הכוכב, הסמים והכומר

לפני כחודשיים דיווחתי כאן על השעייתו של סופרסטאר הבייסבול  מני רמירז ל-50 משחקים, לאחר שבבדיקת סמים שנערכה לו התקבלה תוצאה חיובית. עם הדיווח העליתי נקודה למחשבה: לאור העובדה שבבדיקה התקבלה תוצאה חיובית, מה ההסתברות כי רמירז אכן השתמש בסמים אסורים? נתתי גם רמז עבה לפתרון: מספר 4 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים.

הבטחתי רשימה בנושא, והנה אני סוף סוף מקיים. לזירוז העניין תרם דוברמן, שפרסם בבלוג שלו את החידה הזו. ההקשר היה שונה (שפעת החזירים במקום סמים אסורים), אבל העקרון זהה. מי שמעוניין לקרוא את הפתרון של דוברמן יכול לקרוא אותו בלינק הזה, אם כי אני מייד אתן הסבר משלי וגם ארחיב על הנושא.

ובכן, מה ההסתברות כי רמירז אכן השתמש בסמים אסורים אם בדיקת הסמים שלו הייתה חיובית? התשובה האמיתית והכנה ביותר שאני יכול לתת לכם היא שאני לא יודע. חסרים נתונים. אז בואו ונמציא נתונים לצורך התרגיל. בדיקת הסמים יכולה לטעות. יכול להיות שנבדק כלשהו משתמש בסמים אסורים, ובכל זאת מתקבלת תוצאה שלילית בבדיקה. גם יכול להיות שהנבדק לא השתמש בסמים אסורים ותוצאת הבדיקה בכל זאת הייתה חיובית משום מה (רמירז לא טען זאת, דרך אגב). אלה הן שתי הטעויות שעשויות לקרות בכל תהליך קבלת החלטות. אבל באיזה סיכוי עשויה כל טעות להתרחש? אני אניח, כמו דוברמן בחידה שלו, כי לכל טעות יש סיכוי של אחוז אחד, כלומר 0.01. (את הסיכויים האמיתיים יודעים  מן הסתם יצרני ערכת הבדיקה). עדיין אין מספיק נתונים. כדי לענות על השאלה צריך גם לדעת מהו אחוז משתמשי הסמים באוכלוסיה הרלוונטית, ואת האחוז הזה קשה מאוד לברר. אני מעריך את המספר הזה ב-5 עד 10 אחוז. מסמך פנימי של ליגת ה-MLB שהודלף לאחרונה אמר כי בשנת 2003 התקבלו תוצאות חיוביות אצל 104 שחקנים שנבדקו (אשמח ללינק – לא מצאתי את הידיעה המקורית). בליגה יש כ-1000 שחקנים, ולכן אחוז המשתמשים הוא בסביבות 10. יש הסבורים כי “תקופת הסטרואידים” שהחלה לקראת סוף שנות התשעים של המאה הקודמת כנראה חלפה כבר מן העולם. אני סבור כי השחקנים פשוט עברו להשתמש בחומרים חדשים, שבבדיקות הנוכחיות לא מזהות. יש להם תמריץ כלכלי לכך. בואו ניקח את המספר העגול של 10% לצורך התרגיל.

נניח שכל 1000 השחקנים נבדקים. מתוכם 100 משתמשים בסמים אסורים, על פי הנחתנו, ומכיוון שהבדיקה תתן תוצאה חיובית אם הנבדק משתמש בסמים ב-99 אחוז מהמקרים, נקבל (תיאורטית) 99 תוצאות חיוביות ותוצאה שלילית אחת. 900 השחקנים האחרים נקיים, ועבור 99% מהם תוצאת הבדיקה תהיה שלילית. כלומר, יתקבלו 891 תוצאות שליליות , ואילו 9 שחקנים חסרי מזל יקבלו תוצאה חיובית  (ואלי יושעו) הגם שלא השתמשו בסמים אסורים. נרכז את המספרים האלה בטבלה:

מתוך 108 שחקנים עבורם התקבלה תוצאה חיובית, 99 אכן משתמשים בסמים, ולכן ההסתברות כי שחקן שתוצאת הבדיקה שלו חיובית אכן משתמש בסמים היא 99/108 כלומר כמעט 92%.

שימו לב כי התוצאה תלויה בהנחה הראשונית על אחוז השחקנים המשתמשים בסמים, שאינו ידוע לנו. אם האחוז הזה הוא רק 5% ולא 10%, אז ההסתברות כי השחקן “שלנו” אכן השתמש בסמים תהיה “רק” 84%.

עכשיו בואו נעזוב את החישובים, ונעבור לדיון עקרוני בתרגיל שנעשה. אנו התמקדנו בשני מאורעות. צפינו במאורע “בבדיקת הסמים התקבלה תוצאה חיובית” והתעניינו במאורע “השחקן שנבדק משתמש בסמים אסורים”. כמו כן היו נתונות לנו מספר הסתברויות. הייתה ידועה לנו, בין היתר ההסתברות כי תוצאת בדיקת הסמים היא חיובית כאשר ידוע כי השחקן הנבדק משתמש בסמים אסורים. אבל ההסתברות שעניינה אותנו באמת הייתה ההסתברות כי השחקן הנבדק משתמש בסמים אסורים כאשר ידוע כי תוצאת בדיקת הסמים היא חיובית. שתי ההסתברויות שתיארתי הן הסתברויות מותנות, אבל מתארות מצבים שונים. אחת מתארת הסתברות של מאורע שקורה בהווה (תוצאת הבדיקה חיובית) בהנתן מאורע שקרה בעבר (השחקן השתמש בסמים אסורים). השניה מתארת הסתברות של מאורע שקרה בעבר בהנתן מאורע שקרה בהווה. החישוב שלנו “הפך” את כיוון זרימת הזמן: מההווה לעבר במקום מעבר להווה. וכזכור, כל התרגיל שלנו לא היה מתאפשר ללא הנחה אפריורית כלשהי על אחוז השחקנים המשתמשים בסמים אסורים. הבדיקה אפשרה לנו לעדכן את ההסתברות האפריורית לכך שהשחקן השתמש בסמים אסורים, ולהחליף אותה בהסתברות אפוסטריורית.

הנה תיאור אפשרי אחר של התהליך: בהתחלה לא היה לנו כל ידע לגבי הרגלי השימוש של השחקן המסוים בסמים אסורים, ולכן הנחנו כי הסיכוי לכך שהוא משתמש בסמים כאלה שווה לפרופורציית השחקנים המשתמשים בסמים. הבדיקה שנערכה ותוצאתה נתנו לנו אינפורמציה חדשה, וממנה למדנו כי ההסתברות שהשחקן משתמש בסמים גבוהה הרבה יותר. החישוב שעשינו הוא מעין ביטוי מתמטי לתהליך למידה.

הראשון שניסח את התרגיל ההסתברותי הזה בכתובים היה כומר אנגלי שחי לו במאה ה-18, ושמו תומאס בייס. בייס היה ידוע כמי שעוסק במתמטיקה, ואף היה חבר החברה המלכותית, אם כי בימי חייו לא פרסם אף לא מאמר אחד שתיעד את עבודתו. המאמר המתמטי היחיד שהתפרסם תחת שמו הופיע רק שנתיים לאחר מותו, וזהו למעשה מכתב ששלח לידידו ג’ון קאנטון. במכתב תיאר בייס את הדרך לחשב “הסתברות מותנה הפוכה” (שתיארתי זה עתה). הדוגמא שהביא בייס עסקה, אגב, בסיכויי הנצחון במשחק ביליארד, במיטב המסורת של התפתחות תורת ההסתברות בהתאם לצרכיהם של המהמרים. למעוניינים לקרוא את המאמר עצמו, הנה קישור לקובץ pdf. עותק מקורי של המאמר, דרך אגב, יעלה לכם כ-4200 דולר, אם תמצאו מישהו שמוכן למכור.

הקוראים הותיקים של הבלוג הזה אמורים לדעת כי הזכרתי את בייס בעבר. הוא מופיע במקום ה-4 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים שערכתי. בעבר קוננתי על כך שמשפט בייס לא הופיע ברשימת 100 המשפטים הגדולים של המתמטיקה שערך מישהו. במסגרת התחקיר לרשימה זו הגעתי ל”פרוייקט מילניום” שנערך על ידי המרכז למדעים קוגניטיביים אוניברסיטת מינסוטה, שניסה לבחור ולדרג את 100 העבודות המשפיעות ביותר על המדעים הקוגניטיביים. מאמרו של בייס היה בין 306 העבודות המועמדות, אך פאנל המומחים שביצע את מלאכת הדירוג לא חשב שהעבודה ראויה דיה כדי להכלל ב-Top 100.

כפי שציינתי כאן בעבר, על הבסיס שהניח בייס צמח ענף שלם של הסטטיסטיקה שנקרא כמובן “סטטיסטיקה בייסיאנית”. לסטטיסטיקה הבייסיאנית שימושים מרחיקי לכת. היא עומדת בבסיסן של מערכות הבינה המלאכותית למינהן, ומיושמת במגוון תחומים, החל בגנטיקה וכלה בסינון דואר זבל. אני מסתפק כאן בהפניה למאמר שפרסם פרופ’ ישראל בנימיני ב-Ynet לפני מספר שנים, בו יש סקירה נאה של המשפט ושימושיו.