נסיכת המדעים

במקבץ השבוע גם כמה קישורים מהשבוע הקודם שנדחו בגלל פול התמנון.

• ב-7 ביולי צוין יום השנה ה-104 להולדתו של הסטטיסטיקאי וחוקר תורת ההסתברות ויליאם פלר. צייצתי את המאורע בתוספת הערה כי "מי שלא ציטט את ספרו של פלר בעבודת המאסטר או הדוקטורט שלו, לא באמת עשה תואר בסטטיסטיקה". טוב, אולי קצת הגזמתי, אבל הספר אכן מצוטט בעבודת המוסמך שלי.
• כאשר ערכתי את רשימת 15 הסטטיסטיקאים הגדולים כללתי בה 5 סטטיסטיקאים חיים.  אחד מהם הלך לעולמו ב-8 ביולי, בגיל 91. דויד בלקוול, בנו של פועל רכבת מדרום אילינוי, אשר לימד את עצמו לקרוא, הפך לאחד הסטטיסטיקאים המשפיעים ביותר במאה העשרים. בלקוול חקר גם את תורת המשחקים, וכתב ספר לימוד פופולרי בתחום. ויליאם בריגס כותב גם הוא בבלוג שלו על בלקוול, ומתאר שם את פתרונו של בלקוול לבעית ההימורים הידועה כ-"פרדוקס סנט-פטרסבורג".
• נניח שאתם מתכנתים קוד מחשב. ודאי שיש בו באגים. איך תדעו כמה באגים יש בו? ג'ון ד. קוק מסביר בבלוג שלו איך לעשות את זה: אפשר לבקש ממישהו לבדוק את הקוד. נניח שימצא 20 באגים. זה אומר שיש בקוד לפחות 20 באגים, אבל לא מקדם אתכם הרבה. הפתרון – לתת לעוד מישהו לבדוק את הקוד. סביר להניח שימצא חלק מהבאגים שמצא הבודק הראשון, ואולי גם יעלה על באגים אחרים. עכשיו, בעזרת קצת סטטיסטיקה, תוכלו לאמוד את מספר הבאגים שנמצאים ועדיין לא התגלו.
• מעולם לא כתבתי מכתב אהבה כזה, אבל מלים כאלה רק סטטיסטיקאי יכול לכתוב.
• בהמשך לפול התמנון: האם העובדה כי מישהי זכתה ארבע פעמים בלוטו "סותרת את כל הסטטיסטיקות"? ממש לא.
• חובבי הבייסבול יודעים כי קבוצת פיטסבורג פיראטס היא אחת הקבוצות החלשות ביותר בליגת הביססבול האמריקנית (MLB). ובכל זאת, הליגה מציעה לאוהדים לרכוש אופציה לרכישת כרטיס למשחק השביעי של הפיראטים  בסדרת הגמר (ה"וורלד סירייס"), אם יהיה משחק כזה, כמובן. האם כדאי לקנות את האופציה? ואם כן, האם המחיר המוצע "משתלם"? בלוג הבייסבול FanGraphs מציג שילוב של ניתוח סטטיסטי וכלכלי, עם הסבר נאה למושג התוחלת ומשמעות האופציה.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• מגילת אסתר סמואל כהן
• בדיחות בלתי מובנות
• על סדר היום: חשמל, מונדיאל, כלכלה וחלחלה
• הכלכלה והסטטיסטיקה
• פרס נובל למתמטיקה

האמת: שום דבר מיוחד.

בידיעה שפורסמה ב-Ynet לפני כחודש נמסר כי "אותם מספרים בדיוק יצאו בשתי הגרלות לוטו ברציפות". מדובר בלוטו הבולגרי, שם המספרים 4, 15, 23, 24, 35 ו-42 הוגרלו ב-6 בספטמבר ולאחר מכן שוב, ב-10 לחודש. עוד נמסר בידיעה כי "המתמטיקאי מיכאיל קונסטנטינוב חישב ומצא כי הסיכוי לכך הוא 1 ל-4.2 מיליון". כן נמסר כי שר הספורט של בולגריה הורה לפתוח חקירה מיוחדת בנושא.

המממ.

האם באמת מדובר באירוע כל כך נדיר שמצדיק חקירה, ולא סתם חקירה אלא חקירה "מיוחדת"? האם הסיכוי ל"כך" הוא באמת אחד ל-4.2 מליון, כמו שחישב מר קונסטנטינוב?

התשובה הרבה יותר מסובכת, ועם זאת לא קשה להבנה. כמו תמיד: התשובה המדויקת תלויה בניסוח מדויק של השאלה, כלומר למה מתכוונים כשאומרים "כך". אביא תחילה את התשובות כפי שפורסמו באתר ChanceWiki (אתם מוזמנים לגלוש ולעיין בחישובים המפורטים):

• הסיכוי כי המספרים  4, 15, 23, 24, 35 ו-42 יעלו בגורל בשתי הגרלות בתאריכים נתונים (6 בספטמבר ו-10 בספטמבר) הוא בערך אחד ל-27000 מיליארד.
• הסיכוי כי בשתי הגרלות בתאריכים נתונים יעלו אותם 6 מספרים (אך לא בהכרח הצירוף הנ"ל) הוא בערך אחד ל-5.2 מיליון.
• הסיכוי כי במשך שנה שלמה, בה נערכות 104 הגרלות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות, הוא בערך אחד ל-51000.
• הסיכוי כי במשך רצף של 5400 הגרלות (הלוטו הבולגרי קיים יותר מחמישים שנה, וזה בערך מספר ההגרלות שנערכו בו) יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות הוא בערך אחד ל-970.
• הסיכוי כי באיזה הגרלת לוטו, באיזה מקום בעולם, באיזושהי נקודת זמן בתקופה של חמישים שנה בה נערכות הגרלות דו שבועיות, יעלו אותם 6 מספרים בשתי הגרלות רצופות וזאת בהנחה שיש בעולם כ-100 הגרלות לוטו כאלה, הוא בערך 10%.

אז מתברר שדי צפוי שמתישהו, איפהשהו, יעלו אותם מספרים בשתי הגרלות לוטו רצופות. אני מקווה שהחקירה המיוחדת של שר הספורט הבולגרי תעלה על זה.

הנה הסבר אינטואיטיבי למה שקרה באמת.

תחשבו על קוביה. הרי הגרלת הלוטו היא תהליך שבו בוחרים אפשרות אחת מתוך 5245786 אפשרויות (זה מספר הצירופים האפשריים של 6 מספרים מתוך 42, כלומר מספר הצירופים האפשריים בלוטו הבולגרי). במלים אחרות, הגרלת הלוטו שקולה להטלת קוביה עם 5245786 צדדים, ולכן הדיון העקרוני לא צריך להיות שונה מדיון בהטלה קוביה "רגילה" הדומה לקוביות שמתנוססות בראש העמוד הזה.

לקוביה רגילה יש 6 צדדים, ובהחנה שהקוביה "הוגנת", יש סיכוי שווה של שישית לכל אחת מהתוצאות האפשריות של הטלת הקוביה (התוצאות הן הספרות 1-6).

אם נטיל את הקוביה פעמיים, יש סיכוי של אחד ל-36 כי בשתי ההטלות נקבל 6, אבל הסיכוי כי נקבל בשתי ההטלות את אותו הספר, לאו דווקא 6, הוא הרבה יותר גדול, ושווה לאחד ל-6. זאת כי לתוצאה של שתי הטלות יש 36 תוצאות אפשריות, ורק אחת מהן היא 6-6, אבל 6 מתוך ה-36 הן "דאבל" (1-1, 2-2, וכן הלאה עד 6-6).

אם תטילו את הקוביה מספר פעמים, אז הסיכוי כי באיזהו שלב בסדרת ההטלות יופיע אותו מספר בשתי הטלות רצופות עולה, כי יש לכם יותר הזדמנויות לקבל שתי הטלות רצופות. אתם מוזמנים לנסות ולכתוב את כל 216 התוצאות האפשריות של סדרה של 3 הטלות קוביה, ולספור בכמה תוצאות מתקבלת אותה תוצאה פעמיים ברציפות (תוצאת ההטלה הראשונה שווה לשניה, או השניה שווה לשלישית). ככל שסדרת ההטלות תתארך, כל הסיכוי יגדל.

ואם לא רק אתם עושים את התרגיל הזה, אלא גם כמה חברים, הסיכוי כי מישהו יקבל מתישהו שתי הטלות קוביה רצופות עם אותה תוצאה שוב עולה.

מתברר כי אירועים שנתפסים בעיננו כנדירים אינם נדירים כלל ועיקר. אם אתם חולמים בלילה כח מחר ירד גשם, או שתזכו בלוטו, ולמחרת הדבר אכן קורה, מה הסיכוי לכך? הסיכוי כי אתה או את תחלמו הלילה כי תזכו בפרס הגדול בלוטו וכן תזכו בו בהגרלה הגדולה נמוך למדי. הסיכוי כי מישהו איפהשהו יחלום משהו והמשו הזה יתקיים סביר למדי.

הסיכוי כי אתם תיכנסו למסעדה בבנגקוק ותפגשו שם את איציק שעבד ביחד איתכם לפני כמה שנים ולא ראיתם אותו המון זמן הוא קטן מאוד (זה קרה לי, למעשה). הסיכוי שמישהו יכנס לאיזשהו מקום בעולם ויפגוש שם מישהו שלא ראה כבר המון זמן הוא גבוה מאוד. הסיכוי שאתם תזכו בפרס הגדול בלוטו פעמיים הוא קטן מאוד. הסיכוי שמישהו איפהשהו מתישהו יזכה בפרס הדגול בלוטו פעמיים הוא סביר, וגם זה קרה, יותר מפעם אחת. אני ממליץ לכם לקרוא את המאמר הזה שפורסם בניו-יורק טיימס כבר ב-1990. בכתבה זו מרואיינים מספר סטטיסטיקאים נודעים, ובהם פרסי דיאקוניס, ברדלי אפרון (מספר 8 ברשימת הסטטיסטיקאים הגדולים) ואריק להמן. דיאקוניס ופרדריק מוסטלר גם נתנו שם לתופעה הזו: חוק המספרים הגדולים מאוד.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• כמה מצלמות אבטחה יש בבריטניה?
• המכונית והעזים
• על בייסבול, גרפיקה והימורים
• הגרלת ה-50 מליון: איך ניצחתי את השיטה
• מגילת אסתר סמואל כהן

פיד הרסס של del.ico.us שמסנן את כל הלינקים שתויגו תחת סטטיסטיקה והומור הינו משעממם למדי. גולשים מתייגים שוב ושוב את אותם לינקים, שבדרך כלל לא קשורים לסטטיסטיקה, וגם לא ממש מצחיקים (אותי לפחות). ובכל זאת, לפעמים אני מצליח לדוג שם דברים מעניינים.

הנה למשל הלינק Flip Flop Fly Ball. לא תמצאו סטטיסטיקה, וגם לא שום דבר הומוריסטי, אבל הוא בכל זאת יכול להעלות לכם חיוך על השפתיים, בייחוד אם אתם אוהבים תיאורים גרפיים של נתונים או בייסבול (או שניהם, כמובן). הנה למשל דיאגרמה שעונה לשאלה האם קבוצת הביססבול קליבלנד אינדיאנס אכן ראויה לשמה. הדיאגרמה שמשמאל מראה את שיעורם של התושבים האמריקניים-ילידים בתוך אוכלוסיית קליבלנד. הדיאגרמה הנוספת שמוצגת כאן משווה בין אספקטים שונים של 30 האיצטדיונים של המייג'ור ליג (MLB). לחצו על התמונה כדי לעבור לאתר פליפ פלופ ולצפות בפרטים.

את התיאורים הגרפיים האלה יצר קרייג רובינסון, חובב בייסבול מסיאטל, שלא מגביל את עצמו לבייסבול, ויוצר תיאורים גרפיים של נתונים מענפי ספורט נוספים. אם תמשיכו לשוטט באתר שלו, תמצאו עוד הרבה דברים מעניינים אחרים. אני למשל התלהבתי מהתמונה הזו, שנמצאת בפליקר שלו. זהו צילום של הלוח האלקטרוני בסיטי פארק של ניו-יורק, האיצטדיון החדש של הניו-יורק מטס:

בתמונה אתם רואים שתי פרסומות שונות שהופיעו באותו זמן על הלוח, האחת לחברת ביטוח והשניה לקזינו, שתי תעשיות שהמודל העסקי שלהן בנוי על הסטטיסטיקה, אולם ההבדל בינהן הוא… אממממ…

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• אה באיזה צבע?
• מה רע בקצת סטרואידים?
• חוק המספרים הגדולים
• צריך פיס בחיים? עכשיו התשובות.
• מי אמר 69 ולא קיבל?

האמת, עד שקיבלתי היום בצהריים טלפון מאיזה עיתונאית מידיעות אחרונות, בכלל לא ידעתי שבארץ רוחשת לה קדחת טוטו – מה שמוכיח כי אני לא ממש יודע כל דבר.

אבל יש קדחת טוטו. לאחר כמה ששבועות שבהם איש לא ניחש נכונה את תוצאות כל  16 המשחקים בטופס הטוטו הפרס הראשון הגיע לגובה של 52 מליון ש"ח.

למי שלא יודע: כל שבת נערכים משחקי כדורגל. בטפס הטוטו מופיעים 16 משחקים כאלה. לכל משחק יש 3 תוצאות אפשריות: או שקבוצה אחת תנצח, או שהקבוצה השניה תנצח, או שהמשחק יסתיים בתיקו. חשבון פשוט מראה כי לשני משחקים יש בסה"כ 9 צירופי תוצאות אפשריים (אפשר לצרף כל תוצאה אפשרית מהמשחק הראשון עם כל תוצאה אפשרית מהמשחק השני), ולכן ל-16 משחקים יש כ-43 מליון צירופי תוצאות אפשריים (המספר מתקבל מהכפלת המספר 3 בעצמו 16 פעמים).

המשמעות המעשית של המספר הזה הוא שאם אדם שלא מתמצא בנפתולי עולם הכדורגל (עקרת בית מקריית שמונה, למשל, או כותב שורות אלה) מחליט למלא טופס טוטו שבו יש ניחוש אחד לתוצאות כל אחד מ-16 המשחקים, אזי יש לו סיכוי של 1 ל-43 מליון לזכות בפרס הראשון. מדובר במספר כל כך קטן,עד שהסיכוי לזכות בפרס הראשון של הגרלת ה-50 מליון של הלוטו (1 ל-2 מליון) נראה פתאום ריאלי.

אלא שבין הטוטו ללוטו יש הבדל משמעותי. בניגוד ללוטו, לא לכל התוצאות האפשריות בטוטו יש אותו סיכוי להתקבל. בשבת הקרובה, למשל, תשחק בית"ר ירושלים מול קבוצת הפועל כפר סבא, המייצגת את עירי בליגת העל. גם בלי להבין יותר מדי בכדורגל אני יודע שהכף נוטה לטובת הירושלמים עתירי הממון והכוכבים, וכי הסיכוי שהם ינצחו במשחק גבוה הרבה יותר משליש. גם מהמרי הטוטו יודעים את זה. השאלה מה קורה במשחקים יותר מאוזנים, שבהם יחסי הכוחות בין הקבוצות לא ברורים כמו במקרה הזה. הסוד של הטוטו הוא ביכולת לשכנע את המהמרים שהם יכולים להגדיל את הסיכוי שלהם לזכות בזכות הידע וההתמצאות שלהם בתחום הכדורגל.

אם למשל, מומחה כדורגל יכול בעזרת הידע שלו להגדיל את הסיכוי לנחש נכונה את תוצאת כל משחק משליש לחצי, הרי שהסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל 16 המשחקים מזנק ל-1 ל-65000 "בלבד", כלומר הסיכוי שלו גדול פי 660 בערך מהסיכוי של מנחש "רגיל".

השאלה היא, כמובן, עד כמה מגדיל הידע את הסיכוי לניחוש נכון. אני סבור שהתוספת לא משמעותית. לו היא הייתה כזו, היינו רואים הרבה יותר זכיות, ובודאי שהפרס הראשון לא היה מצטבר לגובה כזה. ייתכן וחלק מקוראיי יחלקו על דיעה זו, וכיוון שאין בידי כל נתונים לגבי אחוזי הזוכים ביחס למספר הטורים שנשלחו, אין באפשרותי לערוך ניתוח מדוייק יותר. נימוק נוסף שאני יכול לגייס הוא בכך שהטוטו מרוויח, ולכן לא ייתכן כי סיכויי הזכיה גבוהים מדי – הרי צריך לשמור על תוחלת רווח שלילית (למהמר).

אז איך בכל זאת אפשר לזכות בטוטו? יש עובדה אחת בדוקה: הסיכוי של מי ששולח טופס הימור גדול לאינסוף מהסיכוי של מי שלא מהמר. אז מי שרוצה – מוזמן להמר. רק זכרו נא כי מדובר בהימור, משחק, ולא בהשקעה. בהצלחה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 20 במרץ 2008  שם התקבלו 4 תגובות

עמית  [אתר]  בתאריך 3/21/2008 1:36:52 AM

רק הערה קטנה

הטוטו מרוויח בלי קשר לסיכויי הזכיה, כי הוא מקצה רק כ 50% מההכנסות ממכירת טפסים לצורכי פרס, והפרס הראשון (וגם הבאים האחריו) מתחלק בין המנחשים נכונה. כלומר, אן מצב שהטוטו ישלם יותר מ52 מיליון שקל עבור הפרס הראשון בלי קשר לכמות הזוכים. נהפוך הוא, בגלל שהפרס כה גדול, יש סיכוי שימולאו הרבה יותר טפסי טוטו, מה שיגדיל בהרבה את ההכנסות בלי להגדיל את ההוצאות, כך שלמרות שהסיכוי שמישהו יזכה גדל בעקבות כך, כך גם הסיכוי שהכנסות הטוטו יגדלו.

אלעד יאיר  [אתר]  בתאריך 3/22/2008 8:04:34 AM

אכן

בשבוע בו יצליחו רבים לנחש את תוצאות כל המשחקים, הפרס הראשון עדיין יהיה רק אחד והוא יתחלק בין כל המנחשים.
מאידך, הואיל וקיימים "מומחים" רבים, כאשר ישנה "הפתעה", ונגיד במקרה שהזכרת בית"ר ירושלים ינוצחו ע"י כפ"ס, הרי, רבים מהם ייפלו ולכן הסיכוי קטן (בכמה? אם כולם "מומחים", אזי כולם ייפלו. בפועל, זה יהיה שונה, אני מניח. בכל מקרה, יש להם 16 משחקים ליפול בהם).
ומעל לכל, ספורט, כתחביב לצפייה והימורים, בניגוד לעשייה ופעילות, הוא רע לדעתי.

נועם  [אתר]  בתאריך 3/24/2008 5:54:04 PM

יש גם כפולים ומשולשים

או איך שהם לא קוראים לזה. אתה יכול, בתוספת תשלום, לסמן שתיים או שלוש אפשרויות לאותו משחק. למשל, אם אתה חושב שביתר ינצחו או שיהיה תיקו, תסמן את שתי האפשרויות האלה, וכו'.
כמובן שיש הגבלה (אין לי מושג כמה, ההבנה שלי בטוטו/כדורגל דומה לשלך) לכמה משחקים אתה יכול למלא כך בטור, אחרת היית יכול לנצח תמיד.
בקיצור, כל מה שרציתי לומר – העניין הזה מוסיף קצת סיבוך כשבאים לחשב סיכויים ותוחלת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/25/2008 8:18:41 AM

כפולים ומשולשים

כפולים ומשולשים הם רק שיטת כתיבה מקוצרת – המשמעות של כפול הוא הכפלת סכום ההימור, ושל משולש – שילושו.

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• המספר 53 הופיע סוף סוף בהגרלת הלוטו של ונציה
• חוק המספרים הגדולים
• אז כמה יזכו בפרס הראשון בהגרלת 50 המליון?
• על סדר היום: דמגוגיה, מונדיאל (שוב), רציונליות, סרטן
• כל מיני דברים שעל סדר היום

להלן מספר מכתבים מעניינים שקיבלתי בתקופה האחרונה, ותשובותיי

איפה הכסף?

יובל כותב:
שלום, עקבתי אחר המאבק המוצדק שלך ברעיון להעלאת שכר הלימוד, וחשבתי שאולי תתעניין בכתבה הבאה. על פי הכתבה, קרן קיסריה שבבעלות משותפת של הברון רוטשילד והמדינה קיבלה ומקבלת הטבות מס עצומות, וכן סיוע בהשתלטות על קרקעות מדינה יקרות, אך מתחמקת מהתחייבויות לתמוך בהשכלה הגבוהה. התחיבויות אלו אינן "נדבה" של הקרן אלא הסיבה שהיא מקבלת את ההטבות ואת השליטה על אדמות מדינה כה יקרות. אולי אם במשרד האוצר היו לוקחים את הכסף המגיע להשכלה הגבוהה משם לא היה צורך לשלוח את ידי האוצר לכיסי הסטודנטים. בברכה, יובל

יובל,
הכתבה מדברת בעד עצמה. רבות מהבעיות שניצבות בפנינו, ובמיוחד סוגיית עתיד ההשכלה הגבוהה, אינן בעיות כספיות – יש הרבה כסף ציבורי פנוי להשקעה. טיפוח האקדמיה וההשכלה הגבוהה היא השקעה לכל דבר, ואף השקעה משתלמת במיוחד, כפי שכבר הבהרתי ברשימות קודמות שכתבתי כאן. מהכתבה מתברר שלאידיאולוגיה הניאו-ליברלית הקיצונית והמנטאליות של ניהול חנות מכולת השוררות בממשלתנו, חברה גם שחיתות פשוטה. זו ארצנו.

עץ או פלי?

איתי כותב:

אהלן יוסי, אני קורא את הרשימות שלך באופן קבוע ואני מאד נהנה מכך. יש לי שאלה שאני בטוח ששמעת עשרות פעמים בעבר,אך אני נאלץ לשאול אותה שוב, בשביל לסיים ויכוח עם חבר. נניח שיש מטבע שהסיכוי שלו לעץ ופלי הוא שווה, חצי וחצי. נניח שהטילו את המטבע עשרים פעמים ובכולם יצא פלי – האם: יש הבדל בין הסיכוי לעץ והפלי בהטלה ה 21 ? אחד מאיתנו אומר – ששניהם 50% וזה ממש לא משנה מספר ההטלות לפני לכן זה לא משנה אם הוא יאמר עץ או פלי שניהם באותו סיכוי בדיוק. השני אומר ששניהם 50% אבל בגלל שהסיכוי שרצף הטלות הפלי ימשיך, יורד אחרי כל הטלה נוספת, הוא היה מעדיף להמר על העץ אשמח לשמוע מקור בר סמכא שיפתור את המגבלות ההסבר והידע שלנו בנושא סטטיסטיקה והסתברות תודה רבה !
איתי,

אם המטבע אכן הוגן (סיכויים שווים לעץ ולפלי) אז גם בהטלה ה-21 הסיכויים שווים. השחקן שמטיל את המטבע זוכר את רצף ההטלות שהתקבל, אך למטבע עצמו אין זכרון. בתי קזינו מנצלים את זה כדי לעשות כסף. האסטרטגיה האופטימלית בהימור, למשל ברולטה, שם אפשר להמר בכל פעם על אדום או שחור, למשל, היא להגריל בכל פעם את הצבע עליו אתה מהמר. מי שיתפתה לעקוב אחרי סדרות ועל ידי כך יסטה מהאסטרטגיה האופטימלית, ירוויח פחות (או יותר נכון: יפסיד יותר).

אבל שאלה יותר מעניינת היא: אם אתה לא בטוח שהמטבע הוגן – מה הסיכוי שתמשיך להאמין בכך אחרי 20 הטלות רצופות של פלי?  ומה אם ההטלה ה-21 תהיה בכל זאת עץ? מה תהיה עכשיו הערכתך לסיכוי של המטבע ליפול על פלי? יש ענף שלם בסטטיסטיקה שמנסה לענות על שאלות כאלה – סטטיסטיקה בייסיאנית. הסטטיסטיקאי הבייסיאני יאמר לך כי לאחר 20 הטלות רצופות של פלי, הוא לא מאמין כי המטבע הוגן, אלא כי ההסתברות שלו ליפול על פלי היא 0.954 בערך (שזה 21 חלקי 22). באם בהטלה ה-21 אכן יצא עץ, הוא יעדכן את ההסתברות של המטבע לפילו על פלי ל-0.913 וכן הלאה.

הסטטיסטיקה הבייסיאנית היא עולם בפני עצמו, והידע שלי בתחום מועט יחסית. אני מתכוון כבר זמן רב להקדיש רשימה לנושא, אבל לא מצליח להגיע לזה. אציין רק שלתחום יש יישומים רבים בתחומים מגוונים, החל במדעי המחשב וכלה בתכנון ניסויים קליניים.

דאבל לוטו

a8145060, שמנהל את הקומונה המעניינת לוטו ומשחקי מפעל הפיס בתפוז כותב:

הנה רעיון חדש לכתיבה באתר שלך. מפעל הפיס דאבל לוטו משחק הפיס הוציא משחק חדש,בשם דאבל לוטו, אם משתתפים במשחק במידה שזכית,סכום הפרס מוכפל פי 2. גם מחיר הטבלה מוכפל פי 2 והוא עומד על 5.4 ש"ח ומה כל זה אומר? אותי לימדו בסטטיסטיקה שאם הכל מוכפל פי 2 אז התוחלת נשארת אותו הדבר, כלומר אותו ,ותסלחו לי, זבל של משחק ששום דבר לא השתנה בו OK דבר אחד השתנה אנשים מוכנים לשלם על טבלת לוטו מחירים שעוררים ביחס לעולם. בעולם מחיר טבלת משחק כמו לוטו שווה דולר והפרס הנמוך ביותר שווה ל10 דולר בערך
תשובה,

השתנה הרבה מאוד. אם כולם יבחרו באופציית ההכפלה, אז תוחלת הזכייה (או יותר נכון, תוחלת ההפסד) גם היא תוכפל פי שתיים, וזה משמפעל הפיס רוצה בסופו של דבר. יותר הימורים, בסכומים גבוהים יותר, משמעותם רווחים גדולים יותר למפעל הפיס (והפסדים גבוהים יותר למהמרים).

סופר לוטו

חנוך כותב
למר לוי שלום שמי חנוך, וקראתי באתר כמה מהמאמרים שלך, בימים אלו אני עומד לפתוח במדינה מסויימת חברה להגרלות לוטו, מכיוון שכך הייתי מעוניין לקבל ממך מספר שיעורים בנושא (במידה ואתה יכול לעשות את זה) לגבי הסיכויים בהגרלות סטטיסטיקות וכל מה שקשור לנושא. אני מקוה שיש באפשרותך לעזור לי בנושא… בכבוד רב חנוך

שלום חנוך,

יש רק דרך אחת לעשות כסף מלוטו, ואתה עלית עליה – יש רק מרוויח אחד בלוטו – וזה מי שמפעיל אותו. אני מאחל לך הצלחה. עם זאת איני עוסק בייעוץ פרטי, ולכן לא אוכל לעזור לך, למרות הפיתוי הכספי הגדול (הייתי מבקש אחוזים, כמובן….)

איך לעשות כסף מסטטיסטיקה

רובי כותב
שלום שמי רובי ואני מאוד רוצה שתעזור לי או תכוון אותי למישהוא שיוכל לעזור לי במימוש חלומותי. אני מאמין שבעזרת סטטיסטיקה והסתברות אפשר לעשות כסף אני פשוט לא יודעה איך לשלב את הנוסחאות עים הנתונים שיש לי. מודה לך מראש רובי

רובי,

ראה תשובתי לחנוך. יש עוד דרכים לעשות כסף מסטטיסטיקה מלבד ניהול עסקי הימורים – אתה יכול למשל גם לפתוח חברת ביטוח (אופס, זה בעצם אותו דבר – הנה נושא לעוד רשימה) או קרן פנסיה. גם אני עושה כסף מסטטיסטיקה, דרך אגב. אמנם לא מיליונים, אבל בהחלט חי בכבוד.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 10 באוקטובר 2007  שם התקבלו 13 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 10/10/2007 11:37:26 PM

הסטטיסטיקה הבייסיאנית תשתלט בסופו של דבר

על הססטיסטיקה השכיחותית (זו המילה הנכונה לfrequencies?). כבר היום יש מעבר של יותר ויותר כתבי עת לסטטיסטיקה בייסינאית, ובעיקר הפחתה בחשיבותם של מבני מובהקות. מבחני מובהקות לא ממש בודקים את ההשערות שאנחנו מעוניינים בהם בצורה ישירה מה שהסטטיסטיקה הבייסינאית כן עושה. יש לה כמובן גם חסרונות והיא יותר קשה ל"עיכול" אבל אני חושב שהיא תנצח בעוד דור או שניים.

יובל אחר  בתאריך 10/11/2007 8:45:16 AM

בעניין קרן קיסריה

נראה לי שיובל מסתמך על הכתבה הזו.
http://www.haaretz.co.il/hasit….ContrassID=6&sbSubContrassID=0
לשם ההגינות, יש לציין שקרן קיסריה תרמה למספר מוסדות השכלה גבוהה (ביניהם אוניברסיטת חיפה והאוניברסיטה הפתוחה).
למיטב הבנתי הויכוח הוא על שיעור התרומות, ולא על האם הן קיימות.

עופר  בתאריך 10/11/2007 9:32:47 AM

ללא נושא

ברולטה אין שום הבדל בין להמר על אותו צבע כל הזמן או להגריל את הצבע כל פעם מחדש. בכל מקרה תוחלת הרווח (ליתר דיוק ההפסד …) היא קבועה.
אם אתה מחויב להמר ברולטה, נאמר על סכום מצטבר של 1000 שח ,האסטרטגיה הטובה ביותר היא להמר על כל ה1000 שח ביחד ולא לחלק אותם להרבה הימורים קטנים.תוחלת הרווח לא משתנה אבל ההסתברות שתזכה דווקא גדלה (חוק המספרים הגדולים לא משפיע)

דני  [אתר]  בתאריך 10/11/2007 4:46:40 PM

שתי הערות

קודם כל, אני מסכים עם עופר לגבי ההימור ברולטה. בניגוד למה שכתבת, כל עוד הרולטה אכן אקראית ואתה מהמר בסכום קבוע בכל סיבוב – אין משמעות לבחירת אסטרטגיית ההימור שלך.
דבר שני, לא הבנתי את החישוב הביסייאני שעשית. הבעיה בסטטיסטיקה בייסיאנית היא שכדי להעריך את ההסתברות הפוסטריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Posterior_probability) אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Prior_probability), וזאת כמעט אף פעם לא ידועה כשבודקים השערות בעולם האמיתי. למשל, במקרה של הטלת המטבע אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית שהמטבע מוטה לפלי בכל הסתברות שהיא (זו לא טעות… הכוונה היא להסתברות שמשהו יקרה בהסתברות).
למשל, תדמיין מצב שבו אומרים לך שיש שתי ערמות של מטבעות, אחת נופלת על פלי בסיכוי 90% ואחת נופלת על פלי בסיכוי של 10%. במקרה אחד בוחרים בסיכוי 50-50 מבין שתי הערמות האלה ואז מבצעים את הניסוי שמתואר בשאלה, ובמקרה השני בוחרים בסיכוי 75-25 מבין שתי הערמות (לטובת הראשונה) ואז ממבצעים את הניסוי.
ברור שבכל אחד מהמקרים האלה ההערכה שתינתן (אחרי הניסוי) למידת ההטיה של המטבע ע"י סטטסיטיקאי בייסיאני תהיה שונה. לכן, לא ברור לי מה ההסתברות הפריורית שהשתמשת בה עבור החישוב שעשית. אם השתמשת בהסתברות אחידה לכל הטיה – לא ברור בכלל מדוע זה הדבר הנכון לעשות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:19:06 PM

תשובה לדני

החישוב הבייסיאני שערכתי מתבסס על התפלות אפריורית אחידה של ה-p- על הקטע [0,1[
כמובן שההנחה על ההתפלגות האפריורית היא בעייתית - זו אכן הביקורת העיקרית על הגישה הבייסיאנית, ולכן אני סבור, בניגוד לגיל, שהסטטיסטיקה הבייסיאנית לא "תנצח" בסופו של דבר.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:21:52 PM

ועוד תשובה לדני

בעניין אסטרטגיות ההימור: אכן, יש כמה אסטרטגיות שמביאות לאותה תוצאה "אופטימלית" – כלומר ממזערות את תוחלת ההפסד (ואני מתעלם כאן מהאסטרטגיה של המנעות מהימור). אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.

דני  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 2:25:11 AM

שאלה

אוקי, עכשיו סיקרנת אותי
בהינתן שמהמרים בכל סיבוב רולטה על סכום קבוע, תוכל בבקשה להסביר (או לתת הפניה) מדוע אסטרטגית הימור שבה מגרילים אדום או שחור מביאה לתוחלת רווח שונה מאסטרטגיה שבה בוחרים תמיד אדום, למשל? (או לחילופין, כל פונקציה שהיא על הטלות עבר)
על פניו נראה לי שתוחלת הרווח תהיה זהה בכל אחד מהמקרים, כיוון שתוצאת הרולטה אקראית.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 9:41:06 AM

סטטיסטיקה בייסיאנית

אוסיף ששימוש נפוץ ומוצלח בסטטיסטיקה בייסיאנית בחיי היום-יום של רובנו הוא מנגנוני הסינון של דואר הזבל ("ספאם") שמסווגים דואר לפי הסתברות. ממציא היישום הזה של ס' בייסיאנית הוא פול גראם (Paul Graham).

אלעד  בתאריך 11/8/2007 4:56:39 PM

השתגענו?!

בתור דוקטור למדמ"ח, שעוסק בהשתברות לא מעט, אני מסכים עם דני וחושב שיוסי לוי טועה. יוסי טען ש"אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.". זה נראה שגוי לחלוטין. לא משנה אם בכל שלה בוחרים להמר על אדום או שחור, בלי תלות בהיסטוריה יש הסתברות בדיוק שווה לזכות בכל מקרה. לכן, גם אם ההחלטה שלנו על איזה צבע להמר תלויה בהיסטוריה, עדיין זה לא משנה ותוחלת הזכיה נשארת שווה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 11/10/2007 5:42:58 PM

תשובה לאלעד ולדני

במקום לצעוק שאני טועה, אני מזמין את כל מי שמעוניין להציג אסטרטגיית הימור שתשיג תוצאה טובה יותר (בתוחלת) מהאסטרטגיה לפיה בכל הימור בוחרים את הצבע עליו מהמרים בהסתברויות שוות לאדום ושחור.

דני  [אתר]  בתאריך 11/20/2007 4:43:42 AM

ובכל זאת

היי יוסי,
מדי פעם אני חוזר לפוסט הזה כדי לבדוק האם התחדש משהו בסוגית הרולטה (מסקרנות… אני אשמח להיות מופתע ולגלות פתרון שלא חשבתי עליו).
התגובה האחרונה שלך לא ברורה לי. הטענה של עופר, שלי ושל אלעד היא לא שיש אסטרטגיה טובה יותר מהימור בהסתברויות שוות, אלא שכל אסטרטגיה טובה באותה מידה.
למשל, תוחלת הרווח אם תהמר תמיד על אדום זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בכל פעם באקראי, וזו זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בהתאם לכל פונקציה שהיא על תוצאות העבר – כמובן, כל זאת בהנחה שהרולטה אכן אקראית ושמהמרים בכל סיבוב באותו סכום קבוע (הנק' האחרונה חשובה, למשל, כדי להמנע מפרדוקס סט. פטרסבורג).
בקיצור, אני טוען כי התשובה לאתגר שהעלית בתגובה האחרונה היא שלא קיימת כזו אסטרטגיה. לעומת זאת, אני מזמין אותך (או כל קורא אחר) להציג אסטרטגיה שתשיג תוצאה גרועה יותר מהימור אקראי, ותעמוד בשני התנאים שלמעלה (אקראיות הרולטה, סכום שווה בכל סיבוב).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:09 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:19 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

לקריאה נוספת בנושאים הקשורים לנושא רשימה זו

• אז כמה יזכו בפרס הראשון בהגרלת 50 המליון?
• מי אמר 69 ולא קיבל?
• איך לזכות ב-52 מליון ש"ח בטוטו
• הסטטיסטיקן הממשלתי ומלחמתו באוצר
• אחלה כסף? ממש לא