נסיכת המדעים

במצפה הכוכבים שבגטינגן ישב קרל פרידיריך גאוס ועמל על חישוב מסלוליהם של גרמי השמיים. גאוס, גדול המתמטיקאים של המאה ה-17 (ואולי גדול המתמטיקאים אי פעם), היה מודע לטעויות המדידה של תצפיותיו. הוא הבחין כי להתפלגות של הטעויות המצטברות יש צורה פעמונית – רוב הטעויות מתרכזות סביב ערך מרכזי, אבל לעיתים ערכי הטעויות מצטברים לסכום גבוה או נמוך במיוחד. גאוס הצליח למצוא את הנוסחה המתמטית המאפיינת את ההתפלגות הפעמונית הזו ופרסם אותה במאמר בשנת 1809. אבל האם הבחין כי מדובר בחוק כללי הניתן ליישום גם לגבי תופעות אחרות? ייתכן שכן, אך הוא לא טרח לתעד זאת.

אברהם דה-מואבר, צרפתי הוגנוטי שגלה לאנגליה בסוף המאה ה-17, לא הצליח למצוא משרה אקדמית בארצו החדשה, ולכן נאלץ לעסוק בהוראה פרטית ובייעוץ למהמרים. הוא חקר את פרופורציית ההצלחות בסדרות של הימורים, וגילה כי להתפלגות הפרופורציות יש צורה פעמונית – בדרך כלל פרופורציית הזכיות קרובה לסיכוי הזכיה בהימור, אך לעתים פרופורציית הזכיות גבוהה במיוחד או נמוכה במיוחד. דה-מואבר הצליח למצוא את הנוסחה  המתמטית המאפיינת את ההתפלגות הפעמונית הזו, ואף הוכיח כי כאשר מספר ההימורים גדל, הולכת ההתפלגות ומתקרבת אל הנוסחה התיאורטית. הוא פרסם תוצאה זו בספר שהופיע בשנת 1718. למרבה הצער, ספרו של המתמטיקאי האלמוני לא היה לרב מכר, למרות שהופיע במספר מהדורות.

פייר סימון לפלס לא היה מתמטיקאי אלמוני כלל וכלל כאשר הופיע ספרו "התיאוריה האנליטית של ההסתברות" בשנת 1812. לפלס התעניין גם בהימורים וגם בתנועות הכוכבים, ולכן הכיר גם את עבודתו של גאוס בנושא, וגם את המשפט של דה-מואבר. לכן הבחין לפלס בקשר בין שתי העבודות, ויצר מהן משפט חדש – משפט הגבול המרכזי. עבודתו של לפלס הושלמה על ידי מתמטיקאים שבאו אחריו – פואסון, צ'ביצ'ב, מרקוב, ליאפונוב, לינדברג, פלר ולוי – כולם תרמו לניסוח ההוכחה המדוייקת של משפט זה.

על פי משפט הגבול המרכזי (בניסוח רשלני) – ההתפלגות של ממוצע תצפיות מקריות ובלתי תלויות שואפת לגבול מרכזי – וגבול זה הוא ההתפלגות הפעמונית המפורסמת. התפלגות זו ידועה בגרמניה בשם "התפלגות גאוסיאנית", בצרפת בשם "התפלגות לפלס" ובכל מקום אחר בשם "ההתפלגות הנורמלית". גרמניה הביעה את הערכתה לגאוס כאשר הדפיסה את דיוקנו על השטר של 10 מרק (שכבר אינו בשימוש). על השטר ניתן לראות את הפעמון המפורסם של העקומה הנורמלית ואת הנוסחה המתמטית המאפיינת אותה.

המשפט הזה מקל עד מאוד את חייהם של הסטטיסטיקאים – במקרים רבים מאוד אין צורך לחשב הסתברויות מדוייקות – כיוון שעל ידי שימוש במשפט ניתן לערוך חישוב מקורב שהינו מדוייק דיו לכל צורך מעשי. שיטתו של גאוס להערכת שגיאות המדידה (שהוזכרה בראשית רשימה זו) משמשת עד היום כל חוקר במדעי הטבע והחברה – פשוט אין בנמצא שיטה טובה ממנה (על כך אכתוב ברשימה אחרת) ועקרונות המשפט המקורי שניסח דה-מואבר עומדים ביסודותיהם של כל סקרי הדגימה ומספקים פרנסה לכל מכוני הסקרי למינהם.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 11 בספטמבר 2005

בית קזינו מוכן להכפיל את כספו של כל מי שינחש נכונה את הצבע שיעלה בסיבוב הבא של גלגל הרולטה – שחור או אדום. חברות ביטוח משפות את לקוחותיהן על הנזקים שנגרמו להם. סטטיסטיקאי מודיע על תוצאת הבחירות מייד  לאחר סגירת הקלפיות, ורשויות הבריאות מאשרות תרופות חדשות לשימוש (ולפעמים גם מורות על הפסקת השימוש בתרופות מסוימות). קבוצת ספורט מחליטה לחתום על חוזה שמן עם שחקן כוכב. כל אלה הם שימושים של חוק המספרים הגדולים.

מבין המשפטים הגדולים של הסטטיסטיקה – חוק המספרים הגדולים הוא ככל הנראה הבסיסי ביותר. ניסוח מעט רשלני של החוק אומר כי אם אתה צופה בסדרה אינסופית של תצפיות מקריות שאינן תלויות זו בזו, אשר כולן מתארות את אותה התופעה, אזי ממוצע הסדרה ילך ויתקרב לערך קבוע. ערך זה הוא התוחלת של התופעה המקרית הנצפית.

למתמטיקאים יש ניסוחים מדויקים לטענה הזו, וכמובן שגם הוכחה. המתמטיקאי השוויצי יעקב ברנולי הוכיח את הגרסה הראשונה של החוק בסוף המאה ה-17, וגרסאות מורחבות וחזקות יותר שלו הוכחו מאוחר יותר.

יעקב ברנולי הונצח על בול שוויצי. ברקע הניסוח המתמטי של חוק המספרים הגדולים, אותו הוכיח ברנולי לפני יותר מ-300 שנה, ותיאור גרפי של החוק.

מדוע החוק הזה חשוב כל כך? אנסה להסביר זאת באמצעות דוגמא פשוטה יחסית – גלגל הרולטה.

 גלגל הרולטה בקזינו של מונטה קרלו מחולק ל-37 גזרות שוות, ועל כל גזרה רשום אחד מבין המספרים 0, 1,2,… ועד 36. 18 מבין המספרים מסומנים בצבע אדום, 18 בשחור, ואילו המספר אפס מסומן בצבע ירוק. ההימור הפשוט ביותר מאפשר לך לבחור את אחד הצבעים, אדום או שחור. אם הימרת על סכום של יורו אחד כי בסיבוב הבא של הרולטה יעלה מספר המסומן באדום, ואכן כך קרה, היורו שלך יוחזר לך יחד עם יורו נוסף בו זכית. אם לא עלה בגורל מספר "אדום"… אתה יכול לנסות שוב את מזלך.

אם הסיכויים של כל המספרים לעלות בגורל שווים, הרי שהסיכוי כי יעלה בגורל מספר מסויים (7, למשל) הוא 1/37. הסיכוי כי יעלה מספר אדום בגורל הוא לכן 18/37, והסיכוי כי יעלה מספר שאינו אדום בגורל הוא 19/37. גם בהימור על שחור הסיכויים לזכות הם 18/37 ולהפסיד – 19/37. כלומר, בכל הימור על אדום/שחור הסיכוי לזכיה הוא 18/37 והסיכוי להפסד הוא 19/37.

אבל כל זה רק תיאוריה – תיאוריה המבוססת על מודל הסתברותי. האם התיאוריה עומדת במבחן המציאות? דרך אפשרית לבחון את התיאוריה היא לנסות אותה במציאות. הבה נבצע המון (אבל ממש המון) סיבובים של גלגל הרולטה, ונבדוק מהי פרופורציית הפעמים בהן עלה בגורל מספר "אדום" מתוך כלל הסיבובים. נשמע הגיוני.

אבל ההגיון של מתמטיקאים מוזר למדי. כדי שהניסוי המוצע יניח את דעתם, עליו להסתמך על משפט מתמטי כלשהו. חוק המספרים הגדולים מקשר בין המודל ההסתברותי – ובין הניסוי הסטטיסטי, ולכן מהווה את הבסיס המתמטי לניסוי הזה. אם המודל המתמטי אכן מתאר נכונה את התנהגות גלגל הרולטה, אז חוק המספרים הגדולים אומר כי פרופורציית הפעמים בהן יעלה בגורל מספר "אדום" תהיה בקירוב 18/37.

ומה יוצא לקזינו מכל זה? כסף, הרבה כסף. ב-18/37 (או 48.6%) מההימורים יפסיד הקזינו יורו, וב-51.4% מההימורים ירוויח הקזינו יורו. הרווח הממוצע להימור כזה הוא לכן 0.027 יורו להימור. אבל אם סך כל ההימורים האלה בערב אחד הוא 100,000 יורו (סתם זרקתי מספר) הרווח מהימור פשוט כזה הוא כ-2700 יורו. לא רע. כמובן שיש הימורים בהם הסיכויים של המהמר להרוויח נמוכים יותר (וסיכויי הקזינו לזכות גבוהים יותר), ואז גם הרווח של הקזינו גדל בהתאם. תראו את הרווחים של חברות הביטוח.

כשמשתמשים בחוק המספרים הגדולים – חשוב מאוד להיות מודעים למגבלות שלו. הבה ונראה מה עלול לקרות אם לא עושים זאת.

קודם כל, רצוי מאוד כי התנאים של המשפט יתקיימו. אם שחקן כדורסל קולע בממוצע 30 נקודות למשחק במשך 5 עונות בהן שיחק כ-450 משחקים, זה באמת הישג ראוי לציון. אבל לפני שתחתימו את הכוכב על חוזה שמן, עצרו וחשבו: האם באמת אנו צופים בסדרה של תצפיות בלתי תלויות? (הדעות חלוקות). האם הסדרה תימשך עד אינסוף? סביר להניח שלא.

גם אם התנאים של המשפט מתקיימים, איזה מודל הסתברותי משקפות התצפיות? אם המודל שלכם הוא לא המודל הנכון, אתם עלולים למצוא את עצמכם מכריזים על ניצחון בבחירות של מועמד שדווקא הפסיד, כמו שלמשל קרה לעיתון ה-Literary Digest ב-1936.

גם אם תנאי המשפט מתקיימים, והמודל הוא המודל נכון, יש עוד בעיה קטנה. המשפט מדבר על התנהגות סדרת התצפיות באינסוף. באופן מעשי, אפשר להסתפק במספר סופי של תצפיות, אם המספר הזה מספיק גדול. זהו "גודל המדגם" המפורסם. מהו מדגם גדול מספיק? תנו לי מספר, ואתן לכם דוגמא בה המספר הזה אינו מהווה גודל מדגם מספיק גדול. חוק המספרים הגדולים אינו אומר דבר על "קצב ההתכנסות" של סדרת הממוצעים. לכן כדי לקבוע את גודל המדגם יש להשתמש בכלים אחרים, ועל כך אכתוב ברשימה אחרת.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 ביולי 2005 23:07 שם התקבלו 8 תגובות

גילי נחום  בתאריך 7/20/2005 12:39:52 AM

מעניין מאוד

עוד לפני כמה שנים חשבתי להרוויח 200 דולר ללילה בעזרת הטכניקה הבאה:
(נניח שההימור הוא הוגן p=0.5)
להמר 200 דולר, אם הרווחתי אז לסגור את הבסטה וללכת לבית שמח ומאושר, במידה והפדסתי אז אהמר שוב בסכום הנדרש לזכות ב- 400 דולר (בכדי לכסות על ה- 200 הפסד ולהרוויח 200) אם הפסדתי שוב אז להמר על סכום שיכסה את ה- 600 הפסד ויביא לי רווח נטו 200 וכן הלאה…
בהנחה שאני לא יכול להפסיד לנצח אני ארוויח מתישהוא את ה- 200 דולר הללו ואפרוש מהקזינו עם 200 דולר רווח באותו הלילה (לא רע).
השאלה היא מה הסיכוי שיגמר לי הכסף לפני שאצליח להרוויח את ה200 דולר (נאמר שיש לי מגבלה של 20000 דולר).

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:24:15 AM

גילי

בו נבדוק.
ב 20,000 הדולר שלך אתה יכול להשתמש (20,000/100) פעם להימור של 200 דולר. בגלל שאתה מתכוון להכפיל את הסכום ב 2 בכל שלב, אתה יכול להמר רק
log2(20000/200) פעמים. אם נעלה קצת את הסכום הכולל שאתה מוכן להשקיע זה יוצא 7.
הסיכוי שתזכה בפעם הראשונה הוא 0.5^1. הסיכוי שתזכה בפעם השניה הוא 0.5^2, וכן הלאה. מתקבל כאן טור הנדסי מ 1 עד 7 שאת סכומו ניתן לחשב על ידי:
0.5*)0.5^7-1(/)0.5-1(
כלומר, הסיכוי שתזכה ב 200 דולר הוא 0.99218.
אם השקעת ב 7 סיבובים סכום של 25,600 דולר, תוחלת ההפסד שלך שווה ל:
)1-0.99218(*25,600(=~200
תוחלת הרווח גם היא 200 דולר. לכן, כצפוי, לא הרווחת ולא הפסדת.

lior  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 6:25:49 AM

טעות קטנה

ב 20,000 דולר אפשר להמר 20,000/200 שזה 100 פעמים.

yoav  בתאריך 7/20/2005 1:28:40 PM

שיטה מוצלחת, אבל:

מהסיבה הזו, בתי הימורים מגבילים את הסכום המקסימלי שמותר להמר, וכך חוסמים את יעילות השיטה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 7/20/2005 10:32:27 PM

בעניין שיטת ההכפלה

אני ממליץ לכל מי ששוקל להשתמש בשיטה זו בביקורו הקרוב בקזינו, לקרוא את מה שנכתב במדור השאלות הנפוצות של פורום המתמטיקה של תפוז על הנושא הזה:
http://www.tapuz.co.il/tapuzfo….mFAQAnswer.asp?id=457&QID=2033

גילי נחום  בתאריך 7/26/2005 5:03:12 AM

אנסה לסכם:

לינק מעולה, תודה יוסי.
1. הסכומים שצריך לשריין על מנת להיות בטוחים באחוזים גבוהים שלא יגמר לנו הכסף הם אדירים.
2. גם אז תמיד ישנו הסיכוי (גם אמנם קטן) שנפסיד את הסכומים ששריינו (שלהזכירכם הם סכומים אדירים) מכיוון שנגמר לנו הכסף. האם אנו מוכנים לסיכון זה?
3. בפועל לא עומד לרשותנו סכום כל כך גדול לשריין לצורך הפרוייקט ולכן הוא לא בר ביצוע, ובמידה וכן עומד לרשותנו הסכום הנ"ל אז אנו עשירים דה פקטו ולמה להתעסק בשטויות במקום לקחת חופשה בקנקון?!
הדגמה קטנה!
נצהיר שמטרתנו היא לסיים את הערב עם 200 רווח.
סדר ההימורים וסכומם:
1. 200
2. 400 (מכסה הפסדים 200 ורווח 200)
3. 800
4. 1,600
5. 3,200 (מכסה הפסדים 3000 ורווח 200)
6. 6,400
7. 12,800
8. 25,600
…
נניח ומגבלת התקציב שלנו היא 12600, לכן נאלץ לעצור לאחר ההימור ה- 6 (כי 6400+3200+1600+800+400+200= 12,600)
ההסתברות שנגיע למצב זה היא 0.5 בחזקת 6 (בערך אחוז וחצי) ולכן בממוצע נפסיד כל ערב
196.875.
ההסתברות שנרוויח 200 בסוף הערך היא 1 מינוס ההסתברות של פשיטת רגל ובממוצע נרוויח כל ערב
בדיוק 196.875.
ולכן בסך הכל לאורך זמן לא הפסדנו ולא הרווחנו (כי ההימור הוא הוגן)
אם ההימור לא יהיה הוגן אז באותה צורה בדיוק לאורך זמן נצפה להפסדים.
כלומר תוחלת הרווח תשאר שלילית.

יניב  בתאריך 1/28/2008 1:45:19 AM

מה עם האפס

נראה לי ששכחתם פרט קטן, בנוסף לשחור ואדום יכול לצאת "0" שבו הבית זוכה, כלומר לא אדום ולא שחור….

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 1/28/2008 12:59:10 PM

ליניב

זה לא משנה את העקרון…

בלדד השוחי הסביר השבוע במדורו שבנענע את ההגיון העומד מאחורי שיטת הניקוד של משחק הטניס.
למי שאינו יודע, משחק הטניס מורכב ממשחקונים, וכדי לזכות במשחקון, יש לזכות בארבע נקודות (שהן בעצם ארבעה רבעי משחקון). אולם בטניס הזכיה הראשונה מקנה 15 נקודות, השניה 15 נקודות נוספות, השלישית 10 נקודות נוספות, והרביעית משלימה את סך הנקודות ל-60, שמקנות זכיה במשחקון. בלדד השוחי מסביר כי מקורה של שיטה זו בספירה לפי בסיס 60, שהביאה אותנו גם לחלוקת השעה ל-60 דקות, וחלוקת כל דקה ל-60 שניות, וכדומה.
הרשו לי להוסיף הסבר נוסף. נניח כי שני המתמודדים הינם שחקנים ברמה דומה. בכל מהלך של המשחק, לאחד מהם

יש סיכוי של 51% לזכות בנקודה, ולשני יש סיכוי של 49% לזכות בנקודה. מה הסיכוי של כל אחד מהם לזכות במשחקון? כדי לזכות במשחקון יש לזכות בארבע נקודות, ולהיות ביתרון של שתי נקודות על פני היריב. ובכן, אם יש לך סיכוי של 51% לזכות בכל נקודה, הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא 52.5%  ובאופן כללי יותר, אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה הוא p והסיכוי שלך להפסיד נקודה הוא q=1-p, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא:

לכן אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה מול היריב הוא 60%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 73.5%, ואם אתה רוז'ה פדרר, והסיכוי שלך לזכות בנקודה מול יריב המדורג (נניח) במקום ה-100 בעולם הוא 75%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 95%.
כדי לזכות במערכה יש לזכות ב-6 משחקונים ולהיות ביתרון של 2 משחקונים על היריב , או לזכות ב-7 משחקונים. חישוב דומה לחישוב הקודם מעלה כי סיכוי של 51% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 57% לזכות במערכה, וסיכוי של 60% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 96% לזכות במערכה!
כדי לזכות במשחק שלם יש לנצח בשתי מערכות מתוך 3, או ב-3 מתוך 5 (בטורנירים הגדולים).  במשחק בן 3 מערכות, בטורנירים הגדולים, שם יש לזכות ב-3 מערכות מתוך 5 – סיכוי של 51% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 63% לזכות במשחק כולו, וסיכוי של 60% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 99.9% לזכות במשחק כולו.
נכון שהתעלמתי כאן מכמה ניואנסים במשחק (כגון היתרון שיש למגיש, ושיטת שובר השוויון המחליפה את מהלך המשחקון הרגיל כאשר מאזן המשחקונים הוא 6:6), והנחתי כי הסיכוי לזכיה במשחקון נשאר קבוע לאורך המשחק וכי אין תלות בין מהלכי המשחק, אבל החישובים האלה נותנים תמונה די ברורה – שיטת הניקוד בטניס מעצימה את הבדלי האיכות בין השחקנים – ונותנת יתרון משמעותי לשחקנים הטובים. איני יודע אם מי שהמציא את שיטת הניקוד הזו התכוון לכך – אך זו בהחלט התוצאה.
מי שעוקב אחרי ליגות הספורט המקצועני בחו"ל – יודע כי הפתעות אינן נדירות. נצחון של קבוצה כדורסל או בייסבול חלשה יחסית מול יריבה עדיפה אמנם מהווה הפתעה – אך לא הפתעה מרעישה (רק אתמול ניצחה קבוצת הבייסבול הבינונית של מילווקי את הקבוצה בעלת המאזן הטוב בליגה – סנט לואיס). לעומת זאת, הפסדים של פדרר, אגאסי או אחת האחיות ויליאמס ליריב שאינו בעשיריה הראשונה של דירוג הטניס העולמי נחשב להפתעה מרעיה. פשוט, נצחונות כאלה נדירים הרבה יותר – בגלל האפליה לטובת שחקני הצמרת הנובעת משיטת הניקוד של הטניס.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 29 באפריל 2005שם התקבלו 6 תגובות

הסתברותן  בתאריך 4/29/2005 4:47:27 PM

נחמד!

חישוב נחמד מאד – אף פעם לא חשבתי כך על טניס.
אני קצת חולק עליך בנוגע לטענה על הכדורסל. באמת שאני מבין מעט מאד בספורט, אבל נדמה לי שבכדורסל גם כן יש יחסית מעט מאד הפתעות (בטח לא כמו בכדורגל). ניסיתי למדל קצת את משחק הכדורסל, והגעתי למודל המאד פשטני הבא: במשחק נקלעים 100 סלים, וההסתברות שסל יהיה לטובת קבוצה א' הוא p, ולטובת קבוצה ב' הוא q.
הסיכוי שא' תנצח הוא ההסברות שההילוך המקרי שנוצר יהיה בעל ערך חיובי לאחר מאה צעדים. משפט הגבול המרכזי נתן לי את הערכים המקורבים הבאים (מקווה שלא עשיתי טעויות בדרך):
p P(sum > 0)
0.51 0.679
0.52 0.655
0.53 0.726
0.54 0.788
0.55 0.842
0.56 0.886
0.57 0.921
0.58 0.947
0.59 0.966
0.60 0.979
0.61 0.987
0.62 0.993
0.63 0.996
0.64 0.998
0.65 0.999
כמובן שהמרחק בין המציאות למודל הכדורסל שלי הוא רב יותר מאשר המרחק בין המציאות למודל הטניס שאתה ניתחת, אבל אני חושב שהמודל הפשוט הזה מסביר למה גם בכדורסל יש יחסית מעט הפתעות.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 5:13:38 PM

תודה!

תודה על ההסבר המאלף. כילד, התפלאתי מאוד על השיטה בטניס, אבל לא העליתי על דעתי שיש בה העדפה כלשהי.

אלכסנדר  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 8:45:54 PM

ללא נושא

זו לא שאלה של אפליה. אם קבוצת כדורגל מליגת העל היתה משחקת מול קבוצה מליגה ב'- סדר גודל של 100 קבוצות שמפרידות ביניהן – היא היתה מנצחת כמעט תמיד, בדיוק כמו שפדרר מנצח שחקן המדורג במקום המאה. אגב, לפי החישוב שלך, המצב גרוע פי כמה בטניס שולחן, או, אם מסתכלים על ספורט קבוצתי – בכדורעף.

יואב  בתאריך 4/29/2005 11:46:56 PM

ללא נושא

ומה הסיבה לניקוד המוזר (15, 30, 40) ?
אני שמעתי שזה כיוון שרק האצילים ידעו לספור למספרים גבוהים, ובעזרת שיטה זו מנעו מפשוטי העם להבין את המשחק.

חנן כהן  בתאריך 4/30/2005 4:15:16 AM

אין היגיון בכותרת

הפוסט הזה הוא על השיטה לקביעת המנצח במשחק ולא על שיטת הניקוד. היה אפשר גם לתת נקודה אחת במקום 15, 30 וכו'.

עזי  בתאריך 5/2/2005 4:10:38 PM

שתי הערות לא סטטיסיטיות

יוסי, תודה על הפוסט המעניין והמאתגר-מוח!
ראשית, צודק אלכסנדר שההשוואה של טניס אל מול כדורגל (או בייסבול) אינה באה על בסיס שווה, שכן בכדורגל ובבייסבול יש ליגות (המשקפות רמת משחק) והמשחקים מתבצעים *בתוך* ליגה, המהווה אוסף הומוגני יותר של קבוצות בעלות רמה דומה. זה שונה בעיקרון מטניס, ולכן ה"הפתעות" בטניס נדירות יותר. ראה מה קורה במשחקי גביע בכדורגל — שם ההפתעות נדירות מאד…
שנית, השיטה בטניס נותנת, למעשה, ניקוד-יתר על היתרון הפסיכולוגי שב"הובלה". כלומר, היא פועלת כנגד המפסיד במשחקון באורח כפול: הוא גם יודע שהוא מופסד (בינתיים) ושעליו להתגבר על הפער העכשווי, וגם להתאמץ שבעתיים כדי להתגבר על ההסתברות הבעייתית של שיטת הניקוד. זה אומר שמנצח במערכה שהתגבר על הפסד במשחקונים מאופיין בגורם פסיכולוגי חזק במיוחד!