משחקי המשילות

לפני כשבוע חוקקה הכנסת את “חוק המשילות”, שהוא למעשה סדרת תיקונים למספר חוקי יסוד. אחד הסעיפים בחוק קבע כי אחוז החסימה בבחירות לכנסת יועלה מ-2% ל-3.25%, כלומר, מפלגה שתזכה בפחות מ-3.25% מסך הקולות הכשרים בבחירות, לא תקבל ייצוג בכנסת. לו היה אחוז החסימה בבחירות האחרונות לכנסת 3.25% ומספר הקולות שקיבלה כל מפלגה לא היה משתנה, הרי שרשימות חדש, בלד וקדימה לא היו נכנסות לכנסת, ושמונת המושבים שלהם היו מתחלקים בין המפלגות האחרות.

המוטיבציה לשינוי, כפי שהסבירו מציעיו, הייתה הרצון “לחזק את יכולת המשילות של הממשלה”, כלומר להפחית את תלותה בסיעות קטנות ו-“סחטניות” (( 1. כמובן שבדברי ההסבר (קישור לקובץ rtf) הרשמיים נעשה שימוש במלים נמלצות יותר)). האם אכן יביא החוק לתוצאה המבוקשת? איך בכלל מודדים את כוחה של מפלגה? מהו כוחה של סיעת “קדימה” לה שני נציגים בכנסת?

בכנסת שלנו, למפלגה בת 59 מנדטים אמור להיות כח רב. נכון? לא בהכרח. אם יש בכנסת רק שתי מפלגות, לאחת 59 מנדטים ולשניה 61, הרי שכל הכח מרוכז בידי המפלגה השניה. היא לא זקוקה לשום עזרה מהמפלגה האחרת כדי להקים ממשלה. היא מחזיקה 100% מהכח, ומפלגת ה-59 מחזיקה 0% מהכח.

מה קורה בכנסת תיאורטית בה יש 3 מפלגות, שלכל אחת מהן 40 מנדטים? אם נתעלם משיקולי ימין ושמאל לרגע, ונניח כי כל שתי מפלגות יכולות לחבור יחד ולהותיר את השלישית באופוזיציה, נהיה מוכרחים להגיע למסקנה כי לכל שלוש המפלגות כח שווה, וכל אחת מהן מחזיקה ב-33 וליש אחוזים מהכח.

ומה קורה בכנסת תיאורטית בה יש 3 מפלגות, לשתיים מהן 50 מנדטים כל אחת, והשלישית היא מפלגה “קטנה” עם 20 נציגים בלבד?

שאלות דומות לאלה הטרידו את לויד שאפלי, מתמטיקאי אמריקאי. ב-1953, הציע פתרון לשאלות אלו, במסגרת עבודת הדוקטורט שהגיש לאוניברסיטת פרינסטון. “הערך של שאפלי”, ותרומות משמעותיות רבות נוספות שתרם לתחום המתמטי הידוע בשם “תורת המשחקים” זיכו אותו בפרס נובל לכלכלה בשנת 2012. ברשימה זו אנסה להסביר את מושג וההגיון מאחוריו, ואראה כיצד ליישם אותו כדי לנתח את המשמעות המיידית של העלאת אחוז החסימה במסגרת “חוק המשילות”.

אז הנה סיפור המסגרת בצורה פשטנית (( 2. כמובן שהבעיה ששאפלי דן בה הינה כללית יותר, כמו גם הפתרון שהציג. למעוניינים, הנה קישור למצגת (קובץ pdf) המכסה את הנושא בצורה טובה.)): יש לנו כנסת, ובה מפלגות בגדלים שונים, וצריך להקים קואליציה של 61 מנדטים לפחות כדי להקים ממשלה. מה הכוח של כל מפלגה במשא ומתן?

ראשית יש לשים לב כי יש שני סוגים אפשריים של קואליציות: כאלה שיכולות להקים ממשלה, וכאלה שלא. קואליציה של מפלגות שסך המנדטים שלהם עולה על 60 יכולה להקים ממשלה, ולכן שאפלי נותן לה ערך שרירותי השווה ל-1. קואליציה של מפלגות שסך המנדטים שלהם קטן מ-61 לא יכולות להקים ממשלה, ושאפלי נותן לקואליציות כאלה ערך שרירותי השווה ל-0. שימו לב כי הערך של הקואליציה אינו בהכרח שווה לכח שלה. הערך אומר אם הקואליציה יכולה להקים ממשלה או לא, אך יש ממשלות חזקות ויש ממשלות חלשות. בנוסף, הוא מניח מספר הנחות (אקסיומות) לגבי התכונות שפתרון (כלומר הערכת הכח של כל מפלגה בנפרד צריך לקיים):

ההנחה הראשונה היא שאיחוד לא יכול להזיק. אם יש שתי קואליציות של מפלגות, והן מחליטות להתאחד, הכח של הקואליציה המאוחדת לא יהיה קטן מסך הכוחות של כל אחת משתי הקואליציות לחוד, ואולי אף יגדל. בפרט, שתי מפלגות שיתאחדו יוכלו להגדיל את כוחן המשותף (( 3. לדוגמה, הברית בין יש עתיד והבית היהודי במשא ומתן הקואליציוני לאחר בחירות 2013 אפשרה לשתי המפלגות להשיג יותר הישגים פוליטיים מאשר לו היו מנהלות משאים ומתנים נפרדים מול הליכוד)). אתם בודאי מכירים את התופעה הזו בשם “הפרד ומשול”. מתמטיקאים קוראים לתכונה כזו “סופר-אדיטיביות”.

ההנחה השניה היא שלגולם אין ערך. גולם אינו יכול להשפיע על שום דבר. תחשבו על הכנסת שהתחלקה לשתי מפלגות עם 61 ו-59 מנדטים. מפלגת ה-59 היא גולם, ומפלגת ה-61 תקים ממשלה מבלי להתחשב ברצונותיה. הערך שלה הוא לכן אפס.

ההנחה השלישית היא קרויה הנחת הסימטריה. אם יש שתי מפלגות, שבכל מצב תורמות את אותה התרומה לכל קואליציה, אז הכח שלהן זהה. תחשבו על כנסת בה יש מפלגה אחת גדולה עם 59 מנדטים, ועוד כמה מפלגות קטנות, נניח, 4 מפלגות נוספות שלהן יש 2, 10, 20 ו-29 חברי כנסת. כדי להקים ממשלה, מפלגת ה-59 צריכה לצרף אליה לקואליציה רק אחת מבין 4 “הקטנות”, ולהשליך את 3 הנותרות לאופוזיציה. ולא משנה באיזה מהן תבחר. “אתה אמנם ראש סיעה של 29 חברי כנסת, אבל אם תצטרף לממשלה, כל מה שתקבל זה תפקיד סגן השר לענייני גימלאים. לא מוצא חן בעיניך? הצעתי את אותו דיל גם לסיעת ‘ישראל הקיקיונית’. תחליט מהר לפני שהם יקחו את זה ולא יישאר לך כלום”. אולי התסריט הזה לא נראה לכם ריאלי, אבל זה בערך מה שקרה בשנותיה הראשונות של מדינת ישראל, כאשר הייתה מפלגה דומיננטית אחת והרבה מפלגות בינוניות וקטנות. אמנם הממשלה הייתה “בלי חירות ומק”י” (( 4. ממש כמו היום)), אבל כל המפלגות האחרות היו שותפות קואליציוניות זוטרות של מפא”י בשלב זה או אחר.

כדי ליצור סולם בר השוואה, שאפלי קובע כי סכום הכוחות של כל המפלגות יהיה שווה ל-1, כלומר ל-100%.

שאפלי מוסיף עוד הנחה טכנית אחת, שלא אפרט כאן, וזה מספיק כדי לבנות פתרון. הנה הרעיון: בואו ניקח מפלגה מסויימת, נקרא לה X, ונסתכל על כל הקואליציות האחרות שאפשר להרכיב בלעדיה. מה יקרה אם נוסיף את X לאחת הקואליציות האלה? יש שלוש אפשרויות:

1. לפני הוספת X, הקואליציה לא יכלה להרכיב ממשלה, וגם אחרי הוספת X אינה יכולה להרכיב ממשלה. כלומר ערך הקואליציה היה אפס לפני הוספת X ונשאר אפס לאחר ההוספה. התרומה של X היא אפס.
2. לפני הוספת X, הקואליציה לא יכלה להרכיב ממשלה, ואולם אחרי הוספת X הקואליציה יכולה להרכיב ממשלה. במלים אחרות, ערך הקואליציה היה אפס לפני הוספת X ועלה לאחד לאחר ההוספה. התרומה של X היא 1.
3. לפני הוספת X, הקואליציה כבר יכלה להרכיב ממשלה, וכמובן שאחרי הוספת X הקואליציה עדיין יכולה להרכיב ממשלה. ערך הקואליציה היה 1 לפני הוספת X ונשאר 1 לאחר ההוספה. התרומה של X היא 0.

שאפלי מציע להסתכל על תהליך של הרכבת קואליציה “מקיר לקיר”: יוצרים “קואליציה” של מפלגה אחת, ואחר כך מוסיפים לה עוד אחת, ועוד אחת, עד שמקבלים לבסוף קואליציה שמחברת את כל המפלגות. באיזשהו שלב גם מפלגה X נוספה לקואליציה. מה הייתה התרומה שלה בעת שצורפה לקואליציה? אם נרכיב את הקואליציה הגדולה בסדר אחר, ייתכן ש-X תצורף בשלב בו תהיה תרומתה שונה. לכן נחזור על התרגיל לכל האפשרויות, ונחשב את התרומה של X בכל אחד מהמקרים. התרומה הממוצעת היא מדד לכוחה של מפלגה, וזהו הערך של שאפלי.

הנה דוגמה. בכנסת יש 4 מפלגות: למפלגות A ו-B יש 50 מנדטים כל אחת, למפלגה C יש 19 מנדטים, ומפלגה D היא סיעת יחיד ולה מנדט 1. נחשב את ערכי שאפלי של כל המפלגות. ראשית, שימו לב כי מפלגה D היא “גולם”, לכן ערך שאפלי שלה חייב להיות אפס. כמו כן, למפלגות A ו-B אותו מספר מנדטים ולכן יהיו להן ערכי שאפלי שווים. לכן אם נחשב את ערך שאפלי של מפלגה C, נוכל לחשב את הערכים של A ו-B. הנה החישוב:

יש 24 דרכים בהן אפשר להרכיב קואליציה מקיר לקיר על ידי הוספת מפלגה אחת בכל פעם. הן כולן מוצגות בטבלה הבאה (לחצו על התמונה לצפיה בגודל מלא):

  בשורה הראשונה לדוגמה, בונים תחילה קואליציה עם A ו-B. יש שם 100 מנדטים, ולכן ערכה של קואליציה זו הוא 1. אם מוסיפים את C, מספר המנדטים עולה ל-119, אבל זה כבר לא משנה. ערך הקואליציה נשאר 1, הערך המוסף של C הוא אפס. מבין 24 האפשרויות, יש בדיוק 8 מקרים בהם הוספת C מעלה את ערך הקואליציה מ-0 ל-1. הממוצע של 8 אחדים ו-16 אפסים הוא שליש, ולכן ערך שאפלי של מפלגה C, כלומר הכוח שלה במשחק הקואליציוני הוא 33.3%. 66.7% הנותרים מתחלקים שווה בשווה בין מפלגות A ו-B, ולכן גם ערך שאפלי שלהן הוא שליש, או 33.3%. 19 המנדטים של מפלגה C שווים כמו 50 המנדטים של מפלגות A ו-B. כל שתיים מבין 3 המפלגות A, B ו-C יכולות להקים יחד ממשלה ולזרוק את המפלגה השלישית לאופוזיציה (שם יארח להם לחברה הנציג של מפלגה D).

כעת אנתח את מה שקורה בכנסת ה-19, ומה היה עשוי לקרות בה אם אחוז החסימה המוגדל היה חל עליה, בהנחה שדפוסי ההצבעה ומספרי הקולות לכל מפלגה לא היו משתנים. בטבלה הבאה מוצגים מספרי המנדטים של כל מפלגה בכנסת הנוכחית, ומספרי המנדטים שהיו מתקבלים לו היו מחולקים על פי אחוז חסימה של 3.25%, בהרכב המפלגות הקיים, וגם בתרחיש בו 3 ה-“מפלגות הערביות” רעם-תעל, חדש ובלד היו רצות ברשימה משותפת (( 5. אני נמנע מלהכנס לדיון פוליטי על התרחיש ההזוי והגזעני הזה. אציין רק שיש חילוקי דעות אידיאולוגיים מהותיים בין שלוש מפלגות אלה, וכן כי חדש אינה מפלגה ערבית במהותה, אלא מפלגה ללא לאומיות)). בנוסף מוצגים גם אחוז המושבים בכנסת של כל מפלגה וערכי שאפלי (( 6. הערכים חושבו על ידי המחשבון הנמצא באתר Cut The Knot ))המתאימים להרכב כל כנסת, הנוכחית ושתי הכנסות ההיפותטיות  (לחצו על התמונה לצפיה בגודל מלא).

  כל אחד מוזמן לבחון את המספרים ולנתח את משמעותם. יש כמובן מספר שינויים, וכמובן יהיו עוד, שכן תוצאות הבחירות הבאות יהיו בודאי שונות מתוצאות הבחירות האחרונות. ניתן להבחין בשני שינויים עיקריים: המפלגה הגדולה נעשית חזקה יותר, ובתרחישים מסויימים חלק מהמפלגות הבינוניות (העבודה וש”ס) מתחזקות משמעותית. מעבר לכך, אין שינויים משמעותיים וה-“משילות”, whatever it means, תישאר פחות או יותר כפי שהייתה. לפחות, בטווח הקצר, אין בחוק הזה פגיעה במצב הפוליטי הקיים.

עם זאת, אין פירוש הדבר כי החוק לא בעייתי ומסוכן בטווח הארוך. הבעייתיות של החוק נדונה כבר בהרחבה ולא אחזור על כך כאן. שינויים בחוקי יסוד תמיד יש לבצע בזהירות רבה, מה גם שברור לאור הניתוח שהבאתי כי תועלת לא תהיה בו, ופוטנציאל הנזק מרובה.