ארכיב עבור תגית מתמטיקה

זכרונות מי"א ריאלית

אחד האנשים הנושאים באחריות להתפתחותי כמתמטיקאי הוא מר יוסף רוטנברג ז"ל, שהיה המורה שלי למתמטיקה בכיתה י"א וגם בתחילת י"ב, עד שחלה ונפטר. לא נעים לומר (כי יש לכבד את המת) אבל אין ברירה: מר רוטנברג היה אחד המורים הגרועים ביותר שהיו לי אי פעם, וללא ספק הגרוע ביותר מבין כל המורים (והמורות) למתמטיקה שלמדתי אצלם.

טכניקת ההוראה שלו הייתה פשוטה: הוא מסר לנו את ההגדרות הבסיסיות של הנושא הנלמד (נניח – הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות), ולפעמים גם מסר בידינו משפט או שניים (בנושא הטריגונומטריה זכיתי ללמוד ממנו את הוכחת הנוסחה לסינוס סכום של שתי זוויות, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוס – זהו). עכשיו, תלמידים מכובדים, פתחו את הספר ופתרו את תרגיל מספר 1. מי שהצליח מצביע, ונקרא אל הלוח להציג את פתרונו בפני שאר הכיתה. עכשיו נעבור לתרגיל 3 (תרגיל 2 – לשיעורי הבית), ואח"כ ל-5, וכן הלאה. למעשה, למדנו את החומר בלימוד עצמי. הכשרה מצויינת למי שמתעתד להיות מתמטיקאי מקצועי, אבל לא לתלמיד בכיתה י"א שחושש לגורלו בבחינת הבגרות.

ובכל זאת – יש הגיון בשיגעון. כאשר הייתי סטודנט, מספר שנים מאוחר יותר, נהגתי לגשת לספריה בתחילת כל סמסטר ולצלם את הבחינות משנים קודמות בקורסים שהתעתדתי ללמוד באותו סמסטר. מיותר לציין שכל הצצה בטופס בחינה עוררה בי חלחלה – הכל נראה בעיני כסינית עתיקה. כמובן שטופס בחינה בנושא ניתוח שונות למשל נראה אחרת לגמרי בסוף הסמסטר מאשר בתחילתו. השיטה של מר רוטנברג חסכה את המבט לעתיד.

ההיגיון של מר רוטנברג אמר –  מי שלומד לשחות, כדאי שיעשה זאת במים הרדודים, ומי שאינו יודע לפתור את שאלה מספר 3, עדיף לו שלא ינסה כלל להתמודד עם שאלה מספר 5. אכן, קו מחשבה נכון בהחלט, וכפי שהמתמטיקאים אומרים – זהו תנאי הכרחי, אבל בהחלט לא מספיק.

 

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 22 באוגוסט 2004 00:00 במדור מתמטיקה של בית-ספר

נשלח: 28 בנובמבר, 2008. נושאים: חינוך.
תגובות: 3 | טראקבק

וידויו של מורה גרוע למתמטיקה

לפני "כמה" שנים, בערך שנה אחרי שסיימתי את הב.א. שלי במתמטיקה, חיפשתי עבודה. רציתי לעשות משהו שאני אוהב, שלא ידרוש ממני הרבה שעות עבודה, ויאפשר לי להמשיך בעיסוקים שלי באוניברסיטה (הייתי אז מאסטרנט, וגם עבדתי כמתרגל).

בתמימותי, החלטתי שמה שאני צריך לעשות זה להיות מורה למתמטיקה,  וכך, בראש חודש ספטמבר שנת אלף תשע מאות לא משנה כמה, התייצבתי בחדר המורים של בי"ס תיכון מקצועי לא ממש ידוע בעיירת פיתוח לא רחוקה ממרכז הארץ. קיבלתי לידי כיתה י' אחת, כיתה י"א אחת במסלול "עיוני", ושתי כיתות י"ב – האחת "עיונית" (5 תלמידים) והשנייה של בנות מגמת התפירה שנכשלו שנה קודם לכן במבחן של 3 יחידות והחליטו לנסות שוב בכיתה י"ב.

מי שמכיר אותי מספיק בטח יסכים איתי שמתמטיקה אני יודע. ובאותה עת גם לימדתי בהצלחה באוניברסיטה מזה שלוש שנים (הייתי מתרגל כבר בשנה ג'). אבל ללמד בבית-ספר – זה סיפור אחר. הייתי מורה גרוע. נקודה. ואחרי שנה – פרשתי מההוראה ופניתי לעיסוקים שבהם אני יותר מוכשר.

מורה בבית הספר צריך לדעת לעמוד מול כיתה, לנהל מאבק כוחות ומוחות מול התלמידים שלא ממש רוצים ללמוד (בטח לא מתמטיקה), צריך לדעת איך להסביר את החומר באופן שהתלמידים יבינו, צריך לעורר בתלמידים רצון ללמוד, צריך לנטוע בתלמידים את האמונה שהם מסוגלים ללמוד ולהצליח, צריך לכבד את התלמידים. אה, כן, ומורה למתמטיקה צריך גם לדעת מתמטיקה.

זה קשה.

נכון, יש הרבה מורים לא טובים במערכת, אפילו מורים גרועים לא חסר. אבל…

אם המורה שלכם לא (היה) כל כך טוב (או טובה…), תעמידו את עצמכם במקומו. תחשבו על מה שהוא צריך לעבור. תחשבו עם מה הוא צריך להתמודד. ותחשבו על זה שהוא בכל זאת בא כל יום, ומנסה לעשות את העבודה שלו. כי כל מורה למתמטיקה יכול להיות פקיד בבנק, ולהרוויח כפליים כסף תמורת עבודה קלה הרבה יותר. המורה שלכם בחר/ה להיות מורה, וזה אומר עליו/ה משהו. משהו חיובי.

 

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 באוגוסט 2004 14:09 במדור מתמטיקה של בית-ספר שם התקבלו 3 תגובות

סטודנט למתמטיקה  בתאריך 8/19/2004 4:17:43 PM

זקוק לרחמים?

 

טוב שהבחנת שאתה לא יכול ואין לך את זה!

ולא..לא… לא כל מורה למתמטיקה יכול להיות פקיד בנק.
בכדי להצליח כפקיד בנק, צריך להיות טוב עם אנשים, לדעת לתת שרות ולהיות קשוב לאחרים. זה בא לפני מתימטיקה , לפני הכל.
ואיך זה אצלך?

שלומית  [אתר]  בתאריך 8/19/2004 5:39:05 PM

ללא נושא

 

בתור מי ששרצה במערכת החינוך כמה וכמה שנים, התלמידים לא צריכים להתחשב במורים. זה לא התפקיד שלהם בחיים. עצם זה שלקחו סטודנט למתמטיקה ושמו אותו כמורה ועוד בבית ספר שצריך כנראה מורה ממש ממש טוב, ולא סטודנט שיצא לפני רגע מהביצה (ואני לא מזלזלת בך – להפך), אומר משהו על מערכת החינוך.
מורה – זה מקצוע. ממש מקצוע. תעודת הוראה, הייתה לך? ידעת משהו על לקויות למידה? מישהו הסביר לך איך מאתרים תלמיד שמתעללים בו בבית? מישהו חנך אותך? הסביר לך איך עובדים עם רשויות רווחה? איך מעודדים תלמידות לתפירה שנכשלו כבר בבגרות אחת, להצליח בשניה? אני בספק… וזה רק משציע על מצבנו הגרוע. גם אני פרשתי, אחרי 4 שנים, בגלל כסף. וחבל לי על זה עד היום. כל יום.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/22/2004 3:45:44 PM

תשובה לשלומית

 

התשובות לכל השאלות (המצויינות) ששאלת הן כמובן "לא", "לא" ולקינוח עוד קצת ,לא".

כן, בית הספר הזה היה זקוק נואשות למורה למתמטיקה (אני הצעתי את שירותי רק ב-20 לאוגוסט). הוא היה זקוק, כמו כל בית ספר, למורה טוב למתמטיקה, אבל התפשר על מישהו שישים נפשו בכפו וייכנס לכיתה.

נשלח: 28 בנובמבר, 2008. נושאים: חינוך.
תגובות: 1 | טראקבק

איך לקרוא את אויקלידס

"איך לקרוא את אויקלידס" הוא מאמר מאת פרופ' רבקה פלדחי שהתפרסם במגזין גליליאו. להלן ציטוט כותרת המשנה של המאמר:

כולנו מכירים את ספרו המונומנטלי של אווקלידס מאלכסנדריה "היסודות", שנכתב לפני למעלה מ-2,000 שנה ומהווה עד עצם היום הזה את הבסיס ללימודי המתמטיקה ואף מודל מרכזי לחשיבה לוגית. המאמר שלהלן, מסביר כיצד תסייע לנו הדקונסטרוקציה בקריאת הספר המשוכפל ביותר בכל התרבות.

 

המאמר מתפרסם אונליין באתר Ynet בשני חלקים( קישור לחלק א וגם קישור לחלק ב ). אתם מוזמנים לקרוא. או להמתין, כמוני, למאמר שיסביר איך לקרוא את המאמר.

 

פורסם לראשונה בתאריך 21 ביולי 2004 13:58 באתר "רשימות" שם התקבלו  3 תגובות:

עומר  בתאריך 7/21/2004 2:14:50 PM

זו לא ממש כותרת מורכבת להבנה או מסובכת מבחינה לשונית. או שאולי המונח דה קונסטרוקציה בלבל אותך?

מ'  בתאריך 7/21/2004 6:12:30 PM

תמורת תשלום נאות. במטבע קשה.

רוני ה.  בתאריך 7/21/2004 9:22:20 PM

צריך להבין שהמאמר הזה לא מדבר על אויקלידס, ואף לא על רקונסטרוציה לשיח של אויקלידס. המאמר הזה בעצם מדבר על דקונסטרוקציה לרקונסטרוקציה, או במילים אחרות, על סופה של הפילוסופיה הרקונסטרוקטיבית בנוסח דרידה.

אתה יכול לחכות בשקט לאסכולה הפילוסופית הבאה. נראה לי שזאת כבר בתהליכי דקונסטרוקציה מתקדמים.

נשלח: 27 בנובמבר, 2008. נושאים: כללי.
תגובות: אין | טראקבק

אסטרטגיות לפתרון בעיות

התמודדות עם בעיות תמיד מהווה אתגר. התמודדות עם בעיות מתמטיות אינה יוצאת מכלל זה. כאשר בעיה מתחום אחד מנוסחת בשפה מתחום אחר – ההתמודדות עלולה להיות קשה מאוד.

אני מלמד קורסים בסטטיסטיקה מזה שנים רבות. שמתי לב כי סטודנטים השולטים היטב בטכניקות סטטיסטיות מורכבות, כושלים בהתמודדות עם בעיות הדורשות מהן ליישם שיטות אלה. גם רבים מתלמידי בית הספר השולטים היטב בטכניקות המתמטיות, כגון פתרון משוואות, כאילו נתקלים במחסום בלתי עביר בהגיעם לפרק המכונה "בעיות מילוליות". 

לא אדון כאן בסיבות לתופעה זו – זהו נושא לרשימה אחרת. אולם, ברצוני להביא כאן דרך אסטרטגית להתמודדות עם בעיות הדורשות פתרון בפרט, ועם "בעיות מילוליות במתמטיקה" בפרט.
 
האסטרטגיה שתתואר כאן הוצעה על ידי המתמטיקאי ג'ורג' פוליה בספרו הקלאסי "כיצד לפתור זאת". היא מורכבת מארבע שלבים:

  • זיהוי
  • תכנון
  • פתרון
  • בקרה
     

כעת נסקור בפירוט את כל אחד מהשלבים.
 
זיהוי

  • קראו את ניסוח הבעיה בעיון.
  • הדגישו את מילות המפתח.
  • נסו להיזכר אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר.
  • בררו מהם הנתונים העומדים לרשותכם.
  • בררו מה מטרתכם – מה אתם מנסים למצוא או להשיג.

תכנון

  • אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר, בררו מה הדמיון בין הבעיה הנוכחית והבעיה הקודמת. כן בררו מה כיצד פתרתם או ניסיתם לפתור אות אותה הבעיה.
  • נסו לנסח בעיה שתהיה דומה לבעיה הנתונה, אבל פשוטה יותר. הפתרון לבעיה הפשוטה עשוי לגלות רמז לבעיה המסובכת.
  • הגדירו שיטות פתרון שאתם מכירים ועשויות להועיל בפתרון הבעיה שלפניכם.
  • כאשר תנסו שיטת פתרון ולא תצליחו לפתור את הבעיה בעזרתה, בדקו מדוע השיטה לא פעלה – שם עשוי להימצא המפתח לפתרון.

פתרון

  • השתמשו בשיטות שהכנתם בשלב התכנון כדי לפתור את הבעיה.
  • אם כל השיטות כשלו, יש לחזור לשלב התכנון ואולי אף לשלב הזיהוי – ייתכן כי פספסתם שם משהו.

בקרה

  • האם הפתרון שקיבלתם הגיוני?
  • האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית כפי שהוגדרה?
  • האם הפתרון משתמש במונחים של הבעיה המקורית?
  • בדקו שוב.

נראה פשוט, נכון? אז מה הבעיה?
כשמגיעים ל"בעיה מילולית במתמטיקה", ניתן לפרט חלק משלבים באופן מדוייק יותר. להלן הסבר מפורט יותר לגבי חלק משלבים.
 
זיהוי

  • קריאת הבעיה: נסו לראות את "התמונה הגדולה", התעלמו מהפרטים. על מה הבעיה?
  • הדגשת מילות המפתח: מלים רבות ניתנות לתרגום מיידי לשפת המתמטיקה. מילים כמו "בסך הכל", "יחד", "בנוסף", "כל" מרמזות על פעולת חיבור. המילים "גדול ב-", "קטן ב-", "ביותר", "בפחות", "לפני", "אחרי" רומזות לפעולת חיסור. המלים "פעמים", "אחוז מ-" או "פי" מצביעות על כפל, ואילו המילים "חלק", "יחס" ו-"פי" רומזות לפעולת חילוק.
  • בעיות דומות: האמינו או לא, כל בעיות התנועה דומות זו לזו, וגם כל הבעיות הטריגונומטריות. אם פתרתם בעיה אחת, קרוב לודאי ששיטת הפתרון "תעבוד" גם בפתרון בעיה דומה.
  • בירור הנתונים: מצאו קשר בין מילים ומספרים. לדוגמא: "בית, שערכו 120,000 דולר, נמכר ב-70% משוויו". המספר 120,000 קשור לערך הבית. המספר 70% קשור למחיר המכירה.
  • בירור המטרה: מילות שאלה ("מה", "כמה") או ציווי ("מצאו", "חשבו") מפנות לנעלם או לערך שאותו יש למצוא כדי לפתור את הבעיה.

תכנון

  • הפשטה: דרך מקובלת לפישוט בעיה היא הוספת נתון. אם בבעיה מסופר על שני אוטובוסים הנוסעים בין טבריה לאילת, נסו לפתור בעיה זהה שבה נתונה מהירותו של אחד האוטובוסים. בעיה זו בהכרח קלה יותר. אם תדעו כיצד להתמודד איתה, אפילו חלקית, עשיתם צעד לפתרון הבעיה המקורית.
  • שיטות פתרון: שיטה יעילה ביותר היא תרגום מהשפה הטבעית לשפה המתמטית, בעזרת מילות המפתח וקישור המילים והמספרים. בדוגמת מכירת הבית, מחיר המכירה הוא 70% משווי הבית, ולכן ניתן לרשום כי מחיר המכירה =  70%x120000.

בקרה

  • הגיון: ערכי מהירות, זמן או מחירים אינם יכולים להיות שליליים. הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ-1 או קטנה מ-0. אם פועל אחד חופר בור ב-4 שעות, והשני חופר את הבור ב-3 שעות, אז הזמן שיצטרכו שניהם כדי לחפור את הבור ביחד חייב להיות קטן מ-3 שעות. מספר הילדים בכיתה חייב להיות שלם.
  • האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית: נתבקשתם לחשב את מהירות האוטובוס, וכתבתם משוואה שבה הנעלם הוא משך הזמן בו האוטובוס נסע מטבריה לאילת. המשוואה נכונה, וגם פתרונה נכון. אבל התשובה, 7 שעות, אינה הפתרון לבעיה המקורית. אאוץ.
  • מונחי הבעיה המקורית: אם הזמנים בבעיה היו נתונים בשעות, כך גם צריך להיות הפתרון.
  • בדקו שוב – זה אף פעם לא מזיק.

קישורים לקריאה נוספת

 

שטות-ניק  בתאריך 7/12/2004 8:23:44 PM

יופי של רשימה, נהניתי.

קיילי המילטון  בתאריך 7/14/2004 4:29:34 PM

האם אתה מכיר שיטות או אסטרטגיות ל"פתרון בעיות" כשהבעיות הן הוכחת משפטים או טענות, לעיתים מורכבות (בניגוד לבעיות חישוב ), או שהאינטואיציה והניסיון הם הכלים היחידים בד"כ?

יוסי ל  בתאריך 7/15/2004 3:46:04 PM

האסטרטגיה היא אותה אסטרטגיה. כמובן שאינטואיציה ונסיון מועילים.

שומאל  בתאריך 4/26/2005 7:49:17 PM

מאמר מגוחך!
זה לא עוזר בכלום לפתור בעיה בדרך זו כיוון שהקושי הוא בעיקר בהבנה הסדר לא יעזור!

נשלח: 25 בנובמבר, 2008. נושאים: חשבון פשוט.
תגובות: אין | טראקבק

לפוסטים הבאים »