חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור תגית על סדר היום

תאונות הדרכים בישראל – לפני ואחרי מינוי של ישראל כץ לשר התחבורה

מה קורה עם תאונות הדרכים בישראל?

בתחילת יולי 2018 שר התחבורה ישראל כץ צייץ בשמחה בטוויטר (יש גם צילום מסך למקרה שהציוץ יימחק בדרך פלא) ובישר על "ירידה דרמטית של 22% (!!!) במספר ההרוגים בתאונות הדרכים, במחצית הראשונה של 2018"[1]. הירידה באמת משמחת, ללא ציניות. אבל האם זו ירידה חד פעמית, תחילה של מגמה, או תוצאה של מגמה? ומה חלקו של השר בירידה המבורכת הזאת? את חלקו של השר במה שקורה בחצי שנה אכן קשה להעריך, אולם ניתן לראות מה קורה לאורך זמן.

לשם כך שלפתי ממאגר הנתונים של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה את נתוני תאונות הדרכים עם נפגעים משנת 2003 ועד שנת 2017 שהתרחשו בתחומי הקו הירוק.

כאן עלי להסביר כי הנתונים של הלמ"ס מתייחסים רק לתאונות דרכים עם נפגעים בהן לפחות אחד מהמעורבים בתאונה נהרג או אושפז. חומרת התאונה נקבעת לפי חומרת הפגיעה של הנפגע החמור ביותר. אם יש הרוג אחד לפחות, התאונה מסווגת כקטלנית. אם הפגיעה החמורה ביותר היא לאדם שנפצע קשה ואושפז, התאונה מסווגת כתאונה קשה. במקרה שהפגיעה החמורה ביותר היא לאדם שנפצע פציעה בינונית או קלה, התאונה מסווגת כתאונה קלה. אם לא היו נפגעים, או שהיו נפגעים אך אף אחד מהם לא אושפז, התאונה לא נכנסת לסטטיסטיקה.

עכשיו אפשר להעיף מבט בנתונים, ולראות, למשל, כי ב-2003 היו בישראל 413 תאונות דרכים קטלניות, ובמשך השנים המספר ירד ל-295 תאונות קטלניות בשנת 2017. אי אפשר להכחיש כי אכן היה שיפור במצב.

השיפור אפילו יותר משמעותי ממה שהוא נראה במבט ראשון: ב-2017 היו הרבה יותר מכוניות מאשר ב-2003, והן נסעו הרבה יותר קילומטרים. אפשר לראות זאת בעזרת נתוני הנסועה. הנסועה היא סך כל הקילומטרים שנסעו כל כלי הרכב במשך השנה. הרכב שלי עובר כ-15 אלף ק"מ בשנה, וזו תרומתו לנסועה. מישהו אחר אולי נוסע 50 אלף ק"מ בשנה, ויש כאלה שאף נוסעים מרחקים יותר ארוכים. אם מחברים את סך הקילומטראז של כל כלי הרכב בשנה מסויימת מקבלים את סך הנסועה לאותה השנה. שלפתי מאתר הלמ"ס[2] גם את אומדני הנסועות[3] לשנים 2003 עד 2016. הנתון של 2017 אינו זמין עדיין ואמדתי אותו בעזרת מגמת העלייה לאורך השנים. ב-2003 הנסועה בישראל הייתה שווה ל-38.9 מיליארד ק"מ, וב-2017 היא נאמדה ב-57.7 מיליארד ק"מ. מכאן שב-2013 היו כ-10.6 תאונות דרכים קטלניות לכל מיליארד ק"מ, וב-2017 היו רק 5.1 תאונות דרכים קטלניות לכל מיליארד ק"מ. זו ירידה מבורכת של מעל 50%.

שאלה מעניינת היא איך זה קרה ולמה, אולם כדי לענות על שאלות אלה יש צורך בנתונים נוספים ובניתוח נרחב. יש כאן פוטנציאל לעבודת מאסטר.

אני אנסה לתאר בעזרת מודל ITS מה קרה לאחר שישראל כץ נכנס לתפקידו כשר התחבורה במרץ 2009. לא סביר לדרוש משר שינוי מיידי בתחומי אחריותו עם כניסתו לתפקיד, ולכן קבעתי את נקודה השינוי בתחילת 2010. הנתונים עד 2009 (כולל) נזקפים לזכותם (או לחובתם) של שרי התחבורה הקודמים[4].

נתבונן תחילה בנתוני סך תאונות הדרכים. ניתן לראות כי בשנים 2003 עד 2009 הייתה מגמת ירידה בשיעור הכולל של תאונות דרכים עם נפגעים. .

אנו רואים כי מגמת הירידה שהייתה בין 2003 ל-2009 נמשכת גם בשנים 2010-2017, אך המגמה הואטה במקצת וקצב הירידה נמוך יותר. השינוי מובהק סטטיסטית. מה המשמעות של השינוי? אילו מגמת הירידה הייתה נמשכת לפי הקו הירוק, הוא ה-counterfactual, היו לנו ב-2017  154.6 תאונות למיליארד ק"מ, ובסך הכל קצת יותר מ-8900 תאונות עם נפגעים. בפועל היו 12700 תאונות עם נפגעים ב-2017, כלומר 42% יותר, ובמספרים מוחלטים מדובר בעוד 3800 תאונות עם נפגעים שהיו יכולות להימנע לו מגמת הירידה הייתה ממשיכה ולא מואטת.

כעת נבחן לחוד את סוגי התאונות השונים. נתחיל בתאונות הדרכים ה-"קלות", שבהן היה לכל היותר פצוע בינוי או קל שאושפז:[5]

מאחר ורוב תאונות הדרכים עם נפגעים מסווגות כקלות (85-90%, תלוי בשנה), אנו רואים כאן תמונה דומה לזו שראינו כשהסתכלנו על הסך הכולל של תאונות הדרכים. יש בלימה במגמת הירידה של שיעור תאונות הדרכים הקלות החל מ-2010. גם כאן השינוי בקצב מגמת הירידה מובהק סטטיסטית. אילו התקיים תרחיש ה-counterfactual, היינו צפויים לראות ב-2017 כ-8730 תאונות "קלות", בעוד שבפועל היו 10579 תאונות כאלה, 21% יותר.

נמשיך אל תאונות הדרכים הקשות. רוב הירידה בכמות תאונות הדרכים הקשות הייתה בין השנים 2003 ל-2009. מגמת הירידה שהייתה הזו נבלמה, ואף גרוע מכך: מספר התאונות הקשות החל מ-2010 נמצא במגמת עליה (כל השינויים מובהקים סטטיסטית ומשמעותיים):

שימו לב כי אילו מגמת הירידה בשיעור תאונות הדרכים הקשות הייתה נמשכת באותו קצב גם אחרי 2009, אז ב-2017 לא היו אמורות להתרחש תאונות דרכים קשות בכלל. זה כמובן לא ריאלי, יכול להיות שהגענו כבר לקו התחתון של שיעור התאונות הקשות שמתחתיו אי אפשר לרדת או שאנחנו מאוד קרובים אליו. מה מידת האחריות של שר התחבורה כאן? לדעתי אי אפשר להטיל במקרה הזה את כל האחריות על שר התחבורה הנוכחי. עם זאת, אין להסיק מכך שאין לו אחריות כלל. יש לו אחריות מיניסטריאלית, ורצוי וצריך לבדוק את מידת האחריות שלו על ידי בחינת נתונים נוספים.

לבסוף נתבונן בנתוני תאונות הדרכים הקטלניות:

רוב הירידה של ה-50% שציינתי קודם בשיעור תאונות הדרכים הקטלניות שציינתי קודם הייתה בין השנים 2003 ל-2009 (בשנים האלה הייתה ירידה של כ-45% בשיעור התאונות הקטלניות). מגמת הירידה בשיעור תאונות הדרכים הקטלניות נבלמה. אמנם עדיין יש ירידה בשיעור תאונות הדרכים הקטלניות גם אחרי 2009, אך קצב הירידה נמוך באופן משמעותי (ומובהק סטטיסטית). שוב שימו לב כי אילו מגמת הירידה הייתה נמשכת באותו קצב גם אחרי 2009, אז ב-2017 לא היו אמורות להתרחש תאונות דרכים קטלניות בכלל. גם כאן, אי אפשר להטיל את כל האחריות על שר התחבורה הנוכחי. האם הגענו כבר לקו התחתון של שיעור התאונות הקטלניות שמתחתיו אי אפשר לרדת? דעתי האישית היא שניתן לעשות עוד. בשוודיה חושבים שהמטרה של אפס תאונות דרכים קטלניות היא ריאלית.

ניתן לטעון כי רואים כאן סוג של "טרייד אוף" בשנים 2010 והלאה: לאחר שמוצתה הירידה החדה של תאונות קטלניות וקשות בשנים 2003 עד 2009, יש עליה מסויימת במספר התאונות הקשות, כיוון שחלק מתאונות עם פוטנציאל להיות קטלניות הסתיימו "רק" בפציעות קשות.  עם זאת, יש לזכור כי שיעור התאונות הקשות גבוה פי 5 עד 6 משיעור התאונות הקטלניות. בין 2010 ל-2017 חלה בסך הכל ירידה כוללת של כתאונת דרכים קטלנית אחת למיליארד ק"מ, אך עליה של כחמש תאונות דרכים קשות למיליארד ק"מ. גם אילו כל הירידה בתאונות הדרכים הקטלניות הייתה הופכת לעליה בכמות תאונות הדרכים הקשות, עדיין צריך להסביר מאין באה העלייה של עוד ארבע תאונות דרכים קשות למיליארד ק"מ.

לסיכום: בתקופת כהונתו של ישראל כץ כשר התחבורה, עד סוף 2017, הואטה מגמת הירידה החדה בשיעורי תאונות הדרכים עם נפגעים שהתרחשה בין 2003 ל-2009. הירידות בשיעורי תאונות הדרכים הקשות והקטלניות נבלמו כמעט לחלוטין, ואף יש מגמת עליה בכמות תאונות הדרכים הקשות. ניתן להסביר רק חלק קטן (כ-20%) מכמות העלייה במספר התאונות הקשות על ידי ההשערה כי חלק מהתאונות עם פוטנציאל קטלני הסתיימו בפגיעות קשות בלבד. יש צורך לבדוק מה היו הסיבות לשינויי המגמות, ומה חלקו של שר התחבורה ומדיניות בכך, ולשם כך יש צורך בנתונים נוספים ובניתוח סטטיסטי יותר מקיף מהניתוח הבסיסי שהוצג כאן. ייתכן כי לא כל השינויים נבעו מפעילות השר ומדיניותו, אך עדיין יש לו אחריות מיניסטריאלית מלאה למצב תאונות הדרכים בשנות כהונתו.


הערות
  1. תוך כדי השתלחות בעמותת "אור ירוק", אבל זה סיפור אחר []
  2. מתוך השנתונים הסטטיסטיים []
  3. שמבוססים על מדגמים []
  4. אביגדור ליברמן – 2003 עד 2004, מאיר שטרית – 2004 עד 2006, ושאול מופז – 2006 עד 2009 []
  5.  ויקיפדיה: "פצוע בינוני הוא מי שנשקפת סכנה לחייו אם לא יקבל טיפול רפואי. כלומר, מי שכעת יש להשקיע מאמץ קטן כדי להציל את חייו, אך אם יוזנח, יידרש מאמץ גדול כדי להציל את חייו. פצוע בינוני יכול להיות גם מי שאין נשקפת סכנה ממשית לחייו, אך קיים חשש כבד לנכות משמעותית או איבוד איבר (גפיים, לרוב)." []

איך יודעים כמה אנשים מתים מנזקי העישון

מחדליו של סגן שר הבריאות בנושא המלחמה בעישון, תוארו בדו"ח של מבקר המדינה מחודש מאי 2018. בין היתר נאמר כי בכל שנה מתים בישראל כ-8,000 בני אדם כתוצאה ממחלות הנגרמות מעישון. יש לי הרבה מה לומר על אוזלת היד וחוסר המעש של מקבלי ההחלטות בנושא, אבל כאן אני מדבר בעיקר על סטטיסטיקה, והנושא שיעלה היום לדיון הוא הנתון בדבר המוות של 8000 בני אדם בשנה כתוצאה מעישון. איך יודעים את זה?

זהו כמובן אומדן שמתבסס על איסוף נתונים ויישום של שיטות סטטיסטיות. גם זה, כמו הרבה דברים אחרים, מתחלק לשלושה חלקים. החלק הקשה הוא החלק שבו אוספים את הנתונים. החלק הקל הוא החלק שבו מחשבים את החישובים (מזינים את הנתונים למחשב ולוחצים על הכפתור). וביניהם יש את החלק בו צריכים להבין מה עושים, ובאופן עקרוני זה לא מסובך.

כמה אנשים מתים?

נתחיל באיסוף הנתונים. נתון אחד שצריך לדעת הוא כמה אנשים מתים בכל שנה. זה לא קשה, לפחות במדינה מסודרת שבה נאספים נתונים כאלה באופן מסודר וקבוע. נתוני תמותה נאספים בדרך כלל במשך שנים רבות. הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מפרסמת בכל חמש שנים לוחות תמותה המבוססים על הנתונים שנאספו בחמש השנים שקדמו לשנת הפרסום. מייד נעיין באחד הלוחות (קישור לקובץ pdf). הנה קטע מלוחות התמותה של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה, המתייחס לגברים יהודים ואחרים (כלומר – לא ערבים), בין השנים 2011 ל-2015:

 

 

 

 

 

 

 

אני יודע שהסיכוי שלי למות בסופו של דבר הוא 100%. אבל אני בעזרת לוח התמותה יכול לדעת יותר מזה. אני גבר יהודי בן 55, ומהשורה האחרונה של לוח התמותה שבתמונה אני יכול ללמוד כי בהיעדר כל מידע נוסף, הסיכוי כי אמות בשנה הקרובה הוא 0.00425. לחילופין, על פי נתוני הלשכה, מתוך כל 100000 גברים יהודים, 95506 יגיעו לגיל 56, ו-4494 לא יזכו לכך. אני יודע שיש חוסר תיאום בין שני המספרים האלה, וזה נובע מתוך דקויות סטטיסטיות שלא אכנס אליהן כאן[1]. אני גם יכול ללמוד מהלוח כי תוחלת החיים שלי, בהינתן שכבר הגעתי לגילי המופלג, היא 27.6 שנים פלוס מינוס סטיית תקן ואירועים לא צפויים. יש גם סיכוי שאגיע לגיל 100, אך הוא קטן למדי.

לעומת זאת, לגבר ערבי בגיל 55 במדינת ישראל, הסיכוי למות לפני גיל 56 יותר גבוה: 0.00595, ותוחלת החיים שלו נמוכה יותר: נותרו לו, בממוצע, רק עוד 24.9 שנים לחיות.

איזה נתונים צריך כדי לאמוד את סיכוני העישון?

הנתון השני צריך לאפשר לנו לאמוד כמה אנשים מתו מנזקי עישון. זה כבר יותר מסובך. כולם מתים בסוף, גם אלה שמעשנים וגם אלה שלא. אדם יכול לעשן ולמות מסיבה שלא קשורה לעישון (אולי ממחלה זיהומית, אולי מתאונה, ואולי אפילו מסרטן שעישון אינו גורם סיכון שלו – יש סרטנים כאלה). אדם יכול לא לעשן ובכל זאת למות מסרטן הריאות או מחלת לב – כאשר עישון הוא גורם סיכון ידוע לשני המצבים הבריאותיים האלה.[2] ובכל זאת, הנתונים שיש לאסוף הם כמה אנשים מתים, כמה מהם מעשנים, וכמה לא.

במקומות רבים בעולם נערכים מחקרים תצפיתיים ארוכי טווח העוקבים אחרי מהלך החיים של אוכלוסיות, ואוספים נתונים על התנהגויות העשויות להשפיע על מצב הבריאות של הפרטים באוכלוסייה, כגון הרגלי אכילה ועישון. המחקר הידוע ביותר נערך בעיר פראמינגהם במדינת מסצ'וסטס בארצות הברית. החל משנת 1948 נאספים נתונים כאלה על אלפים מתושבי העיר שהסכימו להשתתף במחקר, והוא עוקב כעת אחרי הדור השלישי של התושבים. באתר המחקר תוכלו למצוא מחשבונים שבעזרתם תוכלו לדעת מה הסיכון שלכם ללקות במחלת לב. המחקר הזה הראה כי עישון הוא גורם סיכון משמעותי לסיכוי לחלות במחלת לב.

מחקר אחר, קצת ישן (משנת 1999) שערכו יעקובס ועמיתיו, עקב אחרי אוכלוסייה של כ-12000 איש בשבע מדינות במשך 25 שנים. המחקר אסף נתוני תמותה מכל סיבה שהיא, וכמובן נתונים נוספים. אחת המסקנות של המחקר הזה הייתה כי הסיכון למות של מעשנים המעשנים עד 10 סיגריות ביום גבוה פי 1.3 מהסיכון של לא מעשנים, והסיכון למות של אלה המעשנים יותר מ-10 סיגריות ליום גבוה פי 1.8 מאלה של הלא מעשנים. ללא הסבר המספרים האלה נראים תמוהים. מה זאת אומרת שהסיכון למות גבוה פי 1.8? כולם מתים בסוף. הסיכון למות הוא 100% לכולם. לא? לא. הסיכוי שאדם ימות בסופו של דבר הוא אכן 100%. הסיכון הוא לא סיכוי. אז בואו נעשה סדר.

איך מודדים את הסיכון

הסיכון נגזר מהסיכוי למות (או לחוות אירוע אחר כלשהו, כמו התקף לב למשל) במשך יחידת זמן מוגדרת, ומתייחס לנקודה ספציפית בזמן (או לתקופת זמן קצרה מאוד). אל תיבהלו, אבל אני אומר לכם שהסיכון הוא הנגזרת של ההסתברות המותנה למות (אתם יכולים לעבור הלאה בלי חשש). הסיכוי, לעומת זאת, מתייחס לתקופות זמן ארוכות יותר.

אני לא אכנס כאן להגדרה המתמטית המדוייקת של הסיכון. אומר רק שאם יודעים את הסיכוי למות במשך תקופת מסויימת, נניח שנה, אפשר לחשב מכך את הסיכון למות במשך אותה תקופת זמן. גם ההיפך נכון: אם יודעים את הסיכון אז יודעים את הסיכוי. כמו כן, באופן לא מפתיע, אם הסיכוי שלך למות בשנה הקרובה גבוה יותר, אז גם הסיכון שלך גבוה יותר.

ואם אפשר לעשות את האבחנה הזו בין יהודים וערבים, ובין גברים לנשים, בוודאי שאפשר לחשב את הסיכון של המעשנים ולהשוות אותו לסיכון של הלא מעשנים.

הכלי הסטטיסטי שמאפשר לבצע את התרגילים האלה הוא מודל הסיכונים הפרופורציונליים שפותח בשנת 1972 על ידי הסטטיסטיקאי הבריטי סיר דויד קוקס, וידוע גם בשם מודל קוקס. קשה להמעיט בחשיבות של המודל הזה. המאמר שבו הוצג המודל נמנה עם 100 המאמרים המדעיים המצוטטים ביותר בכל הזמנים – לא מאמרים בסטטיסטיקה, אלא כל המאמרים המדעיים.  המודל מאפשר לזהות גורמי סיכון  להתרחשות אירועים כגון מוות, ולמדוד מה פוטנציאל הסכנה בכל גורם סיכון כזה. בנוסף לכך, קוקס הציג במאמר שלו חידושים סטטיסטיים נוספים שהשפיעו רבות גם על תחומים אחרים בסטטיסטיקה. אילו היה פרס נובל לסטטיסטיקה, סיר דויד קוקס היה זוכה בו ללא צל של ספק. סיר קוקס אכן זכה כמעט בכל פרס אפשרי בתחום הסטטיסטיקה. המודל שלו בפירוש מאפשר הצלת חיים. לדעתי סיר קוקס ראוי לזכייה בפרס נובל לרפואה.

להלן נוסחת המודל. מייד אסביר הכל. ניתן לראות כי זהו למעשה מודל רגרסיה.

 

 

נתחיל בצד שמאל. שם מופיע הסיכון כפי שהוא מושפע מגורמי הסיכון – אותו אנחנו רוצים לאמוד. הוא מסומן באות למבדה – האות היוונית שדומה לאות ג. בצד ימין יש מכפלה של שני חלקים. חלק אחד מתאר את הסיכון הבסיסי – כאשר אין שום אינפורמציה. הוא מסומן בלמבדה אפס טי. הסיכון הבסיסי נקבע רק על פי נתוני התמותה. לכל אדם במדגם נתון האם הוא מת, אם כן, מתי, ואם לא, כמה שנים הוא חי עד למועד שבו הוחלט להפסיק את המעקב ולהזין את הנתונים למודל. החלק השני מכיל את גורמי הסיכון האפשריים, כגון גיל, מין, הרגלי אכילה, וגם כמובן משתנה המציין האם האדם שבמדגם מעשן או לא. גורמי הסיכון מסומנים באיקסים. לכל X יש מקדם שמסומן באות ביתא. אם ביתא שונה באופן משמעותי מאפס זה אומר שלמשתנה X יש השפעה משמעותית על הסיכון. אם ביתא חיובי זה אומר שהסיכון גדל ככל ש-X גדל, ואם ביתא שלילי זה אומר של-X יש דווקא השפעה חיובית. רמת הסיכון עולה (או יורדת) באופן פרופורציוני לערכו של .X[3] מכאן נובע שם המודל – מודל הסיכונים הפרופורציוניים. לאחר שאומדים את הפרמטרים של המודל אפשר, באופן תיאורטי, לחשב את הסיכון לאדם מעשן ולאדם לא מעשן.[4] בפועל, המודל מספק ישירות אומדן ליחס שבין הסיכונים, ה-hazard ratio. היחס הזה מתבטא במקדם הביתא של משתנה העישון.

למודל יש כמובן גם הנחות. החשובה שביניהן היא ההנחה כי יחס הסיכונים נשאר קבוע לאורך כל תקופת המעקב. זו הנחה חזקה, ובדרך כלל היא נכונה, וגם אם יש סטייה לא גדולה מההנחה הזו המודל מספיק עמיד (robust) כדי לספק אומדן טוב של הסיכון. יש הרחבות למודל שבהן מחליפים את ההנחה הזו בהנחה יותר גמישה אם יש צורך. אחד המודלים הידועים שמרחיבים את מודל קוקס פותח על יד שילה בירד.

איך מתרגמים את הנתונים למספרים

עכשיו נוכל לעשות את החישובים.

יש לנו את ההסתברויות למות בכל גיל מלוחות התמותה. יש לנו את גם יחס הסיכונים שהוא כזכור היחס בין הסיכון למות של אנשים המעשנים יותר מ-10 סיגריות ביום ובין הסיכון של לא מעשנים. זכרו כי זהו יחס הסיכונים לנקודה ספציפית בזמן. מתוך יחס הסיכונים אפשר לחשב את  יחס הסיכויים: היחס בין ההסתברויות למות במשך תקופת זמן מוגדרת, שנה למשל. בשביל זה יש נוסחה. אני אחסוך לכם אותה. יש בה אינטגרלים ואקספוננטים, וזה בדרך כלל לא טוב לבריאות. אם אתם ממש רוצים  אז אתם יכולים לקרוא כאן, למשל, אבל זה על אחריותכם (קישור לקובץ  pdf). אני חוסך את זה גם לעצמי, ואשתמש בנתון מתוך מאמר אחר מאת מהטה ופרסטון משנת 2012. לפי הנתונים במאמר הזה, יחס הסיכויים למוות בתקופת זמן של שנה, בין גברים מעשנים וגברים לא מעשנים הוא בערך 2.3 (לקחתי את הגבול התחתון של רווח הסמך, כדי לקבל הערכה שמרנית), לאחר תקנון לגיל, וזאת בארצות הברית, בשנים 1987 עד 2006.

אנחנו צריכים עוד נתון אחד והוא שיעור המעשנים באוכלוסייה. לצורך הדוגמה אשתמש בנתונים של משרד הבריאות משנת 2017, לפיהם כ-30% מהגברים מעל גיל 21 הינם מעשנים..

כשיש לנו את כל הנתונים מה שנשאר זה קצת אלגברה של בית ספר תיכון.[5]

נניח שהסיכוי של מעשן בן 55 למות לפני גיל 56 הוא X, והסיכוי של לא מעשן הוא Y. לפני הנתון של מהטה ופרסטון, X גדול פי 2.3 מ-Y, כלומר X=2.3Y. זה נותן לנו משוואה אחת המקשרת בין X ל-Y.

את המשוואה השנייה נגזור מתוך מה שידוע בשם נוסחת ההסתברות השלמה.  ניתן להציג את החישוב בצורת עץ הסתברויות:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מהי ההסתברות של גבר בן 55 למות? ההסתברות הזו שווה להסתברות שלו למות אם הוא מעשן שהיא כאמור X כפול ההסתברות שהוא מעשן, שהיא 30%, ולכך יש להוסיף את ההסתברות שלו למות אם הוא לא מעשן, Y, כפול ההסתברות שהוא לא מעשן, שהיא 70%.  כל זה צריך להיות שווה ל-0.00425, כלומר 0.3x+0.7y=0.00425.

עכשיו יש לנו שתי משוואות בשני נעלמים ואפשר לפתור אותן. הפתרון הוא ש-X, ההסתברות שגבר יהודי מעשן בן 55 ימות לפני שיגיע לגיל 56 – שווה ל-0.00703237, ואילו Y, ההסתברות שגבר יהודי בן 55 שאינו מעשן ימות לפני שיגיע לגיל 56 היא הרבה יותר נמוכה: 0.00305755.

כזכור, על פי לוח התמותה, ההסתברות שגבר בן 55 ימות לפני שיגיע לגיל 56 היא 0.00425. זה אומר שאם יש לנו 100000 גברים כאלה, אז בממוצע ימותו במהלך השנה 425 מהם. אם לעישון אין השפעה על ההסתברות למות, אז 30% מהמתים יהיו מעשנים: בערך 128 איש.

אבל אנחנו יודעים שההסתברות למות שונה למעשנים ולא מעשנים.

בין 100000 הגברים יש 30000 מעשנים, ולכל אחד מהם הסתברות למות השווה כאמור ל- 0.00703237. זה אומר שמתוכם ימותו 210 איש – 82 איש יותר ממה שהיה צריך להיות אילו לעישון לא הייתה השפעה. 82 האנשים האלה מתו לכן בגלל שהיו מעשנים.

כך אפשר לערוך את החישוב לכל מין, לכל גיל, ולכל קבוצת אוכלוסייה למעשה. אם עושים את החשבון עם כל הנתונים המדוייקים (שלא היו בידיי), אז מגיעים ל-8000 מחברים את תוצאות כל החישובים ומגיעים למספר הכולל.

מה בקשר לעישון פאסיבי

העקרון הוא אותו עיקרון, אם כי היישום יותר מסובך. אני חייב להודות שאני לא יודע באיזה שיטה משתמשים כדי לאמוד את מספר הנפגעים מעישון פאסיבי.

בגדול יש שתי אפשרויות: להגדיר באופן כלשהו משתנה המציין אם אדם נחשף לעישון פאסיבי או לא נחשף, ואז החישוב הוא כפי שנעשה קודם. אפשרות שניה היא להגדיר את רמת החשיפה לעישון פאסיבי כמשתנה כמותי ואז יחס הסיכונים פרופורציונאלי לרמת החשיפה. ברמה העקרונית החישוב נשאר אותו חישוב, אלא שכאן מדובר במשתנה רציף ולכן הפירוק להסתברויות לפי רמת החשיפה מסובך יותר.

כמה מילים בנימה אישית

וכאן אני רוצה לומר כמה מילים אישיות.

אני חושב שהנתון כי בכל שנה מתים בישראל 8000 איש מנזקי עישון הוא מזעזע. אם מחר תפרוץ חלילה מלחמה וימותו בה 8000 איש העם יצא לרחובות. אם השנה ייהרגו 8000 איש בתאונות דרכים, שר התחבורה והשר לביטחון פנים לא יוכלו להתחמק מאחריות. 8000 מתים בשנה פירושם יותר מ-20 מתים כל יום. אם חלילה יתרחש פיגוע וייהרגו בו 20 איש, אף אחד לא יחכה שהמספר יצטבר ל-8000 לפני שיידרשו לעשות משהו, ובצדק.

כמו שאמר סטאלין, מוות אחד הוא טרגדיה אבל 8000 מתים הם כנראה רק סטטיסטיקה. לסטטיסטיקה הזו אחראים המנהיגים שלנו ומקבלי ההחלטות. בשנת 2011 הוכרזה תכנית לאומית למלחמה בעישון ובנזקיו. בפועל לא קרה כמעט כלום. הגיע הזמן לתכנית חדשה, והפעם זו צריכה להיות תכנית חירום לאומית למלחמה בעישון. עכשיו.

 

 

 


הערות
  1. אתם מוזמנים לקרוא את דברי ההסבר בקובץ לוחות התמותה []
  2. נשאלת כמובן השאלה איך יודעים שאלה גורמי סיכון, והתשובה תתברר מייד []
  3. באופן יותר מדוייק: ההשפעה היא פרופורציונית לגבי הלוג של יחס הסיכונים []
  4. את זה עושים על ידי כך שקובעים ש-X הוא משתנה שמקבל שני ערכים: 0 אם האדם לא מעשן, 1 אם הוא כן מעשן. כאשר X שווה ל-1 נוסף הערך ביתא לסכום המשוקלל של גורמי הסיכון []
  5.  אני יודע שאני עושה פה סלט: נתונים מארצות הברית מסוף המאה העשרים ותחילת המאה העשרים ואחת, ונתונים מישראל. הכל נעשה לצורך הדגמה. אל תסיקו מסקנות מהמספרים שתראו בהמשך. []

איך לא לתפוס רוצח בעזרת התאמת DNA

לקראת סוף אפריל 2018 דווח כי משטרת סקרמנטו בקליפורניה עצרה אדם החשוד כי הוא ה-Golden State Killer, רוצח סידרתי שפעל באיזור בשנות ה-70 וה-80 של המאה העשרים. החשוד זוהה בעקבות התאמה של דגימות DNA שנלקחו בזמן חקירות מעשי הרצח ונתוני DNA שפורסמו באתר של אחת החברות המציעות לקהל הרחב ניתוח בסיסי של ה-DNA שלהם. כיצד מתבצעת ההתאמה ומה המשמעות של התוצאות? מכיוון שלא נמסרו נתונים לגבי תהליך הזיהוי במקרה זה, אסביר את הנושא בעזרת מקרה אחר, בעזרתו אדגים את תפקידה של הסטטיסטיקה בתהליך.

רצח דיאנה סילבסטר

דיאנה סילבסטר, אחות במקצועה, נרצחה בדירתה בסן פרנציסקו מספר ימים לפני חג המולד ב-1972, לאחר שנאנסה באכזריות. אישה ששהתה בדירה אחרת בבניין שמעה צעקות, ולאחר המתנה של כעשרים דקות החליטה לצאת מדירתה ולבדוק מה קורה. היא ראתה כי דלת דירתה של סילבסטר פתוחה, ואדם שעמד בפתח הדירה. לשאלתה ענה לה כי "אנחנו עושים אהבה", ולאחר מכן הלך לדרכו. האישה נכנסה לדירה ושם מצאה את גופתה העירומה של סילבסטר. המשטרה הוזעקה, האישה מסרה את עדותה כולל תיאורו של האדם שראתה. מגופתה של דיאנה נלקחו דגימות זרע, בין היתר. לאחר מספר ימים עצרה המשטרה אדם חסר בית שתיאורו התאים לתיאור שמסרה העדה כחשוד ברצח. המשטרה לא הצליחה למצוא ראיות מספיקות נגד החשוד והוא שוחרר. חשוד זה, אגב, הורשע באונס מספר חודשים לאחר מכן. נבדקו עוד כעשרים חשודים נוספים, אך לא בוצעו מעצרים נוספים. תיק הרצח, ובתוכו דגימות הזרע, נגנז והועבר לארכיון.

בשנת 2003, לאחר שפותחה טכנולוגיה לניתוח והתאמה של דגימות DNA, בדקה משטרת סן פרנציסקו האם יש התאמות בין דגימות DNA שנאספו ונשמרו במקרי רצח לא פטורים ובין דגימות DNA במאגר של עברייני מין שהורשעו במדינת קליפורניה. אמנם ה-DNA שנאסף מגופתה של סילבסטר לא נשמר היטב, ומתוך 13 האללים המשמשים לזיהוי (פרטים בהמשך) ניתן היה לקבל אינפורמציה רק על 5.5 אללים, עם זאת, נמצא במאגר אדם עם DNA התואם את אותם 5.5 אללים. אדם זה, ג'ון פאקט, נעצר כחשוד ברצח, הועמד לדין והורשע.

איך מבצעים התאמת DNA?

ההסבר שאתן מאוד פשטני ולא מדוייק, אך הוא מספיק לצורך הדיון בבעיה הסטטיסטית. DNA הוא מולקולה, שרשרת של חלבונים, הנמצאת בכל תא בגוף. כל התכונות הביולוגיות של האדם נקבעות על ידו. ה-DNA מתחלק ליחידות שנקראות אללים. יותר מ-99.9% מה-DNA זהה אצל כל בני האדם. השונות בין בני אדם (נניח צבע עיניים) נקבעת על ידי שאר ה-DNA. למרות הזהות של99.9% מה-DNA בין כל בני אדם, אין למעשה שני אנשים עם DNA זהה לחלוטין, אלא אם הם תאומים זהים.

מבחינה משפטית ופלילית, זיהוי של אדם נקבע על ידי 13 אללים ספציפיים. כדי לבדוק האם שתי דגימות DNA נלקחו מאותו אדם, משווים את 13 האללים בין שתי הדגימות. אם אין התאמה אפילו באלל אחד מבין השלושה עשר – מדובר בשני אנשים שונים. מצד שני, אם הדגימות נלקחו משני אנשים שונים – הסיכוי כי תהיה התאמה מלאה בין כל 13 האללים נמוך מאוד. עד כמה נמוך? יש כל מיני הערכות לכך. לפי ה-FBI, ההסתברות לכך היא בערך 1 ל-13 מיליארד.

ההשוואה מתבצעת על ידי השוואת שני גרפים המתקבלים מעיבוד דגימת ה-DNA במכשיר ייחודי. הגרף דומה לגרף המתקבל מדגימת א.ק.ג. 13 האללים המדוברים מתבטאים בגרף כ-"פיקים". ההשוואה נעשית בדרך כלל "לפי העין" על ידי מומחים בתחום.[1] לדוגמא אני מביא כאן גרפים של שתי דגימות DNA ממשפט אחר[2] מה דעתכם? האם יש זהות בין שתי הדגימות?

 

 

 

 

 

המומחים המטעם התביעה באותו משפט אמרו שכן. הטענה נדחתה על ידי השופט שטעה טעות סטטיסטית שאינה קשורה לניתוח ה-DNA עצמו.

אציין גם הקביעה שזיהוי אדם מתבסס של 13 האללים האלה מתבססת על הנחות ביולוגיות/גנטיות וכן על הנחות סטטיסטיות. לא אכנס כאן לדיון מפורט בעניין משתי סיבות: ראשית, אני לא ממש מתמצא בנושא, ושנית, במקרה של הנחות אחרות היה נקבע קריטריון זיהוי אחר, אבל הבעיה הסטטיסטית של הרשעה על ידי זיהוי DNA נשארת אותה בעיה.

משפט הרצח

במקרה הרצח של סילבסטר הייתה כאמור רק התאמה חלקית, בגלל תהליך ההתפרקות של דגימת הזרע במשך 30 השנים בהן הוא נשמר בארכיון. התובע במשפט ציין שההסתברות כי תהיה התאמה כזו בין שתי דגימות DNA שנלקחו משני בני אדם שונים נאמדה כ-1 ל-1.1 מיליון, ואני מניח כי נתון זה נכון. השופט החליט כי במשפט לא יובאו מומחים שידונו בפרשנות של ההסתברות שהתובע ציין להתאמת ה-DNA ובהשלכות הנובעות מכך, ובפרט לא הוצגו עדויות של סטטיסטיקאים מטעם ההגנה, וכפי שנראה מייד, היה להם מה לומר. כמו כן, הוא החליט כי לא המושבעים לא יקבלו מידע על הדרך בה אותר החשוד. הם הונחו לשקלל את הנתון על הסתברות ההתאמה עם עדויות "רגילות". עדת הראיה שראתה ככל הנראה את הרוצח כבר מתה. בפני המושבעים הוצגו, פרט לנתון של 1 ל-1.1 מיליון, תיאור של שלושת מקרי האונס בהם הורשע פאקט בעבר ותמונה ישנה של הנאשם משנות השבעים בה הוא נראה דומה לתיאור של הרוצח שמסרה העדה. במהלך הדיונים ביקשו המושבעים מהשופט כי יימסר להם עוד מידע לגבי האופן שבו הגיעו אל החשוד בעזרת דגימת ה-DNA, אך השופט סירב למסור אינפורמציה זו. הנאשם, כאמור, הורשע ברצח.

ניתוח סטטיסטי

הניתוח שאתאר כאן מתייחס רק לראיית ה-DNA, ואינו לוקח בחשבון ראיות אחרות. כדי לקבוע אשמה יש לשקלל, כפי שטען השופט בצדק, את הראיה הזו עם הראיות האחרות שהוצגו במשפט. אם זאת, אני טוען כי האופן בו הוצגה ראיית ה-DNA למושבעים היה מטעה, והשופט שגה בכך שלא הרשה לצדדים להציג את טיעוניהם, ולכן גרם לכך שהמושבעים יפרשו את הנתון הזה באופן שגוי.

טיעוני התביעה

המסר של התביעה בעניין התאמת ה-DNA היה פשוט: הסיכוי שתהיה התאמה בין שתי הדגימות הוא 1 ל-1.1 מיליון. לכן השתמע מדברי התובע כי הסיכוי שפאקט אינו הרוצח הוא 1 ל-1.1 מיליון. זה לא נכון. זוהי ההסתברות כי אם נבחר שני בני אדם באופן מקרי תהיה ביניהם התאמה באותם 5 וחצי אללים ספציפיים. זה נכון גם כאשר נשווה את ה-DNA שלי ל-DNA שלך.

ההסתברות שהתביעה צריכה להציג היא הסתברות מותנית: ההסתברות שהנאשם הוא הרוצח כאשר ידוע לנו כי קיימת התאמת DNA. זה נראה פשוט, אבל צריך להיזהר: בהחלט ייתכן כי הנאשם אינו הרוצח גם אם קיימת התאמת DNA. ייתכן כי יש אדם נוסף שקיימת בינו ובין דגימת ה-DNA התאמה, ואולי אפילו יותר מאחד, ואם כך, ייתכן כי האדם הנוסף הזה הוא הרוצח. וזה מה שההגנה התכוונה לטעון.

טיעוני ההגנה (שלא הוצגו למושבעים)

למעשה היו להגנה שני טיעונים עיקריים. ראשית הם טענו כי יש עדויות אמפיריות וחישוביות לכך שהתאמת DNA חלקית נפוצה למדי. הם הסתמכו על מחקר שנערך באריזונה. חוקרת בשם קתרין טרויר בדקה כ-65,000 דגימות DNA. היא מצאה 122 זוגות של דגימות בהם הייתה התאמה ב-9 אללים, ו-20 זוגות בהם הייתה התאמה של 10 אללים. ההסתברויות להתאמות כאלה הרבה יותר קטנות מ-1.1 מיליון. סביר להניח כי במדגם כזה יימצאו אפילו יותר זוגות תואמים ב-5.5 אללים.

קל לחשב את ההסתברות הזו. זוהי למעשה בעיית ימי ההולדת. הקוראים הוותיקים שלי יודעים כי אם בחדר אחד מתאספים 23 איש, ההסתברות כי יהיה בחדר זוג אנשים שחולקים יום הולדת משותף גדולה מ-50%. בבעיית התאמת ה-DNA, מוחלף יום ההולדת בפרופיל ה-DNA. בבעיית ימי ההולדת ההסתברות ששני בני אדם יחלקו יום הולדת היא 1 ל-365. כל מה שצריך זה להחליף את ההסתברות להתאמת ימי הולדת בהסתברות להתאמת DNA ולערוך את החשבון.  ההסתברות היא כמעט 1. למעשה, ההסתברות כה קרובה ל-1 עד כדי כך שתכנת R בה השתמשתי לחישוב נתנה את התוצאה 1, מכיוון שרמת הדיוק המקסימלית שלה היא רק כ-300 ספרות לאחר הנקודה העשרונית. ה-DNA שנלקח מזירת הרצח נבדק מול מאגר DNA שהכיל כ-338000 דגימות של עברייני מין מורשעים, גברים לבנים, שהיו מבוגרים מספיק כדי לבצע את הרצח בשנת 1972. אפשר לומר בביטחון כמעט מוחלט שיש ביניהם שני אנשים שה-DNA שלהם תואם ב-5.5 אללים. אז לכאורה אפשר לומר שסביר מאוד כי תימצא התאמה בין ה-DNA של פאקט ובין הדגימה שנלקחה מזירת הרצח. אבל רק לכאורה, כי גם האמירה הזו אינה נכונה. אנחנו חישבנו את ההסתברות כי יימצא זוג אנשים כלשהו שביניהם יש התאמת DNA. השאלה הנכונה היא מה ההסתברות כי במאגר יימצא אדם שה-DNA שלו תואם ל-DNA שנלקח מזירת הרצח.

גם בשאלה הזו דנתי בפוסט על בעיית ימי ההולדת[3], וההגנה ביקשה להציג את ההסתברות הזו בפני המושבעים. הטיעון שלהם השתמש באנלוגיה של הגרלה (כגון הגרלת מפעל הפיס). האנלוגיה לכרטיס הגרלה היא אדם כלשהו, וה-DNA מזירת הפשע הוא המספר הזוכה. אם אתה קונה כרטיס אחד להגרלה שבה יש 1.1 מיליון כרטיסים, הסיכוי כי תזכה הוא 1 ל-1.1 מיליון. אם אתה קונה שני כרטיסים, הסיכוי שלך לזכות הוא 2 ל-1.1 מיליון, וכן הלאה. המשטרה בדקה מאגר של 338000 דגימות. הם קנו 338000 כרטיסים. הסיכוי שלהם לזכות הוא לכן 338000 ל-1.1 מיליון, שזה בערך 0.31. ההגנה טענה לכן כי הסיכוי שיימצא במאגר מישהו שה-DNA שלו מתאים לדגימה הוא בערך 1 מתוך 3. פאקט החזיק למזלו (הרע) בכרטיס הזוכה. לכן, גם אם זכה, אין למהר להסיק כי הוא הרוצח. ייתכן והיו מוצאים מישהו אחר. הסיכוי שימצאו מישהו הוא 30%.  יותר מכך: במטרופולין סן פרנציסקו גרים מעל 3 מיליון איש, כמחציתם גברים. גם אם ניקח בחשבון רק את הגברים הלבנים שהינם די מבוגרים כדי לבצע את הרצח 30 שנה קודם לכן, חייב להיות שם מישהו עם DNA תואם לדגימה[4]. אבל גם החישוב הזה לא מדוייק.

החישוב האחרון מניח כי לכל אדם במאגר יש DNA שונה מזה של כל האחרים. שוב, ההנחה הזו לא נכונה. למעשה ראינו כי ההסתברות שיש במאגר שני אנשים עם DNA תואם ב-5.5 אללים היא כמעט ודאית.

כמו כן, ייתכן כי יש במאגר 2, 3 או אפילו יותר אנשים עם DNA תואם לדגימה. זו לא בעיית מפעל הפיס. זו בעיית לוטו. ה-DNA של כל אדם הוא המספרים שבחר. בהגרלת לוטו ייתכן מאוד כי שני אנשים ייבחרו את אותם המספרים, ופעמים רבות הפרס הראשון מתחלק בין מספר זוכים. אותנו מעניינת ההסתברות כי יהיה לפחות זוכה אחד.

אפשר לחשוב על הבעיה גם באופן הבא: יש לכם מטבע שהסיכוי שלו ליפול על עץ הוא 1 ל-1.1 מיליון. אתם מטילים אותו 338000 פעמים. מה הסיכוי כי המטבע ייפול פעם אחת על עץ? מה הסיכוי כי הוא ייפול על עץ יותר מפעם אחת? מה הסיכוי כי הוא לא ייפול על עץ אפילו פעם אחת (כלומר 338000 פעמים תקבלו פלי)? אפשר לחשב את הסיכויים האלה על ידי שימוש בהתפלגות פואסון, או בניסוח יותר מדוייק, הקירוב הפואסוני להתפלגות הבינומית, כאשר הפרמטר של ההתפלגות הוא 0.31. כאשר עורכים את החישוב מקבלים כי ההסתברות שהמטבע ייפול על עץ בדיוק פעם אחת, כלומר יש בדיוק אדם אחד במאגר אשר ה-DNA שלו מתאים לדגימה מזירת הפשע, היא 0.226. ההסתברות כי במאגר לא יימצא אפילו אדם אחד עם DNA תואם היא 0.736, וההסתברות כי יש במאגר לפחות אדם אחד עם DNA תואם לדגימה מזירת הפשע היא לכן רק 0.265 ולא 0.31 כפי שההגנה רצתה לטעון. יותר קרוב ל-1 מתוך 4 מאשר ל-1 מתוך 3, אך עדיין הסתברות גבוהה למדי.

המשמעות של התוצאה הזו כי יש הסתברות של מעל 25% כי הנאשם זכאי בהינתן ההתאמה בין ה-DNA שלו ובין ה-DNA שנלקח מזירת הפשע, ולא 1 ל-1.1 מיליון, כמו שהתובע רצה שהמושבעים יחשבו. לדעתי החישוב הזה מספיק כדי לעורר ספק סביר.

גישה בייסיאנית

יש עוד דרך להסתכל על הבעיה. אני לא חסיד של הגישה הזו, אבל אציג אותה בכל זאת. הבעתי בהרחבה את דעתי על הגישה הזו בפוסט שעסק במה שכונתה "מכונת האמת המוחלטת".

הדיון עד כה נערך תחת ההנחה שהנאשם זכאי, כפי שמקובל במערכות משפט במדינות דמוקרטיות. ראינו כי תחת ההנחה הזו ההסתברות כי הנאשם אשם היא כ-74%. אבל, מה הסתברות שתהיה התאמת DNA תחת ההנחה שהנאשם אשם? התשובה לשאלה הזו היא כמובן 100%, כלומר 1.

כזכור, אנחנו מתעניינים בהסתברות כי הנאשם אשם בהינתן התאמת ה-DNA. כאן המקום לקרוא לדגל את נוסחת בייס:

 

 

 

 

 

 

ולאחר שעשינו את כל התרגיל הזה, כל מה שצריך זה להציב בנוסחה את ההסתברות שהנאשם אשם ואת ההסתברות המשלימה שהנאשם זכאי, ולהחליט האם התוצאה מעלה ספק סביר.

הנה הבעיה שלי: אם הנאשם אשם, ההסתברות שהוא אשם, לדעתי לפחות, שווה ל-1, ואז אם נציב את זה בנוסחה נקבל 1. ואם הנאשם זכאי, אז לדעתי ההסתברות שהוא אשם היא אפס, ואם נציב את זה בנוסחה נקבל אפס. זה לא ממש עוזר.

כאן יבוא הסטטיסטיקאי הבייסיאני ויאמר לכם כי ההסתברות שהנאשם אשם היא הסתברות סובייקטיבית, והיא למעשה ביטוי לרמת האמונה האפריורית שלנו כי הנאשם אשם (או זכאי). כאמור, אני לא מקבל את הטיעון הזה. לדעתי עלינו להניח כי הנאשם זכאי עד שתוכח אשמתו. במילים אחרות, אני אומר לסטטיסטיקאי הבייסיאני כי עליו להאמין מראש כי ההסתברות שהנאשם אשם היא אפס, ומכאן אני ממשיך את הטיעון ואומר כי כל התרגיל הזה חסר משמעות.

אבל יש מי שחושבים אחרת. יבוא מישהו ויגיד: "אני לא יודע אם הוא זכאי או אשם, ולכן אציב בנוסחה את הערך 0.5 להסתברות כי הנאשם אשם". החישוב ייתן לכן כי ההסתברות שהנאשם אשם בהינתן התאמת ה-DNA היא בערך 57.5%. אבל יכול לבוא מישהו אחר ולומר כי הנאשם ביצע בעברו שלושה מעשי אונס הדומים לאונס שבוצע בנרצחת סילבסטר, ולכן הוא מאמין כי ההסתברות שהנאשם אשם היא 0.75 (למה? ככה). עכשיו החישוב ייתן תוצאה של 80%. ספק סביר? אני לא יודע אבל מניח שכן.  ברור שככל שנאמין יותר באשמת הנאשם, כך נקבל כי ההסתברות שהוא אשם בהינתן התאמת ה-DNA גבוהה יותר. במילים אחרות: אם מאמינים שהנאשם אשם מסיקים כי הוא אשם.

במקום אחר ברשת נתקלתי בטיעון בייסיאני אחר, שטוען כי יש לקחת בחשבון את ההסתברות כי הרוצח נמצא בכלל בתוך המאגר של 338000 הדגימות. אם ההסתברות כי הרוצח נמצא בתוך המאגר שווה לאפס, אז ברור כי הנאשם זכאי. אם ההסתברות הזו שווה ל-1, אז הנאשם אשם (בהנחה שאין עוד אדם במאגר שה-DNA שלו תואם לדגימה מזירת הרצח). מה קורה אם ההסתברות הזו נמצאת איפשהו בין אפס לאחד?

אם נסמן את ההסתברות הזאת ב-x, ונזכור כי ההסתברות שהנאשם אשם אם הרוצח לא נמצא במאגר היא בערך 0.27, נקבל בעזרת נוסחת בייס כי ההסתברות שהנאשם אשם היא:

 

 

ואנחנו שוב עומדים בפני השאלה: מהי ההסתברות כי הרוצח נמצא במאגר? במילים אחרות: מה ההסתברות כי הרוצח הוא מישהו שהורשע בעבירת מין נוספת/אחרת בקליפורניה ונלקחה ממנו דגימת DNA? עד כמה הידיעה כי ה-DNA של החשוד שנעצר זמן קצר לאחר הרצח ושוחרר לא נצא במאגר (כי הוא מת לפני שהחלו באיסוף דגימות DNA מעבריינים מורשעים)[5] תשפיע על ההערכה שלכם ל-x?

כמו קודם – הניתוח הזה לא מוביל אותנו לשום מקום, כי אין לנו שום דרך אמינה לאמוד את x.

סיכום

זיהוי רוצחים או פושעים אחרים על ידי השוואת דגימות DNA שנלקחו מזירת הפשע למאגרי DNA הוא בעייתי, וטמן בחובו בעיות סטטיסטיות לא פשוטות, וזאת בנוסף לבעיות משפטיות ואחרות.

לקריאה נוספת

 


הערות
  1. אני מניח כי במשך הזמן פותחו שיטות יותר אובייקטיביות להשוואה או שלפחות נעשה מאמץ לפתח שיטות כאלה. []
  2. הגרפים נלקחו מהספר Math on Trial. ראו הפניות לקריאה נוספת בסוף הפוסט. []
  3. זוכרים מה קרה לג'וני קארסון? []
  4. או באופן יותר מדוייק: ההסתברות כי יש שם אדם כזה גבוהה []
  5. איש לא העלה בדעתו להוציא את הגופה מהקבר ולקחת ממנה דגימת DNA []

איך נדע האם המכוניות האוטונומיות בטיחותיות

התאונה הקטלנית של אובר

העולם גועש בימים האחרונים בעקבות תאונת הדרכים הקטלנית בה היה מעורב רכב אוטונומי של חברת אובר. התאונה הציתה ויכוחים שונים והעלתה נושאים ישנים לדיון מחודש. מתנהל למשל ויכוח בשאלה מי אשם בתאונה. התשובה, כמובן, תלויה במי שעונה לשאלה (אני לא מביע את דעתי בנושא הזה, ומבקש מכל מי שרוצה להביע את דעתו, שלא יעשה את זה בתגובות לפוסט הזה. זה לא המקום). הרשת התמלאה בשמועות על כך שנושא בטיחות המכוניות האוטונומיות אינו בעדיפות עליונה אצל חברת אובר. כמו כן ניצתו מחדש דיונים בתחום האתיקה שאמורה להדריך (אולי) את מתכנני המכוניות האוטונומיות. כך למשל, דפנה מאור, במאמר בעיתון דה-מרקר, שואלת שאלות חשובות במאמר עם הכותרת הפרובוקטיבית "האם תסכימו להידרס על ידי רובוט?" אמיתי זיו ענה לה שאם יידרס, אז הוא מעדיף להידרס על ידי מכונית אוטונומית (לא ברור לי למה זה משנה לו). אתם מוזמנים לקרוא את המאמרים האלה ומאמרים אחרים ולנהל דיונים ביניכם (אם כי, אני שוב מבקש להימנע מלנהל את הדיון הזה כאן בבלוג).

עוד כתבה מעניינת בדה-מרקר נשאה את הכותרת "אחת החולשות העיקריות של מכוניות אוטונומיות היא זיהוי הולכי רגל". הכותרת היא ציטוט של דברים שאמר אחד המרואיינים בכתבה, דני עצמון (שהינו בעל חברה המפתחת סימולטורים שנועדו לאמן ולשפר את היכולת של מערכות אוטונומיות ברכבים).

עצמון אמר דברים מעניינים נוספים. אני מצטט:

מכון ראנד האמריקאי ביצע בדיקה סטטיסטית שבאמצעותה קבע "רף נהיגה אנושי". "הם לקחו את על ההרוגים בתאונות בארה"ב ב-2015 וחילקו במספר המיילים שנסעו – וגילו שיש 1.1 הרוגים על כל 100 מיליון מיילים של נסיעה. זה הוגדר הרף האנושי – הביצועים של האדם די טובים… המכון חישב ומצא שכדי שמערכות אוטונומיות יגיעו לאותם ביצועים כמו של בני אדם בביטחון של 95%, עליהן לנסוע 11 מיליארד מייל. "בשנה שעברה כל החברות שעוסקות בתחום הזה בארה"ב נסעו ביחד בערך 4 מיליון מייל.

אז בואו נדבר על הסטטיסטיקה.

הסטטיסטיקה של תאונות הדרכים

אני חושב שכולכם תסכימו שככל שנוסעים יותר, יש יותר אינפורמציה על הסיכון לתאונות. אני למשל, לא הייתי מעורב באף תאונת דרכים עם נפגעים בשנתיים האחרונות. מצד שני, אני בקושי נוהג שתי נסיעות קצרות בעיר בכל שבוע[1] שמסתכמות אולי ב-15 קילומטר, שהם קצת פחות מ-800 קילומטר בשנה. ככל שנוסעים יותר, הסיכון להיות מעורב בתאונת דרכים גדל. נכון שהסיכון שונה מנהג לנהג, יש נהגים יותר זהירים ויש כאלה שפחות, אבל העיקרון ברור. לכן יש הגיון בחישוב של מכון ראנד שלוקח את מספר ההרוגים ביחס לכמות הנסועה. מייד אסביר את העקרונות של החישוב, ואציג כמה חישובים משל עצמי.

לפני שאתחיל בחישובים, אציג כמה נתונים שפירסמה הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה. בשנת 2015 היו בישראל 12122 תאונות עם נפגעים, מתוכן 292 תאונות קטלניות, 1558 תאונות עם פצועים קשה, ו-10272 תאונות עם נפגעים בדרגת פציעה בינונית או קלה. בתאונות האלה נהרגו 322 איש, 1796 איש נפצעו קשה, ו-20046 איש נפצעו בינוני או קל. ומכאן שהיו תאונות קטלניות בהן היה יותר מהרוג אחד, והוא הדין לגבי הנפגעים האחרים. לכן אתייחס בהמשך למספר התאונות ולא למספר הנפגעים.

האם המספרים האלה גבוהים או נמוכים? תלוי איך מסתכלים על הנתונים. אל תטעו. לדעתי כל תאונה היא טרגדיה. עם זאת, לפעמים צריך להסתכל על המספרים עצמם, וזאת כדי שיהיה אפשר לקבל החלטות מושכלות. כמו שדני עצמון הסביר, צריך להסתכל גם על הנסועה – שהיא סך כל הנסיעות שנסעו כלי הרכב במדינה.[2]. לפי נתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה, הנסועה בישראל בשנת 2015 הייתה 54,820 מיליון ק"מ, כלומר כמעט 55 מיליארד ק"מ. מכאן אפשר לחשב כי על כל מיליון ק"מ של נסועה היו בשנת 2015 היו בישראל 0.00533 תאונות קטלניות. זה נראה כמו מספר יותר קטן, אבל זה רק עניין של קנה מידה. באותו אופן ניתן לחשב כי בישראל היו 0.02842 תאונות דרכים עם פצועים קשה (אך ללא הרוגים) לכל מיליון ק"מ, ו-0.18737 תאונות שבהן היו פצועים בינוני או קל (אך לא פצועים קשה ולא הרוגים). בסך הכל היו בישראל 0.22295 תאונות עם נפגעים לכל מיליון ק"מ של נסועה.

הסטטיסטיקאים מכנים את המספרים המתארים את מספר התאונות למיליון ק"מ בשם "קצב התאונות" (או rate באנגלית). זה מדד כללי המתאר את מספר האירועים ליחידת מדידה (בדרך כלל זמן, אך כפי שראיתם, יש גם יחידות מדידה אחרות). דוגמא נוספת[3] לנתונים כאלה יכולה להיות המספר הממוצע של גידולים ממאירים חדשים המתגלים במשך חודש. לפני נתוני הלמ"ס, בשנת 2013 היו בישראל בסך הכל 13546 גברים אצלם התגלו גידולים ממאירים חדשים. זה אומר שקצב הופעת הגידולים החדשים היה בקירוב 1128.8 בחודש.

איך להעריך את רמת הבטיחות של המכוניות האוטונומיות?

עכשיו, כאשר הבנו את הנתונים האלה ומשמעותם, אנחנו יודעים איך להעריך את הבטיחות של המכוניות האוטונומיות. צריך לחשב מהו קצב התאונות שלהן, ולהשוות אותו לקצב של המכוניות ה-"רגילות".

כאן אנחנו נתקלים בבעיה הראשונה: אין נתונים. אנחנו יודעים כי הנסועה הנוכחית של המכוניות האוטונומיות היא בערך 4 מיליון מייל, אבל לא יודעים כמה תאונות היו. לכן אנחנו גם לא יודעים האם מספר ההרוגים עד כה (1) הוא גבוה או לא. מה שאנחנו כן יכולים להגיד במידה רבה של בטחון הוא שגודל המדגם קטן מדי. לפי גודל המדגם הנוכחי האומדן שלנו לקצב התאונות הקטלניות של המכוניות האוטונומיות הוא 0.15385 למיליון ק"מ, כמעט פי 29 מהנתון המקביל של ישראל בשנת 2015. עם זאת, יש לסייג את הדברים ולומר כי האומדן הזה מאוד לא מדוייק, שוב, בגלל גודל המדגם הקטן.  רווח הסמך לקצב, ברמת סמך של 95%, הוא 0.0053 עד 0.5535. זה אומר שייתכן מאוד שקצב התאונות הקטלניות של המכוניות האוטונומיות דומה לקצב של ישראל. שוב, ככל שיצטברו יותר נתונים, האומדן יהיה מדוייק יותר, ובהחלט יכול להיות שב-4 מיליון המייל הבאים לא תהיה אף תאונה קטלנית, ואז אומדן הקצב יקטן ב-50%.

רבים טוענים כי המכוניות האוטונומיות הינן בטוחות יותר ממכוניות רגילות, ואני נוטה להסכים איתם באופן חלקי (אם כי, כמו תמיד, אלוהים מצוי בפרטים הקטנים – ראו שוב את מאמרה של דפנה מאור). אך טענות צריך לגבות בנתונים, וכאמור, אין לנו מספיק נתונים. לכן השאלה שצריך לשאול היא: כמה נתונים צריך כדי שנוכל לומר משהו אינטליגנטי ומגובה בנתונים על הבטיחות של המכוניות האוטונומיות?

כפי שכבר הבנתם, הסטטיסטיקאים של מכון ראנד כבר ערכו חישוב כזה. אני מודה שאני לא כל כך מבין את הנתון של 11 מיליארד מייל שדני עצמון ציטט, ואני מניח שחלק מהדברים "אבדו בתרגום". בכל מקרה, אני מתכוון להציג כאן את העיקרון שלפיו עורכים את החישובים, ולהציג את התוצאות של החישובים שלי.

מודל להתרחשות תאונות דרכים

קוראיי הוותיקים כבר יודעים: כדי לבצע את החישובים הסטטיסטיים יש צורך במודל הסתברותי. להזכירכם, מודל הוא תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדוייק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שלנו. כל מודל מתבסס על הנחות. הנחות שונות יובילו למודלים שונים ולתשובות שונות.

המודל שאציג לקצב תאונות הדרכים מתבסס על הנחה יחידה: הפיזור של התאונות לאורך השנה הוא אחיד. במילים אחרות, אין תקופות בשנה שיותר מועדות לתאונות מאשר תקופות אחרות. אפשר כמובן להניח הנחות אחרות, שיגדירו מודלים יותר מסובכים. אני אגביל את עצמי למודל הפשוט, כיוון שהמטרה העיקרית שלי היא להסביר את העקרונות הסטטיסטיים. עם זאת, אני לא חושב שמודל מסובך יותר ייתן תוצאות שונות באופן משמעותי, וזאת לאור הניסיון שצברתי במשך השנים בניתוח נתונים דומים.

מההנחה שלי אפשר, עם קצת מתמטיקה, להסיק כי מספר התאונות בשנה הוא משתנה מקרי פואסוני. שוב קוראיי הוותיקים אולי זוכרים שהמודל הזה וההתפלגות הנובעת ממנו הוזכרו כבר בבלוג. זה המודל בו השתמשו הבריטים כדי לבדוק מה הייתה רמת הדיוק של הטילים שהמטירו עליהם הגרמנים בזמן הבליץ על לונדון. למשתנה מקרי שהתפלגותו היא התפלגות פואסון יש פרמטר אחד בלבד – פרמטר הקצב. בישראל של 2015 קצב התאונות הקטלניות היה כזכור 0.00533 למיליון קילומטר. השאלה המעניינת היא: כמה מיליוני ק"מ צריכות המכוניות האוטונומיות לנסוע כדי לנוכל לומר על סמך הנתונים כי קצב התאונות שלהם נמוך מקצב התאונות הקטלניות של ישראל באופן משמעותי?  עם קצת מתמטיקה לא מסובכת במיוחד אפשר לפתח נוסחה שנותנת את התשובה. הנה היא, לא להיבהל, תיכף אסביר הכל, ומי שלא מעוניין בהסברים יכול לדלג הלאה, אל המספרים שחישבתי.

חישוב גודל המדגם בהתפלגות פואסון

 

 

 

 

ההסברים: למבדה-אפס (האות שדומה לאות העברית גימל) מייצגת את קצב הבסיס שאליו אנחנו  רוצים להשוות את הקצב מהמדגם. בדוגמא שלנו קצב הבסיס הוא הקצב של תאונות הדרכים הקטלניות בישראל, כלומר 0.00533 תאונות למיליון קילומטר. האות דלתא (שדומה לאות למד בעברית) מייצגת את ההבדל המשמעותי בין קצב התאונות במדגם (כלומר קצב התאונות של המכוניות האוטונומיות) ובין קצב הבסיס. לדוגמא, אם אנחנו חושבים שהבדל משמעותי יהיה ירידה של 10% בקצב התאונות, הרי שאנו מצפים שקצב התאונות של המכוניות האוטונומיות יהיה 0.004797 (90% מ-0.00533), ולכן ההפרש דלתא שווה ל–.000533. שימו לב שההפרש הוא שלילי. אלפא וביתא הן רמת המובהקות והעוצמה, אני אשתמש בערכים של 5% -90% בהתאמה, והאות Z מסמלת ערכים של ההתפלגות הנורמלית, והם שווים ל-1.645 עבור רמת המובהקות ו- -1.282עבור העוצמה. התוצאה שמתקבלת על ידי החישוב, n, היא גודל המדגם הדרוש, שהוא במקרה שלנו, מספר מיליוני הקילומטרים שהמכוניות האוטונומיות צריכות לנסוע.

מה גודל המדגם הדרוש להערכת הבטיחות?

אם נציב את כל המספרים בנוסחה נקבל כי כדי שנוכל לזהות ירידה מובהקת של 10% בקצב התאונות הקטלניות, נצטרך לראות מה קורה אחרי שהמכוניות האוטונומיות ייסעו 9215 מיליון ק"מ, שהם בערך 6 מיליארד מייל. זה אמנם מספר קטן יותר מהמספר שצוטט בכתבה[4], אבל זה עדיין מספר מטורף. (אני נותן כאן קישור לקובץ אקסל שבעזרתו ביצעתי את החישובים. אתם מוזמנים לבדוק עוד תרחישים).

אחת הסיבות שקיבלנו מספר כל כך מטורף היא שהגדרנו ירידה מאוד קטנה כמשמעותית – רק 10%. יש הטוענים כי כשהמכוניות האוטונומיות ייכנסו לשימוש מסחרי קצב התאונות (או מספר התאונות, שזה בעצם אותו דבר), ירד בצורה הרבה יותר משמעותית. אם זה נכון, גודל המדגם יהיה הרבה יותר קטן. על פי אותה הנוסחה, כדי לזהות באופן מובהק ירידה של 50% בקצב תאונות הדרכים הקטלניות, יש צורך בגודל מדגם של כ-471 מיליון מייל, וכדי לזהות ירידה משמעותית של 90% במספר תאונות הדרכים הקטלניות באופן מובהק יש צורך בגודל מדגם של קצת פחות מ-220 מיליון מייל.

החדשות הטובות הן שכדי לזהות ירידה מובהקת של 90% בקצב הכולל של תאונות דרכים עם נפגעים יש צורך בגודל מדגם של קצת יותר מ-5 מיליון מייל, ואנחנו כמעט שם. מצד שני, יש המון חברות שעורכות המון ניסויים, ולא סביר שיוקם מאגר נתונים בו יקובצו הנתונים של כל החברות, שהרי כל חברה רוצה לשמור את הנתונים שלה בסוד מהמתחרות. אז אנחנו לא באמת מתקרבים ליעד של 5 מיליון מייל.

עוד חדשות טובות: הנסועה השנתית בארצות הברית היא קצת יותר מ-3 טריליון מייל, כלומר 3000 מיליארד מייל (או 3 מיליון מיליוני מייל), כך שאם באורח פלא כל המכוניות בארצות הברית יהפכו להיות אוטונומיות, נדע את כל התשובות תוך יום בערך. זה לא יקרה כמובן. אפשר להמשיך ללהטט בחישובים שייקחו בחשבון את קצב חדירת המכוניות האוטונומיות לשימוש, אבל אני אעצור כאן.

מתי נדע האם המכוניות האוטונומיות בטיחותיות?

המסקנה שלי היא שייתכן שנדע יחסית בקרוב (אם תהיה התערבות רגולטורית) האם המעבר למכוניות אוטונומיות יביא לירידה מאוד גדולה (90%) במספר תאונות הדרכים עם נפגעים. אם הירידה קטנה יותר, נצטרך לחכות זמן רב יותר. בקשר לתאונות דרכים יותר חמורות, כאלה עם פצועים קשה או תאונות קטלניות, יעבור עוד המון זמן עד שנדע משהו. מה שיקרה בפועל הוא שמכוניות אוטונומיות ייכנסו לשימוש בלי שיהיה לנו מושג ירוק על רמת הבטיחות שלהן.


הערות
  1. פעם אחת לקניות, ופעם אחת כדי להסיע את הילד לחוג []
  2. לדוגמא, אם 10 מכוניות נסעו מתל אביב לחיפה, מרחק של 100 ק"מ, אז הנסועה הכוללת שלהן הייתה 10×100 כלומר 1000 ק"מ []
  3. תסלחו על על הדוגמאות המדכאות []
  4. אני לא יודע מה היו ההנחות שלהם ומה הם חישבו בדיוק []

קרן נויבך לא מגיבה לביקורת

בעצם, היא הגיבה. גם התעלמות זה סוג של תגובה.

תזכורת: בתאריך 20.2.2018 אירחה קרן נויבך בתכנית שלה ברשת ב אדם בשם גדי. האייטם הפך במהירות מסיפור אישי (שאכן נגע ללב) להתקפה חסרת רסן על כל מדע הפסיכיאטריה. אמנם יש לי בעיה עם ההתקפה הזו, אבל אני מכיר בזכותו של גדי להביע את דעתו הקונטרוברסלית. הבעיה שלי הייתה עם מגישת התכנית, קרן נויבך, שגישתה הייתה חד צדדית לחלוטין, נמנעה שהבעת שמץ של ביקורתיות, ואמרה דברים חמורים (כגון השימוש במילה "גמילה" בהקשר של תרופות פסיכיאטריות, פעמיים).

לאחר שתיארה את האייטם בטוויטר, פניתי אליה בשאלה לגבי האייטם, ונעניתי כי מאחר ולא האזנתי לתכנית לא ראוי כי אמתח עליה ביקורת. קיבלתי את ההערה הזו, האזנתי לתכנית, המתנתי שלושה ימים כדי לעכל את מה ששמעתי (וגם להרגע), וכתבתי את תגובתי המנומקת כאן בבלוג. דרך טוויטר העברתי לנויבך קישור לפוסט שפירסמתי. לא האמנתי שאקבל תגובה, אם כי תיקנתי את האמירה הזו באמירה כי אני מקווה שתתקבל תגובה. בעידוד חברים בטוויטר גם כתבתי מייל לתיבת הדואל של התכנית, וביקשתי התייחסות.

ואכן קיבלתי התייחסות. נויבך התעלמה מכל הפניות שלי אליה דרך טוויטר, ולבסוף השתיקה אותי (mute). גם העורך של התכנית, דדי מרקוביץ, התעלם מהפניות שלי אליו בטוויטר. לפניה שלי במייל קיבלתי לפני יומיים תגובה בלתי עניינית (מייד אביא אותה), שלא התייחסה לטענה על חוסר האובייקטיביות של נויבך, לא לחוסר הביקורתיות שלה, ולא לשימוש השערורייתי שלה במילה "גמילה" בהקשר של טיפול תרופתי. התגובה הייתה חתומה על ידי "צוות התכנית". ביקשתי הבהרה האם קרן נויבך עומדת מאחורי התגובה. נכון למועד כתיבת שורות אלה, לא קיבלתי תשובה לשאלת ההבהרה הזו. מכאן לא נותר לי אלא להסיק כי נויבך אינה עומדת מאחורי התגובה הזו ואינה מוכנה להגיב לביקורת אפילו לא בצורה אנמית.

עם זאת ניכר שיפור מסויים. לתכנית הוזמן ד"ר ירדן לוינסקי, שמתח ביקורת מתונה על הספר "אנטומיה של מגיפה" בבלוג שלו. עם זאת, נויבך לא הייתה מעוניינת לדון בספר שכה המליצה עליו באייטם הקודם. היא גם קטעה את דבריו של ד"ר לוינסקי שבע פעמים במהלך הראיון. כמובן שהפעם היה באייטם "איזון" בדמות ד"ר טוני שחר שמנהל דף פייסבוק ששולל מכל וכל את הטיפולים התרופתיים. היא גם השתמשה בצורה יותר מתונה במילה גמילה, ואמרה הפעם כי זה במרכאות כפולות.

הנה התגובה שקיבלתי במייל

 


ד"ר לוי שלום, קודם כל תודה רבה על התגובה המפורטת ועל האכפתיות וההשקעה. מערכת סדר יום מטפלת באופן מתמשך בנושאים שונים הנוגעים לבריאות הנפש בישראל ובעולם ובתוך זאת גם בסוגיית התרופות הפסיכיאטריות. סוגייה סביבה מתנהל דיון ער ע"י פסיכיאטרים וגורמי מקצוע נוספים מזה מספר שנים. בין השאר קיימנו שיחה בנושא עם פרופ חיים בלמקר ועם דליה וירצברג רופא, שיחה עם "גדי" שסיפר את הסיפור האישי שלו ושל בנו ואתמול דיון נוסף עם ד"ר ירדן לוינסקי וד"ר טוני שחר. בשיחות אלו באו לידי ביטוי עמדות שונות ומגוונות, תוך ניסיון ומאמץ לייצר דיון מורכב. יתכן שלתפיסתך, לא הצלחנו בכך בחלק מן המקרים. אנחנו מבטיחים להמשיך להתאמץ לעשות זאת. זה תפקידנו. אנחנו מודים לך על הערותייך. בברכה, צוות סדר יום


 

אני אתן לצוות התכנית להינות מהספק ואומר כי התגובה הזו מעידה על חוסר הבנת הנקרא. הביקורת שלי לא הייתה על הדברים שנאמרו על ידי "גדי" בראיון[1], אלא על התנהלותה הבלתי מקצועית בעליל של נויבך. התגובה מתעלמת מכך לחלוטין. כמו שאמרתי בהתחלה: גם טמינת הראש בחול זה סוג של תגובה.


הערות
  1. ולא שאין לי ביקורת []