חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

סיכויי הזכיה בפיס 123

עוד לא נרגענו מההמולה סביב האירוע ה-"נדיר" בו התקבלו בהגרלת הלוטו אותם המספרים שהתקבלו באחת ההגרלות הקודמות, והנה הופיעה לה "שערוריה" חדשה סביב הגרלות מפעל הפיס. הפארסה הנוכחית הגיע לשלב בו מהמר המציג את עצמו כדוקטור למתמטיקה הגיש תביעה יייצוגית נגד מפעל הפיס.

אבל בל נקדים מוקדם למאוחר. הנה השתלשלות העניינים, כפי שהצלחתי לעקוב אחריה בשבוע האחרון:

  • ארגון הצרכנים העצמאי/פרטי "אמון הציבור" טען כי מפעל הפיס הציג מצג שווא מתמשך בפרסום שלו בעניין סיכויי הזכייה במשחק "3 2 1 משולב". לפי תלונת צרכן לארגון – סיכויי הזכייה בפרסי המשחק נמוכים מאלו המפורסמים באתר הפיס. (ידיעות על כך ראיתי בווינט ובדה-מרקר). כמו כן נטען כי תוחלת  הזכיה שפורסמה באתר נמוכה מתוחלת הזכיה בפועל.
  • לפי הידיעות, הסטטיסטיקאי של מפעל הפיס (לא נמסר מי האיש) אישר כי חלה טעות בפרסום, ובשלב כלשהו מפעל הפיס תיקן את הפרסום באתר. לדעת ארגון אמון הציבור, משך הזמן שעבר עד תיקון הנתונים היה ארוך מדי.
  • בינתיים, צרכן זריז, המעיד על עצמו כי הוא מהמר במשחק המדובר בסכום של מאות שקלים לחודש, הגיש תביעה ייצוגית נגד מפעל הפיס בסך של 3.2 מליון שקלים. התובע גם העיד על עצמו כי הוא דוקטור למתמטיקה (לא נמסר שמו של האיש).

התייחסתי לכל העניין בגיחוך מה. בטוויטר הזהרתי את אותו מהמר/מתמטיקאי/תובע כי שייזהר, האוניברסיטה עלולה לתבוע ממנו להחזיר את הדוקטורט.

בואו ננסה להבין מה קורה כאן.

מדובר בהימור המכונה "פיס 123". המפעל מגריל מספר בן 3 ספרות, החל מ-000 ועד 999. יש 1000 מספרים כאלה. המהמר מנסה לנחש את המספר.

ההימור הפשוט ביותר הוא מסוג "הכל או כלום". אם ניחשת בדיוק את המספר שהוגרל – זכית. יש כאמור 1000 מספרים אפשריים שעשויים לעלות בגורל, ולכן סיכוי הזכיה הוא 1 ל-1000. במקרה של זכיה, הזוכה מקבל סכום הגדול פי 600 מסכום ההימור (באתר מפעל הפיס מכונה סכום ההימור בביטוי הציני "סכום ההשקעה").

תוחלת הזכיה שלילית כמובן: בטווח הארוך המהמר מפסיד ומפעל הפיס מרוויח. אפשר להסביר זאת באופן הבא: מהמר "מתוחכם", יהמר סכום של שקל אחד כל אחת מ-1000 התוצאות האפשריות (ב"השקעה" של 1000 שקלים), יפסיד את כספו ב-999 מהימוריו, ובהימור ה-1000 יקבל 600 שקלים. בסופו של יום, אותו מהמר הפסיד בסך הכל 400 שקלים.

כאמור, המהומה התקשורתית והמשפטית מתחוללת סביב משחק מעט יותר מסובך. ב"משחק המשולב", ניתן, בין היתר,  לזכות בפרס גם אם המספר עליו מהמרים אינו זהה למספר שעלה בגורל, בתנאי שההימור היה על אותן הספרות של המספר שעלה בגורל, בסדר שונה. לדוגמא, מי שיהמר על המספר 123 יוכל לזכות בפרס גם אם עלה בגורל המספר 321 או 213, וכולי. מי שהימר על 747 יזכה גם אם יעלו בגורל 477 או 774, אבל מי שיהמר על 666 יזכה רק אם יעלה בגורל המספר 666. מה הסיכוי לזכות בהימור כזה? באתר מפעל הפיס כתוב (נכון להיום) כי הסיכוי הוא 1 ל-241.5. איך מחשבים את הסיכוי?

אפשר להתחיל לחשב (עמית גל  עשה את זה בבלוג שלו). אני בחרתי בגישה אחרת, גישת מונטה קרלו, שאדגים כאן מייד. זאת לבקשת הקורא עמית (האם זהו עמית גל?) באחת התגובות לרשימה על פריז ובעיית המחט של בופון.

כל אחד יכול לעשות את זה בבית. צריך פשוט לשחק את המשחק מספר רב של פעמים. אפשר לקחת קוביה מיוחדת עם 10 צדדים (לשחקני מבוכים ודרקונים יש קוביות כאלה), או לשים בתוך כובע 10 כפתורים זהים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת הספרות 0 עד 9. מטילים את הקוביה (או מוציאים כפתור מהכובע ומחזירים אותו) 3 פעמים – זוהי הדמיה של הגרלת המספר של מפעל הפיס. אח"כ בוחרים באותו אופן את המספר עליו מהמרים. כעת אפשר לבדוק אם "זכינו". חוזרים על התהליך מספר רב של פעמים, ובודקים באיזה אחוז מהפעמים אכן זכינו. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי אחוז הזכיות בניסוי שלנו יהיה קרוב מאוד להסתברות האמיתית. משפט הגבול המרכזי מבטיח כי ההפרש בין אחוז הזכיות בניסוי ובין ההסתברות האמיתית יהיה בסדר גודל של אחד חלקי שורש מספר הניסויים. למשל, אם רוצים דיוק של אחוז אחד, צריך לחזור על הניסוי 10000 פעם.

זה כמובן עלול להיות מאוד מייגע. ניתן כמובן, לכתוב תכנית מחשב שתבצע את התרגיל הזה. כתבתי אחת כזו (בשפת SAS, לחצו כאן לצפיה בקוד), וערכתי את הניסוי מליון פעם (למחשב המקרטע שלי לקח כמעט 10 שניות לבצע את כל החישובים). התוצאות בטבלה:

סוג המספר שנבחר על ידי מפעל הפיס מספר התוצאות מספר הזכיות הסתברות הזכיה יחס זכיה מקורב
3 ספרות זהות (למשל 666) 9902 6 0.000605938 1:1650
2 ספרות זהות (למשל 747) 269580 774 0.002871133 1:348
3 ספרות שונות (למשל 123) 720518 4314 0.0059873590 1:167
סך הכל 1000000 5094 0.0050940000 1:196

השורה התחתונה אומרת כי הסתברות לנחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו היא 0.005094, שזה בערך 1 ל-196. החישוב של עמית גל הגיע לתוצאה של 1 ל-194.  בגדול, הפרסום המקורי של מפעל הפיס, לפיו סיכויי הזכיה הם 1 ל-200, היה נכון בקירוב. הפרסום הנוכחי מתאר סיכויי זכיה נמוכים יותר, ולדעתי הוא שגוי. עם זאת, גם עמית וגם אני לא לקחנו בחשבון כי מי שזוכה בפרס הראשון כבר לא זוכה בפרס השני (תודה לעמית על שהעיר את עיני על כך בתגובתו). המאורע "המהמר ניחש אתשלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו" מכיל בתוכו את המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר הנכון".  לכן, צריך להחסיר מההסתברות שקיבלנו, 0.005094, את ההסתברות לניחוש כל שלוש הספרות בסדר הנכון, 0.001, ולכן נקבל כי ההסתברות לזכיה בפרס השני, שהיא הסתברות המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו, אך לא בסדר הנכון", היא 0.004094 בקירוב, כלומר בערך 1 ל-244, ערך קרוב למדי לערך המופיע באתר מפעל הפיס (1 ל-241.5).

מהי תוחלת הזכיה במשחק כזה? מי שיהמר על שקל, ירוויח 24 שקלים בהסתברות 0.005 בערך, ויפסיד שקל בהסתברות 0.995.  זה נותן תוחלת הפסד של 0.875 שקלים. במלים אחרות – מפעל הפיס משאיר בידיו  87.5% מכספי ההימורים במשחק הזה. ובכן, בחישוב התוחלת יש לקחת בחשבון את כל הפרסים והסתברויות הזכיה בהם. על כך אכתוב בקרוב רשימה נוספת.

13 תגובות ל“סיכויי הזכיה בפיס 123”

  • תגובה מאת דובי
    תאריך 20 בנובמבר 2010 02:15

    אז איך הם הגיעו להסתברות שהם מציגים?

    • תגובה מאת אורי
      תאריך 20 בנובמבר 2010 06:33

      הם הניחו שאתה בוחר את המספרים שלך באקראי (באופן אחיד).

      • תגובה מאת יוסי לוי
        תאריך 21 בנובמבר 2010 11:58

        וזאת הנחה סבירה, כי בסך הכל יש עשרות אלפי מהמרים, שעשויים לבחור את כל אחד מהמספרים.
        עכשיו אסתור את עצמי ואומר שזה לא בהכרח המצב. אני זוכר שקראתי פעם מאמר ב-CHANCE על צירופי מספרים פופלריים בלוטו של קליפורניה. צירופים כמו 5, 10, 15, 20, 25, 30 ודומיהם היו פופולריים במיוחד, מעבר למצופה בהתפלגות אחידה.
        למפעל הפיס יש את הנתונים לבדוק אם ההנחה הזו סבירה, לנו אין.
        לכן, כל החישובים מבוססים על ההנחה שהמהמר בוחר את המספר שלו באופן מקרי ואחיד מבין 1000 הצירופים האפשריים.

  • תגובה מאת עמית
    תאריך 20 בנובמבר 2010 11:48

    הפעם הפיס צודקים (אבל מטומטמים). סיכוי הזכיה הוא אכן 1:241.5
    מה שהשמטת בחישוב שלך, וגם אני עשיתי זאת בהתחלה בחישוב שלי, הוא העובדה שמדובר בפרס השני. וצריך להפחית מהסיכויים שחישבנו את הסיכוי לזכות בפרס הראשון. כלומר בגישת מונטה קרלו שלך (סוד: לפני שניגשתי לחישוב המדוייק, גם אני עשיתי סימולצייה), היית צריך לספור רק את אותם מקרים בהם המנחש הצליח, אך ממש לא בסדר הנכון (שכן ניחוש בסדר הנכון מביא לפרס הראשון). אם מורידים מ1/194 את סיכוי הפרס הראשון 1/1000, מקבלים בקרוב 1/241.5

    אז למה מטומטמים?
    שכן סיכוי הזכיה הזה הוא סיכוי על פני כל המספרים שמשתתף יכול לבחור. משתתף אבל יכול באופן מודע לבחור רק מספרים בני שלוש ספרות שונות. או אז, סיכויי הזכיה שלו בפרס השני הינם 1:200, וזאת בלי לפגוע בסיכויי זכייתו בפרס הראשון, השלישי והרביעי.

    כיוון שמכפיל הפרס נקבע על סמך ההסתברות, יוצא שמפעל הפיס מחשב את מכפיל הפרס על סמך הסתברות נמוכה מזו שמשתתף אינטיליגנטי יכול להבטיח לעצמו – מה שעשוי להקטין את רווחי מפעל הפיס מהמשחק.

    את כל הנ"ל הוספתי גם בתגובות לפוסט שלי בנושא. כאמור גם בחישוב שלי לא התחשבתי תחילה בעובדה שמדובר בפרס שני, והתעלמתי מההפרדה בין הפרס השני לראשון. (הערה לעצמי: אולי כדאי לערוך את הפוסט)

    • תגובה מאת יוסי לוי
      תאריך 21 בנובמבר 2010 12:00

      תודה על ההערה. תיקנתי את הפוסט בהתאם, ואכתוב גם פוסט המשך לאור זאת.

  • תגובה מאת גדי איידלהייט
    תאריך 20 בנובמבר 2010 18:53

    אני דווקא מאד אוהב את המשחק 123. זכיתי בו פעם ב-10,000 ש"ח (על השקעה של 100 ש"ח)

    • תגובה מאת יוסי לוי
      תאריך 21 בנובמבר 2010 12:01

      זה בסדר גמור, כל עוד אתה מתייחס לזה כאל משחק ולא כאל "השקעה".

      אני זכיתי בפרס השני בלוטו בשנת 1981, כ-10000 שקלים ישנים.

  • תגובה מאת שי
    תאריך 21 בנובמבר 2010 11:19

    ומוסר ההשכל כאן, או לפחות הלקח שאני למדתי, הוא שגם כשנדמה שחישוב ההסתברות הוא טריוואלי, הוא לא בהכרח כך. מכאן גם הטעות המקורית של מפעל הפיס — ההסתברותן שלהם נאיבי.

    • תגובה מאת יוסי לוי
      תאריך 21 בנובמבר 2010 12:01

      מוסר השכל חשוב ביותר. תמיד צריך לבדוק, ורצוי גם לבקש ממישהו שיבדוק אותך.

  • תגובה מאת עמית
    תאריך 22 בנובמבר 2010 02:38

    כל הכבוד על החישוב, על התכנות (אני הייתי משתמש ב-Java), ועל תיקון הטעות בקו מוחק (אני אשקול לאמץ את האסטרטגיה הזו).

    יחס כזה או יחס אחר, הפיס תמיד נשאר המס על טיפשות. לפחות מצאנו עוד שיטה להרוויח מהפיס מלבד לעבוד בפיס. אפשר לחכות שהפיס יטעה ואז לתבוע אותו.

  • תגובה מאת תיווך נכסים
    תאריך 11 בפברואר 2014 00:39

    אחלה מידע תודה רבה

  • תגובה מאת רפי א
    תאריך 15 באוקטובר 2014 16:00

    אני אוהב את המשק 123 "רגיל".
    זוכה בו בתדירות גבוה בגלל חישובי סטטיסטיקה.
    מקווה שיתאפשר בעתיד יותר בטופס לשחק יותר מ-4 הגרלות.
    רק שהמשחק לא ישוחק יותר מפעם אחת ביום…

  • תגובה מאת רפי א
    תאריך 15 באוקטובר 2014 16:20

    דבר נוסף:
    במשחקי 123 אני משתמש בשיטה מצומצמת:
    לדוגמא תוצאה שמורכבת משלוש ספרות שונות – ABC
    סה"כ האפשרויות הן 720
    לתוצאה עם שתי ספרות זהות ואחת שונה AAB
    האפשרויות הן 270
    וכן 10 אפשרויות למספר שכל הספרות זהות

    כדאי לשים לב לצירופים ה"לא הגיוניים" בהגרלות.
    לדוגמא – כשיש שתי ספרות וספרה אחת זה 2:266
    כלפתע אנו עדים שהתחלפו היוצרות ויש פתאום רצף הגרלות
    (מתוך 10 הגרלות 6-7 תוצאות עם AAB, כשהצירוף הסטטיסטי
    אמור להיות דווקא ABC)
    ואם זה כך, אז פשוט – אני מתאים את עצמי לצירוף המוזר ומשחק על AAB בצירוף של 4 ספרות (36 אפשרויות, שזה כיסויי מעשי של 40% מהספרות… בצירוף כזה צריך לנחש שתי ספרות)

    כדי להגדיל את הזכייה, אני בוחר לשלוח ב-3 עד ארבעה סכומים כספיים אקראיים: לדוגמא בצירוף מצומצם של 6 אפשרויות
    משחקון על הצירוף ABC בשיטה מצומצמת זה 6 צירופים.
    אז אני בוחר 3 סכומים
    1 ניחוש = 3 ש"ח
    2 ניחושים = 2 שח"ח
    3 ניחושים = 1 ש"ח
    סה"כ משחקון בעלות 10 ש"ח – האפשרויות לזכייה, במקרה שניחשתי בכל צורה את שלוש הספרות הן: 600 ש"ח – 3 אפשרויות, 1200 ש"ח שתי אפשרויות ו-1800 ש"ח אפשרות אחת…
    למעשה כשיש קבוצת מספרים חמה (מבחינתי – "כאילו" נבחרה קבוצת מספרים AAB) אני מכפיל ואף מגדיל הסכומים ל- 1=25 ש"ח, 2=10 ש"ח, 3=5 ש"ח…
    זכיתי כך כבר בעשרות אלפי ש"ח…
    וכשאני מרגיש שבמפעל הפייס מעמידים את ההגרלה ל"יד גורל "- אני בוחר לא לשחק…
    כי אז אני נופל בסטטיסטיקות… (עניין של אי שקילת הכדורים וכדומה)

תגובה