נסיכת המדעים

האמת, עד שקיבלתי היום בצהריים טלפון מאיזה עיתונאית מידיעות אחרונות, בכלל לא ידעתי שבארץ רוחשת לה קדחת טוטו – מה שמוכיח כי אני לא ממש יודע כל דבר.

אבל יש קדחת טוטו. לאחר כמה ששבועות שבהם איש לא ניחש נכונה את תוצאות כל  16 המשחקים בטופס הטוטו הפרס הראשון הגיע לגובה של 52 מליון ש"ח.

למי שלא יודע: כל שבת נערכים משחקי כדורגל. בטפס הטוטו מופיעים 16 משחקים כאלה. לכל משחק יש 3 תוצאות אפשריות: או שקבוצה אחת תנצח, או שהקבוצה השניה תנצח, או שהמשחק יסתיים בתיקו. חשבון פשוט מראה כי לשני משחקים יש בסה"כ 9 צירופי תוצאות אפשריים (אפשר לצרף כל תוצאה אפשרית מהמשחק הראשון עם כל תוצאה אפשרית מהמשחק השני), ולכן ל-16 משחקים יש כ-43 מליון צירופי תוצאות אפשריים (המספר מתקבל מהכפלת המספר 3 בעצמו 16 פעמים).

המשמעות המעשית של המספר הזה הוא שאם אדם שלא מתמצא בנפתולי עולם הכדורגל (עקרת בית מקריית שמונה, למשל, או כותב שורות אלה) מחליט למלא טופס טוטו שבו יש ניחוש אחד לתוצאות כל אחד מ-16 המשחקים, אזי יש לו סיכוי של 1 ל-43 מליון לזכות בפרס הראשון. מדובר במספר כל כך קטן,עד שהסיכוי לזכות בפרס הראשון של הגרלת ה-50 מליון של הלוטו (1 ל-2 מליון) נראה פתאום ריאלי.

אלא שבין הטוטו ללוטו יש הבדל משמעותי. בניגוד ללוטו, לא לכל התוצאות האפשריות בטוטו יש אותו סיכוי להתקבל. בשבת הקרובה, למשל, תשחק בית"ר ירושלים מול קבוצת הפועל כפר סבא, המייצגת את עירי בליגת העל. גם בלי להבין יותר מדי בכדורגל אני יודע שהכף נוטה לטובת הירושלמים עתירי הממון והכוכבים, וכי הסיכוי שהם ינצחו במשחק גבוה הרבה יותר משליש. גם מהמרי הטוטו יודעים את זה. השאלה מה קורה במשחקים יותר מאוזנים, שבהם יחסי הכוחות בין הקבוצות לא ברורים כמו במקרה הזה. הסוד של הטוטו הוא ביכולת לשכנע את המהמרים שהם יכולים להגדיל את הסיכוי שלהם לזכות בזכות הידע וההתמצאות שלהם בתחום הכדורגל.

אם למשל, מומחה כדורגל יכול בעזרת הידע שלו להגדיל את הסיכוי לנחש נכונה את תוצאת כל משחק משליש לחצי, הרי שהסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל 16 המשחקים מזנק ל-1 ל-65000 "בלבד", כלומר הסיכוי שלו גדול פי 660 בערך מהסיכוי של מנחש "רגיל".

השאלה היא, כמובן, עד כמה מגדיל הידע את הסיכוי לניחוש נכון. אני סבור שהתוספת לא משמעותית. לו היא הייתה כזו, היינו רואים הרבה יותר זכיות, ובודאי שהפרס הראשון לא היה מצטבר לגובה כזה. ייתכן וחלק מקוראיי יחלקו על דיעה זו, וכיוון שאין בידי כל נתונים לגבי אחוזי הזוכים ביחס למספר הטורים שנשלחו, אין באפשרותי לערוך ניתוח מדוייק יותר. נימוק נוסף שאני יכול לגייס הוא בכך שהטוטו מרוויח, ולכן לא ייתכן כי סיכויי הזכיה גבוהים מדי – הרי צריך לשמור על תוחלת רווח שלילית (למהמר).

אז איך בכל זאת אפשר לזכות בטוטו? יש עובדה אחת בדוקה: הסיכוי של מי ששולח טופס הימור גדול לאינסוף מהסיכוי של מי שלא מהמר. אז מי שרוצה – מוזמן להמר. רק זכרו נא כי מדובר בהימור, משחק, ולא בהשקעה. בהצלחה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 20 במרץ 2008  שם התקבלו 4 תגובות

עמית  [אתר]  בתאריך 3/21/2008 1:36:52 AM

רק הערה קטנה

הטוטו מרוויח בלי קשר לסיכויי הזכיה, כי הוא מקצה רק כ 50% מההכנסות ממכירת טפסים לצורכי פרס, והפרס הראשון (וגם הבאים האחריו) מתחלק בין המנחשים נכונה. כלומר, אן מצב שהטוטו ישלם יותר מ52 מיליון שקל עבור הפרס הראשון בלי קשר לכמות הזוכים. נהפוך הוא, בגלל שהפרס כה גדול, יש סיכוי שימולאו הרבה יותר טפסי טוטו, מה שיגדיל בהרבה את ההכנסות בלי להגדיל את ההוצאות, כך שלמרות שהסיכוי שמישהו יזכה גדל בעקבות כך, כך גם הסיכוי שהכנסות הטוטו יגדלו.

אלעד יאיר  [אתר]  בתאריך 3/22/2008 8:04:34 AM

אכן

בשבוע בו יצליחו רבים לנחש את תוצאות כל המשחקים, הפרס הראשון עדיין יהיה רק אחד והוא יתחלק בין כל המנחשים.
מאידך, הואיל וקיימים "מומחים" רבים, כאשר ישנה "הפתעה", ונגיד במקרה שהזכרת בית"ר ירושלים ינוצחו ע"י כפ"ס, הרי, רבים מהם ייפלו ולכן הסיכוי קטן (בכמה? אם כולם "מומחים", אזי כולם ייפלו. בפועל, זה יהיה שונה, אני מניח. בכל מקרה, יש להם 16 משחקים ליפול בהם).
ומעל לכל, ספורט, כתחביב לצפייה והימורים, בניגוד לעשייה ופעילות, הוא רע לדעתי.

נועם  [אתר]  בתאריך 3/24/2008 5:54:04 PM

יש גם כפולים ומשולשים

או איך שהם לא קוראים לזה. אתה יכול, בתוספת תשלום, לסמן שתיים או שלוש אפשרויות לאותו משחק. למשל, אם אתה חושב שביתר ינצחו או שיהיה תיקו, תסמן את שתי האפשרויות האלה, וכו'.
כמובן שיש הגבלה (אין לי מושג כמה, ההבנה שלי בטוטו/כדורגל דומה לשלך) לכמה משחקים אתה יכול למלא כך בטור, אחרת היית יכול לנצח תמיד.
בקיצור, כל מה שרציתי לומר – העניין הזה מוסיף קצת סיבוך כשבאים לחשב סיכויים ותוחלת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/25/2008 8:18:41 AM

כפולים ומשולשים

כפולים ומשולשים הם רק שיטת כתיבה מקוצרת – המשמעות של כפול הוא הכפלת סכום ההימור, ושל משולש – שילושו.

להלן מספר מכתבים מעניינים שקיבלתי בתקופה האחרונה, ותשובותיי

איפה הכסף?

יובל כותב:
שלום, עקבתי אחר המאבק המוצדק שלך ברעיון להעלאת שכר הלימוד, וחשבתי שאולי תתעניין בכתבה הבאה. על פי הכתבה, קרן קיסריה שבבעלות משותפת של הברון רוטשילד והמדינה קיבלה ומקבלת הטבות מס עצומות, וכן סיוע בהשתלטות על קרקעות מדינה יקרות, אך מתחמקת מהתחייבויות לתמוך בהשכלה הגבוהה. התחיבויות אלו אינן "נדבה" של הקרן אלא הסיבה שהיא מקבלת את ההטבות ואת השליטה על אדמות מדינה כה יקרות. אולי אם במשרד האוצר היו לוקחים את הכסף המגיע להשכלה הגבוהה משם לא היה צורך לשלוח את ידי האוצר לכיסי הסטודנטים. בברכה, יובל

יובל,
הכתבה מדברת בעד עצמה. רבות מהבעיות שניצבות בפנינו, ובמיוחד סוגיית עתיד ההשכלה הגבוהה, אינן בעיות כספיות – יש הרבה כסף ציבורי פנוי להשקעה. טיפוח האקדמיה וההשכלה הגבוהה היא השקעה לכל דבר, ואף השקעה משתלמת במיוחד, כפי שכבר הבהרתי ברשימות קודמות שכתבתי כאן. מהכתבה מתברר שלאידיאולוגיה הניאו-ליברלית הקיצונית והמנטאליות של ניהול חנות מכולת השוררות בממשלתנו, חברה גם שחיתות פשוטה. זו ארצנו.

עץ או פלי?

איתי כותב:

אהלן יוסי, אני קורא את הרשימות שלך באופן קבוע ואני מאד נהנה מכך. יש לי שאלה שאני בטוח ששמעת עשרות פעמים בעבר,אך אני נאלץ לשאול אותה שוב, בשביל לסיים ויכוח עם חבר. נניח שיש מטבע שהסיכוי שלו לעץ ופלי הוא שווה, חצי וחצי. נניח שהטילו את המטבע עשרים פעמים ובכולם יצא פלי – האם: יש הבדל בין הסיכוי לעץ והפלי בהטלה ה 21 ? אחד מאיתנו אומר – ששניהם 50% וזה ממש לא משנה מספר ההטלות לפני לכן זה לא משנה אם הוא יאמר עץ או פלי שניהם באותו סיכוי בדיוק. השני אומר ששניהם 50% אבל בגלל שהסיכוי שרצף הטלות הפלי ימשיך, יורד אחרי כל הטלה נוספת, הוא היה מעדיף להמר על העץ אשמח לשמוע מקור בר סמכא שיפתור את המגבלות ההסבר והידע שלנו בנושא סטטיסטיקה והסתברות תודה רבה !
איתי,

אם המטבע אכן הוגן (סיכויים שווים לעץ ולפלי) אז גם בהטלה ה-21 הסיכויים שווים. השחקן שמטיל את המטבע זוכר את רצף ההטלות שהתקבל, אך למטבע עצמו אין זכרון. בתי קזינו מנצלים את זה כדי לעשות כסף. האסטרטגיה האופטימלית בהימור, למשל ברולטה, שם אפשר להמר בכל פעם על אדום או שחור, למשל, היא להגריל בכל פעם את הצבע עליו אתה מהמר. מי שיתפתה לעקוב אחרי סדרות ועל ידי כך יסטה מהאסטרטגיה האופטימלית, ירוויח פחות (או יותר נכון: יפסיד יותר).

אבל שאלה יותר מעניינת היא: אם אתה לא בטוח שהמטבע הוגן – מה הסיכוי שתמשיך להאמין בכך אחרי 20 הטלות רצופות של פלי?  ומה אם ההטלה ה-21 תהיה בכל זאת עץ? מה תהיה עכשיו הערכתך לסיכוי של המטבע ליפול על פלי? יש ענף שלם בסטטיסטיקה שמנסה לענות על שאלות כאלה – סטטיסטיקה בייסיאנית. הסטטיסטיקאי הבייסיאני יאמר לך כי לאחר 20 הטלות רצופות של פלי, הוא לא מאמין כי המטבע הוגן, אלא כי ההסתברות שלו ליפול על פלי היא 0.954 בערך (שזה 21 חלקי 22). באם בהטלה ה-21 אכן יצא עץ, הוא יעדכן את ההסתברות של המטבע לפילו על פלי ל-0.913 וכן הלאה.

הסטטיסטיקה הבייסיאנית היא עולם בפני עצמו, והידע שלי בתחום מועט יחסית. אני מתכוון כבר זמן רב להקדיש רשימה לנושא, אבל לא מצליח להגיע לזה. אציין רק שלתחום יש יישומים רבים בתחומים מגוונים, החל במדעי המחשב וכלה בתכנון ניסויים קליניים.

דאבל לוטו

a8145060, שמנהל את הקומונה המעניינת לוטו ומשחקי מפעל הפיס בתפוז כותב:

הנה רעיון חדש לכתיבה באתר שלך. מפעל הפיס דאבל לוטו משחק הפיס הוציא משחק חדש,בשם דאבל לוטו, אם משתתפים במשחק במידה שזכית,סכום הפרס מוכפל פי 2. גם מחיר הטבלה מוכפל פי 2 והוא עומד על 5.4 ש"ח ומה כל זה אומר? אותי לימדו בסטטיסטיקה שאם הכל מוכפל פי 2 אז התוחלת נשארת אותו הדבר, כלומר אותו ,ותסלחו לי, זבל של משחק ששום דבר לא השתנה בו OK דבר אחד השתנה אנשים מוכנים לשלם על טבלת לוטו מחירים שעוררים ביחס לעולם. בעולם מחיר טבלת משחק כמו לוטו שווה דולר והפרס הנמוך ביותר שווה ל10 דולר בערך
תשובה,

השתנה הרבה מאוד. אם כולם יבחרו באופציית ההכפלה, אז תוחלת הזכייה (או יותר נכון, תוחלת ההפסד) גם היא תוכפל פי שתיים, וזה משמפעל הפיס רוצה בסופו של דבר. יותר הימורים, בסכומים גבוהים יותר, משמעותם רווחים גדולים יותר למפעל הפיס (והפסדים גבוהים יותר למהמרים).

סופר לוטו

חנוך כותב
למר לוי שלום שמי חנוך, וקראתי באתר כמה מהמאמרים שלך, בימים אלו אני עומד לפתוח במדינה מסויימת חברה להגרלות לוטו, מכיוון שכך הייתי מעוניין לקבל ממך מספר שיעורים בנושא (במידה ואתה יכול לעשות את זה) לגבי הסיכויים בהגרלות סטטיסטיקות וכל מה שקשור לנושא. אני מקוה שיש באפשרותך לעזור לי בנושא… בכבוד רב חנוך

שלום חנוך,

יש רק דרך אחת לעשות כסף מלוטו, ואתה עלית עליה – יש רק מרוויח אחד בלוטו – וזה מי שמפעיל אותו. אני מאחל לך הצלחה. עם זאת איני עוסק בייעוץ פרטי, ולכן לא אוכל לעזור לך, למרות הפיתוי הכספי הגדול (הייתי מבקש אחוזים, כמובן….)

איך לעשות כסף מסטטיסטיקה

רובי כותב
שלום שמי רובי ואני מאוד רוצה שתעזור לי או תכוון אותי למישהוא שיוכל לעזור לי במימוש חלומותי. אני מאמין שבעזרת סטטיסטיקה והסתברות אפשר לעשות כסף אני פשוט לא יודעה איך לשלב את הנוסחאות עים הנתונים שיש לי. מודה לך מראש רובי

רובי,

ראה תשובתי לחנוך. יש עוד דרכים לעשות כסף מסטטיסטיקה מלבד ניהול עסקי הימורים – אתה יכול למשל גם לפתוח חברת ביטוח (אופס, זה בעצם אותו דבר – הנה נושא לעוד רשימה) או קרן פנסיה. גם אני עושה כסף מסטטיסטיקה, דרך אגב. אמנם לא מיליונים, אבל בהחלט חי בכבוד.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 באוקטובר 2007  שם התקבלו 13 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 10/10/2007 11:37:26 PM

הסטטיסטיקה הבייסיאנית תשתלט בסופו של דבר

על הססטיסטיקה השכיחותית (זו המילה הנכונה לfrequencies?). כבר היום יש מעבר של יותר ויותר כתבי עת לסטטיסטיקה בייסינאית, ובעיקר הפחתה בחשיבותם של מבני מובהקות. מבחני מובהקות לא ממש בודקים את ההשערות שאנחנו מעוניינים בהם בצורה ישירה מה שהסטטיסטיקה הבייסינאית כן עושה. יש לה כמובן גם חסרונות והיא יותר קשה ל"עיכול" אבל אני חושב שהיא תנצח בעוד דור או שניים.

יובל אחר  בתאריך 10/11/2007 8:45:16 AM

בעניין קרן קיסריה

נראה לי שיובל מסתמך על הכתבה הזו.
http://www.haaretz.co.il/hasit….ContrassID=6&sbSubContrassID=0
לשם ההגינות, יש לציין שקרן קיסריה תרמה למספר מוסדות השכלה גבוהה (ביניהם אוניברסיטת חיפה והאוניברסיטה הפתוחה).
למיטב הבנתי הויכוח הוא על שיעור התרומות, ולא על האם הן קיימות.

עופר  בתאריך 10/11/2007 9:32:47 AM

ללא נושא

ברולטה אין שום הבדל בין להמר על אותו צבע כל הזמן או להגריל את הצבע כל פעם מחדש. בכל מקרה תוחלת הרווח (ליתר דיוק ההפסד …) היא קבועה.
אם אתה מחויב להמר ברולטה, נאמר על סכום מצטבר של 1000 שח ,האסטרטגיה הטובה ביותר היא להמר על כל ה1000 שח ביחד ולא לחלק אותם להרבה הימורים קטנים.תוחלת הרווח לא משתנה אבל ההסתברות שתזכה דווקא גדלה (חוק המספרים הגדולים לא משפיע)

דני  [אתר]  בתאריך 10/11/2007 4:46:40 PM

שתי הערות

קודם כל, אני מסכים עם עופר לגבי ההימור ברולטה. בניגוד למה שכתבת, כל עוד הרולטה אכן אקראית ואתה מהמר בסכום קבוע בכל סיבוב – אין משמעות לבחירת אסטרטגיית ההימור שלך.
דבר שני, לא הבנתי את החישוב הביסייאני שעשית. הבעיה בסטטיסטיקה בייסיאנית היא שכדי להעריך את ההסתברות הפוסטריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Posterior_probability) אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Prior_probability), וזאת כמעט אף פעם לא ידועה כשבודקים השערות בעולם האמיתי. למשל, במקרה של הטלת המטבע אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית שהמטבע מוטה לפלי בכל הסתברות שהיא (זו לא טעות… הכוונה היא להסתברות שמשהו יקרה בהסתברות).
למשל, תדמיין מצב שבו אומרים לך שיש שתי ערמות של מטבעות, אחת נופלת על פלי בסיכוי 90% ואחת נופלת על פלי בסיכוי של 10%. במקרה אחד בוחרים בסיכוי 50-50 מבין שתי הערמות האלה ואז מבצעים את הניסוי שמתואר בשאלה, ובמקרה השני בוחרים בסיכוי 75-25 מבין שתי הערמות (לטובת הראשונה) ואז ממבצעים את הניסוי.
ברור שבכל אחד מהמקרים האלה ההערכה שתינתן (אחרי הניסוי) למידת ההטיה של המטבע ע"י סטטסיטיקאי בייסיאני תהיה שונה. לכן, לא ברור לי מה ההסתברות הפריורית שהשתמשת בה עבור החישוב שעשית. אם השתמשת בהסתברות אחידה לכל הטיה – לא ברור בכלל מדוע זה הדבר הנכון לעשות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:19:06 PM

תשובה לדני

החישוב הבייסיאני שערכתי מתבסס על התפלות אפריורית אחידה של ה-p- על הקטע [0,1[
כמובן שההנחה על ההתפלגות האפריורית היא בעייתית - זו אכן הביקורת העיקרית על הגישה הבייסיאנית, ולכן אני סבור, בניגוד לגיל, שהסטטיסטיקה הבייסיאנית לא "תנצח" בסופו של דבר.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:21:52 PM

ועוד תשובה לדני

בעניין אסטרטגיות ההימור: אכן, יש כמה אסטרטגיות שמביאות לאותה תוצאה "אופטימלית" – כלומר ממזערות את תוחלת ההפסד (ואני מתעלם כאן מהאסטרטגיה של המנעות מהימור). אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.

דני  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 2:25:11 AM

שאלה

אוקי, עכשיו סיקרנת אותי
בהינתן שמהמרים בכל סיבוב רולטה על סכום קבוע, תוכל בבקשה להסביר (או לתת הפניה) מדוע אסטרטגית הימור שבה מגרילים אדום או שחור מביאה לתוחלת רווח שונה מאסטרטגיה שבה בוחרים תמיד אדום, למשל? (או לחילופין, כל פונקציה שהיא על הטלות עבר)
על פניו נראה לי שתוחלת הרווח תהיה זהה בכל אחד מהמקרים, כיוון שתוצאת הרולטה אקראית.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 9:41:06 AM

סטטיסטיקה בייסיאנית

אוסיף ששימוש נפוץ ומוצלח בסטטיסטיקה בייסיאנית בחיי היום-יום של רובנו הוא מנגנוני הסינון של דואר הזבל ("ספאם") שמסווגים דואר לפי הסתברות. ממציא היישום הזה של ס' בייסיאנית הוא פול גראם (Paul Graham).

אלעד  בתאריך 11/8/2007 4:56:39 PM

השתגענו?!

בתור דוקטור למדמ"ח, שעוסק בהשתברות לא מעט, אני מסכים עם דני וחושב שיוסי לוי טועה. יוסי טען ש"אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.". זה נראה שגוי לחלוטין. לא משנה אם בכל שלה בוחרים להמר על אדום או שחור, בלי תלות בהיסטוריה יש הסתברות בדיוק שווה לזכות בכל מקרה. לכן, גם אם ההחלטה שלנו על איזה צבע להמר תלויה בהיסטוריה, עדיין זה לא משנה ותוחלת הזכיה נשארת שווה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 11/10/2007 5:42:58 PM

תשובה לאלעד ולדני

במקום לצעוק שאני טועה, אני מזמין את כל מי שמעוניין להציג אסטרטגיית הימור שתשיג תוצאה טובה יותר (בתוחלת) מהאסטרטגיה לפיה בכל הימור בוחרים את הצבע עליו מהמרים בהסתברויות שוות לאדום ושחור.

דני  [אתר]  בתאריך 11/20/2007 4:43:42 AM

ובכל זאת

היי יוסי,
מדי פעם אני חוזר לפוסט הזה כדי לבדוק האם התחדש משהו בסוגית הרולטה (מסקרנות… אני אשמח להיות מופתע ולגלות פתרון שלא חשבתי עליו).
התגובה האחרונה שלך לא ברורה לי. הטענה של עופר, שלי ושל אלעד היא לא שיש אסטרטגיה טובה יותר מהימור בהסתברויות שוות, אלא שכל אסטרטגיה טובה באותה מידה.
למשל, תוחלת הרווח אם תהמר תמיד על אדום זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בכל פעם באקראי, וזו זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בהתאם לכל פונקציה שהיא על תוצאות העבר – כמובן, כל זאת בהנחה שהרולטה אכן אקראית ושמהמרים בכל סיבוב באותו סכום קבוע (הנק' האחרונה חשובה, למשל, כדי להמנע מפרדוקס סט. פטרסבורג).
בקיצור, אני טוען כי התשובה לאתגר שהעלית בתגובה האחרונה היא שלא קיימת כזו אסטרטגיה. לעומת זאת, אני מזמין אותך (או כל קורא אחר) להציג אסטרטגיה שתשיג תוצאה גרועה יותר מהימור אקראי, ותעמוד בשני התנאים שלמעלה (אקראיות הרולטה, סכום שווה בכל סיבוב).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:09 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:19 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

הידיעה הבאה התפרסמה בתחתית עמוד 19 של "ידיעות אחרונות" ביום רביעי שעבר (19.9.2007):

אי אפשר להתווכח עם העובדות – לאיש אכן היה מזל. מעניין אותי לדעת כמה אנשים הרגישו שלמספרים שלהם יש מזל ועקב כך הימרו עליהם בסכומים גבוהים, ולא זכו. את הנתון הסטטיסטי הזה, אני מניח, מפעל הפיס לא יספק לנו.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 23 בספטמבר 2007  שם התקבלו 6 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 8:37:16 AM

לא הבנתי מה המזל בזה

מה זה משנה אם הוא שלח טופס אחד אם אותם מספרים או טפסים שונים? בסופו של דבר הוא היה זוכה באותו פרס כי הוא מתחלק בפרס הגדול עם עצמו לא? (אלא אם כן יש זוכים נוספים בפרס הראשון).

שגיאB  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 9:56:10 AM

לי זה ישר הדליק אור אדום!!!

מי ממלא 20 טפסים עם אותם מספרים?

עידו  בתאריך 9/23/2007 9:59:44 AM

לגיל

בהגרלת 777 הפרס הראשון הוא 70,000 על ניחוש כל המספרים. הפרס לא מתחלק בין הזוכים (כלומר, אם יש כמה כרטיסים זוכים אז כל אחד מכרטיסים זוכה ב-70,000 ש"ח).

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 10:23:10 AM

תשובה לגיל

קל לודא שגם אם הפרס הראשון מתחלק בין כמה זוכים, עדיין מי שישלח שני טפסים זהים יזכה ביותר כסף (למשל, אם יש שני זוכים, הם יתחלקו חצי חצי, אבל אם אחד משני הזוכים שלח זני טפסים הוא יקבל שני שליש והזוכה השני רק שליש.

אורי כהן  בתאריך 9/23/2007 1:23:15 PM

באמת נראה כמו התקפת מידע פנימי

אם מישהו גילה כי אפשר לרמות בהגרלת 777, ככה בדיוק זה אמור להראות:
- 777 היא הגרלה קטנה, בניגוד ללוטו, ולכן ייתכן שיש למפעל הפיס פחות מנגנוני הגנה.
- הוא מרוויח בה הרבה יותר משמפעל הפיס חוזה שמישהו ירוויח, וזה כבר נראה מספיק
כדי לשלם למי שעזר לו לרמות (שמסכן את משרתו + כמה שנים בכלא). עבור עשרות אלפי שקלים זה לא סביר, עבור מאות אלפי- אולי.
כמובן אין לי מידע… אם אני מפעל הפיס הייתי שוכר חוקר פרטי.

a81450606  בתאריך 10/8/2007 2:51:06 PM

הסתבריות פיס 777

באתר הזה תמצאו את ההסתבריות למשחק פיס 777
http://www.johnph77.com/keno/israel.html
השורה התחתונה היא שהתוחלת המשחק היא 60% בקירוב
פיס 777 הוא אחד מן המשחקים הרווחים של הפיס (מחוץ הלוטו)
מעוינינים בפורום לוטו?
http://www.tapuz.co.il/Communa/usercommuna.asp?CommunaId=2160

כנסו כנסו! (אחד שיודע)

כתבתה של נופר סיני בדה-מרקר על הגרלות הלוטו צוטט חתן פרס נובל לכלכלה, פרופ' ישראל אומן, שאמר בהתייחסו לנושא: "אנשים לא קונים טפסי לוטו, הם קונים את הזכות לקוות".

בשבוע שעבר הייתי בחופשה בנהריה, ובעת ששוטטתי בשדרות הגעתון ראיתי אנשים רבים קונים טפסי לוטו. האם פרופ' אומן שיקר? כמובן שלא. הוא פשוט בחר לבטא במלים אלה את הדעה כי אנשים קונים כרטיס לוטו לא בגלל תוחלת הרווח הכספי הצפויה להם ממנו, אלא בגלל ה"תועלת" הנובעת ממנו.

כל סטודנט לכלכלה מכיר את המונח "פונקציית תועלת" (חפשו בגוגל ותראו מה תמצאו). פונקציית תועלת היא מן מונח ערטילאי – נסו לקרוא את ההגדרה שלה – שמאפשרת לכלכלנים לכמת את ההעדפות האישיות של הצרכנים, באופן תיאורטי לפחות. כך ניתן להצדיק פעולה כלכלית שאולי עדיפה פחות מבחינה כספית לעומת אלטרנטיבה כפעולה "רציונאלית".

למשל, ניתן לחשב ולמצוא כי עדיף מבחינה כלכלית לקנות רכב פרטי ולהשתמש בו לעומת האלטרנטיבה של קבלת רכב ליסינג ממקום העבודה (בהנחות מסוימות). דוגמא אחרת היא הדילמה של רכישת דירה או מגורים בשכירות – לפעמים עדיף כך (מבחינה כספית) ולפעמים אחרת. ובכל זאת, רוב האנשים מעדיפים רכב ליסינג וקניית דירה.

הכלכלנים יסבירו לכם שאולי מבחינה כספית מגורים בדירה שכורה עדיפים על קניית דירה, אך את ההשוואה אין לערוך במונחי כסף אלא במונחי "תועלת". בעשרות אלפי הדולרים שתשלם יותר עבור דירה משלך אתה קונה "תועלת". אם קנית דירה במקום לשכור אחת למרות שמבחינה כספית אופציית השכירה זולה יותר ב-50,000 דולר (סתם), אות הוא כי התועלת הנובעת מקניית הדירה "שווה לך" את אותם 50 אלפי הדולרים.

מדוע הכלכלנים מעדיפים את התועלת על פני הכסף? ובכן, ובתחילת שנות השבעים פרסמו שני מדענים אלמונים מישראל, עמוס טברסקי ודניאל כהנמן, סדרה של מאמרים, ובהם ערערו את עקרון הרציונאליות, העומד בבסיס הכלכלה המודרנית. "הכלכלה המודרנית הניחה שאנשים 'מכוילים' על רציונאליות, ושהסטיות ממנה הן מקריות. העבודות שלנו (של כהנמן וטברסקי – י.ל.) מלמדות שהטעויות הן לא מקריות, ושהמקור שלהן הוא בדרך החשיבה של בני אדם", אמר כהנמן בראיון להארץ, זמן קצר לאחר זכייתו בפרס נובל לכלכלה. את הסטיות מהרציונאליות אפשר להצדיק על ידי קיומה של "תועלת" ערטילאית, שמשנה את המאזן הכולל, וממלאת את הפערים בין ההחלטות.

בואו נחזור ללוטו ולפרופ' אומן. פרופ' אומן יודע היטב כי תוחלת הרווח הצפוי מהשתתפות בהגרלת הלוטו היא שלילית. אפשר להתווכח על גובה הסכום – אולי הפסד של חמישה שקלים לטבלה, אולי פחות, אבל בשורה התחתונה מפעל הפיס מרוויח. כולם יודעים את זה (טוב, כמעט כולם). אז למה אנשים קונים כרטיס? לאנשים כדאי לקנות כרטיס, אומר אומן, כי התועלת הנובעת מקניית הכרטיס שווה להם יותר מחמשת השקלים לטבלה שיפסידו, קרוב לודאי, בהגרלה עצמה. איפה אפשר לקנות תקווה בחמישה שקלים? רק במפעל הפיס.

אז הנה הטרנסקציה: אתה ניגש לדוכן, משלם חמישה שקלים (או 5000, או משהו באמצע) ומקבל חתיכת נייר שמאפשרת לך לפנטז במשך חודש בערך על מה שתעשה אחרי ש-50 מליון שקלים (בניכוי מס) ייכנסו לחשבון הבנק שלך.

מה עשו כל האנשים שקנו כרטיס להגרלה בנהריה ביום שני בערב, שעתיים לפני ההגרלה? הם משלמים את חמשת השקלים עבור פנטזיה שתימשך שעתיים בלבד? כמובן שלא. הם פינטזו על הסכום מרגע ששמעו על ההגרלה, ובאו לשלם עבור התקווה, שכבר השתמשו בחלק ממנה, ברגע האחרון.

בבדיחות הדעת שאלתי את בניי, שהיו עימי, אם כדאי לי לקנות כרטיס. "אבא, אתה סטטיסטיקאי", אמר אחד מהם, "אתה יודע שהסיכוי לזכות אפסי". מה שנכון נכון. לא קניתי כרטיס, וכמובן כבר לא זכיתי. אבל זה לא הפריע לחלום על הכסף במשך השבועיים שקדמו להגרלה. התקווה שלי התפוגגה ביום שני, 2.7.2007, בשעה 10 בערב, כאשר נכנסתי לחדרי במלון ללא כרטיס הגרלה, שהרי לא רכשתי אחד. התקווה של 99.99% מהמהמרים התפוגגה שעתיים מאוחר יותר, כאשר התפרסמו תוצאות ההגרלה. ההבדל הוא שהם שילמו מכספם עבור ה"תועלת" – אותה זכות לקוות עליה דיבר פרופ' אומן. אני קיבלתי את התועלת הזאת בחינם. פיצחתי את השיטה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 8 ביולי 2007 שם התקבלו 14 תגובות

התגובות מתפרסמות על דעת ובאחריות כותביהן בלבד.

פנחש מוואי  בתאריך 7/8/2007 10:48:43 PM

ללא נושא

השיטה שלי היא אחרת
אני ממלא שתי קוביות. בשתיהן אני ממלא את אותם המספרים.
ככה, אם אני זוכה ויש איתי עוד זוכה, אני לוקח שני שליש.
במילא הסיכוי הוא אפס. אז אני נהנה גם מהחלום הנוסף של התהילה. הוא לקח 2/3 באותו מחיר (זניחים שני השקלים האלו).
תודה שהשיטה שלי טובה יותר.
עכשיו אחרי שהודית. אני אשכלל לך אותה לפי שיטתך. אני לא ממלא כלל. כלומר שיטתי שמורה עמי (ועכשיו עמכם). אני יודע שכשאמלא אזכה בשני שליש (אם יש שני זוכים כאמור). לכן כבר אין טעם למלא. כי הזכיה בטוחה.
וכדי להיות בטוח שאי זכייתי לא היתה לשווא אני מוודא כי אכן אנשים וחייהם מתרסקים לתפארת לאחר זכייה. ואני מאושר שזכיתי בחיי הפשוטים והצנועים בלי לשלם דבר. כך גם לא פשטתי רגל ואיבדתי את מיטב חברי וגם זכיתי בשני שליש הכסף.
ובגלל שאתם נחמדים אני אגלה לכם את הטריק האמיתי לזכייה ולניחוש של מספרי הלוטו.
אז ככה, במקום לנחש אילו מספרים זוכים ועולים בגורל, נחשו אילו מספרים לא יזכו. הרבה יותר קל לנחש 45 מ-52 מאשר 7 מ-52. לא? כי ממילא אתם מנחשים כל שבוע את המספרים שלא זוכים (אחרת לא הייתם ממשיכים למלא), לכם פשוט נחשו אותם בריכוז עילאי. בסיום בחירת 45 המפסרים שלא סומנו החליפו אקראית 3 מספרים (למזליסטים מביניכם שמדי פעם מנחשים 3 מספרים). זהו. זאת כל השיטה.
אני מקווה שמפעל הפיס לא יתרגז ויפסיק את ההגרלות. אבל השיטה עובדת. הנה, ראו אותי. לא ממלא וזוכה בחיי עבודה ואושר עם זוגתי וילדיי ואפילו חברי ומשפחתי המורחבת. ללא ריבים על כסף וללא קנאה. כי מה יש לקנא במי שאין לא?
יש לי מספיק. תודה.

באנדר  בתאריך 7/8/2007 10:50:29 PM

האם פיצחת את השיטה?

רק אם האמנת לעצמך שאכן תקנה כרטיס הגרלה.
מכיוון שאתה אדם ראציונאלי, וודאי חזית מראש שבסופו של דבר לא תקנה כרטיס, ולכן חלומך נפגע.
אני מציע לך את השיטה הבאה, סכם בינך לבין עצמך שאתה אכן תיקנה כרטיס, אם רק תצליח להטיל קוביה פעמים רצוף על 6.
כך תוכל לאחוז בתקווה ממשית, והתוחלת של ההשקעה תהיה נמוכה בהרבה משל אדם שקונה את הכרטיס ישר בקופה.

חן  בתאריך 7/9/2007 2:11:17 AM

כמה נקודות לחשיבה

ראשית, פוסט מרתק. נקודה אחת שרציתי להתמקד עליה היא ה"תועלת" בהשתתפות בהגרלת הפיס. אם חלקכם זוכרים, בשנות ה-70 וה-80 (ובודאי בשנותיה הראשונות של המדינה), הפרסים היו צנועים יותר והדגש היה על התרומה של הפרט (אשר רוכש כרטיס פיס), לטובת פיתוחה ויישובה של המדינה. הסיסמה הרווחת באותם ימים: "אתה זוכה, המדינה זוכה". ודומה שאת התמימות והנאיביות של אותם ימים, החליפה החומרנות, התקווה להיות מליונר צעיר והפרסים הגדולים והמפתים אשר מציעים לנו. ובכלל אפשר להגיד שהיום מוכרים לנו יותר פנטזיות מאשר אידאלים וערכים. סתם נקודה למחשבה…

גיל  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 2:20:08 AM

מה שאתה מתאר נכון חלקית

רוב אלו שממלאים לוטו או טוטו באים מהשכבות הנמוכות ורובם לא מודעים להסתברויות הנכונות. בתפיסה שלהם יש באמת סיכוי ממשי לזכייה. גם הרבה מאוד אנשים שכן מודעים לסיכויים האמיתיים כביכול לא פועלים לפיהם כי התחושה הטבעית שלהם היא שהסיכויים גדולים יותר. גם נראה שסכום כסף גדול מעוור את האנשים לגבי הסיכויים האמיתיים ויש לו אפקט הילה שקשה להשתחרר ממנו (למה אנשים ממלאים יותר דווקא כשיש פרס גדול, הרי הסיכויים לזכות לבד דווקא קטנים אז).

יורם גת  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:43:25 AM

כמו שנדמה לי שאתה רומז

הטלאת תאוריית התועלת באמצעות הדיבורים על "הזכות לקוות" אינה משכנעת. הרי לקוות אפשר תמיד – גם מי שלא רכש כרטיס יכול לקוות לזכות בפרס אם ככתוצאה מטעות הקלדה, או כתוצאה ממותו הפתאומי של קרוב רחוק שכן רכש כרטיס.
התיאוריה שלי היא שהמוח האנושי אינו בנוי לתפוס הסתברויות נמוכות כמו מליונית, שהרי במהלך התקופה בה התפתח המוח האנושי לא היה לבני האדם שום מקור מידע שיכול היה לספק הסתברויות שכאלה. לפיכך, ומאחר שמערך הפרסום של הפיס דואג להזכיר לציבור שההסתברות לזכות גדולה מאפס, המוח האנושי מעגל את ההסתברות כלפי מעלה, לסביבות האלפית, נאמר. ביחס סיכויים שכזה, ההשתתפות בהגרלה עשוייה להיות רציונאלית.

ירון  בתאריך 7/9/2007 9:54:48 AM

אפילו שהרעיון נחמד…

א. יש הבדל גדול בין למלא או לא למלא. זה ההבדל בין לחשוב הכל בראש או לבצע זאת בפועל. לקנות כרטיס הגרלה זה לפעול בעולם, אפילו אם זה רק לנסות והסיכויים נמוכים. זה בערך כמו מישהו שיש לו רעיון מאוד טוב לעסק, אבל הוא נשאר בראש שלו ולא עושה איתו כלום. אם הוא יחליט לעשות משהו בעניין הסיכויים שלו להצליח הם כך וכך, אבל אין לו את הסיכויים האלה אם הוא לא יעשה כלום. אותו דבר עם מישהו שרוצה לכתוב ספר וכו'. יש גם הבדל פסיכולוגי משמעותי אם אתה בפועל קונה כרטיס בסוף.
ב. אני חושב שהשיקול המשמעותי הוא הסטטיסטיקה האישית של כל מי שממלא: או שאני אזכה או שלא אזכה – לא יודע אם יש כאן סיכוי של 50-50 לזכות, אבל בטוח שאם אזכה, זאת תהיה זכייה ב100 אחוז (ואני לא מתכוון ל100 אחוז מהכסף). זה מזכיר לי את אחד משיעורי ההסתברות שנתנו לי פעם בתואר הראשון, כשהמרצה הציג בעיה על ציור קווים בעיגול ששאלה על הסיכויים להיווצרות תכונה גיאומטרית מסויימת (לא זוכר בדיוק). ואז היו שני פתרונות עם סיכויים שונים לגמרי, תלוי אם מרחב המדגם הוא נקודות החיתוך עם המעגל או הזוויות שנוצרות בין הקווים. אני לא זוכר בדיוק את השאלה אבל אני זוכר שהרושם היה עז: איפה באמת נמצאים הסיכויים הנכונים?

דרור שניר  בתאריך 7/9/2007 11:15:41 AM

ללא נושא

והשאלה האמיתית היא כמובן, למה לנפוש בנהריה? ועוד בתקופת החום והלחות הנפלאה הזו?
(באנדר, רעיון יפה.)

  בתאריך 7/9/2007 12:09:43 PM

ללא נושא

ויש כמה שלא ניצחו את השיטה, רק הרויחו כמה מיליונים. חבל שהם לא כל כך חכמים.

טל ירון  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:06:20 PM

ללא נושא

מצויין….
תחשוב כמה כסף הרווחתי מכך שלא מילאתי מאות טפסים במשך החיים. לפחות כמה עשרות אלפי שקלים. איזה עשיר אני….

נ'  בתאריך 7/9/2007 8:00:50 PM

רציונליות, אי רציונליות

יש לי השגות על הגדרת הרציונליות בהקשר זה. אי אפשר לדעתי לפטור את קניית כרטיסי ההגרלה שסיכויי עלייתם בגורל נמוך כ"כ ב'אי רציונליות'. אנו חוזרים כאן לפוסט היפה במיוחד שלך אודות המודל התיאורטי והמציאות. כיוון שבפועל יש זוכים אי אפשר לייחס אי רציונליות לפעולת הקנייה, לדעתי.
אני, אגב, לא קניתי כל כרטיס; אולי אני נעדרת קצת רציונליות.

אלי  בתאריך 8/18/2007 4:59:07 PM

החלופה להגרלה – בורסה

לפני כמה עשרות שנים התערבתי עם חבר לעבודה שרצה כי אשתתף בהגרלה כמו כולם. התערבתי איתו על 10ל"י (של אז…) כי כל פעם שלא יזכה – יתן לי 10 ל"י. אם יזכה – אתן לו את סכום זכייתו. בסכום שקבלתי (כל שבוע כמובן…) קניתי קרן נאמנות "מרגלית". הסיכוי שלו היה – או הכל, או כלום. שלי – גם אם יהיו ירידות, חלק יישאר לי. אחרי חצי שנה – (בהן הוא רק שלם לי) הפסיק את ההתערבות. ואז עשה חישוב, כי לו לא היה מבזבז כספו על מפעל הפיס – היה כבר יכול להחליף את מכוניתו הישנה…

אביתר  בתאריך 8/19/2007 1:04:17 PM

למעשה – מס נוסף

הכי גרוע – שבכסף שמפעל הפיס מרויח על גב קוני הכרטיסים, הוא משתמש בשביל לחלק בתי ספר, מתנ"סים, מבני ציבור וכו', בשיטת התרומות והנדבות, וכל זה במקום שהמדינה תבנה אותם איפה שבאמת צריך. למה על בניין בית הספר של הבת שלי צריכה להתנוסס בענק הכתובת "נבנה על ידי מפעל הפיס", או יותר גרוע "בית ספר פיס" – הרי המדינה, דרך משרד החינוך, היתה צריכה לממן ולבנות את בית הספר הזה.
אני בעיקרון איני קונה כרטיסי הגרלה, כי כל עוד המערכת עובדת ככה, עדיף שלמפעל הפיס יהיו כמה שפחות תקציבים לחלק ולא כמה שיותר.

הראל  בתאריך 8/23/2007 10:49:44 AM

למרות תוחלת רווח שלילית

אנשים "משקיעים" בגלל מה שנקרא "שווה ערך ודאי" מונח הקשור לתחום תורת התועלת של פון-נוימן ומורגנשטרן
הכוונה היא שיש לאדם פונקציית תועלת (הנמדדת במונחי תועלת- ולא במונחים כספיים) הולכת ופוחתת
שווה הערך הוודאי הוא אותו הסכום הוודאי שאדם יסכים לשלם/ לקבל במקום סכום שהוא אמנם גדול יותר (כמו למשל פיס) אבל מועד תשלומו העתידי אינו ידוע.
שווה-הערך הוודאי מחושב מתוך השוואת התועלת מקבלת סכום ודאי זה לתוחלת התועלת מקבלת התקבול האי-ודאי וקשור לפונקציית התועלת האישית של כל אחד ואחד
מקרה דומה אבל הפוך ניתן לראות למשל בביטוח, אדם ישלם היום סכום שעל פי ערך התועלת שלו קטן מאשר קרות מקרה הביטוח. אם חברת הביטוח תעלה את הפרמיה יותר ויותר, יהיה שלב שאותו אדם לא ישלם פרמיה למרות הסיכון בגלל שאותו "ערך ודאי" כבר גבוה מתוחלת ההפסד שתהיה לו במקרה של ביטוח

גילי נחום  [אתר]  בתאריך 3/10/2008 2:33:48 AM

פצח את השיטה אם פטיש

אם אתה לשקר לעצמך שתקנה כרטיס, בעוד שברור לך אפריורית שלקראת סגירת ההגרלה לא תרכוש אותו,
אז כבר שקר לעצמך שזכית ב- 50 מיליון וסגור עניין.

נופר סיני פרסמה אתמול במוסף הכלכלה של הארץ.דה-מרקר כתבה שכותרתה יותר מזל משכל, לכבוד ההגרלה הגדולה של מפעל הפיס שתתקיים ב-2 ביולי. אני הייתי אחד המרואיינים בכתבה זו. מטבע הדברים, נופר סיני, שעשתה עבודה מצויינת, לא יכלה להביא לדפוס את כל הדברים שאמרתי לה, ולכן אני מפרסם רשימה זו כהשלמה לכתבה.

סיכויי הזכיה מול סיכויים אחרים

בהגרלת ה-50 מליון יש לנחש 5 מספרים שנבחרים באקראי מבין 49 מספרים (סדר הבחירה לא משנה). כיוון שאפשר להרכיב 1,906,884 חמישיות אפשריות, הסיכוי לזכיה בהגרלה, כאשר בוחרים חמישיה בודדת (טבלה אחת) הוא 1 ל-1,906,884, כלומר בערך 1 לשני מליון. אם ממלאים טופס שבו יש 10 טבלאות, ובכל טבלה יש צירוף מספרים שונה, אז סיכוי הזכיה של הטופס הוא כבר 10 לשני מליון או 1 למאתיים אלף בערך.
פרופ משה פולק (שאני נמנה עם תלמידיו הרבים) אמר כי "הסיכוי לזכות בפרס הגדול בהגרלת הלוטו בשבוע הבא, בסך 50 מיליון שקל, קטן בהרבה מהסיכויים שלכם למות השבוע (חס וחלילה) בתאונת דרכים". אכן, בישראל נהרגים כ-600 איש בשנה בתאונות דרכים, או בממוצע כ-11.5 איש בשבוע. כיוון שבישראל 7 מליון תושבים, הסיכוי שלכם להיהרג בתאונת דרכים בשבוע הבא הוא הערך 11.5 ל-7 מליון, או 1 ל-607,000 בערך.
אפשר להפחיד אתכם עם סיכויים הרבה יותר גבוהים – הסטטיסטיקאים של חברות הביטוח יודעים לכמת כל סיכון שתעלו בדעתכם. הסיכויים שלכם למות כתוצאה ממחלת לב הוא 1 ל-5, מסרטן 1 ל-7, ומשבץ הסיכוי הוא 1 ל-23 בערך, כך מדווח באתר LiveScience. הסיכוי למוות יותר ביזארי נמוך יותר: 1 ל-83930 סיכויי מוות מפגיעת ברק ו-1 ל-200,000 הוא הסיכוי למות מפגיעת אסטרואיד, כמו הסיכוי לזכות בפרס הגדול בטופס סטנדרטי בן 10 טבלאות.

תוחלת הזכייה

אז איך מחשבים את תוחלת הזכייה בהגרלה הגדולה? מחיר טבלה בהגרלה הגדולה הוא 5.5 ₪. תוחלת הזכיה, יאמרו לך במפעל הפיס היא לכן חיובית וערכה בערך 19.5 ₪ לפי החישוב המקורב, והשגוי, הבא:

החישוב מקורב ממספר סיבות: כמובן, הסתברות הזכייה בפרס הראשון מקורבת. מלבד זאת, לא נלקחו בחשבון הסתברויות הזכייה בפרסים הקטנים יותר, שיגדילו במעט את התוצאה הסופית. אבל גם אם ניקח את כל זה בחשבון החישוב עדיין שגוי.
הבעיה היא שהפרס הגדול אינו באמת 50 מליון ש"ח. בגלל כמות הטפסים הגדולה שתישלח, סביר להניח כי הפרס הראשון יתחלק בין מספר זוכים (כמתואר ברשימתי אז כמה יזכו בפרס הראשון בהגרלת 50 המליון?) אלא יתחלק בין 5, 6 ואולי אפילו 7 זוכים. זכרו כי מפעל הפיס לא באמת מחלק כסף: סכום הפרס שיחולק קבוע  מראש ומפעל הפיס לא יצא מופסד. אם הפרס הראשון לזוכה יהיה בפועל 7 מליון שקלים (במקרה של 7 זוכים), חישוב דומה לחישוב הקודם כבר ייתן ערך שלילי של בערך 2 ₪:

אז איזה חישוב נכון? אם יהיו 3 זוכים בפרס הגדול, האם תוחלת הזכיה באמת הייתה חיובית? כדי לחשב את תוחלת הזכיה המדוייקת יש לדעת איך יתחלקו הפרסים, וזאת לא ניתן לדעת מראש. אבל אם נדע כמה טבלאות השתתפו בהגרלה, ומהו סך הפרסים שחולקו בסופו של דבר, נוכל לחשב (בדיעבד) את תוחלת הזכיה המדוייקת של טבלה בודדת, על ידי כך שנחסיר את סך ההכנסות מההגרלה מסך הפרסים שחולקו, ונחלק את ההפרש במספר הטבלאות שהשתתפו בהגרלה. אפשר לומר בביטחון שסך ההכנסות מההגרלה יעלה על סך הפרסים, ולכן תוצאת כל החישוב הזה תהיה שלילית.

מה הסיפור עם המספרים העוקבים?

פרופסור שאול בר לב, מרצה לסטטיסטיקה באוניברסיטת חיפה, מציע לא למלא מספרים עוקבים. "תיאורטית", אמר בר לב "ייתכן שיופיע צירוף של מספרים עוקבים, אך בפועל זה עוד לא קרה". וכמה הגרלות של 50 מליון כבר היו? מבין שני מליון הצירופים האפשריים של 5 מתוך 49 יותר מ-99.999% עדיין לא עלו בגורל.

האמת היא שלכל צירוף יש אותו סיכוי לעלות בגורל כמו כל צירוף אחר, וסביר מאוד שהצירוף שיעלה בהגרלה הקרובה יהיה צירוף שלא עלה קודם לכן. מי שיכתוב תכנית סימולציה שמעלה בכל פעם בגורל 5 מספרים מתוך 49, וידמה כמה מיליוני הגרלות כאלה, יקבל גם צירופים של חמישה מספרים עוקבים בפרופורציה המתאימה.

הסכום 138

אתר לוטומן מציע לבחור מספרים שסכומם הכולל הוא 138, כיוון שצירופי מספרים שסכומם הכולל 138, כבר זכו בפרס הראשון חמש פעמים בשלוש השנים האחרונות. הסבר מדעי – אין כמובן,  כי מדובר בקשקוש מוחלט. שמהמרים על צירוף מסויים, ולא על הסכום שלו. כאשר בוחרים באקראי 6 מספרים מתוך 34 (בהגרלת הלוטו השבועית), ההסתברות כי סכומם יהיה 105 גדולה יותר מההסתברות שסכומם יהיה מספר אחר כלשהו, זאת כיוון שיש יותר צירופים כאלה.

דמיינו לכם לוטו בו צריך לנחש שני מספרים מתוך שישה. סה"כ יש 15 צירופים אפשריים בלוטו כזה. אם תרשמו את כל הצירופים האפשריים תגלו כי יש בסך הכל 3 זוגות שסכומם  7,  (שהם 1-6, 2-5, ו- 3-4) ולכן שסכום שני הספרים שיעלו בגורל הוא 20%. לעומת זאת, הסיכוי שסכומם יהיה 8 הוא 13.3% בלבד, כמו הסיכוי שסכומם יהיה 6. הסיכוי שסכומם יהיה 3, לעומת זאת, הוא 6.6%, (שזה אחד חלקי 15).  האם כדאי יותר להמר על זוג שסכומו 7?  אם תהמרו על הזוג 3-4, הסיכוי שלו לעלות בגורל הוא 1 ל-15, בדיוק כמו הסיכוי שכל זוג אחר יעלה בגורל.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 23 ביוני 2007  שם התקבלו 21 תגובות

התגובות מתפרסמות על דעת ובאחריות כותביהן בלבד.

בני יעקובי  בתאריך 6/23/2007 8:11:23 PM

אני חושש שלא הבנת את הפרנציפ

אני למשל ממלא בשיטת "שלוש לא בעיה להביא"
שזה כל ילד שממל לוטו יודע ששלוש זה לא בעיה להביא
ועל כן כל מה שנותר לי לעשות זה למלא שלושה מספרים קבועים
ולחכות שהם יעלו בגורל
ואז שלוש זה הרי לא בעיה להביא
אזי אני אזכה בפרס הראשון נכון?
אחר כך אני מעלה את הסיכויים שלי בצורה יותר
מתוחכמת.
אני לא בודק את הטופס שבוע שבועים
אם נודע לי כי מנדהו זכה אזי ברור שלא זכיתי
אבל אם לא ונודיעים כי לא נמצא עדין הזוכה המאושר
אזי אני דווקא די שמח כי הסיכויים לי עכשיו הם הרבה יותר גדולים..
ובא לציון גואל.

גבי  בתאריך 6/23/2007 8:47:43 PM

איך הגעת למספר שציינת?

יוסי -תטכל להסביר איך הגעת למספר שציינת – לפי הבנתי המספר שונה:אם למספר הראשון יש 49 אפשרויות , למספר השני יש 48 אפשרויות , וכך הלאה, החישוב צריך להיות כך:
49*48*47*46*45
אני כנראה טועה – אשמח להשכיל.

אלון  בתאריך 6/23/2007 9:59:02 PM

תגובה לגבי

יכול להיות שאני טועה, כי עבר זמן מאז קורס המבוא לסטטיסטיקה, אבל אם אני זוכר נכון בחישוב שלך יש משמעות לסדר, כלומר הצירוף 1 2 3 4 5 שונה מ- 5 4 3 2 1, בעוד שבלוטו הצירופים הללו זהים

רוג'ר מור  בתאריך 6/24/2007 1:51:42 AM

ללא נושא

ומה שעוד בטוח, זה ש- 25 אחוז מהזכיה הולכים למדינה כיוון שהם מנוכים כמס במקור. כך שחמישים מיליון זה בטוח לא- מקסימום 37.5 גם אם אתה זוכה לבד

זוריק  בתאריך 6/24/2007 9:22:04 AM

קצרצר על הסתברות ורגשות

עניין תאונות הדרכים והאסטרואיד מיד הגבירו אצלי את הדופק.
והשאלה היא מה מהמידע בכתבה, גורם לאנשים שינוי התנהגותי (רציונלי או לא…)
סיכוי להפגע מאסטרואיד – למעט מקרים קיצוניים של פאראנויות, לדעתי לא גורם לאנשים שינוי התנהגות כלשהי (גם לא קיצוני)
סיכוי לתאונת דרכים – משפיע, אנשים לעיתים נמנעים מנסיעות ארוכות, על מנת שלא להיות חשופים לאפשרות. (ואז הם הולכים ברגל לפארק, ונדרסים על מעבר החציה, אבל זה סיפור אחר לגמרי)
אבל… אנשים רוכשים כרטיס לוטו _בד"כ 10 טורים) כי…"בכל זאת יש סיכוי" אגב סיכוי גבוה בהרבה מן הסיכוי לזכות אם לא שלחת טופס בכלל…
ועם רגשות, אמר לי בעלי, ( כמו גם עם אמונות) לא מתווכחים.
ןהשיטה של בני יעקובי היא השיטה המנצחת,(לפחות כבשה אותי) לפי כל קנה מידה. בני, אתה אדיוט שגילית, כי עכשיו תהיה לך שותפה במקרה של זכיה (לא תהיה זוכה יחיד) , כי 3 הרי זה פשוט להביא….
ולבדוק את הטופס? מי זוכר בכלל
אגב, גרנט ידידי אומר שהסיכוי לזכות (יחיד) הוא כמו הסיכוי לפתוח את הדלת, ולגלות שמישהו השאיר בטעות מזוודה מלאה כסף על סף ביתך.
עם כל זה שזה ציורי, אני מכירה אנשים שזכו (גם אם לא בסכומים אגדתיים), ואני לא מכירה (עדיין… עדיין) מישהו שמצא את המזוודה האבודה ההיא. ההיא- כי ברור שיש רק אחת דימיונית שכזו)
ובאה לציונה הגואלת

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 6/24/2007 10:54:40 AM

אין כמו השיטה של בני יעקובי

קראו עליה עוד בלינק הבא
http://en.wikipedia.org/wiki/Dunning-Kruger_Syndrome

רחל  בתאריך 6/24/2007 12:09:59 PM

על סטטיסטיקה וחיות אחרות

הדוגמאות הסטטיסטיות מאלפות במיוחד לנוכח העובדה שהלוטו כאן בארץ מנהל את זה כאן כמפעל לפתאים שמאמינים בכל לב שהם יזכו בפרס הגדול.
הלוטו ובכלל מפעל הפיס מריץ קמפיינים שעושים אותו למפעל צדקה אבל תראו מה קורה בפועל לאנשים זו שטיפת מוח לכל דבר ועיניין ולא סתם דה מארקר לא פרסם את הרשומה שלהלן.
אנשים מאמינים שבאמצעות טופס או מספר טפסים העתיד שלהם ישתנה ללא הכר.
וזה ממש לא כך.
הלוטו הוא הימור חוקי אמנם אבל עדיין הימור.
הכסף הקל הוא מפתה והוא משחק פסיכולוגי מכור שמוכר יפה מאוד.
ולא משנה אם אחרי בונים מתנס אחד או יותר.
המהמרים הללו נעשים עניים ומתוסכלים יותר.
אחרי זה אתה פוגש אותם בקבוצות תמיכה או בבית חולים פסיכיאטרי. או בהוצאה לפועל…
רחל

גיל  [אתר]  בתאריך 6/24/2007 8:41:23 PM

כמה הערות

מבחינה אבולוציונית, המוח שלנו לא התפתח להבין סדרי גודל כאלו. המוח שלנו התפתח לסביבות שבהן חיו כמה מאות אנשים במקרה הטוב, והסטטיסטיקה האינטואיטיבית טובה לסדר גודל כאלו. מספרים קטנים מאוד כמו שברים ומספרים גדולים מאוד פשוט נמצאים מעבר לתפיסה המוחשית שלנו. אף אחד לא יודע להעריך כמה זה מיליון, כי מאוד קשה לראות מיליון דברים בעיניים. מצד שני, ללוטו יש 50 מספרים וצריך לבחור רק 6, ואלו מספרים שכן נתפסים על ידי החושים שלנו ולכן מטעים כל כך.
המוח שלנו גם מחפש סיבתיות בכל מקום. ולכן המושג של תצפיות בלתי תלויות קשה מאוד לקליטה. אנשים חושבים בתת מודע שלהם שאם הם יהמרו על אותם מספרים לאורך זמן הם יצאו בסופו של דבר.

ישראל  בתאריך 6/25/2007 8:05:43 AM

שאלות:

א. כמה אנשים נהרגים מפגיעת מטאור כל שנה?
ב. אם סיכויי הזכיה של טופס הם 1 ל-200,000 והסיכוי למות בתאונת דרכים הוא 1 ל-600,000 אז הטענה של פרופסור פולק היא לא נכונה. אני מפספס משהו?
ג. מה הסיכוי שאני אמות?

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 6/25/2007 8:17:19 AM

תשובות לישראל

לפי הבנתי, פרופ פולק טען שהסיכוי של טבלה בודדת לזכות נמוך מהסיכוי לההירג בתאונת דרכים במשך שבוע נתון.
אם תשלח יותר טבלאות, אתה יכול להגדיל את הסיכוי לזכות, כפי שתוכל להקטין את הסיכוי שלך להיהרג בתאונת דרכים אם תצא פחות מהבית.

לוטומן  [אתר]  בתאריך 6/25/2007 11:22:29 PM

מספרים עוקבים וסכום של 138

ברור שהסיכוי התיאורטי לתוצאה של 1,2,3,4,5 הוא אותו סיכוי כמו של כל תוצאה אחרת (למשל כזאת שנראית "מקרית יותר"). אבל הנה, זה לא קרה מעולם. אף פעם.
בטווח הקצר (למשל ימי חיינו), צומחים ויוצאים דפוסים מסוימים. מספרים מסוימים עולים בגורל יותר ממספרים אחרים. כדורי הפלסטיק במכונה של מפעל הפיס בודאי אינם זהים לחלוטין – ההגרלה האמיתית אינה מתנהגת כמו זו התיאורטית.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 6/26/2007 8:07:13 AM

תשובה ללוטומן

לפי ההגיון שלך ושל שאול בר לב צריך להמר רק על צירופים שכבר הופיעו בעבר.
אתה יודע היטב שמתוך שני מליון הצירופים האפשריים, הרוב המכריע של הצירופים לא עלה מעולם.
כיוון שיש לך את כל הנתונים ההיסטוריים – תעשה תרגיל קטן: תעבור עליהם לפי הסדר הכרונולוגי, ותברר באיזה אחוז של ההגרלות עלה צירוף שלא הופיע מעולם קודם לכן. תחזור עם הנתון הזה, ואז נדבר.

a8145060  [אתר]  בתאריך 6/27/2007 6:34:57 PM

כמה דברים על ההגרלה הגדולה

באמת הסיכוי ל5 מספרים מתוך49 בטבלה אחת מאוד נמוכים.
גם מילוי 2 טבלאות לא ישנה כי כל טבלה תהיה אם אותה הסתבות לזכיה ואי אפשר לחבר את הסתבריות האלו(מאורעות לא טלויים)
הכי טוב זה להשתמש בצימצומים כמו שיש בקמונה תפוזאו באינטרנט
למשל סיכוי טבלה אחת לזכות בפרס הראשון הוא
1:1906884
אם נעשה למשל צימצום של 6 מספרים הסיכוי לפרס ראשון יהיה 1:317814
הבעיה היחידה היא שצימצום לא מבטיח במאה אחוז שהם יהיו כל 5 המספרים שנזכה בפרס ראשון, מצד שיני בטוח שנזכה או פעם 1 פרס ראשון או פעמים פרס שיני -טלוי ברמת הביטחון של הצימצום
ואם כל התנאים מולאו.
בקשר לצירוף 1,2,3,4,5,6
זה נכון שעדין באף הגרלה בעולם הצירוף הנל עדין לא יצא, אבל זה רק בגלל שכל לוטו שומר לעצמו את הזכות לחסום צירוף מסויים, ומה לעשות אין צימצום שלא מתחיל עם המספרים הנל
http://www.tapuz.co.il/Communa….ommunaMsges.asp?CommunaId=2160

לוטומן  [אתר]  בתאריך 7/1/2007 10:10:25 AM

ברור שלא

למעשה, בכל פעם שאני ממלא לוטו, אני מוודא כי לא מילאתי שישיה שכבר עלתה בגורל בעבר.
בוא ננסה גישה אחרת: אחת לתקופה, מפעל הפיס משמיד את כדורי המספרים שברשותו ומתחיל שוב עם סט כדורים "חדש מהניילון". הסיבה לכך ברורה: כדי לסלק כל חוסר איזון בין הכדורים שאולי נוצר במשך הזמן משחיקה (או מזדון).
מפעל הפיס אינו מפרסם (מן הסתם) את זמן החלפת הכדורים.
אם היה אדם (למשל אני) בא וטוען כי הוא יכול להסיק כי הכדורים הוחלפו בכדורים חדשים מספר שבועות לאחר שההחלפה בוצעה, האם היית יכול לומר בבטחון מלא שזו טענה בלתי אפשרית/שיקרית ?

לוטומן  [אתר]  בתאריך 7/1/2007 10:37:55 AM

אופס המשך, ובקשר ל-138

בחרת שלא להבין את הטענה שהבאתי במאמר על סכום המספרים (=138) ולכן אנסה הסבר נוסף.
ברור לחלוטין שההסתברות לזכייה של כל צירופי המספרים שסכומם 138 נמצאת ביחס ישר למספר הצירופים. אני גם מציין במפורש שבטווח הארוך נצפה לקבל עקומת פעמון "חלקה", ועד כאן שוררת בינינו הסכמה.
אני מראה שבעקומה האמיתית ישנם "קוצים". אני מסכים בודאי שהימצאות קוצים כאלה היא דבר טבעי, בעיקר בגלל מיעוט הדגימות. אם הגרלת הלוטו תמשיך עוד 10,000 שנה, העקומה בודאי תהיה חלקה יותר.
ואולי לא? מאחר וההגרלה מתבצעת במכונה פיסית ולא ע"י פונקציה מתמטית מאוזנת (ראה גם הערתי הקודמת), אולי הקוץ ב-138 ימשיך ויבלוט החוצה גם בעוד 100 שנים?
נשאלת השאלה, מה הקשר בין סכום המספרים שעלו בגורל לבין המודל הפיסיקלי של המכונה (למשל מודל כזה המתאר אפשרות של כדורים שאינם מאוזנים) ? אין קשר ממשי שאני יכול לחשוב עליו.
הקורא הנבון עשוי להתקדם צעד נוסף ולחשוב על קריטריון אחר (לא סכום המספרים) שכן עשוי לשקף חוסר איזון במכונה ולנסות לבדוק אותו. ואידך זיל גמור.

עופר  בתאריך 7/3/2007 8:04:24 AM

יש לך טעות קטנה

בחישוב תוחלת הזכייה אין צורך להכפיל את מחיר ההימור (5.5) בהסתברות כלשהי כיוון שאת מחיר ההימור משלמים בכל מקרה.
כמובן, שההשפעה של זה על התוצאה היא זניחה ביותר, עדיין, החישוב מוטעה

באתר "נסיכת המדעים" פורסמה התייחסות לרשימה זו 
בתאריך 7/8/2007 9:34:48 PM

הגרלת ה-50 מליון: איך ניצחתי את השיטה

כתבתה של נופר סיני בדה-מרקר על הגרלות הלוטו צוטט חתן פרס נובל לכלכלה, פרופ' ישראל אומן, שאמר בהתייחסו לנושא: "אנשים לא קונים טפסי לוטו, הם קונים את הזכות לקוות".
בשבוע שעבר הייתי בחופשה בנהריה, ובעת המשך…

פרופ' שאול בר-לב  בתאריך 8/19/2007 1:42:53 PM

גובתי על מספרים עוקבים בלוטו

הרהרתי לעצמי, האם להגיב או שאולי לא. החלטתי שאעשה זאת, ולהלן תגובתי: הכתבת עוותה בכתבה את אשר אמרתי לה (מה שאולי מלמד אותנו לדרוש מכתבי העיתונות השונים לאפשר לנו להגיב על טיוטת הכתבה). ובכן, לעצם העניין (הקשור בלוטו): לכל צירוף של 6 מספרים או יותר יש אותו סיכוי להדגם. על כך אין עוררין, כמובן בהנחה שזו הנחת העבודה. כעת, נניח שחמישה מהמרים המרו נכון על הצרוף של הפרס הגדול (או פרסים אחרים). סכום הזכייה מתחלק אז בין החמישה. ואם ארבעה (או שלושה וכו') המרו נכון על הצרוף של הפרס הגדול? אז כמובן, סכום הזכייה מתחלק בין כולם. כלומר, ככל שמספר המהמרים נכון קטן יותר, סכום הזכייה גדול יותר. מה אם כן המסקנה? עלינו כמהמרים לעשות כל מאמץ על מנת שנהיה הזוכים הכמעט יחידים. או קי, איך עושים זאת? עלינו אז להמר על התנהגויות פסיכולוגיות במילוי מספרים. אני כסטטיסטיקאי, ולא כפסיכולוג, מוכן להמר על כך שמהמרים אינם נוטים להמר על מספרים עוקבים כמו: 1,2,3,4,5,6 או 22,23,24,25,26,27. הם נוטים להאמין שצרוף עוקב כזה לא יכול לעלות בגורל. ולכן, הם, המהמרים, טועים. כי אם לכל צירוף אותו סיכוי להידגם, כך יש גם לצירוף עוקב כזה. על כן, אם הנחת העבודה הפסיכולוגית אומנם תקפה, אזי למהמר אשר הימר על צירוף של מספרים עוקבים שעלה בגורל, יש סיכוי לגרוף את הפרס הגדול (או אחר) כמעט באופן יחיד, וכמה מאושר יהא אז מהמר שכזה. או קי, האם ההסבר מספק אתכם קוראים ומגיבים יקרים?

פרופסור שאול בר-לב   בתאריך 8/20/2007 1:28:42 PM

תגובתי על מספרים עוקבים בלוטו (כתבתה של

הרהרתי לעצמי, האם להגיב או שאולי לא. החלטתי שאעשה זאת, ולהלן תגובתי: הכתבת עוותה בכתבה את אשר אמרתי לה (מה שאולי מלמד אותנו לדרוש מכתבי העיתונות השונים לאפשר לנו להגיב על טיוטת הכתבה). ובכן, לעצם העניין (הקשור בלוטו): לכל צירוף של 6 מספרים או יותר יש אותו סיכוי להדגם. על כך אין עוררין, כמובן בהנחה שזו הנחת העבודה. כעת, נניח שחמישה מהמרים המרו נכון על הצרוף של הפרס הגדול (או פרסים אחרים). סכום הזכייה מתחלק אז בין החמישה. ואם ארבעה (או שלושה וכו') המרו נכון על הצרוף של הפרס הגדול? אז כמובן, סכום הזכייה מתחלק בין כולם. כלומר, ככל שמספר המהמרים נכון קטן יותר, סכום הזכייה גדול יותר. מה אם כן המסקנה? עלינו כמהמרים לעשות כל מאמץ על מנת שנהיה הזוכים הכמעט יחידים. או קי, איך עושים זאת? עלינו אז להמר על התנהגויות פסיכולוגיות במילוי מספרים. אני כסטטיסטיקאי, ולא כפסיכולוג, מוכן להמר על כך שמהמרים אינם נוטים להמר על מספרים עוקבים כמו: 1,2,3,4,5,6 או 22,23,24,25,26,27. הם נוטים להאמין שצרוף עוקב כזה לא יכול לעלות בגורל. ולכן, הם, המהמרים, טועים. כי אם לכל צירוף אותו סיכוי להידגם, כך יש גם לצירוף עוקב כזה. על כן, אם הנחת העבודה הפסיכולוגית אומנם תקפה, אזי למהמר אשר הימר על צירוף של מספרים עוקבים שעלה בגורל, יש סיכוי לגרוף את הפרס הגדול (או אחר) כמעט באופן יחיד, וכמה מאושר יהא אז מהמר שכזה. או קי, האם ההסבר מספק אתכם קוראים ומגיבים יקרים?

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/21/2007 7:59:19 AM

תודה לפרופ בר לב על תגובתו

אני מצר על כך שדבריו עוותו (או לא הובנו) בכתבה. קיוויתי שפרופ בר לב יגיב, שכן הופתעתי מאוד מהדברים שנאמרו בשמו. אכן, מאוד לא סביר שאיש מקצוע ברמתו של פרופ בר לב יאמר את מה שנטען שאמר, ובדיעבד אני סבור שהייתי צריך להתריע על כך כבר בגוף הרשימה.
בקשר להצעה להמר על מספרים עוקבים – אני עדיין חושש שאם צירוף שכזה יעלה בגורל, הפרס הראשון יתחלק בין זוכים רבים. אני זוכר במעומעם מאמר במגזין Chance (http://www.amstat.org/PUBLICATIONS/chance/index.html) שניתח את השכיחויות של צירופי המספרים עליהם הימר הציבור בהגרלת הלוטו של קליפורניה. מסקנת המאמר הייתה כי המהמרים נוטים להמר על צירופים כאלה ודומיהם ומעדיפים אותם על פני צירופים "מקריים" חסרי סדר.

באתר "נסיכת המדעים" פורסמה התייחסות לרשימה זו 
בתאריך 3/20/2008 10:29:18 PM

איך לזכות ב-52 מליון ש"ח בטוטו

האמת, עד שקיבלתי היום בצהריים טלפון מאיזה עיתונאית מידיעות אחרונות, בכלל לא ידעתי שבארץ רוחשת לה קדחת טוטו – מה שמוכיח כי אני לא ממש יודע כל דבר.
אבל יש קדחת טוטו. לאחר כמה ששבועות שבהם איש לא ניחש נ המשך…