חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

משחקי הכנסת

אני מניח שכולכם מודעים למצב הפוליטי הנוכחי, שבו הגוש המעוניין להקים ממשלה שבראשה לא יעמוד בנימין נתניהו מורכב ממספר לא קטן של מפלגות בגודל בינוני עד נמוך. במצב הזה, מספר אנים טוענים כי עליהם לקבל את המנדט להרכבת הממשלה ולעמוד בראשה, וביניהם יאיר לפיד (יש עתיד, 17 חברי כנסת), בני גנץ (כחול לבן, 8 חברי כנסת) ונפתלי בנט (ימינה, 7 חברי כנסת).

אני לא הולך לנהל כאן דיון פוליטי, דעותיי הפוליטיות ידועות. הפוסט הזה נכתב כי מישהו הזכיר לי היום בטוויטר את הפוסט משחקי המשילות שכתבתי לפני כשבע שנים, ועסק במושג “ערך שאפלי”, המחשב את כוחן היחסי של המפלגות בהרכבת קואליציות אפשריות. לא אחזור כאן על כל ההסבר, אבל אתן דוגמה קיצונית שתבהיר את המצב: נניח שבכנסת מיוצגות 3 מפלגות. לשתיים מהן יש 59 ח”כים כל אחת, ולשלישית שני ח”כים. במצב הזה כל שתי מפלגות יכולות להקים קואליציה ולהשאיר את השלישית באופוזיציה, ולכן ערך השאפלי של כל מפלגה הוא שליש.

אבל יש כאן טוויסט: ערך שאפלי הוא סימטרי ואינו מבדיל בין ימין לשמאל. נניח ששתי המפלגות הגדולות הו מפלגת ימין ומפלגת שמאל, ואינן יכולות להגיע להסכמה על קואליציה ביניהן. המפלגה הקטנה היא מפלגת מרכז, ויכולה להצטרף לכל אחת משתי המפלגות האחרות להקמת קואליציה. במילים אחרות: היא לשון המאזניים. זה נותן לה יתרון על שתי המפלגות האחרות, ולכן היא תובעת לעצמה את תפקיד ראש הממשלה. מה עושים?

על פניו, התביעה מוצדקת, לפחות באופן תיאורטי – לתורת המשחקים יש גם מושגי פתרון אחרים שיתנו לה את הבכורה. באופן מעשי? כבר היו דברים מעולם.

אז הנה: בכנסת התיאורטית שלנו הוקמה קואליציית ימין-מרכז או שמאל-מרכז לפי טעמכם, ובראשה הממשלה עומד מנהיג מפלגת המרכז. איך ממשיכים מכאן? אפשרות אחת היא להקים ממשלה פריטטית, כמו ממשלת נתניהו-גנץ. למרבה הצער התברר שזה מתכון לצרות, גם בתוך הממשלה וגם בכנסת. המפלגה הקטנה ככל הנראה לא תצליח למצות את כל ערך השאפלי שלה, כי, מה לעשות, ערך שאפלי מתייחס לנקודה ספציפית בזמן, ואילו המדינה צריכה להמשיך להתנהל בהובלת הממשלה והכנסת גם לאחר הקמת הקואליציה.

עד כאן הדיון הפילוסופי, ועכשיו אשחק קצת במספרים, באדיבות מחשבון ערך השאפלי של דניס ליץ’ מאוניברסיטת וורוויק. אבל לפני שנתחיל, עלי להזהיר אתכם כי אם אתם מצפים לתובנות חדשות על המצב הפוליטי, אל תעצרו את נשימתכם. מה שתראו כאן זה רק משחקים במספרים שימחישו את יתרונות והחסרונות של ערך שאפלי כמדד להערכת כח פוליטי.

הנה ערכי שאפלי של כל אחת ממפלגות הכנסת:

מפלגהחברי כנסתערך שאפליכח נומינלי
הליכוד3030.2%25.0%
יש עתיד1714.0%14.2%
ש”ס96.6%7.5%
כחול לבן86.3%6.7%
ימינה75.4%5.8%
העבודה75.4%5.8%
יהדות התורה75.4%5.8%
ישראל ביתנו75.4%5.8%
הציונות הדתית64.5%5.0%
הרשימה המשותפת64.5%5.0%
תקווה חדשה64.5%5.0%
מרצ64.5%5.0%
רע”מ43.5%3.3%

אפשר לראות כאן כל מיני דברים מעניינים. למשל מספר חברי הכנסת של הליכוד, 30, הוא 25% מסך חברי הכנסת, אך ערך השאפלי של הליכוד גבוה יותר וערכו כ-30%. ערך השאפלי של יש עתיד שווה בערך לכוחה הנומינלי בכנסת, שהוא כ-14%. לכל שאר המפלגות ערך שאפלי נמוך יותר מהכוח הנומינלי.

כל זה קורה לפני שמתחילות להיווצר קואליציות. כרגע, למיטב ידיעתי יש לנו שתי קואליציות: גוש אחד הוא גוש הימין שכולל את הליכוד, ש”ס, יהדות התורה והציונות הדתית, בסך הכל 52 חברי כנסת.

הקואליציה השניה היא “גוש השינוי”, שלא ברור מהו. הגוש הזה כולל את יש עתיד, ישראל ביתנו, העבודה, מרץ, תקווה חדשה, וביום טוב גם את כחול לבן, ומונה 43 או 51 חברי כנסת. מצבה של הרשימה המשותפת לא ברור. ברור לי שהיא תתנגד לממשלה בראשות גוש הימין, אבל האם היא תוזמן להצטרף לממשלה בהובלת גוש השינוי? האם היא תתמוך גם אם לא תצורף? האם היא תימנע בהצבעה? לצורך הדיון בלבד אני אצרף את כחול לבן ואת הרשימה המשותפת לגוש השינוי, שימנה לכן 57 חברי כנסת.

ועשיו נותרנו עם ימינה ורע”ם, ששומרות את הקלפים צמודים לחזה. כל זה מוביל אותנו לכנסת עם ארבעה גושים/סיעות, והנה טבלת ערכי השאפלי שלהם:

גוש/מפלגהחברי כנסתערך שאפליכח נומינלי
שינוי5750.0%47.5%
ימין5216.7%43.3%
ימינה716.7%5.8%
רע”ם416.7%3.3%

כמובן שקואליציה מוקמת בסופו של דבר לפי מספר חברי הכנסת ולא לפי ערכי שאפלי, ולכן השאלה הגדולה היא האם גוש השינוי יצליח לנצל את ערך השאפלי המוסף שלו (2.5%) כדי לצרף אליו את רע”ם או את ימינה ולהקים ממשלה[1] ? הוא יוכל לעשות את זה אם הגוש יפעל כגוש.

אבל מה קורה כשבגוש השינוי אין הסכמה? כרגע הנושא המרכזי הוא המלצה לנשיא לגבי המועמד לקבלת המנדט. למיטב ידיעתי[2] חלק מתכוונים להמליץ על יאיר לפיד בפני הנשיא, גנץ חושב שהוא האיש הראוי, ולא ברור מה חושבים בתקווה חדשה וברשימה המשותפת. ולכן, במשחק האחרון לפוסט הזה אפצל את הגוש, ונראה מה קורה:

גוש/מפלגהחברי כנסתערך שאפליכח נומינלי
ימין5250.0%43.3%
שינוי מצומצם3713.3%30.8%
כחול לבן810.0%6.7%
ימינה76.7%5.8%
הרשימה המשותפת66.7%5.0%
תקווה חדשה66.7%5.0%
רע”מ46.7%3.3%

התוצאה הלא מפתיעה: כאשר כחול לבן ותקווה חדשה עדיין אינן מוכנות להמליץ לנשיא להטיל את המנדט על יאיר לפיד, הן מחזקות את כוחן היחסי, אבל המחיר הוא חיזוק משמעותי של גוש הימין. יותר מכך, אם הן לא ימליצו להטיל את המנדט על יאיר לפיד, הרי שעל פניו (או לפחות על פי ערך שאפלי) האדם בעל הסיכוי הטוב ביותר להקים ממשלה הוא מנהיג גוש הימין.

האם כל זה טוב או לא? אני מניח שכל אחד יסיק מסקנות אחרות בהתאם לדעותיו הפוליטיות. לכן אני מבקש מכולם לא לקיים את הדיון הפוליטי כאן.


הערות
  1. וזאת בהנחה שאנשי ימין בגוש השינוי יסכימו לשיתוך הרשימה המשותפת ורע”ם בקואליציה בצורה כזו או אחרת []
  2. לא שמעתי חדשות מאז הבוקר []

סקירה על סקרים – הקלטת מפגש הזום

בעקבות ההתפתחויות הפוליטיות, נושא מפגש הזום האחרון של נסיכת המדעים היה “סקירה על סקרים”, ובו דנתי במשמעות של טעות הדגימה, הצגתי הטיות ומניפולציות אפשריות, וייעצתי מה כדאי לבדוק כאשר קוראים סקר.

ניתן לצפות בהקלטת המפגש בערוץ היוטיוב של נסיכת המדעים. למעבר ישיר להקלטה לחצו כאן. צפיה נעימה!

סטטיסטיקה בבית המשפט – הקלטת מפגש הזום

אשה חפה מפשע הורשעה ברצח, רוצחת מורשעת זוכתה בערעור, אדם הורשע ברצח ללא ראיות הקושרות אותו ישירות למעשה – הכל בגלל טעויות בסטטיסטיקה.

נושא מפגש הזום האחרון של נסיכת המדעים היה “מעבר לספק סביר – סטטיסטיקה בבית המשפט”. ניתן לצפות בהקלטת המפגש בערוץ היוטיוב של נסיכת המדעים. השקפים של המצגת זמינים בעמוד המצגות.

ממתינים לתוצאות הסופיות

אני מניח שכולכם יודעים מה קורה/קרה בבחירות בארה”ב בשנת 2020.  תהליך ספירת הקולות נמשך על פני מספר ימים, וכל מה שאפשר לעשות זה לעקוב אחרי התהליך: מי מוביל הספירה באיזו מדינה ובכמה. דוגמה אקראית מבוקר כתיבת שורות אלה: הכותרת של כלכליסט היא “הדרמה בארה”ב: כמעט שוויון בפנסילבניה ובג’ורג’יה, טראמפ מצמצם הפער באריזונה“.

יש נקודה חשובה שמשום מה מתעלמים ממנה: ההצבעה הסתיימה, ותוצאות הבחירות כבר נקבעו. רק שאנחנו עדיין לא יודעים מי ניצח כי לא סיימו לספור את כל הקולות.[1].

כל הדרמה הזו הזכירה לי בעיה ישנה  מסוף המאה ה-19, שנקראת פשוט “בעיית הבחירות” (The ballot problem). הניסוח מאוד פשוט. שני מועמדים מתחרים בבחירות. אם מוציאים את פתקי ההצבעה מהקלפי זה אחד זה באופן אקראי, מה הסיכוי כי המועמד שקיבל את רוב הקולות יוביל לאורך כל מהלך הספירה?

הקישור שהופיע בפיסקה הקודמת יוביל אתכם לעמוד בויקיפדיה שבו תוכלו לקרוא על ההיסטוריה של הבעיה הזו, ועל כל מיני דרכים שנמצאו כדי לפתור אותה. אפשר למשל לנסות לרשום/לספור את כל המהלכים האפשריים של ספירת הקולות, ואת כל המהלכים האפשריים שבהם המנצח מוביל לאורך כל הספירה. אפשר להשתמש באינדוקציה מתמטית. הפתרון המקורי השתמש בנוסחת נסיגה. אני רוצה להציג כאן פתרון אחר  שמבוסס על הפתרון של המתמטיקאי הצרפתי Désiré André.

סיפורנו מתחיל בעיירה ציורית במרכז אילינוי, שם מתגוררים כמה אלפי אנשים, ויש בה רק קלפי אחת. הם בוחרים באחד משני המתמודדים לנשיאות, בואו נקרא להם ג’ו ודונלד. כל קשר לפוליטיקה מקרי לחלוטין. בחרתי בשם ג’ו מכיוון שכאשר התגוררתי בארה”ב האמריקאים הכירו אותי בשם ג’ו, ובשם דונלד כי בין היתר יש לי אוסף מפואר של כ-150 ברווזים.

נניח שג’ו קיבל A קולות, ודונלד קיבל B קולות, ובאופן מסתורי אנחנו יודעים את הערכים המספריים של A ו-B לפני שהתחילה ספירת הקולות, ואנחנו גם יודעים כי A גדול מ-B, כלומר ג’ו ניצח. מה הסיכויים שג’ו יוביל לאורך כל תהליך ספירת הקולות?

יש מספר תרחישים אפשריים. נתחיל במקרה הכי קל: הפתק הראשון שהוצא מהקלפי הוא של דונלד. דונלד מוביל, ולכן ג’ו לא מוביל לאורך כל הספירה. הסיכוי לתרחיש הזה הוא B/(A+B).

עכשיו בואו נשים לב כי מכיוון שג’ו ניצח, אם דונלד מוביל בשלב מסויים, אז בנקודת זמן כלשהי לאחר מכן ייווצר שיוויון קולות, כי ג’ו קיבל יותר קולות. הנה דוגמה לתרחיש אפשרי שבו זה קורה:

מספר הקולות
שנספרו
למי ניתן הקולהיתרון של ג’ו
1דונלד1-
2דונלד2-
3דונלד3-
4ג’ו2-
5דונלד3-
6דונלד4-
7ג’ו3-
8ג’ו2-
9ג’ו1-
10ג’ו0

מה שקורה אחר כך לא ממש משנה. כל תרחיש שבו הקול הראשון הוא קול לדונלד מגיע בנקודה כלשהי לשוויון בספירה, וההסתברות לתרחיש הזה היא כאמור B/(A+B) . אפשר לתאר את התרחיש הזה בגרף הבא:

מה קורה אם הקול הראשון שנספר ניתן לג’ו? כאן ג’ו מוביל בתחילת הספירה, ולאר מכן יש שתי אפשרויות: או שג’ו ימשיך להוביל לאורך כל הספירה, או שבשלב מסויים ייווצר שיוויון בקולות.

בואו נוסיף לגרף שלנו תרחיש אפשרי שבו ג’ו מתחיל להוביל, אבל לאחר מכן הספירה מגיעה לשוויון:

אני לא בחרתי את התרחיש הזה באופן מקרי! התרחיש השני (הכחול) הוא השיקוף של התרחיש הראשון (האדום). למעשה, לכל אחד מהתרחישים שבהם דונלד מוביל בתחילת הספירה (לאחר שהקול הראשון נספר), יש תרחיש מקביל שבו ג’ו מקבל את הקול הראשון שנספר והספירה מגיעה לשוויון. גם ההיפך נכון: לכל אחד מהתרחישים שבהם ג’ו מוביל בתחילת הספירה (לאחר שהקול הראשון נספר) והספירה מגיעה בשלב כלשהו לשוויון, יש תרחיש מקביל שבו דונלד מקבל את הקול הראשון שנספר ואז הספירה חייבת להגיע לשוויון.

לכן ההסתברויות לשני סוגי התרחישים – תרחיש שבו דונלד מוביל בתחילת הספירה, ותרחיש שבו ג’ו מוביל בתחילת הספירה אך אינו מוביל לאורך כל הספירה – שוות, וכל אחת מהן שווה ל- B/(A+B). אם נחבר אותן נקבל את ההסתברות לתרחיש שבו ג’ו אינו מוביל לאורך כל הספירה, והסתברות זו שווה ל- 2B/(A+B).

מכאן קל לחשב כי ההסתברות שג’ו יוביל לאורך כל הספירה שווה ל-1 פחות ההסתברות שהוא לא יוביל לאורך כל הספירה, כלומר ל- (A+B)/(A-B).

שימו לב כי התוצאה היא בעצם ההפרש בין מספרי הקולות שניתנו למועמדים חלקי סך כל הקולות. מעניין, אבל לא בהכרח אינטואיטיבי.

אתם מוזמנים להמשיך להחזיק אצבעות למען המועמד המועדף שלכם.


הערות
  1. איזה קולות סופרים? זו שאלה אחרת שחורגת מתחומי העניין של הבלוג הזה []

על תבונה, רגישות ודברים אחרים – הקלטת מפגש הזום

הלכתם לקופת החולים וביצעתם בדיקה כלשהי. אמרו לכם שהדיוק של הבדיקה הוא 90%. מה זה אומר בעצם? איזה שאלות אתם צריכים לשאול את הרופא (או לברר עם ד”ר גוגל?) ואם אתם מחפשים בגוגל – מה בדיוק צריך לחפש?

אתמול ערכתי את מפגש הזום שני של נסיכת המדעים שעסק באבחנות רפואיות ובאופנים בהן ניתן להעריך את איכותן ואת המשמעות של התוצאות שהתקבלו.

הקלטת המפגש זמינה לצפיה בלינק https://www.youtube.com/watch?v=08F96yeDUzI

מקווה שתיהנו