נסיכת המדעים

שלום לכולם. הפעם מקבץ ארוך למדי, עקב משך הזמן הארוך מאז המקבץ הקודם.

• השבוע צוינו 100 שנה למותה של פלורנס נייטינגייל.
• בעיית המעטפות (עליה כתבתי לפני כשנתיים)  הרימה שוב את ראשה, הפעם בבלוג של וייאם בריגס, שהקדיש שתי רשימות לנושא. את הרשימה הראשונה אפילו קראתי. (המשך הפריט גולש לפרטים טכניים, אז מי שלא מעוניין מוזמן פשוט לדלג עליו). בתחילה בריגס מציג את החישוב השגוי לפיו החלפת המעטפות תביא לתוחלת רווח של 1.25X (כאשר  X הוא הסכום במעטפה שקיבלת), ולכן מתקבלת המסקנה הפרדוקסלית לפיה כדאי להחליף את המעטפה שוב ושוב ושוב. אולם בריגס אינו מסיק מכך כי יש לנסות לערוך את החישוב בצורה נאותה יותר. המסקנה של בריגס היא שיש להשליך את התוחלת לכל הרוחות בבעיות החלטה (טוב, הוא השתמש במלים קצת יותר מעודנות). וכיוון שכך, הוא פונה מייד אל העולם הבייסיאני (הבייסיאניים לא משתמשים בתוחלת? אלה חדשות אפילו בשבילי), ומתחיל להציג שלל פתרונות מהסוג שגרמו לי לא להתלהב מהענף הזה של הסטטיסטיקה. עלי לציין כי הגבתי לרשימה וציינתי מהיכן מגיע הפרדוקס, ומדוע תוחלת הרווח מהחלפת המעטפות היא אפס (ולכן לא משנה אם מחליפים או לא). בתגובה בריגס דרש ממני "להוכיח" (?!) כי החישוב שלו לפיו התוחלת היא 1.25X אינו נכון. אני לא מבין את זה. הוא הוא יטען כי 2 ועוד 2 שווים ל-5 ואני אטען כי התשובה הנכונה היא 4 (למניעת תשובות מתחכמות – אני מדבר על שדה הממשיים), האם אדרש להוכיח כי התשובה 5 אינה נכונה? בריגס הוסיף וטען כי התוחלת הוא מושג שכיחותי (frequentist) ואילו ניסוי המעטפות נערך פעם אחת בלבד, ולכן מושג התוחלת אינו תקף. אני לא מבין את הטיעון הזה. ואם נערוך סדרה של ניסויים זהים, אז הטיעון שלי יהיה תקף לפתע? אשמח למי שיאיר את עיניי. את הרשימה השניה של בריגס כבר לא קראתי, אבל אתם מוזמנים.
• נתן יאו מהבלוג Flowing Data העוסק בויזואליזציה של נתונים כתב רשימה על 7 הכללים הבסיסיים ליצירת גרפים ותרשימים. 7 הכללים הם: בדוק את הנתונים, הסבר את הקידוד, הוסף תוויות לצירים, ציין את יחידות המדידה, שמור על פרופרציות גיאומטריות נכונות, ציין את מקור הנתונים, וזכור מי קהל היעד שלך. כעת פוצח יאו בסדרה של שבע רשימות שתסביר ביתר פירוט את כל אחד מהכללים. הנה הלינק לרשימה הראשונה בסדרה: בדוק את הנתונים.
• שמוליק הביא בבלוג שלו דוגמא בה הכלל החמישי של יאו מופר בגסות.
• והנה הצגה גרפית יפה (בוושינגטון פוסט) המשווה בין תכניות המס של שני נשיאי ארה"ב האחרונים, בוש ואובאמה.
• רנדום ג'ון מדווח על הרצאה של פרנק הארל בכנס useR!  שעסקה ב"אלרגיה לאינפורמציה". תופעה זו באה לידי ביטוי בהתנגדות להשיג אינפורמציה הדרושה לקבלת החלטה נכונה ובהתעלמות מאינפורמציה חשובה וזמינה. הוא מביא לינק למצגת של גירסה יותר ישנה של ההרצאה.
• ועוד דיווח מכנס: ג'ון ג'ונסון מחברת קאטו מדווח על התובנות שלו מכנס JSM2010 שנערך בואנקובר בתחילת החודש.
• למתעניינים בכריית נתונים (שלאחרונה הצטרפתי לשורותיהם): ג'ון אלדר כותב על עשרת הטעויות האפשריות הגדולות ביתר בדאטה מיינינג. כשערך את ספירת המלאי גילה שיש לו למעשה 11 טעויות ברשימה. הפתרון שלו: הן דורגו החל מ-0 ועד 10. זה לא רעיון מקורי. גם בליגת המכללות הנקראת "Big10" יש 11 מכללות (שימו לב ללוגו).
• וזה לא שייך למקבץ, אבל הפריט הקודם הזכיר לי אנקדוטה על המתמטיקאי נורברט ווינר, אולי האבטיפוס של דמות הפרופסור המפוזר. באחת הפעמים שעבר דירה, ביקשה ממנו אשתו לברר כי אל הדירה החדשה הגיעו 10 מזוודות. ווינר חזר ודיווח לרעייתו כי ספר 9 מזוודות בלבד, והדגים בנוכחותה את הספירה החוזרת: 0, 1, 2,…
• כריסטיאן רוברט (Xian) מאוניברסיטת דופין בפריז החליט להעביר סמינר על המארים הקלאסיים של הסטטיסטיקה. כדי להחליט אלו מאמרים ילמדו בסמינר, הוא ערך סקר בין קוראי הבלוג שלו. בין המועמדים: מאמרם הקלאסי של ניימן ופירסון, מאמרו של ברדלי אפרון (מספר 8 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים שערכתי), מאמרו של קוקס (מספר 10) על ניתוח השרדות, ועוד רבים וטובים. בולטים בהעדרם מהרשימה  מאמר כלשהו מאת פישר ומאמרו של בייס (עליו כתבתי ברשימה "הכוכב, הסמים והכומר"). כשצפיתי בתוצאות הסקר הופתעתי: המאמר של ניימן ופירסון הגיע רק למקום החמישי, אותו הוא חולק במשותף עם מאמרו של הייסטינגס על שיטת MCMC. למקום הראשון הגיע מאמרו של אפרון על שיטת הבוטסטרפ; במקום השני: דמפסטר, ליירד ורבין במאמרם על שאלגוריתם EM. שלישי היה מאמרו של רוברט טיבשירני על שיטת הלאסו, ובמקום הרביעי – ישראל על המפה: מאמרם של יוסי הוכברג ויואב בנימיני מאוניברסיטת תל אביב על גישת ה-FDR  לבדיקת השערות מרובות.
• תמר בן יוסף כותבת על התייקרות הדירות בישראל, ובפרט על הקשיים והכשלים במדידת מחירי הדירות.
• בבלוג עבודה שחורה כותב יפתח גולדמן על סקר שערך משרד התמ"ת אודות התפלגות השכר בישראל ומסקנתו: התפלגות השכר מוּטה, והשכר הממוצע לא מייצג את התפלגות השכר במשק. קוראי הבלוג הותיקים, שקראו את רשימתי על המנהל והפועלים, בודאי לא מופתעים.

הנושא ישן (כפי שהתברר לי). הגעתי אליו משני כיוונים שונים. במגזין כלכליסט מהשבוע שעבר הובא ראיון עם נביא זעם בשם ג'ון קמפנר, שדן ב-"עיסקה הפופולרית בעולם", לדבריו, "במסגרתה אנחנו מוכרים את כל החירויות שלנו רק כדי לשמור על החופש להרוויח". דבריו של קמפנר אכן מעוררים מחשבה, וראויים לדיון נפרד, אבל אני רוצה להטפל רק לדוגמא אחת שהובאה בכתבה (כנראה על ידי הכתב אורי פסןבסקי, ולא על ידי קמפנר עצמו). בבריטניה, נטען, יש כ-5 מליון מצלמות אבטחה, מצלמה אחת לכל 12 תושבים. האח הגדול כבר כאן.

הידיעה הזו אינה חדשה. כבר ביולי 2008 דיווח יוסי גורביץ בכלכליסט כי "4.2 מיליון מצלמות במעגל סגור מותקנות בבריטניה, מצלמה על כל 14 תושבים". עברו שנתיים, נוספו עוד 800,000 מצלמות. נשמע הגיוני.

לנושא הזה הגעתי גם מכיוון אחר לגמרי. בכנס בואנקובר בו הייתי בשבוע שעבר חילקה הוצאת וויילי חוברות ישנות של המגזין Significance , שמוציאה לאור האגודה המלכותית לסטטיסטיקה (החל מהחודש, בשיתוף עם האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה, וכך נעשיתי למנוי על המגזין). בחוברת של דצמבר 2009 הובאה כתבתה של אליס טרלטון  מערוץ 4 של ה-BBC, שכותרתה: "כמה מצלמות אבטחה?". הכתבה זכתה בפרס למצויינות סטטיסטית בעיתונות המוענק על ידי האגודה המלכותית לסטטיסטיקה. הלינק האחרון מוביל לכתבה באתר של ערוץ 4. אני אתאר מייד את עיקר הממצאים.

ובכן, איך הגיעו למספר של 4.2 מליון מצלמות אבטחה?

הכל התחיל במאמר שפרסמו ביוני 2002 שני חוקרים (קישור לקובץ pdf), מייקל מקהייל מאוניברסיטת האל וקלייב נוריס מאוניברסיטת שפילד. כל מה שצריך זה לקרוא את המאמר, וזה בדיוק מה שעשתה טרלטון. החוקרים סקרו שני רחובות מרכזיים בלונדון: Putney High Street (פוטני) ו-Upper Richmond Road (ריצמונד). הם דגמו 211 בתי עסק בשני הרחובות, ומצאו כי ב-41% מהם מותקנות מצלמות אבטחה, ובממוצע יש בכל מערכת 4.1 מצלמות. בלונדון יש כרבע מליון בתי עסק. הכפלה של 3 מספרים נתנה תוצאה של כ-422 אלף מצלמות. למספר זה הוסיפו החוקרים את הערכתם למספר המצלמות הנמצאות באזורים ציבוריים : רחובות, תחבורה ציבורית, בתי חולים וכו'. הם העריכו את מספרן של מצלמות אלה (והשתמשו בפירוש במילה "guesstimate" – שילוב של אמדן וניחוש) בכ-80 אלף, וכך הגיעו למספר כולל של כחצי מליון מצלמות בלונדון. ומכיוון שבלונדון יש כ-7 מליון תושבים, המסקנה היא שיש בלונדון מצלמת אבטחה אחת לכל 14 תושבים. ואם זה בלונדון, זה גם בכל בריטניה, לא?

אז זהו, שלא.

קודם כל, יש לשים לב לשונות בין שני הרחובות שנסקרו. ברחוב פוטני נמצאו מצלמות ב-49% מבתי העסק, בריצמונד ב-34% בלבד. ייתכן כי רחוב ריצמונד הוא המייצג את המצב בלונדון, ואז נופלת הערכת מספר המצלמות בלונדון ב-30%, ל-350 אלף מצלמות בלבד. מצד שני, ייתכן כי דווקא רחוב פוטני הוא המייצג, ואז ההערכה של מצלמה ל-14 תושבים היא הערכת חסר. מה שיותר סביר הוא ששני הרחובות האלה גם יחד אינם מהווים מדגם מייצג מספיק. קל לברר, וטרלטון עשתה זאת, כי תמהיל העסקים בשני הרחובות האלה שונה מהותית מתמהיל העסקים הכללי בלונדון. ה"מדגם" לא ממש מייצג. מה ששני החוקרים קיבלו הוא לכל היותר הערכה של מספר המצלמות בשני הרחובות שסקרו (בהנחה שמדגם בתי העסק שלקחו ברחובות האלה היה מייצג). האקסטרפולציה שעשו משם אל לונדון, ואח"כ אל כל הממלכה המאוחדת, לא ממש ולידית.

טרלטון מצאה דרך אחרת להעריך את מספר מצלמות האבטחה בבריטניה. היא פנתה אל קבוצת משתמשי מצלמות האבטחה בבריטניה. הם הודו שהם לא יודעים את המספר המדויק, אך העריכו (שוב guesstimate) כי מספרן הוא לא יותר ממליון ורבע בכל בריטניה.

במקבץ השבוע גם כמה קישורים מהשבוע הקודם שנדחו בגלל פול התמנון.

• ב-7 ביולי צוין יום השנה ה-104 להולדתו של הסטטיסטיקאי וחוקר תורת ההסתברות ויליאם פלר. צייצתי את המאורע בתוספת הערה כי "מי שלא ציטט את ספרו של פלר בעבודת המאסטר או הדוקטורט שלו, לא באמת עשה תואר בסטטיסטיקה". טוב, אולי קצת הגזמתי, אבל הספר אכן מצוטט בעבודת המוסמך שלי.
• כאשר ערכתי את רשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים כללתי בה 5 סטטיסטיקאים חיים.  אחד מהם הלך לעולמו ב-8 ביולי, בגיל 91. דויד בלקוול, בנו של פועל רכבת מדרום אילינוי, אשר לימד את עצמו לקרוא, הפך לאחד הסטטיסטיקאים המשפיעים ביותר במאה העשרים. בלקוול חקר גם את תורת המשחקים, וכתב ספר לימוד פופולרי בתחום. ויליאם בריגס כותב גם הוא בבלוג שלו על בלקוול, ומתאר שם את פתרונו של בלקוול לבעית ההימורים הידועה כ-"פרדוקס סנט-פטרסבורג".
• נניח שאתם מתכנתים קוד מחשב. ודאי שיש בו באגים. איך תדעו כמה באגים יש בו? ג'ון ד. קוק מסביר בבלוג שלו איך לעשות את זה: אפשר לבקש ממישהו לבדוק את הקוד. נניח שימצא 20 באגים. זה אומר שיש בקוד לפחות 20 באגים, אבל לא מקדם אתכם הרבה. הפתרון – לתת לעוד מישהו לבדוק את הקוד. סביר להניח שימצא חלק מהבאגים שמצא הבודק הראשון, ואולי גם יעלה על באגים אחרים. עכשיו, בעזרת קצת סטטיסטיקה, תוכלו לאמוד את מספר הבאגים שנמצאים ועדיין לא התגלו.
• בהמשך לפול התמנון: האם העובדה כי מישהי זכתה ארבע פעמים בלוטו "סותרת את כל הסטטיסטיקות"? ממש לא.
• חובבי הבייסבול יודעים כי קבוצת פיטסבורג פיראטס היא אחת הקבוצות החלשות ביותר בליגת הביססבול האמריקנית (MLB). ובכל זאת, הליגה מציעה לאוהדים לרכוש אופציה לרכישת כרטיס למשחק השביעי של הפיראטים  בסדרת הגמר (ה"וורלד סירייס"), אם יהיה משחק כזה, כמובן. האם כדאי לקנות את האופציה? ואם כן, האם המחיר המוצע "משתלם"? בלוג הבייסבול FanGraphs מציג שילוב של ניתוח סטטיסטי וכלכלי, עם הסבר נאה למושג התוחלת ומשמעות האופציה.

מקבץ השבוע מוקדש לפול התמנון.

מי שלא יודע, פול התמנון חי לו בגן חיות אי שם במזרחה של גרמניה, ובמקביל לעיסוקים השגרתיים של גן החיות פיתח לו קריירה של אוראקל החוזה את תוצאות משחקיה של נבחרת גרמניה במונדיאל. לפני שעה קלה השלים פול מונדיאל מוצלח יחסית, בו ניבא ללא טעות את תוצאות כל שבעת המשחקים של נבחרת גרמניה. מוצלח "יחסית", כתבתי, כיוון שעתידו עדיין לוט בערפל, לאור הניבוי של הפסד גרמניה לספרד בחצי הגמר.

עוד לפני המשחק הגורלי (לעתידו של פול) מול ספרד ביקש ממני במייל  גדי איידלהייט להתייחס לנושא בבלוג. הסתפקתי בטוויט, בו כתבתי כי יש סיכוי די גבוה שמתישהו איפהשהו תמנון או חיה אחרת תצליח לנחש סדרה של תוצאות משחקים. על הגירפה שלא הצליחה לנחש אף תוצאה, לעומת זאת,  אף אחד לא מדווח. וזה בסך הכל תמצות של 140 תווים לרשימה שכתבתי בעקבות האירוע "יוצא הדופן" שאירע בלוטו הבולגרי.

הנה עוד כמה התייחסויות של פול השבוע ברשת:

דויד שפיגלהלטר מהבלוג understanding uncertainty נטען טיעון דומה לשלי, לפיו יש כאן הטיית פרסום, ומשום מה כל היצורים הימיים החוזים כי צפון קוריאה תזכה בגביע סובלים מהתעלמות התקשורת.

וילאים בריגס מדווח על מני, התוכי מסינגפור, שחזה נכונה את כל ארבע הנבחרות שהגיעו לחצי הגמר. אבל גם בריגס קובל על התעלמות התקשורת מבני הבולדוג וסמי הסנאי שהתחזיות שלהם היו קצת פחות מוצלחות. בריגס גם חישב ומצא כי אם יש 200 חיות המנסות לנחש תוצאות של שבעה משחקים, וכל אחת מהן מנחשת את התוצאה הנכונה של כל משחק בהסתברות של 50%, הרי יש הסתברות של 93% כי אחת מהן תצליח לנחש שבע תוצאות נכונות.

ולסיום, הנה עוד מתחרים לפול התמנון: שני מתמטיקאים מאוניברסיטת לונדון פיתחו מודל המשתמש בתורת הגרפים כדי לחזות את נצחונה של ספרד על הולנד בגמר, מחר. כיוון שלפני שבוע דיווחתי כאן על מתמטיקאי סקוטי שחוזה את נצחונה של הולנד, אני מעז להעלות כאן תחזית שבודאי תתגשם: מישהו מהחוזים האלה יטעה.

מי שעוקב אחרי הבלוג הזה בטח כבר שם לב שלאחרונה אין לי כח לכתוב פוסטים מושקעים, עקב עייפות החומר והרוח. זה לא אומר שהבלוג הולך למות, ואני בהחלט מקווה לחזור ולכתוב בהרחבה על נושאים שברומו של הבלוג.

זה לא אומר שנעלמתי לחלוטין. מי שעוקב אחרי בטוויטר רואה את הגיגיי ולינקים שונים שאני מפרסם. מאחר ואני יודע כי כאן בבלוג יש יותר קוראים מאשר עוקבים בטוויטר, הנה מקבץ לינקים שפרסמתי בזמן האחרון, שעוסקים בעיקר בשלושה נושאים: סטטיסטיקה, כדורגל (לכבוד המונדיאל), וסטטיסטיקה וכדורגל.

נתחיל בסטטיסטיקה.

• בעיר סן-דייגו בקליפורניה ניתן לאסוף חתימות של 15% מבעלי זכות הבחירה ובכך לכפות העלאת נושא להצבעה במעין "משאל עם"  עירוני. הצעה שעוסקת בהפרטת שירותים עירוניים זכתה לתמיכה של כ-135000 חתימות, כ-40000 יותר מהדרוש. האם הנושא יועלה להצבעה? לא. בדיקה מדגמית ל כ-4000 מהחתימות גילתה כ-30 חתימות כפולות. המסקנה המפתיעה את מי שלא מבין סטטיסטיקה: נאספו למעשה רק כ-74000 חתימות כשרות ההצעה נפלה.
• ג'ף סלואן, עורך במגזין compositesworld כותב "המלצה נדירה על ספר שיצא לאחרונה אודות אירועים נדירים שבקושי עונים על ציפיותינו" (באנגלית זה הרבה יותר טוב). הספר המדובר הוא "הברבור השחור" מאת נסים טאלב. אני קורא כרגע את הספר, ומתלהב פחות. מקוווה לכתוב על התרשמותי.
• מי רוצה להיות ביוסטטיסטיקאי? מאמר במגזין של האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה.
• אנדרו גלמן מאוניברסיטת קולומביה סוקר כמה מהמאמרים הקלאסיים של הסטטיסטיקה.
• עוד מאמר על אשליית זיכויי הזכיה בלוטו, הפעם בוואנקובר סאן.
• מאמר על חייו ופועלו של ואלודי וייבול, האיש שהתפלגות וויבול קרויה על שמו, במלאות 123 להולדתו, וזאת באתר המוקדש להתפלגות וייבול ויישומיה.
• והנה מאמר על חייו ופועלו של סיר פרנסיס גאלטון, שהיה, בין היתר, אחד מחלוצי הסטטיסטיקה המודרנית.
• בנמל התעופה של וושינגטון הדלתות האוטומטיות נסגרות ומכות שוב ושוב במזוודות של הנוסעים. הנזק המצטבר על הדלתות הוא בצורת הפעמון המפורסם של ההתפלגות הנורמלית.

ונעבור לכדורגל.

• מתי שתי הקבוצות המשחקות רוצות להבקיע שער עצמי? הסיפור מתואר בבלוג הכלכלי "marginal revolution", ולמאותגרי אנגלית הוא מתורגם לעברית בבלוג של שמוליק.
• 10 השערים המוזרים ביותר. מעניין לראות את הבדלי התרבויות בין הולנד (איפופה, לצורך העניין) וברזיל (או דרום אמריקה). בשער השני ברשימה, שחקן הולנדי מבקיע שער בטעות (הוא התכוון לבעוט את הכדור החוצה כדי לאפשר טיפול בשחקן פצוע של הקבוצה היריבה, אך הכדור נחת ברשת). כשהמשחק מתחדש, הקבוצה שהבקיעה נותנת ליריבה להבקיע שער משלה כדי להחזיר את המצב לקדמותו. בשער מספר שלוש, לעומת זאת, במשחק שנערך בברזיל, כדור שנבעט לשער יוצא החוצה, אך מישהו שעומד ליד השער לוקח את הכדור ומשליך אותו לתוך הרשת. השופט פספס את כל המהלך וראה רק כדור ברשת, וממהר לשרוק שער. שחקני הקבוצה שזכתה בשער מן ההפקר מרימים ידיים בשמחה. אף אחד לא מעלה בדעתו לגשת לשופט ולהגיד לו "שמע, זה לא באמת גול". אז מי שחשב שההצגה של ריוואלדו ב-2002 שגרמה להרחקת שחקן יריב על לא עוול בכפו, או השער שהבקיעה ברזיל במונדיאל הזה תוך שימוש ביד של אחד משחקניה הם סתם מקרים, שיחשוב שוב. זו תרבות. זה בא מלמטה.

ואסיים, כמובטח, בסטטיסטיקה וכדורגל: מאמר שהופיע בעיתון סקוטי מתאר מודל סטטיסטי המנבא כי הולנד תזכה במונדיאל הקרוב. המאמר הופיע לפני הנצחון של הולנד על ברזיל. טוב, לנסים טאלב בטח יש מה להגיד על הניבוי הזה (וגם לי), אבל כרגע הסיכויים של הולנד הרבה יותר גדולים מאלה של ברזיל, וגם זה משהו.

לפני כשנה העליתי כאן את החידה על הילדה ששמה יוספה:

במשפחת תפוחי שני ילדים. נתון לנו שאחד מהילדים האלו הוא (היא) בת, ושמה של אותה בת למשפחת תפוחי הוא יוספה. מהי ההסתברות כי גם הצאצא הנוסף של משפחת תפוחי היא בת?

הפתרון, למעוניינים, נמצא כאן.

מה שמעניין בכל הסיפור הזה הוא שהאינפורמציה בדבר שמה של הילדה הנחמדה הזו משנה את התשובה לשאלה שנשאלה, גם אם לכאורה הנתון לא נראה רלוונטי. אותה החידה, ללא הנתון על שמה של הילדה, הועלתה בבלוג של דוברמן (שאינו פעיל, למרבה הצער, תקופה ארוכה למדי), והפתרון שונה (בערכו המספרי, לא ממש בדרך הפתרון).

ומדוע אני נזכר בכל זה? היום ראיתי בבלוג של ויליאם בריגס גירסה אחרת לחידה הזו:

במשפחה יש שני ילדים, אחד מהם הוא בן, והוא נולד ביום שלישי. מה ההסתברות כי גם הילד השני במשפחה הוא בן?

התשובה, באופן לא מפתיע, שונה משתי התשובות לחידות שצוטטו כאן.

לפני שבועיים פרסמתי כאן חידון על המספר פיי – π. לאלה מכם שלא ישנו בלילות בציפיה לתשובות (וגם לאלה שלא), הנה התשובות לרוב השאלות בחידון. אני מקווה שתסלחו לי , אבל מספר הספרות שחושב אחרי הנקודה העשרונית  של פיי משתנה מדי פעם, והדברים בבלוג הזה אמורים להיות נכונים לנצח.

פיי בעולם העתיק

מתברר כי הבבלים השיגו קירוב טוב מאוד לערך של פיי, שעולה אך במעט על הקירוב המצרי. התנ"ך, לעומת זאת. אינו מומלץ כטקסט ללימוד מתמטיקה.

בתנ"ך, בספר מלכים א, פרק ז' בו מתואר המקדש שבנה שלמה, מתואר בפסוק כ"ג ים הנחושת שבמקדש:

"וַיַעַשׂ אֶת הַיָם מוּצָק, עֶשֶר בָאַמָה מִשְפָתוֹ עַד שְפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָאַמָה קוֹמָתו וְקָו  שְלשִים בּאַמּה יָסב אתוֹ סָבִיב"

כלומר היקפו של ים הנחושת 30 אמה וקוטר של 10 אמות, ומכאן שלפי נתוני ספר מלכים ערכו של פיי שווה ל-3. אמנם קיים איזה פלפול ולפיו הערך של פיי גם על פי ספר מלכים הוא 3.14, ומי שמעוניין יכול לחפש אותו ברשת ולהתרשם.

המצרים (על פי התיעוד בפפירוס רינד) העריכו כי שטחו של מעגל החסום בריבוע שווה לשטחו של ריבוע שאורך צלעו  היא 8/9 מצלע הריבוע החוסם את המעגל (זוהי בעצם הערכה לפיה שטח המעגל שווה לשטח מתומן משוכלל החסום בתוכו), ומהערכה זו נובע כי ערכו של פיי הוא בערך 256/81 או 3.16. ערך זה גבוה ב-0.6% מהערך האמיתי.  אולם כבר 500 שנים קודם לכן השתמשו הבבלים בחישוביהם בערך  לקירוב היחס בין היקף המעגל וקוטרו, 25/8. ערך זה נמוך ב-0.5% מהערך האמיתי של פיי.

גם תרבויות אחרות השיגו קירובים טובים לערך של פיי. האסטרונום ההודי יאגנואלקיה השתמש במאה התשיעית לפני הספירה בקירוב 339/108 (0.09% מתחת לערך האמיתי). ארכימדס שכלל את השטטה המצרית, וקירב את שטח המעגל של ידי מצולע משוכלל בן 96 צלעות. הוא השיג קירוב של 0.02% במאה השלישית לפני הספירה. כ-500 שנה מאוחר יותר, שיפר תלמי את קירוב ארכימדס על ידי שימוש במצולע משוכלל בן 360 צלעות, והשיג דיוק של יותר מ99.999%. קירוב דומה השיג גם המתמטיקאי הסיני ליו הוי.

מי הנהיג את השימוש באות היוונית פיי לציון היחס בין היקף המעגל לקוטרו?

ובכן, כיום סבורים כי השימוש הראשון באות היוונית פיי לסימון הקבוע המתמטי החשוב הזה נעשה בספרו של ויליאם ג'ונס, שיצא לאור ב-1706, אולם עדיין נהוג לייחס את הפצת השימוש באות פיי לליאונרד אוילר, שהשתתמש בו לראשונה במאמר שכתב ב-1737.

הקשר בין פיי ובעיית ריבוע המעגל

בעיית ריבוע המעגל (או יותר נכון, ריבוע העיגול) היא הבעיה של בניית ריבוע ששטחו שווה לשטח של עיגול נתון בעזרת מחוגה וסרגל.  בעיה זו אינה ניתנת לפתרון כיוון שפיי הוא מספר טרנסצנדנטי. אני לא ארחיב כאן מלים רבות על הנושא – פשוט משום שגדי אלכסנדרוביץ כבר עשה זאת בבלוג המצויין שלו, ואני פשוט אפנה אתכם לרשימה שכתב: "אז למה אי אפשר לרבע את העיגול?". המתמטיקאי שהוכיח כי הבעיה אינה ניתנת לפתרון, או יותר נכון, הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטי ומכך נבע כי בעיית ריבוע המעגל אינה ניתנת לפתרון, הוא פרדיננד פון-לינדמן, שפרסם את הוכחתו ב-1882. ההוכחה, אגב, מתבססת על הקשר המופלא שהראה אוילר בין פיי וקבועים מתמטיים אחרים – המספר e, המספר המדומה i, והמספרים 0 ו-1:

תפקידו של פיי בסטטיסטיקה

לפיי תפקיד חשוב בסטטיסטיקה כיוון שפיי מופיע בנוסחת ההתפלגות הנורמלית. שתי תשובות כאן נועדו לבלבל את המנסים לנחש ניחושים אינטליגנטיים. אין בכלל דבר כזה "עקומת צפיפות האוכלוסיה של אוילר". אני המצאתי את העקומה הזו כשכתבתי את החידון המקורי לפני חמש שנים. גם עניין נוסחת גודל המדגם הוא מופרך למדי. אין דבר כזה "נוסחה לחישוב גודל מדגם". זה עניין הרבה יותר מורכב משימוש בנוסחא.

מה שמעניין הוא שאכן ניתן לקרב את ערכו של פיי באמצעות הטלת מחט על גיליון נייר,  בתנאי שעושים זאת הרבה מאוד פעמים. תוצאה זו ידועה בשם בעיית המחט של בופון (על שם הרוזן דה-בופון, שהציג לראשונה את הבעיה במאה ה-18). אם מטילים את המחט על גבי גליון נייר שעליו משורטטים קוים מקבילים, אז ההסתברות כי המחט תיפול כך שתחצה את אחד הקוים תלויה בפיי. למשל, אם המרחקים בין הקוים שווים לאורך המחט, אז ההסתברות כי המחט תחצה את אחד בקווים שווה ל-2 חלקי פיי. איך פיי מופיע כאן? ההסתברות תלויה במקום בו נמצא מרכז המחט ובזוית בין המחט ובין הקוים המקבילים. כאן נכנסת פונקציית הסינוס לתמונה, ועימה פיי. אם תטילו מחט כזו על דף פעמים רבות, אז תוכלו לקבל קירוב לערכו של פיי על ידי חלוקת 2 בפרופורציית הפעמים בהן המחט חצתה את אחד הקוים. חוק המספרים הגדולים מבטיח לכם כי הקירוב יהיה טוב יותר ככל שיגדל מספר הנסיונות.

מי נולד ביום הפיי?

המתמטיקאי שיום הולדתו הוא יום הפיי, ה-14 למרץ, הוא אלברט איינשטיין, שנולד ביום זה בשנת  1879. איינשטיין ידוע בראש ובראשונה כפיזיקאי, וזה אכן היה עיסוקו העיקרי. אולם ברור לכל שאין כל אפשרות לעסוק בפיזיקה ברמה שבה עסק איינשטיין ללא ידע מתמטי נרחב ויכולות בתחום. למעשה, איינשטיין נאלץ לפתח בעצמו (למעשה, בצוותא עם ידידו ושותפו למחקר גרוסמן) את הכלי המתמטי העיקרי בו השתמש בפיתוח תורת היחסות הכללית – אנליזה טנזורית. תורת היחסות הכללית פורסמה ב-1915, וממש באותו זמן פרסם המתמטיקאי דויד הילברט עבודה משלו בתחום האנליזה הטנזורית, שחפפה לחלק המתמטי של עבודתם של איינשטיין וגרוסמן. כאשר ב-1921 נסע איינשטיין לארה"ב יחד עם ד"ר חיים וייצמן, במטרה לגייס כספים להקמת האוניברסיטה העברית. ניצל את ההזדמנות כדי לתת הרצאה על תורת היחסות בפרינסטון. האולם היה מלא מפה לפה, ועל כך העיר איינשטיין: "לא ידעתי כי כל כך הרבה אנשים באמריקה מתעניינים באנליזה טנזורית".

באיזה אופן מתנהגות הספרות בפיתוח העשרוני של פיי ?

הטענה היחידה  שניתן לטעון בודאות בודאות לגבי הספרות בפיתוח העשרוני של פיי היא שהן מתנהגות באופן לא מחזורי, וזה נובע מאי הרציונליות של פיי. הן לא מתנהגות באופן סטטיסטי כי אין חיה כזו. האם הן מתנהגות באופן אקראי ? ההשערה היא שכן, אבל איש עדיין לא הוכיח זאת.

איזה מהנוסחאות הבאות אינן מהוות קירוב טוב לפיי?

אני לא זוכר למה בדיוק התכוונתי כשכתבתי את השאלה הזו לפני כמה שנים.

הנוסחה שבסעיף א התגלתה/פותחה על ידי וייטה:

בסעיף ב מופיעה הנוסחה שפיתח לייבניץ, אחד מאבות החשבון הדיפרנציאלי, לפיי:

המכפלה האינסופית שבסעיף ג ידועה בשם מכפלת ואליס, ואינה מתכנסת לפיי, אלא לפיי חלקי 2.

בסעיף ד מופיע מופיע טור הדומה לטור של לייבניץ – שימו לב לסימנים ההפוכים, ואם הוא מתכנס אז בודאי לא לפיי.

המתמטיקאים בעולם חוגגים היום את יום הפיי. פיי הוא קבוע מתמטי שודאי שמעתם עליו, וערכו שווה בקירוב ל-3.14.בשיטה הנהוגה בארה"ב, התאריך של היום, ה-14 במרץ, נכתב כך: 3.14, ומכאן מקור המנהג.

בגוגל מציינים את היום על ידי לוגו מיוחד (שהוא התירוץ לכל הפוסט הזה):

ואם כבר כתבתי פוסט, אז הנה חידון פיי שכתבתי פעם כאשר ניהלתי את פורום המתמטיקה בתפוז. אתם מוזמנים לנסות את כוחכם. בהצלחה!

1) בעולם העתיק פיי מוזכר בכתבים בבליים, מצריים ואף בתנ"ך. מי מהשלושה נותן את הקירוב המדוייק ביותר לערך האמיתי של פיי?
א. המצרים.
ב. התנ"ך.
ג. הבבלים.

2) מבין ארבעת השברים הבאים – איזה הוא הקירוב המדוייק ביותר לפיי?
א. 2549491779/811528438
ב. 22/7
ג. 864/275
ד. 3927/1250

3) מי הנהיג את השימוש באות היוונית פיי לציון היחס בין היקף המעגל לקוטרו?
א. ארכימדס
ב. אוילר.
ג. גאוס
ד. איינשטיין.

4) בעיית ריבוע המעגל קשורה למספר פיי. בעיה זו אינה ניתנת לפתרון כיוון ש-
א. פיי הוא מספר אלגברי.
ב. פיי הוא מספר רציונלי.
ג. פיי הוא מספר אירציונלי.
ד. פיי הוא מספר טרנסצנדנטי.

5) המתמטיקאי שהוכיח כי בעיית ריבוע המעגל אינה ניתנת לפתרון הוא:
א. אוילר.
ב. גאוס.
ג. לינדמן.
ד. לז´נדר.

6) לפיי תפקיד חשוב בסטטיסטיקה כיוון ש-:
א. ניתן לקרב את ערכו של פיי באמצעות הטלת מחט על גיליון נייר.
ב. פיי מופיע בנוסחה לחישוב גודל המדגם.
ג. פיי מופיע בנוסחת ההתפלגות הנורמלית.
ד. פיי הוא הערך המקסימלי בעקומת צפיפות האוכלוסיה של אוילר.

7) המתמטיקאי שיום הולדתו הוא יום הפיי, ה-14 למרץ, הוא:
א. אוילר.
ב. איינשטיין.
ג. גאוס.
ד. פרמה.

8 ) עד לכמה ספרות (בערך) אחרי הנקודה העשרונית חושב ערכו של פיי?
א. מיליון.
ב. 206 מיליארד.
ג. 25,000.
ד. 75 מיליון.

9) באיזה אופן מתנהגות הספרות בפיתוח העשרוני של פיי ?
א. באופן מחזורי.
ב. באופן אקראי.
ג. באופן סטטיסטי.
ד. באופן לא מחזורי.

10) איזה מהנוסחאות הבאות אינן מהוות קירוב טוב לפיי?

עדכון 14.3.2019: הוספתי סוף סוף את התשובות בתגובות.

אני חושב שמתישהו באמצע כיתה ב הבנתי כי לכל מספר שיעלה בדעתי ניתן למצוא מספר גדול יותר. אם אני חושב על מאה, אז יש מספר גדול יותר ממאה: מאה ואחד. מליון – מליון ואחד. פטרוזיליה – פטרוזיליה ואחד. כיום אני יודע שפשוט תפסתי אז באופן טבעי את מהות האקסיומה השניה של פיאנו (מתוך 5 אקסיומות המאפיינות את המספרים הטבעיים) – לכל מספר טבעי יש עוקב. אחר כך גדלתי, והלכתי לאוניברסיטה, ושם למדתי על תורת הקבוצות, קנטור, הרצף ועוד כל מיני דברים מסובכים הקשורים לאינסוף. וכל זה לא משנה את העובדה שבעוד כמה שנים ייגמרו המספרים. מספרי הרישוי בני 7 הספרות עומדים לאזול.

הנה היסטוריה קצרה של מספרי הרישוי בישראל (המבוססת כמעט אך ורק על הזכרון שלי, אז סילחו לי על אי דיוקים, אם ישנם). אני לא יודע אם מספר הרישוי של המכונית הראשונה בישראל היה 1, אבל ברחובות עוד נראה לפני כמה שנים רכב אספנות בעל מספר רישוי תלת ספרתי. לאבי הייתה אופל רקורד מודל 1958 שמספר הרישוי שלה היה בן 5 ספרות: 47-086. כאשר הוא שדרג (בדיעבד שינמך) את האופל לפורד מודל 1963 (אי שם בתחילת שנות השבעים) הוא כבר היה הבעלים הגאה של מכונית עם מספר רישוי 6 ספרתי. בשנות השישים והשבעים של המאה העשרים הונפקו למכוניות בישראל מספרי רישוי 6 ספרתיים.

המהפך חל בתחילת 1980. למכוניות שעלו על הכביש משנה זו ואילך היו מספרי רישוי 7-ספרתיים, כאשר שתי הספרות הראשונות היו שנת הייצור של הרכב. לכן הרכב הראשון של שנות השמונים היה מן הסתם בעל מספר הרישוי 10-000-80 (או שלא). מכוניות משנת המודל 1981 זכו למספר רישוי שמסתיים ב-81. ב-1982 הייתה הפתעה. היו (כנראה) יותר מכוניות ממספרים, ולכן חלק ממכוניות מודל 82 קיבלו מספר רישוי שהסתיים בספרות 52. הפרקטיקה הזו חזרה על עצמה גם בשנים הבאות.

כמו כן, הופיעו עוד על מיני מספרי רישוי, כמו כאלה שמסתיימים בספרות 77 וציינו רכב בבעלות ממשלתית. באמצע שנות השמונים קיבלו כל המוניות בישראל מספרי רישוי חדשים שמסתיימים בספרות 25.

בשנת 1990 – הפתעה נוספת. במקום מספרי רישוי המסתיימים ב-90, הונפקו מספרי רישוי המסתיימים בספרות 0X. מהר מאוד למדנו ש-03 זה סובארו, 02 – "מיציבושי" וכולי. ב-1995, כשאזלו כנראה המספרים עם סיומת 0X, הופיעו שלל סיומות חדשות, כמו 10, 15 (אך לא 11, 12,13 ו-14), 24 ו-27 (אך לא 26) ועוד ועוד. עדיין ניתן היה לזהות את יצרן הרכב עם סיומת המספר.

בשנת 2003 הופיע סיומת חדשה ואחידה לכל המכוניות: 50, ובעקבותיו 51, 52 וכן הלאה, לאחר מכן סיומות 60 למינהן. מכוניות עם הסיומת רבת המשמעות 69 נצפו לראשונה באפריל 2009.  עד כה הגיעו ל-72. סדרת המספרים שמסתיימים ב-80 כבר הייתה בשימוש, סדרת ה-90 עדיין על המדף.

נצפה לראשונה באפריל 2009

בואו נעשה קצת סדר. יש בסך הכל 9000000 (תשעה מליון) מספרים בני 7 ספרות, שהרי הספרה הראשונה אינה יכולה להיות אפס. אם התחילו להשתמש במספרי רישוי בני שבע ספרות ב-1.1.1980, יהיה צורך לעבור למספרי רישוי בני 8 ספרות לאחר שיעלו לכבישי ישראל 9 מליון כלי רכב חדשים (כאשר הספירה מתחילה, כאמור, ב-1.1.1980). מייד אביא נתונים לפיהם אפשר להעריך מתי זה יקרה. נקווה שהתוכנות של מחשבי משרד הרישוי, חברות הביטוח, תחנות הדלק ועוד מסוגלות להתמודד עם מספרי רישוי בני 8 ספרות. זה לא באג 2000, אבל דיי דומה. צפויים עוד קשיים. למשל – גודל לוחית הרישוי קבוע. האם יהיה צורך להקטין את הספרות? האם המצלמות של כביש שש יוכלו להתמודד עם זה? ומה עם מצלמות האכיפה של המשטרה? (אני מניח שאלה אולי חדשות משמחות לחלק מהקוראים).

למעשה, עידן מספרי הרישוי ה-8 ספרתיים יגיע לפני שיעלו תשעה מליון כלי רכב חדשים על הכביש. הרבה מספרים "בוזבזו". מה קרה לכל המספרים המסתיימים ב-26? (ספקולציה – נשמרים למוניות). איפה המספרים שמסתיימים ב-40 עד 49, וב-30 עד 34? הוקצו לרשות הפלסטינית, למיטב ידיעתי. איפה 11, 12, 21? לא יודע.

החלטה שהתקבלה בשנות השמונים הייתה לסמן רכב שעבר תאונה חמורה ו-"החלפת מספר" על ידי שינוי הספרה הלפני אחרונה המספר הרישוי שלו מ-8 ל-6. לדוגמא, אם רכב מספר 12-345-87 עבר תאונה, שוקם, והועלה מחדש על הכביש, קיבל מספר רישוי חדש: 12-345-67. מספר נפלא, אבל אני לא הייתי קונה את הרכב הזה, לפחות לא בשנת 1988. ההחלטה האומללה הזו זרקה לפח 10% ממאגר מספרי הרישוי האפשריים. למרבה המזל, היא בוטלה לאחרונה. ככל הנראה מישהו במשרד הרישוי ראה שהיום בו ניאלץ לעבור למספרי רישוי בני 8 ספרות מתקרב במהירות, ודחק קצת את הקץ על ידי החזרת המספרים בסיומת שישים ומשהו (או לפחות חלקם) למאגר המספרים הלגיטימיים.

האם המספרים הקיימים מנוצלים כראוי? קשה לדעת. לשם כך, יש צורך בנתונים על מספר כלי הרכב המתווספים כל שנה. לפי הלמ"ס,(קישור להודעה לעיתונות, קובץ pdf) בשנת 2008 נוספו לכבישי הארץ כ-254000 כלי רכב חדשים. מאחר וכל סיומת דו-ספרתית מגדירה 90000 מספרים, הרי שאפשר היה, תיאורטית, לסגור את כל המספרים של 2008 בשלוש סיומות, נניח 62, 63 ו-64, ועוד היה נשאר עודף. מצד שני, הגענו מ-69 ל-72, תיאורטית יותר מ-270,000 מספרים, תוך  תשעה חודשים, מאפריל 2009 לינואר 2010. אם נניח שמ-2003 (שם התחילה סדרה ה-50) ועד אמצע 2009 (שם התחילה סדרת ה-70) היו בממוצע 200000 כלי רכב לשנה, אז יש לנו בסך הכל כמליון ושלוש מאות אלף כלי רכב על פני שש וחצי שנים, שהשתמשו ב-20 סיומות (מ-50 עד 69), שמגדירות מליון ושמונה מאות אלף מספרים. לאן נעלמו חצי מליון מספרים? בחלקם השתמשו כאמור בשנות השמונים. אני מניח שחלק מהמספרים בוזבזו, בגלל שהמספרים מוקצים ליבואני הרכב בסדרות.

בהנחה שרוב המספרים מסדרת ה-70 וכל המספרים מסדרת ה-90 עדיין פנויים, ובקצב של כרבע מליון כלי רכב חדשים לשנה, המספרים ה-7 ספרתיים יספיקו לעוד 6, אולי 7 שנים. בסביבות 2016 נראה מכונית עם מספר רישוי 8 ספרתי.

גרה באיזור חיוג 646

הבעיה לא מוגבלת למספרי רישוי בישראל. תחשבו על מספרי טלפון למשל. מספר טלפון הוא בן 7 ספרות, כאשר הספרה הראשונה אינה יכולה להיות 1 או 0. זה אמר שיש 8 מליון מספרים אפשריים בכל אזור חיוג. למדינה כמו ישראל זה צריך להספיק, אבל ישראל מדינה קטנה. כשגרתי בשיקגו, בסוף שנות התשעים של המאה הקודמת, היו לאזור המטרופוליטני של שיקגו 7 או 8 אזורי חיוג (אני לא זוכר במדויק), שהיו אמורים לספק את צרכיהם של 9 מליוני תושבי המטרופולין למספרי טלפון, פקס וטלפון סלולרי. בעבר, היו 144 אזורי חיוג אפשריים בארה"ב (הספרה הראשונה לא יכלה להיות 0 או 1, הספרה השניה הייתה חייבת להיות 0 או 1, הספרה השלישית לא יכלה להיות 0). התברר שזה לא מספיק, וההגבלות על הספרה השניה והשלישית הוסרו. בארה"ב מקווים ש-800 אזורי חיוג אפשריים יספיקו בעתיד הנראה לעין. כמובן, הוספת אזורי חיוג יוצרת בעיות חדשות. אתה יכול לגור בבניין שכל הטלפונים בו נמצאים באזור החיוג 212, ורק לך יש טלפון באזור חיוג 646. זה מה שקרה לאיליין בניס, והיא נתקלה בקשיים בלתי צפויים עקב כך.

קודי חיוג בינלאומיים טומנים בחובם פוטנציאל לסכסוכים דיפלומטיים. רק לשתי מדינות יש קוד חיוג בינלאומי חד ספרתי (ארה"ב – 1 ורוסיה – 7). מספר מדינות נהנות מקוד דו-ספרתי. היתר קיבלו קוד חיוג תלת ספרתי. לא נראה כי יהיה צורך בקרוב בקוד חיוג בינלאומי ארבע ספרתי.

מי רוצה לנסוע ל-AX?

לעומת זאת, יש מספר הרבה יותר קטן של סיומות אינטרנט של שתי אותיות – רק 676. מספר זה עדיין גדול יותר ממספר המדינות והאוטונומיות הזכאיות לקבל סיומת משלהן, אבל אם המדינה שלך עומדת לקבל עצמאות עדיף שהשם שלה לא יתחיל ב-A, למשל. כך למדו תושבי איי אולנד (Aland), אוטונומיה של מיעוט שוודי בפינלנד. הסיומות AL (אלבניה) AN (האנטילים הולנדיים) ו-AD (אנדורה) תפוסות. האולנדים קיבלו את סיומת AX.

יום אחד התג הזה יופיע על המזוודה שלי

גם מספר הקודים לשדות תעופה מוגבל על ידי שיטת הסימון של 3 אותיות. כשיהיו בעולם  17577 שדות תעופה בינלאומיים, יהיה צורך לעבור לקוד שדה תעופה של ארבע אותיות. כיום יש 915 שדות כאלה (כולל 7 בישראל!), אז אין מקום לדאגה.

רשימה זו נכתבת בעקבות דיון שנערך ביני ובין ידידי משכבר הימים ראובן בתגובות לרשימה "מה רע בקצת סטרואידים". (ניתן לראות כאן את שרשור התגובות, שהתחיל הקורא סמיילי).

הדיון התנהל סביב הטענה שהעליתי, לפיה חוקים נוצרים כדי להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים. ראובן אמר כי לדעתו זו גישה נאיבית, ולכן אנסה להסביר ברשימה הזו באופן משכנע יותר מדוע הגישה שהצגתי אינה נאיבית כלל וכלל.

בטרם אגש לשטוח את טיעוניי, אקדים ואציין כי הרעיון בדבר הקשר בין דילמת האסירים והיווצרות חוקים אינו רעיון מקורי שלי. אני שמעתי אותו לראשונה מפי פרופ' מיכאל משלר ז"ל, אצלו למדתי כמה קורסים בתורת המשחקים. פרופ' משלר אף סיפר על אחת הסטודנטיות שלו שנסעה עד לפיטסבורג הרחוקה כדי לכתוב שם דיסרטציה בפילוסופיה שעסקה ברעיון הזה ממש, והוכתרה בתואר דוקטור בזכות עבודתה זו. לצערי, לא הצלחתי למצוא זכר לכך בחיפושיי ברשת. אם למישהו מהקוראים יש מידע על כך, אשמח לשמוע.

בואו וניזכר בדילמת האסירים "המקורית". המשטרה עוצרת שני אנשים החשודים בביצוע פשע חמור כלשהו. ברור לחלוטין (למשטרה לפחות) כי השניים אכן אשמים, אך אין די ראיות כדי להרשיעם בבית המשפט. חוקר המשטרה נוקט גישת הפרד ומשול, וכולא את כל אחד מהחשודים בתא נפרד. לאחר מכן הוא מביא בפני כל אחד מהחשודים סיכום מצב קצר. אם שני החשודים ישתקו בחקירתם, המשטרה לא תוכל להאשימם בפשע החמור שביצעו, אך הם יואשמו באחזקת נשק בלתי חוקי, וכל אחד מהם צפוי למאסר של חצי שנה. אם שניהם יודו בפשע בו הם חשודים, כל אחד מהם צפוי ל-10 שנות מאסר. אבל, אם אחד החשודים יודה בפשע בעוד חברו שותק בחקירה, הוא יוכל לשמש כעד מדינה נגד חברו ולהשתחרר ללא מאסר כלל, בעוד שחברו יישלח למאסר של 15 שנה. ניתן לסכם את כל התוצאות האפשריות (מנקודת מבטו של אחד החשודים) בטבלה הבאה:

הנה השיקול של החשוד: אם השותף שלו שותק, עדיף לו להודות באשמה, כי אז יצא לחופשי, וזה יותר טוב מחצי שנה שיקבל אם גם הוא ישתוק. לעומת זאת, אם שותפו מודה באשמה, אז בודאי עדיף להודות באשמה ולקבל 10 שנים, שכן זו תוצאה טובה יותר ממאסר של 15 שנים שיקבל אם ישתוק במקרה זה. לסיכום, לא משנה מה יעשה השותף, בכל מקרה עדיף להודות באשמה מאשר לשתוק.

החשוד השני, השותף לפשע, עומד בדיוק מול אותה טבלת תוצאות, שוקל את אותם שיקולים, ומגיע בהכרח לאותה מסקנה: עדיף לדבר.

התוצאה הסופית: שני החשודים מודים באשמה ונשלחים למאסר של 10 שנים כל אחד, כאשר יכלו לקבל עונש קל של חצי שנת מאשר, לו שניהם מילאו את פיהם מים.

כל זה טוב ויפה בתיאוריה. למה חוקרי המשטרה לא משתמשים בתרגיל הזה שוב ושוב כדי להוציא הודאות מהחשודים? כי גם הפושעים מתוחכמים. הם אולי לא למדו קורסים בתורת המשחקים, אבל יודעים היטב כי מי שיעיד נגד חברו לא יסתובב חפשי זמן רב, ותוך זמן קצר יימצא עם כדור בראש. החוק הבלתי כתוב של העולם התחתון שינה את טבלת התוצאות של דילמת האסירים:

עכשיו, אם השותף שותק, גם לחברו עדיף לשתוק. עדיף לשבת חצי שנה בכלא מלקבל כדור בראש. יש נסיונות מצד רשויות החוק להתחכם ולשנות עוד את הטבלה על ידי החלפת "כדור בראש" ל-"תכנית להגנת עדים". לפעמים יש פושעים שזה משתלם להם, לפעמים לא. בכל מקרה, דילמת האסירים שוב אינה דילמה.

לא תמיד ניתן לשנות את הדילמה באמצעות חוק. בואו ניקח לדוגמא סטודנט שגר לו בבניין 9 במעונות שבגבעת רם. לבניין הזה יש מטבח אחד המשמש את כל דייריו. כאשר הסטודנט מכין לעצמו במטבח חביתה לארוחת ערב, הוא יכול לנקות אחריו את משטח העבודה והכיריים, או להשאיר אותם מלוכלכים. אתם מוזמנים לבדוק כי זו וריאציה על דילמת האסירים. לא משנה מה הדיירים האחרים עושים, לכל דייר תמיד כדאי יותר לא לנקות אחריו. המטבח נשאר מלוכלך עד שעובדי הנקיון של המעונות ינקו אותו למחרת בבוקר. אפשר לקבוע בחוק (או בתקנון המעונות) כי כל סטודנט המשתמש במטבח חייב לנקות אחריו (ואולי יש כלל כזה בתקנון). אבל אם הכלל הזה לא יאכף, איש לא ינקה.

לפעמים אין צורך באכיפה של ממש, די בחינוך. דוגמא מצוינת היא שמירת פרחי הבר. אם כל אחד יקטף לעצמו פרח בר אחד, הוא ירוויח בטווח הקצר, התוצאה הרסנית לכולם. דילמת אסירים. יש חוק להגנת פרחי בר. הוא לא נאכף באינטנסיביות. אין צורך. שנים של חינוך טבעו בתודעת כולנו את הכלל לפיו אין לקטוף פרחי בר.

לעומת זאת, אם תתבוננו בצומת הקרוב למקום מגוריכם, תגלו שם דילמת אסירים מסוג אחר. כאשר כמה מכוניות מתקרבות לצומת, כל נהג יכול לבחור אם להכנס לצומת או לתת זכות קדימה לנהגים האחרים. בדקו ותראו כי תמיד "משתלם יותר" לנהג להכנס לצומת ולא לתת זכות קדימה לאחרים, בין אם האחרים נותנים לו זכות קדימה ובין אם לאו. הבעיה היא שהתשלום המשולם בנקודת שיווי המשקל בה איש לא נותן זכות קדימה הוא כבד למדי: פקק במקרה הטוב, תאונה + פקק במקרה הפחות טוב. הפתרון: בכל צומת מוצבים תמרורים ואף רמזורים המסדירים את סדר הקדימויות בין הנהגים השונים. תמרורים ורמזורים הם נגזרות של חוקים. כאן, לצערנו, יש צורך גם לאכוף את החוקים האלה, כיוון שרב מספר הנהגים המתייחסים לתמרורי עצור ולרמזורים אדומים כאל המלצות בלבד. שימו לב, אגב, שהפתרון שמציעים התמרורים והרמזורים אינו בהכרח "צודק". חלק מהנהגים עלולים להמתין יותר זמן בצומת מאשר נהגים אחרים. אבל הפקקים והתאונות נמנעים, לפחות חלקית.

הבאתי כאן מספר דוגמאות הממחישות כיצד מצבים הדומים לדילמת האסירים נפתרים על ידי שינוי טבלת התשלומים באמצעות כלל, תקנה או חוק. האם זה מוכיח שכל חוק בא למנוע מצב של דילמת אסירים? ודאי שלא. אבל נדמה לי שהעקרון הובהר. גם אם תובא דוגמא של חוק שלא נובע ממצב של דילמת אסירים (ואשמח לראות דוגמא כזו, אני עצמי לא הצלחתי לחשוב על אחת), עדיין יהיה אפשר לומר כי ניתן להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים באמצעות שינוי טבלת התשלומים על ידי חיקוק, וגם זו טענה חזקה מאוד.