סיכויי הזכיה בפיס 123

עוד לא נרגענו מההמולה סביב האירוע ה-“נדיר” בו התקבלו בהגרלת הלוטו אותם המספרים שהתקבלו באחת ההגרלות הקודמות, והנה הופיעה לה “שערוריה” חדשה סביב הגרלות מפעל הפיס. הפארסה הנוכחית הגיע לשלב בו מהמר המציג את עצמו כדוקטור למתמטיקה הגיש תביעה יייצוגית נגד מפעל הפיס.

אבל בל נקדים מוקדם למאוחר. הנה השתלשלות העניינים, כפי שהצלחתי לעקוב אחריה בשבוע האחרון:

• ארגון הצרכנים העצמאי/פרטי “אמון הציבור” טען כי מפעל הפיס הציג מצג שווא מתמשך בפרסום שלו בעניין סיכויי הזכייה במשחק “3 2 1 משולב”. לפי תלונת צרכן לארגון – סיכויי הזכייה בפרסי המשחק נמוכים מאלו המפורסמים באתר הפיס. (ידיעות על כך ראיתי בווינט ובדה-מרקר). כמו כן נטען כי תוחלת  הזכיה שפורסמה באתר נמוכה מתוחלת הזכיה בפועל.
• לפי הידיעות, הסטטיסטיקאי של מפעל הפיס (לא נמסר מי האיש) אישר כי חלה טעות בפרסום, ובשלב כלשהו מפעל הפיס תיקן את הפרסום באתר. לדעת ארגון אמון הציבור, משך הזמן שעבר עד תיקון הנתונים היה ארוך מדי.
• בינתיים, צרכן זריז, המעיד על עצמו כי הוא מהמר במשחק המדובר בסכום של מאות שקלים לחודש, הגיש תביעה ייצוגית נגד מפעל הפיס בסך של 3.2 מליון שקלים. התובע גם העיד על עצמו כי הוא דוקטור למתמטיקה (לא נמסר שמו של האיש).

התייחסתי לכל העניין בגיחוך מה. בטוויטר הזהרתי את אותו מהמר/מתמטיקאי/תובע כי שייזהר, האוניברסיטה עלולה לתבוע ממנו להחזיר את הדוקטורט.

בואו ננסה להבין מה קורה כאן.

מדובר בהימור המכונה “פיס 123”. המפעל מגריל מספר בן 3 ספרות, החל מ-000 ועד 999. יש 1000 מספרים כאלה. המהמר מנסה לנחש את המספר.

ההימור הפשוט ביותר הוא מסוג “הכל או כלום”. אם ניחשת בדיוק את המספר שהוגרל – זכית. יש כאמור 1000 מספרים אפשריים שעשויים לעלות בגורל, ולכן סיכוי הזכיה הוא 1 ל-1000. במקרה של זכיה, הזוכה מקבל סכום הגדול פי 600 מסכום ההימור (באתר מפעל הפיס מכונה סכום ההימור בביטוי הציני “סכום ההשקעה”).

תוחלת הזכיה שלילית כמובן: בטווח הארוך המהמר מפסיד ומפעל הפיס מרוויח. אפשר להסביר זאת באופן הבא: מהמר “מתוחכם”, יהמר סכום של שקל אחד כל אחת מ-1000 התוצאות האפשריות (ב”השקעה” של 1000 שקלים), יפסיד את כספו ב-999 מהימוריו, ובהימור ה-1000 יקבל 600 שקלים. בסופו של יום, אותו מהמר הפסיד בסך הכל 400 שקלים.

כאמור, המהומה התקשורתית והמשפטית מתחוללת סביב משחק מעט יותר מסובך. ב”משחק המשולב”, ניתן, בין היתר,  לזכות בפרס גם אם המספר עליו מהמרים אינו זהה למספר שעלה בגורל, בתנאי שההימור היה על אותן הספרות של המספר שעלה בגורל, בסדר שונה. לדוגמא, מי שיהמר על המספר 123 יוכל לזכות בפרס גם אם עלה בגורל המספר 321 או 213, וכולי. מי שהימר על 747 יזכה גם אם יעלו בגורל 477 או 774, אבל מי שיהמר על 666 יזכה רק אם יעלה בגורל המספר 666. מה הסיכוי לזכות בהימור כזה? באתר מפעל הפיס כתוב (נכון להיום) כי הסיכוי הוא 1 ל-241.5. איך מחשבים את הסיכוי?

אפשר להתחיל לחשב (עמית גל  עשה את זה בבלוג שלו). אני בחרתי בגישה אחרת, גישת מונטה קרלו, שאדגים כאן מייד. זאת לבקשת הקורא עמית (האם זהו עמית גל?) באחת התגובות לרשימה על פריז ובעיית המחט של בופון.

כל אחד יכול לעשות את זה בבית. צריך פשוט לשחק את המשחק מספר רב של פעמים. אפשר לקחת קוביה מיוחדת עם 10 צדדים (לשחקני מבוכים ודרקונים יש קוביות כאלה), או לשים בתוך כובע 10 כפתורים זהים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת הספרות 0 עד 9. מטילים את הקוביה (או מוציאים כפתור מהכובע ומחזירים אותו) 3 פעמים – זוהי הדמיה של הגרלת המספר של מפעל הפיס. אח”כ בוחרים באותו אופן את המספר עליו מהמרים. כעת אפשר לבדוק אם “זכינו”. חוזרים על התהליך מספר רב של פעמים, ובודקים באיזה אחוז מהפעמים אכן זכינו. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי אחוז הזכיות בניסוי שלנו יהיה קרוב מאוד להסתברות האמיתית. משפט הגבול המרכזי מבטיח כי ההפרש בין אחוז הזכיות בניסוי ובין ההסתברות האמיתית יהיה בסדר גודל של אחד חלקי שורש מספר הניסויים. למשל, אם רוצים דיוק של אחוז אחד, צריך לחזור על הניסוי 10000 פעם.

זה כמובן עלול להיות מאוד מייגע. ניתן כמובן, לכתוב תכנית מחשב שתבצע את התרגיל הזה. כתבתי אחת כזו (בשפת SAS, לחצו כאן לצפיה בקוד), וערכתי את הניסוי מליון פעם (למחשב המקרטע שלי לקח כמעט 10 שניות לבצע את כל החישובים). התוצאות בטבלה:

השורה התחתונה אומרת כי הסתברות לנחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו היא 0.005094, שזה בערך 1 ל-196. החישוב של עמית גל הגיע לתוצאה של 1 ל-194.  בגדול, הפרסום המקורי של מפעל הפיס, לפיו סיכויי הזכיה הם 1 ל-200, היה נכון בקירוב. הפרסום הנוכחי מתאר סיכויי זכיה נמוכים יותר, ולדעתי הוא שגוי. עם זאת, גם עמית וגם אני לא לקחנו בחשבון כי מי שזוכה בפרס הראשון כבר לא זוכה בפרס השני (תודה לעמית על שהעיר את עיני על כך בתגובתו). המאורע “המהמר ניחש אתשלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו” מכיל בתוכו את המאורע “המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר הנכון”.  לכן, צריך להחסיר מההסתברות שקיבלנו, 0.005094, את ההסתברות לניחוש כל שלוש הספרות בסדר הנכון, 0.001, ולכן נקבל כי ההסתברות לזכיה בפרס השני, שהיא הסתברות המאורע “המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו, אך לא בסדר הנכון”, היא 0.004094 בקירוב, כלומר בערך 1 ל-244, ערך קרוב למדי לערך המופיע באתר מפעל הפיס (1 ל-241.5).

מהי תוחלת הזכיה במשחק כזה? מי שיהמר על שקל, ירוויח 24 שקלים בהסתברות 0.005 בערך, ויפסיד שקל בהסתברות 0.995.  זה נותן תוחלת הפסד של 0.875 שקלים. במלים אחרות – מפעל הפיס משאיר בידיו  87.5% מכספי ההימורים במשחק הזה. ובכן, בחישוב התוחלת יש לקחת בחשבון את כל הפרסים והסתברויות הזכיה בהם. על כך אכתוב בקרוב רשימה נוספת.