הדגישו את מילות המפתח.
• נסו להיזכר אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר.
• בררו מהם הנתונים העומדים לרשותכם.
• בררו מה מטרתכם – מה אתם מנסים למצוא או להשיג.

תכנון

• אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר, בררו מה הדמיון בין הבעיה הנוכחית והבעיה הקודמת. כן בררו מה כיצד פתרתם או ניסיתם לפתור אות אותה הבעיה.
• נסו לנסח בעיה שתהיה דומה לבעיה הנתונה, אבל פשוטה יותר. הפתרון לבעיה הפשוטה עשוי לגלות רמז לבעיה המסובכת.
• הגדירו שיטות פתרון שאתם מכירים ועשויות להועיל בפתרון הבעיה שלפניכם.
• כאשר תנסו שיטת פתרון ולא תצליחו לפתור את הבעיה בעזרתה, בדקו מדוע השיטה לא פעלה – שם עשוי להימצא המפתח לפתרון.

פתרון

• השתמשו בשיטות שהכנתם בשלב התכנון כדי לפתור את הבעיה.
• אם כל השיטות כשלו, יש לחזור לשלב התכנון ואולי אף לשלב הזיהוי – ייתכן כי פספסתם שם משהו.

בקרה

• האם הפתרון שקיבלתם הגיוני?
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית כפי שהוגדרה?
• האם הפתרון משתמש במונחים של הבעיה המקורית?
• בדקו שוב.

נראה פשוט, נכון? אז מה הבעיה?
כשמגיעים ל"בעיה מילולית במתמטיקה", ניתן לפרט חלק משלבים באופן מדוייק יותר. להלן הסבר מפורט יותר לגבי חלק משלבים.
 
זיהוי

• קריאת הבעיה: נסו לראות את "התמונה הגדולה", התעלמו מהפרטים. על מה הבעיה?
• הדגשת מילות המפתח: מלים רבות ניתנות לתרגום מיידי לשפת המתמטיקה. מילים כמו "בסך הכל", "יחד", "בנוסף", "כל" מרמזות על פעולת חיבור. המילים "גדול ב-", "קטן ב-", "ביותר", "בפחות", "לפני", "אחרי" רומזות לפעולת חיסור. המלים "פעמים", "אחוז מ-" או "פי" מצביעות על כפל, ואילו המילים "חלק", "יחס" ו-"פי" רומזות לפעולת חילוק.
• בעיות דומות: האמינו או לא, כל בעיות התנועה דומות זו לזו, וגם כל הבעיות הטריגונומטריות. אם פתרתם בעיה אחת, קרוב לודאי ששיטת הפתרון "תעבוד" גם בפתרון בעיה דומה.
• בירור הנתונים: מצאו קשר בין מילים ומספרים. לדוגמא: "בית, שערכו 120,000 דולר, נמכר ב-70% משוויו". המספר 120,000 קשור לערך הבית. המספר 70% קשור למחיר המכירה.
• בירור המטרה: מילות שאלה ("מה", "כמה") או ציווי ("מצאו", "חשבו") מפנות לנעלם או לערך שאותו יש למצוא כדי לפתור את הבעיה.

תכנון

• הפשטה: דרך מקובלת לפישוט בעיה היא הוספת נתון. אם בבעיה מסופר על שני אוטובוסים הנוסעים בין טבריה לאילת, נסו לפתור בעיה זהה שבה נתונה מהירותו של אחד האוטובוסים. בעיה זו בהכרח קלה יותר. אם תדעו כיצד להתמודד איתה, אפילו חלקית, עשיתם צעד לפתרון הבעיה המקורית.
• שיטות פתרון: שיטה יעילה ביותר היא תרגום מהשפה הטבעית לשפה המתמטית, בעזרת מילות המפתח וקישור המילים והמספרים. בדוגמת מכירת הבית, מחיר המכירה הוא 70% משווי הבית, ולכן ניתן לרשום כי מחיר המכירה =  70%x120000.

בקרה

• הגיון: ערכי מהירות, זמן או מחירים אינם יכולים להיות שליליים. הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ-1 או קטנה מ-0. אם פועל אחד חופר בור ב-4 שעות, והשני חופר את הבור ב-3 שעות, אז הזמן שיצטרכו שניהם כדי לחפור את הבור ביחד חייב להיות קטן מ-3 שעות. מספר הילדים בכיתה חייב להיות שלם.
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית: נתבקשתם לחשב את מהירות האוטובוס, וכתבתם משוואה שבה הנעלם הוא משך הזמן בו האוטובוס נסע מטבריה לאילת. המשוואה נכונה, וגם פתרונה נכון. אבל התשובה, 7 שעות, אינה הפתרון לבעיה המקורית. אאוץ.
• מונחי הבעיה המקורית: אם הזמנים בבעיה היו נתונים בשעות, כך גם צריך להיות הפתרון.
• בדקו שוב – זה אף פעם לא מזיק.

קישורים לקריאה נוספת

• הספר "How to solve it" באתר אמזון.
• ג'ורג' פוליה

 פורסם לראשונה ב 29 ביוני 2004 באתר "רשימות", שם התקבלו  4 תגובות: