חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

הסקה סיבתית ומציאות חלופית

גישת “המציאות החילופית” שגובשה על ידי דונלד רובין באמצע שנות השבעים היא אחת משתי הגישות המובילות היום בתחום של הסקה סיבתית. הביטוי “מציאות חלופית” הוא התרגום שלי למונח counterfactual, שמקורו בגישה של דייויד יום שסקרתי בפוסט הראשון בסדרה. כזכור, יום טען כי יש להסיק סיבתיות על ידי השוואת מה שקרה בפועל למה שהיה עשוי לקרות אילו הייתה ננקטת פעולה אחרת מזו שננקטה. עקב כך, טען יום, אי אפשר לקבוע אפקט סיבתי, כי אנחנו לעולם יכולים לצפות במה שהיה קורה אילו. יום צודק כמובן. אבל, האם אפשר לעקוף את הבעיה?

רובין הסתייג מהשימוש במילה counterfactual, ומעדיף את הביטוי potential outcome או “תוצאה פוטנציאלית” בעברית. הסיבה לכך, מסביר רובין, היא שיש  counterfactuals שלא ניתן לצפות בהם,  אפילו לא באופן תיאורטי. הדוגמה שלו היא כי אין שום אפשרות תיאורטית לצפות בגובה שלך בגיל 3 אילו נולדת בקוטב הצפוני. לעומת זאת, אם מדובר בשני טיפולים אפשריים למחלה כלשהי, יש מראש אפשרות לצפות בשתי התוצאות: תוצאה אחת אם החולה יקבל טיפול אחד, תוצאה אחרת אם החולה יקבל את הטיפול השני, ואנחנו[1] יכולים להחליט באיזו תוצאה אנחנו רוצים לצפות. אתם יכולים להחליט לצפות בגובה של עצמכם בגיל 3 אילו נולדתם בקוטב הצפוני עד מחר. יש אולי יקום מקביל שבו זה קורה, אבל אין שום אפשרות לצפות בו.[2]

אתן כאן סקירה מאוד קצרה של ההיסטוריה של גישת התוצאה הפוטנציאלית. באופן לא מפתיע, הראשונים שהעלו את הרעיון בהקשר סטטיסטי היו רונלד פישר וג’רזי ניימן. פישר העלה את הרעיון בקצרה במאמר שהופיע ב-1918. הוא דן ברעיון הזה גם בספריו המשפיעים על שיטות מחקר ותכנון ניסויים שיצאו לאור בשנות העשרים של המאה הקודמת. אולם, כפי שרובין הדגיש כאשר נשא את ההרצאה השנתית של שם פישר ב-2004, הרעיון שהעלה פישר לא הבשיל לפורמולציה מתמטית. האדם הראשון שהציע תיאוריה מתמטית של תוצאות פוטנציאליות בהקשר של הסקה סטטיסטית היה ניימן, בעבודת הדוקטורט שלו מ-1923, שנכתבה בפולנית.[3] רובין הרחיב את העבודה של ניימן, ומתווה זה מכונה היום בשם Neyman-Runbin Framework, מונח שטבע יהודה פרל, ולעיתים רק בשם מודל הסיבתיות של רובין.

בואו נחזור לאדם שנולד אולי בקוטב הצפוני. אנחנו אולי יכולים לקחת קבוצה של אנשים שנולדו בקוטב הצפוני ולהשוות אותה לקבוצה של אנשים שנולדו במקום אחר, אבל האם נוכל להסיק מכך על סיבתיות כלשהי? התשובה היא לא, לפחות לא על פי מתווה ניימן-רובין. האנשים שנולדו בקוטב הצפוני שונים באופן מהותי מאלה שנולדו באפריקה, למשל.

ניזכר בסטנדרט הזהב להוכחת סיבתיות: ניסוי מבוקר בהקצאה רנדומלית. אם אנחנו רוצים לבדוק האם תרופה כלשהי גורמת לשיפור במצבו של חולה, אנחנו יכולים לערוך ניסוי קליני כדי לבדוק את זה. אם נמצא כי מצבם של החולים שטופלו היה בסופו של דבר יותר טוב ממצבם של החולים שלא טופלו והיוו את קבוצת הביקורת, נוכל להסיק כי התרופה גרמה לשיפור הזה.

מה בדבר מכשירי האידוי לטבק? האם אנחנו יכולים לבצע ניסוי קליני מבוקר בהקצאה רנדומלית כדי לבדוק את ההשפעות הבריאותיות של המכשירים הלאה? אנחנו לא יכולים לעשות את זה, אבל הסיבות לכך הן אתיות, לא יישומיות. סביר להניח שאפשר לערוך ניסוי כזה בצפון קוריאה, אם השלטונות שם יחליטו שזה מעניין אותם.

ומה ההשפעה של מקום הלידה על הגובה של אדם? או ההשפעה של המין הביולוגי של אדם על משהו שמעניין אותנו? אפילו קים ג’ונג און לא יכול לקחת קבוצה של אנשים, ולהקצות למחציתם כרומוזום Y באופן רנדומלי.

בבסיס מתווה ניימן-רובין נמצאת הטענה/אקסיומה שאין סיבתיות ללא התערבות: No causation without manipulation. ההתערבות היא שמאפשרת לנו את היכולת לצפות בתוצאה פוטנציאלית, ואנחנו יכולים להחליט באיזו תוצאה לצפות על ידי ההתערבות שבה ננקוט. אם אנחנו לא יכולים להתערב ולשנות את הגורם שחשוד כגורם סיבתי, אנחנו לא יכולים להחליט באיזה תוצאה פוטנציאלית אנחנו רוצים לצפות. רובין תיאר את זה יפה בהרצאה שנתן כאשר ביקר בארץ לפני כמה שנים: כאשר יש לכם נתונים תצפיתיים ואתם רוצים לבדוק האם גורם כלשהו, עישון למשל, הוא גורם סיבתי, בררו קודם כל אם הייתם יכולים לערוך ניסוי מבוקר בהקצאה רנדומלית כדי לבדוק את זה, אילו הייתם דיקטטורים כל יכולים. אם לא, אין טעם  להמשיך הלאה.

כאן רק מתחילות הבעיות.

ניימן ורובין קובעים כי אפקט הוא סיבתי אם התוצאות הפוטנציאליות שונות זו מזו. לדוגמה, אם חולה מבריא אחרי שקיבל את התרופה, ומת אם הוא לא קיבל אותה, אז אנחנו יכולים להסיק כי התרופה גרמה להחלמת החולה.

אבל, אל תשכחו את דייויד יום. גם אם אפשר להתערב ולהחליט באיזו תוצאה פוטנציאלית רוצים לצפות, אנחנו יכולים לצפות רק בתוצאה פוטנציאלית אחת. או שאנחנו נותנים לחולה את התרופה, ואז רואים מה קרה לו לאחר שהוא לקח אותה, או שאנחנו לא נותנים לו אותה ואז אנחנו רואים  מה קורה לו כשהוא לא מקבל את התרופה. אי אפשר גם וגם. זוהי הבעיה היסודית של ההסקה הסיבתיתThe fundamental problem of causal inference, מונח שטבע פול הולנד ב-1986. אנחנו לא יכולים לצפות באפקט הסיבתי של גורם על אדם.

מה שאנחנו כן יכולים לעשות זה לנסות לצפות באפקט הממוצע באוכלוסייה מסויימת. יש לזה מחיר, או מחירים, שצריך לשלם. הולנד מביא כמה דוגמאות מעניינות במאמר שלו מ-1986. למעשה, בכל פעם שאנחנו מסיקים מסקנה סיבתית כלשהי, כגון “אם לא תלבש סוודר אתה תצטנן”, אנחנו מניחים משהו באופן לא מודע, כדי לעקוף את המחסום של יום. בפוסט הבא בסדרה אסקור את ההנחות המקובלות בהסקה סיבתית מתוך מחקרים תצפיתיים.

מקורות

Statistics and Causal Inference – Paul W. Holland, 1986

Causal Inference Using Potential Outcomes: Design, Modeling, Decisions – Donald B. Rubin, 2005

הפוסטים הקודמים בסדרה


הערות
  1. כלומר הרופא בהתייעצות עם החולה []
  2. לאיש שיושב באמצע השורה הראשונה, נע בחוסר נוחות בכיסא שלו ומצביע כי הוא רוצה לשאול שאלה: אני תיכף אחזור לזה []
  3. סביר להניח שניימן לא הכיר את המאמר של פישר מ-1918 []

17 משוואות ששינו את העולם

לפני כשנה קראתי את הספר “17 משוואות ששינו את העולם” מאת איאן סטיוארט, וכתבתי את רשמיי בסדרת ציוצים בטוויטר. פוסט זה מבוסס על סדרת הציוצים ההיא וסוקר את שבעת הפרקים הראשונים של הספר. למה רק שבעה? התשובה בסוף הפוסט.

לפני הכל, כמה מילים על המחבר. בשתי מילים: איאן סטיוארט. סטיוארט הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת וורוויק באנגליה. הוא כתב הרבה ספרים העוסקים במתמטיקה שמיועדים לקהל הרחב, ואני מברך אותו על כך. קראתי מספר ספרים שהוא כתב, והם נמצאים על מדפי הספרייה שלי. הוא יודע מתמטיקה, והרבה, אין ספק. גם בפיזיקה הוא לא קוטל קנים. אבל לדעתי יש לו בעיה ככותב. הוא טרחן ונסחף בקלות. הוא רוצה לספר סיפורים, וזה מצויין, אבל לעיתים הוא סוטה מהנושא, ו/או נכנס לדיונים טכניים מיותרים. בספר הזה יש עוד בעיות, לדעתי לפחות.

הפרק הראשון של הספר עוסק במשפט פיתגורס.  סטיוארט  מסביר כמובן מה המשפט אומר ומסביר מה השימושים שלו. זה אכן משפט מאוד שימושי, וסטיוארט מפרט את ההתפתחות בשימושים שלו לאורך השנים. סטיוארט גם סוקר את ההיסטוריה של המשפט, שהיה מוכר עוד הרבה לפני תקופתו של פיתגורס.

הוא מנצל את ההזדמנות לדון גם באוקלידס ובגאומטריה שפיתח, ואז מתחילות הבעיות. כאשר הדיון הגיע אל האקסיומה החמישית של אוקלידס, הלא היא אקסיומת המקבילים. סטיוארט לא מצליח להסביר באופן בהיר מהי המשמעות שלה, אלא נתפס לניסוח המסורבל של אוקלידס. הוא מציין כי לא ניתן להוכיח את האקסיומה מתוך האקסיומות שקדמו לה, וזה נכון, אבל שוכח משום מה להזכיר כי גם לא ניתן לסתור אותה, וזה כל העניין כאן. העובדה שהאקסיומה בלתי תלויה באקסיומות האחרות היא מה שמאפשרת את החלפתה באקסיומה אחרת. זה שלא מצליחים להוכיח משהו לא מספיק כדי להצדיק את זניחתו. מכיוון שלא הבהיר כהלכה את הנקודה הזו הוא גם לא נותן קרדיט לניקולאי לובצ’בסקי שהוכיח את אי תלות האקסיומה באקסיומות הקודמות. ברנרד רימן ופועלו, לעומת זאת, זוכים אצלו לתיאור נרחב, אבל כאן הפרק מתדרדר. ההסברים שלו הופכים להיות יותר ויותר טכניים. אני לא יכול להעיד על כל ציבור הקוראים, אבל אני באופן אישי נשברתי ודילגתי על כל הקטעים האלה והמשכתי לפרק הבא.

מה חסר לי בפרק הזה? לפיתגורס ולכת המתמטיקאים שלו הייתה בעיה קטנה: אם יש משולש ישר זווית שאורכי הניצבים שלו שווים שניהם ל-1, אז אורך היתר צריך להיות שווה לשורש של 2. השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי, ופיתגורס סירב להכיר בקיומם של מספרים כאלה. אני לא זוכר את כל פרטי ההתמודדות של פיתגורס וחבריו עם המציאות הלא נעימה הזו, אבל האגדה מספרת כי הם הוציאו להורג את האיש שהוכיח כי השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי. לדעתי היה מקום לדון כאן בעניין הפעוט הזה, אבל אולי יהיה מקום לדון בזה בהמשך הספר.

הפרק השני, העוסק בלוגריתמים, כתוב היטב. המשוואה/נוסחה היא שהלוג של a כפול  b שווה ללוג של a ועוד הלוג של b. לא להיבהל. סטיוארט מסביר כי הרעיון הוא שיש דרך להפוך פעולת כפל, שהינה מסובכת יחסית, לפעולת חיבור, שהיא קלה יותר לביצוע. אתם מוזמנים להיווכח בעצמכם: נסו להכפיל 24 ב-12 בלי מחשבון, רק עם נייר ועיפרון, ואחר כך תנסו לחבר את שני המספרים האלה.

סטיוארט סוקר את ההיסטוריה של הרעיון, שהגה המתמטיקאי החובב ג’ון נפייר, ושופצר על ידי המתמטיקאי הנרי בריגס. אחר כך הוא מסביר את הרעיון בצורה מאוד בהירה. הוא ממשיך בתיאור של סרגלי החישוב , שהם יישום מכני של עקרון הלוגריתמים, שהיו נפוצים כמעט עד סוף המאה הקודמת[1] , וזה תיאור קצת טכני מדי לטעמי. הוא מסיים בשני שימושים עדכניים לפונקציית הלוגריתם. הראשון הוא חישובי דעיכה רדיואקטיבית בהקשר של תאונת הכור הגרעיני בפוקושימה (כתוב היטב). היישום השני, מדידת עוצמת הקול/צליל/רעש, על ידי סולם הדציבל, כתוב באופן קצת מסורבל לטעמי.

מה היה חסר לי בפרק הזה? ובכן, אני לא יודע איך המחשבים/מחשבונים של ימינו מבצעים פעולות כפל. מהו האלגוריתם? האם האלגוריתם משתמש בלוגריתם? אני חושב שזה היה יכול לעניין את הקוראים.

הנוסחה של הפרק השלישי היא נוסחת הגדרת הנגזרת. כצפוי, סטיוארט נותן תיאור של ההיסטוריה הלא כל כך ארוכה של מושג הנגזרת, ומזכיר, בין היתר את פייר דה פרמה ואת ג’ון ואליס. הוא מסביר באופן יפה את הרעיון על ידי הדגמה של בעיית חישוב המהירות הרגעית של גוף, שהייתה גם הבעיה שנתנה לאייזק ניוטון את המוטיבציה לפיתוח התיאוריה. הוא עובר מכאן לתיאור נרחב של בעיית התנועה וסוקר את הגישות אליה, החל מאריסטו ועד ניוטון, כמובן. הוא מסביר באופן מתקבל על הדעת את שלושת חוקי התנועה של ניוטון, באופן פחות מתקבל על הדעת כיצד בעזרת חוקים אלה ניתן לחשב את מהירותו של גוף על ידי מהירותו ההתחלתית, התאוצה שלו והזמן שעבר – זו לא גזירה אלא אינטגרציה, ואחר כך מסתבך לגמרי בניסיון להסביר מה זה תנע. תוך כדי כך הוא גם משחיל דיון קטן על גרביטציה. בנוסף, הוא דן גם במושג האנרגיה. הוא גם מתייחס ללייבניץ, שכידוע פיתח את החשבון הדיפרנציאלי באופן בלתי תלוי ובערך באותו זמן כמו ניוטון. סטיוארט, אנגלי, טוען שניוטון זכאי לקרדיט גדול יותר מכיוון שהוא פיתח את הרעיון בקונטקסט פיזיקלי, בעוד שהקונטקסט של לייבניץ היה יותר “מתמטי טהור”, whatever it means.

סטיוארט לא מתעלם מהפיל הגדול שבחדר, עליו הצביע כבר בימי ניוטון הארכיבישוף ברקלי[2] . במתמטיקה של ניוטון, וגם בזו של לייבניץ, יש כשל לוגי חמור. אסביר: בנוסחאות מתמטיות, אותיות מסמלות מספרים. אחת האותיות בסימון של ניוטון היא האות o. ניוטון, וגם לייבניץ, מניחים במפורש כי o חייב שונה מאפס[3].  כדי ליישם את הנוסחה, יש צורך לבצע כל מיני מניפולציות אלגבריות: חיבור, חיסור, כפל, וחילוק. בפרט, בשלב מסויים חייבים לחלק ב-o, וזה בסדר גמור כי כזכור  o שונה מאפס. בסוף מקבלים משהו שכולל בתוכו את o, ואז ניוטון, ולייבניץ אומרים משהו כמו “עכשיו o יהיה שווה לאפס”. זה לא הולך ככה. אי אפשר שמשהו יהיה שונה מאפס כשזה מתאים לך ואחר יהיה בכל זאת שווה לאפס כי הנסיבות השתנו ועכשיו זה יותר מתאים לך. את הכשל הלוגי הזה התחילו ליישב רק לקראת סוף המאה ה-18, כאשר המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין קושי הציג את מושג הגבול. סטיוארט נכשל לחלוטין בניסיון להסביר את מושג הגבול, אבל אני לא מאשים אותו. זה קשה.

מה עוד? סטיוארט מתאר כמה יישומים נוספים של מושג הנגזרת, אבל הוא מתעלם מהשימוש העיקרי: אופטימיזציה, כלומר מציאת נקודות מינימום או מקסימום של פונקציה. הנגזרת מאפשרת למצוא את הנקודות האלה גם באופן ישיר וגם באופן עקיף על ידי חישוב נומרי (בשיטות כמו ניוטון-רפסון,gragient decent  ודומותיהן). לשיטות האלה יש שימוש מרכזי בסטטיסטיקה ובתחום הבינה המלאכותית.

מי חסר בפרק הזה? אלברט איינשטיין. אני לא מבין איך אפשר לדון כל כך הרבה בחוקי התנועה של ניוטון ולהתייחס אליהם כנקודה האחרונה בתהליך המחשבתי שנמשך דורות. התהליך המשיך גם אחרי ניוטון. לאיינשטיין היה חלק מכריע בהרחבת התיאוריה של ניוטון. אי אפשר להתעלם ממנו. אבל סטיוארט התעלם.

הפרק הרביעי של הספר עוסק בחוק הכבידה של ניוטון. במילים מאוד לא מדוייקת, החוק אומר כי כח המשיכה של גופים גדול יותר ככל שהמסה שלהם גדולה יותר, וההשפעה של כח המשיכה הולכת ונחלשת ככל שמתרחקים מהגוף המושך. מחבריי הפיזיקאים אני מבקש סליחה, אבל התיאור הזה מתאים לצרכי הטוויטר.

סטיוארט לא מדבר יותר מדי על המשוואה עצמה. הוא מביא סקירה היסטורית רחבה של תפיסת מבנה היקום, החל מהבבלים, דרך תלמי, כל הדרך עד לקפלר. הוא מתאר את סיפור התפוח המפורסם שנפל על ראשו של ניוטון כאשר נח תחת עץ (האמת היא שזה לא קרא באמת אלא שניוטון השתמש המטאפורה הזו כדי להסביר חלק מהרעיון). סטיוארט גם מדגיש כי חוק הכבידה הוא אוניברסלי – המשיכה קיימת בין כל שני גופים ביקום, וזו נקודה חשובה. מה עוד? הוא מתאר באריכות את המחלוקת בין ניוטון ורוברט הוק בעניין הקרדיט לגילוי חוק הכבידה. הוק כנראה ידע את זה לפני ניוטון, אבל ניוטון נתן את הניסוח המתמטי המדוייק, וגם נתן קרדיט להוק על התרומה שלו בספרו, ולכן הקרדיט המלא אכן מגיע לניוטון. סטיוארט מסביר בקצרה את המשמעות של חוק הכבידה בחישובי מסלולים של חלליות ולוויינים, ועובר לדיון ארוך ומייגע בתיאוריה/ספקולציה של חורי התולעת.

נחמד, אבל כאן יש לי כמה הערות: ראשית, סטיוארט כותב כי החוק מדגים את היכולת של המתמטיקה למצוא תבניות נסתרות ביקום ולגלות פשטות החבויה במורכבות של היקום. אני לא כל כך מסכים עם האמירה הזו. החוק של ניוטון הוא לדעתי מודל פשוט מאוד של היקום שנגזר מתוך תצפיות. אין עוררין על כך שהמודל הזה הוא ציון דרך סופר חשוב במדע, אבל התצפיות על היקום הובילו לתיאור המתמטי ולא להיפך. וכפי שהתברר לאחר זמן לא ארוך, כשמנסים לבנות מודל מתמטי שיתאר את כוחות המשיכה ההדדיים בין 3 גופים, המתמטיקה לא כל מצליחה לעשות את זה, בטח לא בקלות ובפשטות כמו החוק של ניוטון.

שנית,  סטיוארט כותב במקום אחד כי ניוטון פיתח את החוק/מודל שלו מתוך חוקי קפלר, ובמקום אחר הוא כותב כי ניוטון גזר את חוקי קפלר מתוך חוק הכבידה שלו. זה לא מסתדר לי ביחד. כפי שאני הבנתי מהציטוטים שסטיוארט הביא מדברי ניוטון, הטענה הנכונה היא הטענה הראשונהת ואזכיר את אמירתו של ניוטון עצמו כי הרחיק ראות מכיוון שעמד על כתפי ענקים.

ושוב: מה עם איינשטיין? איך אפשר לדבר על כבידה בלי להזכיר את איינשטיין?

המשוואה של הפרק החמישי אומרת כי i בריבוע שווה למינוס אחד.

זו בהחלט נקודת התחלה טובה לתיאור של המספרים המרוכבים. הבעיה הראשונה: זו לא המשוואה ששינתה את העולם בהקשר הזה, אלא משוואה אחרת. מצד שני, המשוואה הזו הרבה יותר פשוטה, ולכן אני לא מבקר את סטיוארט בעניין הזה.

סטיוארט מתחיל בתיאור של איטליה בתקופת הרנסנאס ואז עובר למשוואות אלגבריות. הוא חוזר אחורה בזמן אל הבבלים שידעו לפתור משוואות ריבועיות, ועובר לתקופה מאוחרת יותר בה החלו הניסיונות לפתור משוואות יותר מסובכות, כאלה שמכילות גם איקס בשלישית. הוא מציין מספר מתמטיקאים, בעיקר ערבים, שמצאו פתרונות חלקיים, כולל אל-ח’ואריזמי שמשמו נגזרה המילה אלגוריתם, ומקור המילה אלגברה הוא מכותרת ספרו “חיסאב אל-ג’אבר ואל-מוקאבלה” שיצא לאור בשנת 830. לבסוף חוזר אל איטליה והרנסנאס, ועורך לנו היכרות עם ג’ירולמו קרדאנו, איש רב פעלים ומעללים.

קרדאנו מופיע בסיפור כי הוא גילה/מצא את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה השלישית, ובמשותף עם תלמידו לודוביקו פרארי מצאו את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה הרביעית, כלומר משוואה שמופיע בה X בחזקת 4.

הנוסחה של הפתרון הכללי של המשוואה מהמעלה השלישית היא זו ששינתה את העולם. כמו נוסחת הפתרון למשוואה הריבועית, גם הנוסחה הזו כללה בתוכה הוצאת שורשים. אבל, לפעמים היה צורך להוציא שורש ממספר שלילי, וזאת כידוע בעיה.

פרארי פתר את הבעיה בכך שהתעלם ממנה. שורש של מספר שלילי? נו פרובלם, נמשיך כאילו כלום. מה איכפת לי אם יש שורש של מינוס ארבע עשרה? נמשיך הלאה ובסוף הוא יצטמצם, ומקבלים תשובה נכונה.

כאן נפתח הפתח אל המספרים המדומים, ומהם מגיעים אל המספרים המרוכבים. סטיוארט מתאר איך הרחיבו את המתמטיקה כדי לכלול בתוכה את המספרים האלה, ועל הדרך מספר כי e בחזקת i כפול π שווה למינוס 1. זוהי נוסחה מדהימה בלי כל ספק, אולי הנוסחה הכי יפה בכל המתמטיקה. סטיוארט מנסה להסביר איך מגיעים לשוויון הזה, אבל כושל.

בהמשך, סטיוארט אומר בקצרה שבעזרת מספרים מרוכבים אפשר לפתור משוואות דיפרנציאליות בקלות (יחסית, הכל יחסי) ואת ההשפעה העצומה של זה על התפתחות הטכנולוגיה. הוא גם מזכיר כמה אנשים שנתנו פרשנות גיאומטרית למספרים המרוכבים, כמו ואליס וגאוס, מסביר איך המילטון פיתח את ההגדרה הפורמלית, וזהו.

מה???

הנה כמה דברים שחסרים. קודם כל, זוכרים את הפרק על משפט פיתגורס? אם כבר מדברים על הרחבות של מערכת המספרים, מה עם המספרים האי רציונליים? תהיתי כבר אז, וחשבתי שהם ייכנסו במקום אחר. הפרק הזה, שבו מדברים על פתרון משוואות אלגבריות בעזרת שורשים יכול להיות מקום מצויין לדון בהם. אבל מספרים אי-רציונליים – יוק.

הנה עוד יוק אחד: סטיוארט מציין כי קארדנו ופרארי לא ידעו לפתור משוואה כללית מהמעלה החמישית, ומציין ביובש כי פיתרון כזה לא קיים, וזהו. לדעתי היה מקום לומר עוד כמה מילים או פסקאות בנושא, ולפחות להזכיר את אווריסט גלואה ואת נילס אבל. סטיוארט לא חשב שזה חשוב או מעניין.

היוק השלישי: איך אפשר לכתוב פרק שלם על המספרים המרוכבים ולהזכיר את גאוס בפחות מרבע משפט? הוא מתעלם לחלוטין מהתרומה העצומה של גאוס לתחום. המשפט  היסודי של האלגברה, מישהו?

לדעתי סטיוארט נכשל בפרק הזה בגדול.

הפרק השישי עוסק בנוסחת הפאונים של ליאונרד אוילר: לכל פאון, מספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים שווה ל-2.

אסביר: פאון הוא גוף הנדסי שמורכב ממשטחים, למשל קובייה או פירמידה.

קחו קובייה ותבדקו: לקובייה יש 6 פאות (כלומר 6 צדדים). כל שתי פאות מופרדות על ידי צלע, ובסך הכל יש לקובייה 12 צלעות. הצלעות נפגשות בקודקודים. לקובייה יש 8 קודקודים. 6 פחות 12 ועוד 8 שווה ל-2.

זה נכון גם לפירמידה. לפירמידות במצרים יש בסיסים מרובעים, ולכן לכל פירמידה יש 5 פאות: הבסיס המרובע ועוד 4 משולשים. קל להשתכנע כי לפירמידה יש 8 צלעות: 4 צלעות הבסיס, ועוד ארבע צלעות שמחברות את בסיס הפירמידה לקודקוד שלה. לסיום, לפירמידה יש 5 קודקודים: 4 בבסיס ועוד אחד בראש הפירמידה. 5 פחות 8 ועוד 5 שווה ל-2. קסם! את הנוסחה הזו הוכיח כאמור אוילר.

סטיוארט מסביר את רעיון ההוכחה, ואני אתרכז רק בפרט אחד, אבל חשוב: הרעיון הוא שלוקחים קובייה או פירמידה שעשויים מפלסטלינה, מכווצצים אותה לצורה של כדור או משהו דומה (ואיכשהו הפאות, הצלעות והקודקודים נשארים מסומנים). מה שחשוב הוא שפעולת הכווצוץ היא רציפה: אסור לקרוע את הפלסטלינה, וגם אסור להדביק קצה אחד של הגוש לקצה אחר. תוך כדי הכווצוץ מבצעים כל מיני פעולות על הגוש, ומסירים צלעות או קודקודים באופן כזה שמספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים לא משתנה. למשל, אם הכווצוץ ידביק שני קודקודים זה לזה, אז שני הקודקודים יתמזגו לקודקוד אחד, אבל גם הצלע שמחברת אותם תיעלם, ולכן ההפרש בין מספר הצלעות ומספר הקודקודים לא משתנה.

ועכשיו יש טוויסט בעלילה: קחו מסגרת של תמונה. גם לה יש פאות וצלעות וקודקודים, אבל אם תחשבו את מספר הפאות של המסגרת פחות מספר הצלעות שלה ועוד מספר הקודקודים שלה לא תקבלו 2 אלא 0. הסיבה לכך היא שבמסגרת יש חור.

וכך, בשישה ציוצים, או בכמה דפים בספר, קיבלתם את ה-א”ב של הטופולוגיה. עד כאן סטיוארט עשה עבודה מצויינת. אבל כרגיל, הוא לא יודע לפרוש בשיא, וכותב כמה עמודים טובים (12 עמודים בעצם, ספרתי) של כניסה לפרטים טכניים, בשפה לא מובנת לאדם פשוט כמוני. אני אחסוך מכם את המעט שקראתי מתוך העמודים האלה.

לסיום, סטיוארט מנסה להסביר למה המשוואה הזו שינתה את העולם. האמת, המשוואה הזו שינתה בעיקר את עולם המתמטיקה בהיותה אבן היסוד לתחום הטופולוגיה. הוא מציין, ובצדק, שלטופולוגיה אין יישומים ישירים, אבל אומר משהו על פיזיקת קוונטים, ומבנה הד.נ.א.

הפרק השביעי עוסק, או אמור לעסוק, בהתפלגות הנורמלית. אני מניח שאתם מכירים אותי מספיק טוב כדי שלא תופתעו אם אומר לכם שהפעם באמת התעצבנתי. לכן הסקירה של הפרק הזה תהיה ארוכה, למרות שהתאפקתי מאוד כשכתבתי את הטיוטה לציוצים בטוויטר. מתנצל מראש.

בעיה ראשונה: בעמוד הראשון של כל פרק מופיעה המשוואה שהפרק אמור לדון בה, עם כל מיני הסברים. המשוואה שסטיוארט מציג בפרק הזה היא פשוט שגויה. לא נכונה מבחינה מתמטית. אין שום דרך לייפות את זה. השגיאה נמשכת גם בטקסט: הוא מבלבל בעקביות בין המונחים הסתברות והתפלגות (וגם צפיפות, למרות שהוא לא מזכיר את המונח).

אבל זאת לא סיבה להפסיק לקרוא כמובן. סטיוארט החליט להקדיש את כל הפרק הזה להסתברות וסטטיסטיקה, וכרגיל הוא מתחיל בסקירה היסטורית מבולבלת. הוא קופץ מקרדאנו אל לפלאס, יעקב ברנולי, קטלה, דה-מואבר, לז’נדר (תיכף ארחיב עליו), פרמה ופסקל, וסליחה אם שכחתי מישהו. אה, כן, שכחתי את גאוס. תיכף נגיע גם אליו.

נתחיל את סקירת הפרק בלז’נדר. סטיוארט מציין, ובצדק, שלז’נדר הוא שפירסם ראשון את שיטת הריבועים הפחותים, ונותן לו את כל הקרדיט על כך. מה עם גאוס? סטיוארט לא מתלהב ממנו. האמת היא שלז’נדר פירסם טכניקה, ללא כל הצדקה למה השיטה שלו עדיפה על שיטה אחרת.

גאוס הוא זה שקשר את שיטת הריבועים הפחותים להתפלגות הנורמלית, והראה מדוע זוהי השיטה האופטימלית להתאמת קו ישר לתצפיות; קוראים לזה משפט גאוס-מרקוב. אנחנו גם יודעים בוודאות כי גאוס הכיר את שיטת הריבועים עוד לפני שלז’נדר פירסם את המאמר שלו, אבל זה לא משנה לסטיוארט. ולמה בכלל קוראים להתפלגות הנורמלית גם בשם התפלגות גאוסיאנית? סטיוארט ממלמל משהו.

סטיוארט עובר לדבר על סיר פרנסיס גאלטון ועל עבודתו בחקר התורשה. כאן הוא דווקא עושה עבודה די טובה, ומתאר בפירוט את מחקריו של גאלטון שהובילו לעדויות האמפיריות הראשונות על תיאוריית האבולוציה של דודו צא’רלס דארווין. הוא מתאר את תופעת הרגרסיה לממוצע ואת הפיתוח הראשוני של מקדם המתאם. יש לו פה ושם אי דיוקים קלים, אבל בסך הכל זה בסדר.

עכשיו הגיע הזמן לסלט. סטיוארט מחליט לדבר על בדיקת השערות, וזורק לתוך הסלט הזה את רונלד פישר, קרל פירסון ובנו אגון פירסון, וכמובן גם את ג’רזי ניימן. אז קודם כל, פירסון האב לא שייך לכאן. אדרבא. הוא התנגד בעקביות לגישה של פישר לבדיקת מובהקות. מי שכן שייך אבל לא מוזכר הוא ויליאם סילי גוסט (הידוע בכינוי student) , הראשון שהגה את התובנה של בדיקת המובהקות, ועבודתו הייתה הבסיס לעבודה של פישר.

סטיוארט מנסה ניסיון אומלל להסביר מה זה בעצם בדיקת השערות. הוא מערבב את הגישה של פישר עם הגישה (המנוגדת) של ניימן ופירסון, ואני חושש שההסבר היחיד לכל הסלט הזה הוא שסטיוארט פשוט לא מבין כאן על מה הוא מדבר. אני לא מאשים אותו. זה קשה. אבל הוא היה יכול אולי להתייעץ עם מישהו שכן מבין. מצד שני, מכיוון ההסבר שלו כל כך מבולבל ומסורבל אני מעריך שאין סיכוי שמישהו יקרא את זה ולא יתייאש, ולכן לא ייגרם נזק.

לאחר הסלט, מה יותר מתאים לקינוח מאשר רגל קרושה? ב-1994 יצא לאור ספר בשם “The bell curve”  שביטא עמדות גזעניות בעזרת ניתוחים סטטיסטיים שגויים ומוטים[4]. סטיוארט מחליט להקדיש לספר האומלל הזה לא פחות מתשעה עמודים, תוך כדי התפזרות לכל מיני כיוונים שלא קשורים בכלל לסטטיסטיקה, או להתפלגות הנורמלית.

מה חסר בפרק הזה? הרבה, אבל אני רוצה להתעכב על דבר אחד חשוב באמת: סטיוארט כותב בתחילת הפרק כי ההתפלגות הנורמלית מהווה מודל טוב להרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי, וזה נכון.

אבל סטיוארט שוכח לציין כי יש הרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי שההתפלגות הנורמלית לא מהווה מודל טוב עבורם. המשבר הפיננסי של 2008 הוא דוגמה טובה, אם מכירים אותה כמובן. הערכת הסיכונים של כל בנקי ההשקעות השתמשו במודל שהתבסס על ההתפלגות הנורמלית, אבל ההתפלגות הייתה התפלגות קושי. אופס.

הדבר שהכי מטריד אותי בעקבות קריאת הפרק הזה הוא עד כמה ניתן לסמוך על סטיוארט בהמשך הקריאה. ככל שהספר יתקדם יהיו בו נושאים שאני פחות ופחות מכיר ומבין. האם אחרי שאקרא את הפרקים האלה אבין משהו בנושאים שלהם? מושגי יסוד? עד כמה הם אמינים? אני ממש לא יודע. ולכן החלטתי להפסיק כאן את הקריאה, והסקירה שלי הגעה לסופה.


הערות
  1. ניתן לראות את תפקידם החשוב של הסרגלים האלה באחת הסצינות הדרמטיות של הסרט “אפולו 13” []
  2. הקשר לאוניבסיטת ברקלי אינו מקרי כלל וכלל. האוניברסיטה והעיר בה היא שוכנת נקראות על שמו []
  3. לא לבלבל בין o ובין 0 ! []
  4. מצטער, אבל אני לא נותן לינק לתועבה הזו []

יצירת דו”חות בפורמט Word מתוך R על ידי שימוש בחבילת officer

אם אתם עובדים עם תכנת R וצריכים ליצור דו”חות בפורמט Word באופן שגרתי, חבילת officer עשויה להיות שימושית עבורכם. הבעיה היא שהשימוש בחבילה מסורבל – manual שלה הוא בן 80 עמודים.

לכן כתבתי מספר פונקציות שמאפשרות לבצע את כל הפעולות שאני באמת צריך לעשות וליצור דו”חות בסגנון אחיד. בניגוד לפונקציות של החבילה המקורית, לפונקציות שלי יש מבנה אינטואיטיבי, מכיוון שכל הגדרות הסגנונות מוטמעים בתוכן.

אתם מוזמנים לקרוא את הפרטים בגירסה האנגלית של הבלוג: https://sciprincess.wordpress.com/2020/02/17/creating-ms-word-reports-using-the-officer-package/

ויזואליזציה של נתוני יחס חוב/תוצר

לפני מספר ימים ראיתי את הגרף הזה בטוויטר:[1]

גיגול קצר העלה כי מדובר בגרף ישן יחסית מאוקטובר 2017. מצד אחד, זהו באמת גרף מאוד יפה ומרשים. מצד שני, מקומו בדפי פייסבוק כגון Trust me, I’m a Statistician או Trust me, I’m a Data Scientist.

גרף זה הוא סוג של דיאגרמת עוגה (pie chart).  בדיאגרמת עוגה קלאסית הפרוסות הן בצורת “משולשים”, או גזרות של עיגול אם רוצים לדייק. כאן לפרוסות יש צורות אחרות, הכוללות משולשים, מרובעים, מצולעים אחרים, וצרות שאין לי מושג מה שמן[2]

אני מודה שהגרף הזה די בילבל אותי. מדובר בנתונים של חוב לאומי ויחס חוב/תוצר. בתחילה התייחסתי לנתון של יחס חוב/תוצר, ומשום מה חשבתי שהשטח של כל פרוסה בעוגה הזו מייצג את יחס החוב/תוצר של כל מדינה. זאת כנראה בגלל שהעין שלי תפסה קודם כל את הכותרת התחתונה.

בפועל, כל פרוסה מראה את החלק של המדינה מתוך סך כל החובות הלאומיים בעולם, ולכן סך כל השטחים אמור להסתכם ל-100%. [3].ניתן לראות בבירור כי המדינה עם החלק הגדול ביותר מתוך סך החובות היא ארצות הברית, ומכאן ג ניתן להסיק כי לארצות הברית יש את החוב המוחלט הגבוה ביותר במונחים דולריים. המדינה עם החלק השני הכי גדול בסך החובות היא יפן, וסין שלישית. מצאו בעוגה את הפרוסות של  איטליה, גרמניה, צרפת ובריטניה. לאיזה מדינה מבין הארבע יש חלק יותר גדול בעוגת סך החובות? האם אתם יכולים לקבוע זאת על ידי השוואת השטחים של הפרוסות?

יחס החוב/תוצר של כל מדינה מבוטא על ידי הצבע של הפרוסה בעוגה. ככל שהצבע בהיר יותר, כך יחס החוב/תוצר גבוה יותר. אפשר לראות מייד כי ליפן יש יחס חוב/תוצר גבוה מאוד. ניתן להבחין כי גם ביוון היחס הזה גבוה, למעשה השני בגובהו. האם אתם יכולים לזהות את המדינה עם היחס השלישי בגובהו? זוהי לבנון. חפשו אותה בפינה הימנית עליונה. איטליה ופורטוגל, שתופסות את המקום הרביעי והחמישי, בולטות יותר. האם אתם יכולים לראות לאיזה מדינה יש את יחס החוב/תוצר הנמוך ביותר?

לאחר שהבנו את הנתונים המוצגים בדיאגרמה הזו, אנו יכולים לנסות למצוא תובנות.

דיאגרמה זו היא למעשה גרף דו-מימדי, במובן שמוצגים בה שני משתנים שונים. בדרך כלל גרפים כאלה אמורים להראות את הקשר בין שני המשתנים. אז מה הקשר בין יחס החוב/תוצר ובין חלק החוב בסך כל החובות? אתם יכולים לראות? כי אני לא יכול. לזכותם של הכותבים ייאמר שהם לא ניסו לדון בכלל בעניין.

האם יש דרך טובה יותר להציג את הנתונים האלה באופן גרפי? כמובן שיש. בואו נשכח את כל מה שראינו עד עכשיו ונשחק קצת בנתונים.

לקחתי את נתוני יחס החוב/תוצר של כל מדינות העולם וגם את נתוני התוצר עצמם מויקיפדיה. לצורך ההדגמה, התמקדתי בנתוני מדינות ה-OECD  משנת 2017. מנתוני יחס החוב/תוצר ונתוני התוצר אפשר כמובן לחשב את גובה החוב, משם את סך החובות, ולבסוף את חלקה של כל מדינה מתוך סך החובות. הנתונים נמצאים כאן.

האפשרות הפשוטה ביותר היא לשרטט תרשים פיזור (scatter plot) משרטטים את הנתונים במערכת צירים, כשכל מדינה מיוצגת על ידי נקודה. המרחק של הנקודה מכל אחד מהצירים מייצג את הערך המתאים של הנתון.

הנה דיאגרמת פיזור בסיסית המציגה את הנתונים שלנו. למעוניינים, קוד R נמצא בגרסה האנגלית של הפוסט הזה.

בדיאגרמה ניתן לראות בבירור כי יש שתי נקודות/מדינות חריגות: אחת מהן עם יחס חוב/תוצר גדול מ-200%, חלקה של השניה בסך כל החובות גבוה מ-30%.

עיון נוסף מגלה מדינה שיחס החוב/תוצר שלה גבוה מ-150%, ועוד שתי מדינות שיחס החוב/תוצר שלהן באיזור ה-130%.

מאחר ויש כלכלנים שסבורים כי חוב גבוה זה רע, וחוב גבוה ביחס לתוצר הוא עוד יותר רע, החלטתי לחלק את הנקודות/מדינות לשלוש קבוצות:

  • בקבוצה הראשונה נכללות המדינות שיחס החוב/תוצר שלהן גבוה מ-100% או שחלקן בסך החובות גבוה מ-10%. אלה המדינות שמצבן הכלכלי “רע” על פי הפרמטרים האלה.
  • בקבוצה השניה נכללות המדינות שיחס החוב/תוצר שלהן נמוך מ-50% וגם חלקן בסך החובות נמוך מ-2%. אלה המדינות שמצבן הכלכלי “טוב” על פי הפרמטרים האלה.
  • הקבוצה השלישית כוללת את כל שאר המדינות.

קווי הגבול בין הקבוצות (2%, 10% וכולי) הם שרירותיים משהו. קבעתי אותם על פי מיטב שיפוטי.[4]

שרטטתי מחדש את הגרף: את הנקודות של המדינות שמצבן “רע” צבעתי באדום, והוספתי לגרף גם את שמה של כל מדינה מקבוצה זו. את הנקודות של המדינות שמצבן “טוב” צבעתי בירוק, ואת שאר הנקודות צבעתי בכתום:

עכשיו ניתן לראות כי:

  • יחס החוב/תוצר של המדינות שמצבן “טוב” משתרע על כל הטווח מ-0 עד 50, אם כי יש בקבוצה זו יותר מדינות שיחס החוב/תוצר שלהן מתקרב ל-50%.
  • מדינות הביניים מתחלקות בערך לשתי קבוצות: קבוצה אחת עם רמת חובות מוחלטת (כאחוז מסך החוב) נמוכה ויחס חוב/תוצר בין 50 ל-75 בערך, וקבוצה שניה של חמש מדינות  עם רמת חובות מוחלטת גבוהה יותר, כאשר לא ניתן לומר אמירה ברורה על מכנה משותף ביניהן לגבי יחס חוב/תוצר.

הערות
  1. הערה: ביצעתי כמה עריכות מינוריות בגרף לצורך ההדגמה בהמשך הפוסט []
  2. ראו לדוגמא את בריטניה בתחתית הדיאגרמה []
  3. לא בדקתי את הנתונים האלה, אני מאמין למי שיצר את הדיאגרמה, וזה גם לא כל כך משנה לדיון כאן []
  4. אם אתם מכירים כלכלן שיכול לקבוע את קווי הגבול באופן יותר מדוייק (במובן accuracy, לא במובן precision) , אשמח אם תכירו לי אותו []

ממתאם לסיבתיות – מבחן הסיבתיות של גרייג’ר

היסטוריה וקונטקסט

קלייב גריינג’ר הוא סטטיסטיקאי וכלכלן וולשי אמריקני, שזכה בפרס נובל לכלכלה[1] בשנת 2003, בזכות תרומותיו לתיאוריה ולמתודולוגיה של ניתוח סדרות עיתיות. בשנת 1969 הציע גריינג’ר מבחן סטטיסטית לבדיקת השערת הסיבתיות בקונטקסט של סדרות עיתיות.

הקריטריונים של ברדפורד היל שהוצגו ב-1965 מתאימים בעיקר לבעיות בתחום האפידמיולוגיה ובריאות הציבור, שם מתעניינים בדרך כלל בחשיפה לגורם סיכון או התערבות, ובתוצאה בריאותית חיובית או שלילית, לפי ההקשר. בעוד שניתן ליישם את הקריטריונים גם בתחומים אחרים, למשל פסיכולוגיה ותחומים נוספים במדעי החברה, חלק ניכר מקריטריונים אלה אינם ישימים כאשר דנים בסדרות עיתיות, שלהן חשיבות מיוחדת בכלכלה. לכן נדרש כאן פיתרון אחר. מבחן הסיבתיות של גרייג’ר הוא פיתרון אפשרי.

סדרה עיתית היא סדרה של נתונים הנאספים לאורך זמן. לכל נתון מצורפת נקודת הזמן בה נדגם הנתון. אתם מכירים הרבה סדרות כאלה. הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מפרסמת כל חודש את השכר הממוצע ואת מדד המחירים לצרכן.  בנק ישראל מפרסם מדי יום את שער החליפין בין השקל לדולר. השירות המטאורולוגי מפרסם כל יום מה הייתה הטמפרטורה בצהריים בכל מיני מקומות בארץ.

מבחן גריינג’ר

גריינג’ר התבסס על שתי הנחות יסוד:

  1. הגורם מתרחש לפני התוצאה
  2. הגורם מכיל מידע ייחודי על התוצאה

בעוד שההנחה הראשונה ברורה ומובנת מאליה, ההנחה השניה דורשת הסבר.

קודם כל, זכרו כי כאן אנו דנים בסיבתיות בקונטקסט של זמן. לכן ניסוח יותר מדוייק של ההנחה השניה היא כי הגורם מכיל מידע ייחודי אודות הערכים העתידיים של התוצאה. כלומר, מדובר בגורם המכיל מידע ייחודי לחיזוי של התוצאה.

נניח כי אנחנו יכולים לחזות במידת הצלחה כלשהי את הערכים העתידיים של התוצאה כאשר בידינו כל המידע האפשרי בעולם. מה יקרה אם נשליך החוצה את המידע על המשתנה שלדעתנו גורם את התוצאה, ונשתמש רק בשאר המידע?

אשתמש בדוגמה: האם הטמפרטורה בצהריים בתל אביב משפיעה על היקף מכירות הגלידה בעיר? ובפרט, האם טמפרטורה גבוהה יותר גורמת למכירת יותר גלידה?

אנחנו יכולים לאסוף נתונים על שני המשתנים האלה, ולקבל שתי סדרות עיתיות.

השלב הבא הוא לבנות שני מודלים לחיזוי היקף מכירת הגלידה היומי. במודל אחד אתם יכולים להסתמך על כל המידע שיש בעולם ועומד לרשותכם. כמובן שנתוני הטמפרטורה נכללים במידע עליו אתם יכולים להסתמך.

והנה הטוויסט: במודל השני אסור לכם להסתמך על נתוני הטמפרטורה. חוץ מזה הכל הולך.

אם החיזויים של שני המודלים שונים באופן משמעותי, המסקנה היא כי הטמפרטורה משפיעה על היקף מכירות הגלידה. במקרה כזה נאמר כי הטמפרטורה היא גורם סיבתית על פי גריינג’ר להיקף מכירות הגלידה.

עכשיו נמקד את תשומת ליבנו על המילים “באופן משמעותי”. איך מחליטים אם הבדל הוא משמעותי? גריינג’ר הציע להשתמש במבחן סטטיסטי, כלומר לזהות משמעות עם מובהקות סטטיסטית. המבחן שלו מסתמך על מודלים של אוטורגרסיה, מבחני t ומבחני F, שהם הכללות של רגרסיה לינארית. רגרסיה לינארית היא הפנים האחרות של המתאם על פי פירסון. במילים אחרות, גריינג’ר הציע נתיב שמוביל ממתאם לסיבתיות.

זהו נתיב מסוכן, וגריינג’ר ידע זאת היטב. בנאום שנשא בטקס שבו הוענק לו פרס נובל, גריינג’ר התייחס למבחן הסיבתיות שהציע ואמר כי “התפרסמו הרבה מאמרים עם תוצאות מגוחכות”.

ביקורת על מבחן גריינג’ר וחולשותיו

ראשית, יש לשים לב כי הסיבתיות מוסקת על סמך חיזוי. לא מוצע מנגנון סיבתי, ופורמלית אין צורך להציע מנגנון כזה. זהו פער משמעותי בין גריינג’ר ובין הקריטריונים של ברדפורד היל המחייבים הצעה של מנגנון כזה. טענה שקולה היא הטענה כי מבחן גריינג’ר אינו עונה על השאלה הפורמלית ושאלת הנימוק של אריסטו.

שנית, מי שמשתמש במבחן בחוסר זהירות, עלול ליפול בכשל הפוסט הוק, טענה מוטעית לפיה אם Y  קרה לאחר X  אז X  גרם ל-Y. אמנם, כפי שטען דייוויד יום, קיום הטמפורליות הוא תנאי הכרחי לסיבתיות, אך תנאי זה בהחלט אינו מספיק.

המבחן גם לא לוקח בחשבון משתנים מתערבים, כאלה המשפיעים על שני משתנים אחרים ויוצרים ביניהם מתאם מלאכותי (spurious correlation). לא במקרה בחרתי לדוגמה את הגלידה והטמפרטורה. אני מניח שכולם מכירים את הדוגמה המשעשעת שבה יש מתאם בין מכירות הגלידה ומספר הטביעות בבריכה. ככל שמוכרים יותר גלידה, יותר אנשים טובעים. האם ניתן להסיק על פי מבחן גריינג’ר כי קניית גלידה גורמת לטביעות? ייתכן מאוד שכן.

מגבלות נוספות של סיבתיות גריינג’ר הן:[2]

  • רגישות לתדירות הסדרות העיתית ולמשך הזמן בו צופים בהן. לדוגמה, מחקר האוצר על מה שכונה “שכר המינימום ונזקיו” שפורסם בשנת 2004, חזה כי העלאת שכר המינימום תגרום לעליה באבטלה, בין היתר על ידי שימוש בסיבתיות גריינג’ר. כפי שציינתי בפוסט שהתייחס למחקר הנ”ל, בעיה מרכזית במחקר הייתה בכך שהוא הסתמך על נתונים שהתייחסו לתקופה קצרה יחסית של 11 שנים, בעוד שבזמן עריכת המחקר שכר המינימום כבר היה נהוג בישראל במשך יותר מ-30 שנה.
  • חוסר יכולת לזהות סיבתיות לא לינארית
  • חוסר יכולת להתמודד עם סדרות עיתיות לא לינאריות ו/או לא סטציונריות
  • ההנחה של ההתפלגות הנורמלית של טעויות המדידה לא תמיד מתקיימת.
  • היפוך הזמן: בתנאים מסויימים ניתן לחזות את ערכי העבר על ידי ערכי העתיד. מבחני גריינג’ר יראו גם במקרים אלה סיבתיות, אלא שהגורם קרה לאחר התוצאה.

למרות המגבלות האלה, מבחן גריינג’ר וההכללות שלו נמצאים בשימוש נרחב. על המשתמשים בו לעשות זאת בזהירות, וכל טענה לסיבתיות על פי גריינג’ר צריכה להיבחן לגופה באופן ביקורתי.

הפוסטים הקודמים בסדרה

הפוסטים הבאים בסדרה


הערות
  1. במשותף עם רוברט פ. אנג’ל []
  2. ראו A review of the Granger-causality fallacy –  Mariusz Maziarz – קישור לקובץ pdf []