Skip to content

נסיכת המדעים

אלוהים משחק ביקום בקוביות

  • עמוד הבית
  • אודות נסיכת המדעים
  • ייעוץ סטטיסטי
  • מבוא לסטטיסטיקה
  • מצגות Presentations
  • יצירת קשר
  • Toggle search form

חוק המספרים הגדולים

Posted on 2 בדצמבר 200826 ביולי 2024 By יוסי לוי 6 תגובות על חוק המספרים הגדולים

בית קזינו מוכן להכפיל את כספו של כל מי שינחש נכונה את הצבע שיעלה בסיבוב הבא של גלגל הרולטה – שחור או אדום. חברות ביטוח משפות את לקוחותיהן על הנזקים שנגרמו להם. סטטיסטיקאי מודיע על תוצאת הבחירות מייד  לאחר סגירת הקלפיות, ורשויות הבריאות מאשרות תרופות חדשות לשימוש (ולפעמים גם מורות על הפסקת השימוש בתרופות מסוימות). קבוצת ספורט מחליטה לחתום על חוזה שמן עם שחקן כוכב. כל אלה הם שימושים של חוק המספרים הגדולים.

מבין המשפטים הגדולים של הסטטיסטיקה – חוק המספרים הגדולים הוא ככל הנראה הבסיסי ביותר. ניסוח מעט רשלני של החוק אומר כי אם אתה צופה בסדרה אינסופית של תצפיות מקריות שאינן תלויות זו בזו, אשר כולן מתארות את אותה התופעה, אזי ממוצע הסדרה ילך ויתקרב לערך קבוע. ערך זה הוא התוחלת של התופעה המקרית הנצפית.

למתמטיקאים יש ניסוחים מדויקים לטענה הזו, וכמובן שגם הוכחה. המתמטיקאי השוויצי יעקב ברנולי הוכיח את הגרסה הראשונה של החוק בסוף המאה ה-17, וגרסאות מורחבות וחזקות יותר שלו הוכחו מאוחר יותר.

bernoulli_Jacob_stamp

יעקב ברנולי הונצח על בול שוויצי. ברקע הניסוח המתמטי של חוק המספרים הגדולים, אותו הוכיח ברנולי לפני יותר מ-300 שנה, ותיאור גרפי של החוק.

מדוע החוק הזה חשוב כל כך? אנסה להסביר זאת באמצעות דוגמא פשוטה יחסית – גלגל הרולטה.

 גלגל הרולטה בקזינו של מונטה קרלו מחולק ל-37 גזרות שוות, ועל כל גזרה רשום אחד מבין המספרים 0, 1,2,… ועד 36. 18 מבין המספרים מסומנים בצבע אדום, 18 בשחור, ואילו המספר אפס מסומן בצבע ירוק. ההימור הפשוט ביותר מאפשר לך לבחור את אחד הצבעים, אדום או שחור. אם הימרת על סכום של יורו אחד כי בסיבוב הבא של הרולטה יעלה מספר המסומן באדום, ואכן כך קרה, היורו שלך יוחזר לך יחד עם יורו נוסף בו זכית. אם לא עלה בגורל מספר “אדום”… אתה יכול לנסות שוב את מזלך.

אם הסיכויים של כל המספרים לעלות בגורל שווים, הרי שהסיכוי כי יעלה בגורל מספר מסויים (7, למשל) הוא 1/37. הסיכוי כי יעלה מספר אדום בגורל הוא לכן 18/37, והסיכוי כי יעלה מספר שאינו אדום בגורל הוא 19/37. גם בהימור על שחור הסיכויים לזכות הם 18/37 ולהפסיד – 19/37. כלומר, בכל הימור על אדום/שחור הסיכוי לזכיה הוא 18/37 והסיכוי להפסד הוא 19/37.

rouletteאבל כל זה רק תיאוריה – תיאוריה המבוססת על מודל הסתברותי. האם התיאוריה עומדת במבחן המציאות? דרך אפשרית לבחון את התיאוריה היא לנסות אותה במציאות. הבה נבצע המון (אבל ממש המון) סיבובים של גלגל הרולטה, ונבדוק מהי פרופורציית הפעמים בהן עלה בגורל מספר “אדום” מתוך כלל הסיבובים. נשמע הגיוני.

אבל ההגיון של מתמטיקאים מוזר למדי. כדי שהניסוי המוצע יניח את דעתם, עליו להסתמך על משפט מתמטי כלשהו. חוק המספרים הגדולים מקשר בין המודל ההסתברותי – ובין הניסוי הסטטיסטי, ולכן מהווה את הבסיס המתמטי לניסוי הזה. אם המודל המתמטי אכן מתאר נכונה את התנהגות גלגל הרולטה, אז חוק המספרים הגדולים אומר כי פרופורציית הפעמים בהן יעלה בגורל מספר “אדום” תהיה בקירוב 18/37.

ומה יוצא לקזינו מכל זה? כסף, הרבה כסף. ב-18/37 (או 48.6%) מההימורים יפסיד הקזינו יורו, וב-51.4% מההימורים ירוויח הקזינו יורו. הרווח הממוצע להימור כזה הוא לכן 0.027 יורו להימור. אבל אם סך כל ההימורים האלה בערב אחד הוא 100,000 יורו (סתם זרקתי מספר) הרווח מהימור פשוט כזה הוא כ-2700 יורו. לא רע. כמובן שיש הימורים בהם הסיכויים של המהמר להרוויח נמוכים יותר (וסיכויי הקזינו לזכות גבוהים יותר), ואז גם הרווח של הקזינו גדל בהתאם. תראו את הרווחים של חברות הביטוח.

כשמשתמשים בחוק המספרים הגדולים – חשוב מאוד להיות מודעים למגבלות שלו. הבה ונראה מה עלול לקרות אם לא עושים זאת.

קודם כל, רצוי מאוד כי התנאים של המשפט יתקיימו. אם שחקן כדורסל קולע בממוצע 30 נקודות למשחק במשך 5 עונות בהן שיחק כ-450 משחקים, זה באמת הישג ראוי לציון. אבל לפני שתחתימו את הכוכב על חוזה שמן, עצרו וחשבו: האם באמת אנו צופים בסדרה של תצפיות בלתי תלויות? (הדעות חלוקות). האם הסדרה תימשך עד אינסוף? סביר להניח שלא.

גם אם התנאים של המשפט מתקיימים, איזה מודל הסתברותי משקפות התצפיות? אם המודל שלכם הוא לא המודל הנכון, אתם עלולים למצוא את עצמכם מכריזים על ניצחון בבחירות של מועמד שדווקא הפסיד, כמו שלמשל קרה לעיתון ה-Literary Digest ב-1936.

גם אם תנאי המשפט מתקיימים, והמודל הוא המודל נכון, יש עוד בעיה קטנה. המשפט מדבר על התנהגות סדרת התצפיות באינסוף. באופן מעשי, אפשר להסתפק במספר סופי של תצפיות, אם המספר הזה מספיק גדול. זהו “גודל המדגם” המפורסם. מהו מדגם גדול מספיק? תנו לי מספר, ואתן לכם דוגמא בה המספר הזה אינו מהווה גודל מדגם מספיק גדול. חוק המספרים הגדולים אינו אומר דבר על “קצב ההתכנסות” של סדרת הממוצעים. לכן כדי לקבוע את גודל המדגם יש להשתמש בכלים אחרים, ועל כך אכתוב ברשימה אחרת.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 19 ביולי 2005 23:07 שם התקבלו 8 תגובות

גילי נחום  בתאריך 7/20/2005 12:39:52 AM

מעניין מאוד

עוד לפני כמה שנים חשבתי להרוויח 200 דולר ללילה בעזרת הטכניקה הבאה:
(נניח שההימור הוא הוגן p=0.5)
להמר 200 דולר, אם הרווחתי אז לסגור את הבסטה וללכת לבית שמח ומאושר, במידה והפדסתי אז אהמר שוב בסכום הנדרש לזכות ב- 400 דולר (בכדי לכסות על ה- 200 הפסד ולהרוויח 200) אם הפסדתי שוב אז להמר על סכום שיכסה את ה- 600 הפסד ויביא לי רווח נטו 200 וכן הלאה…
בהנחה שאני לא יכול להפסיד לנצח אני ארוויח מתישהוא את ה- 200 דולר הללו ואפרוש מהקזינו עם 200 דולר רווח באותו הלילה (לא רע).
השאלה היא מה הסיכוי שיגמר לי הכסף לפני שאצליח להרוויח את ה200 דולר (נאמר שיש לי מגבלה של 20000 דולר).

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:24:15 AM

גילי

בו נבדוק.
ב 20,000 הדולר שלך אתה יכול להשתמש (20,000/100) פעם להימור של 200 דולר. בגלל שאתה מתכוון להכפיל את הסכום ב 2 בכל שלב, אתה יכול להמר רק
log2(20000/200) פעמים. אם נעלה קצת את הסכום הכולל שאתה מוכן להשקיע זה יוצא 7.
הסיכוי שתזכה בפעם הראשונה הוא 0.5^1. הסיכוי שתזכה בפעם השניה הוא 0.5^2, וכן הלאה. מתקבל כאן טור הנדסי מ 1 עד 7 שאת סכומו ניתן לחשב על ידי:
0.5*)0.5^7-1(/)0.5-1(
כלומר, הסיכוי שתזכה ב 200 דולר הוא 0.99218.
אם השקעת ב 7 סיבובים סכום של 25,600 דולר, תוחלת ההפסד שלך שווה ל:
)1-0.99218(*25,600(=~200
תוחלת הרווח גם היא 200 דולר. לכן, כצפוי, לא הרווחת ולא הפסדת.

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:25:49 AM

טעות קטנה

ב 20,000 דולר אפשר להמר 20,000/200 שזה 100 פעמים.

yoav  בתאריך 7/20/2005 1:28:40 PM

שיטה מוצלחת, אבל:

מהסיבה הזו, בתי הימורים מגבילים את הסכום המקסימלי שמותר להמר, וכך חוסמים את יעילות השיטה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 10:32:27 PM

בעניין שיטת ההכפלה

אני ממליץ לכל מי ששוקל להשתמש בשיטה זו בביקורו הקרוב בקזינו, לקרוא את מה שנכתב במדור השאלות הנפוצות של פורום המתמטיקה של תפוז על הנושא הזה:
http://www.tapuz.co.il/tapuzfo….mFAQAnswer.asp?id=457&QID=2033

גילי נחום  בתאריך 7/26/2005 5:03:12 AM

אנסה לסכם:

לינק מעולה, תודה יוסי.
1. הסכומים שצריך לשריין על מנת להיות בטוחים באחוזים גבוהים שלא יגמר לנו הכסף הם אדירים.
2. גם אז תמיד ישנו הסיכוי (גם אמנם קטן) שנפסיד את הסכומים ששריינו (שלהזכירכם הם סכומים אדירים) מכיוון שנגמר לנו הכסף. האם אנו מוכנים לסיכון זה?
3. בפועל לא עומד לרשותנו סכום כל כך גדול לשריין לצורך הפרוייקט ולכן הוא לא בר ביצוע, ובמידה וכן עומד לרשותנו הסכום הנ”ל אז אנו עשירים דה פקטו ולמה להתעסק בשטויות במקום לקחת חופשה בקנקון?!
הדגמה קטנה!
נצהיר שמטרתנו היא לסיים את הערב עם 200 רווח.
סדר ההימורים וסכומם:
1. 200
2. 400 (מכסה הפסדים 200 ורווח 200)
3. 800
4. 1,600
5. 3,200 (מכסה הפסדים 3000 ורווח 200)
6. 6,400
7. 12,800
8. 25,600
…
נניח ומגבלת התקציב שלנו היא 12600, לכן נאלץ לעצור לאחר ההימור ה- 6 (כי 6400+3200+1600+800+400+200= 12,600)
ההסתברות שנגיע למצב זה היא 0.5 בחזקת 6 (בערך אחוז וחצי) ולכן בממוצע נפסיד כל ערב
196.875.
ההסתברות שנרוויח 200 בסוף הערך היא 1 מינוס ההסתברות של פשיטת רגל ובממוצע נרוויח כל ערב
בדיוק 196.875.
ולכן בסך הכל לאורך זמן לא הפסדנו ולא הרווחנו (כי ההימור הוא הוגן)
אם ההימור לא יהיה הוגן אז באותה צורה בדיוק לאורך זמן נצפה להפסדים.
כלומר תוחלת הרווח תשאר שלילית.

יניב  בתאריך 1/28/2008 1:45:19 AM

מה עם האפס

נראה לי ששכחתם פרט קטן, בנוסף לשחור ואדום יכול לצאת “0” שבו הבית זוכה, כלומר לא אדום ולא שחור….

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 1/28/2008 12:59:10 PM

ליניב

זה לא משנה את העקרון…

הממ... מעניין..., המשפטים הגדולים של הסטטיסטיקה, מה אומרת הסטטיסטיקה Tags:הימורים, היסטוריה, המשפטים הגדולים של הסטטיסטיקה, הסתברות

ניווט

Previous Post: מאה המשפטים הגדולים של המתמטיקה
Next Post: העם רוצה לשלם מסים?

Comments (6) on “חוק המספרים הגדולים”

  1. עדי הגיב:
    7 במרץ 2009 בשעה 23:25

    שלום רב,

    שאלה בנושא הרולטה ושיטת ההכפלה –
    אני יודע שאני יכול “לשרוד” על השולחן 10 סיבובים לפני שאני מגיע ללימיט של השולחן.
    האם יש הבדל בין התחלת רצף ההימורים על אדום לאחר שכבר יצא רצף של 10 שחורים או שההיסטוריה כאן חסרת משמעות?
    האם למעשה אני לא מגדיל את סיכויי הזכייה כשאני מתחיל את האסטרטגיה לאחר רצף מסוים? שכן אז במקום להמר על רצף זהה ב- 10 סיבובים אני מהמר שיצא (או שלא יצא) רצף זה ב- 20 סיבובים?
    בתודה
    עדי

    הגב
    1. יוסי לוי הגיב:
      8 במרץ 2009 בשעה 07:51

      ההיסטוריה לא משנה כלום. לגלגל הרולטה אין זכרון.

      הגב
  2. עדי הגיב:
    9 במרץ 2009 בשעה 23:28

    יוסי שלום,

    מצטער אבל התשובה סתומה בשבילי.
    שנינו מסכימים שהסיכוי לרצף של 20 קטן מהסיכוי לרצף של 10.
    ברור לי שבהימור בודד אין הבדל גם אם התחלתי אותו לאחר רצף של 200 (עדיין הסיכוי יהיה 18/37ׂ) אבל זה לא המקרה.
    ההימור שלי אינו שבסיבוב הבא יצא שחור אלא שלא יהיה כרגע רצף של 10 אדומים. ואם אני מתחיל את ההימור לאחר רצף של 10 הרי ששהימור הופך להיות על כך שלא יהיה רצף של 20 אדומים.
    האם בכל זאת אני טועה לחלוטין?
    תודה ואני מבטיח לא למכור את הדירה שלי בשביל ההימור גם אם תשנה את דעתך.

    עדי

    הגב
    1. יוסי לוי הגיב:
      10 במרץ 2009 בשעה 20:53

      עדי,
      אני מצטער אבל אתה טועה.
      ההסתברות המותנה שיהיה עכשיו רצף כלשהו בהינתן העובדה שזה עתה הסתיים רצף אחר שווה להסתברות הלא מותנה, וזאת כיוון שאין תלות בין סיבובי גלגל הרולטה.

      הגב
    2. avi הגיב:
      8 בספטמבר 2016 בשעה 07:28

      לפי חוק המספרים הגדולים או במילה אחת -תיאוריתית- אתה צודק במאה אחוז!!! הסיכוי שייצא רצף צבע כל כך גדול הוא אפסי. אבל, (וזה אבל גדול!!!) הסיכוי הזה קיים!! וכשאתה מפסיד אתה לא מפסיד 200 אתה מפסיד את ה-200+ 400+ 800… וכו’
      ודבר נוסף שחשוב לזכור לגבי רולטה!! ברולטה הסיכוי לקבל שחור או אדום או מספר ספציפי יהיה תמיד אותו הסיכוי בדיוק!! זה כמו שתשחק עץ או פלי. סטטיסטית הסיכוי הוא 50% עץ 50% פלי אם תהמר על עץ אחרי רצף של 10 פעמים פלי עדיין הסיכוי יעמוד על 50% עץ ו-50% פלי…

      הגב
  3. פינגבאק: Second tirgul | My TA Blog

כתיבת תגובה לבטל

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

אתר זה עושה שימוש באקיזמט למניעת הודעות זבל. לחצו כאן כדי ללמוד איך נתוני התגובה שלכם מעובדים.

  • תכנים נוספים בנסיכת המדעים
  • ערוץ היוטיוב של נסיכת המדעים 
  • נסיכת המדעים בפייסבוק
  • חפירות על סטטיסטיקה
  • תכנים מומלצים ברשת בנושאי סטטיסטיקה ו- Data Science
  • Privacy policy
  • מה אומרת הסטטיסטיקה
  • כלכלה וחברה
  • בריאות
  • ביוסטטיסטיקה
  • האנשים שמאחורי הסטטיסטיקה
  • נשים בסטטיסטיקה
  • סטטיסטיקה רעה
  • אותי זה מצחיק
  • בנימה אישית

Copyright © 2025 נסיכת המדעים.

Powered by PressBook WordPress theme

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish.Accept Read More
Privacy & Cookies Policy

Privacy Overview

This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may affect your browsing experience.
Necessary
Always Enabled
Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.
Non-necessary
Any cookies that may not be particularly necessary for the website to function and is used specifically to collect user personal data via analytics, ads, other embedded contents are termed as non-necessary cookies. It is mandatory to procure user consent prior to running these cookies on your website.
SAVE & ACCEPT