נסיכת המדעים

תקציר הפרקים הקודמים: ארגון אמון הציבור מגלה טעות בסיכויי הזכיה שפורסמו באתר מפעל הפיס. מפעל הפיס מתקן את הטעות. אחד המהמרים, שהוא גם ד"ר למתמטיקה, תובע את מפעל הפיס בסכום של 3.2 מליון שקלים + 5 מליון שקלים כפיצוי על עגמת הנפש.

ובכן, לאחר שאומתו סיכויי הזכיה במשחק פיס 123 המפורסמים כעת באתר מפעל הפיס, ניתן לגשת לחישוב תוחלת הזכיה והערכת סיכויי התביעה הייצוגית.

כאשר ידועים סיכויי הזכיה וגובה הפרסים וההפסדים, החישוב הוא פשוט: מכפילים כל זכיה/הפסד בהסתברות שלה, ומסכמים.

למשל, הסיכוי לזכות בפרס הראשון במשחק המשולב הוא 1 ל-1000, או 0.001. מי שמהמר על שקל יקבל כפרס 100 שקלים, ולכן סך הרווח שלו הוא 99 שקלים. מכפילים 99 ב-0.001 ומקבלים 0.099. כל עושים לגבי שאר הפרסים, כמפורט בטבלה, ולבסוף יש לסכם את כל המכפלות.(נתוני יחס הזכיה ומכפיל הזכיה לפרסים 1 עד 4 שבטבלה נלקחו מאתר מפעל הפיס):

השורה התחתומה אומרת כי על כל שקל הימור, מפעל הפיס מרוויח (והמהמרים מפסידים) 41.8 אגורות, ובמלים אחרות, מפעל הפיס לוקח לקופתו 41.8% מכספי ההימורים ומחלק למהמרים 58.2% מהכספים כפרסים. אל תסמכו עלי. אנא בדקו את חישוביי.

לאחר שצלחנו את החלק הטכני המשעמם הזה, הבה נעבור לניתוח סיכויי הזכיה של הד"ר למתמטיקה בתביעה הייצוגית שלו.

התובעים, כך פורסם, הציגו שתי טענות:

הטענה הראשונה היא כי מפעל הפיס הציג באתר האינטרנט שלה שסיכויי הזכיה בפרס השני הם 1:200, אולם לפי חישוביהם, הסיכוי לזכות בפרס השני הוא למעשה 1:500. את הטענה הזו אפשר לבדוק. אני חושב שכולם כבר מסכימים על כך שסיכויי הזכיה בפרס השני הם לא 1 ל-200 וגם לא 1 ל-500, אלא 1 ל-240 (בערך).

הטענה השניה היא כי לפי מפעל הפיס, תוחלת ההגרלה 123 משולב אמורה להיות בשיעור של 60.34%, כלומר 60.34% מכספי ההימור מחולקים כפרסים, אולם בפועל, כך נטען בתביעה, תוחלת ההגרלה הינה בשיעור של 58.2% בלבד (כפי שהראה החישוב שערכתי למעלה).

קודם כל, לא ברור לי איך חישוב הסתברות שגוי הוביל לחישוב תוחלת נכון. ייתכן כי חישוב ההסתברות היה נכון (בכל זאת ד"ר למתמטיקה) אולם לכתב התביעה, או להודעה לעיתונות, או לכתבה השתרבב מספר שגוי.

התובעים הנכבדים צריכים, אני מניח, להוכיח כי הפרסום השגוי נעשה בזדון ומתוך כוונה להטעות את המשקיעים המהמרים התמימים. האם יצליחו התובעים להוכיח זאת? איני יודע.

אבל הטיעון העיקרי שלי, ואני מקווה שגם של ההגנה, הוא: אז מה? ונניח שפורסם מספר שגוי, והתוחלת אכן נמוכה ממה שפורסם. האם בפועל הייתה התוחלת שונה? כללי המשחק היו נתונים, ובהנתן הכללים נקבעת התוחלת. הנזק היחיד שעלול להגרם בפועל הוא הנזק למהמר שנכנס לאתר ואמר לעצמו: "וואו, תוחלת של 60.3%! אני הולך על זה! זו לא סתם הגרלה מעפנה שנותנת רק 58.2%!". כמה מהמרים כאלה היו? על כמה כסף הם הימרו? אחרי שנדע את הנתון הזה, נוכל להעריך את הזנק שנגרם להם: 2.1% מסך הסכום שעליו הם הימרו. ההימור שלי הוא כי סך הסכום הזה הוא אפס, או כמעט אפס.

אז מה סיכויי הזכיה? לא רעים בכלל. השופטים, אנשים טובים ומקצועיים אמנם, אבל רובם לא מבין בסטטיסטיקה, פשוט כי ההכשרה שניתנת לתלמידי הפקולטה למשפטים בתחום הזה מזערית. לשקר בעזרת סטטיסטיקה אפשר גם אפשר, וייתכן מאוד שיימצא שופט שישתכנע מהטיעונים.

אני אמשיך לעקוב.

עוד לא נרגענו מההמולה סביב האירוע ה-"נדיר" בו התקבלו בהגרלת הלוטו אותם המספרים שהתקבלו באחת ההגרלות הקודמות, והנה הופיעה לה "שערוריה" חדשה סביב הגרלות מפעל הפיס. הפארסה הנוכחית הגיע לשלב בו מהמר המציג את עצמו כדוקטור למתמטיקה הגיש תביעה יייצוגית נגד מפעל הפיס.

אבל בל נקדים מוקדם למאוחר. הנה השתלשלות העניינים, כפי שהצלחתי לעקוב אחריה בשבוע האחרון:

• ארגון הצרכנים העצמאי/פרטי "אמון הציבור" טען כי מפעל הפיס הציג מצג שווא מתמשך בפרסום שלו בעניין סיכויי הזכייה במשחק "3 2 1 משולב". לפי תלונת צרכן לארגון - סיכויי הזכייה בפרסי המשחק נמוכים מאלו המפורסמים באתר הפיס. (ידיעות על כך ראיתי בווינט ובדה-מרקר). כמו כן נטען כי תוחלת  הזכיה שפורסמה באתר נמוכה מתוחלת הזכיה בפועל.
• לפי הידיעות, הסטטיסטיקאי של מפעל הפיס (לא נמסר מי האיש) אישר כי חלה טעות בפרסום, ובשלב כלשהו מפעל הפיס תיקן את הפרסום באתר. לדעת ארגון אמון הציבור, משך הזמן שעבר עד תיקון הנתונים היה ארוך מדי.
• בינתיים, צרכן זריז, המעיד על עצמו כי הוא מהמר במשחק המדובר בסכום של מאות שקלים לחודש, הגיש תביעה ייצוגית נגד מפעל הפיס בסך של 3.2 מליון שקלים. התובע גם העיד על עצמו כי הוא דוקטור למתמטיקה (לא נמסר שמו של האיש).

התייחסתי לכל העניין בגיחוך מה. בטוויטר הזהרתי את אותו מהמר/מתמטיקאי/תובע כי שייזהר, האוניברסיטה עלולה לתבוע ממנו להחזיר את הדוקטורט.

בואו ננסה להבין מה קורה כאן.

מדובר בהימור המכונה "פיס 123". המפעל מגריל מספר בן 3 ספרות, החל מ-000 ועד 999. יש 1000 מספרים כאלה. המהמר מנסה לנחש את המספר.

ההימור הפשוט ביותר הוא מסוג "הכל או כלום". אם ניחשת בדיוק את המספר שהוגרל – זכית. יש כאמור 1000 מספרים אפשריים שעשויים לעלות בגורל, ולכן סיכוי הזכיה הוא 1 ל-1000. במקרה של זכיה, הזוכה מקבל סכום הגדול פי 600 מסכום ההימור (באתר מפעל הפיס מכונה סכום ההימור בביטוי הציני "סכום ההשקעה").

תוחלת הזכיה שלילית כמובן: בטווח הארוך המהמר מפסיד ומפעל הפיס מרוויח. אפשר להסביר זאת באופן הבא: מהמר "מתוחכם", יהמר סכום של שקל אחד כל אחת מ-1000 התוצאות האפשריות (ב"השקעה" של 1000 שקלים), יפסיד את כספו ב-999 מהימוריו, ובהימור ה-1000 יקבל 600 שקלים. בסופו של יום, אותו מהמר הפסיד בסך הכל 400 שקלים.

כאמור, המהומה התקשורתית והמשפטית מתחוללת סביב משחק מעט יותר מסובך. ב"משחק המשולב", ניתן, בין היתר,  לזכות בפרס גם אם המספר עליו מהמרים אינו זהה למספר שעלה בגורל, בתנאי שההימור היה על אותן הספרות של המספר שעלה בגורל, בסדר שונה. לדוגמא, מי שיהמר על המספר 123 יוכל לזכות בפרס גם אם עלה בגורל המספר 321 או 213, וכולי. מי שהימר על 747 יזכה גם אם יעלו בגורל 477 או 774, אבל מי שיהמר על 666 יזכה רק אם יעלה בגורל המספר 666. מה הסיכוי לזכות בהימור כזה? באתר מפעל הפיס כתוב (נכון להיום) כי הסיכוי הוא 1 ל-241.5. איך מחשבים את הסיכוי?

אפשר להתחיל לחשב (עמית גל  עשה את זה בבלוג שלו). אני בחרתי בגישה אחרת, גישת מונטה קרלו, שאדגים כאן מייד. זאת לבקשת הקורא עמית (האם זהו עמית גל?) באחת התגובות לרשימה על פריז ובעיית המחט של בופון.

כל אחד יכול לעשות את זה בבית. צריך פשוט לשחק את המשחק מספר רב של פעמים. אפשר לקחת קוביה מיוחדת עם 10 צדדים (לשחקני מבוכים ודרקונים יש קוביות כאלה), או לשים בתוך כובע 10 כפתורים זהים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת הספרות 0 עד 9. מטילים את הקוביה (או מוציאים כפתור מהכובע ומחזירים אותו) 3 פעמים – זוהי הדמיה של הגרלת המספר של מפעל הפיס. אח"כ בוחרים באותו אופן את המספר עליו מהמרים. כעת אפשר לבדוק אם "זכינו". חוזרים על התהליך מספר רב של פעמים, ובודקים באיזה אחוז מהפעמים אכן זכינו. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי אחוז הזכיות בניסוי שלנו יהיה קרוב מאוד להסתברות האמיתית. משפט הגבול המרכזי מבטיח כי ההפרש בין אחוז הזכיות בניסוי ובין ההסתברות האמיתית יהיה בסדר גודל של אחד חלקי שורש מספר הניסויים. למשל, אם רוצים דיוק של אחוז אחד, צריך לחזור על הניסוי 10000 פעם.

זה כמובן עלול להיות מאוד מייגע. ניתן כמובן, לכתוב תכנית מחשב שתבצע את התרגיל הזה. כתבתי אחת כזו (בשפת SAS, לחצו כאן לצפיה בקוד), וערכתי את הניסוי מליון פעם (למחשב המקרטע שלי לקח כמעט 10 שניות לבצע את כל החישובים). התוצאות בטבלה:

השורה התחתונה אומרת כי הסתברות לנחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו היא 0.005094, שזה בערך 1 ל-196. החישוב של עמית גל הגיע לתוצאה של 1 ל-194.  בגדול, הפרסום המקורי של מפעל הפיס, לפיו סיכויי הזכיה הם 1 ל-200, היה נכון בקירוב. הפרסום הנוכחי מתאר סיכויי זכיה נמוכים יותר, ולדעתי הוא שגוי. עם זאת, גם עמית וגם אני לא לקחנו בחשבון כי מי שזוכה בפרס הראשון כבר לא זוכה בפרס השני (תודה לעמית על שהעיר את עיני על כך בתגובתו). המאורע "המהמר ניחש אתשלוש הספרות שנבחרו בסדר כלשהו" מכיל בתוכו את המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו בסדר הנכון".  לכן, צריך להחסיר מההסתברות שקיבלנו, 0.005094, את ההסתברות לניחוש כל שלוש הספרות בסדר הנכון, 0.001, ולכן נקבל כי ההסתברות לזכיה בפרס השני, שהיא הסתברות המאורע "המהמר ניחש את שלוש הספרות שנבחרו, אך לא בסדר הנכון", היא 0.004094 בקירוב, כלומר בערך 1 ל-244, ערך קרוב למדי לערך המופיע באתר מפעל הפיס (1 ל-241.5).

מהי תוחלת הזכיה במשחק כזה? מי שיהמר על שקל, ירוויח 24 שקלים בהסתברות 0.005 בערך, ויפסיד שקל בהסתברות 0.995.  זה נותן תוחלת הפסד של 0.875 שקלים. במלים אחרות – מפעל הפיס משאיר בידיו  87.5% מכספי ההימורים במשחק הזה. ובכן, בחישוב התוחלת יש לקחת בחשבון את כל הפרסים והסתברויות הזכיה בהם. על כך אכתוב בקרוב רשימה נוספת.

לפני כשנה העליתי כאן את החידה על הילדה ששמה יוספה:

במשפחת תפוחי שני ילדים. נתון לנו שאחד מהילדים האלו הוא (היא) בת, ושמה של אותה בת למשפחת תפוחי הוא יוספה. מהי ההסתברות כי גם הצאצא הנוסף של משפחת תפוחי היא בת?

הפתרון, למעוניינים, נמצא כאן.

מה שמעניין בכל הסיפור הזה הוא שהאינפורמציה בדבר שמה של הילדה הנחמדה הזו משנה את התשובה לשאלה שנשאלה, גם אם לכאורה הנתון לא נראה רלוונטי. אותה החידה, ללא הנתון על שמה של הילדה, הועלתה בבלוג של דוברמן (שאינו פעיל, למרבה הצער, תקופה ארוכה למדי), והפתרון שונה (בערכו המספרי, לא ממש בדרך הפתרון).

ומדוע אני נזכר בכל זה? היום ראיתי בבלוג של ויליאם בריגס גירסה אחרת לחידה הזו:

במשפחה יש שני ילדים, אחד מהם הוא בן, והוא נולד ביום שלישי. מה ההסתברות כי גם הילד השני במשפחה הוא בן?

התשובה, באופן לא מפתיע, שונה משתי התשובות לחידות שצוטטו כאן.

האמת: שום דבר מיוחד.

בידיעה שפורסמה ב-Ynet לפני כחודש נמסר כי "אותם מספרים בדיוק יצאו בשתי הגרלות לוטו ברציפות". מדובר בלוטו הבולגרי, שם המספרים 4, 15, 23, 24, 35 ו-42 הוגרלו ב-6 בספטמבר ולאחר מכן שוב, ב-10 לחודש. עוד נמסר בידיעה כי "המתמטיקאי מיכאיל קונסטנטינוב חישב ומצא כי הסיכוי לכך הוא 1 ל-4.2 מיליון". כן נמסר כי שר הספורט של בולגריה הורה לפתוח חקירה מיוחדת בנושא.

המממ.

האם באמת מדובר באירוע כל כך נדיר שמצדיק חקירה, ולא סתם חקירה אלא חקירה "מיוחדת"? האם הסיכוי ל"כך" הוא באמת אחד ל-4.2 מליון, כמו שחישב מר קונסטנטינוב?

התשובה הרבה יותר מסובכת, ועם זאת לא קשה להבנה. כמו תמיד: התשובה המדויקת תלויה בניסוח מדויק של השאלה, כלומר למה מתכוונים כשאומרים "כך". אביא תחילה את התשובות כפי שפורסמו באתר ChanceWiki (אתם מוזמנים לגלוש ולעיין בחישובים המפורטים):

• הסיכוי כי המספרים  4, 15, 23, 24, 35 ו-42 יעלו בגורל בשתי הגרלות בתאריכים נתונים (6 בספטמבר ו-10 בספטמבר) הוא בערך אחד ל-27000 מיליארד.
• הסיכוי כי בשתי הגרלות בתאריכים נתונים יעלו אותם 6 מספרים (אך לא בהכרח הצירוף הנ"ל) הוא בערך אחד ל-5.2 מיליון.
• הסיכוי כי במשך שנה שלמה, בה נערכות 104 הגרלות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות, הוא בערך אחד ל-51000.
• הסיכוי כי במשך רצף של 5400 הגרלות (הלוטו הבולגרי קיים יותר מחמישים שנה, וזה בערך מספר ההגרלות שנערכו בו) יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות הוא בערך אחד ל-970.
• הסיכוי כי באיזה הגרלת לוטו, באיזה מקום בעולם, באיזושהי נקודת זמן בתקופה של חמישים שנה בה נערכות הגרלות דו שבועיות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות וזאת בהנחה שיש בעולם כ-100 הגרלות לוטו כאלה, הוא בערך 10%.

אז מתברר שדי צפוי שמתישהו, איפהשהו, יעלו אותם מספרים בשתי הגרלות לוטו רצופות. אני מקווה שהחקירה המיוחדת של שר הספורט הבולגרי תעלה על זה.

הנה הסבר אינטואיטיבי למה שקרה באמת.

תחשבו על קוביה. הרי הגרלת הלוטו היא תהליך שבו בוחרים אפשרות אחת מתוך 5245786 אפשרויות (זה מספר הצירופים האפשריים של 6 מספרים מתוך 42, כלומר מספר הצירופים האפשריים בלוטו הבולגרי). במלים אחרות, הגרלת הלוטו שקולה להטלת קוביה עם 5245786 צדדים, ולכן הדיון העקרוני לא צריך להיות שונה מדיון בהטלה קוביה "רגילה" הדומה לקוביות שמתנוססות בראש העמוד הזה.

לקוביה רגילה יש 6 צדדים, ובהחנה שהקוביה "הוגנת", יש סיכוי שווה של שישית לכל אחת מהתוצאות האפשריות של הטלת הקוביה (התוצאות הן הספרות 1-6).

אם נטיל את הקוביה פעמיים, יש סיכוי של אחד ל-36 כי בשתי ההטלות נקבל 6, אבל הסיכוי כי נקבל בשתי ההטלות את אותו הספר, לאו דווקא 6, הוא הרבה יותר גדול, ושווה לאחד ל-6. זאת כי לתוצאה של שתי הטלות יש 36 תוצאות אפשריות, ורק אחת מהן היא 6-6, אבל 6 מתוך ה-36 הן "דאבל" (1-1, 2-2, וכן הלאה עד 6-6).

אם תטילו את הקוביה מספר פעמים, אז הסיכוי כי באיזהו שלב בסדרת ההטלות יופיע אותו מספר בשתי הטלות רצופות עולה, כי יש לכם יותר הזדמנויות לקבל שתי הטלות רצופות. אתם מוזמנים לנסות ולכתוב את כל 216 התוצאות האפשריות של סדרה של 3 הטלות קוביה, ולספור בכמה תוצאות מתקבלת אותה תוצאה פעמיים ברציפות (תוצאת ההטלה הראשונה שווה לשניה, או השניה שווה לשלישית). ככל שסדרת ההטלות תתארך, כל הסיכוי יגדל.

ואם לא רק אתם עושים את התרגיל הזה, אלא גם כמה חברים, הסיכוי כי מישהו יקבל מתישהו שתי הטלות קוביה רצופות עם אותה תוצאה שוב עולה.

מתברר כי אירועים שנתפסים בעיננו כנדירים אינם נדירים כלל ועיקר. אם אתם חולמים בלילה כח מחר ירד גשם, או שתזכו בלוטו, ולמחרת הדבר אכן קורה, מה הסיכוי לכך? הסיכוי כי אתה או את תחלמו הלילה כי תזכו בפרס הגדול בלוטו וכן תזכו בו בהגרלה הגדולה נמוך למדי. הסיכוי כי מישהו איפהשהו יחלום משהו והמשו הזה יתקיים סביר למדי.

הסיכוי כי אתם תיכנסו למסעדה בבנגקוק ותפגשו שם את איציק שעבד ביחד איתכם לפני כמה שנים ולא ראיתם אותו המון זמן הוא קטן מאוד (זה קרה לי, למעשה). הסיכוי שמישהו יכנס לאיזשהו מקום בעולם ויפגוש שם מישהו שלא ראה כבר המון זמן הוא גבוה מאוד. הסיכוי שאתם תזכו בפרס הגדול בלוטו פעמיים הוא קטן מאוד. הסיכוי שמישהו איפהשהו מתישהו יזכה בפרס הדגול בלוטו פעמיים הוא סביר, וגם זה קרה, יותר מפעם אחת. אני ממליץ לכם לקרוא את המאמר הזה שפורסם בניו-יורק טיימס כבר ב-1990. בכתבה זו מרואיינים מספר סטטיסטיקאים נודעים, ובהם פרסי דיאקוניס, ברדלי אפרון (מספר 8 ברשימת הסטטיסטיקאים הגדולים) ואריק להמן. דיאקוניס ופרדריק מוסטלר גם נתנו שם לתופעה הזו: חוק המספרים הגדולים מאוד.

באחת התגובות לרשימה הקודמת תהה גיל מדוע לא קניתי מייד את הספר "טראפיק", אלא רק סימנתי אותו לקניה בעתיד. התשובה שלי הייתה כי כבר קניתי 3 ספרים באותה נסיעה, וממילא לא אספיק לקרוא את כולם עד הנסיעה הבאה (אני בספק אם אסיים אפילו את הקריאה של אחד מהם, עדיין לא הספקתי לסיים לקרוא את אחד הספרים שקניתי באפריל).

אולם, מכיוון ששלושת הספרים האלה קשורים לנושאים שהבלוג הזה עוסק בהם, נראה לי שששת הקוראים שלי יתעניינו בהם, ולכן אסקור אותם כאן בקצרה.

הספר הראשון עוסק בבעיית מונטי-הול. למעשה, נודע לי כי הספר עומד לצאת מקריאה בבלוג של גיל. בעיית מונטי-הול עולה שוב ושוב ומציקה לאנשים המסתמכים אך ורק על האינטואיציה שלהם, ולא רק להם (אפילו פול ארדש סירב להאמין לפתרון האמיתי, גם לאחר שההוכחה הוצגה בפניו). הבעיה היא פשוטה: לפניך 3 דלתות, מאחורי אחת מהן מסתתר פרס נחשק (בימבה, למשל) ומאחורי שתי הדלתות האחרות אין כלום.  אתה צריך לנחש מאחורי איזה דלת מסתתר הפרס, ואם תצליח, הוא שלך. אולם, אחרי שניחשת, לא פותחים מייד את הדלת שבחרת, אלא פותחים בפניף דלת אחרת, ואתה רואה שמאחוריה לא מסתתר הפרס. האם כדאי לך לשנות את ניחושך הראשוני?

כתבתי על הבעיה הזו בעבר תחת הכותרת "המכונית והעיזים", גיל כתב על ההיבטים הפסיכולוגיים של הבעיה, וגם גדי אלכסנדרוביץ כתב על הבעיה ועל בעיות דומות בבלוג שלו. אתם מוזמנים לקרוא. ומסתבר שאפשר לכתוב ספר שלם הנושא (למעשה נכתבו על הבעיה הזו יותר מספר אחד). הספר שאני קניתי נכתב על ידי פרופ' ג'ייסון רוזנהאוז מאוניברסיטת ג'יימס מדיסון בוירג'יניה, ונושא את הכותרת המחייבת "The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser" (לינק לאמזון). אני חייב לציין שעדיין לא עיינתי בספר מעבר להעפת מבט בתוכן העניינים ורפרוף קל, מה שאפשר לעשות באתר אמזון גם בלי לקנות את הספר. כמובן שהעיון המקוון וההמלצה של גיל גרמו לי לקנות לבסוף את הספר. תוכן העניינים מבטיח מבט על הבעיה מנקודות מבט בייסיאניות, קוגניטיביות ופילוסופיות. אני מניח שלא אתאכזב.

הספר השני נושא את הכותרת "תורת החבורות בחדר האמבטיה המיטות". השם מבטיח. כאשר הייתי סטודנט צעיר למתמטיקה, תורת החבורות היה התחום האהוב עלי ביותר מכל הנושאים הנלמדים (טוב, חוץ מהסתברות וסטטיסטיקה), אז ברור מדוע השם הזה מדבר אלי. הספר הוא למעשה אוסף מאמרים שפרסם בריאן הייס, בעיקר בסיינטיפיק אמריקן. בינתיים קראתי את שני המאמרים הראשונים. האחד עוסק בשעון האסטרונומי של שטרסבורג, שעקף בקלילות את מכשלת Y2K למרות שנבנה ב-1843, וגם יעקוף ללא בעיה את מכשלת Y10K אם ישרוד עד אז. המאמר השני עוסק בייצור מספרים מקריים, או יותר נכון, פסאודו מקריים (גדי כתב סקירה יפה על הנושא). עד כה, הספר לא מאכזב.

הספר השלישי עוסק בקוביות דיגיטליות: כיצד ניתן לפתור באמצעות מחשב (על ידי סימולציה בשיטת מונטה קרלו) בעיות בהסתברות. לאחר הקדמה לא קצרה בה מוסבר בהרחבה (ועם דוגמאות) העקרון של שיטת מונטה קרלו (שעושה כמובן שימוש במספרים פסוודו אקראיים), מביא המחבר, פרופ' פול נהין, רשימה של 21 בעיות אותן הוא מציע לפתור בשיטת מונטה קרלו (בינהן מופיעה בעיית נייר הטואלט של דונלד קנוט). לאחר מכן מופיעים הפתרונות, עם תכניות בשפת מטלב. נהין לא מסתפק, למרבה השמחה, בפתרונות טכניים בלבד, אלא גם מספק רקע תיאורטי רב על הבעיות, ההיסטוריה שלהן, וגם תובנות שניתן להפיק מהעיון בהן. אחרי שקראתי את ההקדמה אני מתכנן לנסות לפתור את הבעיות בעצמי לפני שאציץ בדפי הפתרונת. זה בהחלט פרוייקט ארוך טווח.