נסיכת המדעים

היום התפרסם ב"הארץ" מאמר מאת גיל קלעי, פרופסור למתמטיקה וחבר במרכז לחקר הרציונליות באוניברסיטה העברית בירושלים, שכותרתו "על פוליטיקה ורציונליות". קלעי סוקר מספר מהלכים פוליטיים, וביניהם גם התנהלותה של הילרי קלינטון במירוץ מול ברק אובמה להשגת המועמדות לנשיאות ארה"ב.

כצפוי, מאמר של חוקר מהזרם המרכזי של תורת המשחקים הוא בהכרח שיר הלל לרציונליות. הילרי קלינטון פעלה באופן רמיונלי לגמרי במסע הבחירות שלה, טוען קלעי. בנימין נתניהו וציפי לבני פעלו ברציונליות כשהכריזו, שניהם, על ניצחון בליל הבחירות, מסביר קלעי. "תומכי מרצ שהצביעו לקדימה לא נהגו בחוסר רציונליות", כותב קלעי, ומסביר מדוע. "מובן שגם תומכי מרצ שהצביעו מרצ פעלו באופן רציונלי", מוסיף קלעי.

רגע, אני פיספסתי משהו. תומך מרץ שהצביע עבור מרץ פעל באופן רציונלי, את זה אני מבין. גם תומך מרץ שלא הצביע עבור מרץ אלא עבור מפלגה אחרת (קדימה, במקרה הזה) פעל באופן רציונלי? איכשהו זה לא מסתדר לי.

אני מניח שלפרופסור קלעי יש איזשהו הסבר כדי ליישב את הסתירה הזו. אני מניח שחלק מקוראיי יטרחו ויסבירו לי מדוע אין כאן שום סתירה (אולי אני לא בוחן את דבריו של קלעי באופן רציונלי?)

קוראיי הותיקים יודעים בודאי שאני לא תומך של הטענה כי אנשים תמיד מקבלים החלטות באופן רציונלי. מקבל החלטות רציונלי עושה את החיים של אנשי תורת המשחקים והמודלים הכלכליים הרבה יותר קלים. אבל יש עדויות כבדות משקל נגד הטענה הזו. דניאל כהנמן זכה בפרס נובל לכלכלה על מחקריו המשותפים עם עמוס טברסקי ז"ל, שהראו כיצד החלטות לא מתקבלות באופן רציונלי אצל בני אדם, ואף פירטו את מנגננוני ההטיה המרחיקים את מקבל ההחלטות האנושי מההחלטה שהיה מקבל "האדם הרציונלי".

לכן אני סבור כי מסקנתו של פרופ' קלעי, כי התנהלות הפוליטיקאים אצלנו איננה התנהגות בלתי רציונלית, אלא קושי בקבלת החלטות בתנאי אי ודאות, גורפת מדי. אני חושש שיש לנו דוגמאות רבות מדי של התנהגות בלתי רציונלית של פוליטיקאים. נכון, לא כולם, אבל ההתנהלות הנוכחית במשא ומתן להרכבת הממשלה (שהיא הטריגר לכתיבת המאמר של קלעי) בהחלט מראה כי חלק מהשחקנים אינם פועלים באופן רציונלי.

לפני מספר שבועות כתבתי כאן על משחק השפן שמשחקים כוכב הבייסבול מני רמירז וסוכנו סקוט בוראס מול קבות הלוס אנג'לס דודג'רס. כזכור רמירז דחה שתי הצעות שהוצעו לו על ידי הדודג'רס: תחילה דחה הצעה של 45 מליון דולר לשנתיים, אחר כך דחה הצעה של 25 מליון דולר לשנה.

הבוקר דווח כי הדודג'רס חזרו עם הצעה חדשה: שוב 45 מליון דולר לשנתיים, אך באופן שהשחקן יקבל סכום גדול יותר בשנת 2009 לעומת הסכום שהיה אמור לקבל בהצעה הראשונית. בעידן שבו הריבית קרובה ל-0 זה לא משהו, אבל עדיין מדובר בשיפור לעומת ההצעה הקודמת. עד כה לא דחה רמירז את ההצעה. האם העובדה שאימוני האביב כבר החלו בשבוע שעבר והדודג'רס כבר שיחקו אתמול את משחק הידידות הראשון שלהם גורמת לכוכב העל וסוכן העל שלו ללחוץ על הגז קצת יותר בעדינות? אמשיך לעקוב ולדווח.

עדכון: הבוקר (27.2.2009) דחה רמירז גם את ההצעה הזו.

עדכון מאוחר (שבת 7.3.2009): בתאריך 4.3.2009 חתמו רמירז והדודג'רס על חוזה חדש, לפיו רמירז ישחק בשנתיים הבאות בשורות הדודג'רס ויקבל תמורת שירותיו 45 מליון דולר. היה שווה לחכות.

היום הייתי בקורס כלשהו מטעם מקום העבודה שלי. כדי להדגים את אחד העקרונות שאנו אמורים ללמוד בקורס, הציע המנחה שנשחק משחק, שהתברר מייד כגירסה של דילמת האסירים.

ההרחבה הראשונה של המשחק מדילמת האסירים הקלאסית הייתה שזה היה משחק לארבעה שחקנים, כאשר כל השחקנים אמורים להכריז בו זמנית על בחירתם באחת משתי הפעולות האפשריות: שיתוף פעולה (מקביל לשתיקה בחקירה בדילמה המקורית) על ידי כך ששמים על השולחן קלף עם האות Y, או בגידה (מקביל להודאה בפשע בדילמה המקורית) על ידי הנחת הקלף עם האות X. התשלומים נבנו כך שאם כל הארבעה בוחרים ב-Y כל שחקן זוכה בנקודה, אם כל הארבעה בוחרים ב-X כל שחקן מפסיד נקודה, ושלושת הצירופים האחרים מזכים את שחקני ה-X בנקודות אותן מפסידים שחקני ה-Y: אם יש שחקן X בודד מול 3 Y הוא זוכה ב-3 נקודות, וכל שחקן Y מפסיד נקודה, במקרה של שני X ושני Y כל שחקן X זוכה בשתי נקודות וכל שחקן Y מפסיד 2 נקודות, ובמקרה של שלושה X כל שחקן X מקבל נקודה, ושחקן ה-Y, הפראייר הבודד במקרה זה, מפסיד 3 נקודות.

ההרחבה השניה הייתה שדובר במשחק איטרטיבי: היינו אמורים לשחק את המשחק 10 פעמים בזו אחר זו. בדרך כלל היה אסור לנו לדבר ביננו בין סיבוב לסיבוב, אבל היו שלוש נקודות התייעצות, לפני הסיבוב החמישי, השביעי והתשיעי.

הרחבה שלישית הייתה סיבובי בונוס: בשלושה מהסיבובים מספר הנקודות הוכפל. באחד מהם פי שלוש, בשני פי חמש, ובסיבוב האחרון מספר הנקודות הוכפל פי 10.

שיחקנו את המשחק וערכנו רישום של המהלכים.

עלי לציין כי היה לי יתרון מסויים על פני שחקנים האחרים, כי אני מכיר את המשחק ואת הניתוח התיאורטי שלו. בחרתי לנקוט באסטרטגיית מידה כנגד מידה. בסיבוב בראשון אותתי ב-Y, היה עוד Y, הפסדתי שתי נקודות. עברתי ל-X וצברתי מספר נקודות, עד שבסיבוב האחרון לפני ההתייעצות הראשונה הגענו לנקודת שיווי המשקל הידועה לשמצה של המשחק – ארבעה איקסים.

בשלב הזה הסברתי לשותפותי למשחק כי אם בכל סיבוב כולנו נשחק Y, כולם יזכו בנקודות, והסכמנו שכך נעשה. כולנו עמדנו בדיבורנו עד סיום המשחק. עלי לציין כי הפיתוי לבגוד בסיבוב האחרון היה גדול מאוד. אם שלוש השחקניות האחרות היו ממשיכות לשחק Y ואני הייתי עובר ל-X הייתי גורף 30 נקודות. אבל אלה היו קולגות מהעבודה, שאני עובד איתן ברמה יומיומית, וגם לא רציתי לאכול את ארוחת הצהריים לבד, אז ויתרתי. זה בסך הכל משחק.

התברר כי בקבוצות האחרות (נערכו שלושה משחקים במקביל) העניינים היו סוערים יותר. בכל אחת משתי הקבוצות האחרות היה שחקן (או שחקנית) ששיחקו Y לאורך כל הדרך. באחת הקבוצות, שחקן ששיחק Y בשלב מוקדם מתוך מטרה לעודד שיתוף פעולה ברוח אסטרטגית "מידה כנגד מידה", דרש בשלב ההתייעצות, כאשר הוצע לאמץ אסטרטגיה של שיתוף פעולה, פיצוי מהקבוצה על שיתוף הפעולה שלו בשלב המוקדם (כלומר שבאחד הסיבובים שיוסכם עליהם מראש כולם ישחקו Y ורק הוא יורשה לשחק X). בקבוצה אחרת הייתה שחקנית שלא עמדה בפיתוי, בגדה בסיבוב האחרון וגרפה את שלושים נקודות הבונוס.בקיצור, היה שמח.

למרות שכולנו משחקים בוריאציות של משחק דילמת האסירים מדי יום: בפקק התנועה, בשירותים של מקום העבודה, בעבודה עצמה, ועוד ועוד, אנחנו לא תמיד מודעים למשמעות של הבחירות שלנו. המשחק הזה יכול ללמד הרבה. אני לא יודע אם זה מומלץ כמשחק חברה של יום שישי בערב. זו יכולה להיות תחילתה של יריבות מופלאה. אבל אני בכל זאת ממליץ לכל אחד לבחון את עצמו ואת התנהגותו מזוית הראיה של דילמת האסיר. האם אתם יותר X או יותר Y?

בסרטים רבים המתארים  את הווי חייהם של בני נוער מופיעה סצינה בה שני גיבורים מעמידים למבחן את אומץ ליבם, ו/או את טפשותם באמצעות התחרות הבאה: כל אחד מהם נכנס למכוניתו, ושניהם דוהרים במהירות אל עבר התהום, או הקיר, או זה מול זה. הראשון שעוצר, מאט או סוטה מכיוון הנסיעה שלו הוא המפסיד במשחק, בעוד שהמנצח זוכה בכבוד להתרסק עם רכבו לתוך התהום. ככל הידוע הופיע הסצינה הזו לראשונה בסרטו של ג'יימס דין "מרד הנעורים", ושוחזרה בגירסאות שונות בסרטים רבים, בין היתר בשובר הקופות "גריז" בו כיכבו ג'ון טרבולטה ואוליביה ניוטון-ג'ון.

המעוניינים יכולים לקרוא על המשחק הזה, המכונה דילמת השפן או The chicken game בספרו של ויליאם פאונדסטון "דילמת האסיר" או בויקיפדיה (באנגלית). במציאות המשחק לא ממש פופולרי, מסיבות מובנות, אם כי יש מספר דוגמאות קלאסיות, כגון משבר הטילים בקובה והמלחמה הקרה בכלל. אבל מתברר שגירסה של המשחק, הידועה בישראל בשם "תחזיקו אותי", זכתה לאחרונה לפופולריות בלתי צפויה בשוק השחקנים החופשיים של ליגת הבייסבול האמריקנית, ה-MLB.

השחקן הראשי הוא סוכן העל סקוט בוראס, המייצג כמה מהכוכבים הגדולים ביותר בליגה. לפני מספר שבועות, שיחקו בוראס והתופש (catcher) ג'ייסון ואריטק את המשחק מול קבוצת הבוסטון רד-סוקס. ואריטק שיחק בבוסטון את כל הקריירה שלו עד כה, סה"כ 12 עונות מ-1997 עד 2008. בסיום שנת 2008 הסתיים החוזה שלו עם הקבוצה, והוא הפך לשחקן חופשי. בוסטון הייתה מעוניינת כי ואריטק, שהוא גם קפטן הקבוצה, ימשיך לשחק בשורותיה, והציעה לו להכנס להליך בוררות. בהליך הזה כל צד מציע הצעה. השחקן אומר כמה כסף הוא חושב שצריך לשלם לו, הקבוצה אומרת כמה כסף היא מציעה, והבורר חייב לפסוק לטובת אחד משני הצדדים. כלומר, אם הקבוצה מציע לך שכר של מליון דולר, ואתה מבקש שלושה מליון, התוצאה תהיה שתקבל מליון, או שלושה מליון. לבורר אסור לפסוק פשרה לפיה השכר יהיה איזשהו סכום ביניים. יש עוד קאטש קטן: לקבוצה אסור להציע לשחקן שכר נמוך מהשכר שקיבל בעונה הקודמת. כיוון שואריטק הרוויח בשנת 2008 כ-10.4 מליון דולר, המשמעות של הסכמה לבוררות מבחינתו הייתה הבטחת שכר של 10.4 מליון דולר לפחות בשנת 2009. ואריטק, כנראה בעצת סוכנו בוראס, רצה ללכת על גדול. הוא קיווה כי יצליח לקבל בקבוצה אחרת חוזה שמן יותר, למשך כמה שנים. הוא סירב להצעת הבוררות, ופנה לפתוח במשא ומתן עם קבוצות אחרות. אבל הקבוצות האחרות לא עמדו בתור. מתברר כי תופש בן 37 שסיים את עונת 2008 עם סטטיסטיקה בינונית מינוס אינו סחורה מבוקשת בשוק. בסופו של דבר, חתם ואריטק על חוזה לשנתיים עם קבוצתו משכבר הימים, הבוסטון רד-סוקס. חוזה זה מבטיח לו כי במשך השנתיים הבאות ירוויח בסך הכל 8 מליון דולר.

המקרה של ואריטק לא מרתיע לקוח אחר של בוראס, החובט מני רמירז. רמירז הוא סופר-סטאר אמיתי, שבמשך 16 שנותיו בליגה הציג ממוצע חבטות מעולה של 0.316,  והשיג 527 הקפות מלאות (home runs). לאחר שהועבר באמצע העונה שעברה מבוסטון לקבוצת לוס אנג'לס דודג'רס, השיג שם ב-57 משחקים ממוצע חבטות מדהים של 0.396, ולקח את הקבוצה עד לסדרת הגמר של הנשיונל ליג, שם הפסידה הקבוצה לפילדלפיה פיליז, שהמשיכה בדהרתה לזכיה היסטורית בוורלד סרייס. שירותיו של רמירז אינם זולים. בשנת 2008 היה שכרו השנתי כמעט 19 מליון דולר. חוזהו הסתיים כעת, וקבוצת הדודג'רס, שהייתה מרוצה מאוד מביצועיו, הציעה לו חוזה חדש לשנתיים בסכום כולל של 45 מליון דולר – העלאה צנועה של כ-20% לעומת השנה הקודמת.

ורמירז? השחקן בן ה-37  וסוכנו בוראס אפילו לא טרחו להודיע לדודג'רס כי ההצעה המעליבה הזו אינה מקובלת עליהם, ורמירז הצהיר כי יעדיף לפרוש מאשר לשחק תמורת שכר הרעב שהוצע לו. הדודג'רס משכו את הצעתם. לפני מספר ימים חזרו עם הצעה אחרת: חוזה לשנה, 25 מליון דולר. גם הצעה משפילה זו נדחתה מייד. רמירז ממשיך לחכות להצעות טובות יותר, למרות שתור הקבוצות המעוניינות להציע לו חוזה אינו ארוך במיוחד (בלשון המעטה). הוא ממשיך לדהור אל עבר התהום בתקווה שאחת הקבוצות תגיע לשם לפניו. אני ממשיך לעקוב בעניין.