אסטרטגיות לפתרון בעיות

התמודדות עם בעיות תמיד מהווה אתגר. התמודדות עם בעיות מתמטיות אינה יוצאת מכלל זה. כאשר בעיה מתחום אחד מנוסחת בשפה מתחום אחר – ההתמודדות עלולה להיות קשה מאוד.

אני מלמד קורסים בסטטיסטיקה מזה שנים רבות. שמתי לב כי סטודנטים השולטים היטב בטכניקות סטטיסטיות מורכבות, כושלים בהתמודדות עם בעיות הדורשות מהן ליישם שיטות אלה. גם רבים מתלמידי בית הספר השולטים היטב בטכניקות המתמטיות, כגון פתרון משוואות, כאילו נתקלים במחסום בלתי עביר בהגיעם לפרק המכונה “בעיות מילוליות”. 

לא אדון כאן בסיבות לתופעה זו – זהו נושא לרשימה אחרת. אולם, ברצוני להביא כאן דרך אסטרטגית להתמודדות עם בעיות הדורשות פתרון בפרט, ועם “בעיות מילוליות במתמטיקה” בפרט.
 
האסטרטגיה שתתואר כאן הוצעה על ידי המתמטיקאי ג’ורג’ פוליה בספרו הקלאסי “כיצד לפתור זאת”. היא מורכבת מארבע שלבים:

• זיהוי
• תכנון
• פתרון
• בקרה
   

כעת נסקור בפירוט את כל אחד מהשלבים.
 
זיהוי

• קראו את ניסוח הבעיה בעיון.
• הדגישו את מילות המפתח.
• נסו להיזכר אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר.
• בררו מהם הנתונים העומדים לרשותכם.
• בררו מה מטרתכם – מה אתם מנסים למצוא או להשיג.

תכנון

• אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר, בררו מה הדמיון בין הבעיה הנוכחית והבעיה הקודמת. כן בררו מה כיצד פתרתם או ניסיתם לפתור אות אותה הבעיה.
• נסו לנסח בעיה שתהיה דומה לבעיה הנתונה, אבל פשוטה יותר. הפתרון לבעיה הפשוטה עשוי לגלות רמז לבעיה המסובכת.
• הגדירו שיטות פתרון שאתם מכירים ועשויות להועיל בפתרון הבעיה שלפניכם.
• כאשר תנסו שיטת פתרון ולא תצליחו לפתור את הבעיה בעזרתה, בדקו מדוע השיטה לא פעלה – שם עשוי להימצא המפתח לפתרון.

פתרון

• השתמשו בשיטות שהכנתם בשלב התכנון כדי לפתור את הבעיה.
• אם כל השיטות כשלו, יש לחזור לשלב התכנון ואולי אף לשלב הזיהוי – ייתכן כי פספסתם שם משהו.

בקרה

• האם הפתרון שקיבלתם הגיוני?
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית כפי שהוגדרה?
• האם הפתרון משתמש במונחים של הבעיה המקורית?
• בדקו שוב.

נראה פשוט, נכון? אז מה הבעיה?
כשמגיעים ל”בעיה מילולית במתמטיקה”, ניתן לפרט חלק משלבים באופן מדוייק יותר. להלן הסבר מפורט יותר לגבי חלק משלבים.
 
זיהוי

• קריאת הבעיה: נסו לראות את “התמונה הגדולה”, התעלמו מהפרטים. על מה הבעיה?
• הדגשת מילות המפתח: מלים רבות ניתנות לתרגום מיידי לשפת המתמטיקה. מילים כמו “בסך הכל”, “יחד”, “בנוסף”, “כל” מרמזות על פעולת חיבור. המילים “גדול ב-“, “קטן ב-“, “ביותר”, “בפחות”, “לפני”, “אחרי” רומזות לפעולת חיסור. המלים “פעמים”, “אחוז מ-” או “פי” מצביעות על כפל, ואילו המילים “חלק”, “יחס” ו-“פי” רומזות לפעולת חילוק.
• בעיות דומות: האמינו או לא, כל בעיות התנועה דומות זו לזו, וגם כל הבעיות הטריגונומטריות. אם פתרתם בעיה אחת, קרוב לודאי ששיטת הפתרון “תעבוד” גם בפתרון בעיה דומה.
• בירור הנתונים: מצאו קשר בין מילים ומספרים. לדוגמא: “בית, שערכו 120,000 דולר, נמכר ב-70% משוויו”. המספר 120,000 קשור לערך הבית. המספר 70% קשור למחיר המכירה.
• בירור המטרה: מילות שאלה (“מה”, “כמה”) או ציווי (“מצאו”, “חשבו”) מפנות לנעלם או לערך שאותו יש למצוא כדי לפתור את הבעיה.

תכנון

• הפשטה: דרך מקובלת לפישוט בעיה היא הוספת נתון. אם בבעיה מסופר על שני אוטובוסים הנוסעים בין טבריה לאילת, נסו לפתור בעיה זהה שבה נתונה מהירותו של אחד האוטובוסים. בעיה זו בהכרח קלה יותר. אם תדעו כיצד להתמודד איתה, אפילו חלקית, עשיתם צעד לפתרון הבעיה המקורית.
• שיטות פתרון: שיטה יעילה ביותר היא תרגום מהשפה הטבעית לשפה המתמטית, בעזרת מילות המפתח וקישור המילים והמספרים. בדוגמת מכירת הבית, מחיר המכירה הוא 70% משווי הבית, ולכן ניתן לרשום כי מחיר המכירה =  70%x120000.

בקרה

• הגיון: ערכי מהירות, זמן או מחירים אינם יכולים להיות שליליים. הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ-1 או קטנה מ-0. אם פועל אחד חופר בור ב-4 שעות, והשני חופר את הבור ב-3 שעות, אז הזמן שיצטרכו שניהם כדי לחפור את הבור ביחד חייב להיות קטן מ-3 שעות. מספר הילדים בכיתה חייב להיות שלם.
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית: נתבקשתם לחשב את מהירות האוטובוס, וכתבתם משוואה שבה הנעלם הוא משך הזמן בו האוטובוס נסע מטבריה לאילת. המשוואה נכונה, וגם פתרונה נכון. אבל התשובה, 7 שעות, אינה הפתרון לבעיה המקורית. אאוץ.
• מונחי הבעיה המקורית: אם הזמנים בבעיה היו נתונים בשעות, כך גם צריך להיות הפתרון.
• בדקו שוב – זה אף פעם לא מזיק.

קישורים לקריאה נוספת

• הספר “How to solve it” באתר אמזון.
• ג’ורג’ פוליה

 פורסם לראשונה ב 29 ביוני 2004 באתר “רשימות”, שם התקבלו  4 תגובות: