נסיכת המדעים

החידה הזו הועלתה בפורום המתמטיקה של תפוז. אני מביא אותה לכאן. נשמע מה דעתכם

באוניברסיטה יש 500 תלמידים הלומדים קורס מסויים. לכן נפתחו ארבע קבוצות הרצאה לקורס זה. התברר כי ל-3 קבוצות נרשמו 100 סטודנטים לכל אחת, ולקבוצה הרביעית נרשמו 200 סטודנטים. הנהלת האוניברסיטה דיווחה כי בכל קבוצה יש בממוצע 125 סטודנטים, על פי החישוב:

הסטודנטים טענו כי מספר הסטודנטים הממוצע לכיתה גבוה יותר: אם נשאל כל סטודנט כמה סטודנטים יש בקבוצה שלו, 200 מהם יענו "200" ו-300 מהם יענו "100". לכן מספר הסטודנטים הממוצע הוא:

אז מי צודק?

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 27 בדצמבר 2004  שם התקבלו 3 תגובות

עומרון  בתאריך 12/27/2004 10:59:39 AM

אני כנראה ממש אהבל

אני לא מבין למה זה מעניין מה יגידו הסטודנטים ומה זו המכפלה הזו.
סופרים את כמות הסטודנטים ומחלקים בארבע.
(זה מה שלימדו אותי בבית ספר)

עומרון  בתאריך 12/27/2004 11:01:21 AM

אגב,

אם תשאל את אותו מספר סטודנטים בכל כיתה כמה תלמידים בכיתה שלהם ותחשב באותו האופן – תגיע ל-125.
נראה לי (באמת לא מבין בזה) שכשאתה שואל את הסטודנטים כולם אתה מטה את המדגם (יכול להיות?????)

בתאריך 12/27/2004 12:26:25 PM

ואם…

יהיו 10 קבוצות,
9 של סטודנט אחד ואחת של 491
אז הנהלת האוניברסיטה תרחץ כפיה בממוצע של 500/10
כלומר 50 סטודנטים לקבוצה.
אבל הרוב המוחלט של הסטודנטים יהיו תקועים בקבוצה ענקית.
המממ…

והנה עוד דוגמא שמספקת הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לתופעת המנהל והפועלים – איך מדד למיקום מרכזי של הנתונים אינו מגלה את כל האמת על התפלגותם.

אתמול הודיעה הלשכה על הצמיחה שהפגין המשק בתחילת שנת 2004, זמן קצר אחרי פרסום תוצאות הסקר החברתי שהתריע על הקשיים הכלכליים הגוברים והולכים בקרב חלק מהאוכלוסייה. אז טוב או רע? התשובה הלא מפתיעה: בממוצע טוב, אבל לחלק טוב מאוד, ולחלק ממש לא. והיטיב לנסח זאת אברהם טל (!) הבוקר בהארץ: "עלייה של 2.3% ברמת החיים לנפש מסתירה את המציאות העגומה, שבה חלק מהאוכלוסייה שיפר את רמת חייו באופן משמעותי, ואילו מצבו של חלק אחר – שכבות המצוקה ומובטלים – לא השתנה כלל, ואפשר שהורע".

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 17 באוגוסט 2004 09:43 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה שם התקבלו 2 תגובות

כמעט כל מי שלמד סטטיסטיקה במסגרת כלשהי (קורס מבוא, או אפילו בבית הספר) שמע על דוגמת "המנהל והפועלים". במפעל מסויים, השכר הממוצע לעובד הוא 5500 ש"ח בחודש. יפה, לא? אבל עיון מפורט יותר בנתוני השכר מגלה כי בין 50 עובדי המפעל, 49 הם פועלים המשתכרים שכר מינימום של 3500 ש"ח לחודש. המנהל, לעומת זאת, לוקח הביתה כל חודש משכורת קצת יותר גבוהה.
ובכן, כיום אין צורך לבדות דוגמאות כאלה. הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מפרסמת באופן קבוע את נתוני השכר. הנה מבחר נתונים מנתוני חודש מאי 2004 שפורסמו לפני ארבעה ימים:
*  שכרם הממוצע של 2.381 מיליון שכירים ישראלים היה 6915 ש"ח .
* שכרם הממוצע של 61.2 אלף עובדים זרים היה 3980 ש"ח.
* שכרם הממוצע של 260 עובדים מיהודה שומרון ועזה לא פורסם בהודעה זו.
ועכשיו מתחיל החלק המעניין: מבין השכירים הישראלים – 65.4% השתכרו "מעל מחצית השכר הממוצע", והשכר הממוצע בקבוצה זו היה 9097 ש"ח. לעומת זאת 27.4% השתכרו "עד מחצית השכר הממוצע", והשכר הממוצע בקבוצה זו היה 1921 ש"ח בלבד. (יוצא ש-7.2% השתכרו בדיוק את השכר הממוצע).
מחצית השכר הממוצע היא 3457 ש"ח. אם כן, ממוצע שכרם של אלה שהשתכרו סכום זה או פחות הוא 1921 ש"ח, שזה בערך אמצע הטווח (הממוצע של הנתון המינימלי והנתון המקסימלי) של התחום 0 עד 3457 (אמצע הטווח הוא (0+3457)/2=1729 ש"ח). אמנם שכר המינימום בישראל הוא כ-3300 ש"ח, ולכן צפוי שממוצע השכר גם בקרב בעלי השכר הנמוך יהיה גבוה משכר המינימום, אך אין זה מתפקידה של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לאכוף את החוק (וכן, אני יודע שיש אנשים העובדים במשרות חלקיות, אבל הממוצעים הם למשרה, לא לעובד). מה זה אומר על ההתפלגות של הנתונים האלה? עושה רושם שהם אחידים למדי. בקבוצת הפועלים אין מנהל שמושך את השכר הממוצע כלפי מעלה. לא מפתיע.
לרוע המזל, הלשכה לא מספקת לנו מידע רב על הקבוצה השנייה, בני המזל שמרוויחים יותר ממחצית השכר הממוצע , כלומר "שכר מינימום פלוס" (3457 ש"ח) ומעלה. הנתון היחיד הוא שהשכר הממוצע בקבוצה זו הוא 9091 ש"ח. כאן כמובן, יש ויש בעלי שכר גבוה המושכים את הממוצע למעלה. לו היה הממוצע בקבוצה שווה בערך לאמצע הטווח (כמו בקבוצת בעלי השכר הנמוך), היינו מקבלים כי השכר המקסימלי בקבוצה זו הוא קצת פחות מ-15000 ש"ח. אבל אנחנו יודעים שלא כך הדבר.  אמצע הטווח הוא הרבה יותר גבוה. להתפלגות של השכר יש זנב ארוך ודק.
מה מטריד אותי בכל הסיפור הזה? הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מעסיקה כמה מהסטטיסטיקאים המוכשרים ביותר בארץ (אני מכיר באופן אישי כמה מהם – חלקם למדו איתי, חלקם היו סטודנטים שלי). אין לי ספק שנתוני השכר נאספו ועובדו באופן המקצועי ביותר, ושלא נעשתה כאן אף טעות מתודולוגית. אבל שהגיעה העת להציג את הנתונים, הדבר נעשה באופן מזלזל ומחפיר. הציון להודעה לעיתונות הוא "נכשל". בהצגת נתונים, ממוצע וחלוקה לשתי קטגוריות לא הומוגניות מציגות תמונה מעוותת. קצת אינפורמציה על פיזור הנתונים הייתה יכולה לחשוף הרבה. מהו השכר החציוני? מהו הרבעון העליון? מה סטיית התקן של השכר? אולי תצרפו איזו היסטוגרמה של ההתפלגות? הנתונים האלה פשוט אינם – לא בהודעה לעיתונות, וגם אינם נמצאים ב"ירחון הסטטיסטי לישראל" שמפרסמת הלשכה.

פורסם ב 8 באוגוסט 2004 00:00 במדור מה אומרת הסטטיסטיקה | 2 תגובות

משהו מישהו  בתאריך 8/8/2004 8:31:07 PM

ומכל זה

אתה חי? איזה שעמום!

שמאש  בתאריך 8/9/2004 9:40:19 PM

חשוב מאוד מה שכתבת

ומסתדר יפה עם המדיניות הכללית שמשחקת לידי אלה שיש להם על גבם של אלה שחסר להם.

והמשהו מישהו שהגיב כאן מעלי – הוא כנראה לטובת אלה שיש להם ומתנגד לכך שכולם יראו.

התכנים הם חברתיים – יותר מאשר סטטיסטיים. המשהו מישהו הזה – רק מעמיד פני טיפש.