מה ההגיון בשיטת הניקוד של הטניס?

בלדד השוחי הסביר השבוע במדורו שבנענע את ההגיון העומד מאחורי שיטת הניקוד של משחק הטניס.
למי שאינו יודע, משחק הטניס מורכב ממשחקונים, וכדי לזכות במשחקון, יש לזכות בארבע נקודות (שהן בעצם ארבעה רבעי משחקון). אולם בטניס הזכיה הראשונה מקנה 15 נקודות, השניה 15 נקודות נוספות, השלישית 10 נקודות נוספות, והרביעית משלימה את סך הנקודות ל-60, שמקנות זכיה במשחקון. בלדד השוחי מסביר כי מקורה של שיטה זו בספירה לפי בסיס 60, שהביאה אותנו גם לחלוקת השעה ל-60 דקות, וחלוקת כל דקה ל-60 שניות, וכדומה.
הרשו לי להוסיף הסבר נוסף. נניח כי שני המתמודדים הינם שחקנים ברמה דומה. בכל מהלך של המשחק, לאחד מהם

יש סיכוי של 51% לזכות בנקודה, ולשני יש סיכוי של 49% לזכות בנקודה. מה הסיכוי של כל אחד מהם לזכות במשחקון? כדי לזכות במשחקון יש לזכות בארבע נקודות, ולהיות ביתרון של שתי נקודות על פני היריב. ובכן, אם יש לך סיכוי של 51% לזכות בכל נקודה, הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא 52.5%  ובאופן כללי יותר, אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה הוא p והסיכוי שלך להפסיד נקודה הוא q=1-p, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא:

לכן אם הסיכוי שלך לזכות בנקודה מול היריב הוא 60%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 73.5%, ואם אתה רוז’ה פדרר, והסיכוי שלך לזכות בנקודה מול יריב המדורג (נניח) במקום ה-100 בעולם הוא 75%, אז הסיכוי שלך לזכות במשחקון הוא כבר 95%.
כדי לזכות במערכה יש לזכות ב-6 משחקונים ולהיות ביתרון של 2 משחקונים על היריב , או לזכות ב-7 משחקונים. חישוב דומה לחישוב הקודם מעלה כי סיכוי של 51% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 57% לזכות במערכה, וסיכוי של 60% לזכיה בנקודה מקנה סיכוי של 96% לזכות במערכה!
כדי לזכות במשחק שלם יש לנצח בשתי מערכות מתוך 3, או ב-3 מתוך 5 (בטורנירים הגדולים).  במשחק בן 3 מערכות, בטורנירים הגדולים, שם יש לזכות ב-3 מערכות מתוך 5 – סיכוי של 51% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 63% לזכות במשחק כולו, וסיכוי של 60% לזכות בנקודה נותן סיכוי של 99.9% לזכות במשחק כולו.
נכון שהתעלמתי כאן מכמה ניואנסים במשחק (כגון היתרון שיש למגיש, ושיטת שובר השוויון המחליפה את מהלך המשחקון הרגיל כאשר מאזן המשחקונים הוא 6:6), והנחתי כי הסיכוי לזכיה במשחקון נשאר קבוע לאורך המשחק וכי אין תלות בין מהלכי המשחק, אבל החישובים האלה נותנים תמונה די ברורה – שיטת הניקוד בטניס מעצימה את הבדלי האיכות בין השחקנים – ונותנת יתרון משמעותי לשחקנים הטובים. איני יודע אם מי שהמציא את שיטת הניקוד הזו התכוון לכך – אך זו בהחלט התוצאה.
מי שעוקב אחרי ליגות הספורט המקצועני בחו”ל – יודע כי הפתעות אינן נדירות. נצחון של קבוצה כדורסל או בייסבול חלשה יחסית מול יריבה עדיפה אמנם מהווה הפתעה – אך לא הפתעה מרעישה (רק אתמול ניצחה קבוצת הבייסבול הבינונית של מילווקי את הקבוצה בעלת המאזן הטוב בליגה – סנט לואיס). לעומת זאת, הפסדים של פדרר, אגאסי או אחת האחיות ויליאמס ליריב שאינו בעשיריה הראשונה של דירוג הטניס העולמי נחשב להפתעה מרעיה. פשוט, נצחונות כאלה נדירים הרבה יותר – בגלל האפליה לטובת שחקני הצמרת הנובעת משיטת הניקוד של הטניס.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 29 באפריל 2005שם התקבלו 6 תגובות

הסתברותן  בתאריך 4/29/2005 4:47:27 PM

נחמד!

חישוב נחמד מאד – אף פעם לא חשבתי כך על טניס.
אני קצת חולק עליך בנוגע לטענה על הכדורסל. באמת שאני מבין מעט מאד בספורט, אבל נדמה לי שבכדורסל גם כן יש יחסית מעט מאד הפתעות (בטח לא כמו בכדורגל). ניסיתי למדל קצת את משחק הכדורסל, והגעתי למודל המאד פשטני הבא: במשחק נקלעים 100 סלים, וההסתברות שסל יהיה לטובת קבוצה א’ הוא p, ולטובת קבוצה ב’ הוא q.
הסיכוי שא’ תנצח הוא ההסברות שההילוך המקרי שנוצר יהיה בעל ערך חיובי לאחר מאה צעדים. משפט הגבול המרכזי נתן לי את הערכים המקורבים הבאים (מקווה שלא עשיתי טעויות בדרך):
p P(sum > 0)
0.51 0.679
0.52 0.655
0.53 0.726
0.54 0.788
0.55 0.842
0.56 0.886
0.57 0.921
0.58 0.947
0.59 0.966
0.60 0.979
0.61 0.987
0.62 0.993
0.63 0.996
0.64 0.998
0.65 0.999
כמובן שהמרחק בין המציאות למודל הכדורסל שלי הוא רב יותר מאשר המרחק בין המציאות למודל הטניס שאתה ניתחת, אבל אני חושב שהמודל הפשוט הזה מסביר למה גם בכדורסל יש יחסית מעט הפתעות.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 5:13:38 PM

תודה!

תודה על ההסבר המאלף. כילד, התפלאתי מאוד על השיטה בטניס, אבל לא העליתי על דעתי שיש בה העדפה כלשהי.

אלכסנדר  [אתר]  בתאריך 4/29/2005 8:45:54 PM

ללא נושא

זו לא שאלה של אפליה. אם קבוצת כדורגל מליגת העל היתה משחקת מול קבוצה מליגה ב’- סדר גודל של 100 קבוצות שמפרידות ביניהן – היא היתה מנצחת כמעט תמיד, בדיוק כמו שפדרר מנצח שחקן המדורג במקום המאה. אגב, לפי החישוב שלך, המצב גרוע פי כמה בטניס שולחן, או, אם מסתכלים על ספורט קבוצתי – בכדורעף.

יואב  בתאריך 4/29/2005 11:46:56 PM

ללא נושא

ומה הסיבה לניקוד המוזר (15, 30, 40) ?
אני שמעתי שזה כיוון שרק האצילים ידעו לספור למספרים גבוהים, ובעזרת שיטה זו מנעו מפשוטי העם להבין את המשחק.

חנן כהן  בתאריך 4/30/2005 4:15:16 AM

אין היגיון בכותרת

הפוסט הזה הוא על השיטה לקביעת המנצח במשחק ולא על שיטת הניקוד. היה אפשר גם לתת נקודה אחת במקום 15, 30 וכו’.

עזי  בתאריך 5/2/2005 4:10:38 PM

שתי הערות לא סטטיסיטיות

יוסי, תודה על הפוסט המעניין והמאתגר-מוח!
ראשית, צודק אלכסנדר שההשוואה של טניס אל מול כדורגל (או בייסבול) אינה באה על בסיס שווה, שכן בכדורגל ובבייסבול יש ליגות (המשקפות רמת משחק) והמשחקים מתבצעים *בתוך* ליגה, המהווה אוסף הומוגני יותר של קבוצות בעלות רמה דומה. זה שונה בעיקרון מטניס, ולכן ה”הפתעות” בטניס נדירות יותר. ראה מה קורה במשחקי גביע בכדורגל — שם ההפתעות נדירות מאד…
שנית, השיטה בטניס נותנת, למעשה, ניקוד-יתר על היתרון הפסיכולוגי שב”הובלה”. כלומר, היא פועלת כנגד המפסיד במשחקון באורח כפול: הוא גם יודע שהוא מופסד (בינתיים) ושעליו להתגבר על הפער העכשווי, וגם להתאמץ שבעתיים כדי להתגבר על ההסתברות הבעייתית של שיטת הניקוד. זה אומר שמנצח במערכה שהתגבר על הפסד במשחקונים מאופיין בגורם פסיכולוגי חזק במיוחד!