נסיכת המדעים

בהארץ-TheMarker הופיע היום ראיון עם ניצב שחר איילון, ראש אגף התנועה במשטרת ישראל. בראיון זה אומר איילון: "בהרבה מאוד מקרים התברר לנו שאין בהכרח קשר ישיר בין התשתיות לתאונות דרכים". ואילו לפני כחודש, לאחר התאונה השניה בין רכבת ומשאית אמר מפקד המחוז הדרומי של המשטרה, ניצב אורי בר לב: "לו הייתי יכול – הייתי משבית תנועת הרכבות".

אז אולי לא התשתיות גורמות לתאונות הדרכים אלא הרכבות?

במאמרם הקלאסי משנת 1974 "שיפוט בתנאי אי ודאות" מתארים עמוס טברסקי ודניאל כהנמן את היוריסטיקת הזמינות (להיוריסטיקה אחרת שתוארה במאמר זה, היוריסטיקת העיגון, התייחסתי ברשימה "משחק המושבעים"). טברסקי וכהנמן הראו כי ישנם מצבים בהם אנשים מעריכים שכיחות של מאורע על פי הקלות שבה הם מצליחם להעלות בדעתם דוגמאות למאורע. אדם המבקש להעריך, למשל, עד כמה נפוץ המנהג של הזמנת פיצה לארוחת ערב, ינסה להעריך איזה חלק ממכריו נוהג לעשות כן. זה הרבה יותר פשוט מאשר לערוך מדגם הסתברותי מייצג של האוכלוסיה. המחיר שמשולם עבור הפשטות הוא, כמובן, הטיה בתשובה, או במלים פשוטות יותר – התשובה שתתקבל אינה מדוייקת. דוגמאות נוספת לשימוש בהיוריסטיקת הזמינות: אנשים המדווחים של טיפול כלשהו כיעיל, כיוון ששמעו על "הרבה אנשים שזה עזר להם". 

אני חושש ששני הקצינים נפלו קרבן להיוריסטיקת הזמינות.

במקרה של ניצב בר לב העניין ברור: שתי תאונות בהן התנגשו רכבת ומשאית אירעו בהפרש של מספר שבועות. המסקנה לכאורה ברורה – הרכבת מסוכנת, ולכן יש להפסיק את תנועתה. מעניין מדוע לא הציע הקצין להפסיק את תנועת המשאיות עד שיינקטו האמצעים הדרושים למנוע תאונות נוספות.

כאן אחטא ואשתמש בהיוריסטיקת הזמינות בעצמי. אני נוסע קבוע ברכבת, ושומע נוסעים אחרים מדברים בינם לבין עצמם, ומזהירים את חבריהם לבל ישבו בקרון הקדמי של הרכבת, כיוון שהוא "מסוכן יותר".

ואילו ניצב איילון, כדי לחזק את דבריו אומר: "בסוף השבוע האחרון, למשל, אדם שהפעיל טרקטור לא נעמד נכון ביחס לטרקטור והוא הידרדר עליו – תאונה ללא קשר לתשתיות." איילון מביא דוגמא זמינה כדי לגזור ממנה אמירה כללית. במאמר מופיעים גם נתונים מדו"ח הועדה להכנת תכנית לאומית רב-שנתית לבטיחות בדרכים (ועדת שיינין ), לפיהם שיפורים בתשתיות הביאו להפחתת של 20 עד 50 אחוז בתאונות הדרכים (בהתאם לסוגי השיפורים). זה לא משכנע את איילון. חבל מאוד שקצין כה בכיר מסתמך על דוגמאות במקום על נתונים.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 2 באוגוסט 2005 שם התקבלה תגובה אחת

מינוס  בתאריך 8/3/2005 8:03:01 PM

הוא לבדו

תראה הוא יושב לבדו בתחנה, כולם הלכו לדרום החם, והוא יושב ומגרבץ, ומוציא הודעות.
לעצמו הוא חושב- למה לא בחרו בי כדי לעצור מתנחלת בת 16 כתומת כרבולת. קשה . קשה במשטרה.

אתה נוהג ברכבך בכביש צר, בו יש נתיב אחד לכל כיוון. לפניכם נוסעת משאית באיטיות מרגיזה. אתה רוצה לעקוף את המשאית, אך היא חוסמת את רוב שדה הראיה שלך. נוסף לכך, משאיות נעות מדי פעם גם בכיוון הנגדי. לעקוף או לא לעקוף?

אם לא תעקוף תאחר למחוז חפצך. זה מרגיז, כי מדי פעם אתה רואה כי היית יכול להספיק לעקוף בביטחה. לעומת זאת, אם תצא לעקיפה אתה עלול למצוא את עצמך בהתנגשות חזיתית עם משאית שנוסעת בכיוון הנגדי. מה עושים? איך מחליטים?

יצאתם לטיול ביער וגיליתם פטריות. אתם מאוד אוהבים פטריות, אבל גרועים בזיהויין. האם תאכלו את הפטריות? אולי אלה הן פטריות רעילות? אם הפטריות ראויות למאכל ותחליטו לוותר על אכילתן, הפסדתם ארוחה טעימה. לעומת זאת, אם תאכלו פטריות רעילות, מצבכם עדין.

אבל, מה תעשו אם הגעתם לאי בודד לאחר שספינתכם נטרפה, ותגלו כי המאכל האפשרי היחיד באי הוא פטריות?

רופא בודק חולה שמצבו חמור. יש שני גורמים אפשריים למצבו של החולה, ולכל אחד מהגורמים קיים טיפול יעיל. אולם, מתן הטיפול לגורם אחד יהיה קטלני אם המחלה נגרמה עקב הגורם השני. אי אפשר לתת את שני את שני הטיפולים ביחד. כאן, לשתי הטעויות האפשריות יש תוצאה מרה אחת.

נאשם עומד למשפט. ייתכן כי הנאשם חף מפשע, ובכל זאת העדויות ישכנעו את השופט כי הוא אשם. אדם חף מפשע יישלח במקרה זה לכלא. ייתכן גם כי הנאשם אמנם ביצע את הפשע המיוחס לו, אך הראיות שיוצגו במשפט לא יספיקו כדי להרשיעו. במקרה זה, הפושע "יחזור לרחובות". זוכרים את הסקר הזה?

 איך יכריע השופט את הדין כך שיקטין את הסיכוי להרשיע חף מפשע וגם את הסיכוי לשלח פושעים מסוכנים לחפשי?

נניח שהשופט אדם בעל עקרונות הרואה בשליחת חף מפשע לכלא טעות בלתי נסבלת. שופט כזה ידרוש ראיות רבות יותר ובעלות משקל רב יותר לצורך הרשעה, ולכל ספק שיינטע בליבו לגבי אשמתו של הנאשם הוא ייתן משקל נכבד. השופט כמובן ידרוש ראיות כאלה מכל תובע המופיע בפניו, שכן הוא שופט את כולם ללא משוא פנים, וכל נאשם הריהו בחזרת חף מפשע עד שלא תוכח אשמתו. שופט זה עדיין עלול לטעות לעיתים ולהרשיע נאשם חף מפשע, אך הסיכוי לכך הוא קטן.

אבל אין ארוחות חינם. המחיר שמשלם שופט זה הוא בסיכויים גבוהים יותר לזיכוי נאשמים שאינם חפים מפשע, כי כאמור, גם מתובעיהם של נאשמים אלה דורש השופט ראיות רבות ומוצקות.

חברו של השופט, היושב בדין באולם הסמוך, סבור לעומת זאת כי יש להמנע ככל האפשר מזיכוי מוטעה של אשמים. הוא מסתפק בראיות קלות יותר כדי להשתכנע כי הנאשם העומד מולו אכן אשם. רק לעתים רחוקות יזכה שופט זה בטעות אדם אשר אכן ביצע את הפשע המיוחס לו. אבל בלהטו לשלוח את הפושעים אל מאחורי סורג ובריח, שולח שופט זה גם חפים מפשע אל הכלא, ובתדירות גבוהה יותר מאשר חברו המקשה על התובעים.

בואו נחזור אל הדוגמה שפתחה את המאמר. אני, למשל, אעדיף להמשיך ולנסוע מאחורי המשאית, ולא לקחת סיכון של עקיפה כאשר שדה הראיה חסום. ואם אפשר היה לעקוף? טוב, אז טעיתי ולא עקפתי. קצת איחרתי. לא נורא. העיקר שלעולם לא אמצא את עצמי דוהר לתוך משאית הנוסעת מולי. הסיכוי שאעשה את הטעות הראשונה – לא לעקוף כאשר אפשר – הוא 1, אבל בתמורה הקטנתי את הסיכוי לעשות את הטעות האפשרית השניה – עקיפה בנתיב לא פנוי – ל-0.

אבל השופט לא יכול להרשות לעצמו מדיניות כזו. אי אפשר לשלוח את כל הנאשמים לכלא, למרות שזה מבטיח כי אף פושע לא יסתובב חופשי ברחובות, וגם אי אפשר לזכות את כל הנאשמים, למרות שכך מובטח כי לא תשלל חירותו של אף אדם חף מפשע. השופט חייב לאמץ כלל החלטה לפיו יקבע לגבי כל נאשם האם הוא אשם או חף מפשע.

בכל מצב של קבלת החלטות חוזרת הסיטואציה הזו – כל החלטה עשויה להיות מוטעית, ונסיון להקטין את הסיכוי לטעות מסוג אחד מגדיל את הסיכוי לטעות מהסוג השני, ולהיפך. יש שתי אפשרויות להתמודד עם הבעיה הזו. הדרך הראשונה היא לאסוף יותר אינפורמציה. כאשר הצגתי את בעיית המשאית בקורס "מבוא לסטטיסטיקה" אותו לימדתי, טענו הסטודנטים, ובצדק, כי אפשר לסטות מעט שמאלה, לראות מה מצב התנועה בנתיב הנגדי, ואז לקבל את ההחלטה אם לעקוף או לא. עדיין יש סיכויים לקבלת החלטה מוטעית, אולם סיכויים אלה קטנים יותר בזכות האינפורמציה הנוספת שהושגה. באופן דומה, אפשר לקחת את הפטריות לבדיקה, לבקש חוות דעת מרופא נוסף, ולזמן עוד אנשים לעדות. אבל כל זה מקטין את ממדי הבעיה העקרונית, ולא פותר אותה. האפשרויות לטעות עדיין קיימות, וכך גם הסיכויים. ומה עושים כאשר לא ניתן לאסוף עוד אינפורמציה או שאיסוף אינפורמציה נוספת פשוט יקר מדי (במונחי זמן או כסף או בכל אופן אחר)?

שני סטטיסטיקאים, גרז'י ניימן ואגון פירסון, הציעו גישה אחרת לבעיה. הבה נקבע עבור אחת הטעויות האפשריות סיכוי לטעות שניתן "לחיות איתו", נניח 5%. עכשיו נסתכל על כל כללי ההחלטה האפשריים שבהם הסיכוי לטעות הוא 5%. האם יש בינהם כלל החלטה עבורו הסיכוי לטעות את הטעות מהסוג השני הוא מינימלי? בודאי. האם ניתן לאפיין את הכלל הזה? ניימן ופירסון הוכיחו שכן. האפיון של כלל ההחלטה האופטימלי ידוע בשם המתחייב "הלמה של ניימן ופירסון".

כדי להסביר את הלמה של ניימן ופירסון אגדיר מחדש את המושגים שבבסיסה.

שני המצבים האפשריים (הכביש פנוי או לא פנוי לעקיפה, הנאשם חף מפשע או אשם) נקראים "השערות". אחת ההשערות היא "ההשערה הבסיסית" או "השערת האפס", וההשערה השניה היא "ההשערה האלטרנטיבית". אציין כי בדרך כלל ההשערה הבסיסית היא המצב בו מקובל להאמין. כך למשל, מקובל כי כל נאשם העומד לדין הינו בחזקת חף מפשע עד שיוכח אחרת, ולכן בבית המשפט ההשערה הבסיסית אומרת כי הנאשם חף מפשע.  כיוון שכך, על המחליט למצוא כלל החלטה לפיו ידחה את ההשערה הבסיסית (ואז יקבל את ההשערה האלטרנטיבית) או שלא ידחה את ההשערה הבסיסית (ואז לא יקבל את ההשערה האלטרנטיבית), וכל זאת בהסתמך על אינפורמציה נתונה.

דחיה מוטעית של ההשערה הבסיסית מכונה לכן בפי הסטטיסטיקאים "טעות מהסוג הראשון", וההסתברות לדחיה מוטעית של ההשערה הבסיסית נקראת רמת המובהקות של כלל ההחלטה. קבלה מוטעית של ההשערה הבסיסית נקראת בפי הסטטיסטיקאים "טעות מהסוג השני". בדרך כלל מעניינת ההסתברות לא לטעות טעות זו, כלומר ההסתברות לא לטעות את הטעות מסוג השני. הסתברות זו לכן זכתה לשם מיוחד משלה: העצמה של כלל ההחלטה.

ובכן, הלמה של ניימן ופירסון מאפיינת את כלל ההחלטה האופטימלי – שהוא כלל ההחלטה בעל העצמה המקסימלית מבין כל כללי ההחלטה ברמת מובהקות נתונה.

ניימן ופירסון מציעים לחשב את ההסתברות P0 כי נצפה באינפורמציה שיש בידנו לו המצב האמיתי הוא מצב ההשערה הבסיסית, וכן את ההסתברות P1 לצפות באינפורמציה זו לו המצב האמיתי הוא מצב ההשערה האלטרנטיבית. כלל ההחלטה מורכב מהיחס של שתי הסתברויות אלה. אם היחס P1/P0 גדול מסף מסויים, נחליט כי המצב האמיתי הוא המצב המתואר כל ידי ההשערה האלטרנטיבית, כלומר נדחה את ההשערה הבסיסית. אם לא, אזי לא נדחה את ההשערה הבסיסית. את ערך הסף נקבע כך שלכלל ההחלטה שלנו תהיה רמת המובהקות (כלומר, הסתברות לדחיה מוטעית של ההשערה הבסיסית) הרצויה לנו. על פי הלמה של ניימן ופירסון, מובטח לנו כי כלל ההחלטה הינו בעל עצמה מקסימלית (כלומר ההסתברות לקבלה מוטעית של ההשערה הבסיסית היא מינימלית).

הלמה של ניימן ופירסון היא ככל הנראה המשפט השימושי ביותר בסטטיסטיקה. זה לא מפתיע, כיוון שתפקידה המרכזי של הסטטיטיקה הוא לאפשר קבלת החלטות בתנאי אי ודאות. ניימן ופירסון נתנו בידנו את הכלי לבניית כלל ההחלטה הטוב ביותר האפשרי.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 6 באוגוסט 2005 22:25, שם התקבלה תגובה אחת

חיים פ  בתאריך 5/29/2006 11:48:16 PM

לא ברור

לא הדגמת את הישום האחרון (שופט)
הבא נניח שאני יכול לבצע עקיפה מוצלחת בהסתברות של 99%
או בהסתברות של 98%
מהם פתרונות שמציעה הלמה?

הסקר הזה רץ כבר די הרבה זמן בדפי החדשות של אתר נענע. הוא מעורר מחשבות רבות, מהבחינה הפילוסופית מוסרית, ולסטטיסטיקה יש הרבה מה לומר גם בנושא הכללי הזה. רשימת היומן הזו היא מעין תזכורת עצמית למאמר שייכתב כאן, על שני סוגי הטעות האפשריים בתהליכי החלטה בכלל ובהחלטות סטטיסטיות בפרט.

בינתיים, אתם מוזמנים לחשוב על המשמעות של כל האחת מהאפשרויות.

עדכון: והנה המאמר שהובטח: בין שתי טעויות.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 19 בפברואר 2005 שם התקבלו 13 תגובות

הסטוריון מצעד המחץ  [אתר]  בתאריך 2/19/2005 2:25:50 PM

ברר… קשה

היד נוטה להתנגד קודם כל ל"חף מפשע אחד בכלא", אבל אז אני חושב על מאה האשמים שמסתובבים חופשיים ברחובות.
טוב שהמציאות היא קצת פחות בינארית מהסקרים האלה.

טלי  [אתר]  בתאריך 2/19/2005 2:33:03 PM

אי אפשר

לחשוב על המשמעות של כל אחת מהאפשרויות. כל מטרתם של סקרים היא למנוע מחשבה אמיתית, שנשענת על תמונת מציאות מלאה, ודורשת זמן, ופרטים, וניתוח, וכו'. הסקר מעצב מראש את התשובה – רק כן או לא – לפי הניסוח המצומצם והסלקטיבי של השאלה – ולא משאיר הרבה מרווח תמרון. זו סתם דמגוגיה.
מחכה למאמר שלך בנושא….

אלעד  בתאריך 2/19/2005 3:50:48 PM

ללא נושא

לדעתי עדיפים 100 חפים מפשע בכלא ואשם חופשי אחד.
עכשיו השאלה היא מי המאה ומי האחד.
אם זה אני בכלא אז לא – אבל אז האם אני כרוצה לשים חפים מפשע בכלא- אשם – אז ודאי שהייתי רוצה להיות ההוא שבחוץ יחד אתכם ובלי המאה.
מה אלו השאלות הללו?

אלון  בתאריך 2/19/2005 4:59:32 PM

סקרי אינטרנט

מה התוקף של סקרי אינטרנט, אם בכלל? המדגם חסר הגבלה שליטה ואקראיות.
**האם יש דרך לאתר קבוצת מדגם דרך האינטרנט היום או בעתיד?

מנשה  בתאריך 2/19/2005 5:39:49 PM

לטלי

זה נכון שהסקרים האלה רדודים ולא יורדים לעומק הדילמות הנגזרות מן השאלה. אבל הנקודה שהעלה כאן יוסי היא שונה במקצת.
אם נשכח לרגע שמדובר בסקר מטופש של נענע, יש כאן נקודה פילוסופית מעניינת, הן מהצד המוסרי (מוסרני) והן מצד המתמטיקה, ההסתברות ותורת קבלת ההחלטות.
ברור שלא הייתי מתייחס ברצינות יתרה לתוצאות הסקר הזה. זה מזכיר לי ראיון עם אתגר קרת שסיפר שראה באחד מאתרי האינטרנט סקר מהזן הזה שבראשו עמדה השאלה: "אתגר קרת?" ושתי אופציות בחירה "כן" ו-"לא"

נעם  בתאריך 2/19/2005 6:00:53 PM

ללא נושא

צריך תמיד להסתכל על הטוב המירבי לחברה ולכולם
ובמקרה הזה ברור שלחברה עדיך שיהיה חף מפשע אחד בכלא.
אי אפשר לעשות החלטות שמבוססות על טובת אדם אחד ופוגעות בשאר. ההחלטה המוסרית הזו לא קשה.
אבל ברור שצריך לעשות הכל כדי שיהיה צדק.

טלי  [אתר]  בתאריך 2/19/2005 7:34:58 PM

למנשה

גדול..

בעז   בתאריך 2/19/2005 7:52:22 PM

אני פה בשביל אתגר קרת

ואני מצביע "לא" רק אם מישהו יכול להגיד לי לא מה?
עד כמה שאני הבנתי הצבעתי
אתגר קרת
לא-מצחצח שיניים בשבת

יאן  בתאריך 2/20/2005 3:34:15 PM

שאלה לא פשוטה

יש כאן ניסיון לכמת דבר שאינו ניתן לכימות.
עקרונית מקובלת בחוק, מאז ימי הרומאים לפחות, הגישה שמוטב לשחרר אדם אשם מלהרשיע אדם חף מפשע. אני אישית מאמין בצדקת העקרון הזה וכן בתועלת שבהליכה לפיו, בסיכום הכולל.
אם כן נרשיע רק מי שאשם "מעל לכל ספק סביר" – אבל זו הגדרה סובייקטיבית, ועובדה שלעתים יורשע אדם ברוב של שני שופטים – בעוד השלישי חושבו לחף מפשע.
אם כן, צריך למתוח גבול במקום כלשהו, גבולו של הספק הסביר, שמצדו האחד מרשיעים אדם (לעתים חף מפשע) ומצדו האחר משחררים אותו (אף שייתכן שהוא אשם). השאלה בסקר של נענע היתה בעלת משמעות, לו היה ניתן לקבוע את הגבול מראש לפי רצוננו: למשל, לקבוע שרק אם יש סיכוי של 1 ל 100 לפחות שהאיש אינו אשם – יש לשחררו, ואם הסיכוי הוא 1 ל 101 – יש להרשיעו. אבל אין לנו כמובן כלים להעריך בצורה כה דייקנית את סיכוייו של אדם, בהינתן ראיות מסוימות כנגדו, להיות אשם.
לו ניתנה שאלה אחרת: איזה שופט עדיף, זה שטעה ב X אחוזים ממשפטיו, ובכולם שחרר אדם אשם, או זה שטעה במאית X אחוזים מתיקיו – ובכולם הרשיע אדם חף מפשע, אני חושב שהייתי מעדיף את השופט השני.

adamastor  בתאריך 2/20/2005 8:14:20 PM

undercostraction

What is left is undercostraction of any human missinterpretation of a pole, taken under no concideration to be concidered by the the duality that does not exist in this case. loving is a blame both the guilty and the inocent share in corecpondence to one or more philosophers of any moral issue to be neglected by the standing point of time.

menashe  בתאריך 2/20/2005 10:15:04 PM

Is that

a post, or sheer poetry?

צב מעבדה  בתאריך 4/30/2005 8:01:13 AM

מי שלא עושה לא טועה

אני מעתיק לכאן את התגובה שלי מהאייל הקורא ומוסיף עליה.
נראה לי שאפשר להתייחס לשאלה הזאת כמו להרבה שאלות אחרות שהתוצאה שלהן היא עונש מוות.
האם עדיף להשבית את כל התחבורה רק בגלל ש 600 איש נהרגים כל שנה בתאונות דרכים? (זה היה רק אומדן, אל תקפצו עלי בגלל שהרגתי כמה בלי שהגיע להם).
האם כדאי להפסיק את פעולת מערכת הבריאות רק בגלל שרופאים הורגים בשגגה חולים? (גם זה קורה)
האם כדאי להפסיק לבנות גשרים ומבנים רק בגלל שמדי פעם אחד נופל בגלל שגיאה של מהנדס?
האם כדאי להפסיק להשתמש במליון ואחד דברים שמצילים חיים רק בגלל שמדי פעם הם מתקלקלים ופוגעים בחפים מפשע?
לעניות דעתי הדלה בידע משפטי או אתי, ההבנה שמי שלא עושה לא טועה היא חלק מובנה מחיינו הלכה למעשה. במובן הזה שופטים לא יוצאים מן הכלל וגם הם יכולים לטעות.
שיחרור של רוצח על כל ספק קל שבקלים שקול לכך שאנחנו מהיום נגור רק בבית עם קומה אחת וקירות בעובי שלושה מטרים, שניסע במהירות שלא עולה על ארבעה קמ"ש ושהטיפול הכי מסוכן שהרופא יתן לנו יהיה לשים לנו פלסטר.
כל אלו ביחד משמעותם הפשוטה היא אי שימוש.
מי שטוען שעדיף לשחרר מאה רוצחים מאשר לכלא חף מפשע אחד ובכל זאת נותן לשופטים לשפוט בעצם מייחס להם תכונות על אנושיות וחי במנותק למציאות כי כל מי שעושה טועה.

יעקב.רוימי  [א

תר]  בתאריך 6/3/2006 6:20:01 AM

ללא נושא

כול המיתחסדים אני רוצה ליראות את אלה הככמים שרק מגיבים ושולפים תשובות מהמותן חצי יום בכלא לא בכלא במעצר לפי התגובות של רובכם גם עשר דקות לא היתם מחזקים.ועוד חפים מפשע היתם תולים את עצמחם מניסיון של שנים ים של חפים מפשע יושבים בבתי כלא ובמעצר אז שבו בשקט ותנולמערכת המישפטית לעבוד כי לא יעזור כלום שורה תחתונה כולם אים לא רובם נוכלים עורכי דין שופטים תן לי ואתן לך.