נסיכת המדעים

התעשיינים מעדיפים הנהגת מס הכנסה שלילי על פני העלאת שכר המינימום – אבל אלה לא ממש חדשות.

התעשיינים מעדיפים הנהגת מס הכנסה שלילי על פני העלאת שכר המינימום – אבל אלה לא ממש חדשות. הרי בהעלאת שכר המינימום יממנו המעסיקים את ההעלאה באופן ישיר, וחלקה יגולגל על הציבור, ובמס הכנסה שלילי החלוקה תהיה הפוכה –  הציבור יממן את המס השלילי באופן ישיר, וחלק מזה יגולגל על המעסיקים. השאלות המעניינות הן – מה תהיה העלות של כל אחת מהאלטרנטיבות, ואיזה חלק מהעלות יגולגל מהמעסיקים לכלל הציבור, או להיפך.

זה מה שעושה את הידיעה הזו שפורסמה אתמול ב-Ynet למעניינת. על פי הידיעה, התאחדות התעשיינים חישבה ומצאה כי:

• העלאת שכר המינימום ל- 4,500 שקל בחודש תביא לתוספת עלות שנתית של כ-26 מיליארד שקל לכלל המעסיקים במשק – בסקטור העסקי והציבורי כאחד.
• מנגד, העלות הכוללת למשק בהנהגת מס הכנסה שלילי, שיתן לעובדים הטבה זהה, נאמדת בכ-12 מיליארד שקל לשנה.

אכן, מספרים מדהימים, ואם הם נכונים, הרי שללא ספק הנהגת מס הכנסה שלילי עדיפה. אבל, האם המספרים האלה אכן נכונים?

12 מיליארד ₪ לשנה – עלות מס ההכנסה השלילי לפי התעשיינים – הם מיליארד ₪ לחודש. במשק יש 2 מיליון שכירים בערך, אבל מספר השכירים המרוויחים פחות מ-4500 ₪ לחודש הוא נמוך יותר כמובן, ועומד על כ-860 אלף (לפי סקר ההכנסות של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה – טבלה 27). מיליארד חלקי 860 אלף נותן בערך 1160 ₪ תוספת ממוצעת לכל שכיר המרוויח פחות מ-4500 ₪. הגיוני? לא ממש. שכר המינימום הוא 3335 ₪, ולפי התאחדות התעשיינים עצמה, "כדי לתת לעובד, המשתכר כיום שכר מינימום הטבה זהה לשכר שהיה מקבל אילו היה מתעדכן שכר המינימום ל-4,500 שקל לחודש, יש לזכות אותו במס הכנסה בסך של כ-1,120 שקל בחודש". כמובן, שכיר שמרוויח יותר משכר המינימום צריך לקבל זיכוי נמוך יותר, שהרי זיכוי המס אמור להעלות את שכרו ל-4500 ₪ ברוטו. כלומר – הנתון של 12 מיליארד ₪ הינו מנופח. לפי חישובים שאני עשיתי, עלות הזיכוי תהיה 6.8 מיליארד ₪ לשנה בלבד,  על חשבון משלמי המסים, וזאת בהנחה שהמעסיק ישמור על השכר הקודם של העובד עם הנהגת המס. חלק מהעלות הזו תתגלגל בסופו של דבר חזרה אל המעסיקים, כי את הכסף הזה הממשלה תצטרך לקחת או מהעלאת מסים אחרים, או על ידי קיצוץ בהוצאות אחרות, ודבר זה יביא בסופו של דבר לירידה כלשהי בהכנסותיהם.

מאיפה באמת הגיע הנתון של 12 מיליארד? תחשבו לרגע שאתם מעסיקים עובד אחד, ומשלמים לו 4000 ₪ ברוטו לחודש. לפתע מונהג מס הכנסה שלילי. מה תעשו? אתם יכולים להמשיך לשלם לו 4000 ₪, והוא יזכה במס שלילי של 500 ₪ שיעלה אותו לרמת הכנסה של 4500 ₪ לחודש. אתם גם יכולים להוריד את שכרו לרמת שכר המינימום – 3335 ₪ , ואז הוא יזכה במס שלילי של 1165 ₪. לעובד לא אכפת, כיוון שהוא עדיין מרוויח 4500 ₪ לחודש. אתם,לעומת זאת,חסכתם 665 ₪ מעלות שכרו על חשבון משלמי המסים. עכשיו תכפילו 1165 ב-860,000 שכירים, ותקבלו את המיליארד מקודם.

המסקנה החד-משמעית  – התאחדות התעשיינים מודיעה כי אם יונהג מס הכנסה שלילי – הם יורידו מייד את שכר כל העובדים המרוויחים בין שכר המינימום ל-4500 ₪ לרמת שכר המינימום. הורדת השכר הכוללת היא ההפרש בין תחשיב התעשיינים לתחשיב האמיתי, יותר מ-5 מיליארד  ₪, שאותו ישלשלו המעסיקים לכיסם.

מה תהיה העלות האמיתית של העלאת שכר המינימום? זה לא שונה הרבה מהנהגת מס הכנסה שלילי כאשר המעסיקים הוגנים – העובדים יזכו להעלאה של 1165 ₪ אם שכרם הקודם היה שכר מינימום, ובהעלאה קטנה יותר אם שכרם היה גבוה יותר. העובד שלכם למשל, יזכה בתוספת של 500 ₪, וחלק מזה תגלגלו על משלמי המסים – שהרי תשלומי שכר הם הוצאה מוכרת לצרכי מס. העלות היא בערך אותה עלות – קצת פחות מ-7 מיליארד ₪ לשנה.

רגע. אם כך, מאיפה ההפרש של 14 מיליארד שקל בין שני התחשיבים של התעשיינים? "תוספת עלות זו לוקחת בחשבון את השפעת העלאת שכר המינימום גם על דרגות השכר הסמוכות לו, עד לרמה של השכר הממוצע במשק", אומרת ההודעה לעיתונות של התאחדות התעשיינים. קודם כל, לא ברור לי מדוע הנהגת מס הכנסה שלילי לא תיצור השפעה דומה (אולי חלשה יותר), אבל נניח לעניין זה.ההפרש בין שני התחשיבים, 14 מיליארד ₪, מעורר מחשבות. נאמר כאן בעצם שציבור השכירים ששכרו בין 4500 ל-7000 ₪ יזכה בתוספת שכר כוללת של 14 מיליארד ₪ לשנה עקב העלאת שכר המינימום. ציבור זה מהווה את העשירונים החמישי, השישי, והשביעי –  כ-625,000 שכירים, שיזכו עקב העלאת שכר המינימום בתוספת שכר ממוצעת של כמעט 1900 ₪ לחודש. נשמע לכם סביר? לי ממש לא.

מכל הניתוח הזה אני מסיק כי בניגוד להצהרת התעשיינים, העלאת שכר המינימום עדיפה על פני הנהגת מס הכנסה שלילי. עלות העלאת שכר המינימום נמוכה מעלות הנהגת מס הכנסה שלילי, ובנוסף לכך – חלוקת העלות בין המעסיקים לציבור הינה הוגנת יותר.

גילוי נאות: פניתי אל התאחדות התעשיינים וביקשתי מהם אם פרטי התחשיב שעשו – וקיבלתי מהם את מסמך שהינו ככל הנראה ההודעה לעיתונות עליה התבססה הידיעה של Ynet.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 13 במרץ 2006 22:44 במדור כלכלה וחברה שם התקבלו 4 תגובות

יהל זמיר  [אתר]  בתאריך 3/14/2006 12:42:41 AM

ללא נושא

לינק מעניין – הארץ – נשיא התאחדות התעשיינים: אדם בישראל אינו יכול להתקיים מ-3,335 שקל בחודש

בכלל, מס ההכנסה השלילי הוא רעיון גרוע מאוד, לפי נייר עמדה של מרכז אדוה:
http://www.adva.org/ivrit/NegativeIncomeTax.pdf

פועלת קשה  בתאריך 3/14/2006 7:19:50 AM

ללא נושא

מרשים מאד, רוצים עוד!

משוטט  בתאריך 3/14/2006 8:40:00 PM

תמיכה בפועלת קשה

נכון מרשים מאוד, וזה ממש חבל שהאנשים הממש טובים לא מדרדרים את עצמם לפוליטיקה…
אגב יש לי שאלה אחרת מהתחום הכלכלי: האם מישהו יודע מה הנזק שנגרם עקב פיגור בתשלומים? (שאגב מתחיל אפילו מהממשלה עצמה) כמה חברות, במיוחד קטנות, נפגעות מתזרים מזומנים שאיננו רצוי? קראתי כבר כמה כתבות בעיתונים שבהם רואיינו ראשי הסניף הישראלי של חברות בינ"ל והם בדרך כלל אומרים שהתלונה העיקרית עליהם היא הפיגור הנ"ל. בקיצור מהו הנזק, לא החברתי, אלא הכלכלי מימים רבים של צפיה לתשלום?

חיים פ  בתאריך 5/10/2006 8:45:05 AM

נימוק נוסף וחשוב

כמו במקרים רבים נוספים אסור לוותר על רצף הפונקציה. והנה ההסבר:
מעסיק א משלם לעובד 3335. מס שלילי מרים את שכר העובד לדרגה של 4500.
המעסיק רוצה לשפר את שכר העובד (יש גם כאלה!!) אלא מאי? כדי שהעובד יקבל תוספת של 100 שקל למשכורת, המעביד חייב להוציא מכיסו 3335+1165+100שהם 4600 שקל.
ממש מרתיע ! אז המעביד "מוותר" על התוספת. או, לחילופין, מחפש קומבינות.
חיים פ

לפני 7 חודשים פרסמתי כאן רשימה תחת הכותרת "הידד, אנו צומחים", בה התייחסתי לדברי שר האוצר דאז, בנימין נתניהו, כי תוך 10 שנים תימנה ישראל בין 10 המדינות העשירות בעולם. כדי להגיע לכך, על התמ"ג לנפש של ישראל לצמוח לרמה של כ-30,000 דולר לשנה לנפש. ב-2003 היה התמ"ג בישראל כ-16,000 דולר לנפש, וב-2004 עלה לכ-17,000 דולר.
והנה, פורסמה היום ידיעה מפעימה ב-Ynet: מממצאים שהזמין ח"כ רוני בריזון ממרכז המחקר של הכנסת עולה כי בעשר השנים האחרונות היו 606 שביתות, המשק הפסיד יותר מ-15 מיליון ימי עבודה, והנזק שנגרם לכלכלה עלה על 16.5 מיליארד שקלים!

אם כן – הנזק שגרם אבדן יום עבודה הוא 1100 ש"ח ליום, שהם כ-233 דולר. בהנחה שבשנה יש 250 ימי עבודה – זה נותן לנו תמ"ג לנפש של 58,250 דולר, הרבה יותר מהתמ"ג לנפש של מי שהייתה המדינה העשירה בעולם בשנת 2004, לוכסמבורג, עם תמ"ג לנפש של כ-44,000 דולר בלבד.

הידד! צמחנו!

(או שהנתונים של רוני בריזון לא ממש מדוייקים? והוא מנפנף בהם כדי לצבור כמה פרוטות פוליטיות? לא. לא יכול להיות).

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 22 בנובמבר 2005 17:17 שם התקבלו 8 תגובות

רוני ה.  [אתר]  בתאריך 11/22/2005 6:15:15 PM

איזה מן חשבון אתה עושה?

ימי העבודה שהמשק הפסיד הם ימי העבודה של השובתים בלבד.
אבל הנזק שנגרם למשק מהשביתות גדול בהרבה מהמשכורות של השובתים – סחורה שלא הגיעה ליעדה, יצואנים שאיבדו שווקים בחו"ל, עצמאים שלא קיבלו החזרים ממס הכנסה ופשטו רגל והרשימה ארוכה.
בחישוב ישיר של הנזק (16.5 מיליארד ש"ח חלקי ששה מליון אזרחים על פני עשר שנים), השביתות גרמו לנזק שנתי של $57 לתמ"ג לנפש במשך עשר השנים האחרונות. זה לא נתון שמשנה את נתוני התוצר באופן מהותי.

האזרחית ק.  [אתר]  בתאריך 11/22/2005 8:39:15 PM

זה מסביר למה

כך או כך, אני תמיד יוצאת נשכרת

מרק ק.  בתאריך 11/22/2005 9:16:21 PM

בעיה בסיסית כאשר מנסים להשתמש

במתמטיקה. השימוש בדרך כלל דורש הבנה של מושגי יסוד בתחום עליו מישמים שיטות מתמטיות, כמובן שפוליטיקאים ובעלי אג'נדות למינהן פוטרים את עצמם מהטורח הזה.
יוסי, התמ"ג לנפש הוא לכל נפש ולא רק לאנשים עובדים. גם ילדים, זקנים ומובטלים מובאים בחשבון.
בחישוב פשוט, כמות העובדים בישראל מהווה 2/7 מהאוכלוסיה (7 מיליון תושבים מתוכם 4 בגיל עבודה ורק כחצי מהם עובדים) לכן את המספר שקיבלת, שהוא התל"ג לעובד, צריך להכפיל ב2/7 ואז מקבלים מספר שהוא בין 16 ל 17 אלף. אני מניח שבריזון פשוט עשה את החישוב בכיוון ההפוך.
אז מה למדנו היון? שבריזון מבין מונחים בסיסים בכלכלה וגם אריטמטיקה פשוטה.

מרק ק.  בתאריך 11/22/2005 9:40:30 PM

במחשבה שניה

ניתן להשתמש בצורת החישוב הזו לבדוק את תקפות טענתו של אמיר פרץ שהעלאת שכר המינימום תביא לצמיחה.
נניח שבעקבות השינוי כל עובד בישראל מקבל שכר נטו שהוא ב300$ יותר משכרו הנוכחי, ושאותה תוספת מנוצלת רק לצריכה. בחישוב כולל התמג יגדל ב600 מיליון דולר 🙂 והתמג לנפש יגדל ב~90$ 🙁 .
אני מניח שאפילו אמיר פרץ לא מתכוון לטעון ש90$ מתוך 17,000 יכולים להקרא צמיחה, ולכן הייתי מבקש הסבר מכל האנשים כאן למה מתכוון אמיר פרץ כשהוא אומר צמיחה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 11/22/2005 10:22:42 PM

תשובות למרק ק.

יש משהו בטיעון שלך, ולכן בדקתי בפרסומי הלמ"ס והמוסד לביטוח לאומי.
במשק יש כ-2.5 מליון שכירים בכוח העבודה האזרחי, כרבע מליון מובטלים (שחלק נכבד מהם לא היה מובטל רק לפני 3 שנים), עוד כ-300,000 עצמאיים, ועוד מספר לא ידוע של מועסקים בכוח העבודה שאינו אזרחי (כלומר – חיילים בשירות סדיר ובקבע). כלומר מתוך 7 מליוני האזרחים יש לנו כ-3 עד 3.5 מליון עובדים כאלה ואחרים.
זה נותן לנו תמ"ג לנפש של כמעט 30000 דולר לשנה. יודע מה? בוא נהיה שמרנים וניקח רק 3/7 (3 מליון מתוך 7) ועדיין יהיה לנו תמג לנפש של 24000 דולר – ב-50% יותר מהתמ"ג האמיתי.

מרק ק.  בתאריך 11/22/2005 11:07:40 PM

ללא נושא

1. יצאתי אידיוט. צריך להכפיל את ה90 ב12 ואז מקבלים בערך צמיחה של 5%. התנאים שהנחתי היו מאוד אופטימאליים אז במציאות צמיחה אפשרית תהיה בטח בסביבות האחוז ופחות.
2. אין לי חשק לגגל אבל הנתונים על כח העבודה שאתה מביא נשמעים לי אופטימיים מדי. אם אני לא טועה רק 55% מהאנשים בגיל שבין 15-67 עובדים לכן לא נראה לי ש3.5 מליון איש בארץ עובדים, וודאי שחלק מהמשרות המדווחות על ידי הלמס הן חלקיות.
3. וגם אם החישוב של 24,000 נכון זה מוציא את בריזון כאדם שחלש בחשבון במקום כאדם שממציא עובדות.

מרק ק.  בתאריך 11/29/2005 6:22:55 AM

מספר מועסקים

לפי הסקר האחרון של הלמס הוא 2.5 מליון

דרור  בתאריך 12/21/2005 4:14:54 PM

הערכות מלאכותיות

יש כאן הנחה מוטעית כאילו מידת העבודה בכל יום היא זהה. כאילו כל עובד מחלק את עבודתו שווה בשווה – כל יום ומנת העבודה שלו. המציאות שונה לחלוטין. יש כל מיני גורמים שמשפיעים על האינטנסיביות של העבודה בכל יום. יש להניח, שכשעובד חוזר מחופשה או משביתה הוא עובד יותר באינטנסיביות (מרצונו או על-פי דרישות המעסיק) כדי להשלים את הפער בעבודה. הנזק הוא, אם כן, מצומצם יותר מההערכות. יוצאות מכלל זה שביתות שקורות ב"עונה הבוערת". למשל שביתת התחבורה הציבורית בניו-יורק בימים אלה עשויה לגרום יותר נזק כיוון שאי אפשר לערוך את הקניות לרגל החגים בארה"ב אחרי החגים.

את המודעה הזו ראיתי באחד מעיתוני סוף השבוע (הפרטים הפרסומיים הושמטו):

ובכן, 80% חסכון בצריכת החשמל ו-20% הנחה נותנים 100% אחוז חסכון של… מה בדיוק?

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 5 באוגוסט 2005 שם התקבלו 2 תגובות

נורמן בייטס  בתאריך 8/5/2005 6:10:18 PM

עזוב באמ'שך

העיקר שהנורות יאירו את כל רמת-גן.

עזי  בתאריך 8/5/2005 6:43:44 PM

זה ברור!

חיסכון בְּחשבון!

ארגון מסויים הזמין אותי לאירוע, שאמור להיערך באולם סגור. בהודעה על קיום האירוע נאמר כי במקום יהיו "זולות עישון". הלא מעשנים שבין המוזמנים (ומה לעשות, אני נמנה עימם), נזעקו, וטענו כי קיומן של זולות העישון יפגע בהנאתם מהאירוע, ואולי אף ימנע את השתתפות חלק מהם. המעשנים, לעומת זאת, נזעקו וטענו כי איסור על עישון באירוע יפגע בהם ובהנאתם מהאירוע. התחשבות בלא מעשנים, שקולה לדעתם, לחוסר התחשבות במעשנים.

יעל משאלי, כתבה בטורה ב-Ynet לפני כחודש על "תחושה קשה של כפייה חילונית קשה" שחשה בגבעתיים בחג הפסח האחרון. זאת, כיוון שבקניון גבעתיים "מכל בתי הקפה ומתחם המזון המהיר על שפע דוכניו אין אפילו מקום אחד כשר. לא לפסח, לימות השנה!".

איני מעוניין לדון בשני הויכוחים החשובים האלה. ברצוני לכתוב על הכלי המתמטי שהשימוש בו משותף לשני הויכוחים. ברצוני לדבר על יחסים.

בשני המקרים יש שתי קבוצות אוכלוסייה: מעשנים ולא מעשנים בראשון, דתיים וחילוניים בשני. בשני המקרים נדון יחס הכפייה בין הקבוצות. במקרה הראשון, הלא מעשנים דורשים לכפות סביבה ללא עישון על המעשנים (בזמן ובמקום מסוימים), ובו זמנית טוענים כי התרת עישון היא כפיה של רצון המעשנים עליהם. המעשנים, באופן לא מפתיע, משתמשים באותו סוג של טיעון כדי להצדיק את עמדתם.

מתמטיקאים משתמשים ביחסים ללא הרף. לכן, התכונות של היחסים נחקרו (ועדיין נחקרות) ביסודיות. הבה נסקור כמה תכונות של יחסים.

ראשית, נבהיר כי יחס תמיד מוגדר לגבי קבוצה מסויימת של עצמים. יחס הכפיה, למשל, מוגדר לגבי אוסף כל קבוצות האוכלוסייה האפשריות, והוא רלוונטי רק בהקשר הזה. אין משמעות למשפט "הלא-מעשנים כופים את דעתם על המספרים הזוגיים".

לא כל שני עצמים מתייחסים בהכרח זה לזה. המעשנים והלא מעשנים עשויים להתגושש אלה עם אלה, אולם לא סביר כי קבוצת המעשנים מנסה לכפות את עמדתה בנושא מסויים על תושבי מצפה רמון.

האם עצם יכול להתייחס לעצמו? ייתכן. האוכלוסייה הדתית ללא ספק כופה על עצמה אורח חיים של קיום מצוות. שימו לב שאני משתמש במילה "כפיה" במובן המתמטי של יחס, לפיו קבוצת אוכלוסייה מגדירה כללי התנהגות המחייבים קבוצת אוכלוסייה. נא להתעלם מפירוש הסמנטי השלילי של המונח "כפיה". אם כל עצם בקבוצה מתייחס לעצמו, יאמרו המתמטיקאים כי היחס הוא "רפלקסיבי". דוגמא ליחס כזה הוא יחס הדמיון בין בני אדם – שהרי כל אדם בודאי דומה לעצמו.

התמונה נלקחה מאתר המרכז הפדגוגי - מכללת "אורות ישראל" http://www.orot.ac.il

יחס אחר המוגדר בין בני אדם הוא יחס העושר (במובן הכספי של המילה). לגבי כל שני אנשים, אפשר לקבוע אם אדם א עשיר מאדם ב, או שאדם ב עשיר  מאדם א, או שעושרם שווה. אם אברהם עשיר מיצחק, ויצחק עשיר מיעקב, אזי ברור כי אברהם עשיר מיעקב. אם כל שלושה עצמים בקבוצה מקיימים את התכונה הזו (כלומר אם A מתייחס ל-B ו-B מתייחס ל-C אז A מתייחס ל-C, וזאת לכל A, B, ו-C), יאמרו המתמטיקאים כי היחס הוא "טרנזיטיבי".

ומה באשר לקרבת המשפחה? האם זהו יחס טרנזיטיבי? אם משה קרוב משפחה של אהרון, ואהרון קרוב משפחה של פנחס, הרי שמשה הוא קרוב משפחה של פנחס. אני מניח שכל אחד ישכנע את עצמו כי יחס קרבת המשפחה הוא אכן טרנזיטיבי. אבל ליחס קרבת המשפחה יש עוד תכונה, שמכונה "סימטריות": אם משה קרוב משפחה של אהרון, הרי שבהכרח אהרון קרוב משפחה של משה. המסקנה המוזרה היא, שאם משה קרוב משפחה של אהרון, אזי אהרון קרוב משפחה של משה, ולפי תכונת הטרנזיטיביות, נקבל כי משה קרוב משפחה של עצמו! אם אתם רואים כאן כשל לוגי, מערכת התגובות עומדת לרשותכם.

יחס הדמיון בן בני אדם גם הוא סימטרי: אם יוסי דומה לרוני אז בהכרח רוני דומה ליוסי. אבל אם רוני דומה גם לרמי, האם בהכרח יוסי דומה לרמי? לאו דווקא. יחס הדמיון בין בני אדם אינו טרנזיטיבי.

תכונה נוספת שיחס עשוי לקיים תסגור את המעגל. נחזור אל המעשנים והלא מעשנים. כל קבוצה חשה שאם לא תתקבל דעתה, הרי שפירוש הדבר הוא ניצחון לקבוצה היריבה, כלומר כפיית דעתה של הקבוצה היריבה. תכונה זו מכונה "אנטי סימטריות". לצערי, האנטי-סימטריות מרימה את ראשה בהרבה מאוד סכסוכים. לו ניתן היה להימנע ממנה מדי פעם, החיים של כולנו היו הרבה יותר יפים.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 29 במאי 2005 שם התקבלו 2 תגובות

יגאל  [אתר]  בתאריך 5/29/2005 11:46:41 PM

ביחס לרשימה הזו שלך

רציתי רק להגיד שהיא מצדיקה בהחלט את היחס שלי לאתר שלך! מאלף לקרוא.
לעניין הכשלים הלוגיים, אתה בטח מכיר את הסיפור על עיירה אחת שבה יש סַפַר אחד, כאשר כל אנשי העיירה מסתפרים אצל הספר הזה, חוץ מהספר עצמו…(מפי אדיר פרידור)…

אורן  [אתר]  בתאריך 5/30/2005 10:05:04 AM

ליגאל

אני חושב שכדי שיהיה כשל לוגי צריך לנסח את הסיפור על הספר בצורה קצת שונה –
הספר מספר את כל (ורק את) אנשי הכפר שאינם מספרים את עצמם.
ואז –
אם הוא לא מספר את עצמו הוא כן צריך לספר את עצמו מאחר והוא מספר את כל אלו שאינם מספרים את עצמם. אבל אם הוא מספר את עצמו, הרי הוא מספר רק את אלו שאינם מספרים את עצמם.
אני בטוח שיוסי יוכל להפוך את זה להגדשות של יחסים.

בלדד השוחי הסביר השבוע במדורו שבנענע את ההגיון העומד מאחורי שיטת הניקוד של משחק הטניס.
למי שאינו יודע, משחק הטניס מורכב ממשחקונים, וכדי לזכות במשחקון, יש לזכות בארבע נקודות (שהן בעצם ארבעה רבעי משחקון). אולם בטניס הזכיה הראשונה מקנה 15 נקודות, השניה 15 נקודות נוספות, השלישית 10 נקודות נוספות, והרביעית משלימה את סך הנקודות ל-60, שמקנות זכיה במשחקון. בלדד השוחי מסביר כי מקורה של שיטה זו בספירה לפי בסיס 60, שהביאה אותנו גם לחלוקת השעה ל-60 דקות, וחלוקת כל דקה ל-60 שניות, וכדומה.
הרשו לי להוסיף הסבר נוסף. נניח כי שני המתמודדים הינם שחקנים ברמה דומה. בכל מהלך של המשחק, לאחד מהם

יש סיכוי של 51% לזכות בנקודה, ולשני יש סיכוי של 49% לזכות בנקודה. מה הסיכוי של כל אחד מהם לזכות במשחקון? כדי לזכות במשחקון יש לזכות בארבע נקודות, ולהיות ביתרון של שתי נקודות על פני היריב. ובכן, אם יש לך סיכוי של 51% לזכות בכל נקודה, הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא 52.5%  ובאופן כללי יותר, אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה הוא p והסיכוי שלך להפסיד נקודה הוא q=1-p, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא:

לכן אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה מול היריב הוא 60%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 73.5%, ואם אתה רוז'ה פדרר, והסיכוי שלך לזכות בנקודה מול יריב המדורג (נניח) במקום ה-100 בעולם הוא 75%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 95%.
כדי לזכות במערכה יש לזכות ב-6 משחקונים ולהיות ביתרון של 2 משחקונים על היריב , או לזכות ב-7 משחקונים. חישוב דומה לחישוב הקודם מעלה כי סיכוי של 51% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 57% לזכות במערכה, וסיכוי של 60% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 96% לזכות במערכה!
כדי לזכות במשחק שלם יש לנצח בשתי מערכות מתוך 3, או ב-3 מתוך 5 (בטורנירים הגדולים).  במשחק בן 3 מערכות, בטורנירים הגדולים, שם יש לזכות ב-3 מערכות מתוך 5 – סיכוי של 51% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 63% לזכות במשחק כולו, וסיכוי של 60% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 99.9% לזכות במשחק כולו.
נכון שהתעלמתי כאן מכמה ניואנסים במשחק (כגון היתרון שיש למגיש, ושיטת שובר השוויון המחליפה את מהלך המשחקון הרגיל כאשר מאזן המשחקונים הוא 6:6), והנחתי כי הסיכוי לזכיה במשחקון נשאר קבוע לאורך המשחק וכי אין תלות בין מהלכי המשחק, אבל החישובים האלה נותנים תמונה די ברורה – שיטת הניקוד בטניס מעצימה את הבדלי האיכות בין השחקנים – ונותנת יתרון משמעותי לשחקנים הטובים. איני יודע אם מי שהמציא את שיטת הניקוד הזו התכוון לכך – אך זו בהחלט התוצאה.
מי שעוקב אחרי ליגות הספורט המקצועני בחו"ל – יודע כי הפתעות אינן נדירות. נצחון של קבוצה כדורסל או בייסבול חלשה יחסית מול יריבה עדיפה אמנם מהווה הפתעה – אך לא הפתעה מרעישה (רק אתמול ניצחה קבוצת הבייסבול הבינונית של מילווקי את הקבוצה בעלת המאזן הטוב בליגה – סנט לואיס). לעומת זאת, הפסדים של פדרר, אגאסי או אחת האחיות ויליאמס ליריב שאינו בעשיריה הראשונה של דירוג הטניס העולמי נחשב להפתעה מרעיה. פשוט, נצחונות כאלה נדירים הרבה יותר – בגלל האפליה לטובת שחקני הצמרת הנובעת משיטת הניקוד של הטניס.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 29 באפריל 2005שם התקבלו 6 תגובות

הסתברותן  בתאריך 4/29/2005 4:47:27 PM

נחמד!

חישוב נחמד מאד – אף פעם לא חשבתי כך על טניס.
אני קצת חולק עליך בנוגע לטענה על הכדורסל. באמת שאני מבין מעט מאד בספורט, אבל נדמה לי שבכדורסל גם כן יש יחסית מעט מאד הפתעות (בטח לא כמו בכדורגל). ניסיתי למדל קצת את משחק הכדורסל, והגעתי למודל המאד פשטני הבא: במשחק נקלעים 100 סלים, וההסתברות שסל יהיה לטובת קבוצה א' הוא p, ולטובת קבוצה ב' הוא q.
הסיכוי שא' תנצח הוא ההסברות שההילוך המקרי שנוצר יהיה בעל ערך חיובי לאחר מאה צעדים. משפט הגבול המרכזי נתן לי את הערכים המקורבים הבאים (מקווה שלא עשיתי טעויות בדרך):
p P(sum > 0)
0.51 0.679
0.52 0.655
0.53 0.726
0.54 0.788
0.55 0.842
0.56 0.886
0.57 0.921
0.58 0.947
0.59 0.966
0.60 0.979
0.61 0.987
0.62 0.993
0.63 0.996
0.64 0.998
0.65 0.999
כמובן שהמרחק בין המציאות למודל הכדורסל שלי הוא רב יותר מאשר המרחק בין המציאות למודל הטניס שאתה ניתחת, אבל אני חושב שהמודל הפשוט הזה מסביר למה גם בכדורסל יש יחסית מעט הפתעות.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 5:13:38 PM

תודה!

תודה על ההסבר המאלף. כילד, התפלאתי מאוד על השיטה בטניס, אבל לא העליתי על דעתי שיש בה העדפה כלשהי.

אלכסנדר  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 8:45:54 PM

ללא נושא

זו לא שאלה של אפליה. אם קבוצת כדורגל מליגת העל היתה משחקת מול קבוצה מליגה ב'- סדר גודל של 100 קבוצות שמפרידות ביניהן – היא היתה מנצחת כמעט תמיד, בדיוק כמו שפדרר מנצח שחקן המדורג במקום המאה. אגב, לפי החישוב שלך, המצב גרוע פי כמה בטניס שולחן, או, אם מסתכלים על ספורט קבוצתי – בכדורעף.

יואב  בתאריך 4/29/2005 11:46:56 PM

ללא נושא

ומה הסיבה לניקוד המוזר (15, 30, 40) ?
אני שמעתי שזה כיוון שרק האצילים ידעו לספור למספרים גבוהים, ובעזרת שיטה זו מנעו מפשוטי העם להבין את המשחק.

חנן כהן  בתאריך 4/30/2005 4:15:16 AM

אין היגיון בכותרת

הפוסט הזה הוא על השיטה לקביעת המנצח במשחק ולא על שיטת הניקוד. היה אפשר גם לתת נקודה אחת במקום 15, 30 וכו'.

עזי  בתאריך 5/2/2005 4:10:38 PM

שתי הערות לא סטטיסיטיות

יוסי, תודה על הפוסט המעניין והמאתגר-מוח!
ראשית, צודק אלכסנדר שההשוואה של טניס אל מול כדורגל (או בייסבול) אינה באה על בסיס שווה, שכן בכדורגל ובבייסבול יש ליגות (המשקפות רמת משחק) והמשחקים מתבצעים *בתוך* ליגה, המהווה אוסף הומוגני יותר של קבוצות בעלות רמה דומה. זה שונה בעיקרון מטניס, ולכן ה"הפתעות" בטניס נדירות יותר. ראה מה קורה במשחקי גביע בכדורגל — שם ההפתעות נדירות מאד…
שנית, השיטה בטניס נותנת, למעשה, ניקוד-יתר על היתרון הפסיכולוגי שב"הובלה". כלומר, היא פועלת כנגד המפסיד במשחקון באורח כפול: הוא גם יודע שהוא מופסד (בינתיים) ושעליו להתגבר על הפער העכשווי, וגם להתאמץ שבעתיים כדי להתגבר על ההסתברות הבעייתית של שיטת הניקוד. זה אומר שמנצח במערכה שהתגבר על הפסד במשחקונים מאופיין בגורם פסיכולוגי חזק במיוחד!

העובדות:

• עו"ד משה שוב העלים הכנסות בסך של כ-2 מליון ש"ח, ועל ידי כך "התחמק" מתשלום מס בסך כמליון ש"ח.
• בית המשפט השלום גזר עליו עונש של 9 חדשי מאסר בפועל לאחר שהורשע בעבירה (הפלילית) של העלמת הכנסה. כן נגזר עליו קנס בסך 100,000 ש"ח.
• בית המשפט המחוזי הקל בעונשו של עו"ד שוב, ובמקום 9 חדשי מאסר בפועל הטיל עליו 6 חודשי עבודות שירות. עם זאת, הוכפל הקנס פי 10, והועמד על 1,000,000 ש"ח.

קטונתי מלחוות דעה האם נעשה כאן צדק. אחרי הכל, ההקלה בעונש נעשתה על דעתם של שני שופטים נכבדים, דבורה ברלינר וזאב המר. השופטת יהודית שיצר, חברתם להרכב, חלקה על דעתם ומתחה עליהם ביקורת בהחלטת המיעוט שכתבה.

לעומת זאת, פרופ' רון שפירא, דיקן הפקולטה למשפטים באוניברסיטת בר-אילן, שיבח את החלטת הרוב במאמר שפרסם ב"גלובס". במצפון שקט, כותב שפירא: "על אף שמשה שוב ניסה לקחת ממני עשרים אגורות בערך, אני חש הקלה גדולה על כך שהעונש האכזרי הזה (9 חודשי מאסר – י.ל.) נחסך ממנו", ומכאן הוא ממשיך ומביא שפע של נימוקים לתמיכתו בהקלה בעונש: הוא נסמך של "שיקולי תועלת ציבורית מצרפית", נתלה ב"פילוסופיה התועלתנית של המאה ה-18" וברמב"ם, ומפעיל את השיקול הכלכלי הידוע כ"עקרון התועלת השולית הפוחתת".

מה פירוש הביטוי "משה שוב ניסה לקחת ממני עשרים אגורות בערך"? הרי עו"ד שוב הורשע בניסיון לגנוב 1000000 ש"ח מאוצר המדינה. החשבון של רון שפירא הוא פשוט: אם משה שוב ניסה לגנוב 1000000 ש"ח מהמדינה, על 5 מיליוני אזרחיה (בזמן ביצוע העבירה), הרי שמשה שוב ניסה לגנוב ("לקחת", כלשונו של שפירא) 20 אגורות מכל אזרח – בממוצע כמובן. לדעתו של שפירא 9 חודשי מאסר על מי שניסה לגנוב ממנו 20 אגורות זהו עונש אכזרי.

שפירא שכח למצע גם את העונש. בתשעה חודשים יש 388,800 דקות. כלומר, העונש האכזרי שהוטל על עו"ד שוב הוא כ-23 שניות לשקל, או קצת יותר מ-4.5 שניות מאסר עבור 20 האגורות שניסה "לקחת" משפירא. לי זה לא נראה אכזרי במיוחד, בייחוד אם ניקח בחשבון שאם שוב היה מתנהג יפה בכלא, היה מרצה כ-2.8 שניות בפועל לכל 20 אגורות.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 14 במרץ 2005 שם התקבלו 9 תגובות

קורינה  [אתר]  בתאריך 3/14/2005 11:19:28 PM

ללא נושא

מפליא הפרופסור. דבריו הם ממש המחשה למהותה של דמגוגיה: קח מתוך אמת את החצי שנוח להציג וסמוך על כך שרוב האנשים לא סטיסטיקאים וגם לא כולם חושבים תמיד.
תודה

עזי  בתאריך 3/15/2005 8:28:25 AM

אחלה פוסט!

טוב שיש נבונים כמוך, יוסי, שעומדים על המשמר האקדמי והמוסרי ומונעים מקשקשנים ומגלגלי-עיניים מלתעתע בנו!
מונעים? אמממ… לא בדיוק. לפחות תופסים אותם בטריקיהם הזולים לאחר מעשה.

ליאור  בתאריך 3/16/2005 10:49:17 AM

LOL

טיעון מעולה, סחתיין.

יאן  בתאריך 3/16/2005 10:58:25 AM

ללא נושא

צודק. טיעון יפה.
אגב, הכרתי אדם, בעל מלאכה קטן, שנשלח לכלא לחצי שנה על העלמת מס בסכום שאני משער שלא התקרב למיליון ש"ח.
עונש מאסר על עבירות מס הוא דבר לא כל כך נדיר, דווקא (משום מה) בשכבות הנמוכות, אצל עצמאים זעירים, שיפוצניקים וכדומה.

אחיה  בתאריך 3/19/2005 9:56:32 PM

ללא נושא

אני מתקשה להבין למה עולה מתוך דבריך ריח של כעס על השופטים.
הרי, לי לא אכפת כל כך כמה ישב אותו גנב בכלא; לעומת זאת, אכפת לי מאותם 900,000 ש"ח שהוחזרו לקופת המדינה.
אמנם יש עניין של הרתעה, אך זה זניח מול כל הכסף שהוחזר לקופת המדינה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/20/2005 8:25:50 AM

תשובה לאחיה

הרשימה לא כוונה נגד השופטים אלא נגד הטיעון הדמגוגי של פרופ' שפירא.
את דעתי על פסיקת השופטים אני שומר לעצמי, ולדעתי האישית אין כל חשיבות במקרה זה.
אני מניח שפרופ' שפירא היה כותב את אותו מאמר בשינויים קלים לו היו השופטים מחמירים בעונשו של עו"ד שוב.

אבא של הדר  בתאריך 4/22/2005 1:20:40 PM

יש לדייק

נהניתי מאד מחישוב העונש הזקוף בשניות לכל משלם מיסים. ראוי היה לחשב ספרות נוספות אחרי הנקודה, למען יראו וייראו. אגב, האם יחזירו לנו את הגזלה או שזה רק לאוצר המדינה? תמהני

ערן  בתאריך 1/26/2006 11:08:25 PM

לידיעתכם

אין הפחתת שליש בעונש של חצי שנה…..חמוד שלי, תישאר בסטטיסטיקה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 1/28/2006 12:29:41 PM

תשובה לערן

תודה על ההערה, אם כי בפעם האחרונה שבדקתי, 9 חודשים הם יותר מחצי שנה.

התמודדות עם בעיות תמיד מהווה אתגר. התמודדות עם בעיות מתמטיות אינה יוצאת מכלל זה. כאשר בעיה מתחום אחד מנוסחת בשפה מתחום אחר – ההתמודדות עלולה להיות קשה מאוד.

אני מלמד קורסים בסטטיסטיקה מזה שנים רבות. שמתי לב כי סטודנטים השולטים היטב בטכניקות סטטיסטיות מורכבות, כושלים בהתמודדות עם בעיות הדורשות מהן ליישם שיטות אלה. גם רבים מתלמידי בית הספר השולטים היטב בטכניקות המתמטיות, כגון פתרון משוואות, כאילו נתקלים במחסום בלתי עביר בהגיעם לפרק המכונה "בעיות מילוליות". 

לא אדון כאן בסיבות לתופעה זו – זהו נושא לרשימה אחרת. אולם, ברצוני להביא כאן דרך אסטרטגית להתמודדות עם בעיות הדורשות פתרון בפרט, ועם "בעיות מילוליות במתמטיקה" בפרט.
 
האסטרטגיה שתתואר כאן הוצעה על ידי המתמטיקאי ג'ורג' פוליה בספרו הקלאסי "כיצד לפתור זאת". היא מורכבת מארבע שלבים:

• זיהוי
• תכנון
• פתרון
• בקרה
   

כעת נסקור בפירוט את כל אחד מהשלבים.
 
זיהוי

• קראו את ניסוח הבעיה בעיון.
• הדגישו את מילות המפתח.
• נסו להיזכר אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר.
• בררו מהם הנתונים העומדים לרשותכם.
• בררו מה מטרתכם – מה אתם מנסים למצוא או להשיג.

תכנון

• אם נתקלתם בבעיה דומה בעבר, בררו מה הדמיון בין הבעיה הנוכחית והבעיה הקודמת. כן בררו מה כיצד פתרתם או ניסיתם לפתור אות אותה הבעיה.
• נסו לנסח בעיה שתהיה דומה לבעיה הנתונה, אבל פשוטה יותר. הפתרון לבעיה הפשוטה עשוי לגלות רמז לבעיה המסובכת.
• הגדירו שיטות פתרון שאתם מכירים ועשויות להועיל בפתרון הבעיה שלפניכם.
• כאשר תנסו שיטת פתרון ולא תצליחו לפתור את הבעיה בעזרתה, בדקו מדוע השיטה לא פעלה – שם עשוי להימצא המפתח לפתרון.

פתרון

• השתמשו בשיטות שהכנתם בשלב התכנון כדי לפתור את הבעיה.
• אם כל השיטות כשלו, יש לחזור לשלב התכנון ואולי אף לשלב הזיהוי – ייתכן כי פספסתם שם משהו.

בקרה

• האם הפתרון שקיבלתם הגיוני?
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית כפי שהוגדרה?
• האם הפתרון משתמש במונחים של הבעיה המקורית?
• בדקו שוב.

נראה פשוט, נכון? אז מה הבעיה?
כשמגיעים ל"בעיה מילולית במתמטיקה", ניתן לפרט חלק משלבים באופן מדוייק יותר. להלן הסבר מפורט יותר לגבי חלק משלבים.
 
זיהוי

• קריאת הבעיה: נסו לראות את "התמונה הגדולה", התעלמו מהפרטים. על מה הבעיה?
• הדגשת מילות המפתח: מלים רבות ניתנות לתרגום מיידי לשפת המתמטיקה. מילים כמו "בסך הכל", "יחד", "בנוסף", "כל" מרמזות על פעולת חיבור. המילים "גדול ב-", "קטן ב-", "ביותר", "בפחות", "לפני", "אחרי" רומזות לפעולת חיסור. המלים "פעמים", "אחוז מ-" או "פי" מצביעות על כפל, ואילו המילים "חלק", "יחס" ו-"פי" רומזות לפעולת חילוק.
• בעיות דומות: האמינו או לא, כל בעיות התנועה דומות זו לזו, וגם כל הבעיות הטריגונומטריות. אם פתרתם בעיה אחת, קרוב לודאי ששיטת הפתרון "תעבוד" גם בפתרון בעיה דומה.
• בירור הנתונים: מצאו קשר בין מילים ומספרים. לדוגמא: "בית, שערכו 120,000 דולר, נמכר ב-70% משוויו". המספר 120,000 קשור לערך הבית. המספר 70% קשור למחיר המכירה.
• בירור המטרה: מילות שאלה ("מה", "כמה") או ציווי ("מצאו", "חשבו") מפנות לנעלם או לערך שאותו יש למצוא כדי לפתור את הבעיה.

תכנון

• הפשטה: דרך מקובלת לפישוט בעיה היא הוספת נתון. אם בבעיה מסופר על שני אוטובוסים הנוסעים בין טבריה לאילת, נסו לפתור בעיה זהה שבה נתונה מהירותו של אחד האוטובוסים. בעיה זו בהכרח קלה יותר. אם תדעו כיצד להתמודד איתה, אפילו חלקית, עשיתם צעד לפתרון הבעיה המקורית.
• שיטות פתרון: שיטה יעילה ביותר היא תרגום מהשפה הטבעית לשפה המתמטית, בעזרת מילות המפתח וקישור המילים והמספרים. בדוגמת מכירת הבית, מחיר המכירה הוא 70% משווי הבית, ולכן ניתן לרשום כי מחיר המכירה =  70%x120000.

בקרה

• הגיון: ערכי מהירות, זמן או מחירים אינם יכולים להיות שליליים. הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ-1 או קטנה מ-0. אם פועל אחד חופר בור ב-4 שעות, והשני חופר את הבור ב-3 שעות, אז הזמן שיצטרכו שניהם כדי לחפור את הבור ביחד חייב להיות קטן מ-3 שעות. מספר הילדים בכיתה חייב להיות שלם.
• האם הפתרון עונה על הבעיה המקורית: נתבקשתם לחשב את מהירות האוטובוס, וכתבתם משוואה שבה הנעלם הוא משך הזמן בו האוטובוס נסע מטבריה לאילת. המשוואה נכונה, וגם פתרונה נכון. אבל התשובה, 7 שעות, אינה הפתרון לבעיה המקורית. אאוץ.
• מונחי הבעיה המקורית: אם הזמנים בבעיה היו נתונים בשעות, כך גם צריך להיות הפתרון.
• בדקו שוב – זה אף פעם לא מזיק.

קישורים לקריאה נוספת

• הספר "How to solve it" באתר אמזון.
• ג'ורג' פוליה

 פורסם לראשונה ב 29 ביוני 2004 באתר "רשימות", שם התקבלו  4 תגובות: