נסיכת המדעים

לפני כשנה העליתי כאן את החידה על הילדה ששמה יוספה:

במשפחת תפוחי שני ילדים. נתון לנו שאחד מהילדים האלו הוא (היא) בת, ושמה של אותה בת למשפחת תפוחי הוא יוספה. מהי ההסתברות כי גם הצאצא הנוסף של משפחת תפוחי היא בת?

הפתרון, למעוניינים, נמצא כאן.

מה שמעניין בכל הסיפור הזה הוא שהאינפורמציה בדבר שמה של הילדה הנחמדה הזו משנה את התשובה לשאלה שנשאלה, גם אם לכאורה הנתון לא נראה רלוונטי. אותה החידה, ללא הנתון על שמה של הילדה, הועלתה בבלוג של דוברמן (שאינו פעיל, למרבה הצער, תקופה ארוכה למדי), והפתרון שונה (בערכו המספרי, לא ממש בדרך הפתרון).

ומדוע אני נזכר בכל זה? היום ראיתי בבלוג של ויליאם בריגס גירסה אחרת לחידה הזו:

במשפחה יש שני ילדים, אחד מהם הוא בן, והוא נולד ביום שלישי. מה ההסתברות כי גם הילד השני במשפחה הוא בן?

התשובה, באופן לא מפתיע, שונה משתי התשובות לחידות שצוטטו כאן.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• הרצאתו של נוגה אלון על חשיבה הסתברותית
• ילדה ושמה יוספה
• הכוכב, הסמים והכומר
• חוק המספרים הגדולים
• בעיית מונטי הול חוזרת

השאלה הזו נשאלה כאן בשבוע שעבר: במשפחה יש שני ילדים. אחד הילדים הוא בעצם ילדה ששמה יוספה. מה ההסתברות כי זו משפחה ובה שתי בנות?

לפני שנגיע לפתרון של החידה הזו, בואו נענה על כמה שאלות פשוטות יותר.

השאלה הראשונה שנענה עליה היא זו: במשפחה יש שני ילדים. מה ההסתברות כי זו משפחה ובה שתי בנות?

הפתרון הנאיבי יאמר כי יש ארבע משפחות אפשריות בנות שני ילדים:

• הילד הראשון הוא בן, והשני בן (בקיצור: בן-בן)
• הילד הראשון הוא בן, והשני בת (בקיצור: בן-בת)
• הילד הראשון הוא בת, והשני בן (בקיצור: בת – בן)
• הילד הראשון הוא בת, והשני בת (בקיצור: בת – בת)

לכן, יש ארבע משפחות אפשריות, ורק אחת מהן (בת-בת) היא משפחה שבה שתי בנות, ולכן ההסתברות היא אחת לארבע, כלומר רבע.

מה נאיבי בפתרון הזה? הפתרון הזה מניח כי לכל הרכבי המשפחות הסתברויות שוות. אולי משפחות של שני בנים נפוצות יותר באוכלוסיה ממשפחות של בת-בן, למשל? כדי לדעת, צריך לערוך רשימה של כל המשפחות האלה, ולספור כמה משפחות יש מכל סוג. זה כמובן לא ממש מעשי.

העובדה שהפתרון הראשוני הוא נאיבי לא אומרת שהוא לא נכון. הוא נכון בתנאים מסויימים. הפתרון הנאיבי הזה מבוסס על מודל, כלומר הוא בונה תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדוייק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שלנו. על כך כבר אמר ג'ורג' בוקס (מספר 14 ברשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים שלי): "Essentially, all models are wrong, but some are useful". כל המודלים שגויים, אך חלקם שימושיים.

כדי להשתמש במודל צריך להצדיק אותו. אי אפשר לבוא ולומר "יש ארבע תוצאות אפשריות, ולכן לכל תוצאה יש הסתברות רבע". לא כל המאורעות קורים בהסתברויות שוות. מה ההסתברות כי בחודש אוגוסט הקרוב ירד שלג בתל-אביב? יש שני מאורעות אפשריים: או שירד שלג, או שלא. אבל אף אחד לא יטען כי הסיכויים הם 50:50.

את המודל שלנו למשפחות בנות שני ילדים אפשר להצדיק. אפשר לטעון, ובצדק, כי בכל לידה יש סיכוי של 50% כי הנולד יהיה בן, וסיכוי של 50% כי תיוולד בת. זה בערך נכון. שיעור לידות הבנים גבוה מעט משיעור לידות הבנות, הטבע מאזן את זה על ידי שיעור מעט יותר גבוה של תמותת תינוקות זכרים. זה לא בדיוק נכון, אבל כאמור מדובר כאן במודל, כלומר בתיאור מקורב של המציאות. השלב הבא בטיעון להצדקת המודל יאמר כי מאחר והסיכוי כי הילד הראשון במשפחה  הוא חצי, והסיכוי כי הילד השני במשפחה הוא גם כן חצי, אז הסיכוי כי שני הילדים הם בנים הוא 0.5×0.5=0.25. באופן דומה ניתן לחשב כי ההסתברות של כל אחד מההרכבים האחרים של משפחות עם שני ילדים היא גם כן 0.25. למה מכפילים את ההסתברויות? כאן מסתתרת ההנחה השניה של המודל, לפיה אין תלות בין מינו של הילד הראשון במשפחה ומינו של הילד השני במשפחה. על פי הנחה זו, המקרה של אבו-אל-בנאת, אותו אב קולנועי לתשע בנות הוא רק ביש מזל, אירוע נדיר (1 ל-512) שהתגשם, ואינו משקף חוסר גבריות כלשהי אצל שבתאי אלפנדרי (ששייקה אופיר גילם את דמותו בכשרון רב). האם זו הנחה סבירה? הנתונים הסטטיסטיים מאשרים שכנראה שכן (אין לי מקור להפנות אתכם, אני מתבסס על זכרון קלוש שאומר לי שראיתי פעם נתונים כאלה).

אה, ויש עוד עניין קטן: המודל שלנו מתעלם מלידות תאומים. ההנחה של אי התלות בין המינים של שני הילדים אינה נכונה במקרה של תאומים זהים. אם אחד משני תאומים זהים הוא בן, אז השני גם חייב להיות בן. זו יכולה להיות בעיה מסויימת, והיא תתבטא בכך שהתשובות לשאלות שאנו שואלים לא יהיו מדוייקות. כמו שג'ורג' בוקס אמר – כל המודלים שגויים. בכל מקרה, אני מטאטא את עניין התאומים אל מתחת לשטיח, ונשאר במודל שמתאר בצורה טובה את המשפחות שבהן יש שני ילדים שאינם תאומים.

בסיכומו של הדיון עד כה הגענו למסקנה כי במשפחה בת שני ילדים, הסיכוי כי שני הילדים הם בעצם שתי בנות הוא רבע.

עכשיו נעבור לחידה שפרסם דוברמן: ידוע כי במשפחה שבה שני ילדים, אחד הילדים הוא בעצם בת. מה ההסתברות כי שני הילדים הם בעצם בנות?

התשובה שרוב האנשים שולפים מהמותן היא 50%. הטיעון הוא כזה: ידוע לנו שיש בת אחת. לגבי הילד השני – או שהוא בן או שהוא בת. אנו יודעים (או מניחים, על פי המודל שתואר קודם) כי בכל לידה הסיכוי ללידת בת הוא 50%, וגם כי אין תלות בין המינים של שני הילדים. לכן עצם העובדה שידוע לנו המין של אחד הילדים לא משנה את ההסתברות כי הילד השני הוא בת.

התשובה הזו היא תשובה נכונה, אבל לא לשאלה שנשאלה אלא לשאלה אחרת. הבעיה הטיעון שהוצג היא שיש בו הנחה סמויה, לפיה ידוע מי משני הילדים הוא הבת. אילו הייתה השאלה מנוסחת כך: "ידוע כי במשפחה שבה שני ילדים, הילד הבכור הוא בעצם בת. מה ההסתברות כי שני הילדים הם בעצם בנות?", אז התשובה היא אכן 50%, בדיוק לפי הטיעון שבפיסקה הקודמת, אבל זו לא השאלה שנשאלה. בנתוני השאלה שנשאלה, אחד הילדים הוא בת, אבל לא ידוע לנו אם זהו הילד הראשון במשפחה או הילד השני. חוסר הידיעה משנה את התשובה. מי שכבר קרא את הפתרון אצל דוברמן יודע שהתשובה הנכונה היא שליש. הטיעון שדוברמן הציג הוא כזה: מראש יש ארבעה סוגי משפחות אפשריים, אבל כיוון שידוע לנו כי אחד הילדים הוא בת, המאורע בן-בן שוב אינו רלוונטי. לכן נותרו לנו שלושה מבני משפחה אפשריים (בן-בת, בת-בן ו-בת-בת), ורק באחד מהם יש שתי בנות במשפחה, ולכם הסיכוי הוא אחד מתוך שלוש, כלומר שליש.

הפתרון הזה הוא (שוב) פתרון נאיבי, שמניח באופן משתמע (implicit) את המודל שתיארתי קודם לכן. הוא עובד כי המודל מתאים, אבל אם ההנחות של המודל אינן מתקיימות, גם הפתרון אינו נכון. תחשבו למשל על השאלה הבאה. ידוע כי לפחות באחת משתי הערים תל-אביב ושיקגו ירד שלג בתאריך מסויים בחודש ינואר האחרון. תעמידו פנים שאתם לא יודעים ולא יכולים לברר מה היה מזג האויר בשתי הערים האלה, אבל אתם כן יודעים שההסתברות לשלג בשיקגו בינואר היא 90% ובתל-אביב (נניח) אחוז אחד. מה ההסתברות שבשתי הערים האלה ירד שלג באותו היום? בואו נניח כי אין תלות בין מצבי מזג האויר בשתי הערים. נסכם את כל המצבים האפשריים וההסתברויות המתאימות בטבלה:

אם לא ידוע לנו כלום, אז ההסתברות כי יש שלג בשתי הערים היא 0.009, לא 0.25. אם ידוע לנו כי ירד שלג בשיקגו, אז ההסתברות שירד שלג בתל-אביב היא 0.01 – למעשה הידיעה על מזג האויר בשיקגו לא משנה כלום בגלל אי התלות ביו מצבי מזג האויר בשתי הערים.

אם נתון לנו כי באחת משתי הערים היה שלג (אך לא ידוע לנו באיזו עיר), הנה השיקול שעלינו לעשות כדי לענות לשאלה. ההסתברות שירד שלג לפחות באחת משני הערים היא 0.901. ניתן להגיע לתוצאה זו בשתי דרכים. ניתן לחבר ההסתברויות בשלוש השורות הראשונות שבטבלה (שלג-שלג, שלג-אין שלג, אין שלג-שלג) ולקבל 0.009+0.001+0.891=0.901, או להחסיר את ההסתברות של השורה האחרונה (אין שלג-אין שלג) מ-1, ולקבל באופן לא מפתיע כי 1-0.099=0.901. כלומר, ב-90.1% מהמקרים יורד שלג לפחות באחת משתי הערים. לעומת זאת, רק ב-0.9% מהמקרים יורד שלג בשתי הערים. לכן ההסתברות שיורד שלג בשתי הערים כאשר נתון כי באחת מהן יורד שלג היא 0.009 חלקי 0.901 שזה בערך 0.00998.

אינטואיטיבית ניתן להסביר את התוצאה הזו כך: אם נסתכל על אלף ימים, ב-901 מהימים ירד שלג לפחות באחת משתי הערים (באופן תיאורטי), אך רק בתשעה מהם ירד שלג בשתיהן. לכן ההסתברות המבוקשת היא 9/901.

אם נחזור לחידת המשפחה, ההסתברות שבמשפחה יש לפחות בת אחת היא 0.75 (רבע ועוד רבע ועוד רבע), וההסתברות כי במשפחה שתי בנות היא 0.25, ולכן אם ידוע כי אחד הילדים הוא בעצם בת, ההסתברות שבמשפחה יש שתי בנות היא 0.25 חלקי 0.75 כלומר שליש. באופן אינטואיטיבי, אם נניח כי יש בדיוק 1000 משפחות בנות שני ילדים, אז ב-750 מהן יש לפחות בת אחת, וב-250 יש שני בנים (שוב באופן תיאורטי). מתוך 750 המשפחות שבהן יש בת אחת לפחות, יש 250 משפחות עם שתי בנות, ולכן ההסתברות המבוקשת היא 250/750.

מה קורה עם יוספה? יוספה משנה את מרחב המצבים שלנו. עכשיו יש לנו לא ארבעה טיפוסי משפחות, אלא תשעה, וההסתברויות כבר לא זהות.

בואו נחזור למודל הבסיסי של לידת יחיד. על פי המודל, יש סיכוי של 0.5 כי הנולד הוא בן. כמובן, הסיכוי כי הנולד הוא בת גם הוא 0.5, אבל עכשיו המקרה של לידת בת מתחלק לשני מקרים: המקרה שבו לבת לא קוראים יוספה, והמקרה בו ההורים הגאים בחרו לביתם את השם הלא כל כך נפוץ הזה.  מה ההסתברות לשם יוספה? ההסתברות קטנה, אבל בכל זאת חיובית. יש כמה יוספות שמתהלכות ביננו. נסמן את ההסתברות הזאת באות היוונית ε. מי שזה מפריע לו, יכול לבחור סתם מספר קטן, נניח 0.0000001. ההסתברות לבת ששמה לא יוספה היא לכן 0.5 פחות ε. בואו נכתוב את כל המשפחות האפשריות בטבלה, יחד עם ההסתברויות:

סימנתי בטבלה את השורות שמציינות את המשפחות שבהן יש ילדה ושמה יוספה, ואת השורות שבהן יש ילדה ושמה יוספה ושתי ילדות בסך הכל. שימו לב כי יש גם משפחה אפשרית שבה לשתי הילדות קוראים יוספה. זה לא מציאותי, תגידו. נכון. אבל זו לא המציאות, אלא רק מודל שמתאר את המציאות. בכל מקרה, ומאר והנחנו כי ε הוא מספר קטן, הרי ש- ε בריבוע הוא מספר הרבה יותר קטן, ובאופן מעשי הוא אפס. מכאן דרך החישוב פשוטה. עלינו לסכם את שלוש ההסתברויות של שלוש המשפחות האפשריות שהן שתי בנות בסך הכל וגם ילדה ושמה יוספה. אחר כך עלינו לסכם את חמש ההסתברויות של חמש המשפחות האפשריות שבהן ילדה בשם יוספה. ולסיום, עלינו לחלק. הנה החישוב:

אז התשובה היא בערך חצי אם ε הוא מספר קטן.

שימו לב שהגישה הנאיבית לא מדוייקת, אך בכל זאת נותנת תשובה נכונה! הגישה הנאיבית תגיד שאם ידוע שיש במשפחה יוספה אחת, אז יש לנו בסך הכל ארבע אפשרויות: יוספה-בת, יוספה-בן, בת-יוספה ובן-יוספה, ומתוכן יש שתי אפשריוית של שתי בנות במשפחה, ולכן ההסתברות היא 2 חלקי 4, כלומר חצי. הסיבה לכך היא שלמרות שההסתברויות לארבע האפשרויות שונות זו מזו, הן כולן קרובות יחסית ל-0.25, בגלל שהשם יוספה נדיר ו-ε קטן. אם הייתי בוחר שם פופלרי יותר התשובה הייתה הולכת ומתרחקת מחצי.

ולסיום: תודה לכל מי שניסה לפתור ושלח לי את הגיגיו. הפותר היחיד הוא יואב בילינסקי.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• מה באמת קורה בלוטו הבולגרי?
• ילדה ושמה יוספה
• 3 ספרים חדשים (בספריה שלי)
• הכוכב, הסמים והכומר
• בעיית מונטי הול חוזרת

דוברמן העלה את החידה הקלילה הזו בבלוג שלו:

במשפחת תפוחי שני ילדים. נתון לנו שאחד מהילדים האלו הוא (היא) בת. מה ההסתברות שלמשפחת תפוחי יש שתי בנות?

אם אתם יודעים את התשובה, שלחו את התשובה אליו, ונסו לפתור את חידת ההמשך:

אם אספר לכם כי שמה של אותה בת למשפחת תפוחי הוא יוספה, אז מהי ההסתברות כי גם הצאצא הנוסף של משפחת תפוחי היא בת?

את הפתרון לחידה זו שלחו אלי. אנא המנעו מכתיבת התשובה בתגובות.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• 3 ספרים חדשים (בספריה שלי)
• מה ההגיון בשיטת הניקוד של הטניס?
• בדיחות בלתי מובנות
• מה באמת קורה בלוטו הבולגרי?
• מעטפת מזומנים מחליפה ידיים בחדר אפל