נסיכת המדעים

מהי משמעות החיים? בזכות המנוע החדש של וולפראם נדע את התשובה.

השאלה הזו נשאלה כאן בשבוע שעבר: במשפחה יש שני ילדים. אחד הילדים הוא בעצם ילדה ששמה יוספה. מה ההסתברות כי זו משפחה ובה שתי בנות?

לפני שנגיע לפתרון של החידה הזו, בואו נענה על כמה שאלות פשוטות יותר.

השאלה הראשונה שנענה עליה היא זו: במשפחה יש שני ילדים. מה ההסתברות כי זו משפחה ובה שתי בנות?

הפתרון הנאיבי יאמר כי יש ארבע משפחות אפשריות בנות שני ילדים:

• הילד הראשון הוא בן, והשני בן (בקיצור: בן-בן)
• הילד הראשון הוא בן, והשני בת (בקיצור: בן-בת)
• הילד הראשון הוא בת, והשני בן (בקיצור: בת – בן)
• הילד הראשון הוא בת, והשני בת (בקיצור: בת – בת)

לכן, יש ארבע משפחות אפשריות, ורק אחת מהן (בת-בת) היא משפחה שבה שתי בנות, ולכן ההסתברות היא אחת לארבע, כלומר רבע.

מה נאיבי בפתרון הזה? הפתרון הזה מניח כי לכל הרכבי המשפחות הסתברויות שוות. אולי משפחות של שני בנים נפוצות יותר באוכלוסיה ממשפחות של בת-בן, למשל? כדי לדעת, צריך לערוך רשימה של כל המשפחות האלה, ולספור כמה משפחות יש מכל סוג. זה כמובן לא ממש מעשי.

העובדה שהפתרון הראשוני הוא נאיבי לא אומרת שהוא לא נכון. הוא נכון בתנאים מסויימים. הפתרון הנאיבי הזה מבוסס על מודל, כלומר הוא בונה תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדוייק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שלנו. על כך כבר אמר ג'ורג' בוקס (מספר 14 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים שלי): "Essentially, all models are wrong, but some are useful". כל המודלים שגויים, אך חלקם שימושיים.

כדי להשתמש במודל צריך להצדיק אותו. אי אפשר לבוא ולומר "יש ארבע תוצאות אפשריות, ולכן לכל תוצאה יש הסתברות רבע". לא כל המאורעות קורים בהסתברויות שוות. מה ההסתברות כי בחודש אוגוסט הקרוב ירד שלג בתל-אביב? יש שני מאורעות אפשריים: או שירד שלג, או שלא. אבל אף אחד לא יטען כי הסיכויים הם 50:50.

את המודל שלנו למשפחות בנות שני ילדים אפשר להצדיק. אפשר לטעון, ובצדק, כי בכל לידה יש סיכוי של 50% כי הנולד יהיה בן, וסיכוי של 50% כי תיוולד בת. זה בערך נכון. שיעור לידות הבנים גבוה מעט משיעור לידות הבנות, הטבע מאזן את זה על ידי שיעור מעט יותר גבוה של תמותת תינוקות זכרים. זה לא בדיוק נכון, אבל כאמור מדובר כאן במודל, כלומר בתיאור מקורב של המציאות. השלב הבא בטיעון להצדקת המודל יאמר כי מאחר והסיכוי כי הילד הראשון במשפחה  הוא חצי, והסיכוי כי הילד השני במשפחה הוא גם כן חצי, אז הסיכוי כי שני הילדים הם בנים הוא 0.5×0.5=0.25. באופן דומה ניתן לחשב כי ההסתברות של כל אחד מההרכבים האחרים של משפחות עם שני ילדים היא גם כן 0.25. למה מכפילים את ההסתברויות? כאן מסתתרת ההנחה השניה של המודל, לפיה אין תלות בין מינו של הילד הראשון במשפחה ומינו של הילד השני במשפחה. על פי הנחה זו, המקרה של אבו-אל-בנאת, אותו אב קולנועי לתשע בנות הוא רק ביש מזל, אירוע נדיר (1 ל-512) שהתגשם, ואינו משקף חוסר גבריות כלשהי אצל שבתאי אלפנדרי (ששייקה אופיר גילם את דמותו בכשרון רב). האם זו הנחה סבירה? הנתונים הסטטיסטיים מאשרים שכנראה שכן (אין לי מקור להפנות אתכם, אני מתבסס על זכרון קלוש שאומר לי שראיתי פעם נתונים כאלה).

אה, ויש עוד עניין קטן: המודל שלנו מתעלם מלידות תאומים. ההנחה של אי התלות בין המינים של שני הילדים אינה נכונה במקרה של תאומים זהים. אם אחד משני תאומים זהים הוא בן, אז השני גם חייב להיות בן. זו יכולה להיות בעיה מסויימת, והיא תתבטא בכך שהתשובות לשאלות שאנו שואלים לא יהיו מדוייקות. כמו שג'ורג' בוקס אמר – כל המודלים שגויים. בכל מקרה, אני מטאטא את עניין התאומים אל מתחת לשטיח, ונשאר במודל שמתאר בצורה טובה את המשפחות שבהן יש שני ילדים שאינם תאומים.

בסיכומו של הדיון עד כה הגענו למסקנה כי במשפחה בת שני ילדים, הסיכוי כי שני הילדים הם בעצם שתי בנות הוא רבע.

עכשיו נעבור לחידה שפרסם דוברמן: ידוע כי במשפחה שבה שני ילדים, אחד הילדים הוא בעצם בת. מה ההסתברות כי שני הילדים הם בעצם בנות?

התשובה שרוב האנשים שולפים מהמותן היא 50%. הטיעון הוא כזה: ידוע לנו שיש בת אחת. לגבי הילד השני – או שהוא בן או שהוא בת. אנו יודעים (או מניחים, על פי המודל שתואר קודם) כי בכל לידה הסיכוי ללידת בת הוא 50%, וגם כי אין תלות בין המינים של שני הילדים. לכן עצם העובדה שידוע לנו המין של אחד הילדים לא משנה את ההסתברות כי הילד השני הוא בת.

התשובה הזו היא תשובה נכונה, אבל לא לשאלה שנשאלה אלא לשאלה אחרת. הבעיה הטיעון שהוצג היא שיש בו הנחה סמויה, לפיה ידוע מי משני הילדים הוא הבת. אילו הייתה השאלה מנוסחת כך: "ידוע כי במשפחה שבה שני ילדים, הילד הבכור הוא בעצם בת. מה ההסתברות כי שני הילדים הם בעצם בנות?", אז התשובה היא אכן 50%, בדיוק לפי הטיעון שבפיסקה הקודמת, אבל זו לא השאלה שנשאלה. בנתוני השאלה שנשאלה, אחד הילדים הוא בת, אבל לא ידוע לנו אם זהו הילד הראשון במשפחה או הילד השני. חוסר הידיעה משנה את התשובה. מי שכבר קרא את הפתרון אצל דוברמן יודע שהתשובה הנכונה היא שליש. הטיעון שדוברמן הציג הוא כזה: מראש יש ארבעה סוגי משפחות אפשריים, אבל כיוון שידוע לנו כי אחד הילדים הוא בת, המאורע בן-בן שוב אינו רלוונטי. לכן נותרו לנו שלושה מבני משפחה אפשריים (בן-בת, בת-בן ו-בת-בת), ורק באחד מהם יש שתי בנות במשפחה, ולכם הסיכוי הוא אחד מתוך שלוש, כלומר שליש.

הפתרון הזה הוא (שוב) פתרון נאיבי, שמניח באופן משתמע (implicit) את המודל שתיארתי קודם לכן. הוא עובד כי המודל מתאים, אבל אם ההנחות של המודל אינן מתקיימות, גם הפתרון אינו נכון. תחשבו למשל על השאלה הבאה. ידוע כי לפחות באחת משתי הערים תל-אביב ושיקגו ירד שלג בתאריך מסויים בחודש ינואר האחרון. תעמידו פנים שאתם לא יודעים ולא יכולים לברר מה היה מזג האויר בשתי הערים האלה, אבל אתם כן יודעים שההסתברות לשלג בשיקגו בינואר היא 90% ובתל-אביב (נניח) אחוז אחד. מה ההסתברות שבשתי הערים האלה ירד שלג באותו היום? בואו נניח כי אין תלות בין מצבי מזג האויר בשתי הערים. נסכם את כל המצבים האפשריים וההסתברויות המתאימות בטבלה:

אם לא ידוע לנו כלום, אז ההסתברות כי יש שלג בשתי הערים היא 0.009, לא 0.25. אם ידוע לנו כי ירד שלג בשיקגו, אז ההסתברות שירד שלג בתל-אביב היא 0.01 – למעשה הידיעה על מזג האויר בשיקגו לא משנה כלום בגלל אי התלות ביו מצבי מזג האויר בשתי הערים.

אם נתון לנו כי באחת משתי הערים היה שלג (אך לא ידוע לנו באיזו עיר), הנה השיקול שעלינו לעשות כדי לענות לשאלה. ההסתברות שירד שלג לפחות באחת משני הערים היא 0.901. ניתן להגיע לתוצאה זו בשתי דרכים. ניתן לחבר ההסתברויות בשלוש השורות הראשונות שבטבלה (שלג-שלג, שלג-אין שלג, אין שלג-שלג) ולקבל 0.009+0.001+0.891=0.901, או להחסיר את ההסתברות של השורה האחרונה (אין שלג-אין שלג) מ-1, ולקבל באופן לא מפתיע כי 1-0.099=0.901. כלומר, ב-90.1% מהמקרים יורד שלג לפחות באחת משתי הערים. לעומת זאת, רק ב-0.9% מהמקרים יורד שלג בשתי הערים. לכן ההסתברות שיורד שלג בשתי הערים כאשר נתון כי באחת מהן יורד שלג היא 0.009 חלקי 0.901 שזה בערך 0.00998.

אינטואיטיבית ניתן להסביר את התוצאה הזו כך: אם נסתכל על אלף ימים, ב-901 מהימים ירד שלג לפחות באחת משתי הערים (באופן תיאורטי), אך רק בתשעה מהם ירד שלג בשתיהן. לכן ההסתברות המבוקשת היא 9/901.

אם נחזור לחידת המשפחה, ההסתברות שבמשפחה יש לפחות בת אחת היא 0.75 (רבע ועוד רבע ועוד רבע), וההסתברות כי במשפחה שתי בנות היא 0.25, ולכן אם ידוע כי אחד הילדים הוא בעצם בת, ההסתברות שבמשפחה יש שתי בנות היא 0.25 חלקי 0.75 כלומר שליש. באופן אינטואיטיבי, אם נניח כי יש בדיוק 1000 משפחות בנות שני ילדים, אז ב-750 מהן יש לפחות בת אחת, וב-250 יש שני בנים (שוב באופן תיאורטי). מתוך 750 המשפחות שבהן יש בת אחת לפחות, יש 250 משפחות עם שתי בנות, ולכן ההסתברות המבוקשת היא 250/750.

מה קורה עם יוספה? יוספה משנה את מרחב המצבים שלנו. עכשיו יש לנו לא ארבעה טיפוסי משפחות, אלא תשעה, וההסתברויות כבר לא זהות.

בואו נחזור למודל הבסיסי של לידת יחיד. על פי המודל, יש סיכוי של 0.5 כי הנולד הוא בן. כמובן, הסיכוי כי הנולד הוא בת גם הוא 0.5, אבל עכשיו המקרה של לידת בת מתחלק לשני מקרים: המקרה שבו לבת לא קוראים יוספה, והמקרה בו ההורים הגאים בחרו לביתם את השם הלא כל כך נפוץ הזה.  מה ההסתברות לשם יוספה? ההסתברות קטנה, אבל בכל זאת חיובית. יש כמה יוספות שמתהלכות ביננו. נסמן את ההסתברות הזאת באות היוונית ε. מי שזה מפריע לו, יכול לבחור סתם מספר קטן, נניח 0.0000001. ההסתברות לבת ששמה לא יוספה היא לכן 0.5 כפול ε . בואו נכתוב את כל המשפחות האפשריות בטבלה, יחד עם ההסתברויות:

סימנתי בטבלה את השורות שמציינות את המשפחות שבהן יש ילדה ושמה יוספה, ואת השורות שבהן יש ילדה ושמה יוספה ושתי ילדות בסך הכל. שימו לב כי יש גם משפחה אפשרית שבה לשתי הילדות קוראים יוספה. זה לא מציאותי, תגידו. נכון. אבל זו לא המציאות, אלא רק מודל שמתאר את המציאות. בכל מקרה, ומאר והנחנו כי ε הוא מספר קטן, הרי ש- ε בריבוע הוא מספר הרבה יותר קטן, ובאופן מעשי הוא אפס. מכאן דרך החישוב פשוטה. עלינו לסכם את שלוש ההסתברויות של שלוש המשפחות האפשריות שהן שתי בנות בסך הכל וגם ילדה ושמה יוספה. אחר כך עלינו לסכם את חמש ההסתברויות של חמש המשפחות האפשריות שבהן ילדה בשם יוספה. ולסיום, עלינו לחלק. הנה החישוב:

אז התשובה היא בערך חצי אם ε הוא מספר קטן.

שימו לב שהגישה הנאיבית לא מדוייקת, אך בכל זאת נותנת תשובה נכונה! הגישה הנאיבית תגיד שאם ידוע שיש במשפחה יוספה אחת, אז יש לנו בסך הכל ארבע אפשרויות: יוספה-בת, יוספה-בן, בת-יוספה ובן-יוספה, ומתוכן יש שתי אפשריוית של שתי בנות במשפחה, ולכן ההסתברות היא 2 חלקי 4, כלומר חצי. הסיבה לכך היא שלמרות שההסתברויות לארבע האפשרויות שונות זו מזו, הן כולן קרובות יחסית ל-0.25, בגלל שהשם יוספה נדיר ו-ε קטן. אם הייתי בוחר שם פופלרי יותר התשובה הייתה הולכת ומתרחקת מחצי.

ולסיום: תודה לכל מי שניסה לפתור ושלח לי את הגיגיו. הפותר היחיד הוא יואב בילינסקי.

דוברמן העלה את החידה הקלילה הזו בבלוג שלו:

במשפחת תפוחי שני ילדים. נתון לנו שאחד מהילדים האלו הוא (היא) בת. מה ההסתברות שלמשפחת תפוחי יש שתי בנות?

אם אתם יודעים את התשובה, שלחו את התשובה אליו, ונסו לפתור את חידת ההמשך:

אם אספר לכם כי שמה של אותה בת למשפחת תפוחי הוא יוספה, אז מהי ההסתברות כי גם הצאצא הנוסף של משפחת תפוחי היא בת?

את הפתרון לחידה זו שלחו אלי. אנא המנעו מכתיבת התשובה בתגובות.

1) רשימה זו נכתבת בחדר המלון בו אני שוהה כעת, אי שם בדרום קליפורניה. כאשר הגעתי אתמול בצהריים למלון,  25 שעות לאחר שיצאתי לדרכי מביתי, הייתי עייף, אך עוד יותר רעב. לאחר מקלחת מהירה, ירדתי לארוחת צהריים במסעדת המלון. לא חיפשתי ארוחת גורמה, ולמעשה בחרתי מהתפריט המבורגר, זה הכל. אבל בקליפורניה כמו בקליפורניה. ההמבורגר הוגש עם כרובית, גזר ואספרגוס כתוספת.

2) קליפורניה (ולמעשה ארה"ב כולה) רועשת לאחר שהיום הושעה כוכב קבוצת הבייסבול לוס-אנג'לס דודג'רס מני ראמירז ל-50 משחקים, לאחר שבבדיקת סמים שנערכה לו התקבלה תוצאה חיובית. למי שזוכר, זה אותו ראמירז שסירב לחתום על חוזה שיעניק לו שכר מעליב של 45 מליון דולר במשך שנתיים (אם כי לבסוף נכנע וחתם). הנה שתי נקודות למחשבה: לאור העובדה שבבדיקה התקבלה תוצאה חיובית, מה ההסתברות כי רמירז אכן השתמש בסמים אסורים? ומה בכלל לא בסדר בשימוש בסמים? רמזים: התשובה לשאלה הראשונה נמצאת בעולם הסטטיסטיקה (רמז עבה: מספר 4 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים), והתשובה לשאלה השניה נמצאת בעולם הכלכלה. תשובות יגיעו מתישהו כשאתפנה לכתוב רשימות על שני הנושאים. עדכון (19.8.2009): הנה הרשימה עם התשובה לשאלה הראשונה. עדכון (27.1.2010): הנה הרשימה עם התשובה לשאלה השניה.

3) הנסיעה הארוכה אפשרה לי לקרוא סוף סוף בספר The Drunkard's Walk שקניתי לי בנסיעתי הקודמת לארה"ב. בנקודה מסויימת הספר עוסק באפשרות (או אי האפשרות) לייצר מספרים מקריים (ראו גם את רשימתו של גדי אלכסנדרוביץ’ על הנושא בבלוג שלו). בדיון שבספר מצוטט סטטיסטיקאי ירושלמי העונה לשם משה, שטען כי אין אפשרות לייצר סדרה אמיתית של מספרים מקריים, בודאי לא באמצעות מחשב, ואף לא באמצעות הטלת קוביה, למשל, וזאת בשל חוסר האפשרות הפיזית לייצר קוביה הוגנת מושלמת. בטווח הארוך, טען משה, יתגלו אי סדירויות בסדרה של תוצאות ההטלות, שישקפו את היות הקוביה בלתי מושלמת. אני מכיר שני סטטיסטיקאים באוניברסיטה העברית שעונים לשם משה, אולם מחבר הספר צמצם את מספר האפשרויות, כמסר גם כי אותו משה הוא יהודי דתי. האימות בוצע במייל, ומשה מהספר הוא פרופ' משה פולק מהאוניברסיטה העברית, האדם אשר פתח לפני את שערי עולם הסטטיסטיקה כאשר הייתי תלמיד שנה א.

4) זהו ביקורי השני בקליפורניה. הביקור הקודם היה בקיץ 1997. הטיסה חזרה אז כללה עצירת ביניים והחלפת מטוס בפניקס, אריזונה, שהתארכה הרבה מעבר לצפוי עקב תקלה טכנית במטוס. אני ומשפחתי ניסינו לשרוד בטרמינל הצפוף והמחניק, כלפתע הופיעו מולנו חברת הילדות של דודתי ובעלה. וואו! מה הסיכוי שזה יקרה? הסיכוי שאני ומשפחתי נפגוש את חברת הילדות של דודתי בפניקס אריזונה הוא קטן למדי, אבל הסיכוי שמתישהו אפגוש מישהו שאני מכיר במקום לא צפוי הוא כבר גדול למדי. אני מניח שחלק ניכר מהקוראים יכולים להזכר באירוע דומה (או אפילו יותר מאחד) שאירע להם. ומה עם הטלפון המצלצל שמעברו השני נמצא מישהו שבדיוק חשבת עליו? או החלום שחלמתם ש"התגשם"? צירופי מקרים קורים, וקורים כל הזמן. הסיפור שסיפרתי לא ממש מפתיע. מי שלא ממש מבין למה, יכול לנסות לצפות בסרטון הבא, שמסביר מדוע צירופי מקרים אינם כה נדירים, ואין בהם כל משמעות נסתרת:

הרשימה שפרסמתי לפני מספר ימים בעניין החלטת בית המשפט העליון לפיה הוצאות הטיפול בילדים ייחשבו כהוצאה מוכרת לצרכי מס, זכתה למספר רב של תגובות. הנה תגובתי לחלק מהתגובות ההן.

אבי כתב: לא ברור מה מעוות פה. זה הכסף של ורד פרי ולא של אף אחד אחר, ובמקום ללכת לילדים של אמא אחרת, הוא הולך עכשיו לילדים שלה.

תגובתי: מכל התגובות, זוהי ללא ספק הדמגוגית ביותר. אנחנו חיים במדינה מסודרת עם מערכת חוקים, והחוקים קובעים כי כל אדם חייב לשלם חלק מהכנסתו כמס למדינה. לאחר שהמס שולם, הכסף הוא כבר של המדינה, ולא של מי ששילם אותו, והמדינה יכולה לעשות בכסף כרצונה – לממן הפצצה של אירן, לתת החזרי מס לשרי אריסון, או לממן מעונות יום מסובסדים לילדי אמהות עובדות שהכנסתן נמוכה יחסית, או כל דבר אחר (כן, אני יודע שאני דמגוגי כאן, זה בכוונה). מי שזה לא מוצא חן בעיניו, יכול לעבור למדינה אחרת או לנסות לשנות את החוקים, ויש אמצעים לעשות את זה – יש בחירות כל כמה שנים, ויש בתי משפט שניתן לעתור אליהם.

שימו לב כי ורד פרי נקטה באמצעי של עתירה לבית המשפט וגרמה לשינוי המצב החוקי הקיים. זו זכותה. אני עדיין טוען שזה מעוות, וזו גם זכותי. אני סבור שיש לתקן את העיוות שיצרה הפסיקה בעקבות עתירתה של ורד פרי, והבעת דעתי בבלוג הזה (שאותה הסברתי היטב בשתי הרשימות הקודמות בנושא) היא הדרך שלי לפעול (בשלב הזה).

אלעד-וו כתב: יוסי, אתה מתעלם ומגחיך את הטיעונים בעד הקלת המס, … אתה מתעלם מכך שלעניין יש שתי פנים… הטיעון הוא שמטפלת מאפשרת להורים לצאת לעבודה, ולכן היא הוצאה לצורך הכנסה… היות שהוצאות למען יצירת הכנסה הן מוכרות, אז גם מטפלת צריכה להיות מוכרת … הטענה (הנוספת י.ל.) היא לא שגידול ילדים היא הוצאה שמוציאים לצורך ייצור הכנסה. אלא שבהינתן שכבר יש לך ילדים, אז שכירת מטפלת היא הוצאה למטרת יציאת הכנסה.

תגובתי: יש צדק בטענותיו של אלעד. אכן לא התייחסתי לטענה כי ההוצאה על מטפלת הינה הוצאה לצורך יצירת הכנסה, כי לדעתי הטענה לא רלוונטית. גם אם היא נכונה, עדיין נגרם עיוות. בכל זאת, אתייחס לטענה זו כעת. הדעות על כך חלוקות. בית המשפט עצמו קבע כי תשלומים למעון הם "הוצאה מעורבת" – כלומר חלק מהתשלום הוא עבור השגחה על הילדים ולכן יוכר כהוצאה, וחלק אינו מייצר הכנסה (למשל הארוחה שהילד מקבל, או העשרה ופעילות חינוכית כמו משחקים, הפעלות וכדומה), ולכן אינו מוכר כהוצאה. איזה חלק מהתשלום למעון נועד להשגחה ואיזה לא? בית המשפט קבע שרירותית כי 50% מהתשלום לעומת זאת, הוצאה על מטפלת אינה מעורבת, לדעת בית המשפט, וכולה מותרת בניכוי. הה? דובי העיר בהמשך כי הרבה מטפלות גם עושות עבודות בית מסוימות כחלק מעבודתן. האם במקרה כזה יש לנכות חלק משכרן מהסכום הפטור ממס? אוסיף ואומר: האם המטפלת הפרטית לא משחקת עם הילד? לא עוסקת גם בחינוכו והעשרתו? יפה כתב גדעון עשת בטור שלו בידיעות אחרונות בתאריך 5.5.09: "מי מכיר הורה שיפקיד את ילדו אצל מטפלת שלא משחקת עם הילד, לא משוחחת איתו ולא דואגת לכל צרכיו האחרים (חוץ מהשגחה)?" עשת גם לקח את הטיעון הזה קדימה. גם רפואה מונעת (חיסון נגד שפעת, אימוני כושר) יכולה לייצר הכנסה, למשל, על ידי מניעת אבדן ימי עבודה בשל מחלה. האם התשלום למנוי במכון כושר יהיה מותר בניכוי? מה עם הפיליפיני שמטפל בהורה הקשיש של העובד? אילולא הפיליפיני, היה העובד נאלץ להשאר עם אביו החולה ולטפל בו. מותר לנכות?

בכל אופן, אני שב ואומר כי לדעתי גם אם אכן יש אלמנט כזה או אחר של הוצאה לצורך יצירת הכנסה, הדרך של ניכוי הוצאות אינה ראויה לדעתי, וזאת בשל כל ההשפעות השליליות שלה, שפירטתי ברשימות הקודמות, ובכך שבעצם גם התרומה החיובית שנטענה (תמריץ ליציאה לעבודה) אינה קיימת למעשה, כפי שהסברתי.

לגבי הטענה השניה של אלעד, לפיה בהינתן שכבר יש ילדים, אז שכירת מטפלת היא הוצאה למטרת יצירת הכנסה, אומר כי המצב לפיו לאדם כלשהו יש ילדים אינו פורס מאזור. ילדים נולדים בהחלטה (שקולה או לא, זה כבר ספור אחר). אדם לא יכול לרצוח את אביו ולטעון כי הוא יתום לצורך הקלה בעונש.

שחר כותב: אתה צודק כמובן (תודה!)… לכן אני מרגיש אכזבה עמוקה מעצמי על העובדה שאני שמח מהיתרון שיצמח לנו בהנחה שהפסיקה לא תמוסמס בחוק ההסדרים הקרוב.

תגובתי: זו נקודה מעניינת. אני מפרש את דברי שחר באופן הבא: כולנו (או לפחות אלה מאיתנו שהכנסתם מספיק גבוהה כדי ליהנות מהחזר המס) נמצא את עצמנו בנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים. היה עדיף לו כולם היו נמנעים מלנצל את הניכוי/זיכוי הזה, ובכך היה נמנע הגידול באי-השוויון, והצורך לקצץ בהוצאות ממשלה אחרות עקב החור התקציבי שייווצר בגלל הקטנת ההכנסות ממסים. אבל בעוד שלכלל היה עדיף שלא יהיה ניכוי כזה, לכל פרט בנפרד עדיף לקבל את החזר המס.

דובי מעיר כי בחישוב הכללי, אשה שמרוויחה 12,000 ש"ח תקבל הטבה של 200 ש"ח בסך הכל. כלומר, הטענה כאילו שמדובר פה במשהו שיהווה הקלה משמעותית על נשים לצאת לעבודה גם היא שקרית. לא ה-200 ש"ח האלו יעשו את ההבדל למי שנמצאת גם כך בטווח השכר הרלוונטי. מי שזקוקה לתמריץ אמיתי ליציאה לעבודה היא מי שההכנסה שלה תהיה פחות או יותר שווה לעלות של מטפלת או גן – כלומר, בעלות פוטנציאל להכנסה נמוכה. אני מסכים עם כך לחלוטין, וכבר הסברתי זאת בפירוט ברשימה שכתבתי לפני שנה. גם michaly הסבירה כי אין בהחזר המס הזה תמריץ אמיתי לצורך יציאה לעבודה של אמהות: אישה שמרוויחה 8000 ומעלה לא היתה נשארת בבית רק כדי להיות עם הילדים, אלה דווקא אלה שמרוויחות 4000 ופחות שעושות את השיקול שלא שווה לצאת לעבוד כי ממילא הכל יילך לכיסוי הוצאות הילדים.

שמוליק , בתגובה דמגוגית ומתלהמת, כותב: ילדים של זוגות עובדים יהיו גם הם עובדים, יצרניים ומשלמי מס. ילדים של בטלנים יהיו בטלנים. לכן המדינה רוצה להגדיל את הפריון של זוגות עובדים ולהגדיל את מספר הילדים במשפחות אלו. המדינה רוצה להקל עליהם לשלב עבודה יצרנית עם גידול ילדים. תחת לתת קצבאות ילדים לזוגות בטלנים, הם נותנים הקלה במס לזוגות יצרניים, שבמקום לשבת בבית ולא להשתכר, הם יוכלו להשתכר ולשלם מס, אם כי מופחת.

מה ששמוליק כותב בעצם שמי שייהנה מההקלה במס הם זוגות יצרניים, ומי שלא ייהנה ממנה הם בהכרח הבטלנים. במלים אחרות, שמוליק אומר כי אשה ששכרה נמוך מ-7000-8000 שקל היא בטלנית, כי היא לא תיהנה מהטבת המס. אלה רוב הנשים, דרך אגב. גם רוב הגברים מרוויחים פחות מהסכום הזה. כולם בטלנים, שמוליק?  התגובה הראויה באמת מצידי היא למחוק את התגובה שלו, אבל משום מה אני לא עושה את זה.

במהלך השנים בהם קיים בלוג זה (בביתו הקודם באתר רשימות וכאן) תקפתי את נחמיה שטרסלר, העורך הבכיר לענייני חברה וכלכלה של עיתון "הארץ" לא מעט פעמים. הבוקר שטרסלר גמל לי במאמר שפרסם בעניין הפסיקה האחרונה של בית המשפט העליון שמאשרת ניכוי הוצאות טיפול בילדים מההכנסה החייבת במס.

תחת הכותרת "פסיקה שעוזרת לעשירים" חוזר שטרסלר על הטיעונים שהבאתי כאן נגד הפסיקה של בית המשפט המחוזי לפני שנה, שאושרה על ידי בית המשפט העליון בשבוע שעבר.

כותב שטרסלר:

בית המשפט התעלם מן העובדה, ששלטונות המס כבר מתחשבים בהוצאות הכרוכות בטיפול בילדים ובהשגחה עליהם. הם מעניקים נקודת זיכוי נוספת לכל אשה עובדת תמורת כל ילד עד גיל 18. בנוסף, אשה עובדת מקבלת עוד חצי נקודת זיכוי מעל למה שמקבל גבר עובד. כלומר, כבר עכשיו אשה משלמת פחות מס מגבר – בדיוק למטרה החשובה של עידוד היציאה לעבודה.

(הערה: חצי נקודת הזיכוי ניתנת כפיצוי עבור הגדלת התשלומים שנשים משלמות לביטוח בריאות שאירעה עם החלת חוק ביטוח בריאות ממלכתי בשנות התשעים של המאה הקודמת – יוסי לוי).

ממשיך שטרסלר וכותב:

ההכרה בהוצאות גם לא תעזור לרוב הנשים. 60% מהן כלל אינן מגיעות לסף המס. לכן הפסיקה תעזור רק לעשירונים העליונים, ובעיקר למי ששכרה גבוה והמס השולי שלה גבוה. כלומר, מדובר בפסיקה העוזרת בעיקר לעשירים.

ולסיום מציע שטרסלר:

עדיף להשאיר את הסידור הנוכחי (נקודות זיכוי) על כנו ולעודד יציאת נשים לעבודה על ידי פתיחת מעונות יום מסובסדים רבים יותר – ולא על ידי הכרה בהוצאות ההשגחה על ילדים.

ימות משיח.

ובכן, כולכם יודעים ודאי כי אתמול דחה בית המשפט העליון את ערעור רשות המסים, וקבע כי הוצאות הטיפול בילדים ייחשבו כהוצאה מוכרת. אמנם, אמהות לילדים מקבלות נקודת זיכוי מס עבור כל ילד כפיצוי חלקי עבור ההוצאות הכרוכות בגידולם. ממש לא הרבה, אבל זה מה שיש. לעו"ד ורד פרי זה לא הספיק, וכעת היא יכולה, באישור בית המשפט העליון, לנכות את התשלומים ששילמה למטפלת שטיפלה בילדיה מהכנסתה החייבת במס.

כתבתי על כך לאחר החלטת בית המשפט המחוזי בנושא, לפני כשנה:

מדובר כאן בסובסידיה. אבל הסובסידיה הזו ניתנת רק לבעלי הכנסה גבוהה, של כ-8000 ₪ לחודש או יותר. ב-2006 (השנה האחרונה עבורה יש נתונים הכנסות זמינים באתר הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה), גבול השכר העליון של העשירון השביעי היה 7656 ₪, כלומר שכר של 8000 ₪ או יותר היה נחלתם של שלושת העשירונים העליונים בלבד. ב-2008 ייתכן שגם חלק מהעשירון השביעי זוכה לשכר כזה, אבל עדיין רוב האוכלוסיה לא תיהנה מההטבה הזו. הטבת מס היא סובסידיה לעשירים… ההטבה הזו תעלה כסף, והרבה – כ-2 מיליארד ₪ בשנה … מישהו יצטרך לשלם, ואנחנו יכולים להיות בטוחים שחלק ניכר מהתשלום ישולם על ידי 70% מהאוכלוסיה שלא ייהנו מהפסיקה המהפכנית… מהפכה לא הייתה כאן. מה כן יש? יותר כסף לשלושת העשירונים העליונים, שימומן על ידי כולם, כולל שבעת העשירונים התחתונים, שזה במלים פשוטות עוד הגדלה של אי השוויון, עטופה במלים גבוהות וריקות מתוכן על שוויון וקידום מעמד האישה.

מדובר כאן בהטבת מס מעוותת ולא צודקת. בניגוד למה שורד פרי חושבת, גידול ילדים אינו הוצאה שמוציאים לצורך ייצור הכנסה. ההיפך הוא הנכון. אני יוצא לעבודה כדי שיהיו לי האמצעים הכספיים לפרנס את ארבעת ילדיי. פרי מיתממת וטוענת כי "רצתה לשלם מס אמת", אך היא בסך הכל מאלצת 70% מהנשים בעלות ההכנסה הנמוכה מ-8000 ש"ח לשלם את שכר המטפלת של ילדי הנשים ששכרן גבוה. זהו שוד הציבור – רובין הוד בהפוכה. ובית המשפט העליון של מדינת ישראל נתן לכך את חסותו.

יבוא לימונים ממקסיקו משפר את הבטיחות בדרכים, לפחות בארה"ב. הנתונים שמוכיחים זאת פורסמו :

ובכן, רואים בבירור: ככל שיבוא הלימונים ממקסיקו גדל, כן קטן מספר תאונות הדרכים הקטלניות בכבישים המהירים שבארצות הברית.

לא לדאוג: הנתונים אמנם אמיתיים, אך מדובר בבדיחה. חסידות לא מביאות ילדים לעולם.

דוברמן פרסם אתמול בבלוג שלו חידה יפה. כל מי שמבין קצת את תכונות הממוצע יפתור מייד. לי החידה הזו הזכירה את התרעמותו של אחד הפוליטקאים שהיו בארץ אי שם בשנות המונים, שהתרעם כי ישנם שכירים ששכרם נמוך מהשכר הממוצע במשק.

לפני כחודשיים פנה אלי אחד מבכירי החברה בה אני עובד וביקש ממני שאעזור לו להכין מצגת על נושאים סטטיסטיים הקשורים בפיתוח תרופות בכלל ובניסויים קליניים בפרט. שמחתי לעזור (חלק החומר הדרוש היה לי מן המוכן: תפקיד הסטטיסטיקאי בתהליך הפיתוח הקליני, שיקולים סטטיסטיים בתכנון ניסויים בבעלי חיים, בין שתי טעויות – הרשימה בה הסברתי את נושא בדיקת ההשערות, ועוד כמה דברים). נתבקשתי גם לסקור כשלים סטטיסטיים נפוצים בניסויים קליניים, וזו הייתה משימה יותר מאתגרת, ובזכותה תיהנו אתם, קוראי הבלוג המתעניינים בנושא זה, מסדרה של רשימות שתסכם את ממצאי והגיגי.

ראשית, אתייחס לכותרת הסדרה. סטטיסטיקאים הם גם בני אדם (בניגוד לסברה הרווחת). לכן הם צפויים לטעות, וכיוון שכך, טעויות/כשלים סטטיסטיים בניסויים קליניים (או בכל מקום אחר בו פועל הסטטיסטיקאי) הינם בלתי נמנעים. רק מי שלא עושה לא טועה. האם יש כשלים סטטיסטיים "נפוצים"? אני רוצה לקוות שלא. במקומות מסודרים ישנם תהליכי בקרת איכות שתפקידם לסייע באיתור טעויות מבעוד מועד ולתקן אותן בזמן. עם זאת אף תהליך בקרת איכות אינו מושלם, וטעויות קרו, קורות ויקרו, גם לסטטיסטיקאים וגם לכל אדם אחר. לכן, הכותרת של סדרת  רשימות זו תהיה "כשלים סטטיסטיים אפשריים בניסויים קליניים", לא כשלים נפוצים, בתקווה שאכן זה המצב.

כלי מרכזי בבקרת איכות של עשיה סטטיסטית היא בקרת עמיתים (peer review). בקרה כזו עלולה להיכשל בשל מה שמכונה לפעמים "שלטון הקונספציה". אם כולם משוכנעים שמשהו נכון, למרות שהוא שגוי, השגיאה לא תתגלה, אלא רק כאשר יהיה מאוחר מדי. דרך טובה להמנע מכשל כזה היא מודעות. מי שמודע לשגיאה אפשרית ידע גם לחפש אותה ולהמנע ממנה. פעם נשאלתי בראיון עבודה מהי התכונה הטובה ביותר שלי. השבתי כי אני לומר משגיאות, ואיני עושה את אותה השגיאה פעמיים. אני עדיין חושב שזו תכונה טובה, ובכל זאת, עדיף תמיד ללמוד משגיאות של אחרים, לא משלך, וכן כדאי תמיד להשקיע עוד קצת מחשבה ומאמץ כדי להמנע מלעשות את השגיאה גם בפעם הראשונה.

כשהתחלתי לחפש "חומר" על הנושא נדהמתי לגלות כמה מעט נכתב על כשלים סטטיסטיים בתחום הניסויים הקליניים. תדהמה שניה אחזה בי שהחזקתי בידי את הרשימה של הכשלים האפשריים שזיהיתי, אם ממקורות שמצאתי ברשת ובפרסומים המדעיים, ואם כאלה שזיהיתי בכוחות עצמי. אמנם, לא גיליתי תגליות חדשות, כלומר כשלים אפשריים שלא הייתי מודע להם קודם לכן  (וזה לא אומר שאין כאלה), אבל מה מצאתי מספיק בהחלט כדי להעיק, ולעורר (לפחות בי) מודעות נוספת לנזקים שאני ועמיתי עלולים לעולל אם רק נירדם לרגע בשמירה.

איפה אפשר לטעות? בכל שלב שהוא. למעשה, הרשימה "תפקיד הסטטיסטיקאי בתהליך הפיתוח הקליני" שימשה אותי כנקודת מוצא. אפשר לטעות בשלב תכנון הניסוי, אפשר לטעות במהלך ביצוע הניסוי, ואפשר לטעות במהלך ניתוח הנתונים, הצגתם ופרשנותם. מטבע הדברים, ככל שטעות מתרחשת מוקדם יותר, כך השפעתה גדולה יותר, ולכן הטעויות הקריטיות ביותר נעשות בשלב התכנון (ראו למשל את הרשימה "מה הקשר בין איזופודים ותאונות דרכים?"). עם זאת, אין פירוש הדבר כי טעויות בשלבים מאוחרים ביותר הן זניחות. להיפך, הן עשויות להיות קריטיות לא פחות.

גם מי שלא עוסק בניסויים קליניים יוכל להפיק תועלת, לדעתי, מרוב הדברים שיובאו ברשימות הבאות. ההשלכה לתחומים אחרים היא מיידית. למעשה, כבר בשלב הראשוני, שהמצגת עוד הייתה טיוטה על גבי נייר, נוכחתי לדעת שדוגמאות רלוונטיות רבות כבר נסקרו כאן בבלוג. הצגות גרפיות מטעות יש כמעט בכל מקום, ופירוש שגוי של מתאם כסיבתיות נפוץ הרבה יותר בתחומים אחרים. לכן אני סבור שסדרת הרשימות הזו תעזור לא רק לעוסקים בסטטיסטיקה, אלא גם לצרכני הסטטיסטיקה, כלומר לכולכם, למעשה.

הרשימות הבאות בסדרה

– כשלים סטטיסטיים אפשריים בניסויים קליניים – סקירת ספרות