קישורים

ניווט

נושאים

ארכיב עבור תגית בעיית-מונטי הול

3 ספרים חדשים (בספריה שלי)

באחת התגובות לרשימה הקודמת תהה גיל מדוע לא קניתי מייד את הספר “טראפיק”, אלא רק סימנתי אותו לקניה בעתיד. התשובה שלי הייתה כי כבר קניתי 3 ספרים באותה נסיעה, וממילא לא אספיק לקרוא את כולם עד הנסיעה הבאה (אני בספק אם אסיים אפילו את הקריאה של אחד מהם, עדיין לא הספקתי לסיים לקרוא את אחד הספרים שקניתי באפריל).

אולם, מכיוון ששלושת הספרים האלה קשורים לנושאים שהבלוג הזה עוסק בהם, נראה לי שששת הקוראים שלי יתעניינו בהם, ולכן אסקור אותם כאן בקצרה.

הספר הראשון עוסק בבעיית מונטי-הול. למעשה, נודע לי כי הספר עומד לצאת מקריאה בבלוג של גיל. בעיית מונטי-הול עולה שוב ושוב ומציקה לאנשים המסתמכים אך ורק על האינטואיציה שלהם, ולא רק להם (אפילו פול ארדש סירב להאמין לפתרון האמיתי, גם לאחר שההוכחה הוצגה בפניו). הבעיה היא פשוטה: לפניך 3 דלתות, מאחורי אחת מהן מסתתר פרס נחשק (בימבה, למשל) ומאחורי שתי הדלתות האחרות אין כלום.  אתה צריך לנחש מאחורי איזה דלת מסתתר הפרס, ואם תצליח, הוא שלך. אולם, אחרי שניחשת, לא פותחים מייד את הדלת שבחרת, אלא פותחים בפניף דלת אחרת, ואתה רואה שמאחוריה לא מסתתר הפרס. האם כדאי לך לשנות את ניחושך הראשוני?

כתבתי על הבעיה הזו בעבר תחת הכותרת “המכונית והעיזים“, גיל כתב על ההיבטים הפסיכולוגיים של הבעיה, וגם גדי אלכסנדרוביץ כתב על הבעיה ועל בעיות דומות בבלוג שלו. אתם מוזמנים לקרוא. ומסתבר שאפשר לכתוב ספר שלם הנושא (למעשה נכתבו על הבעיה הזו יותר מספר אחד). הספר שאני קניתי נכתב על ידי פרופ’ ג’ייסון רוזנהאוז מאוניברסיטת ג’יימס מדיסון בוירג’יניה, ונושא את הכותרת המחייבת “The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brain Teaser” (לינק לאמזון). אני חייב לציין שעדיין לא עיינתי בספר מעבר להעפת מבט בתוכן העניינים ורפרוף קל, מה שאפשר לעשות באתר אמזון גם בלי לקנות את הספר. כמובן שהעיון המקוון וההמלצה של גיל גרמו לי לקנות לבסוף את הספר. תוכן העניינים מבטיח מבט על הבעיה מנקודות מבט בייסיאניות, קוגניטיביות ופילוסופיות. אני מניח שלא אתאכזב.

הספר השני נושא את הכותרת “תורת החבורות בחדר האמבטיה המיטות“. השם מבטיח. כאשר הייתי סטודנט צעיר למתמטיקה, תורת החבורות היה התחום האהוב עלי ביותר מכל הנושאים הנלמדים (טוב, חוץ מהסתברות וסטטיסטיקה), אז ברור מדוע השם הזה מדבר אלי. הספר הוא למעשה אוסף מאמרים שפרסם בריאן הייס, בעיקר בסיינטיפיק אמריקן. בינתיים קראתי את שני המאמרים הראשונים. האחד עוסק בשעון האסטרונומי של שטרסבורג, שעקף בקלילות את מכשלת Y2K למרות שנבנה ב-1843, וגם יעקוף ללא בעיה את מכשלת Y10K אם ישרוד עד אז. המאמר השני עוסק בייצור מספרים מקריים, או יותר נכון, פסאודו מקריים (גדי כתב סקירה יפה על הנושא). עד כה, הספר לא מאכזב.

הספר השלישי עוסק בקוביות דיגיטליות: כיצד ניתן לפתור באמצעות מחשב (על ידי סימולציה בשיטת מונטה קרלו) בעיות בהסתברות. לאחר הקדמה לא קצרה בה מוסבר בהרחבה (ועם דוגמאות) העקרון של שיטת מונטה קרלו (שעושה כמובן שימוש במספרים פסוודו אקראיים), מביא המחבר, פרופ’ פול נהין, רשימה של 21 בעיות אותן הוא מציע לפתור בשיטת מונטה קרלו (בינהן מופיעה בעיית נייר הטואלט של דונלד קנוט). לאחר מכן מופיעים הפתרונות, עם תכניות בשפת מטלב. נהין לא מסתפק, למרבה השמחה, בפתרונות טכניים בלבד, אלא גם מספק רקע תיאורטי רב על הבעיות, ההיסטוריה שלהן, וגם תובנות שניתן להפיק מהעיון בהן. אחרי שקראתי את ההקדמה אני מתכנן לנסות לפתור את הבעיות בעצמי לפני שאציץ בדפי הפתרונת. זה בהחלט פרוייקט ארוך טווח.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

בעיית מונטי הול חוזרת

גיל גרינגרוז פרסם רשימה מצויינת על בעיית מונטי הול בבלוג שלו ב”רשימות”  – אותה בעיה בה יש שלוש דלתות, מאחורי אחת מהן פרס גדול, וכולי וכולי.

הקוראים שמכירים את הבעיה יודעים בודאי כי החוכמה היא לא למצוא את הפתרון הנכון, אלא להשתכנע שזהו אכן הפתרון הנכון, ובכך עוסקת רוב הרשימה של גיל. בהזדמנות זו אפנה את קוראיי שוב לרשימה שאני כתבתי על בעיית מונטי הול, שעסקה בקשיים שלי להסביר את הפתרון ואת האינטואיציה שמאחוריו.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

המכונית והעזים

לא, לא מדובר כאן בפרסומת לרשת חנויות, אלא בשעשועון טלוויזיה עתיק יומין.

monty

המתחרה ניצב בפני שלוש דלתות. מאחורי אחת הדלתות נמצאת מכונית, ומאחורי שתי האחרות – עזים. אם המתחרה יצליח לנחש היכן מסתתרת המכונית, הוא יזכה בה.

המשחק מתנהל בשני סיבובים. בתחילה, המתחרה בוחר באחת הדלתות. בתגובה, פותח המנחה (ששמו בגרסה האמריקאית היה מונטי הול, ומכאן נודעת הבעיה בשם Monty Hall Problem) את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למתחרה כי מאחוריה מסתתרת עז.

כעת ניתנת למתחרה האפשרות לשנות את בחירתו הראשונית: הוא יכול לדבוק בדלת הראשונה שבחר, או לעבור לבחירה בדלת השלישית, שלא הוא בחר ומונטי לא גילה לו מה יש מאחוריה.

לכאורה, מה זה משנה? יש שתי דלתות, מאחורי אחת מהן יש מכונית, מאחורי השניה אין, והסיכויים הם 50:50. אז זהו, שלא. זה כמו לומר שמחר או שירד שלג בתל-אביב, או שלא, ולכן הסיכויים לירידת שלג בתל-אביב מחר הם 50:50.

צריך לזכור שכאשר מונטי פתח את אחת הדלתות, הוא ידע מראש כי מאחוריה אין מכונית, וניתן לנצל אינפורמציה זו כדי להסיק שהסיכוי כי המכונית נמצאת מאחורי הדלת השלישית הוא 2/3, ולכן כדאי למתחרה לשנות את בחירתו הראשונית.

מי שמעוניין בהסבר מתקדם יותר מוזמן לעיין בדף ההסבר של פורום המתמטיקה באוניברסיטת דרקסל (אנגלית) או בויקיפדיה בעברית.

אני משוכנע שכל ההסברים לא משכנעים. ניסיתי להסביר את הנקודה העדינה בהמון דרכים ואפשר לכתוב ספר על הנושא (ומישהו כבר כתב ספר כזה). בשנת 1994, כאשר לימדתי את הקורס “מבוא לסטטיסטיקה והסתברות” הקדשתי שעה שלמה לבעיה הזו. הזמנתי סטודנטים לעלות לבמה ולשחק במשחק, וערכנו רישום של ההצלחות בניחוש לפי אסטרטגיית הניחוש (שמירה על הניחוש הראשוני או החלפה). המדגם אמנם היה קטן ובכל זאת הסתמן יתרון לאסטרטגיית ההחלפה, אך לא כל הסטודנטים השתכנעו והמשיכו להתווכח איתי אחרי השיעור. (הקורס ההוא צולם על ידי אגודת הסטודנטים, וייתכן כי עדיין ניתן לצפות בקלטות בספריית האוניברסיטה העברית). ניסוי דומה נערך באתר של אוניברסיטת קליפורניה בסן-דייגו. אתם מוזמנים לשחק בעצמכם, וגם לעקוב אחרי סטטיסטיקת הניצחונות. בהצלחה.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 5 במרץ 2007  שם התקבלו 16 תגובות

דרומי  [אתר]  בתאריך 3/5/2007 10:23:59 PM

אין חיה כזאת

אחרי אינסוף הסברים בויקיפדיה, ואחרי שראיתי תוכנה סטטיסטית מפיקה תוצאות מתאימות, השתכנעתי שכנראה האמת המתמטית בצד שלכם.
אבל בכל זאת, לא יכול להיות…

גיל  בתאריך 3/5/2007 10:26:25 PM

יש דרך טובה לשכנע אנשים

ההוכחות המתימטיות טובות ויפות אבל לא אינטואיטיבות.
הדרך הטובה ביותר לשכנע אותם היא לומר להם שידמיינו שיש 100 דלתות ולא 3, ושיש מכונית מאחורי אחת מהן. הם בוחרים דלת, ואז אתה מספר להם שפותחים בפניהם 98 דלתות כשבכולן יש עיזים. האם גם אז הם עדיין יעמדו על דעתם לא לשנות את הבחירה שלהם? ברור שלא, כי הם מבינים שמתוך 100 דלתות הסיכוי המקורי שלהם לנחש איפה הייתה המכונית די קטן.
כשיש רק 3 דלתות הסיכויים קרובים מדי, ולכן על ידי דוגמא מוגזמת קל להם לראות את ההיגיון מאחורי זה.

קורא  בתאריך 3/5/2007 11:53:39 PM

הסבר קל

נביט במשחק הבא: מטרת המשחק: להחזיר באס לב, והמשחק מתנהל כך:
בשלב ראשון אתה בוחר קלף אחד מתוך חפיסה (מבלי לראות את הקלף).
בשלב שני, אני מביט בכל הקלפים, בוחר אחד ומראה לך את כל הקלפים האחרים ואכן אף אחד מהם אינו אס לב.
השאלה עכשיו היא: אצל מי יש סיכוי גבוה יותר שנמצא האס לב? אצלי או אצלך?
אם אצלי ברור שכדאי לך להחליף.
(פתרון זה דומה מתמטית להצעה להביט במאה דלתות, אך משכנע יותר אנשים עם פחות רקע מתמטי)

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/6/2007 12:19:55 AM

100 הדלתות

גם את זה ניסיתי… עדיין יש כאלה שלא משתכנעים

גיל  בתאריך 3/6/2007 3:45:28 AM

יש עוד כמה טכניקות

שמוזכרות בויקיפדיה האנגלית:
http://en.wikipedia.org/wiki/M….Increasing_the_number_of_doors
מעניין שכשכותבת טור מפורסמת פירסמה בעיתון את הבעייה ב1990, מאות מתמטיקאים כתבו לה בתגובה שהיא טועה ומטעה את הציבור.

אורן  [אתר]  בתאריך 3/6/2007 9:17:30 AM

גם אני ניסיתי

להסביר את זה לאנשים בצורה אינטואיטיבית וגם בצורה פורמלית וזה קשה…
נדמה לי שלכן אני מכיר את הבעיה בשם monty holl paradox
ולא
monty hall problem
למרות שזה לא פרדוקס אמיתי, אנשים נוטים לראות בזה פרדוקס גמור.

דב  [אתר]  בתאריך 3/6/2007 2:28:50 PM

אני עדין בטוח שהסיכוי הוא 50%

מדובר כאן על הסתברות מותנה, ולכן לאחר שנשארנו עם שתי דלתות הסיכוי של דלת כל שהיא הוא בדיוק 50%.
כל ההסברים הללו מתעלמים מכך שיש לנו מידע חדש ודלת אחת פתוחה ויש מאחוריה עז. אנו עכשיו בוחרים בין שתי דלתות שמאוחרי אחת מהן יש מכונית סיכוי ברור של 50%.

הלל כהן  בתאריך 3/6/2007 2:35:34 PM

ללא נושא

ההסבר הגראפי הוא זה ששכנע אותי.
http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html

עומר  בתאריך 3/6/2007 4:34:27 PM

לדב וליוסי

דב, יש שני מקרים: בחרתי וילון וניחשתי נכון (סיכוי שליש) בחרתי וילון וניחשתי לא נכון (סיכוי 2/3). כעת נפתח וילון עם עז. אם לא אעבור, הרי שבהנתן שנחשתי נכון אני אזכה בסיכוי 1, ובהנתן שניחשתי לא נכון אני אנצח בסיכוי 0 ולכן הסיכוי שלי לזכות הוא לפי נוסחת ההסתברות השלמה:
(1/3)*1+(2/3)*0=1/3
אותו חישוב מוביל לכך שאם אעבור סיכויי לזכות יאמירו ל-2/3.
יוסי: הבעיה במונטי הול טמונה במקום אחר לגמרי. היא נמצאת בשאלה – מה המשמעות של המושג “כדאי לעבור”? די ברור שמבינים זאת כתוחלת הרווחים, ולפיכך יש כאן נטיה למושג ההסתברות ה”אמפירית”, כממוצע של מספר ההצלחות בניסויים החוזרים על עצמם. אבל שווה בנפשך מה היה קורה אילו במקום פרס היינו מציבים כיתת יורים מאחורי הווילון, כך שאם “הצלחת” אתה נורה למוות, ואם “לא הצלחת” תישאר בחיים. מה המשמעות של “כדאי לעבור” במקרה זה, בו ברור לגמרי שה”ניסוי” חוזר רק פעם אחת ויחידה?

איתן  בתאריך 3/7/2007 7:56:25 PM

לגבי ההסבר הגרפי (הלל כהן)

תמיד היה לי קשה עם זה…
אבל לגבי ההסבר הגרפי ב
http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html
האם לא נכון לומר כי העמודה השמאלית איננה מדויקת ואמורות להיות שתי עמודות במקומה
(כי למנחה יש שתי אפשרויות לסמן כוס שגויה)
ואז שוב ההסתברות יורדת לחצי???
אני אשמח להסבר מלומד…

אחד  בתאריך 3/11/2007 9:46:00 PM

כל זה נכון בתנאי ש..

המנחה מאולץ לבצע את הפעולה הנ”ל בכל מקרה, ואינו זדוני. צירוף של מנחה זדוני אם חופש בחירה מסבך את התמונה (למשל, המנחה עשוי ללפעול כך: לתת אפשרות נוספת רק אם המתחרה בחר נכון כבר בדלת הראשונה, או לפעול בשיטה זו בסיכוי גבוה יותר מאשר כשהמתחרה לא בחר נכון)

עומר  בתאריך 3/12/2007 3:48:10 PM

אחד, זה טוב ויפה,

אבל קל מאוד לבדיקה (במקרה שהמנחה “זדוני” כהגדרתך)….

גדי אלכסנדרוביץ’  בתאריך 4/22/2007 9:44:39 PM

מה לגבי ההסבר הזה:

נניח שהמנחה לא היה פותח דלת, אלא נותן לך לבחור אם אתה רוצה, במקום הדלת שבחרת, לקחת את מה שנמצא מאחורי שתי האחרות. האם כדאי להחליף?
נראה לי שכולם יסכימו שהתשובה היא חיובית (בהנחה שהמנחה תמיד מציע להחליף, ולא רק כשאתה בוחר את הדלת שמאחוריה המכונית) – הרי מקבלים כאן “2 במחיר 1”, ולכן ההסתברות גבוהה יותר.
אבל אז צריך לשאול את מי שהשתכנע – מה בעצם ההבדל בין המקרה הזה, ובין המקרה שבו המנחה נותן לך לבחור את שתי הדלתות האחרות, אבל פותח את אחת מהן, שהיא ממילא חסרת ערך (ותמיד אחת משתי הדלתות חסרת ערך?)
התשובה היא כי אין שום הבדל – ונראה לי שאת זה יותר קל לעכל מאשר את הבעיה המקורית.

קתרינה  בתאריך 4/29/2007 3:54:41 PM

אפשר גם הפוך

לבקש מאנשים להיות בצד המנחה, ולבקש מהם לחשב – כמנחה – מה הסיכוי שהמכונית תשאר אצלם בכל תנאי ותנאי.
משום מה אנשים מוצאים את זה קל יותר להבין, כשהם הצד “היודע כל” והם מבינים מה המשמעות של החלפה של המתחרה.
בכיתב של סטודנטים לסטטיסטיקה, החישוב ההסתברותי מספיק לשכנע.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/29/2007 6:38:04 PM

קתרינה

רעיון מצויין!

זהר  [אתר]  בתאריך 7/13/2007 7:49:47 PM

הרבי אומר לקתרינה

קודם תכניסי את העז הביתה – שבועיים אחר כך תוציאי אותה

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו