לא, לא מדובר כאן בפרסומת לרשת חנויות, אלא בשעשועון טלוויזיה עתיק יומין.
המתחרה ניצב בפני שלוש דלתות. מאחורי אחת הדלתות נמצאת מכונית, ומאחורי שתי האחרות – עזים. אם המתחרה יצליח לנחש היכן מסתתרת המכונית, הוא יזכה בה.
המשחק מתנהל בשני סיבובים. בתחילה, המתחרה בוחר באחת הדלתות. בתגובה, פותח המנחה (ששמו בגרסה האמריקאית היה מונטי הול, ומכאן נודעת הבעיה בשם Monty Hall Problem) את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למתחרה כי מאחוריה מסתתרת עז.
כעת ניתנת למתחרה האפשרות לשנות את בחירתו הראשונית: הוא יכול לדבוק בדלת הראשונה שבחר, או לעבור לבחירה בדלת השלישית, שלא הוא בחר ומונטי לא גילה לו מה יש מאחוריה.
לכאורה, מה זה משנה? יש שתי דלתות, מאחורי אחת מהן יש מכונית, מאחורי השניה אין, והסיכויים הם 50:50. אז זהו, שלא. זה כמו לומר שמחר או שירד שלג בתל-אביב, או שלא, ולכן הסיכויים לירידת שלג בתל-אביב מחר הם 50:50.
צריך לזכור שכאשר מונטי פתח את אחת הדלתות, הוא ידע מראש כי מאחוריה אין מכונית, וניתן לנצל אינפורמציה זו כדי להסיק שהסיכוי כי המכונית נמצאת מאחורי הדלת השלישית הוא 2/3, ולכן כדאי למתחרה לשנות את בחירתו הראשונית.
מי שמעוניין בהסבר מתקדם יותר מוזמן לעיין בדף ההסבר של פורום המתמטיקה באוניברסיטת דרקסל (אנגלית) או בויקיפדיה בעברית.
אני משוכנע שכל ההסברים לא משכנעים. ניסיתי להסביר את הנקודה העדינה בהמון דרכים ואפשר לכתוב ספר על הנושא (ומישהו כבר כתב ספר כזה). בשנת 1994, כאשר לימדתי את הקורס “מבוא לסטטיסטיקה והסתברות” הקדשתי שעה שלמה לבעיה הזו. הזמנתי סטודנטים לעלות לבמה ולשחק במשחק, וערכנו רישום של ההצלחות בניחוש לפי אסטרטגיית הניחוש (שמירה על הניחוש הראשוני או החלפה). המדגם אמנם היה קטן ובכל זאת הסתמן יתרון לאסטרטגיית ההחלפה, אך לא כל הסטודנטים השתכנעו והמשיכו להתווכח איתי אחרי השיעור. (הקורס ההוא צולם על ידי אגודת הסטודנטים, וייתכן כי עדיין ניתן לצפות בקלטות בספריית האוניברסיטה העברית). ניסוי דומה נערך באתר של אוניברסיטת קליפורניה בסן-דייגו. אתם מוזמנים לשחק בעצמכם, וגם לעקוב אחרי סטטיסטיקת הניצחונות. בהצלחה.
פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 5 במרץ 2007 שם התקבלו 16 תגובות
דרומי [אתר] בתאריך 3/5/2007 10:23:59 PM
אחרי אינסוף הסברים בויקיפדיה, ואחרי שראיתי תוכנה סטטיסטית מפיקה תוצאות מתאימות, השתכנעתי שכנראה האמת המתמטית בצד שלכם.
אבל בכל זאת, לא יכול להיות…
גיל בתאריך 3/5/2007 10:26:25 PM
ההוכחות המתימטיות טובות ויפות אבל לא אינטואיטיבות.
הדרך הטובה ביותר לשכנע אותם היא לומר להם שידמיינו שיש 100 דלתות ולא 3, ושיש מכונית מאחורי אחת מהן. הם בוחרים דלת, ואז אתה מספר להם שפותחים בפניהם 98 דלתות כשבכולן יש עיזים. האם גם אז הם עדיין יעמדו על דעתם לא לשנות את הבחירה שלהם? ברור שלא, כי הם מבינים שמתוך 100 דלתות הסיכוי המקורי שלהם לנחש איפה הייתה המכונית די קטן.
כשיש רק 3 דלתות הסיכויים קרובים מדי, ולכן על ידי דוגמא מוגזמת קל להם לראות את ההיגיון מאחורי זה.
קורא בתאריך 3/5/2007 11:53:39 PM
נביט במשחק הבא: מטרת המשחק: להחזיר באס לב, והמשחק מתנהל כך:
בשלב ראשון אתה בוחר קלף אחד מתוך חפיסה (מבלי לראות את הקלף).
בשלב שני, אני מביט בכל הקלפים, בוחר אחד ומראה לך את כל הקלפים האחרים ואכן אף אחד מהם אינו אס לב.
השאלה עכשיו היא: אצל מי יש סיכוי גבוה יותר שנמצא האס לב? אצלי או אצלך?
אם אצלי ברור שכדאי לך להחליף.
(פתרון זה דומה מתמטית להצעה להביט במאה דלתות, אך משכנע יותר אנשים עם פחות רקע מתמטי)
יוסי לוי [אתר] בתאריך 3/6/2007 12:19:55 AM
גם את זה ניסיתי… עדיין יש כאלה שלא משתכנעים
גיל בתאריך 3/6/2007 3:45:28 AM
שמוזכרות בויקיפדיה האנגלית:
http://en.wikipedia.org/wiki/M….Increasing_the_number_of_doors
מעניין שכשכותבת טור מפורסמת פירסמה בעיתון את הבעייה ב1990, מאות מתמטיקאים כתבו לה בתגובה שהיא טועה ומטעה את הציבור.
אורן [אתר] בתאריך 3/6/2007 9:17:30 AM
להסביר את זה לאנשים בצורה אינטואיטיבית וגם בצורה פורמלית וזה קשה…
נדמה לי שלכן אני מכיר את הבעיה בשם monty holl paradox
ולא
monty hall problem
למרות שזה לא פרדוקס אמיתי, אנשים נוטים לראות בזה פרדוקס גמור.
דב [אתר] בתאריך 3/6/2007 2:28:50 PM
מדובר כאן על הסתברות מותנה, ולכן לאחר שנשארנו עם שתי דלתות הסיכוי של דלת כל שהיא הוא בדיוק 50%.
כל ההסברים הללו מתעלמים מכך שיש לנו מידע חדש ודלת אחת פתוחה ויש מאחוריה עז. אנו עכשיו בוחרים בין שתי דלתות שמאוחרי אחת מהן יש מכונית סיכוי ברור של 50%.
הלל כהן בתאריך 3/6/2007 2:35:34 PM
ההסבר הגראפי הוא זה ששכנע אותי.
http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html
עומר בתאריך 3/6/2007 4:34:27 PM
דב, יש שני מקרים: בחרתי וילון וניחשתי נכון (סיכוי שליש) בחרתי וילון וניחשתי לא נכון (סיכוי 2/3). כעת נפתח וילון עם עז. אם לא אעבור, הרי שבהנתן שנחשתי נכון אני אזכה בסיכוי 1, ובהנתן שניחשתי לא נכון אני אנצח בסיכוי 0 ולכן הסיכוי שלי לזכות הוא לפי נוסחת ההסתברות השלמה:
(1/3)*1+(2/3)*0=1/3
אותו חישוב מוביל לכך שאם אעבור סיכויי לזכות יאמירו ל-2/3.
יוסי: הבעיה במונטי הול טמונה במקום אחר לגמרי. היא נמצאת בשאלה – מה המשמעות של המושג “כדאי לעבור”? די ברור שמבינים זאת כתוחלת הרווחים, ולפיכך יש כאן נטיה למושג ההסתברות ה”אמפירית”, כממוצע של מספר ההצלחות בניסויים החוזרים על עצמם. אבל שווה בנפשך מה היה קורה אילו במקום פרס היינו מציבים כיתת יורים מאחורי הווילון, כך שאם “הצלחת” אתה נורה למוות, ואם “לא הצלחת” תישאר בחיים. מה המשמעות של “כדאי לעבור” במקרה זה, בו ברור לגמרי שה”ניסוי” חוזר רק פעם אחת ויחידה?
איתן בתאריך 3/7/2007 7:56:25 PM
תמיד היה לי קשה עם זה…
אבל לגבי ההסבר הגרפי ב
http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html
האם לא נכון לומר כי העמודה השמאלית איננה מדויקת ואמורות להיות שתי עמודות במקומה
(כי למנחה יש שתי אפשרויות לסמן כוס שגויה)
ואז שוב ההסתברות יורדת לחצי???
אני אשמח להסבר מלומד…
אחד בתאריך 3/11/2007 9:46:00 PM
המנחה מאולץ לבצע את הפעולה הנ”ל בכל מקרה, ואינו זדוני. צירוף של מנחה זדוני אם חופש בחירה מסבך את התמונה (למשל, המנחה עשוי ללפעול כך: לתת אפשרות נוספת רק אם המתחרה בחר נכון כבר בדלת הראשונה, או לפעול בשיטה זו בסיכוי גבוה יותר מאשר כשהמתחרה לא בחר נכון)
עומר בתאריך 3/12/2007 3:48:10 PM
אבל קל מאוד לבדיקה (במקרה שהמנחה “זדוני” כהגדרתך)….
גדי אלכסנדרוביץ’ בתאריך 4/22/2007 9:44:39 PM
נניח שהמנחה לא היה פותח דלת, אלא נותן לך לבחור אם אתה רוצה, במקום הדלת שבחרת, לקחת את מה שנמצא מאחורי שתי האחרות. האם כדאי להחליף?
נראה לי שכולם יסכימו שהתשובה היא חיובית (בהנחה שהמנחה תמיד מציע להחליף, ולא רק כשאתה בוחר את הדלת שמאחוריה המכונית) – הרי מקבלים כאן “2 במחיר 1”, ולכן ההסתברות גבוהה יותר.
אבל אז צריך לשאול את מי שהשתכנע – מה בעצם ההבדל בין המקרה הזה, ובין המקרה שבו המנחה נותן לך לבחור את שתי הדלתות האחרות, אבל פותח את אחת מהן, שהיא ממילא חסרת ערך (ותמיד אחת משתי הדלתות חסרת ערך?)
התשובה היא כי אין שום הבדל – ונראה לי שאת זה יותר קל לעכל מאשר את הבעיה המקורית.
קתרינה בתאריך 4/29/2007 3:54:41 PM
לבקש מאנשים להיות בצד המנחה, ולבקש מהם לחשב – כמנחה – מה הסיכוי שהמכונית תשאר אצלם בכל תנאי ותנאי.
משום מה אנשים מוצאים את זה קל יותר להבין, כשהם הצד “היודע כל” והם מבינים מה המשמעות של החלפה של המתחרה.
בכיתב של סטודנטים לסטטיסטיקה, החישוב ההסתברותי מספיק לשכנע.
יוסי לוי [אתר] בתאריך 4/29/2007 6:38:04 PM
רעיון מצויין!
זהר [אתר] בתאריך 7/13/2007 7:49:47 PM
קודם תכניסי את העז הביתה – שבועיים אחר כך תוציאי אותה
לפני כמה שנים, ראיתי את הבעיה לראשונה בספר שקראתי וזה העסיק אותי כמה שעות.
פשוט לא הבנתי מה ההבדל בין המקרה:
בחרתי בדלת מתוך שלושה ולפני שרואים מה יש בתוכה, פותחים אחת הדלתות ורואים שיש בה עז. ככה שאני יודע שמאחורי אחת עז ומאחורי אחת מכונית.
לבין המקרה בו אני מגיע לחדר בו יש 3 דלתות, אחת פתוחה עם עז, ו 2 סוגורות שמאחורי אחת מהן עז ומאחורי השנייה מכונית.
עכשיו, אני מבין שההבדל הוא ש*ידוע* שהמנחה יבחר אחד עם דחליל. לכן, מה שבעצם קורה, זה שהמנחה חייב להשאיר את הפרס באחת הדלתות, לכן או שהוא בשלך או שהוא בשני. ובגלל שיש רק 1/3 שהוא בשלך, יש 2/3 שהוא בשני. הרבה יותר קל להבין את זה עם 10 דלתות. אני בוחר אחת, והמנחה פותח 8. ככה שמה שנישאר זה הדלת שבחרתי והדלת שהוא השאיר. ובגלל שהוא מחוייב להשאיר את הפרס, הרבה יותר סביר שהפרס נמצא בשני, שכן הדלת שאני בחרתי היא אחת רנדומלית מתך ה-10 ואילו הדלת שהוא היא 9/10פעמים תיהיה עם הפרס, כיוון שהוא יודע מאחורי מה יש עז ומאחורי מה יש פרס, והוא ‘יטעה’ רק אם מה שאני בחרתי זה הפרס.
מקווה ששכנתי את כולם ;]
תראה בדף הזה /http://aloeveranet.co.il/MontyHallProblem שזה עובד
האם הפיתרון משתנה אם המנחה לא יודע איפה המכונית ופתח במקרה את הדלת עם העז?
בהחלט כן.
במקרה כזה, ההסתברות שהמכונית מאחורי הדלת האחרת היא 0.5.
לא הבנתי
אם הוא בחר דלת עם עז, כשהוא יודע או לא, מה ההבדל?
אני לא מבין למה יש סיכוי גדול יותר ויש לי 2 שאלות:
1. אם למישהו יש אפשרות לבחור בין 4 דלתות, והוא בוחר את דלת מס’ 1, פותחים את דלת מס’ 4 ומראים לו שאין שם כלום. שואלים אותו אם הוא רוצה לעבור לדלת מס’ 2, הוא צריך לעבור.(לדלת מס’ 1 יש 25% זכייה, ולדלתות 2 ו3 יש 75% כי 4 בוטלה, וזה יוצא לכל אחת 37.5%)
עכשיו פותחים את דלת מס’ 3 וגם מאחוריה אין כלום, ושוב שואלים את מיודענו אם הוא רוצה להחליף דלת, הפעם לחזור אל הדלת המקורית שהוא בחר והיא דלת מס’ 1. הוא צריך להסכים כי לדלת זו יש את רוב הסיכויים לבדוק. (לדלת מס’ 2 יש 37.5% ממקודם, ול3 ו1 יש 62.5%, מאחר שדלת 3 בוטלה זה משאיר את 1 עם 62.5% ואת 2 עם 37.5%)
האם זה נכון?
2.מה ההבדל בין אם פתחתי את ההקלפים לפני שבחרת או אחרי? בכל מקרה אחראי שיש לי קלף ביד ופסלת 50 מתוך 52 יש סיכוי טוב שיש לי את האס.
קראתי בויקיפדיה ולא הבנתי; קראתי את ההסבר עם מאה הדלתות והוא לא עזר; קראתי עוד כמה ניסיונות להסבר ושום דבר לא נראה לי הגיוני, עד שראיתי את התרשים המעולה הזה:
http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html
ואז בניתוח בדיעבד אני יכולה להבין זאת בכיוון ההפוך:
הסיכוי הראשוני שלי להיכשל הוא יותר גבוה, 2/3 לעומת 1/3 (כמובן, הרי על זה התכנית בונה). אם הצלחתי (סיכוי של 1/3) הרי שההחלפה תכשיל אותי; אבל אם נכשלתי, הרי שהחלפה (אחרי שנפתחה הדלת הנוספת) תגרום לי להצליח. מכיוון שלאם השני יש סיכוי של 2/3 ולאם הראשון סיכוי של 1/3, שווה לי להחליף (כי סביר יותר שנכשלתי בניחוש הראשון ולא שהצלחתי). זה מסובך במילים אבל התרשים בהחלט מבהיר זאת היטב. בקיצור, זה מוזר לאללה, אבל איכשהו הגיוני…
הנה הוכחה מדעית לפתרון הבעייה http://aloeveranet.co.il/MontyHallProblem/
הנה באתר מחודש ומיוחד http://kleinfa.co.nf/Y.and.SH/MontyHallProblem/