נסיכת המדעים

הירחון Physics World ערך בין קוראיו סקר לבחירת המשוואה היפה ביותר של כל הזמנים. תוצאות הסקר פורסמו בגליון האחרון.

את המקום הראשון חלקו משוואות האלקרומגנטיות של מקסוול והנוסחא הנצחית של אוילר:

הסקר עסק בנוסחאות פיזיקליות (שלא ממש מעניינות אותי), ולכן העובדה שמשוואת אוילר הביסה פייבוריטים כמו הנוסחה המפורסמת של איינשיין (e=mc²), החוק השני של ניוטון (F=ma) ומשוואות שרדינגר (שדווקא כן מדברות אלי בגלל האלמנט ההסתברותי שהן מבטאות – ראו את הלוגו של הטור הזה על אלוהים והקוביות), מרגשת אותי במיוחד.

למקומות מכובדים הגיעו גם משפט פיתגורס והשוויון שרק נראה פשוט, האומר כי 2=1+1.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 11 באוקטובר 2004 00:00 במדור ….הממממ… מעניין שם התקבלו 4 תגובות

טוב, אז גם אני קראתי את הספר הזה. מראש הוא נראה מבטיח. בראש רשימת רבי המכר. הביקורות מהללות. ספר רגיש ונוגע ללב. הסופר מצליח לחדור בכשרון אל תוכי נפשו של הילד. ויש גם מתמטיקה. אני אוהב מתמטיקה. הפרקים ממוספרים במספרים ראשוניים. יש הסברים ותיאורים של כל מיני נושאים במתמטיקה: המשוואה הלוגיסטית. בעיית מונטי הול. נפת ארטוסתנס. החיילים של קונווי. ממש מרקחת מנצחת. ויש גם פיזיקה, ביולוגיה ועוד.

אבל ככל שקראתי והתקדמתי בספר, נעשיתי יותר ויותר כעוס. למעשה, רק בגלל שהחלטתי לכתוב כאן על הספר, המשכתי לקרוא אותו עד סופו. למה בעצם?

אולי בגלל שהתיאורים המתמטיים (וגם התיאורים המדעיים האחרים) נראים כאילו הועתקו מאיזה אתר? לא. אני מניח שהסופר  טרח לשוות לתיאורים האלה מראה שטחי כדי להדגיש שמדובר כאן בילד בעל זיכרון פנומנלי, שאוצר במוחו כל פריט מידע שנכנס אליו.

אולי בגלל שהספר כתוב בצורה ספרותית ירודה? האמת, אין לי שום כלי לשפוט האם זה כך. מבקרי הספרות מהללים את הספר, ואני סומך על דעתם. אז זה לא העניין הספרותי.

מה שהרגיז אותי זו המשוואה שהוצבה מול הקורא:  אוטיזם=מתמטיקה. על כריכת הספר קובע אוליבר סאקס, מחברם של ספרי פסיכולוגיה פופולארית, כי "מארק הדון חודר בכשרון לתודעה של נער אוטיסט". וגם מסופר כי "כריסטופר בון… פותר בקלות בעיות סבוכות במתמטיקה". יש לנו אוטיסט. יש לנו נער בעל כשרון למתמטיקה. בינגו.  וכולם בטח ראו או לפחות שמעו על הסרט Rainman , שם דאסטין הופמן לבש דמות של אוטיסט בעל כישורים חישוביים. והניוזלטר "הקולקטיב" מזכיר במהדורתו האחרונה את איש הגשם בצירוף לינקים על ה"תופעה המרתקת של ה- savants, אוטיסטים בעלי כישורים מנטליים חריגים".  ויש גם עוד מתמטיקאים שחלו בנפשם (נאש, קנטור, גדל).

עכשיו זה כבר לא משנה שכריסטופר, גיבור הספר, אינו אוטיסט (למרות האבחון של אוליבר סאקס), וגם לא ממש משנה שהוא אפילו לא עונה להגדרה של savant. המסר כבר הועבר.

אני חושב שלו היה מארק האדון סופר כל כך גדול, היה מצליח לחדור בכשרון לתודעה של נער אוטיסט (סליחה, נער הסובל מתסמונת אספרגר) גם אם הנער הזה לא היה בעל כשרון למתמטיקה. אבל אפשר לעשות את החיים קלים, לא?

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 29 בספטמבר 2004 12:34 במדור ספרים וסרטים שם התקבלו 8 תגובות

סקרי דעת קהל  הם כלי נפוץ להשבעת הרצון לחזות את העתיד. כך גם במערכת הבחירות לנשיאות בארה"ב. יואב קרני מנהל באתרו האישי ב"רשימות" רשימת קישורים העוקבת אחרי סקרי דעת הקהל במערכת בחירות זו, עבור כל אלה שלא מוכנים להמתין בסבלנות עוד חודשיים.

אולם יש עוד דרכים לנסות לחזות את העתיד. לפרופ' ריי ס. פייר, כלכלן מאוניברסיטת ייל, אין כדור בדולח, אולם הוא מפצה על כך בידע. פייר חיבר ספר בשם  "Predicting Presidential Elections and Other Things", ובתרגום חופשי "כיצד לחזות את התוצאות בבחירות לנשיאות ודברים נוספים".  למעשה, ספר זה הוא טקסט ללימוד הטכניקה הסטטיסטית הידועה בשם "רגרסיה לינארית", ומודלים סטטיסטיים נוספים המהווים הכללות של הטכניקה הבסיסית. הכלכלנים, מסתבר, כל כך מאוהבים במשפחת המודלים הזו, עד שהעניקו לה שם חיבה: "אקונומטריקה" – או "מדידה כלכלית".

העיקרון הוא פשוט:  אתה משער שיש קשר של סיבה ותוצאה בין שני משתנים, X ו-Y. אתה אוסף כמות מספיקה של תצפיות אודות שני המשתנים האלה, ובעזרתן מנסה למצוא נוסחה Y=aX+b המתארת את הקשר בין שני המשתנים. את הערכים a ו-b אומדים מתוך הנתונים, בעזרת שיטה שפותחה ע"י המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס ושוכללה ע"י דורות של סטטיסטיקאים.

ובכן, פרופ' פייר ניסה לחזות את התוצאות לבחירות לנשיאות ארה"ב באמצעות שיטה דומה. ה-Y שלו הוא אחוז הקולות שמקבל אחד המועמדים, והוא משתמש במספר X-ים, שהם מדדים כלכליים שונים. פייר חוזה כי בבחירות הקרובות לנשיאות ארה"ב יקבל ג'ורג' וו. בוש 58% מהקולות.

בראיון לניו-יורק טיימס מסביר פייר מדוע הוא צודק והסקרים המתארים מירוץ צמוד טועים (ציטוטים בתרגום חופשי): "יש גבול למידת האמינות של הסקרים… המודל שלי הוכיח עצמו היסטורית עם טעות ממוצעת של 2.5% בלבד… מלחמות לא משפיעות על תוצאות הבחירות, רק האינדיקטורים הכלכליים."

אל תעצרו את נשימתכם. ב-1991 חזה המודל של פייר כי ג'ורג' בוש יביס את המועמד האלמוני מארקנסו, ביל מה-שמו. כמו כל כלכלן, ידע פייר להסביר מדוע המודל שלו טעה במקרה זה: לדבריו, השיפור  במצב הכלכלי החל בעקבות מדיניות בוש, אך הבוחרים החלו להרגיש בו רק ב-1992, אחרי שקלינטון כבר תפס את מקומו בבית הלבן.

למתמטיקאי ג'ון אלן פאולוס מאוניברסיטת טמפל שבפילדלפיה יש עוד כמה טיעונים נגד המודל של פייר: כמות הנתונים בו קטנה למדי, המודל הופעל לראשונה ב-1978 על נתונים היסטוריים ולכן רוב ההצלחה שלו נובעת מעצם תהליך הבניה של המודל,  וכמו כן, יש אינדיקטורים כלכליים נוספים שלא נכללים במודל אך עשויים להשפיע על תוצאות מערכת הבחירות הנוכחית.

אני אוסיף עוד הערה אחת: המודל לא באמת מנבא. המודל הוא ניחוש אינטליגנטי לגבי מאורע שיקרה בעתיד. זה מה שהסטטיסטיקה יכולה להציע לגבי העתיד: ניחוש אינטליגנטי. זה לא מעט, אבל לא יותר מכך.
אני מציע שנחכה לנובמבר (או עד לסיום ספירת הקולות בפלורידה) ונראה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 בספטמבר 2004 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 6 תגובות

עדכון מתאריך 28 בננובמבר 2008: המודל צדק הניבוי המנצח, אך לא בפער הקולות (למעשה, בוש קיבל פחות קולות מגור ונבחר בזכות עיוותי שיטת האלקטורים)

מכירים את החשבון לפיו כמעט ולא עובדים? יש 365 ימים בשנה. נוריד 104 ימי סופשבוע, 30 ימי חג (כולל ערבי חג), 24 ימי מילואים, 30 ימי מחלה, 21 יום חופשה שנתית, גשרים, שעות בטלה בשעות העבודה, הפסקות צהריים, עיצומים, איחורים וסידורים, ונגיע איכשהו לכך שכל אחד עובד למעשה רק יום אחד בשנה, אז פלא שהכלכלה על הפנים?

לבדיחה הזו יש זקן כל כך ארוך, שאפילו ילד בכיתה ג שתספר לו אותה יביט בך ברחמים. אבל, עיתון מכובד יכול גם יכול ליישם את הרעיון שבבדיחה לעניין רציני ביותר שנדון בכתבה במוסף הכלכלי המכובד.
אז מה העלות של לימודים אקדמיים במדינת ישראל? לפי ידיעות אחרונות/Ynet, "מחירו של תואר ראשון בישראל בשנת 2004/5 הוא לא פחות מ-178,260 שקל".

איך הם הגיעו לזה? כמו כל מסע בן אלף מילין, גם מסע זה מתחיל בצעד הראשון. להלן תיאור התחשיב, שנעשה עבור העיתון משה וסמדר קצין מחברת חשב.

לתוך העלות נמזגו טופס מועמדות והרשמה, שכר לימוד, תוספת לקורסים חיצוניים,  ספרי לימוד, מחברות, כלי כתיבה וחומרי עזר, תשלומים עבור אישורים, וגם עלויות צילומים, שירותי הדפסה ואפילו דמי שמירה. על חלק מהסעיפים ניתן אולי להתווכח, אבל ברובם מדובר בסכומים קטנים. סך כל הסעיפים האלה מגיע ל-35,575 ש"ח, או כ-1000 ש"ח לחודש במשך 3 שנים. לא סכום שיש לזלזל בו. אבל גם לא סכום שיוצר כותרת.

אז בואו ונוסיף עוד עלויות: הוצאות נסיעה – 7560 באוטובוס או 6020 ברכב פרטי, כולל עלות החניה (בעיתון סוכם סעיף זה כ-5940 ש"ח בממוצע – בין הפותרים נכונה יוגרלו תודות). ארוחות בקפטריה – 3600 ש"ח, טלפונים הקשורים בלימודים – 360 ש"ח, מגורים – 10,800 ש"ח. הנה עוד 20,700 ש"ח.  עם המנה הראשונה, הכל מסתכם ל-56,275 ש"ח. כמובן, יש כאן את ההנחה שמי שאינו סטודנט אינו זקוק לשירותי תחבורה או לרכב כדי להגיע לעיסוקיו הרבים והמגוונים, אינו אוכל, חי ברחוב, וטלפונים שאינם קשורים בלימודים הם בחינם, כמובן.
אבל – עדיין אין מספיק בשר לכותרת. לכן – הנה הקינוח: אובדן שכר פוטנציאלי. "זהו הנתון החשוב ביותר בחישוב עלותו של התואר הראשון" – טוענים בעלי הכתבה. החשבון: במקום ללמוד אפשר לעבוד, ולהשתכר 5157 ש"ח נטו לחודש (השכר הממוצע במשק). אבדן ההכנסה לפי תחשיב זה הוא 123,786 ש"ח. נוסיף את זה ל-56,275 השקלים שהיו לנו, נפחית קצת הנחות לסטודנטים, ונגיע ל-178,260 ש"ח.

יופי, ממש יופי.

תרשו לי לעשות חשבון קצת אחר.

להערכתי עלות הלימודים היא 36,000 ש"ח, לא כולל נסיעות, מגורים, מחיה, הוצאות רפואיות, וכל הוצאה אחרת שלא קשורה ישירות ללימודים.

הכנסה ללא לימודים – אדם שיבחר להיכנס ישירות לשוק העבודה, ויעבור מגיל 21 עד גיל 67, כלומר 46 שנה,  ישתכר על פי הערכתי כ-4000 עד 5000 ש"ח ברוטו לחודש. הכנסתו משכר של אדם זה תהיה לכן לכל היותר 2,760,000 ש"ח.

אדם שילמד לימודי תואר ראשון מגיל 21 עד גיל 24, יוכל להרוויח לאחר סיום לימודיו שכר הגבוה מהשכר הממוצע במשק (שהרי שכרו הממוצע של בעל השכלה אקדמאית גבוה משכרו הממוצע של מי שאינו בעל השכלה כזו). לאקדמאי שלנו יוותרו 43 שנות עבודה, ובהנחה השמרנית ששכרו הממוצע לאורך שנים אלה יהיה 8000 ש"ח ברוטו בלבד, ישתכר במשך שנות עבודתו 4,128,000 ש"ח ברוטו. לא נשכח כי אותו אדם שילם 36,000 ש"ח תמורת לימודיו. לא, בואו ניקח את 56,275 השקלים שחישב העיתון. נחסיר סכום זה מ-4,128,000  ונקבל 4,071,725 ש"ח, שזה 1,311,725 ש"ח יותר מהכנסתו של אותו אדם שהעדיף להשתלב בשוק העבודה במקום לפנות ללימודים אקדמאיים.

אמור מעתה: לימודים אקדמאיים הם השקעה שתשואתה לפחות 2300%. ללא ספק – ההשקעה המשתלמת ביותר במשק.
 

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 23 באוגוסט 2004 00:00 שם התקבלו 9 תגובות

אחד האנשים הנושאים באחריות להתפתחותי כמתמטיקאי הוא מר יוסף רוטנברג ז"ל, שהיה המורה שלי למתמטיקה בכיתה י"א וגם בתחילת י"ב, עד שחלה ונפטר. לא נעים לומר (כי יש לכבד את המת) אבל אין ברירה: מר רוטנברג היה אחד המורים הגרועים ביותר שהיו לי אי פעם, וללא ספק הגרוע ביותר מבין כל המורים (והמורות) למתמטיקה שלמדתי אצלם.

טכניקת ההוראה שלו הייתה פשוטה: הוא מסר לנו את ההגדרות הבסיסיות של הנושא הנלמד (נניח – הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות), ולפעמים גם מסר בידינו משפט או שניים (בנושא הטריגונומטריה זכיתי ללמוד ממנו את הוכחת הנוסחה לסינוס סכום של שתי זוויות, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוס – זהו). עכשיו, תלמידים מכובדים, פתחו את הספר ופתרו את תרגיל מספר 1. מי שהצליח מצביע, ונקרא אל הלוח להציג את פתרונו בפני שאר הכיתה. עכשיו נעבור לתרגיל 3 (תרגיל 2 – לשיעורי הבית), ואח"כ ל-5, וכן הלאה. למעשה, למדנו את החומר בלימוד עצמי. הכשרה מצויינת למי שמתעתד להיות מתמטיקאי מקצועי, אבל לא לתלמיד בכיתה י"א שחושש לגורלו בבחינת הבגרות.

ובכל זאת – יש הגיון בשיגעון. כאשר הייתי סטודנט, מספר שנים מאוחר יותר, נהגתי לגשת לספריה בתחילת כל סמסטר ולצלם את הבחינות משנים קודמות בקורסים שהתעתדתי ללמוד באותו סמסטר. מיותר לציין שכל הצצה בטופס בחינה עוררה בי חלחלה – הכל נראה בעיני כסינית עתיקה. כמובן שטופס בחינה בנושא ניתוח שונות למשל נראה אחרת לגמרי בסוף הסמסטר מאשר בתחילתו. השיטה של מר רוטנברג חסכה את המבט לעתיד.

ההיגיון של מר רוטנברג אמר –  מי שלומד לשחות, כדאי שיעשה זאת במים הרדודים, ומי שאינו יודע לפתור את שאלה מספר 3, עדיף לו שלא ינסה כלל להתמודד עם שאלה מספר 5. אכן, קו מחשבה נכון בהחלט, וכפי שהמתמטיקאים אומרים – זהו תנאי הכרחי, אבל בהחלט לא מספיק.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 22 באוגוסט 2004 00:00 במדור מתמטיקה של בית-ספר

לפני "כמה" שנים, בערך שנה אחרי שסיימתי את הב.א. שלי במתמטיקה, חיפשתי עבודה. רציתי לעשות משהו שאני אוהב, שלא ידרוש ממני הרבה שעות עבודה, ויאפשר לי להמשיך בעיסוקים שלי באוניברסיטה (הייתי אז מאסטרנט, וגם עבדתי כמתרגל).

בתמימותי, החלטתי שמה שאני צריך לעשות זה להיות מורה למתמטיקה,  וכך, בראש חודש ספטמבר שנת אלף תשע מאות לא משנה כמה, התייצבתי בחדר המורים של בי"ס תיכון מקצועי לא ממש ידוע בעיירת פיתוח לא רחוקה ממרכז הארץ. קיבלתי לידי כיתה י' אחת, כיתה י"א אחת במסלול "עיוני", ושתי כיתות י"ב – האחת "עיונית" (5 תלמידים) והשנייה של בנות מגמת התפירה שנכשלו שנה קודם לכן במבחן של 3 יחידות והחליטו לנסות שוב בכיתה י"ב.

מי שמכיר אותי מספיק בטח יסכים איתי שמתמטיקה אני יודע. ובאותה עת גם לימדתי בהצלחה באוניברסיטה מזה שלוש שנים (הייתי מתרגל כבר בשנה ג'). אבל ללמד בבית-ספר – זה סיפור אחר. הייתי מורה גרוע. נקודה. ואחרי שנה – פרשתי מההוראה ופניתי לעיסוקים שבהם אני יותר מוכשר.

מורה בבית הספר צריך לדעת לעמוד מול כיתה, לנהל מאבק כוחות ומוחות מול התלמידים שלא ממש רוצים ללמוד (בטח לא מתמטיקה), צריך לדעת איך להסביר את החומר באופן שהתלמידים יבינו, צריך לעורר בתלמידים רצון ללמוד, צריך לנטוע בתלמידים את האמונה שהם מסוגלים ללמוד ולהצליח, צריך לכבד את התלמידים. אה, כן, ומורה למתמטיקה צריך גם לדעת מתמטיקה.

זה קשה.

נכון, יש הרבה מורים לא טובים במערכת, אפילו מורים גרועים לא חסר. אבל…

אם המורה שלכם לא (היה) כל כך טוב (או טובה…), תעמידו את עצמכם במקומו. תחשבו על מה שהוא צריך לעבור. תחשבו עם מה הוא צריך להתמודד. ותחשבו על זה שהוא בכל זאת בא כל יום, ומנסה לעשות את העבודה שלו. כי כל מורה למתמטיקה יכול להיות פקיד בבנק, ולהרוויח כפליים כסף תמורת עבודה קלה הרבה יותר. המורה שלכם בחר/ה להיות מורה, וזה אומר עליו/ה משהו. משהו חיובי.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 באוגוסט 2004 14:09 במדור מתמטיקה של בית-ספר שם התקבלו 3 תגובות

והנה עוד דוגמא שמספקת הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לתופעת המנהל והפועלים – איך מדד למיקום מרכזי של הנתונים אינו מגלה את כל האמת על התפלגותם.

אתמול הודיעה הלשכה על הצמיחה שהפגין המשק בתחילת שנת 2004, זמן קצר אחרי פרסום תוצאות הסקר החברתי שהתריע על הקשיים הכלכליים הגוברים והולכים בקרב חלק מהאוכלוסייה. אז טוב או רע? התשובה הלא מפתיעה: בממוצע טוב, אבל לחלק טוב מאוד, ולחלק ממש לא. והיטיב לנסח זאת אברהם טל (!) הבוקר בהארץ: "עלייה של 2.3% ברמת החיים לנפש מסתירה את המציאות העגומה, שבה חלק מהאוכלוסייה שיפר את רמת חייו באופן משמעותי, ואילו מצבו של חלק אחר – שכבות המצוקה ומובטלים – לא השתנה כלל, ואפשר שהורע".

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 17 באוגוסט 2004 09:43 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 2 תגובות

אתמול הייתה תכנית הסיום של הסדרה.

חיים הכט טען לאורך כל שאפשר לשנות את המציאות בישראל, ואתמול בחר להביא כדוגמא את כביש חוצה ישראל. בין היתר טען כי הטענה שלו מוכחת על ידי "המדגם הגדול ביותר שנערך בארץ … מיליון ורבע נבדקים… במדגם כזה אין טעות סטטיסטית" (הציטוטים הם מזיכרוני וייתכן שאינם מדוייקים).

בהמשך הוא הסביר למה התכוון: המיליון ורבע הם מיליון ורבע נסיעות שבוצעו בכביש 6 מאז פתיחתו, 95% מהנוסעים בכביש שילמו את אגרת הנסיעה.

מה קורה כאן?

ראשית, הכט מתייחס לאוכלוסיה אחת, שהפרטים בה הם נסיעות, ומסיק ממנה לגבי אוכלוסיה אחרת – אוכלוסיית אזרחי ישראל.

ואם הוא מעוניין בנהגים שביצעו את הנסיעות הרי שמספר הנהגים קטן בוודאות ממספר הנסיעות בכביש. אז יש כאן מדגם עם חזרות. אבל זו בעיה שהסטטיסטיקה יודעת להתמודד עימה.

אבל הבעיה העיקרית היא שקבוצת הנהגים שהשתמשו בכביש חוצה ישראל אינה מהווה מדגם אקראי של קבוצת הנהגים הישראלים – שהרי רובם ככולם בחרו במודע לנסוע בכביש שהנסיעה בו כרוכה בתשלום. אני סבור שקבוצה זו אינה מייצגת את קבוצת הנהגים בישראל, ואם הכט חושב אחרת, עליו להסביר מדוע. הכט נופל במלכודת הגודל – בדגימה הגודל הוא לא הגורם היחידי שקובע. במדגם מוֱּטה, גודל מדגם גדול רק יעצים את הטעות המובנה בהטייה של המדגם.

השורה התחתונה – הטענה כי במדגם כזה אין טעות סטטיסטית היא בלתי נכונה ומטעה. נזק רב לא נגרם אמנם, שכן הכט לא טרח להסיק כל מסקנה סטטיסטית מהנתון שהציג – הוא בסך הכל הראה שמערכת אכיפה משוכללת ומשומנת, משולבת בעונשים דרקוניים  אכן תביא לציות לחוק (או יותר נכון, ל-95% ציות), וסביר להניח שזה יעבוד גם אם השיטה תורחב לתחומים ואוכלוסיות אחרות. בשביל זה באמת לא צריך סטטיסטיקה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 9 באוגוסט 2004 00:00 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 2 תגובות

כמעט כל מי שלמד סטטיסטיקה במסגרת כלשהי (קורס מבוא, או אפילו בבית הספר) שמע על דוגמת "המנהל והפועלים". במפעל מסויים, השכר הממוצע לעובד הוא 5500 ש"ח בחודש. יפה, לא? אבל עיון מפורט יותר בנתוני השכר מגלה כי בין 50 עובדי המפעל, 49 הם פועלים המשתכרים שכר מינימום של 3500 ש"ח לחודש. המנהל, לעומת זאת, לוקח הביתה כל חודש משכורת קצת יותר גבוהה.
ובכן, כיום אין צורך לבדות דוגמאות כאלה. הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מפרסמת באופן קבוע את נתוני השכר. הנה מבחר נתונים מנתוני חודש מאי 2004 שפורסמו לפני ארבעה ימים:
*  שכרם הממוצע של 2.381 מיליון שכירים ישראלים היה 6915 ש"ח .
* שכרם הממוצע של 61.2 אלף עובדים זרים היה 3980 ש"ח.
* שכרם הממוצע של 260 עובדים מיהודה שומרון ועזה לא פורסם בהודעה זו.
ועכשיו מתחיל החלק המעניין: מבין השכירים הישראלים – 65.4% השתכרו "מעל מחצית השכר הממוצע", והשכר הממוצע בקבוצה זו היה 9097 ש"ח. לעומת זאת 27.4% השתכרו "עד מחצית השכר הממוצע", והשכר הממוצע בקבוצה זו היה 1921 ש"ח בלבד. (יוצא ש-7.2% השתכרו בדיוק את השכר הממוצע).
מחצית השכר הממוצע היא 3457 ש"ח. אם כן, ממוצע שכרם של אלה שהשתכרו סכום זה או פחות הוא 1921 ש"ח, שזה בערך אמצע הטווח (הממוצע של הנתון המינימלי והנתון המקסימלי) של התחום 0 עד 3457 (אמצע הטווח הוא (0+3457)/2=1729 ש"ח). אמנם שכר המינימום בישראל הוא כ-3300 ש"ח, ולכן צפוי שממוצע השכר גם בקרב בעלי השכר הנמוך יהיה גבוה משכר המינימום, אך אין זה מתפקידה של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לאכוף את החוק (וכן, אני יודע שיש אנשים העובדים במשרות חלקיות, אבל הממוצעים הם למשרה, לא לעובד). מה זה אומר על ההתפלגות של הנתונים האלה? עושה רושם שהם אחידים למדי. בקבוצת הפועלים אין מנהל שמושך את השכר הממוצע כלפי מעלה. לא מפתיע.
לרוע המזל, הלשכה לא מספקת לנו מידע רב על הקבוצה השנייה, בני המזל שמרוויחים יותר ממחצית השכר הממוצע , כלומר "שכר מינימום פלוס" (3457 ש"ח) ומעלה. הנתון היחיד הוא שהשכר הממוצע בקבוצה זו הוא 9091 ש"ח. כאן כמובן, יש ויש בעלי שכר גבוה המושכים את הממוצע למעלה. לו היה הממוצע בקבוצה שווה בערך לאמצע הטווח (כמו בקבוצת בעלי השכר הנמוך), היינו מקבלים כי השכר המקסימלי בקבוצה זו הוא קצת פחות מ-15000 ש"ח. אבל אנחנו יודעים שלא כך הדבר.  אמצע הטווח הוא הרבה יותר גבוה. להתפלגות של השכר יש זנב ארוך ודק.
מה מטריד אותי בכל הסיפור הזה? הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מעסיקה כמה מהסטטיסטיקאים המוכשרים ביותר בארץ (אני מכיר באופן אישי כמה מהם – חלקם למדו איתי, חלקם היו סטודנטים שלי). אין לי ספק שנתוני השכר נאספו ועובדו באופן המקצועי ביותר, ושלא נעשתה כאן אף טעות מתודולוגית. אבל שהגיעה העת להציג את הנתונים, הדבר נעשה באופן מזלזל ומחפיר. הציון להודעה לעיתונות הוא "נכשל". בהצגת נתונים, ממוצע וחלוקה לשתי קטגוריות לא הומוגניות מציגות תמונה מעוותת. קצת אינפורמציה על פיזור הנתונים הייתה יכולה לחשוף הרבה. מהו השכר החציוני? מהו הרבעון העליון? מה סטיית התקן של השכר? אולי תצרפו איזו היסטוגרמה של ההתפלגות? הנתונים האלה פשוט אינם – לא בהודעה לעיתונות, וגם אינם נמצאים ב"ירחון הסטטיסטי לישראל" שמפרסמת הלשכה.

פורסם ב 8 באוגוסט 2004 00:00 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה | 2 תגובות

משהו מישהו  בתאריך 8/8/2004 8:31:07 PM

ומכל זה

אתה חי? איזה שעמום!

שמאש  בתאריך 8/9/2004 9:40:19 PM

חשוב מאוד מה שכתבת

ומסתדר יפה עם המדיניות הכללית שמשחקת לידי אלה שיש להם על גבם של אלה שחסר להם.

והמשהו מישהו שהגיב כאן מעלי – הוא כנראה לטובת אלה שיש להם ומתנגד לכך שכולם יראו.

התכנים הם חברתיים – יותר מאשר סטטיסטיים. המשהו מישהו הזה – רק מעמיד פני טיפש.