נסיכת המדעים

בימים האחרונים ניטש ויכוח תקשורתי על מידת האחריות של הנפגעים בפיגועי הטרור שהיו בסיני.
הטענה שהעלו שרים בממשלה (זבולון אורלב, לימור לבנת), פובליציסטים, ואזרחים אחרים, היא כי אין המדינה אחראית לטיפול בנפגעים ולפיצויים, כיוון שאלה התעלמו מהתראות לגבי פיגוע טרור אפשרי בסיני, ובכל זאת בחרו לצאת לנופש שם. כיוון שהחוק הנוכחי אינו מאפשר למדיה לזנוח את הנפגעים, הועלו הצעות לתיקון החוק, כך שבעתיד התראה על פיגוע תפטור את המדינה מאחריות לטיפול במי שיפגע בפיגוע. היו שהגדילו לעשות, והציעו לאסור על חברות הביטוח לבטח אנשים הבוחרים מסיבה כלשהי לנסוע לאיזור שהוכרז כ-"מסוכן" על ידי הממשלה (המטה ללוחמה בטרור, משרד החוץ, וכדומה).

אני לא מתכוון להתייחס כאן להיבטים האתיים והמוסריים של ההצעות האלה. קטונתי. אני רק סטטיסטיקאי. ובעניין הסטטיסטי, הקדים אותי עמוס כרמל (שעם דעותיו איני מסכים בדרך כלל) במאמר מבריק שפרסם אתמול ב"ידיעות אחרונות" (לצערי המאמר לא עלה לרשת באתר העיתון).

כותב כרמל: "על כל קופסת סיגריות… נאמר שהעישון האקטיבי מזיק לבריאות… 2% מהמעשנים לוקים בסרטן הריאות, ו-25% מהם מועדים ללקות במחלות ריאות חסימתיות כרוניות, ול-80% מחולי סרטן הריאות יש רקורד של עישון." לאחר מכן הוא ממשיך וכותב: "2% מ-40,000 הישראלים שיצאו לסיני בחגים, למרות ההתראה של המטה ללוחמה בטרור הם 800 בני אדם". על פי הנתונים על מספר ההרוגים שהיו בידיו מסיק כרמל כי הסיכון להיהרג בפיגוע בסיני קטן פי 40 מהסיכון של מעשן אקטיבי ללקות בסרטן הריאות (ועבור מעשנים אקטיביים, סרטן הריאות הינה מחלה סופנית).

הנתונים לפיהם חישב כרמל  את הסיכון למוות בפיגוע בסיני היו מוטעים. מספר ההרוגים הישראלים הסתכם ב-12 איש, ולכן בדיעבד הסיכון הכרוך בעישון אקטיבי גדול פי 66 מהסיכון למוות בפיגוע בסיני, ולא פי 40.
למעוניינים: רמת הסיכון למוות בפיגוע בסיני הייתה גבוהה יחסית: 0.03% (פשוט חלקו 2% ב-66). לשם השוואה, הסיכון למוות בתאונת דרכים בכבישי ישראל הוא כ-0.009% (לפי 600 הרוגים בשנה באוכלוסיה של 7 מליון), וזהו בערך, לצערנו, גם הסיכון למוות בפעולת טרור בתחומי שלטונה ש/ל מדינת ישראל בשנים האחרונות. אולם אני מניח כי לו יצאו לסיני 80000 ישראלי במקום 40000, מספר ההרוגים הישראלים בפיגועים שאירעו לא היה עולה מ-12 ל-24 (יש גבול לקיבולת מלון, מפואר וגדול ככל שיהיה). פרדוקסאלית, לו יצאו יותר ישראלים לסיני בחגים, הסיכון הקולקטיבי שלהם להיהרג בפיגוע היה קטן ל-0.015%.

את העיקרון הזה מכירות היטב חברות הביטוח, ומיטיבות לתרגם אותו לרווחים כלכליים: ככל שהקבוצה שבסיכון גדולה יותר, הסיכון הקולקטיבי שלה יורד. לכן חברות הביטוח מעוניינות למכור עוד ועוד פוליסות. לכן נראית ההצעה לאסור על חברות הביטוח לבטח אנשים היוצאים לאזורי סיכון כה מגוחכת. כל חברת ביטוח מעסיקה גדוד של סטטיסטיקאים מוכשרים, היודעים היטב את מלאכת חישוב הסיכונים. חזקה על חברת הביטוח שלא תמכור פוליסה שאינה משתלמת לה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 12 באוקטובר 2004 00:00 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 7 תגובות

הירחון Physics World ערך בין קוראיו סקר לבחירת המשוואה היפה ביותר של כל הזמנים. תוצאות הסקר פורסמו בגליון האחרון.

את המקום הראשון חלקו משוואות האלקרומגנטיות של מקסוול והנוסחא הנצחית של אוילר:

הסקר עסק בנוסחאות פיזיקליות (שלא ממש מעניינות אותי), ולכן העובדה שמשוואת אוילר הביסה פייבוריטים כמו הנוסחה המפורסמת של איינשיין (e=mc²), החוק השני של ניוטון (F=ma) ומשוואות שרדינגר (שדווקא כן מדברות אלי בגלל האלמנט ההסתברותי שהן מבטאות – ראו את הלוגו של הטור הזה על אלוהים והקוביות), מרגשת אותי במיוחד.

למקומות מכובדים הגיעו גם משפט פיתגורס והשוויון שרק נראה פשוט, האומר כי 2=1+1.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 11 באוקטובר 2004 00:00 במדור ….הממממ… מעניין שם התקבלו 4 תגובות

טוב, אז גם אני קראתי את הספר הזה. מראש הוא נראה מבטיח. בראש רשימת רבי המכר. הביקורות מהללות. ספר רגיש ונוגע ללב. הסופר מצליח לחדור בכשרון אל תוכי נפשו של הילד. ויש גם מתמטיקה. אני אוהב מתמטיקה. הפרקים ממוספרים במספרים ראשוניים. יש הסברים ותיאורים של כל מיני נושאים במתמטיקה: המשוואה הלוגיסטית. בעיית מונטי הול. נפת ארטוסתנס. החיילים של קונווי. ממש מרקחת מנצחת. ויש גם פיזיקה, ביולוגיה ועוד.

אבל ככל שקראתי והתקדמתי בספר, נעשיתי יותר ויותר כעוס. למעשה, רק בגלל שהחלטתי לכתוב כאן על הספר, המשכתי לקרוא אותו עד סופו. למה בעצם?

אולי בגלל שהתיאורים המתמטיים (וגם התיאורים המדעיים האחרים) נראים כאילו הועתקו מאיזה אתר? לא. אני מניח שהסופר  טרח לשוות לתיאורים האלה מראה שטחי כדי להדגיש שמדובר כאן בילד בעל זיכרון פנומנלי, שאוצר במוחו כל פריט מידע שנכנס אליו.

אולי בגלל שהספר כתוב בצורה ספרותית ירודה? האמת, אין לי שום כלי לשפוט האם זה כך. מבקרי הספרות מהללים את הספר, ואני סומך על דעתם. אז זה לא העניין הספרותי.

מה שהרגיז אותי זו המשוואה שהוצבה מול הקורא:  אוטיזם=מתמטיקה. על כריכת הספר קובע אוליבר סאקס, מחברם של ספרי פסיכולוגיה פופולארית, כי "מארק הדון חודר בכשרון לתודעה של נער אוטיסט". וגם מסופר כי "כריסטופר בון… פותר בקלות בעיות סבוכות במתמטיקה". יש לנו אוטיסט. יש לנו נער בעל כשרון למתמטיקה. בינגו.  וכולם בטח ראו או לפחות שמעו על הסרט Rainman , שם דאסטין הופמן לבש דמות של אוטיסט בעל כישורים חישוביים. והניוזלטר "הקולקטיב" מזכיר במהדורתו האחרונה את איש הגשם בצירוף לינקים על ה"תופעה המרתקת של ה- savants, אוטיסטים בעלי כישורים מנטליים חריגים".  ויש גם עוד מתמטיקאים שחלו בנפשם (נאש, קנטור, גדל).

עכשיו זה כבר לא משנה שכריסטופר, גיבור הספר, אינו אוטיסט (למרות האבחון של אוליבר סאקס), וגם לא ממש משנה שהוא אפילו לא עונה להגדרה של savant. המסר כבר הועבר.

אני חושב שלו היה מארק האדון סופר כל כך גדול, היה מצליח לחדור בכשרון לתודעה של נער אוטיסט (סליחה, נער הסובל מתסמונת אספרגר) גם אם הנער הזה לא היה בעל כשרון למתמטיקה. אבל אפשר לעשות את החיים קלים, לא?

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 29 בספטמבר 2004 12:34 במדור ספרים וסרטים שם התקבלו 8 תגובות

סקרי דעת קהל  הם כלי נפוץ להשבעת הרצון לחזות את העתיד. כך גם במערכת הבחירות לנשיאות בארה"ב. יואב קרני מנהל באתרו האישי ב"רשימות" רשימת קישורים העוקבת אחרי סקרי דעת הקהל במערכת בחירות זו, עבור כל אלה שלא מוכנים להמתין בסבלנות עוד חודשיים.

אולם יש עוד דרכים לנסות לחזות את העתיד. לפרופ' ריי ס. פייר, כלכלן מאוניברסיטת ייל, אין כדור בדולח, אולם הוא מפצה על כך בידע. פייר חיבר ספר בשם  "Predicting Presidential Elections and Other Things", ובתרגום חופשי "כיצד לחזות את התוצאות בבחירות לנשיאות ודברים נוספים".  למעשה, ספר זה הוא טקסט ללימוד הטכניקה הסטטיסטית הידועה בשם "רגרסיה לינארית", ומודלים סטטיסטיים נוספים המהווים הכללות של הטכניקה הבסיסית. הכלכלנים, מסתבר, כל כך מאוהבים במשפחת המודלים הזו, עד שהעניקו לה שם חיבה: "אקונומטריקה" – או "מדידה כלכלית".

העיקרון הוא פשוט:  אתה משער שיש קשר של סיבה ותוצאה בין שני משתנים, X ו-Y. אתה אוסף כמות מספיקה של תצפיות אודות שני המשתנים האלה, ובעזרתן מנסה למצוא נוסחה Y=aX+b המתארת את הקשר בין שני המשתנים. את הערכים a ו-b אומדים מתוך הנתונים, בעזרת שיטה שפותחה ע"י המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס ושוכללה ע"י דורות של סטטיסטיקאים.

ובכן, פרופ' פייר ניסה לחזות את התוצאות לבחירות לנשיאות ארה"ב באמצעות שיטה דומה. ה-Y שלו הוא אחוז הקולות שמקבל אחד המועמדים, והוא משתמש במספר X-ים, שהם מדדים כלכליים שונים. פייר חוזה כי בבחירות הקרובות לנשיאות ארה"ב יקבל ג'ורג' וו. בוש 58% מהקולות.

בראיון לניו-יורק טיימס מסביר פייר מדוע הוא צודק והסקרים המתארים מירוץ צמוד טועים (ציטוטים בתרגום חופשי): "יש גבול למידת האמינות של הסקרים… המודל שלי הוכיח עצמו היסטורית עם טעות ממוצעת של 2.5% בלבד… מלחמות לא משפיעות על תוצאות הבחירות, רק האינדיקטורים הכלכליים."

אל תעצרו את נשימתכם. ב-1991 חזה המודל של פייר כי ג'ורג' בוש יביס את המועמד האלמוני מארקנסו, ביל מה-שמו. כמו כל כלכלן, ידע פייר להסביר מדוע המודל שלו טעה במקרה זה: לדבריו, השיפור  במצב הכלכלי החל בעקבות מדיניות בוש, אך הבוחרים החלו להרגיש בו רק ב-1992, אחרי שקלינטון כבר תפס את מקומו בבית הלבן.

למתמטיקאי ג'ון אלן פאולוס מאוניברסיטת טמפל שבפילדלפיה יש עוד כמה טיעונים נגד המודל של פייר: כמות הנתונים בו קטנה למדי, המודל הופעל לראשונה ב-1978 על נתונים היסטוריים ולכן רוב ההצלחה שלו נובעת מעצם תהליך הבניה של המודל,  וכמו כן, יש אינדיקטורים כלכליים נוספים שלא נכללים במודל אך עשויים להשפיע על תוצאות מערכת הבחירות הנוכחית.

אני אוסיף עוד הערה אחת: המודל לא באמת מנבא. המודל הוא ניחוש אינטליגנטי לגבי מאורע שיקרה בעתיד. זה מה שהסטטיסטיקה יכולה להציע לגבי העתיד: ניחוש אינטליגנטי. זה לא מעט, אבל לא יותר מכך.
אני מציע שנחכה לנובמבר (או עד לסיום ספירת הקולות בפלורידה) ונראה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 בספטמבר 2004 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 6 תגובות

עדכון מתאריך 28 בננובמבר 2008: המודל צדק הניבוי המנצח, אך לא בפער הקולות (למעשה, בוש קיבל פחות קולות מגור ונבחר בזכות עיוותי שיטת האלקטורים)

אתמול הייתה תכנית הסיום של הסדרה.

חיים הכט טען לאורך כל שאפשר לשנות את המציאות בישראל, ואתמול בחר להביא כדוגמא את כביש חוצה ישראל. בין היתר טען כי הטענה שלו מוכחת על ידי "המדגם הגדול ביותר שנערך בארץ … מיליון ורבע נבדקים… במדגם כזה אין טעות סטטיסטית" (הציטוטים הם מזיכרוני וייתכן שאינם מדוייקים).

בהמשך הוא הסביר למה התכוון: המיליון ורבע הם מיליון ורבע נסיעות שבוצעו בכביש 6 מאז פתיחתו, 95% מהנוסעים בכביש שילמו את אגרת הנסיעה.

מה קורה כאן?

ראשית, הכט מתייחס לאוכלוסיה אחת, שהפרטים בה הם נסיעות, ומסיק ממנה לגבי אוכלוסיה אחרת – אוכלוסיית אזרחי ישראל.

ואם הוא מעוניין בנהגים שביצעו את הנסיעות הרי שמספר הנהגים קטן בוודאות ממספר הנסיעות בכביש. אז יש כאן מדגם עם חזרות. אבל זו בעיה שהסטטיסטיקה יודעת להתמודד עימה.

אבל הבעיה העיקרית היא שקבוצת הנהגים שהשתמשו בכביש חוצה ישראל אינה מהווה מדגם אקראי של קבוצת הנהגים הישראלים – שהרי רובם ככולם בחרו במודע לנסוע בכביש שהנסיעה בו כרוכה בתשלום. אני סבור שקבוצה זו אינה מייצגת את קבוצת הנהגים בישראל, ואם הכט חושב אחרת, עליו להסביר מדוע. הכט נופל במלכודת הגודל – בדגימה הגודל הוא לא הגורם היחידי שקובע. במדגם מוֱּטה, גודל מדגם גדול רק יעצים את הטעות המובנה בהטייה של המדגם.

השורה התחתונה – הטענה כי במדגם כזה אין טעות סטטיסטית היא בלתי נכונה ומטעה. נזק רב לא נגרם אמנם, שכן הכט לא טרח להסיק כל מסקנה סטטיסטית מהנתון שהציג – הוא בסך הכל הראה שמערכת אכיפה משוכללת ומשומנת, משולבת בעונשים דרקוניים  אכן תביא לציות לחוק (או יותר נכון, ל-95% ציות), וסביר להניח שזה יעבוד גם אם השיטה תורחב לתחומים ואוכלוסיות אחרות. בשביל זה באמת לא צריך סטטיסטיקה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 9 באוגוסט 2004 00:00 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 2 תגובות