נסיכת המדעים

באתר העוקץ הופיע אתמול מאמר מאת מני אביב תחת הכותרת "כזב הממוצעים". המאמר עוסק בראיון שערכו ירון לונדון ומרדכי קירשנבאום עם שלי יחימוביץ (ניתן לצפות בראיון באתר ואללה). במהלך הראיון, העלה לונדון בפני יחימוביץ נתון בדבר השכר הממוצע בתעשיית הטקסטיל בארץ – שגובהו 6000 ש"ח לחודש, על פי לונדון.

דוגמת השכר הממוצע של המנהל והפועלים (עליה כתבתי כאן בעבר) היא דוגמא קלאסית שכל מי שלמד קורס מבוא לסטטיסטיקה אמור להכיר, וחוסר היכולת של שלי יחימוביץ להתמודד עם כשל כה פשוט עשוי לעורר שאלות לגבי מועמדותה. מצד שני, אין חובה להציג ציון עובר בסטטיסטיקה כדי להבחר לכנסת, אז למה שנדרוש זה גם משלי?

כמו כן, אני לא בטוח שירון לונדון אינו מודע לבעייתיות שבשימוש בממוצע בלבד לתיאור נתונים – ייתכן מאוד שהוא הציג ליחימוביץ שאלה מכשילה כזו בכוונה תחילה. כבר כתבתי כאן בעבר על הצגת הנתונים של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה – גוף בו עובדים סטטיסטיקאים מוכשרים רבים – אך מציג תוצאות מעוותות .

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 21 בדצמבר 2005 שם התקבלו 4 תגובות

חנן כהן  [אתר]  בתאריך 12/21/2005 11:53:06 AM

מני אביב חבר שלך?

אז למה הוא כתב פוסט ב"העוקץ" על אותו עניין עם אותה כותרת?
ועוד עניין. הנה מה שכותב רונן סנדר על לימודי הכלכלה בארץ. את התואר השני שלו בכלכלה הוא למד בסקוטלנד.
"באברדין לעומת זאת, כאשר נדרשנו לבצע בדיקה של פרויקטים ולחשב את כדאיותם, לא התעניין איש מהמרצים בתוצאה המספרית/חישובית הסופית. מה שעמד למבחן היה אופן הצבת התרגיל וההתייחסות לגורמים כלכליים ועסקיים כגון ניגוד עניינים, מחירים אלטרנטיביים, דרישות השוק והצרכנים, האם הפילוסופיה הארגונית של הגורם המבצע הולמת את הפעילות, וכיו"ב. את גובה הציון של התרגיל קבעו ההבנה הכלכלית והנימוקים בדרך לפתרון. את המספרים של עלות התשומות, מחיר המכירה והריבית הציב כל סטודנט על פי שיקול דעתו."
http://www.kibbutz.org.il/shav….icles/yomyom/051216_sender.htm

אורן  [אתר]  בתאריך 12/21/2005 11:54:03 AM

היגיון בריא

כדי להבין את הבעייתיות בהצגת סטטיסטיקה כזו מספיק היגיון בריא ולא צריך להבים בסטטיסטיקה, שונויות, סטיות תקן ומגוון מדדים אחרים. זה בהחלט מאכזב ואולי גם מפתיע ששלי יחימוביץ' חסרה את הקומון סנס הזה. מאידך, חבר הכנסת ה"ממוצע" אינו מרשים באינטליגנציה שלו.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 12/21/2005 12:47:00 PM

לחנן

אני לא מכיר את מני אביב – ואני לקחתי את הכותרת ממנו – כל הקרדיט (על הכותרת) מגיע לו

חנן כהן  [אתר]  בתאריך 12/21/2005 2:02:44 PM

סליחה ומחיקה

לא שמתי לב וחשדתי בכשר.

הסטטיסטיקן הראשי, פרופ' שלמה יצחקי (שאינו סטטיסטיקאי במקצועו, אלא כלכלן), ערך היום מסיבת עיתונאים לרגל פרסום השנתון הסטטיסטי לישראל. אתם מוזמנים לקרוא את דבריו ב-Ynet. חלק מהדברים מתייחסים לנושאים סטטיסטיים, ובהמשך חורגים דבריו אל תחומי הכלכלה והמדיניות החברתית. התייחסות לדבריו מאת יוסי דהאן שמומלץ לקרוא מופיעה באתר "העוקץ". ברצוני להתייחס כאן לדבריו הקשורים ישירות בסטטיסטיקה.

אומר פרופ' יצחקי: "ההצלחה והכישלון של תכניות למלחמה בעוני תלויה בדיוק הטכני של שיעור העוני…אם רוצים אפשר גם לקבוע שכל תושבי המדינה עניים…מדידת עוני צריכה להיות מדוייקת כמו מדידת עושר או גובה".

אכן, דברים כדורבנות. אבל אז ממשיך פרופ' יצחקי ואומר: "שיטת המדידה הקיימת מקנה "עדיפות" למשפחות מרובות ילדים…בגלל שסופרים נפשות ולא בודקים את הצרכים שלהם, מובטח שמספר העניים יגדל מדי שנה, בלא קשר למדיניות הממשלה".

ובכן, כמה דברים לידיעת פרופ' יצחקי: קיימות מספר שיטות למדידת רמת העוני, ושיטת המדידה של הביטוח הלאומי – שהיא השיטה "הרשמית" – שמרנית למדי, ועל פי מדידות אחרות שעורכים ארגונים אחרים מימדי העוני בישראל רחבים הרבה יותר.

כמו כן, דבריו של יצחקי על העיוות הנגרם במדידת המוסד לביטוח לאומי עקב גודלן השונה של משפחות שונות. האם פרופ' יצחקי עיין אי פעם בדו"ח העוני של המוסד לביטוח לאומי (קובץ pdf)? אילו עשה כן, היה ודאי יודע שקו העוני מחושב בנפרד לכל גודל של משפחה – קו העוני למשפחה בת נפש אחת שונה מקו העוני למשפחה בת 4 נפשות, וקו זה שונה מקו העוני של משפחה בת 8 נפשות. אין לינאריות. לנפש אחת קו העוני היה ב-2004 בגובה 1777 ש"ח, אך עבור משפחה בת 4 נפשות גובה קו העוני היה 4548 ש"ח, ולא 7108 ש"ח. משפחה בת 8 נפשות נחשת ל-"לא עניה" אם הכנסת המשפחה היא מעל 7391 ש"ח בלבד, ולא 14216 ש"ח – הקו שהיה צריך להתקבל אילו רק "ספרו נפשות בלי לבדוק את הצרכים שלהן", כמו שחושב הסטטיסטיקן הראשי.

כמו כן, לא ברור לי איך "מובטח שמספר העניים יגדל מדי שנה". זה כנראה דבר שברור לכלכלנים מסויימים, ואני איני כלכלן. אשמח להסברים.

ממשיך יצחקי ואומר: "כשמוסיפים מעט לקצבאותיהם של הקשישים, קו העוני יכול לרדת מכיוון שהם מאוד קרובים אליו". ובכן, קו העוני נקבע כ-50% מההכנסה החציונית. כל סטטיסטיקאי יודע כי שינוי בערכן של תצפיות קצה אינו משנה את ערך החציון. איך העלאת הקצבאות לקשישים תוריד את קו העוני? זה יכול לקרות רק אם יותר ממחצית האוכלוסיה חיה מקצבאות זקנה. זה לא המצב כרגע, אז "התרגיל הזה שכבר נעשה לא מזמן", לטענת הסטטיסטיקן, כנראה שלא היה ולא נברא.

אבל הסטטיסטיקן אינו רוצה שנבין אותו לא נכון: "אני בעד שיעזרו למבוגרים. אני לא מתנגד, בשום אופן, לסיוע לעניים, אני מותח ביקורת על דרכי המדידה ועל דרכי הסיוע שנובעות ישירות מהן. אני מתנגד בכלל למדידה של עוני ותומך במדידה של אי שוויון".

ובכן, פרופ' יצחקי, סטטיסטיקאי השומר על האינטגריטי המקצועי שלו לעולם לא יאמר  כי הוא מתנגד למדידה של תופעה מסויימת. אחד מתפקידי הסטטיסטיקה הוא לספק מדידות מדוייקות, או במלים מדוייקות יותר – לספק אמדנים מדוייקים לאנשי מקצוע. אם לא נמדוד את שיעור העוני – האם העוני ייעלם? כל בת יענה תאמר שכן, אבל אנחנו לא יענים. פרופ' יצחקי הוא כלכלן ופוליטיקאי, ולכן כנראה קרוב יותר בהשקפותיו אל ציבור בנות היענה.

פורסם לראשונה בשתי רשימות נפרדות אתר "רשימות" בתאריכים 4 באוקטובר 2005 ו-28 בספטמבר 2005  שם התקבלו 2 תגובות

אבי  בתאריך 9/28/2005 4:23:08 PM

ללא נושא

לא כל כך הבנתי מה הוא מציע? במחקר שנערך לאחרונה אודות עוני אבסולוטי (עוני סל) נמצא שבישראל יש יותר עניים מאשר בבדיקה של עוני יחסי (50% מהשכר החציוני). כך שבישראל יש הרבה עניים לא משנה איך בודקים את זה
בדיקה של עוני יחסי מקובלת בכל העולם וגם האו"ם מקבל שיטה זו וטוען שהיא טובה יותר, שיטה זו מאפשרת לבדוק כמה אנשים נחשבים לעניים בחברה מסויימת, תוך הבנה שעני בשבדיה הוא לא עני ברואנדה, יש לו צרכים אחרים ומצבו שונה, אולם בחברה שבה הוא נמצא הוא נחשב לעני
אם נבדוק את ההבדלים בעוני במדינות המתועשות נמצא שאין הבדל גדול- בארה"ב ובבריטניה הן העוני היחסי והן העוני האבסולוטי גבוה לעומתן בשבדיה ובנורבגיה הן העוני היחסי והן העוני האבסולוטי נמוך
כמו כן לא הבנתי את טענתו על ישראל, בישראל רמת עוני גבוהה ופערים גבוהים, אך ישאל לא ענייה במיוחד, אם כי גם לא עשירה ברמה אירופאית

זוריק  בתאריך 10/10/2005 10:37:22 PM

תודה

פשוט ככה

לפני כשעה דווח ב-Ynet כי עד עתה נשלחו 750,000 טפסים להגרלה בהשקעה ממוצעת של 73 שקל למשתתף. נתונים אלה מאפשרים להעריך את הסיכוי כי אף אחד לא ינחש את כל המספרים הזוכים ויזכה בפרס הראשון, ויותר מכך – את התפלגות מספר הזוכים בפרס הראשון.

ובכן: כל טבלה עולה 5.5 ש"ח. כיוון שכך – בטופס ממוצע יש 13.27 טבלאות (73/5.5). כיוון שסיכוי הזכיה של טבלה אחת הוא בערך 1 ל-2 מליון, הרי סיכוי הזכיה של טופס ממוצע הוא כ-1 ל- 153000 או 0.0000065. אבל יש 750,000 טפסים, ולכן, תוחלת מספר הטפסים שיזכו בפרס הראשון הוא 750,000 כפול 0.0000065 כלומר 4.9. כיוון שבשעות הקרובות יישלחו עוד כמה טפסים (ניתן לשלוח טפסים עד 23:45) אני מעריך שהתוחלת תגדל ל-5.5 (כלומר יישלחו עוד כ-100,000 טפסים ב-6 השעות הקרובות).

אבל, אפשר להניח הנחה חזקה יותר – כיוון שיש מידה מסויימת של אי תלות בין הטפסים הנשלחים – או יותר נכון – תלות חלשה – אפשר להניח כי בקירוב התפלגות מספר הזוכים תהיה התפלגות פואסונית עם פרמטר 5.5=ג. בעזרת הנהחה זו ניתן לחשב כי ההסתברות כי איש לא יזכה בפרס הראשון היא 0.0041, ההסתברות כי יהיה זוכה יחיד היא 0.0225, ההסתברות לשני זוכים היא 0.0618, לשלושה – 0.1133, לארבעה – 0.1558, לחמישה 0.1714, לשישה – 0.1571, לשבעה ההסתברות היא 0.1234, ההסתברות כי יהיו 8 זוכים בפרס הראשון היא 0.0849, וההסתברות כי יהיו תשעה זוכים או יותר היא 0.1056 (וייתכן כי בגלל טעויות עיגול או הקשה כל ההסתברויות האלה לא מסתכמות בדיוק ל-1.0000 – מי שמעוניין לבדוק אותי מוזמן להוריד את מחשבון ההסתברויות של NCSS – כלי מצויין בעזרתו חישבתי את ההסתברויות האלה).

לסיכום – ההימור שלי הוא כי מחר בבוקר נתבשר כי חמישה משתתפים מתחלקים בפרס הגדול – וזוכים ב-10 מיליון ש"ח כ"א (לפני מס).

ועכשיו סיפור: בשנת 1993 (או אולי 1994? אני לא ממש זוכר) לימדתי את הקורס "מבוא להסתברות ולסטטיסטיקה" באוניברסיטה העברית. רצה הגורל, ובדיוק כאשר לימדתי את הנושא של הקירוב הפואסוני להתפלגות הבינומית, הצטברו 16 מליוני שקלים בפרס הראשון של הגרלת הלוטו, הפרס הגבוה ביותר שהוצע אי פעם בהגרלה זו. מכיוון שפורסמו נתונים על מספר הטפסים שנשלחו, יכולתי להשתמש בהם כדוגמא לשימוש בקירוב בשיעור של יום שני. החישוב הוביל למסקנה כי בהתפלגות מספר הזוכים הצפוי, הסתברות הגבוהה ביותר הייתה למאורע כי ארבעה זוכים יזכו בפרס הראשון. ההגרלה הייתה ביום שלישי, ובשיעור של יום רביעי כולנו כבר ידענו כי 16 מיליוני השקלים אכן התחלקו בין 4 זוכים.

ואז, במשך מספר שבועות שוב לא זכה איש בפרס הראשון בלוטו, ולפתע נשבר שיא הפרס – והפרס הראשון עמד על 20 מיליון שקלים. הסטודנטים ביקשו ממני שאנבא שוב את מספר הזוכים – אני אני סירבתי בתקיפות: "כבר לימדתי אתכם את הנושא הזה. יש לכם נתונים בעיתון – תחשבו לבד!". החישוב שערכתי לעצמי הראה שוב כי יש סיכוי גבוה לחלוקת הפרס בין 4 או 5 זוכים, אולם למחרת ההגרלה כי בפרס הגדול – 20 מיליון שקלים – זכה אדם יחיד – קיבוצניק מרמת הגולן.

מוסר השכל – הסטטיסטיקה אינה מאפשרת ניבוי אלא רק ניחוש אינטליגנטי.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 26 בספטמבר 2005שם התקבלו 7 תגובות

גילי  [אתר]  בתאריך 9/26/2005 7:21:16 PM

ועוד חיזוק למוסר ההשכל

סתלמידי פסיכולוגיה באוניברסיטה העברית מחוייבים בשנה א' ללמוד קורס בסטטיסטיקה לפסיכולוגים. רצה הגורל שבשנה שבה הייתי אני תלמידת שנה א' בחוג, את קורס החובה בסטטיסטיקה לימדה פרופסור אחת שהיא במקרה גם אמא שלי, מה שמוסיף קצת פיקנטיות לסיפור הבא.
פרופ' בר-הלל העלתה בפני הכיתה טענה, שגם אם למאורע יש שני outcomes אפשריים, אין הדבר מחייב שההסתברות לכל אחד מהם תהיה 50%. היא נתנה לדוגמא הטלה של מטבע לעומת הטלה של נעץ. ההסתברות שהמטבע תנחת על עץ שווה להסתברות שהמטבע תנחת על פלי (בהנחה שזו מטבע כשרה, תנאים אידיאלים וכו'), אבל ההסתברות שהנעץ ינחת על הכיפה קטנה מההסתברות שהנעץ ינחת על הצד. כך טענה אמא שלי, ועמדה להטיל נעץ לשם הניסוי האמפירי. אבל כמובן, מישהו היה חייב להצביע ולהתווכח עם הנחות היסוד: והרי נעץ יכול לנחות ביותר משני אופנים, הוא יכול לנחות גם על החוד, לדוגמא.
"כן," אמרה אמא שלי, "גם המטבע יכולה לנחות על ההיקף שלה ולהיעמד. אבל הסבירות לכך מזערית, ולצורך העניין אפשר להתעלם מהאופציה הזאת. כך גם לגבי הנעץ: ההסתברות שהנעץ ינחת בדיוק על החוד ולא יפול לצד, כל כך קטנה, שאפשר פשוט להתעלם ממנה."
אמרה, והטילה את הנעץ.
הנעץ נתקע בתקרה.

גילעד  בתאריך 9/26/2005 8:48:23 PM

לעניין מוסר ההשכל

אחד משתיים, כלומר 50%, כלומר 'או שכן או שלא' זה 'ניחוש אינטליגנטי'?

lior  [אתר]  בתאריך 9/26/2005 9:15:39 PM

תוצאה מעניינת

התוצאה שלך מתאימה מאוד מבחינה כלכלית: אילו תוחלת מספר הזוכים היתה נמוכה מ 4, היה ניתן לעשות ארביטראז' על ידי שליחת כל הטפסים האפשריים. זה כרוך בהשקעה של 11 מיליון שקל, אבל ההשקעה הזאת גורפת רווח בטוח.
אם חמישה זוכים מתחלקים בפרס כל אחד מהם מקבל 10 מיליון שקל. זה קצת פחות מהסכום הדרוש לכיסוי כל האפשרויות. יכול להיות שיחד עם הפרסים המשניים שני הסכומים משתווים. לכאורה אין קשר בין הסכומים האלה (גובה הפרס לכל זוכה תלוי במספר הטפסים הנשלחים שהוא משתנה די רנדומי), אבל מה שיפה כאן זה שהם בכל זאת מתאזנים.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 9/26/2005 10:30:26 PM

תשובה לגילי

הסיפור שלך מבהיר למה חשוב לעשות הבחנה בין מודל למציאות.
אני נהגתי למנות בין התוצאות האפשריות של הטלת מטבע, בנוסף לשתי האפשרויות הקלאסיות ולאפשרות שהמטבע תיפול על צידה, גם עוד כמה אפשרויות אקזוטיות, כגון האפשרות שהמטבע תתגלגל ותיעלם בסדק ברצפה, או שעורב יכנס דרך החלון, יחטוף את המטבע במקורו ויתעופף משם.
במציאות אי אפשר תמיד להתעלם מאפשרויות זניחות, שהרי, כפי שאמר לי פעם פרופ' ריטוב, מאורעות שהסתברותם שואפת לאפס קורים כל הזמן. במודל ההסתברותי אנו אכן מזניחים את כל האפשרויות הפחות סבירות לשם נוחות הדיון, אך למרות שבתיאוריה אין הבדל בין התיאוריה והמציאות, במציאות יש.

חנן כהן  [אתר]  בתאריך 9/27/2005 7:09:35 AM

6 יתחלקו ב-50 מיליון שקלים

.

עזי  בתאריך 9/30/2005 7:02:14 PM

החשבון הנכון

כתבה של משה פרל במעריב/אנרג'י היום צופה בפיס בזווית שונה ומעניינת:
http://www.nrg.co.il/online/1/ART/991/089.html
הפרט השולי שפרל לא לקח בחשבון, ויש לו משקל מועט אך קיים — יש כאלו שרואים בקניית פיס גם מעין תרומה לקהילה, לא?

אסף רזון  [אתר]  בתאריך 6/21/2007 3:50:25 PM

והנה עוד אנקדוטה

קראתי את זה כמדומני בכתבה על "איפה היית במלחמת יום כיפור".
העונה, כמדומני שזה פרופ' יצחק בן ישראל, סיפר שהוא היה עתודאי צעיר במחלקת חקר ביצועים בחיל האוויר. המשימה שלו היתה לחשב את מספר האבדות (מטוסים) הצפוי ממתקפה על סוללות נ"מ בסוריה.
הוא עשה כמקובל – בנה מודל, הגדיר הסתברויות, חישב תוחלת. מספר המטוסים שיצא היה 6.5 .
ואז הגיעה המלחמה. והמבצע יצא לפועל. ומה קרה?
6 מטוסים נפלו. אחד נפגע אבל הצליח לחזור אל הבסיס.
ומאז התחילה האגדה על הסגן שחזה בדיוק מוחלט מה יקרה במלחמה…

לפני יומיים פורסמה בפורום מתמטיקה בתפוז ההודעה הבאה:

נתונים מספר נקודות (x,y) .אני צריך למצוא קו מקורב לכל הנקודות. (אין לי הגדרת מתמטית לזה). אני צריך רק את הנוסחא לזה, אין צורך בהסברים

כיוון שכך, הוא אכן קיבל את הנוסחא בלבד, ללא הסברים, ממנהל הפורום שהיה באותו בוקר במצב רוח ציני משהו:

אתה מעוניין לחשב את קו הריבועים הפחותים, שנקרא גם קו הרגרסיה.
אמנם אתה לא מעוניין בהסברים אבל אני ממליץ לך להתעניין – הנה סיפור שיבהיר מדוע זה כדאי.
הנוסחא, בכל אופן היא:

b=inv(X'X)*X'*Y

בהצלחה.

וכצפוי, כעבור שעה קלה באה הודעת תגובה משואל השאלה שכותרתה "סליחה, אבל לא הבנתי את התשובה" עם בקשות להסברים ("מה זה INV?" וכולי), בהם לא היה מעוניין בתחילה.

כל אחד מאיתנו משתמש בחיי היום יום במכשירים רבים. לרובנו אין מושג כיצד המכשירים האלה פועלים. איך פועלת הטלוויזיה? מה גורם למקרר לקרר? ומהם העקרונות הפיזיקליים והמכניים המניעים את המכונית שלנו? ובכל זאת, רובנו המכריע יודע להשתמש במכשירים האלה בצורה נכונה. אנו יודעים שצפיה מרובה בטלוויזיה מזיקה, שאין להכניס סיר חם למקרר, ושיש לבדוק בקביעות את מצב השמן והמים במנוע המכונית, למלא את מיכל הדלק ולנהוג לפי חוקי התנועה.

אבל כשהדברים מגיעים לשימוש בכלי סטטיסטי מתוחכם, הגישה משתנית פתאום.

נכון, כדי להשתמש בשיטת הריבועים הפחותים לא צריך ידע מעמיק בתיאוריה של מרחבים וקטוריים והבנה של משפט גאוס-מרקוב. אבל צריך בכל זאת לדעת איך להשתמש בכלי הזה. כי לא מספיק רק לחשב את המקדמים של קו הרגרסיה על פי הנוסחה הנ"ל. צריך לבדוק תחילה האם השימוש ברגרסיה לינארית מתאים לנתונים שבידי השואל (ובהמשך השרשור מתברר שלא), ואם מתברר שכן, צריך גם לבדוק האם התוצאה שהתקבלה מתקבלת על הדעת. ובשביל זה צריך לדעת יותר מאשר להציב מספרים בנוסחה ולחשב.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 באוגוסט 2005

איתי רום, במאמר שפורסם ביום שישי בגלובס, מראה כיצד עמותת אור ירוק מנצלת באופן ציני תוצאות של סקר וחתימות שאספה לצורך קידום מטרותיה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 24 ביולי 2005 שם התקבלו 5 תגובות

עזי  בתאריך 7/24/2005 8:48:25 AM

סקר מוטה ומטעה

אכן, סקר מוטה ומטעה — אך אין זה שונה בהרבה מסקרים רתומים רבים המקובלים בארצנו, ולא רק בה. חבל שעמותה בעלת מטרות כה חשובות, שהשקיע בה ממיטב כספו אדם יקר (אבי נאור), נוקטת בצעדים נלוזים שכאלו.
כאחד שסרב להפצרות נציג "אור ירוק" בדוכן החתמה על אותה עצומה מטופשת (ו"התחייבות אישית לנהיגה זהירה" מטופשת לא פחות), אני מרגיש רק שלם יותר עם עצמי על סירובי לחתום.

חתול תעלול  [אתר]  בתאריך 7/24/2005 2:26:30 PM

סירבתי בזמנו לחתום על העצומה

אני חושב שעמותת "אור ירוק" עשתה המון להנצחת שיטת האכיפה המטופשת של המשטרה בדרכים, שמתמקדת בעבירות שבינן לבין תאונות אין הרבה קשר – אבל יש המון קשר לשאיבת כסף מציבור הנהגים לקופת המדינה.
משטרת ישראל, ובכללה מתנדבי "אור ירוק", מעמידים ניידות באמצע הכביש, יוצרים פרובוקציות לעבירות ומצבים המסכנים את התנועה (ע"ע ניידת שחוסמת נתיב בשביל למדוד מהירות ולצלם עבריינים) – ואני חשבתי שאסור לתת יד לדבר הזה. לצערי, אזרחים רבים וטובים חשבו אחרת, או שפשוט הלכו אחר הסיסמאות הריקות מבלי לשים לב לביצוע…

שי פישר  [אתר]  בתאריך 7/24/2005 3:56:40 PM

אולי העם רוצה לשלם מיסים

האם נעשה פעם סקר דומה?
אולי רוב העם יגלה אחריות ויתמוך במיסים?

ז'אק  בתאריך 7/24/2005 4:04:37 PM

מסים

אני, באופן אישי, מאוד אוהב לשלם מסים. גם חברים שלי מאוד אוהבים לשלם מסים. בימי שישי בערב אנחנו הולכים ללשכות מס הכנסה ומשלמים מסים.

בוב  בתאריך 7/26/2005 11:11:45 AM

חוק בנפורד

אתה יכול אולי להסביר למה חוק בנפורד עובד? זה נשמע לא הגיוני.
מצאתי את זה בראיון מאוד מעניין בקישור:

תודה

בית קזינו מוכן להכפיל את כספו של כל מי שינחש נכונה את הצבע שיעלה בסיבוב הבא של גלגל הרולטה – שחור או אדום. חברות ביטוח משפות את לקוחותיהן על הנזקים שנגרמו להם. סטטיסטיקאי מודיע על תוצאת הבחירות מייד  לאחר סגירת הקלפיות, ורשויות הבריאות מאשרות תרופות חדשות לשימוש (ולפעמים גם מורות על הפסקת השימוש בתרופות מסוימות). קבוצת ספורט מחליטה לחתום על חוזה שמן עם שחקן כוכב. כל אלה הם שימושים של חוק המספרים הגדולים.

מבין המשפטים הגדולים של הסטטיסטיקה – חוק המספרים הגדולים הוא ככל הנראה הבסיסי ביותר. ניסוח מעט רשלני של החוק אומר כי אם אתה צופה בסדרה אינסופית של תצפיות מקריות שאינן תלויות זו בזו, אשר כולן מתארות את אותה התופעה, אזי ממוצע הסדרה ילך ויתקרב לערך קבוע. ערך זה הוא התוחלת של התופעה המקרית הנצפית.

למתמטיקאים יש ניסוחים מדויקים לטענה הזו, וכמובן שגם הוכחה. המתמטיקאי השוויצי יעקב ברנולי הוכיח את הגרסה הראשונה של החוק בסוף המאה ה-17, וגרסאות מורחבות וחזקות יותר שלו הוכחו מאוחר יותר.

יעקב ברנולי הונצח על בול שוויצי. ברקע הניסוח המתמטי של חוק המספרים הגדולים, אותו הוכיח ברנולי לפני יותר מ-300 שנה, ותיאור גרפי של החוק.

מדוע החוק הזה חשוב כל כך? אנסה להסביר זאת באמצעות דוגמא פשוטה יחסית – גלגל הרולטה.

 גלגל הרולטה בקזינו של מונטה קרלו מחולק ל-37 גזרות שוות, ועל כל גזרה רשום אחד מבין המספרים 0, 1,2,… ועד 36. 18 מבין המספרים מסומנים בצבע אדום, 18 בשחור, ואילו המספר אפס מסומן בצבע ירוק. ההימור הפשוט ביותר מאפשר לך לבחור את אחד הצבעים, אדום או שחור. אם הימרת על סכום של יורו אחד כי בסיבוב הבא של הרולטה יעלה מספר המסומן באדום, ואכן כך קרה, היורו שלך יוחזר לך יחד עם יורו נוסף בו זכית. אם לא עלה בגורל מספר "אדום"… אתה יכול לנסות שוב את מזלך.

אם הסיכויים של כל המספרים לעלות בגורל שווים, הרי שהסיכוי כי יעלה בגורל מספר מסויים (7, למשל) הוא 1/37. הסיכוי כי יעלה מספר אדום בגורל הוא לכן 18/37, והסיכוי כי יעלה מספר שאינו אדום בגורל הוא 19/37. גם בהימור על שחור הסיכויים לזכות הם 18/37 ולהפסיד – 19/37. כלומר, בכל הימור על אדום/שחור הסיכוי לזכיה הוא 18/37 והסיכוי להפסד הוא 19/37.

אבל כל זה רק תיאוריה – תיאוריה המבוססת על מודל הסתברותי. האם התיאוריה עומדת במבחן המציאות? דרך אפשרית לבחון את התיאוריה היא לנסות אותה במציאות. הבה נבצע המון (אבל ממש המון) סיבובים של גלגל הרולטה, ונבדוק מהי פרופורציית הפעמים בהן עלה בגורל מספר "אדום" מתוך כלל הסיבובים. נשמע הגיוני.

אבל ההגיון של מתמטיקאים מוזר למדי. כדי שהניסוי המוצע יניח את דעתם, עליו להסתמך על משפט מתמטי כלשהו. חוק המספרים הגדולים מקשר בין המודל ההסתברותי – ובין הניסוי הסטטיסטי, ולכן מהווה את הבסיס המתמטי לניסוי הזה. אם המודל המתמטי אכן מתאר נכונה את התנהגות גלגל הרולטה, אז חוק המספרים הגדולים אומר כי פרופורציית הפעמים בהן יעלה בגורל מספר "אדום" תהיה בקירוב 18/37.

ומה יוצא לקזינו מכל זה? כסף, הרבה כסף. ב-18/37 (או 48.6%) מההימורים יפסיד הקזינו יורו, וב-51.4% מההימורים ירוויח הקזינו יורו. הרווח הממוצע להימור כזה הוא לכן 0.027 יורו להימור. אבל אם סך כל ההימורים האלה בערב אחד הוא 100,000 יורו (סתם זרקתי מספר) הרווח מהימור פשוט כזה הוא כ-2700 יורו. לא רע. כמובן שיש הימורים בהם הסיכויים של המהמר להרוויח נמוכים יותר (וסיכויי הקזינו לזכות גבוהים יותר), ואז גם הרווח של הקזינו גדל בהתאם. תראו את הרווחים של חברות הביטוח.

כשמשתמשים בחוק המספרים הגדולים – חשוב מאוד להיות מודעים למגבלות שלו. הבה ונראה מה עלול לקרות אם לא עושים זאת.

קודם כל, רצוי מאוד כי התנאים של המשפט יתקיימו. אם שחקן כדורסל קולע בממוצע 30 נקודות למשחק במשך 5 עונות בהן שיחק כ-450 משחקים, זה באמת הישג ראוי לציון. אבל לפני שתחתימו את הכוכב על חוזה שמן, עצרו וחשבו: האם באמת אנו צופים בסדרה של תצפיות בלתי תלויות? (הדעות חלוקות). האם הסדרה תימשך עד אינסוף? סביר להניח שלא.

גם אם התנאים של המשפט מתקיימים, איזה מודל הסתברותי משקפות התצפיות? אם המודל שלכם הוא לא המודל הנכון, אתם עלולים למצוא את עצמכם מכריזים על ניצחון בבחירות של מועמד שדווקא הפסיד, כמו שלמשל קרה לעיתון ה-Literary Digest ב-1936.

גם אם תנאי המשפט מתקיימים, והמודל הוא המודל נכון, יש עוד בעיה קטנה. המשפט מדבר על התנהגות סדרת התצפיות באינסוף. באופן מעשי, אפשר להסתפק במספר סופי של תצפיות, אם המספר הזה מספיק גדול. זהו "גודל המדגם" המפורסם. מהו מדגם גדול מספיק? תנו לי מספר, ואתן לכם דוגמא בה המספר הזה אינו מהווה גודל מדגם מספיק גדול. חוק המספרים הגדולים אינו אומר דבר על "קצב ההתכנסות" של סדרת הממוצעים. לכן כדי לקבוע את גודל המדגם יש להשתמש בכלים אחרים, ועל כך אכתוב ברשימה אחרת.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 ביולי 2005 23:07 שם התקבלו 8 תגובות

גילי נחום  בתאריך 7/20/2005 12:39:52 AM

מעניין מאוד

עוד לפני כמה שנים חשבתי להרוויח 200 דולר ללילה בעזרת הטכניקה הבאה:
(נניח שההימור הוא הוגן p=0.5)
להמר 200 דולר, אם הרווחתי אז לסגור את הבסטה וללכת לבית שמח ומאושר, במידה והפדסתי אז אהמר שוב בסכום הנדרש לזכות ב- 400 דולר (בכדי לכסות על ה- 200 הפסד ולהרוויח 200) אם הפסדתי שוב אז להמר על סכום שיכסה את ה- 600 הפסד ויביא לי רווח נטו 200 וכן הלאה…
בהנחה שאני לא יכול להפסיד לנצח אני ארוויח מתישהוא את ה- 200 דולר הללו ואפרוש מהקזינו עם 200 דולר רווח באותו הלילה (לא רע).
השאלה היא מה הסיכוי שיגמר לי הכסף לפני שאצליח להרוויח את ה200 דולר (נאמר שיש לי מגבלה של 20000 דולר).

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:24:15 AM

גילי

בו נבדוק.
ב 20,000 הדולר שלך אתה יכול להשתמש (20,000/100) פעם להימור של 200 דולר. בגלל שאתה מתכוון להכפיל את הסכום ב 2 בכל שלב, אתה יכול להמר רק
log2(20000/200) פעמים. אם נעלה קצת את הסכום הכולל שאתה מוכן להשקיע זה יוצא 7.
הסיכוי שתזכה בפעם הראשונה הוא 0.5^1. הסיכוי שתזכה בפעם השניה הוא 0.5^2, וכן הלאה. מתקבל כאן טור הנדסי מ 1 עד 7 שאת סכומו ניתן לחשב על ידי:
0.5*)0.5^7-1(/)0.5-1(
כלומר, הסיכוי שתזכה ב 200 דולר הוא 0.99218.
אם השקעת ב 7 סיבובים סכום של 25,600 דולר, תוחלת ההפסד שלך שווה ל:
)1-0.99218(*25,600(=~200
תוחלת הרווח גם היא 200 דולר. לכן, כצפוי, לא הרווחת ולא הפסדת.

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:25:49 AM

טעות קטנה

ב 20,000 דולר אפשר להמר 20,000/200 שזה 100 פעמים.

yoav  בתאריך 7/20/2005 1:28:40 PM

שיטה מוצלחת, אבל:

מהסיבה הזו, בתי הימורים מגבילים את הסכום המקסימלי שמותר להמר, וכך חוסמים את יעילות השיטה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 10:32:27 PM

בעניין שיטת ההכפלה

אני ממליץ לכל מי ששוקל להשתמש בשיטה זו בביקורו הקרוב בקזינו, לקרוא את מה שנכתב במדור השאלות הנפוצות של פורום המתמטיקה של תפוז על הנושא הזה:
http://www.tapuz.co.il/tapuzfo….mFAQAnswer.asp?id=457&QID=2033

גילי נחום  בתאריך 7/26/2005 5:03:12 AM

אנסה לסכם:

לינק מעולה, תודה יוסי.
1. הסכומים שצריך לשריין על מנת להיות בטוחים באחוזים גבוהים שלא יגמר לנו הכסף הם אדירים.
2. גם אז תמיד ישנו הסיכוי (גם אמנם קטן) שנפסיד את הסכומים ששריינו (שלהזכירכם הם סכומים אדירים) מכיוון שנגמר לנו הכסף. האם אנו מוכנים לסיכון זה?
3. בפועל לא עומד לרשותנו סכום כל כך גדול לשריין לצורך הפרוייקט ולכן הוא לא בר ביצוע, ובמידה וכן עומד לרשותנו הסכום הנ"ל אז אנו עשירים דה פקטו ולמה להתעסק בשטויות במקום לקחת חופשה בקנקון?!
הדגמה קטנה!
נצהיר שמטרתנו היא לסיים את הערב עם 200 רווח.
סדר ההימורים וסכומם:
1. 200
2. 400 (מכסה הפסדים 200 ורווח 200)
3. 800
4. 1,600
5. 3,200 (מכסה הפסדים 3000 ורווח 200)
6. 6,400
7. 12,800
8. 25,600
…
נניח ומגבלת התקציב שלנו היא 12600, לכן נאלץ לעצור לאחר ההימור ה- 6 (כי 6400+3200+1600+800+400+200= 12,600)
ההסתברות שנגיע למצב זה היא 0.5 בחזקת 6 (בערך אחוז וחצי) ולכן בממוצע נפסיד כל ערב
196.875.
ההסתברות שנרוויח 200 בסוף הערך היא 1 מינוס ההסתברות של פשיטת רגל ובממוצע נרוויח כל ערב
בדיוק 196.875.
ולכן בסך הכל לאורך זמן לא הפסדנו ולא הרווחנו (כי ההימור הוא הוגן)
אם ההימור לא יהיה הוגן אז באותה צורה בדיוק לאורך זמן נצפה להפסדים.
כלומר תוחלת הרווח תשאר שלילית.

יניב  בתאריך 1/28/2008 1:45:19 AM

מה עם האפס

נראה לי ששכחתם פרט קטן, בנוסף לשחור ואדום יכול לצאת "0" שבו הבית זוכה, כלומר לא אדום ולא שחור….

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 1/28/2008 12:59:10 PM

ליניב

זה לא משנה את העקרון…

להלן שאלה שהופיעה בפורום מתמטיקה של תפוז:

בסטטיקסטיה והסתברות – מה ההבדל בין ממוצע לבין תוחלת, בין איקס גג ל"מיו"?
ומה ההבדל בין פרמטר לסטטיסטי?
ואם אפשר, בשפה של עמך, שאבין

והתשובה של הגולש 1קישקשתה (לא נגעתי):

ממוצע  זה יעני אתה לוקח 10 אנשים ומעמיד אותם בסתלבט בשורה. אתה עובר אחד אחד ונותן צ'אפחה בראש לכל איש. אתה סופר כמה אנשים החזירו לך בעיטה למה הם התעצבנו מהצ'אפחה שלך שחבל על הזמן. אתה סופר כמה בעיטות קיבלת מכל האנשים ומחלק ב-10. קיבלת את ממוצע הבעיטות שתקבל אם תיתן צ'אפחה ל-10 אנשים.
תוחלת זה יענו שאתה כבר יודע את ההסתברות לכל דבר. אתה מבין גבר?
יש לך משתנה (נקרא לו:" כמות הפיתות שאתה אוכל בשווארמה של ציון ביום א'") שיכול לקבל ערכים שונים. רק מה , ציון הזה לא פרייאר. ציון הזה יודע שאתה בא להסתלבט עליו. הוא יודע שאתה קמצן אש וההסתברות שתזמין אצלו רק פיתה אחת היא 50%. הוא גם יודע שהסיכוי שתזמין אצלו 2 פיתות הוא 30% ,והסיכוי שתזמין 3 פיתות הוא 20%. אתה מבין עופר? ציון הזה יודע שאלה כל המקרים האפשריים ,למה אף פעם לא קרה שלא הזמנת אצלו פיתה או שהזמנת יותר מ-3 פיתות. תוחלת הפיתות שתאכל אצל ציון ביום א' היא:

1*0.5 + 2*0.3 + 3*0.2 =  1.7

יעני תוחלת הפיתות שאתה אוכל אצלו היא 1.7 פיתות. זה הממוצע הצפוי לפי ההסתברויות שחישב בעל הבית.
"X גג" – תחשוב שאתה נמצא בחוף הים עם 100 בלונדיניות. אם יושבות לך על הברכיים X=3 בלונדיניות , אז "X גג" יהיה שווה ל-97. יעני כמה בלונדיניות לא יושבות לך על הברכיים. עיוני , אתה מבין מה אני מנסה לומר לך פה? הגג מעל ה -X זה יעני ה"משלים". זה כאילו כל שאר הדברים חוץ מ-X . אבל דחילאק , אל תחשוב שלא קלטתי אותך מהרגע הראשון. אתה יש לך ראש כחול. מה אני לא מכיר אותך? אתה ישר חשבת איך יכול להיות ששאר הבלונדיניות זה רק 97? יש הרי מיליוני בלונדיניות בעולם! פה בא מושג חדש שנקרא 'מרחב מדגם'. זה אומר שהוא קובע לכמה בלונדיניות אתה מתייחס. מרחב המדגם הוא זה שמכיל את כל הבלונדיניות בשבילך. אם קבעת שמרחב המדגם שלך הוא כל הבלונדיניות בחוף גורדון אז המשלים ל-3 בלונדיניות שיושבות לך על הברכיים הוא 97.
"מיו" – כך עושה חתולה אחרי שאכלה בשווארמה של ציון.
"מה ההבדל בין פרמטר לסטטיסטי?" –
אני אענה לך על השאלה הזו עיוני ,רק אם תענה לי על השאלה הבאה:
מה ההבדל בין חומוס אחלה לאלברט איינשטיין?
ותבוא לבקר לפעמים יא עופר!

פורסם לראשונה באתר רשימותב 26 ביוני 2005 שם התקבלו 19 תגובות

אשתו  [אתר]  בתאריך 6/26/2005 5:19:19 PM

הו, מצויין!

כמה צחקתי כאן.
מזל שיש אנשים כמוך למצוא לנו הודעות כאלה בפורומים שמהם אני לרוב מתרחקת… (-:

עזי  בתאריך 6/26/2005 7:04:58 PM

תודה יוסי!

יופי שהבאת את זה 🙂

אורי  בתאריך 6/29/2005 9:11:06 AM

ואאלה יפה

אולי תכתוב ספר…

ג'ול  בתאריך 6/30/2005 9:57:40 AM

לא כל-כך הבנתי את ההסבר….

אם נותנים צ'אפחה ל 10 אנשים לא גומרים בבית חולים?

אורן  בתאריך 6/30/2005 10:04:06 AM

ללא נושא

ממש הסברים מגניבים אחי

אנטולי  בתאריך 6/30/2005 10:10:08 AM

חכם ומצחיק

זה באמת נדיר שמכתב השרשרת היה שווה את כל דקת הקריאה. תודה ליוסי ולגולש שיש לו חוש הומור ושכל. אנ ימקווה שיהיה מרצה במוסד אקדמי 🙂

אלכס  בתאריך 6/30/2005 11:31:53 AM

גדול

אילו כל הספרים היו מלמדים בשיטות האלה 😉
כל עם ישראל היו פרופסורים (עם ראש כחול)

מצ'לס  בתאריך 6/30/2005 3:38:55 PM

סטטיסטי ופרמטר

כאשר צ'יפחת 10 אנשים, ושלושה בעטו בך, קיבלת את הסטטיסטי, האומר ש-30% מהמדגם בועטים במצ'פח. ולא כפי שגרס קישקשתא שזהו ממוצע הבעיטות שתקבל אם תבעט ב-10 אנשים.
כמה בעיטות אתה צפוי לקבל מ-10 מצופחים הוא פרמטר, אותו ניתן להסיק רק אם תצ'פח את כל האוכלוסיה, ותראה כמה בועטים בך.
אם תבעט בכל 100 השחורדיניות שבחוף (מאיפה מצאת 100 בלונדיניות בתל אביב?) ו-33 ינשכו לך את האף, ,אזי פרמטר הנושכות הוא 33%,. אם תבעט רק ב-3 היושבות (שזה המדגם) ושתיים ינשכו, אז סטטיסטי הבלונדיניות נושכות הוא 67%.

  בתאריך 7/3/2005 9:58:22 PM

ללא נושא

גם מצחיק וגם נכון !!!!!!!!!!!!

יחזקאל  בתאריך 7/4/2005 1:10:57 PM

חזק

ציון לא פראייר D:
חזק!!!

דנה  [אתר]  בתאריך 7/4/2005 3:24:44 PM

אכן קישקשתא מלך

אולי הוא רוצה להסביר לי את מבחן חי בריבוע? לפני כמה ימים אחותי ביקשה ממני להסביר לה אותו אבל, אויה, כבר שכחתי הכל.

שלי  בתאריך 7/4/2005 9:32:00 PM

ציון והשווארמה D:

אם הוא יהיה מרצה במוסד אקדמי אני בהחלט מוכנה להכנס לכמה הרצאות שלו

ניר  בתאריך 7/5/2005 9:29:13 AM

יפה אבל לא מדוייק…

ממוצע = X גג (האיקס גג שקישקשתא מדבר עליו לקוח מעולם של תורת הקבוצות ולא מהסתברות)
תוחלת = מיו (האות היוונית בה נהוג לסמן תוחלת)
פרמטר – זהו המשתנה שאינו ידוע ואותו אתה רוצה לאמוד, למשל, ההסתברות שאדם נחנק מצחוק כאשר הוא קורא את הנ"ל מתפלג נורמלית עם תוחלת מיו ושונות סיגמא בריבוע. סיגמא ידועה.
נסמן את הפרמטר שלנו: טיתא = מיו. והבעיה היא לאמוד את הפרמטר.
סטטיסטי – זוהי פונקציה (שאינה תלויה בפרמטר) שהקלט שלה הוא המדגם שנילקח.
למשל: אם נילקח מדגם (X_1,X_2,X_3) אז X גג (ממוצע שלהם) הוא דוגמא לסטטיסטי.
דוגמא נוספת: U=x_1+X_2 הוא גם סטטיסטי.

אחת שקראה את זה  בתאריך 7/6/2005 6:28:39 PM

וואו

יוסי בתור מישהי שאוהבת מתמטיקה אבל ממש שונאת סטטיסטיקה עזרת לי מאוד להבין חלק מהדבר המטומטם שנקרא סטטיסטיקה

ט  בתאריך 7/9/2005 1:15:29 AM

נחזור רגע למושגים הבסיסיים…

שונות…
מי חושב שהוא יודע???
אם אפשר הסבר שמתבסס על שווארמה, בלונדיניות, או כדורסל…

אחד ששונא  בתאריך 7/11/2005 12:34:18 PM

ללמוד לאהוב

בתור אחד שלא ראה ממטר כל תקופת התיכון את כל נושא הסטטסיטיקה והסתברות, מסתבר(לא בהסתברות) שזהו נושא אם לא הכי חשוב אז אחד מהחשובים ביותר במדעי ההנדסה השימושיים ובכלל במתמטיקה השימושית.
לשימושכם

מחשבון מהלך  בתאריך 7/20/2005 1:23:17 PM

יפה יפה…

זה די מגניב אבל לא ממש הבנתי את כל התסבוך שעשית …
המוח שלי לא ממש קולט מהר אבל יקח לו זמון..
אהה ודרך אגב אני שונאת סטיסטיקה…:)

דודי  בתאריך 7/25/2005 4:38:28 PM

המורה שלי היה נחנק עכשיו

אז מסתבר שסטטיסטיקה זה לא כזה נורא
חחחח
שווארמה ים ובלונדיניות. למה בתיכון לא הסבירו לנו את זה ככה? אולי הייתי ניגש בסוף לחמש יחידות!
חחחח

שרה  בתאריך 8/7/2005 3:38:14 PM

תודה

ממש מבדר הסברים כאלה נכונים וממש בשפה שאפילו הסתומים יבינו
לדעתי יש לו עתיד בהוראה
בהצלחה!!!

להלן ציטוט מכתבה שהופיעה ב"הארץ":

עמנואל הדנה … סיים ב-2000 תואר ראשון במשפטים באוניברסיטת תל אביב.

…

לאחרונה הוזמן הדנה להשתתף בדיון בוועדת העלייה והקליטה בכנסת בנושא "הצלחות בקליטת העלייה מאתיופיה". בדיון הוא סיפר שהנהלת האוניברסיטה ביקשה ממנו לשבח את הצלחתה בקליטת עולים מאתיופיה, במהלך הופעות בפני תורמים וחברי חבר הנאמנים של האוניברסיטה. "אני הייתי הסטודנט השני (ממוצא אתיופי) באוניברסיטה. אני זוכר שנערך באוניברסיטה כנס שבו נדרשתי להציג כי יש גידול של 100% במספר הסטודנטים האתיופים באוניברסיטת תל אביב. זה היה מצב מאוד עגום, ואני מאוד התנגדתי לזה", הוא סיפר.

הממ.. גידול מ-1 ל-2 זה גידול של 100%. הם צודקים, החבר'ה האלה מהנהלת האוניברסיטה.

תודה לחנן כהן ששלח לי את הלינק.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך8 במאי 2005

במאמר שהתפרסם היום בדה-מרקר, כותב פרופ' יעקב עמיהוד על המשבר הפיננסי של המוסדות להשכלה גבוהה בישראל, ויוצא חוצץ נגד התנהלות הסטודנטים בנושא. הפתרון של עמיהוד למשבר הוא, איך לא, הנהגת תחרות בין האוניברסיטאות והעלאת שכר הלימוד. פרופ' עמיהוד הוא פרופ' לפיננסים בביה"ס הספר למנהל עסקים של אוניברסיטת ניו-יורק, והינו בעל תואר דוקטור בכלכלה וניתוח כמותי מאוניברסיטה זו. אני מכבד את דעתו של עמיהוד (אם כי מתנגד לה).

הבעיה היא כאשר עמיהוד מנסה לגייס את הסטטיסטיקה לעזרתו. וכך הוא כותב: "שכר הלימוד באוניברסיטאות בישראל נמוך מאוד. בארה"ב, למשל, שכר הלימוד הממוצע באוניברסיטאות הציבוריות הוא 5,132 דולר…" ומייד מסייג את דבריו: "…אך באוניברסיטאות הציבוריות הטובות, שכר הלימוד גבוה בהרבה. כך, באוניברסיטה הציבורית של פנסילווניה, שכר הלימוד הוא 10,856 דולר. שכר הלימוד הממוצע באוניברסיטאות הפרטיות הוא כ-20 אלף דולר".

עמיהוד מודע היטב לפערים הכלכליים בין ישראל לארה"ב: "ההכנסה הממוצעת לנפש בארה"ב מעט יותר מכפולה מזו שבישראל, ובהתאמה שכר הלימוד בארץ היה צריך להיות כמחצית מזה בארה"ב". ולאחרשהביא בפנינו תובנה זו הוא קובע: "בפועל, הוא נמוך בהרבה".

תרשו לי לעשות חשבון: שכר הלימוד באוניברסיטאות הציבוריות שלנו הוא כ-2400 דולר לשנה. 5132 הם קצת יותר מפי שניים מ-2400 (פי 2.13 למי שמתעקש). לכן, לפי החשבון שלי, שכר הלימוד באוניברסיטאות הציבוריות ביחס להכנסה לנפש שווה שערך בשתי המדינות. אז איך קובע עמיהוד כי שכר הלימוד בישראל "נמוך בהרבה"?

ובכן, כנראה שהוא משווה את שכר הלימוד כאן לשכר הלימוד באוניברסיטה הציבורית של פנסילווניה. כלומר, הוא משווה את הממוצע שלנו, לערך המקסימלי (או כמעט מקסימלי) של ארה"ב. זכותו. אבל שיספר לנו את זה, בבקשה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 22 במרץ 20

05 שם התקבלו 6 תגובות

יאן  בתאריך 3/22/2005 8:02:28 PM

ללא נושא

זאת ועוד: הוא גם שכח שיש עוד מדינות פרט לארה"ב בעולם. באירופה, להוציא בריטניה, שכר הלימוד נמוך או שהלימודים הם בחינם.

עזי  בתאריך 3/22/2005 8:19:22 PM

שים לב…

שים לב שאת הטענות האלו (גם את של המגיב לפני) העלו בתגובות ב"הארץ" למאמרו של עמיהוד.
אם תרשה לי – אני *לא* מכבד את דעתו. הוא מבסס את דבריו על-סמך נתונים חלקיים, שגויים ומטעים, ומגיע בהכרח למסקנה מטופשת.

lior  [אתר]  בתאריך 3/22/2005 9:22:16 PM

כל הכתבה הזאת תמוהה מאוד

"בארצות הברית, למשל…". יופי. לקח את המדינה שבה שכר הלימוד המקסימלי הוא מהגבוהים בעולם והפך אותה למשל, כאילו מדובר במקרה ממוצע.
הוא גם שכח לציין שבארצות הברית יכול כל סטודנט ללמוד כמעט בחינם במכללה הקרובה למקום מגוריו.
אל נושא המחקר באוניברסיטאות הוא בכלל לא מתייחס, ומתעלם באלגנטיות מכך שמחאת הסטודנטים, במקרה זה, אינה באופן ישיר נגד גובה שכר הלימוד.
כל זה ייאוש אחד גדול. עוד שנה וחצי אני צפוי לסיים את הדוקטורט, ולפי המצב שנראה עכשיו אין לי שום סיכוי למצוא משרה בישראל. עם רשימת המאמרים המדעיים הדלה שלי (לפחות כרגע) היה לי גם ככה קשה להתחרות במועמדים אחרים, אבל עכשיו זה נראה שבכלל אין תחרות. פשוט אין משרות פתוחות. ולהיות עובד קבלן שמפטרים אותו אחרי שנה ממש לא בא לי, מה גם שאפילו לזה לא בטוח שיקבלו אותי.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/23/2005 8:01:33 AM

תגובה לעזי

זה בסדר, אני מרשה לך 🙂

ערדי  בתאריך 3/23/2005 1:32:23 PM

אבל בלי קשר לעמיהוד,

לא תסכימו ששכר הלימוד בארץ נמוך למדי, בטח ביחס לרמת האוניברסיטאות?
2400 דולר לשנה, כשמי שמוכן לתת כמה שעות שבועיות יכול להשתתף בפרויקט פר"ח ולשלם חצי מזה – 1200 דולר לשנה. 450 ש"ח לחודש, בחישוב שנתי.
בכל זאת, נראה לי שמדובר בשכ"ל מהנמוכים בעולם, לא כן?

יוני  בתאריך 4/28/2005 6:45:34 PM

ארה"ב לא חייבת להיות מושא לחיקוי

לא כל מה שנעשה בארה"ב ירד הישר מהר סיני. בארה"ב יש גם דברים לא טובים.

העובדות:

• עו"ד משה שוב העלים הכנסות בסך של כ-2 מליון ש"ח, ועל ידי כך "התחמק" מתשלום מס בסך כמליון ש"ח.
• בית המשפט השלום גזר עליו עונש של 9 חדשי מאסר בפועל לאחר שהורשע בעבירה (הפלילית) של העלמת הכנסה. כן נגזר עליו קנס בסך 100,000 ש"ח.
• בית המשפט המחוזי הקל בעונשו של עו"ד שוב, ובמקום 9 חדשי מאסר בפועל הטיל עליו 6 חודשי עבודות שירות. עם זאת, הוכפל הקנס פי 10, והועמד על 1,000,000 ש"ח.

קטונתי מלחוות דעה האם נעשה כאן צדק. אחרי הכל, ההקלה בעונש נעשתה על דעתם של שני שופטים נכבדים, דבורה ברלינר וזאב המר. השופטת יהודית שיצר, חברתם להרכב, חלקה על דעתם ומתחה עליהם ביקורת בהחלטת המיעוט שכתבה.

לעומת זאת, פרופ' רון שפירא, דיקן הפקולטה למשפטים באוניברסיטת בר-אילן, שיבח את החלטת הרוב במאמר שפרסם ב"גלובס". במצפון שקט, כותב שפירא: "על אף שמשה שוב ניסה לקחת ממני עשרים אגורות בערך, אני חש הקלה גדולה על כך שהעונש האכזרי הזה (9 חודשי מאסר – י.ל.) נחסך ממנו", ומכאן הוא ממשיך ומביא שפע של נימוקים לתמיכתו בהקלה בעונש: הוא נסמך של "שיקולי תועלת ציבורית מצרפית", נתלה ב"פילוסופיה התועלתנית של המאה ה-18" וברמב"ם, ומפעיל את השיקול הכלכלי הידוע כ"עקרון התועלת השולית הפוחתת".

מה פירוש הביטוי "משה שוב ניסה לקחת ממני עשרים אגורות בערך"? הרי עו"ד שוב הורשע בניסיון לגנוב 1000000 ש"ח מאוצר המדינה. החשבון של רון שפירא הוא פשוט: אם משה שוב ניסה לגנוב 1000000 ש"ח מהמדינה, על 5 מיליוני אזרחיה (בזמן ביצוע העבירה), הרי שמשה שוב ניסה לגנוב ("לקחת", כלשונו של שפירא) 20 אגורות מכל אזרח – בממוצע כמובן. לדעתו של שפירא 9 חודשי מאסר על מי שניסה לגנוב ממנו 20 אגורות זהו עונש אכזרי.

שפירא שכח למצע גם את העונש. בתשעה חודשים יש 388,800 דקות. כלומר, העונש האכזרי שהוטל על עו"ד שוב הוא כ-23 שניות לשקל, או קצת יותר מ-4.5 שניות מאסר עבור 20 האגורות שניסה "לקחת" משפירא. לי זה לא נראה אכזרי במיוחד, בייחוד אם ניקח בחשבון שאם שוב היה מתנהג יפה בכלא, היה מרצה כ-2.8 שניות בפועל לכל 20 אגורות.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 14 במרץ 2005 שם התקבלו 9 תגובות

קורינה  [אתר]  בתאריך 3/14/2005 11:19:28 PM

ללא נושא

מפליא הפרופסור. דבריו הם ממש המחשה למהותה של דמגוגיה: קח מתוך אמת את החצי שנוח להציג וסמוך על כך שרוב האנשים לא סטיסטיקאים וגם לא כולם חושבים תמיד.
תודה

עזי  בתאריך 3/15/2005 8:28:25 AM

אחלה פוסט!

טוב שיש נבונים כמוך, יוסי, שעומדים על המשמר האקדמי והמוסרי ומונעים מקשקשנים ומגלגלי-עיניים מלתעתע בנו!
מונעים? אמממ… לא בדיוק. לפחות תופסים אותם בטריקיהם הזולים לאחר מעשה.

ליאור  בתאריך 3/16/2005 10:49:17 AM

LOL

טיעון מעולה, סחתיין.

יאן  בתאריך 3/16/2005 10:58:25 AM

ללא נושא

צודק. טיעון יפה.
אגב, הכרתי אדם, בעל מלאכה קטן, שנשלח לכלא לחצי שנה על העלמת מס בסכום שאני משער שלא התקרב למיליון ש"ח.
עונש מאסר על עבירות מס הוא דבר לא כל כך נדיר, דווקא (משום מה) בשכבות הנמוכות, אצל עצמאים זעירים, שיפוצניקים וכדומה.

אחיה  בתאריך 3/19/2005 9:56:32 PM

ללא נושא

אני מתקשה להבין למה עולה מתוך דבריך ריח של כעס על השופטים.
הרי, לי לא אכפת כל כך כמה ישב אותו גנב בכלא; לעומת זאת, אכפת לי מאותם 900,000 ש"ח שהוחזרו לקופת המדינה.
אמנם יש עניין של הרתעה, אך זה זניח מול כל הכסף שהוחזר לקופת המדינה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/20/2005 8:25:50 AM

תשובה לאחיה

הרשימה לא כוונה נגד השופטים אלא נגד הטיעון הדמגוגי של פרופ' שפירא.
את דעתי על פסיקת השופטים אני שומר לעצמי, ולדעתי האישית אין כל חשיבות במקרה זה.
אני מניח שפרופ' שפירא היה כותב את אותו מאמר בשינויים קלים לו היו השופטים מחמירים בעונשו של עו"ד שוב.

אבא של הדר  בתאריך 4/22/2005 1:20:40 PM

יש לדייק

נהניתי מאד מחישוב העונש הזקוף בשניות לכל משלם מיסים. ראוי היה לחשב ספרות נוספות אחרי הנקודה, למען יראו וייראו. אגב, האם יחזירו לנו את הגזלה או שזה רק לאוצר המדינה? תמהני

ערן  בתאריך 1/26/2006 11:08:25 PM

לידיעתכם

אין הפחתת שליש בעונש של חצי שנה…..חמוד שלי, תישאר בסטטיסטיקה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 1/28/2006 12:29:41 PM

תשובה לערן

תודה על ההערה, אם כי בפעם האחרונה שבדקתי, 9 חודשים הם יותר מחצי שנה.