סטטיסטיקאי בפריז

אין כמו ביקור בפריז לשיפור מצב הרוח והנפש. ביום רביעי של השבוע שעבר נסענו זוגתי ואני לחופשה של חמישה ימים בפריז. מועד הנסיעה, שלא במקרה, היה יום הולדתי הראשוני ה-15. זה לא היה ביקורנו הראשון בעיר, ולכן הביקור הנוכחי דילג על “אתרי החובה” השונים של העיר. הפעם בחרנו לסייר בעיקר ברחובות וכיכרות שעדיין לא ביקרנו בהם, בגנים ובשווקים. אמנם תיכננו ביקור במוזיאון האורנז’רי, אך הוא היה סגור עקב שביתה. ביקרנו במוזיאון אחד בלבד – מוזיאון המוזיקה, ואני ממליץ לכולם בחום לבקר בו.

יש מוזיאון אחד בפריז שאני רוצה מאוד לבקר בו, אך מוזיאון כזה אינו קיים: מוזיאון המתמטיקה. אמנם, ב”ארמון התגליות” (Palais de la découverte) יש תערוכה קטנה שעוסקת במתמטיקה, אך היא מאכזבת למדי (ביקרתי בה לפני כמה שנים).

פריז היא המשכן הטבעי למוזיאון מתמטיקה. היא הייתה עיר הבירה של המתמטיקה העולמית במאה ה-18, ובמשך מהמאה ה-19 הייתה עדיין אחד ממרכזי המתמטיקה העולמיים (יחד עם ברלין וגטינגן). בפריז נשא דויד הילברט את נאומו המפורסם בו הציג את 23 הבעיות שיתוו את כיוון המתמטיקה במאה ה-20. בין המתמטיקאים הגדולים שחיו ופעלו בעיר (ואני דולה את השמות מהזיכרון בלבד) ניתן למנות את קושי, לפלס, לגראנז’, גלואה, דקארט, האדמר, פואנקרה, ג’רמיין, פורייה, וגם את הרוזן בופון (שמייד אכתוב עליו בהרחבה). אני תמיד מופתע מכך שהעיר פריז די מבליעה את ההיסטוריה המפוארת שלה בתחום הכל כך חשוב הזה.

אחת הדרכיםבהן חולקת פריז כבוד לאנשים היא על ידי קריאת רחובות על שמם. בפריז יש כ-100 רחובות וככרות הנקראים על שם מתמטיקאים, לאו דווקא צרפתיים. יש גם רחובות על שם ברנולי, לייבניץ, ליאונרדו, אך אין רחובות על שם גאוס ורימן. יש כיכר בה נפגשים רחובות ניוטון, גליליאו ואוילר. הנה השלט של רחוב דקארט, ברובע הלטיני:

במרחק מספר דקות הליכה מרחוב דקארט נמצא רחוב בופון, המוביל אל הגנים הבוטניים של פריז (Jardin des Plantes) ובמרכזם ניצב, הפלא ופלא, פסלו של הרוזן בופון!

הרוזן בופון היה איש אשכולות קלאסי של המאה ה-18: הוא היה חוקר טבע, מתמטיקאי, קוסמולוג ועורך אנציקלופדיות. מתברר גם שהוא היה בין מקימי הגנים הבוטניים ומנהלם, ולכן אין זה פלא שפסלו ניצב במרכזם.

לפני כחמש שנים כתבתי כאן על רשימת 100 המשפטים הגדולים של המתמטיקה שהופיעה באחד מאתרי האינטרנט. במקום ה-99 של אותה רשימה הופיעה בעיית המחט של בופון. מהי בעיית המחט של בופון?

תארו לעצמכם דף נייר גדול, עליו משורטטים קווים מקבילים שהמרחק בינם קבוע. נסמן את המרחק בין הקווים באות d. ניקח מחט, שאורכה L, (כאשר L<d), ונטיל אותה על הגליון. מה ההסתברות כי המחט תחצה את אחד הקווים?

בשרטוט שלמעלה מוצגות 7 מחטים, שמתוכן 4 חוצות קווים. הניסוי שתואר למעלה נותן אמדן להסתברות המבוקשת: 4/7.

בופון חישב ומצא כי ההסתברות שהמחט תחצה את אחד הקווים, P, היא

במקרה המיוחד בו אורך המחט שווה למרחק בין הקווים (כלומר L=d), מקבלים כי P=2/π.

π הוא, כמובן, היחס בין היקף המעגל וקוטרו. איך הוא הגיע לכאן? כדי לחשב את ההסתברות נחוצים שני ערכים: מרחק מרכז המחט מהקו הקרוב, והזוית בין המחט ובין הקו. עם הזווית מקבלים כבונוס את הסינוס שלה, והוא מכניס את פיי לתמונה.

נחמד, אבל למה פתרון הבעיה הזו ראוי להמנות בין 100 המשפטים הגדולים של המתמטיקה?

התשובה המפתיעה: בעזרתה ניתן לחשב את ערכו של פיי!

אפשר לבצע את הניסוי של הטלת המחט מספר גדול של פעמים ולאמוד את ההסתברות P על ידי היחס בין מספר הפעמים בהן המחט חצתה את הקו לבין מספר ההטלות. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי האמדן קרוב לערך האמיתי של ההסתברות, אם מספר הנסיונות מספיק גדול. כעת, כשיש לנו אמדן טוב ל-P, וידועים לנו ערכי L ו-d, אפשר לחשב את פיי באופן הבא:

או פשוט π=2/P אם d=L.

ב-1901 פרסם המתמטיקאי האיטלקי מריו לזריני קירוב של פיי שהשיג על ידי ניסוי בופון. הוא הטיל מחט שאורכה היה 5/6 מהמרחק בין הקוים 3408 פעמים, והמחט חצתה את הקוים 1808 פעמים. האמדן שקיבל לערכו של פיי היה לכן 355/113, או …3.1415929 בעוד שהערך האמיתי הוא …3.1415926. אמנם, לזריני בחר בקפידה את אורך המחט ואת מספר ההטלות (ויש הטוענים יותר מדי בקפידה), אך התוצאה עדיין מרשימה. מי שמעוניין יכול לנסות בעצמו בבית, או להשתמש באחד מהסימולטורים של הניסוי ברשת.

העקרון לפיו מחושב הערך של פיי מתוצאה של ניסוי מקרי ידוע היום בסטטיסטיקה כ”שיטת מונטה קרלו“. כיום יש שימוש נרחב בסימולציה לחישוב ערכים של פרמטרים שונים, הודות ליכולות המחשוב המודרניות. מדהים ששיטה זו מתבססת על עקרונות שהיו ידועים כבר במאה ה-18.