נסיכת המדעים

שגעון הפאוורבול בארצות הברית הגיע השבוע לשיאים חדשים, לאחר שבהגרלות שנערכו ב-20.10.2018 איש לא ניחש נכונה את המספרים שעלו בגורל. הפרס הגדול, נכון לעכשיו, הוא 2.22 מיליארד דולר. אני בטוח שאתם רוצים לזכות בפרס הזה. אני רוצה לזכות בפרס הזה.

מה הסיכויים לזכות בפרס הגדול בפווארבול?

למעשה מדובר בשתי הגרלות שונות. בהגרלת המגה-מיליון הפרס הגדול הוא 1.6 מיליארד דולר, וההסתברות לזכייה בו היא בערך 1 ל-302 מיליון. בהגרלה השנייה, היא הגרלת הפווארבול, הפרס הגדול הוא "רק" 620 מיליון דולר, וההסתברות לזכייה בו היא קצת יותר גבוהה – 1 ל-292 מיליון.

כדי לזכות ב-2.2 מיליארד דולר, צריך לזכות בפרס הגדול של שתי ההגרלות, שהינן כמובן בלתי תלויות זו בזו. הסיכוי לכך הוא מכפלת הסיכויים לזכייה בשתי ההגרלות בנפרד, והוא בערך שווה ל-1 ל-88000000000000000.
צריך לזכור כי למרות שההסתברות לזכייה בפרס הגדול, בייחוד אם קונים רק כרטיס אחד, היא נמוכה מאוד, היא עדיין חיובית, כלומר יש סיכוי לזכות. מי שלא קנה כרטיס, לא יוכל לזכות. לכן, הצעד הראשון בדרך לזכייה הוא לקנות כרטיס.

האם קניית כרטיס הגרלה היא השקעה טובה?

זה תלוי כמובן בשאלה איך מגדירים האם השקעה היא טובה. אפשרות אחת היא להעריך את ההחזר הצפוי על ההשקעה. בואו לא נהיה חמדניים, ונתרכז רק בהגרלת המגה-מיליון ובפרס של 1.6 מיליארד דולר. מחיר כל כרטיס הוא שני דולר. בממוצע, מי שקונה כרטיס זוכה ב-1.6 מיליארד דולר בהסתברות של 1 ל-302 מיליון, או מפסיד 2 דולר בהסתברות כמעט קרובה ל-1. לכן ההחזר הממוצע על הכרטיס הוא בערך 1.6 מיליארד כפול 1 חלקי 302 מיליון פחות 2. זה יוצא בערך 3.30 דולר. למעשה חישבתי כאן את תוחלת הזכייה של כרטיס הגרלה. שימו לב כי התוחלת חיובית. בממוצע, מפעל ההגרלות מפסיד בהגרלה הזו 3.30 דולר על כל כרטיס שנמכר. בדרך כלל, במשחקי הימורים תוחלת הזכייה היא שלילית. למשל, אם אתם מהמרים ברולטה על ניחוש שחור/אדום, תוחלת הזכייה שלכם על כל דולר הימור היא בערך מינוס 5.2 סנט, כלומר בממוצע אתם מפסידים 5.2 סנט בכל פעם שאתם מהמרים על דולר. זה מספיק לקזינו כדי להרוויח מיליונים.

ראיתי במספר פורומים (בדיונים על הגרלות אחרות עם פרסים גדולים במיוחד) אנשים שטענו כי תוחלת הזכייה חיובית ולכן כדאי לקנות כרטיס השתתפות בהגרלה. למרבה הצער הטענה הזו לא נכונה. אותם 3.30 דולר שחישבתי למעלה הם תוחלת של כסף, ותוחלת של כסף זה לא כסף. אתם לא יכולים לקחת כרטיס להגרלה שתיערך מחרתיים ולשלם איתו במכולת, גם אם תוחלת הזכייה חיובית (( נסו ותיווכחו )). מה שיקרה זה שמועד ההגרלה יגיע, ואז תזכו, או שאולי לא. כמובן, אם תוכלו להשתתף בהגרלות כאלה כמה פעמים שתרצו, משתלם לגמרי לקנות כרטיס ועוד כרטיס ועוד כרטיס. חוק המספרים הגדולים יהיה לצידכם. אבל זה לא יקרה כמובן. ההזדמנות להשתתף בהגרלה היא חד פעמית

אבל הסיכוי לזכות כל כך קטן – ברור שאין זוכה

אמנם הסיכוי שאתם תזכו בהגרלה הוא מאוד נמוך, אך הסיכוי שמישהו יזכה בפרס הגדול הוא גבוה למדי. (( זו למעשה בעיית ימי ההולדת )). הנה הסבר אינטואיטיבי. תחשבו על קובייה. אם תטילו אותה הסיכוי שתוצאת ההטלה תהיה 6 היא 1 ל-6. אם שני אנשים יטילו כל אחד קובייה, הסיכוי שלפחות באחת ההטלות התוצאה תהיה 6 הוא גבוה יותר – בערך 1 ל-3.3. אם שלושה אנשים יטילו כל אחד קובייה, הסיכוי שלפחות באחת ההטלות התוצאה תהיה 6 הוא אפילו גבוה יותר – בערך 1 ל-2.37. וכן הלאה. אפשר לחשוב על כרטיס הגרלה כמין קובייה מטאפורית, כזו שהסיכוי לתוצאת 6 אם תטילו אותה הוא 1 ל-302 מיליון. אם יותר אנשים יטילו יותר קוביות, כלומר אם יותר כרטיסי הגרלה יימכרו, הסיכוי שתתקבל תוצאת 6, כלומר שמישהו יזכה בפרס, הולך וגדל.

כמה כרטיסים צריכים להימכר כדי שהסיכוי שלפחות כרטיס אחד יזכה יהיה 5%? 10%? 50%? מה הסיכוי ששני זוכים יחלקו את הפרס הגדול? אם אתם יודעים את מספר הכרטיסים שנמכרו, אתם יכולים לחשב את הסיכויים האלה בעזרת התפלגות פואסון. אדלג ברשותכם על הפרטים הטכניים. אפשר גם לעשות חישוב הפוך, ולחשב כמה כרטיסים צריכים להימכר כדי שההסתברות שמישהו יזכה בפרס הגדול תהיה שווה ל-50%. המספר הזה הוא בערך 210 מיליון. זה לא מספר מופרך. לפי הדיווח הזה, כ-226 מיליון כרטיסים צפויים להימכר לקראת ההגרלה הקרובה.

מה אם קונים את כל הכרטיסים?

הנה עוד רעיון שבוודאי עבר במוחו של מישהו: יש 302 מיליון צירופי מספרים אפשריים. אם נקנה 302 מיליון כרטיסים, ובכל כרטיס יופיע צירוף מספרים אחר, אז הכרטיס הזוכה חייב להיות בין הכרטיסים שקנינו. כל כרטיס עולה שני דולר, אז 302 מיליון כרטיסים יעלו 604 מיליון דולר. הפרס הגדול הוא 1600 מיליון דולר, ולכן מובטח רווח של כמעט מיליארד דולר. האם אפשר לעשות את זה?

התשובה הקצרה היא "כן". התשובה הארוכה היא "כנראה שלא".

מבחינה חוקית זה אפשרי, וזה כבר נעשה לפחות פעם אחת. בשנת 1992 הפרס הגדול בהגרלת הלוטו של מדינת וירג'יניה היה 27 מיליון דולר, והסיכוי לזכייה היה בערך 1 ל-7 מיליון. כל מה שצריך היה לעשות זה לקנות 7 מיליון כרטיסים ב-7 מיליון דולר ולגרוף רווח של 20 מיליון דולר. קבוצה של כ-2500 משקיעים התארגנה לגייס את הכסף ולרכוש את הכרטיסים. למרבה צערם הם הספיקו לקנות רק כ-5 מיליון כרטיסים עד מועד ההגרלה. לאחר קצת כסיסת ציפורניים התברר שהם אכן הצליחו לרכוש את הכרטיס הזוכה, מדינת וירג'יניה ניסתה להערים קשיים משפטיים כדי להימנע מתשלום, אך בסופו של דבר סכום הפרס הגדול שולם (וגם עוד כמה עשרות אלפי פרסים יותר קטנים). ((לפרטים נוספים ראו את ספרו של דייויד הנד The improbability Principle  ))

בהגרלת המגה מיליון זה סיפור בסדר גודל אחר לגמרי. קודם כל, כדי לקנות 302 מיליון כרטיסים צריך 604 מיליון דולר, במזומן. שנית, יש לכם רק ארבעה ימים עד ההגרלה הבאה. בארבעה ימים יש 345600 שניות, כלומר תצטרכו לקנות כמעט 900 כרטיסים בכל שניה. וכמובן, אתם צריכים לוודא איכשהו שקניתם 302 מיליון כרטיסים שונים.

נניח שעשיתם את כל זה וזכיתם. הפרס משולם לזוכה ב-30 תשלומים שנתיים. מי שרוצה כסף עכשיו ומייד, יקבל רק 57% מהסכום. צריך גם לשלם מס בסך 25%. מ-1.6 מיליארדי הדולרים יישארו רק 684 מיליון. עדיין רווח נקי של 80 מיליון דולר תוך ארבעה ימים. לא רע.

אבל… כל זאת, כמובן, אם לא יהיה זוכה נוסף בפרס הגדול.

וההסתברות שיהיה זוכה נוסף או אפילו יותר אינה זניחה. כבר ראינו כי אם נמכרים עוד כ-200 מיליון כרטיסים מלבד 302 מיליון הכרטיסים שלכם, ההסתברות כי יהיה זוכה אחד נוסף לפחות היא כ-50%. אם יהיה זוכה אחד נוסף, החלק שלכם בפרס יהיה רק 800 מיליון דולר, שלאחר ההיוון ותשלום המס יתכווצו ל- 342 מיליון, וזה כבר הפסד נקי של 262 מיליון דולר. אם הפרס יתחלק בין שלושה זוכים ההפסד יהיה גבוה יותר. לא טוב. אם היו לכם 604 מיליון דולר, האם הייתם מוכנים לקחת את הסיכון?

האם כדאי לקנות כרטיס?

אני חושב שכן. אם הייתי תושב ארצות הברית הייתי קונה כרטיס. אחד. זה שעשוע נחמד ויש סיכוי כלשהו לזכות. היכן עוד תוכלו לקנות תקווה תמורת שני דולר בלבד? (( פראפרזה על דברים שאמרו פרופ' צבי גילולה ופרופ' ישראל אומן))

איך להמר (אם אתה מוכרח)

אתם חייבים 100 אלף דולר לשוק האפור, אבל יש לכם רק 50 אלף, וצריך לשלם בערב. זה לא משנה אם יהיו לכם 50 אלף דולר, או 90 אלף, או 99,999. כל סכום קטן מ-100 אלף יגרום לתוצאות הרות אסון. הסיכוי היחיד שלכם נמצא בקזינו. אתם ניגשים לשולחן הרולטה, שם אפשר להמר על אדום-שחור. אם הימרתם בדולר אחד על אדום, והתוצאה היא אדום, תקבלו בחזרה את הדולר שלכם ודולר אחד נוסף. אם התוצאה אינה אדום ((יש עוד שתי אפשרויות – שחור וירוק)) הפסדתם את הדולר. יש לציין כי הסתברות הזכיה כאשר מהמרים על אדום היא קצת פחות מ-50%. מה הכי כדאי לעשות? מהי האסטרטגיה שתביא למקסימום את ההסתברות שתצאו מהקזינו ובכיסכם 100 אלף דולר?

שאלה דומה לזו הוצגה בעמוד הראשון של הספר הקלאסי How to gamble if you must מאת Lester E. Dubins, ‎Leonard J. Savage, andb ‎William Sudderth. כותרת המשנה של הספר היא Inequalities for Stochastic Processes, ומעידה על כך שזהו בהחלט ספר מתמטי. ההוכחה לתשובה שמייד אציג נמצאת בפרק החמישי של הספר, למי שמתעניין. כאן אנסה לתת הסבר אינטואיטיבי לתשובה.

אבל לפני כן קצת שעשועים. בסקר שערכתי בטוויטר השתתפו 46 צייצנים. הדיעות התחלקו פחות או יותר שווה בשווה בין ארבע התשובות האפשריות שהוצעו:

לפני שנדון בתשובות קצת היסטוריה, על קצה המזלג. משחקי הימורים היו נפוצים כבר בזמנים קדומים, ויש תיעוד שלהם בכל התרבויות העתיקות. מחקרים אודות הימורים ומשחקי מזל שערכו מלומדים כקרדנו במאה ה-16, כריסטיאן הויגנס במאה ה-17, ואברהם דה-מואבר ויעקב ברנולי במאה ה-18, ואחרים, הניחו את היסודות לתורת ההסתברות. למעשה, הפתרון שאציג מייד נובע מעבודה של דה-מואבר משנת 1711.

ועוד אנקדוטה (אולי משעשעת): בראשית ימיה, עמדה חברת FedEx בפני משבר. היה עליה לשלם חוב של 24,000 דולר, כשבקופתה היו 5000 דולר בלבד. יו"ר החברה ומייסדה, נטל את הכסף שבקופה, טס ללאס וגאס, הימר בשולחן הבלאק ג'ק וזכה ב-27,000 דולר. כך ניצלה החברה, והשאר, כמו שאומרים, היסטוריה. תודה לשי אלקין שהסב את תשומת ליבי לסיפור.

למתעניינים בהיסטוריה של חקר ההימורים והנחת יסודות תורת ההסתברות, אמליץ לקרוא את הספר נגד האלים מאת פיטר ברנשטיין, או את הספר הקלאסי
Games, Gods and Gambling מאת פלורנס נייטיגייל דייויד (( שאין לבלבל בינה ובין פלורנס נייטינגייל )) .

ועכשיו לתשובות.

תשובה אפשרית אחת היא שלא משנה מה עושים כי ממילא נפסיד הכל. זה נכון. ההימור נוטה לטובת הקזינו. ההסתברות לזכיה ברולטה בהימור על אדום (או על שחור) היא 18/38, בערך 47%. מי שיהמר לאורך זמן יצבור אט אט הפסדים, ומי שימשיך להמר עוד ועוד יפסיד בסופו של דבר את כל כספו.  את זה הוכיח כריסטיאן הויגנס. מי שענה את התשובה הזו בסקר צדק.

אבל חדי העין ישימו לב כי השאלה כפי שנוסחה כאן שונה מעט מהניסוח בטוויטר, גם בגלל מגבלת התוים בטוויטר ואולי גם בגלל חוסר דיוק מצידי. בואו נדון באסטרטגיה שתביא למקסימום את ההסתברות לצאת מהקזינו עם 100 דולר, כאשר מגיעים אליו עם 50 אלף דולר. כאן בגדול יש שתי אפשרויות. אפשרות אחת היא להמר מייד על כל הסכום, בתקוה שתזכה בהימור אדום-שחור וכספך יוכפל. ההסתברות לכך היא, כאמור, בערך 47%.

מה קורה אם מהמרים כל פעם על חלק מהסכום? בואו ניקח לדוגמא את האסטרטגיה הבאה: להמר על 25 אלף דולר, לקוות לזכות ועל ידי כך להגדיל את הונך ל-75 אלף דולר, ואחר כך להמר שוב על 25 אלף דולר, כאשר זכיה תביא אותך אל הסכום הנכסף של 100 אלף דולר. במקרה הטוב ביותר תגיע למטרה על ידי שתי זכיות רצופות של 25 אלף דולר כל אחת. ההסתברות לכך היא 0.47 כפול 0.47 ((בהנחה הסבירה לגמרי שאין תלות בין ההימורים )) , כלומר בערך 22.4%.

יש כמובן אפשרות שתפסיד בהימור הראשון את 25 אלפי הדולרים עליהם הימרת. עכשיו יהיה עליך להכפיל את הונך פי 4, וזה ידרוש שוב לפחות שתי זכיות רצופות ((להמר על 25, לזכות, ואז להמר על 50 ושוב לזכות )) , וההסתברות לכך היא שוב כ-22.4%.

אם מהמרים על סכומים קטנים יותר, יש צורך ביותר זכיות, וההסתברות להגיע ל-100 אלף דולר צונחת בהתאם.

זו האינטואיציה שעומדת מאחורי הקביעה כי האסטרטגיה האופטימלית היא להמר מייד על כל הסכום בתקווה להכפילו. ברנולי ודה-מואבר הבינו זאת כבר בראשית המאה ה-18. הוכחות מתמטיות מלאות לטענות קרובות הופיעו בתחילת המאה ה-20.

רק רגע, יש עוד אפשרות: לעשות משהו אחר. אפשר להמר בשיטת ההכפלות, הידועה גם בשם  שיטת המרטינגייל.

הנה הרעיון: אתה מתחיל בהימור אדום שחור על דולר. אם זכית – קיבלת את הדולר שלך בחזרה ועוד דולר אחד כרווח. אם הפסדת, לא נורא. המר כעת על שני דולר. אם זכית, אתה מקבל את שני הדולרים שלך בחזרה, ועוד שני דולרים כרווח, בסך בכל ארבעה דולרים. אבל הימרת רק על שלושה דולרים! מכאן שהרווחת דולר.

ומה קורה אם הפסדת גם בהימור השני? אין בעיה. הכפל את סכום ההימור והמר כעת על ארבעה דולר. אם זכית, תקבל שמונה דולר, אבל הימרת רק על שבעה דולר (1+2+4). הרווחת דולר.

ומה אם הפסדת בהימור על ארבעת הדולרים? אין בעיה. הכפל את סכום ההימור ל-8 דולר. אם תזכה תקבל בחזרה 16 דולר, כשהימרת רק על 15 דולר – כלומר שוב הרווחת דולר.

ומה יקרה אם הפסדת בהימור על שמונת הדולרים? אולי עדיין אין בעיה, אבל בקרוב תהיה לך בעיה.

קודם כל נתייחס לבעיה הספציפית שלנו – להגיע מ-50 אלף דולר ל-100 אלף דולר. בשיטה הזו זה ייקח קצת זמן, ותצטרך לזכות בהרבה הימורים בדרך.

כמובן, אם עומד לרשותך סכום כסף בלתי מוגבל, השיטה הזו תוביל אותך לזכיה בהסתברות 1. אבל, הסכום שעומר לרשותך (( ולרשות כל אחד, בעצם )) מוגבל, וייתכן מאוד שתגיע למצב בו אין בידיך מספיק כסף כדי להכפיל את ההימור. למעשה, אפשר להוכיח כי אם תהמר בשיטה זו לאורך זמן, תגיע למצב בו אין בידיך די כסף כדי להכפיל את ההימור בהסתברות 1.

שלישית, ברוב בתי הקזינו יש הגבלה על גובה ההימור. שיטת ההכפלות תביא אותך בסופו של דבר אל המחסום הזה ואז לא תוכל למשיך ולהכפיל את ההימור גם אם יש בכיסך את הסכום הדרוש.

באופן אישי, אם היה לי קזינו, לא הייתי מתנגד לכך שיהמרו נגדי בשיטת ההכפלה. אדרבא. אמנם מדי פעם אפסיד דולר, אך ההפסד הזה יכוסה על ידי ההפסדים של כל המכפילים שיגיעו לגבול ההימור שלהם, והפסדים אלה יהיו יותר נפוצים ויותר גדולים מדולר אחד.

אז אם אתם רוצים להמר בשביל הכיף – סבבה. אם אתם רוצים להרוויח כסף מהימורים, כדאי שיהיה לכם קזינו. והכי חשוב, אל תסתבכו עם השוק האפור.

תקציר הפרקים הקודמים: ארגון אמון הציבור מגלה טעות בסיכויי הזכיה שפורסמו באתר מפעל הפיס. מפעל הפיס מתקן את הטעות. אחד המהמרים, שהוא גם ד"ר למתמטיקה, תובע את מפעל הפיס בסכום של 3.2 מליון שקלים + 5 מליון שקלים כפיצוי על עגמת הנפש.

ובכן, לאחר שאומתו סיכויי הזכיה במשחק פיס 123 המפורסמים כעת באתר מפעל הפיס, ניתן לגשת לחישוב תוחלת הזכיה והערכת סיכויי התביעה הייצוגית.

כאשר ידועים סיכויי הזכיה וגובה הפרסים וההפסדים, החישוב הוא פשוט: מכפילים כל זכיה/הפסד בהסתברות שלה, ומסכמים.

למשל, הסיכוי לזכות בפרס הראשון במשחק המשולב הוא 1 ל-1000, או 0.001. מי שמהמר על שקל יקבל כפרס 100 שקלים, ולכן סך הרווח שלו הוא 99 שקלים. מכפילים 99 ב-0.001 ומקבלים 0.099. כל עושים לגבי שאר הפרסים, כמפורט בטבלה, ולבסוף יש לסכם את כל המכפלות.(נתוני יחס הזכיה ומכפיל הזכיה לפרסים 1 עד 4 שבטבלה נלקחו מאתר מפעל הפיס):

פרס	יחס זכיה	הסתברות זכיה	מכפיל פרס	רווח/הפסד	מחובר לתוחלת
ראשון	1:1000	0.00100	100	99	0.0990
שני	1:241.5	0.00414	25	24	0.0994
שלישי	1:37	0.02703	5	4	0.1081
רביעי	1:4.11	0.24331	1	0	0.0000
אין זכיה	1.38	0.72452	0	1-	0.7245-
סך הכל					0.4180-

השורה התחתומה אומרת כי על כל שקל הימור, מפעל הפיס מרוויח (והמהמרים מפסידים) 41.8 אגורות, ובמלים אחרות, מפעל הפיס לוקח לקופתו 41.8% מכספי ההימורים ומחלק למהמרים 58.2% מהכספים כפרסים. אל תסמכו עלי. אנא בדקו את חישוביי.

לאחר שצלחנו את החלק הטכני המשעמם הזה, הבה נעבור לניתוח סיכויי הזכיה של הד"ר למתמטיקה בתביעה הייצוגית שלו.

התובעים, כך פורסם, הציגו שתי טענות:

הטענה הראשונה היא כי מפעל הפיס הציג באתר האינטרנט שלה שסיכויי הזכיה בפרס השני הם 1:200, אולם לפי חישוביהם, הסיכוי לזכות בפרס השני הוא למעשה 1:500. את הטענה הזו אפשר לבדוק. אני חושב שכולם כבר מסכימים על כך שסיכויי הזכיה בפרס השני הם לא 1 ל-200 וגם לא 1 ל-500, אלא 1 ל-240 (בערך).

הטענה השניה היא כי לפי מפעל הפיס, תוחלת ההגרלה 123 משולב אמורה להיות בשיעור של 60.34%, כלומר 60.34% מכספי ההימור מחולקים כפרסים, אולם בפועל, כך נטען בתביעה, תוחלת ההגרלה הינה בשיעור של 58.2% בלבד (כפי שהראה החישוב שערכתי למעלה).

קודם כל, לא ברור לי איך חישוב הסתברות שגוי הוביל לחישוב תוחלת נכון. ייתכן כי חישוב ההסתברות היה נכון (בכל זאת ד"ר למתמטיקה) אולם לכתב התביעה, או להודעה לעיתונות, או לכתבה השתרבב מספר שגוי.

התובעים הנכבדים צריכים, אני מניח, להוכיח כי הפרסום השגוי נעשה בזדון ומתוך כוונה להטעות את המשקיעים המהמרים התמימים. האם יצליחו התובעים להוכיח זאת? איני יודע.

אבל הטיעון העיקרי שלי, ואני מקווה שגם של ההגנה, הוא: אז מה? ונניח שפורסם מספר שגוי, והתוחלת אכן נמוכה ממה שפורסם. האם בפועל הייתה התוחלת שונה? כללי המשחק היו נתונים, ובהנתן הכללים נקבעת התוחלת. הנזק היחיד שעלול להגרם בפועל הוא הנזק למהמר שנכנס לאתר ואמר לעצמו: "וואו, תוחלת של 60.3%! אני הולך על זה! זו לא סתם הגרלה מעפנה שנותנת רק 58.2%!". כמה מהמרים כאלה היו? על כמה כסף הם הימרו? אחרי שנדע את הנתון הזה, נוכל להעריך את הזנק שנגרם להם: 2.1% מסך הסכום שעליו הם הימרו. ההימור שלי הוא כי סך הסכום הזה הוא אפס, או כמעט אפס.

אז מה סיכויי הזכיה? לא רעים בכלל. השופטים, אנשים טובים ומקצועיים אמנם, אבל רובם לא מבין בסטטיסטיקה, פשוט כי ההכשרה שניתנת לתלמידי הפקולטה למשפטים בתחום הזה מזערית. לשקר בעזרת סטטיסטיקה אפשר גם אפשר, וייתכן מאוד שיימצא שופט שישתכנע מהטיעונים.

אני אמשיך לעקוב.

עוד לא נרגענו מההמולה סביב האירוע ה-"נדיר" בו התקבלו בהגרלת הלוטו אותם המספרים שהתקבלו באחת ההגרלות הקודמות, והנה הופיעה לה "שערוריה" חדשה סביב הגרלות מפעל הפיס. הפארסה הנוכחית הגיע לשלב בו מהמר המציג את עצמו כדוקטור למתמטיקה הגיש תביעה יייצוגית נגד מפעל הפיס.

אבל בל נקדים מוקדם למאוחר. הנה השתלשלות העניינים, כפי שהצלחתי לעקוב אחריה בשבוע האחרון:

• ארגון הצרכנים העצמאי/פרטי "אמון הציבור" טען כי מפעל הפיס הציג מצג שווא מתמשך בפרסום שלו בעניין סיכויי הזכייה במשחק "3 2 1 משולב". לפי תלונת צרכן לארגון – סיכויי הזכייה בפרסי המשחק נמוכים מאלו המפורסמים באתר הפיס. (ידיעות על כך ראיתי בווינט ובדה-מרקר). כמו כן נטען כי תוחלת  הזכיה שפורסמה באתר נמוכה מתוחלת הזכיה בפועל.
• לפי הידיעות, הסטטיסטיקאי של מפעל הפיס (לא נמסר מי האיש) אישר כי חלה טעות בפרסום, ובשלב כלשהו מפעל הפיס תיקן את הפרסום באתר. לדעת ארגון אמון הציבור, משך הזמן שעבר עד תיקון הנתונים היה ארוך מדי.
• בינתיים, צרכן זריז, המעיד על עצמו כי הוא מהמר במשחק המדובר בסכום של מאות שקלים לחודש, הגיש תביעה ייצוגית נגד מפעל הפיס בסך של 3.2 מליון שקלים. התובע גם העיד על עצמו כי הוא דוקטור למתמטיקה (לא נמסר שמו של האיש).

התייחסתי לכל העניין בגיחוך מה. בטוויטר הזהרתי את אותו מהמר/מתמטיקאי/תובע כי שייזהר, האוניברסיטה עלולה לתבוע ממנו להחזיר את הדוקטורט.

בואו ננסה להבין מה קורה כאן.

מדובר בהימור המכונה "פיס 123". המפעל מגריל מספר בן 3 ספרות, החל מ-000 ועד 999. יש 1000 מספרים כאלה. המהמר מנסה לנחש את המספר.

ההימור הפשוט ביותר הוא מסוג "הכל או כלום". אם ניחשת בדיוק את המספר שהוגרל – זכית. יש כאמור 1000 מספרים אפשריים שעשויים לעלות בגורל, ולכן סיכוי הזכיה הוא 1 ל-1000. במקרה של זכיה, הזוכה מקבל סכום הגדול פי 600 מסכום ההימור (באתר מפעל הפיס מכונה סכום ההימור בביטוי הציני "סכום ההשקעה").

תוחלת הזכיה שלילית כמובן: בטווח הארוך המהמר מפסיד ומפעל הפיס מרוויח. אפשר להסביר זאת באופן הבא: מהמר "מתוחכם", יהמר סכום של שקל אחד כל אחת מ-1000 התוצאות האפשריות (ב"השקעה" של 1000 שקלים), יפסיד את כספו ב-999 מהימוריו, ובהימור ה-1000 יקבל 600 שקלים. בסופו של יום, אותו מהמר הפסיד בסך הכל 400 שקלים.

כאמור, המהומה התקשורתית והמשפטית מתחוללת סביב משחק מעט יותר מסובך. ב"משחק המשולב", ניתן, בין היתר,  לזכות בפרס גם אם המספר עליו מהמרים אינו זהה למספר שעלה בגורל, בתנאי שההימור היה על אותן הספרות של המספר שעלה בגורל, בסדר שונה. לדוגמא, מי שיהמר על המספר 123 יוכל לזכות בפרס גם אם עלה בגורל המספר 321 או 213, וכולי. מי שהימר על 747 יזכה גם אם יעלו בגורל 477 או 774, אבל מי שיהמר על 666 יזכה רק אם יעלה בגורל המספר 666. מה הסיכוי לזכות בהימור כזה? באתר מפעל הפיס כתוב (נכון להיום) כי הסיכוי הוא 1 ל-241.5. איך מחשבים את הסיכוי?

אפשר להתחיל לחשב (עמית גל  עשה את זה בבלוג שלו). אני בחרתי בגישה אחרת, גישת מונטה קרלו, שאדגים כאן מייד. זאת לבקשת הקורא עמית (האם זהו עמית גל?) באחת התגובות לרשימה על פריז ובעיית המחט של בופון.

כל אחד יכול לעשות את זה בבית. צריך פשוט לשחק את המשחק מספר רב של פעמים. אפשר לקחת קוביה מיוחדת עם 10 צדדים (לשחקני מבוכים ודרקונים יש קוביות כאלה), או לשים בתוך כובע 10 כפתורים זהים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת הספרות 0 עד 9. מטילים את הקוביה (או מוציאים כפתור מהכובע ומחזירים אותו) 3 פעמים – זוהי הדמיה של הגרלת המספר של מפעל הפיס. אח"כ בוחרים באותו אופן את המספר עליו מהמרים. כעת אפשר לבדוק אם "זכינו". חוזרים על התהליך מספר רב של פעמים, ובודקים באיזה אחוז מהפעמים אכן זכינו. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי אחוז הזכיות בניסוי שלנו יהיה קרוב מאוד להסתברות האמיתית. משפט הגבול המרכזי מבטיח כי ההפרש בין אחוז הזכיות בניסוי ובין ההסתברות האמיתית יהיה בסדר גודל של אחד חלקי שורש מספר הניסויים. למשל, אם רוצים דיוק של אחוז אחד, צריך לחזור על הניסוי 10000 פעם.

זה כמובן עלול להיות מאוד מייגע. ניתן כמובן, לכתוב תכנית מחשב שתבצע את התרגיל הזה. כתבתי אחת כזו (בשפת SAS, לחצו כאן לצפיה בקוד), וערכתי את הניסוי מליון פעם (למחשב המקרטע שלי לקח כמעט 10 שניות לבצע את כל החישובים). התוצאות בטבלה:

סוג המספר שנבחר על ידי מפעל הפיס	מספר התוצאות	מספר הזכיות	הסתברות הזכיה	יחס זכיה מקורב
3 ספרות זהות (למשל 666)	9902	6	0.000605938	1:1650
2 ספרות זהות (למשל 747)	269580	774	0.002871133	1:348
3 ספרות שונות (למשל 123)	720518	4314	0.0059873590	1:167
סך הכל	1000000	5094	0.0050940000	1:196

השורה התחתונה אומרת כי הסתברות לנחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו היא 0.005094, שזה בערך 1 ל-196. החישוב של עמית גל הגיע לתוצאה של 1 ל-194.  בגדול, הפרסום המקורי של מפעל הפיס, לפיו סיכויי הזכיה הם 1 ל-200, היה נכון בקירוב. הפרסום הנוכחי מתאר סיכויי זכיה נמוכים יותר, ולדעתי הוא שגוי. עם זאת, גם עמית וגם אני לא לקחנו בחשבון כי מי שזוכה בפרס הראשון כבר לא זוכה בפרס השני (תודה לעמית על שהעיר את עיני על כך בתגובתו). המאורע "המהמר ניחש אתשלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו" מכיל בתוכו את המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר הנכון".  לכן, צריך להחסיר מההסתברות שקיבלנו, 0.005094, את ההסתברות לניחוש כל שלוש הספרות בסדר הנכון, 0.001, ולכן נקבל כי ההסתברות לזכיה בפרס השני, שהיא הסתברות המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו, אך לא בסדר הנכון", היא 0.004094 בקירוב, כלומר בערך 1 ל-244, ערך קרוב למדי לערך המופיע באתר מפעל הפיס (1 ל-241.5).

מהי תוחלת הזכיה במשחק כזה? מי שיהמר על שקל, ירוויח 24 שקלים בהסתברות 0.005 בערך, ויפסיד שקל בהסתברות 0.995.  זה נותן תוחלת הפסד של 0.875 שקלים. במלים אחרות – מפעל הפיס משאיר בידיו  87.5% מכספי ההימורים במשחק הזה. ובכן, בחישוב התוחלת יש לקחת בחשבון את כל הפרסים והסתברויות הזכיה בהם. על כך אכתוב בקרוב רשימה נוספת.

האמת: שום דבר מיוחד.

בידיעה שפורסמה ב-Ynet לפני כחודש נמסר כי "אותם מספרים בדיוק יצאו בשתי הגרלות לוטו ברציפות". מדובר בלוטו הבולגרי, שם המספרים 4, 15, 23, 24, 35 ו-42 הוגרלו ב-6 בספטמבר ולאחר מכן שוב, ב-10 לחודש. עוד נמסר בידיעה כי "המתמטיקאי מיכאיל קונסטנטינוב חישב ומצא כי הסיכוי לכך הוא 1 ל-4.2 מיליון". כן נמסר כי שר הספורט של בולגריה הורה לפתוח חקירה מיוחדת בנושא.

המממ.

האם באמת מדובר באירוע כל כך נדיר שמצדיק חקירה, ולא סתם חקירה אלא חקירה "מיוחדת"? האם הסיכוי ל"כך" הוא באמת אחד ל-4.2 מליון, כמו שחישב מר קונסטנטינוב?

התשובה הרבה יותר מסובכת, ועם זאת לא קשה להבנה. כמו תמיד: התשובה המדויקת תלויה בניסוח מדויק של השאלה, כלומר למה מתכוונים כשאומרים "כך". אביא תחילה את התשובות כפי שפורסמו באתר ChanceWiki (אתם מוזמנים לגלוש ולעיין בחישובים המפורטים):

• הסיכוי כי המספרים  4, 15, 23, 24, 35 ו-42 יעלו בגורל בשתי הגרלות בתאריכים נתונים (6 בספטמבר ו-10 בספטמבר) הוא בערך אחד ל-27000 מיליארד.
• הסיכוי כי בשתי הגרלות בתאריכים נתונים יעלו אותם 6 מספרים (אך לא בהכרח הצירוף הנ"ל) הוא בערך אחד ל-5.2 מיליון.
• הסיכוי כי במשך שנה שלמה, בה נערכות 104 הגרלות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות, הוא בערך אחד ל-51000.
• הסיכוי כי במשך רצף של 5400 הגרלות (הלוטו הבולגרי קיים יותר מחמישים שנה, וזה בערך מספר ההגרלות שנערכו בו) יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות הוא בערך אחד ל-970.
• הסיכוי כי באיזה הגרלת לוטו, באיזה מקום בעולם, באיזושהי נקודת זמן בתקופה של חמישים שנה בה נערכות הגרלות דו שבועיות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות וזאת בהנחה שיש בעולם כ-100 הגרלות לוטו כאלה, הוא בערך 10%.

אז מתברר שדי צפוי שמתישהו, איפהשהו, יעלו אותם מספרים בשתי הגרלות לוטו רצופות. אני מקווה שהחקירה המיוחדת של שר הספורט הבולגרי תעלה על זה.

הנה הסבר אינטואיטיבי למה שקרה באמת.

תחשבו על קוביה. הרי הגרלת הלוטו היא תהליך שבו בוחרים אפשרות אחת מתוך 5245786 אפשרויות (זה מספר הצירופים האפשריים של 6 מספרים מתוך 42, כלומר מספר הצירופים האפשריים בלוטו הבולגרי). במלים אחרות, הגרלת הלוטו שקולה להטלת קוביה עם 5245786 צדדים, ולכן הדיון העקרוני לא צריך להיות שונה מדיון בהטלה קוביה "רגילה" הדומה לקוביות שמתנוססות בראש העמוד הזה.

לקוביה רגילה יש 6 צדדים, ובהחנה שהקוביה "הוגנת", יש סיכוי שווה של שישית לכל אחת מהתוצאות האפשריות של הטלת הקוביה (התוצאות הן הספרות 1-6).

אם נטיל את הקוביה פעמיים, יש סיכוי של אחד ל-36 כי בשתי ההטלות נקבל 6, אבל הסיכוי כי נקבל בשתי ההטלות את אותו הספר, לאו דווקא 6, הוא הרבה יותר גדול, ושווה לאחד ל-6. זאת כי לתוצאה של שתי הטלות יש 36 תוצאות אפשריות, ורק אחת מהן היא 6-6, אבל 6 מתוך ה-36 הן "דאבל" (1-1, 2-2, וכן הלאה עד 6-6).

אם תטילו את הקוביה מספר פעמים, אז הסיכוי כי באיזהו שלב בסדרת ההטלות יופיע אותו מספר בשתי הטלות רצופות עולה, כי יש לכם יותר הזדמנויות לקבל שתי הטלות רצופות. אתם מוזמנים לנסות ולכתוב את כל 216 התוצאות האפשריות של סדרה של 3 הטלות קוביה, ולספור בכמה תוצאות מתקבלת אותה תוצאה פעמיים ברציפות (תוצאת ההטלה הראשונה שווה לשניה, או השניה שווה לשלישית). ככל שסדרת ההטלות תתארך, כל הסיכוי יגדל.

ואם לא רק אתם עושים את התרגיל הזה, אלא גם כמה חברים, הסיכוי כי מישהו יקבל מתישהו שתי הטלות קוביה רצופות עם אותה תוצאה שוב עולה.

מתברר כי אירועים שנתפסים בעיננו כנדירים אינם נדירים כלל ועיקר. אם אתם חולמים בלילה כח מחר ירד גשם, או שתזכו בלוטו, ולמחרת הדבר אכן קורה, מה הסיכוי לכך? הסיכוי כי אתה או את תחלמו הלילה כי תזכו בפרס הגדול בלוטו וכן תזכו בו בהגרלה הגדולה נמוך למדי. הסיכוי כי מישהו איפהשהו יחלום משהו והמשו הזה יתקיים סביר למדי.

הסיכוי כי אתם תיכנסו למסעדה בבנגקוק ותפגשו שם את איציק שעבד ביחד איתכם לפני כמה שנים ולא ראיתם אותו המון זמן הוא קטן מאוד (זה קרה לי, למעשה). הסיכוי שמישהו יכנס לאיזשהו מקום בעולם ויפגוש שם מישהו שלא ראה כבר המון זמן הוא גבוה מאוד. הסיכוי שאתם תזכו בפרס הגדול בלוטו פעמיים הוא קטן מאוד. הסיכוי שמישהו איפהשהו מתישהו יזכה בפרס הדגול בלוטו פעמיים הוא סביר, וגם זה קרה, יותר מפעם אחת. אני ממליץ לכם לקרוא את המאמר הזה שפורסם בניו-יורק טיימס כבר ב-1990. בכתבה זו מרואיינים מספר סטטיסטיקאים נודעים, ובהם פרסי דיאקוניס, ברדלי אפרון (מספר 8 ברשימת הסטטיסטיקאים הגדולים) ואריק להמן. דיאקוניס ופרדריק מוסטלר גם נתנו שם לתופעה הזו: חוק המספרים הגדולים מאוד.

פיד הרסס של del.ico.us שמסנן את כל הלינקים שתויגו תחת סטטיסטיקה והומור הינו משעממם למדי. גולשים מתייגים שוב ושוב את אותם לינקים, שבדרך כלל לא קשורים לסטטיסטיקה, וגם לא ממש מצחיקים (אותי לפחות). ובכל זאת, לפעמים אני מצליח לדוג שם דברים מעניינים.

הנה למשל הלינק Flip Flop Fly Ball. לא תמצאו סטטיסטיקה, וגם לא שום דבר הומוריסטי, אבל הוא בכל זאת יכול להעלות לכם חיוך על השפתיים, בייחוד אם אתם אוהבים תיאורים גרפיים של נתונים או בייסבול (או שניהם, כמובן). הנה למשל דיאגרמה שעונה לשאלה האם קבוצת הביססבול קליבלנד אינדיאנס אכן ראויה לשמה. הדיאגרמה שמשמאל מראה את שיעורם של התושבים האמריקניים-ילידים בתוך אוכלוסיית קליבלנד. הדיאגרמה הנוספת שמוצגת כאן משווה בין אספקטים שונים של 30 האיצטדיונים של המייג'ור ליג (MLB). לחצו על התמונה כדי לעבור לאתר פליפ פלופ ולצפות בפרטים.

את התיאורים הגרפיים האלה יצר קרייג רובינסון, חובב בייסבול מסיאטל, שלא מגביל את עצמו לבייסבול, ויוצר תיאורים גרפיים של נתונים מענפי ספורט נוספים. אם תמשיכו לשוטט באתר שלו, תמצאו עוד הרבה דברים מעניינים אחרים. אני למשל התלהבתי מהתמונה הזו, שנמצאת בפליקר שלו. זהו צילום של הלוח האלקטרוני בסיטי פארק של ניו-יורק, האיצטדיון החדש של הניו-יורק מטס:

בתמונה אתם רואים שתי פרסומות שונות שהופיעו באותו זמן על הלוח, האחת לחברת ביטוח והשניה לקזינו, שתי תעשיות שהמודל העסקי שלהן בנוי על הסטטיסטיקה, אולם ההבדל בינהן הוא… אממממ…

האמת, עד שקיבלתי היום בצהריים טלפון מאיזה עיתונאית מידיעות אחרונות, בכלל לא ידעתי שבארץ רוחשת לה קדחת טוטו – מה שמוכיח כי אני לא ממש יודע כל דבר.

אבל יש קדחת טוטו. לאחר כמה ששבועות שבהם איש לא ניחש נכונה את תוצאות כל  16 המשחקים בטופס הטוטו הפרס הראשון הגיע לגובה של 52 מליון ש"ח.

למי שלא יודע: כל שבת נערכים משחקי כדורגל. בטפס הטוטו מופיעים 16 משחקים כאלה. לכל משחק יש 3 תוצאות אפשריות: או שקבוצה אחת תנצח, או שהקבוצה השניה תנצח, או שהמשחק יסתיים בתיקו. חשבון פשוט מראה כי לשני משחקים יש בסה"כ 9 צירופי תוצאות אפשריים (אפשר לצרף כל תוצאה אפשרית מהמשחק הראשון עם כל תוצאה אפשרית מהמשחק השני), ולכן ל-16 משחקים יש כ-43 מליון צירופי תוצאות אפשריים (המספר מתקבל מהכפלת המספר 3 בעצמו 16 פעמים).

המשמעות המעשית של המספר הזה הוא שאם אדם שלא מתמצא בנפתולי עולם הכדורגל (עקרת בית מקריית שמונה, למשל, או כותב שורות אלה) מחליט למלא טופס טוטו שבו יש ניחוש אחד לתוצאות כל אחד מ-16 המשחקים, אזי יש לו סיכוי של 1 ל-43 מליון לזכות בפרס הראשון. מדובר במספר כל כך קטן,עד שהסיכוי לזכות בפרס הראשון של הגרלת ה-50 מליון של הלוטו (1 ל-2 מליון) נראה פתאום ריאלי.

אלא שבין הטוטו ללוטו יש הבדל משמעותי. בניגוד ללוטו, לא לכל התוצאות האפשריות בטוטו יש אותו סיכוי להתקבל. בשבת הקרובה, למשל, תשחק בית"ר ירושלים מול קבוצת הפועל כפר סבא, המייצגת את עירי בליגת העל. גם בלי להבין יותר מדי בכדורגל אני יודע שהכף נוטה לטובת הירושלמים עתירי הממון והכוכבים, וכי הסיכוי שהם ינצחו במשחק גבוה הרבה יותר משליש. גם מהמרי הטוטו יודעים את זה. השאלה מה קורה במשחקים יותר מאוזנים, שבהם יחסי הכוחות בין הקבוצות לא ברורים כמו במקרה הזה. הסוד של הטוטו הוא ביכולת לשכנע את המהמרים שהם יכולים להגדיל את הסיכוי שלהם לזכות בזכות הידע וההתמצאות שלהם בתחום הכדורגל.

אם למשל, מומחה כדורגל יכול בעזרת הידע שלו להגדיל את הסיכוי לנחש נכונה את תוצאת כל משחק משליש לחצי, הרי שהסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל 16 המשחקים מזנק ל-1 ל-65000 "בלבד", כלומר הסיכוי שלו גדול פי 660 בערך מהסיכוי של מנחש "רגיל".

השאלה היא, כמובן, עד כמה מגדיל הידע את הסיכוי לניחוש נכון. אני סבור שהתוספת לא משמעותית. לו היא הייתה כזו, היינו רואים הרבה יותר זכיות, ובודאי שהפרס הראשון לא היה מצטבר לגובה כזה. ייתכן וחלק מקוראיי יחלקו על דיעה זו, וכיוון שאין בידי כל נתונים לגבי אחוזי הזוכים ביחס למספר הטורים שנשלחו, אין באפשרותי לערוך ניתוח מדוייק יותר. נימוק נוסף שאני יכול לגייס הוא בכך שהטוטו מרוויח, ולכן לא ייתכן כי סיכויי הזכיה גבוהים מדי – הרי צריך לשמור על תוחלת רווח שלילית (למהמר).

אז איך בכל זאת אפשר לזכות בטוטו? יש עובדה אחת בדוקה: הסיכוי של מי ששולח טופס הימור גדול לאינסוף מהסיכוי של מי שלא מהמר. אז מי שרוצה – מוזמן להמר. רק זכרו נא כי מדובר בהימור, משחק, ולא בהשקעה. בהצלחה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 20 במרץ 2008  שם התקבלו 4 תגובות

עמית  [אתר]  בתאריך 3/21/2008 1:36:52 AM

רק הערה קטנה

הטוטו מרוויח בלי קשר לסיכויי הזכיה, כי הוא מקצה רק כ 50% מההכנסות ממכירת טפסים לצורכי פרס, והפרס הראשון (וגם הבאים האחריו) מתחלק בין המנחשים נכונה. כלומר, אן מצב שהטוטו ישלם יותר מ52 מיליון שקל עבור הפרס הראשון בלי קשר לכמות הזוכים. נהפוך הוא, בגלל שהפרס כה גדול, יש סיכוי שימולאו הרבה יותר טפסי טוטו, מה שיגדיל בהרבה את ההכנסות בלי להגדיל את ההוצאות, כך שלמרות שהסיכוי שמישהו יזכה גדל בעקבות כך, כך גם הסיכוי שהכנסות הטוטו יגדלו.

אלעד יאיר  [אתר]  בתאריך 3/22/2008 8:04:34 AM

אכן

בשבוע בו יצליחו רבים לנחש את תוצאות כל המשחקים, הפרס הראשון עדיין יהיה רק אחד והוא יתחלק בין כל המנחשים.
מאידך, הואיל וקיימים "מומחים" רבים, כאשר ישנה "הפתעה", ונגיד במקרה שהזכרת בית"ר ירושלים ינוצחו ע"י כפ"ס, הרי, רבים מהם ייפלו ולכן הסיכוי קטן (בכמה? אם כולם "מומחים", אזי כולם ייפלו. בפועל, זה יהיה שונה, אני מניח. בכל מקרה, יש להם 16 משחקים ליפול בהם).
ומעל לכל, ספורט, כתחביב לצפייה והימורים, בניגוד לעשייה ופעילות, הוא רע לדעתי.

נועם  [אתר]  בתאריך 3/24/2008 5:54:04 PM

יש גם כפולים ומשולשים

או איך שהם לא קוראים לזה. אתה יכול, בתוספת תשלום, לסמן שתיים או שלוש אפשרויות לאותו משחק. למשל, אם אתה חושב שביתר ינצחו או שיהיה תיקו, תסמן את שתי האפשרויות האלה, וכו'.
כמובן שיש הגבלה (אין לי מושג כמה, ההבנה שלי בטוטו/כדורגל דומה לשלך) לכמה משחקים אתה יכול למלא כך בטור, אחרת היית יכול לנצח תמיד.
בקיצור, כל מה שרציתי לומר – העניין הזה מוסיף קצת סיבוך כשבאים לחשב סיכויים ותוחלת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/25/2008 8:18:41 AM

כפולים ומשולשים

כפולים ומשולשים הם רק שיטת כתיבה מקוצרת – המשמעות של כפול הוא הכפלת סכום ההימור, ושל משולש – שילושו.

להלן מספר מכתבים מעניינים שקיבלתי בתקופה האחרונה, ותשובותיי

איפה הכסף?

יובל כותב:
שלום, עקבתי אחר המאבק המוצדק שלך ברעיון להעלאת שכר הלימוד, וחשבתי שאולי תתעניין בכתבה הבאה. על פי הכתבה, קרן קיסריה שבבעלות משותפת של הברון רוטשילד והמדינה קיבלה ומקבלת הטבות מס עצומות, וכן סיוע בהשתלטות על קרקעות מדינה יקרות, אך מתחמקת מהתחייבויות לתמוך בהשכלה הגבוהה. התחיבויות אלו אינן "נדבה" של הקרן אלא הסיבה שהיא מקבלת את ההטבות ואת השליטה על אדמות מדינה כה יקרות. אולי אם במשרד האוצר היו לוקחים את הכסף המגיע להשכלה הגבוהה משם לא היה צורך לשלוח את ידי האוצר לכיסי הסטודנטים. בברכה, יובל

יובל,
הכתבה מדברת בעד עצמה. רבות מהבעיות שניצבות בפנינו, ובמיוחד סוגיית עתיד ההשכלה הגבוהה, אינן בעיות כספיות – יש הרבה כסף ציבורי פנוי להשקעה. טיפוח האקדמיה וההשכלה הגבוהה היא השקעה לכל דבר, ואף השקעה משתלמת במיוחד, כפי שכבר הבהרתי ברשימות קודמות שכתבתי כאן. מהכתבה מתברר שלאידיאולוגיה הניאו-ליברלית הקיצונית והמנטאליות של ניהול חנות מכולת השוררות בממשלתנו, חברה גם שחיתות פשוטה. זו ארצנו.

עץ או פלי?

איתי כותב:

אהלן יוסי, אני קורא את הרשימות שלך באופן קבוע ואני מאד נהנה מכך. יש לי שאלה שאני בטוח ששמעת עשרות פעמים בעבר,אך אני נאלץ לשאול אותה שוב, בשביל לסיים ויכוח עם חבר. נניח שיש מטבע שהסיכוי שלו לעץ ופלי הוא שווה, חצי וחצי. נניח שהטילו את המטבע עשרים פעמים ובכולם יצא פלי – האם: יש הבדל בין הסיכוי לעץ והפלי בהטלה ה 21 ? אחד מאיתנו אומר – ששניהם 50% וזה ממש לא משנה מספר ההטלות לפני לכן זה לא משנה אם הוא יאמר עץ או פלי שניהם באותו סיכוי בדיוק. השני אומר ששניהם 50% אבל בגלל שהסיכוי שרצף הטלות הפלי ימשיך, יורד אחרי כל הטלה נוספת, הוא היה מעדיף להמר על העץ אשמח לשמוע מקור בר סמכא שיפתור את המגבלות ההסבר והידע שלנו בנושא סטטיסטיקה והסתברות תודה רבה !
איתי,

אם המטבע אכן הוגן (סיכויים שווים לעץ ולפלי) אז גם בהטלה ה-21 הסיכויים שווים. השחקן שמטיל את המטבע זוכר את רצף ההטלות שהתקבל, אך למטבע עצמו אין זכרון. בתי קזינו מנצלים את זה כדי לעשות כסף. האסטרטגיה האופטימלית בהימור, למשל ברולטה, שם אפשר להמר בכל פעם על אדום או שחור, למשל, היא להגריל בכל פעם את הצבע עליו אתה מהמר. מי שיתפתה לעקוב אחרי סדרות ועל ידי כך יסטה מהאסטרטגיה האופטימלית, ירוויח פחות (או יותר נכון: יפסיד יותר).

אבל שאלה יותר מעניינת היא: אם אתה לא בטוח שהמטבע הוגן – מה הסיכוי שתמשיך להאמין בכך אחרי 20 הטלות רצופות של פלי?  ומה אם ההטלה ה-21 תהיה בכל זאת עץ? מה תהיה עכשיו הערכתך לסיכוי של המטבע ליפול על פלי? יש ענף שלם בסטטיסטיקה שמנסה לענות על שאלות כאלה – סטטיסטיקה בייסיאנית. הסטטיסטיקאי הבייסיאני יאמר לך כי לאחר 20 הטלות רצופות של פלי, הוא לא מאמין כי המטבע הוגן, אלא כי ההסתברות שלו ליפול על פלי היא 0.954 בערך (שזה 21 חלקי 22). באם בהטלה ה-21 אכן יצא עץ, הוא יעדכן את ההסתברות של המטבע לפילו על פלי ל-0.913 וכן הלאה.

הסטטיסטיקה הבייסיאנית היא עולם בפני עצמו, והידע שלי בתחום מועט יחסית. אני מתכוון כבר זמן רב להקדיש רשימה לנושא, אבל לא מצליח להגיע לזה. אציין רק שלתחום יש יישומים רבים בתחומים מגוונים, החל במדעי המחשב וכלה בתכנון ניסויים קליניים.

דאבל לוטו

a8145060, שמנהל את הקומונה המעניינת לוטו ומשחקי מפעל הפיס בתפוז כותב:

הנה רעיון חדש לכתיבה באתר שלך. מפעל הפיס דאבל לוטו משחק הפיס הוציא משחק חדש,בשם דאבל לוטו, אם משתתפים במשחק במידה שזכית,סכום הפרס מוכפל פי 2. גם מחיר הטבלה מוכפל פי 2 והוא עומד על 5.4 ש"ח ומה כל זה אומר? אותי לימדו בסטטיסטיקה שאם הכל מוכפל פי 2 אז התוחלת נשארת אותו הדבר, כלומר אותו ,ותסלחו לי, זבל של משחק ששום דבר לא השתנה בו OK דבר אחד השתנה אנשים מוכנים לשלם על טבלת לוטו מחירים שעוררים ביחס לעולם. בעולם מחיר טבלת משחק כמו לוטו שווה דולר והפרס הנמוך ביותר שווה ל10 דולר בערך
תשובה,

השתנה הרבה מאוד. אם כולם יבחרו באופציית ההכפלה, אז תוחלת הזכייה (או יותר נכון, תוחלת ההפסד) גם היא תוכפל פי שתיים, וזה משמפעל הפיס רוצה בסופו של דבר. יותר הימורים, בסכומים גבוהים יותר, משמעותם רווחים גדולים יותר למפעל הפיס (והפסדים גבוהים יותר למהמרים).

סופר לוטו

חנוך כותב
למר לוי שלום שמי חנוך, וקראתי באתר כמה מהמאמרים שלך, בימים אלו אני עומד לפתוח במדינה מסויימת חברה להגרלות לוטו, מכיוון שכך הייתי מעוניין לקבל ממך מספר שיעורים בנושא (במידה ואתה יכול לעשות את זה) לגבי הסיכויים בהגרלות סטטיסטיקות וכל מה שקשור לנושא. אני מקוה שיש באפשרותך לעזור לי בנושא… בכבוד רב חנוך

שלום חנוך,

יש רק דרך אחת לעשות כסף מלוטו, ואתה עלית עליה – יש רק מרוויח אחד בלוטו – וזה מי שמפעיל אותו. אני מאחל לך הצלחה. עם זאת איני עוסק בייעוץ פרטי, ולכן לא אוכל לעזור לך, למרות הפיתוי הכספי הגדול (הייתי מבקש אחוזים, כמובן….)

איך לעשות כסף מסטטיסטיקה

רובי כותב
שלום שמי רובי ואני מאוד רוצה שתעזור לי או תכוון אותי למישהוא שיוכל לעזור לי במימוש חלומותי. אני מאמין שבעזרת סטטיסטיקה והסתברות אפשר לעשות כסף אני פשוט לא יודעה איך לשלב את הנוסחאות עים הנתונים שיש לי. מודה לך מראש רובי

רובי,

ראה תשובתי לחנוך. יש עוד דרכים לעשות כסף מסטטיסטיקה מלבד ניהול עסקי הימורים – אתה יכול למשל גם לפתוח חברת ביטוח (אופס, זה בעצם אותו דבר – הנה נושא לעוד רשימה) או קרן פנסיה. גם אני עושה כסף מסטטיסטיקה, דרך אגב. אמנם לא מיליונים, אבל בהחלט חי בכבוד.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 באוקטובר 2007  שם התקבלו 13 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 10/10/2007 11:37:26 PM

הסטטיסטיקה הבייסיאנית תשתלט בסופו של דבר

על הססטיסטיקה השכיחותית (זו המילה הנכונה לfrequencies?). כבר היום יש מעבר של יותר ויותר כתבי עת לסטטיסטיקה בייסינאית, ובעיקר הפחתה בחשיבותם של מבני מובהקות. מבחני מובהקות לא ממש בודקים את ההשערות שאנחנו מעוניינים בהם בצורה ישירה מה שהסטטיסטיקה הבייסינאית כן עושה. יש לה כמובן גם חסרונות והיא יותר קשה ל"עיכול" אבל אני חושב שהיא תנצח בעוד דור או שניים.

יובל אחר  בתאריך 10/11/2007 8:45:16 AM

בעניין קרן קיסריה

נראה לי שיובל מסתמך על הכתבה הזו.

לשם ההגינות, יש לציין שקרן קיסריה תרמה למספר מוסדות השכלה גבוהה (ביניהם אוניברסיטת חיפה והאוניברסיטה הפתוחה).
למיטב הבנתי הויכוח הוא על שיעור התרומות, ולא על האם הן קיימות.

עופר  בתאריך 10/11/2007 9:32:47 AM

ללא נושא

ברולטה אין שום הבדל בין להמר על אותו צבע כל הזמן או להגריל את הצבע כל פעם מחדש. בכל מקרה תוחלת הרווח (ליתר דיוק ההפסד …) היא קבועה.
אם אתה מחויב להמר ברולטה, נאמר על סכום מצטבר של 1000 שח ,האסטרטגיה הטובה ביותר היא להמר על כל ה1000 שח ביחד ולא לחלק אותם להרבה הימורים קטנים.תוחלת הרווח לא משתנה אבל ההסתברות שתזכה דווקא גדלה (חוק המספרים הגדולים לא משפיע)

דני  [אתר]  בתאריך 10/11/2007 4:46:40 PM

שתי הערות

קודם כל, אני מסכים עם עופר לגבי ההימור ברולטה. בניגוד למה שכתבת, כל עוד הרולטה אכן אקראית ואתה מהמר בסכום קבוע בכל סיבוב – אין משמעות לבחירת אסטרטגיית ההימור שלך.
דבר שני, לא הבנתי את החישוב הביסייאני שעשית. הבעיה בסטטיסטיקה בייסיאנית היא שכדי להעריך את ההסתברות הפוסטריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Posterior_probability) אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Prior_probability), וזאת כמעט אף פעם לא ידועה כשבודקים השערות בעולם האמיתי. למשל, במקרה של הטלת המטבע אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית שהמטבע מוטה לפלי בכל הסתברות שהיא (זו לא טעות… הכוונה היא להסתברות שמשהו יקרה בהסתברות).
למשל, תדמיין מצב שבו אומרים לך שיש שתי ערמות של מטבעות, אחת נופלת על פלי בסיכוי 90% ואחת נופלת על פלי בסיכוי של 10%. במקרה אחד בוחרים בסיכוי 50-50 מבין שתי הערמות האלה ואז מבצעים את הניסוי שמתואר בשאלה, ובמקרה השני בוחרים בסיכוי 75-25 מבין שתי הערמות (לטובת הראשונה) ואז ממבצעים את הניסוי.
ברור שבכל אחד מהמקרים האלה ההערכה שתינתן (אחרי הניסוי) למידת ההטיה של המטבע ע"י סטטסיטיקאי בייסיאני תהיה שונה. לכן, לא ברור לי מה ההסתברות הפריורית שהשתמשת בה עבור החישוב שעשית. אם השתמשת בהסתברות אחידה לכל הטיה – לא ברור בכלל מדוע זה הדבר הנכון לעשות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:19:06 PM

תשובה לדני

החישוב הבייסיאני שערכתי מתבסס על התפלות אפריורית אחידה של ה-p- על הקטע [0,1[
כמובן שההנחה על ההתפלגות האפריורית היא בעייתית – זו אכן הביקורת העיקרית על הגישה הבייסיאנית, ולכן אני סבור, בניגוד לגיל, שהסטטיסטיקה הבייסיאנית לא "תנצח" בסופו של דבר.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:21:52 PM

ועוד תשובה לדני

בעניין אסטרטגיות ההימור: אכן, יש כמה אסטרטגיות שמביאות לאותה תוצאה "אופטימלית" – כלומר ממזערות את תוחלת ההפסד (ואני מתעלם כאן מהאסטרטגיה של המנעות מהימור). אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.

דני  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 2:25:11 AM

שאלה

אוקי, עכשיו סיקרנת אותי 🙂
בהינתן שמהמרים בכל סיבוב רולטה על סכום קבוע, תוכל בבקשה להסביר (או לתת הפניה) מדוע אסטרטגית הימור שבה מגרילים אדום או שחור מביאה לתוחלת רווח שונה מאסטרטגיה שבה בוחרים תמיד אדום, למשל? (או לחילופין, כל פונקציה שהיא על הטלות עבר)
על פניו נראה לי שתוחלת הרווח תהיה זהה בכל אחד מהמקרים, כיוון שתוצאת הרולטה אקראית.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 9:41:06 AM

סטטיסטיקה בייסיאנית

אוסיף ששימוש נפוץ ומוצלח בסטטיסטיקה בייסיאנית בחיי היום-יום של רובנו הוא מנגנוני הסינון של דואר הזבל ("ספאם") שמסווגים דואר לפי הסתברות. ממציא היישום הזה של ס' בייסיאנית הוא פול גראם (Paul Graham).

אלעד  בתאריך 11/8/2007 4:56:39 PM

השתגענו?!

בתור דוקטור למדמ"ח, שעוסק בהשתברות לא מעט, אני מסכים עם דני וחושב שיוסי לוי טועה. יוסי טען ש"אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.". זה נראה שגוי לחלוטין. לא משנה אם בכל שלה בוחרים להמר על אדום או שחור, בלי תלות בהיסטוריה יש הסתברות בדיוק שווה לזכות בכל מקרה. לכן, גם אם ההחלטה שלנו על איזה צבע להמר תלויה בהיסטוריה, עדיין זה לא משנה ותוחלת הזכיה נשארת שווה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 11/10/2007 5:42:58 PM

תשובה לאלעד ולדני

במקום לצעוק שאני טועה, אני מזמין את כל מי שמעוניין להציג אסטרטגיית הימור שתשיג תוצאה טובה יותר (בתוחלת) מהאסטרטגיה לפיה בכל הימור בוחרים את הצבע עליו מהמרים בהסתברויות שוות לאדום ושחור.

דני  [אתר]  בתאריך 11/20/2007 4:43:42 AM

ובכל זאת

היי יוסי,
מדי פעם אני חוזר לפוסט הזה כדי לבדוק האם התחדש משהו בסוגית הרולטה (מסקרנות… אני אשמח להיות מופתע ולגלות פתרון שלא חשבתי עליו).
התגובה האחרונה שלך לא ברורה לי. הטענה של עופר, שלי ושל אלעד היא לא שיש אסטרטגיה טובה יותר מהימור בהסתברויות שוות, אלא שכל אסטרטגיה טובה באותה מידה.
למשל, תוחלת הרווח אם תהמר תמיד על אדום זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בכל פעם באקראי, וזו זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בהתאם לכל פונקציה שהיא על תוצאות העבר – כמובן, כל זאת בהנחה שהרולטה אכן אקראית ושמהמרים בכל סיבוב באותו סכום קבוע (הנק' האחרונה חשובה, למשל, כדי להמנע מפרדוקס סט. פטרסבורג).
בקיצור, אני טוען כי התשובה לאתגר שהעלית בתגובה האחרונה היא שלא קיימת כזו אסטרטגיה. לעומת זאת, אני מזמין אותך (או כל קורא אחר) להציג אסטרטגיה שתשיג תוצאה גרועה יותר מהימור אקראי, ותעמוד בשני התנאים שלמעלה (אקראיות הרולטה, סכום שווה בכל סיבוב).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:09 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:19 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

הידיעה הבאה התפרסמה בתחתית עמוד 19 של "ידיעות אחרונות" ביום רביעי שעבר (19.9.2007):

אי אפשר להתווכח עם העובדות – לאיש אכן היה מזל. מעניין אותי לדעת כמה אנשים הרגישו שלמספרים שלהם יש מזל ועקב כך הימרו עליהם בסכומים גבוהים, ולא זכו. את הנתון הסטטיסטי הזה, אני מניח, מפעל הפיס לא יספק לנו.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 23 בספטמבר 2007  שם התקבלו 6 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 8:37:16 AM

לא הבנתי מה המזל בזה

מה זה משנה אם הוא שלח טופס אחד אם אותם מספרים או טפסים שונים? בסופו של דבר הוא היה זוכה באותו פרס כי הוא מתחלק בפרס הגדול עם עצמו לא? (אלא אם כן יש זוכים נוספים בפרס הראשון).

שגיאB  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 9:56:10 AM

לי זה ישר הדליק אור אדום!!!

מי ממלא 20 טפסים עם אותם מספרים?

עידו  בתאריך 9/23/2007 9:59:44 AM

לגיל

בהגרלת 777 הפרס הראשון הוא 70,000 על ניחוש כל המספרים. הפרס לא מתחלק בין הזוכים (כלומר, אם יש כמה כרטיסים זוכים אז כל אחד מכרטיסים זוכה ב-70,000 ש"ח).

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 10:23:10 AM

תשובה לגיל

קל לודא שגם אם הפרס הראשון מתחלק בין כמה זוכים, עדיין מי שישלח שני טפסים זהים יזכה ביותר כסף (למשל, אם יש שני זוכים, הם יתחלקו חצי חצי, אבל אם אחד משני הזוכים שלח זני טפסים הוא יקבל שני שליש והזוכה השני רק שליש.

אורי כהן  בתאריך 9/23/2007 1:23:15 PM

באמת נראה כמו התקפת מידע פנימי

אם מישהו גילה כי אפשר לרמות בהגרלת 777, ככה בדיוק זה אמור להראות:
– 777 היא הגרלה קטנה, בניגוד ללוטו, ולכן ייתכן שיש למפעל הפיס פחות מנגנוני הגנה.
– הוא מרוויח בה הרבה יותר משמפעל הפיס חוזה שמישהו ירוויח, וזה כבר נראה מספיק
כדי לשלם למי שעזר לו לרמות (שמסכן את משרתו + כמה שנים בכלא). עבור עשרות אלפי שקלים זה לא סביר, עבור מאות אלפי- אולי.
כמובן אין לי מידע… אם אני מפעל הפיס הייתי שוכר חוקר פרטי.

a81450606  בתאריך 10/8/2007 2:51:06 PM

הסתבריות פיס 777

באתר הזה תמצאו את ההסתבריות למשחק פיס 777
http://www.johnph77.com/keno/israel.html
השורה התחתונה היא שהתוחלת המשחק היא 60% בקירוב
פיס 777 הוא אחד מן המשחקים הרווחים של הפיס (מחוץ הלוטו)
מעוינינים בפורום לוטו?
http://www.tapuz.co.il/Communa/usercommuna.asp?CommunaId=2160

כנסו כנסו! (אחד שיודע)

כתבתה של נופר סיני בדה-מרקר על הגרלות הלוטו צוטט חתן פרס נובל לכלכלה, פרופ' ישראל אומן, שאמר בהתייחסו לנושא: "אנשים לא קונים טפסי לוטו, הם קונים את הזכות לקוות".

בשבוע שעבר הייתי בחופשה בנהריה, ובעת ששוטטתי בשדרות הגעתון ראיתי אנשים רבים קונים טפסי לוטו. האם פרופ' אומן שיקר? כמובן שלא. הוא פשוט בחר לבטא במלים אלה את הדעה כי אנשים קונים כרטיס לוטו לא בגלל תוחלת הרווח הכספי הצפויה להם ממנו, אלא בגלל ה"תועלת" הנובעת ממנו.

כל סטודנט לכלכלה מכיר את המונח "פונקציית תועלת" (חפשו בגוגל ותראו מה תמצאו). פונקציית תועלת היא מן מונח ערטילאי – נסו לקרוא את ההגדרה שלה – שמאפשרת לכלכלנים לכמת את ההעדפות האישיות של הצרכנים, באופן תיאורטי לפחות. כך ניתן להצדיק פעולה כלכלית שאולי עדיפה פחות מבחינה כספית לעומת אלטרנטיבה כפעולה "רציונאלית".

למשל, ניתן לחשב ולמצוא כי עדיף מבחינה כלכלית לקנות רכב פרטי ולהשתמש בו לעומת האלטרנטיבה של קבלת רכב ליסינג ממקום העבודה (בהנחות מסוימות). דוגמא אחרת היא הדילמה של רכישת דירה או מגורים בשכירות – לפעמים עדיף כך (מבחינה כספית) ולפעמים אחרת. ובכל זאת, רוב האנשים מעדיפים רכב ליסינג וקניית דירה.

הכלכלנים יסבירו לכם שאולי מבחינה כספית מגורים בדירה שכורה עדיפים על קניית דירה, אך את ההשוואה אין לערוך במונחי כסף אלא במונחי "תועלת". בעשרות אלפי הדולרים שתשלם יותר עבור דירה משלך אתה קונה "תועלת". אם קנית דירה במקום לשכור אחת למרות שמבחינה כספית אופציית השכירה זולה יותר ב-50,000 דולר (סתם), אות הוא כי התועלת הנובעת מקניית הדירה "שווה לך" את אותם 50 אלפי הדולרים.

מדוע הכלכלנים מעדיפים את התועלת על פני הכסף? ובכן, ובתחילת שנות השבעים פרסמו שני מדענים אלמונים מישראל, עמוס טברסקי ודניאל כהנמן, סדרה של מאמרים, ובהם ערערו את עקרון הרציונאליות, העומד בבסיס הכלכלה המודרנית. "הכלכלה המודרנית הניחה שאנשים 'מכוילים' על רציונאליות, ושהסטיות ממנה הן מקריות. העבודות שלנו (של כהנמן וטברסקי – י.ל.) מלמדות שהטעויות הן לא מקריות, ושהמקור שלהן הוא בדרך החשיבה של בני אדם", אמר כהנמן בראיון להארץ, זמן קצר לאחר זכייתו בפרס נובל לכלכלה. את הסטיות מהרציונאליות אפשר להצדיק על ידי קיומה של "תועלת" ערטילאית, שמשנה את המאזן הכולל, וממלאת את הפערים בין ההחלטות.

בואו נחזור ללוטו ולפרופ' אומן. פרופ' אומן יודע היטב כי תוחלת הרווח הצפוי מהשתתפות בהגרלת הלוטו היא שלילית. אפשר להתווכח על גובה הסכום – אולי הפסד של חמישה שקלים לטבלה, אולי פחות, אבל בשורה התחתונה מפעל הפיס מרוויח. כולם יודעים את זה (טוב, כמעט כולם). אז למה אנשים קונים כרטיס? לאנשים כדאי לקנות כרטיס, אומר אומן, כי התועלת הנובעת מקניית הכרטיס שווה להם יותר מחמשת השקלים לטבלה שיפסידו, קרוב לודאי, בהגרלה עצמה. איפה אפשר לקנות תקווה בחמישה שקלים? רק במפעל הפיס.

אז הנה הטרנסקציה: אתה ניגש לדוכן, משלם חמישה שקלים (או 5000, או משהו באמצע) ומקבל חתיכת נייר שמאפשרת לך לפנטז במשך חודש בערך על מה שתעשה אחרי ש-50 מליון שקלים (בניכוי מס) ייכנסו לחשבון הבנק שלך.

מה עשו כל האנשים שקנו כרטיס להגרלה בנהריה ביום שני בערב, שעתיים לפני ההגרלה? הם משלמים את חמשת השקלים עבור פנטזיה שתימשך שעתיים בלבד? כמובן שלא. הם פינטזו על הסכום מרגע ששמעו על ההגרלה, ובאו לשלם עבור התקווה, שכבר השתמשו בחלק ממנה, ברגע האחרון.

בבדיחות הדעת שאלתי את בניי, שהיו עימי, אם כדאי לי לקנות כרטיס. "אבא, אתה סטטיסטיקאי", אמר אחד מהם, "אתה יודע שהסיכוי לזכות אפסי". מה שנכון נכון. לא קניתי כרטיס, וכמובן כבר לא זכיתי. אבל זה לא הפריע לחלום על הכסף במשך השבועיים שקדמו להגרלה. התקווה שלי התפוגגה ביום שני, 2.7.2007, בשעה 10 בערב, כאשר נכנסתי לחדרי במלון ללא כרטיס הגרלה, שהרי לא רכשתי אחד. התקווה של 99.99% מהמהמרים התפוגגה שעתיים מאוחר יותר, כאשר התפרסמו תוצאות ההגרלה. ההבדל הוא שהם שילמו מכספם עבור ה"תועלת" – אותה זכות לקוות עליה דיבר פרופ' אומן. אני קיבלתי את התועלת הזאת בחינם. פיצחתי את השיטה.

 

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 8 ביולי 2007 שם התקבלו 14 תגובות

התגובות מתפרסמות על דעת ובאחריות כותביהן בלבד.

פנחש מוואי  בתאריך 7/8/2007 10:48:43 PM

ללא נושא

השיטה שלי היא אחרת
אני ממלא שתי קוביות. בשתיהן אני ממלא את אותם המספרים.
ככה, אם אני זוכה ויש איתי עוד זוכה, אני לוקח שני שליש.
במילא הסיכוי הוא אפס. אז אני נהנה גם מהחלום הנוסף של התהילה. הוא לקח 2/3 באותו מחיר (זניחים שני השקלים האלו).
תודה שהשיטה שלי טובה יותר.
עכשיו אחרי שהודית. אני אשכלל לך אותה לפי שיטתך. אני לא ממלא כלל. כלומר שיטתי שמורה עמי (ועכשיו עמכם). אני יודע שכשאמלא אזכה בשני שליש (אם יש שני זוכים כאמור). לכן כבר אין טעם למלא. כי הזכיה בטוחה.
וכדי להיות בטוח שאי זכייתי לא היתה לשווא אני מוודא כי אכן אנשים וחייהם מתרסקים לתפארת לאחר זכייה. ואני מאושר שזכיתי בחיי הפשוטים והצנועים בלי לשלם דבר. כך גם לא פשטתי רגל ואיבדתי את מיטב חברי וגם זכיתי בשני שליש הכסף.
ובגלל שאתם נחמדים אני אגלה לכם את הטריק האמיתי לזכייה ולניחוש של מספרי הלוטו.
אז ככה, במקום לנחש אילו מספרים זוכים ועולים בגורל, נחשו אילו מספרים לא יזכו. הרבה יותר קל לנחש 45 מ-52 מאשר 7 מ-52. לא? כי ממילא אתם מנחשים כל שבוע את המספרים שלא זוכים (אחרת לא הייתם ממשיכים למלא), לכם פשוט נחשו אותם בריכוז עילאי. בסיום בחירת 45 המפסרים שלא סומנו החליפו אקראית 3 מספרים (למזליסטים מביניכם שמדי פעם מנחשים 3 מספרים). זהו. זאת כל השיטה.
אני מקווה שמפעל הפיס לא יתרגז ויפסיק את ההגרלות. אבל השיטה עובדת. הנה, ראו אותי. לא ממלא וזוכה בחיי עבודה ואושר עם זוגתי וילדיי ואפילו חברי ומשפחתי המורחבת. ללא ריבים על כסף וללא קנאה. כי מה יש לקנא במי שאין לא?
יש לי מספיק. תודה.

באנדר  בתאריך 7/8/2007 10:50:29 PM

האם פיצחת את השיטה?

רק אם האמנת לעצמך שאכן תקנה כרטיס הגרלה.
מכיוון שאתה אדם ראציונאלי, וודאי חזית מראש שבסופו של דבר לא תקנה כרטיס, ולכן חלומך נפגע.
אני מציע לך את השיטה הבאה, סכם בינך לבין עצמך שאתה אכן תיקנה כרטיס, אם רק תצליח להטיל קוביה פעמים רצוף על 6.
כך תוכל לאחוז בתקווה ממשית, והתוחלת של ההשקעה תהיה נמוכה בהרבה משל אדם שקונה את הכרטיס ישר בקופה.

חן  בתאריך 7/9/2007 2:11:17 AM

כמה נקודות לחשיבה

ראשית, פוסט מרתק. נקודה אחת שרציתי להתמקד עליה היא ה"תועלת" בהשתתפות בהגרלת הפיס. אם חלקכם זוכרים, בשנות ה-70 וה-80 (ובודאי בשנותיה הראשונות של המדינה), הפרסים היו צנועים יותר והדגש היה על התרומה של הפרט (אשר רוכש כרטיס פיס), לטובת פיתוחה ויישובה של המדינה. הסיסמה הרווחת באותם ימים: "אתה זוכה, המדינה זוכה". ודומה שאת התמימות והנאיביות של אותם ימים, החליפה החומרנות, התקווה להיות מליונר צעיר והפרסים הגדולים והמפתים אשר מציעים לנו. ובכלל אפשר להגיד שהיום מוכרים לנו יותר פנטזיות מאשר אידאלים וערכים. סתם נקודה למחשבה…

גיל  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 2:20:08 AM

מה שאתה מתאר נכון חלקית

רוב אלו שממלאים לוטו או טוטו באים מהשכבות הנמוכות ורובם לא מודעים להסתברויות הנכונות. בתפיסה שלהם יש באמת סיכוי ממשי לזכייה. גם הרבה מאוד אנשים שכן מודעים לסיכויים האמיתיים כביכול לא פועלים לפיהם כי התחושה הטבעית שלהם היא שהסיכויים גדולים יותר. גם נראה שסכום כסף גדול מעוור את האנשים לגבי הסיכויים האמיתיים ויש לו אפקט הילה שקשה להשתחרר ממנו (למה אנשים ממלאים יותר דווקא כשיש פרס גדול, הרי הסיכויים לזכות לבד דווקא קטנים אז).

יורם גת  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:43:25 AM

כמו שנדמה לי שאתה רומז

הטלאת תאוריית התועלת באמצעות הדיבורים על "הזכות לקוות" אינה משכנעת. הרי לקוות אפשר תמיד – גם מי שלא רכש כרטיס יכול לקוות לזכות בפרס אם ככתוצאה מטעות הקלדה, או כתוצאה ממותו הפתאומי של קרוב רחוק שכן רכש כרטיס.
התיאוריה שלי היא שהמוח האנושי אינו בנוי לתפוס הסתברויות נמוכות כמו מליונית, שהרי במהלך התקופה בה התפתח המוח האנושי לא היה לבני האדם שום מקור מידע שיכול היה לספק הסתברויות שכאלה. לפיכך, ומאחר שמערך הפרסום של הפיס דואג להזכיר לציבור שההסתברות לזכות גדולה מאפס, המוח האנושי מעגל את ההסתברות כלפי מעלה, לסביבות האלפית, נאמר. ביחס סיכויים שכזה, ההשתתפות בהגרלה עשוייה להיות רציונאלית.

ירון  בתאריך 7/9/2007 9:54:48 AM

אפילו שהרעיון נחמד…

א. יש הבדל גדול בין למלא או לא למלא. זה ההבדל בין לחשוב הכל בראש או לבצע זאת בפועל. לקנות כרטיס הגרלה זה לפעול בעולם, אפילו אם זה רק לנסות והסיכויים נמוכים. זה בערך כמו מישהו שיש לו רעיון מאוד טוב לעסק, אבל הוא נשאר בראש שלו ולא עושה איתו כלום. אם הוא יחליט לעשות משהו בעניין הסיכויים שלו להצליח הם כך וכך, אבל אין לו את הסיכויים האלה אם הוא לא יעשה כלום. אותו דבר עם מישהו שרוצה לכתוב ספר וכו'. יש גם הבדל פסיכולוגי משמעותי אם אתה בפועל קונה כרטיס בסוף.
ב. אני חושב שהשיקול המשמעותי הוא הסטטיסטיקה האישית של כל מי שממלא: או שאני אזכה או שלא אזכה – לא יודע אם יש כאן סיכוי של 50-50 לזכות, אבל בטוח שאם אזכה, זאת תהיה זכייה ב100 אחוז (ואני לא מתכוון ל100 אחוז מהכסף). זה מזכיר לי את אחד משיעורי ההסתברות שנתנו לי פעם בתואר הראשון, כשהמרצה הציג בעיה על ציור קווים בעיגול ששאלה על הסיכויים להיווצרות תכונה גיאומטרית מסויימת (לא זוכר בדיוק). ואז היו שני פתרונות עם סיכויים שונים לגמרי, תלוי אם מרחב המדגם הוא נקודות החיתוך עם המעגל או הזוויות שנוצרות בין הקווים. אני לא זוכר בדיוק את השאלה אבל אני זוכר שהרושם היה עז: איפה באמת נמצאים הסיכויים הנכונים?

דרור שניר  בתאריך 7/9/2007 11:15:41 AM

ללא נושא

והשאלה האמיתית היא כמובן, למה לנפוש בנהריה? ועוד בתקופת החום והלחות הנפלאה הזו?
(באנדר, רעיון יפה.)

בתאריך 7/9/2007 12:09:43 PM

ללא נושא

ויש כמה שלא ניצחו את השיטה, רק הרויחו כמה מיליונים. חבל שהם לא כל כך חכמים.

טל ירון  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:06:20 PM

ללא נושא

מצויין….
תחשוב כמה כסף הרווחתי מכך שלא מילאתי מאות טפסים במשך החיים. לפחות כמה עשרות אלפי שקלים. איזה עשיר אני….

נ'  בתאריך 7/9/2007 8:00:50 PM

רציונליות, אי רציונליות

יש לי השגות על הגדרת הרציונליות בהקשר זה. אי אפשר לדעתי לפטור את קניית כרטיסי ההגרלה שסיכויי עלייתם בגורל נמוך כ"כ ב'אי רציונליות'. אנו חוזרים כאן לפוסט היפה במיוחד שלך אודות המודל התיאורטי והמציאות. כיוון שבפועל יש זוכים אי אפשר לייחס אי רציונליות לפעולת הקנייה, לדעתי.
אני, אגב, לא קניתי כל כרטיס; אולי אני נעדרת קצת רציונליות.

אלי  בתאריך 8/18/2007 4:59:07 PM

החלופה להגרלה – בורסה

לפני כמה עשרות שנים התערבתי עם חבר לעבודה שרצה כי אשתתף בהגרלה כמו כולם. התערבתי איתו על 10ל"י (של אז…) כי כל פעם שלא יזכה – יתן לי 10 ל"י. אם יזכה – אתן לו את סכום זכייתו. בסכום שקבלתי (כל שבוע כמובן…) קניתי קרן נאמנות "מרגלית". הסיכוי שלו היה – או הכל, או כלום. שלי – גם אם יהיו ירידות, חלק יישאר לי. אחרי חצי שנה – (בהן הוא רק שלם לי) הפסיק את ההתערבות. ואז עשה חישוב, כי לו לא היה מבזבז כספו על מפעל הפיס – היה כבר יכול להחליף את מכוניתו הישנה…

אביתר  בתאריך 8/19/2007 1:04:17 PM

למעשה – מס נוסף

הכי גרוע – שבכסף שמפעל הפיס מרויח על גב קוני הכרטיסים, הוא משתמש בשביל לחלק בתי ספר, מתנ"סים, מבני ציבור וכו', בשיטת התרומות והנדבות, וכל זה במקום שהמדינה תבנה אותם איפה שבאמת צריך. למה על בניין בית הספר של הבת שלי צריכה להתנוסס בענק הכתובת "נבנה על ידי מפעל הפיס", או יותר גרוע "בית ספר פיס" – הרי המדינה, דרך משרד החינוך, היתה צריכה לממן ולבנות את בית הספר הזה.
אני בעיקרון איני קונה כרטיסי הגרלה, כי כל עוד המערכת עובדת ככה, עדיף שלמפעל הפיס יהיו כמה שפחות תקציבים לחלק ולא כמה שיותר.

הראל  בתאריך 8/23/2007 10:49:44 AM

למרות תוחלת רווח שלילית

אנשים "משקיעים" בגלל מה שנקרא "שווה ערך ודאי" מונח הקשור לתחום תורת התועלת של פון-נוימן ומורגנשטרן
הכוונה היא שיש לאדם פונקציית תועלת (הנמדדת במונחי תועלת- ולא במונחים כספיים) הולכת ופוחתת
שווה הערך הוודאי הוא אותו הסכום הוודאי שאדם יסכים לשלם/ לקבל במקום סכום שהוא אמנם גדול יותר (כמו למשל פיס) אבל מועד תשלומו העתידי אינו ידוע.
שווה-הערך הוודאי מחושב מתוך השוואת התועלת מקבלת סכום ודאי זה לתוחלת התועלת מקבלת התקבול האי-ודאי וקשור לפונקציית התועלת האישית של כל אחד ואחד
מקרה דומה אבל הפוך ניתן לראות למשל בביטוח, אדם ישלם היום סכום שעל פי ערך התועלת שלו קטן מאשר קרות מקרה הביטוח. אם חברת הביטוח תעלה את הפרמיה יותר ויותר, יהיה שלב שאותו אדם לא ישלם פרמיה למרות הסיכון בגלל שאותו "ערך ודאי" כבר גבוה מתוחלת ההפסד שתהיה לו במקרה של ביטוח

גילי נחום  [אתר]  בתאריך 3/10/2008 2:33:48 AM

פצח את השיטה אם פטיש

אם אתה לשקר לעצמך שתקנה כרטיס, בעוד שברור לך אפריורית שלקראת סגירת ההגרלה לא תרכוש אותו,
אז כבר שקר לעצמך שזכית ב- 50 מיליון וסגור עניין.