חיפוש באתר

קישורים

RSS סטטיסטיקה ברשת

עמודים

קטגוריות

תגיות

ארכיב עבור תגית תורת המשחקים

על מכבי תל אביב ורוג’ר פדרר

האמת, לא ראיתי את המשחק בין מכבי תל-אביב וצסק"א מוסקבה בפיינל פור 2014 של היורוליג. אני לא צופה במשחקי כדורסל מאז הזכיה האחרונה של שיקגו בולז באליפות ה-NBA, ב-1998. בלי מיקל ג'ורדן, אני פשוט משתעמם. אבל על מה שקרה במשחק של מכביי שמעתי גם שמעתי.

למי שלא שמע: כשקבוצתו בפיגור של 15 נקודות בסוף הרבע השלישי של המשחק, הורה דייויד בלאט,  מאמן מכבי, לשחקניו לנסות ללכת על כל הקופה: לעבור למשחק מהיר, הגנה אגרסיבית, וזריקות לשלוש נקודות, תוך תקווה שהיריבה תעשה יותר טעויות מהרגיל.

במונחי ספורט, אולי זה היה הימור. במונחים סטטיסטיים, בלאט החליט להגדיל את השונות. לאחר 3 הרבעים הראשונים, המשחק כבר לא היה שקול. האסטרטגיה של בלאט הגדילה את ההסתברות לתבוסה: המשחק היה יכול להגמר ב-30 נקודות הפרש לטובת צסק"א, אבל במשחק של הכל או לא כלום, זה באמת לא משנה אם ההפסד הוא בהפרש של 15 נקודות או 30 נקודות. לעומת זאת, לקיחת הסיכון גם אפשרה הסתברות לרבע שייגמר ב-16 נקודות הפרש לטובת מכבי, בניגוד לאסטרטגיות של 3 הרבעים הראשונים במשחק שמהלכם לא היה טוב במיוחד מנקודת הראות של הצהובים.

איך זה קשור לרוג’ר פדרר?

הסבר קצר על משחק הטניס. המשחק הטיפוסי מורכב משלוש מערכות, וכדי לנצח על הזוכה לנצח בשתי מערכות מתוך ה-3[1]. כל מערכה מורכבת ממשחקונים, וכדי לנצח במערכה יש לנצח ב-6 (ולפעמים 7 או יותר) משחקונים. כך יכול להווצר מצב מוזר: שחקן שהפסיד 6:1 במערכה הראשונה (כלומר ניצח במשחקון אחד והפסיד ב-6), וניצח בשתי המערכות הבאות בתוצאה 6:4, זכה המשחק כי ניצח ב-2 מערכות מתוך ה-3, אבל ניצח בסך הכל ב-13 משחקונים, בעוד שיריבו ניצח  ב-14 משחקונים. תופעה זו, המזכירה את פרדוקס סימפסון,  קורה בערך ב-5% ממשחקי הטניס המקצועניים[2]. דבר דומה קרה גם במשחק הכדורסל: צסק"א ניצחה ב-3 מתוך 4 רבעי המשחק, אך הפסידה במשחק כולו.

מסתבר כי אלוף העולם בהפסדים ב-"משחקי סימפסון" בענף הטניס הוא לא אחר מאשר רוג’ר פדרר, אחד מגדולי הטניס בכל הזמנים. הוא שיחק ב-28 משחקים בהם המפסיד זכה ביותר משחקונים מאשר המנצח. המאזן שלו? 24 הפסדים, רק 4 ניצחונות.

מעניין לציין כי השחקן בעל המאזן הטוב ביותר במשחקים כאלה הוא ג'ון אייזנר , עם מאזן של 19 נצחונות ו-5 הפסדים. אייזנר זכור גם כמנצח במשחק הארוך ביותר בהיסטוריה, בטוניר וימבלדון ב-2010, בו ניצח את יריבו בתוצאה 70:68 במערכה החמישית. במשחק הנ"ל, אייזנר זכה ב-24 נקודות פחות מאשר יריבו.[3] אייזנר מבסס את כל משחקו על חבטת הגשה חזקה במיוחד שמותירה את היריב ללא מענה במקרים רבים. כאשר ליריב יש מענה, לאייזנר בדרך כלל אין.

למי שמשחק מול פדרר אין הרבה סיכויים לנצח; פדרר ניצח ביותר מ-80% המשחקים בהם השתתף. מעבר לכך – שיטת הניקוד בטניס מוטה לטובת השחקן הטוב יותר. יתרון קטן על היריב מתורגם על ידי שיטת הניקוד להבדל משמעותי בסיכויי הניצחון במשחק. הדרך הכמעט יחידה לנסות לנצח את פדרר היא להגדיל את הסיכון על ידי משחק אגרסיבי. אתה עלול להפסיד שתי מערכות בתוצאה 6:0, אבל יש לך גם סיכוי להפסיד פחות משחקונים מאשר בדרך כלל, ואם תנצח מספיק משחקונים, אולי זה יספיק לך לנצח בשתי מערכות צמודות, ואז למי איכפת מהמערכה בה פדרר הביס אותך?


הערות
  1. 1. ישנם טורנירים בהם המנצח נקבע בשיטת הטוב מ-5 מערכות []
  2. 2. Wright, B., Rodenberg, R. M., & Sackmann, J. (2013). Incentives in Best of N Contests: Quasi-Simpson's Paradox in Tennis.International Journal of Performance Analysis in Sport13(3), 790-802. []
  3. 3. כדי לנצח במשחקון, יש לצבור יותר נקודות מאשר היריב []

משחקי המשילות

לפני כשבוע חוקקה הכנסת את "חוק המשילות", שהוא למעשה סדרת תיקונים למספר חוקי יסוד. אחד הסעיפים בחוק קבע כי אחוז החסימה בבחירות לכנסת יועלה מ-2% ל-3.25%, כלומר, מפלגה שתזכה בפחות מ-3.25% מסך הקולות הכשרים בבחירות, לא תקבל ייצוג בכנסת. לו היה אחוז החסימה בבחירות האחרונות לכנסת 3.25% ומספר הקולות שקיבלה כל מפלגה לא היה משתנה, הרי שרשימות חדש, בלד וקדימה לא היו נכנסות לכנסת, ושמונת המושבים שלהם היו מתחלקים בין המפלגות האחרות.

המוטיבציה לשינוי, כפי שהסבירו מציעיו, הייתה הרצון "לחזק את יכולת המשילות של הממשלה", כלומר להפחית את תלותה בסיעות קטנות ו-"סחטניות"[1]. האם אכן יביא החוק לתוצאה המבוקשת? איך בכלל מודדים את כוחה של מפלגה? מהו כוחה של סיעת "קדימה" לה שני נציגים בכנסת?

בכנסת שלנו, למפלגה בת 59 מנדטים אמור להיות כח רב. נכון? לא בהכרח. אם יש בכנסת רק שתי מפלגות, לאחת 59 מנדטים ולשניה 61, הרי שכל הכח מרוכז בידי המפלגה השניה. היא לא זקוקה לשום עזרה מהמפלגה האחרת כדי להקים ממשלה. היא מחזיקה 100% מהכח, ומפלגת ה-59 מחזיקה 0% מהכח.

מה קורה בכנסת תיאורטית בה יש 3 מפלגות, שלכל אחת מהן 40 מנדטים? אם נתעלם משיקולי ימין ושמאל לרגע, ונניח כי כל שתי מפלגות יכולות לחבור יחד ולהותיר את השלישית באופוזיציה, נהיה מוכרחים להגיע למסקנה כי לכל שלוש המפלגות כח שווה, וכל אחת מהן מחזיקה ב-33 וליש אחוזים מהכח.

ומה קורה בכנסת תיאורטית בה יש 3 מפלגות, לשתיים מהן 50 מנדטים כל אחת, והשלישית היא מפלגה "קטנה" עם 20 נציגים בלבד?

שאלות דומות לאלה הטרידו את לויד שאפלי, מתמטיקאי אמריקאי. ב-1953, הציע פתרון לשאלות אלו, במסגרת עבודת הדוקטורט שהגיש לאוניברסיטת פרינסטון. "הערך של שאפלי", ותרומות משמעותיות רבות נוספות שתרם לתחום המתמטי הידוע בשם "תורת המשחקים" זיכו אותו בפרס נובל לכלכלה בשנת 2012. ברשימה זו אנסה להסביר את מושג וההגיון מאחוריו, ואראה כיצד ליישם אותו כדי לנתח את המשמעות המיידית של העלאת אחוז החסימה במסגרת "חוק המשילות".

אז הנה סיפור המסגרת בצורה פשטנית[2]: יש לנו כנסת, ובה מפלגות בגדלים שונים, וצריך להקים קואליציה של 61 מנדטים לפחות כדי להקים ממשלה. מה הכוח של כל מפלגה במשא ומתן?

ראשית יש לשים לב כי יש שני סוגים אפשריים של קואליציות: כאלה שיכולות להקים ממשלה, וכאלה שלא. קואליציה של מפלגות שסך המנדטים שלהם עולה על 60 יכולה להקים ממשלה, ולכן שאפלי נותן לה ערך שרירותי השווה ל-1. קואליציה של מפלגות שסך המנדטים שלהם קטן מ-61 לא יכולות להקים ממשלה, ושאפלי נותן לקואליציות כאלה ערך שרירותי השווה ל-0. שימו לב כי הערך של הקואליציה אינו בהכרח שווה לכח שלה. הערך אומר אם הקואליציה יכולה להקים ממשלה או לא, אך יש ממשלות חזקות ויש ממשלות חלשות. בנוסף, הוא מניח מספר הנחות (אקסיומות) לגבי התכונות שפתרון (כלומר הערכת הכח של כל מפלגה בנפרד צריך לקיים):

ההנחה הראשונה היא שאיחוד לא יכול להזיק. אם יש שתי קואליציות של מפלגות, והן מחליטות להתאחד, הכח של הקואליציה המאוחדת לא יהיה קטן מסך הכוחות של כל אחת משתי הקואליציות לחוד, ואולי אף יגדל. בפרט, שתי מפלגות שיתאחדו יוכלו להגדיל את כוחן המשותף[3]. אתם בודאי מכירים את התופעה הזו בשם "הפרד ומשול". מתמטיקאים קוראים לתכונה כזו "סופר-אדיטיביות".

ההנחה השניה היא שלגולם אין ערך. גולם אינו יכול להשפיע על שום דבר. תחשבו על הכנסת שהתחלקה לשתי מפלגות עם 61 ו-59 מנדטים. מפלגת ה-59 היא גולם, ומפלגת ה-61 תקים ממשלה מבלי להתחשב ברצונותיה. הערך שלה הוא לכן אפס.

ההנחה השלישית היא קרויה הנחת הסימטריה. אם יש שתי מפלגות, שבכל מצב תורמות את אותה התרומה לכל קואליציה, אז הכח שלהן זהה. תחשבו על כנסת בה יש מפלגה אחת גדולה עם 59 מנדטים, ועוד כמה מפלגות קטנות, נניח, 4 מפלגות נוספות שלהן יש 2, 10, 20 ו-29 חברי כנסת. כדי להקים ממשלה, מפלגת ה-59 צריכה לצרף אליה לקואליציה רק אחת מבין 4 "הקטנות", ולהשליך את 3 הנותרות לאופוזיציה. ולא משנה באיזה מהן תבחר. "אתה אמנם ראש סיעה של 29 חברי כנסת, אבל אם תצטרף לממשלה, כל מה שתקבל זה תפקיד סגן השר לענייני גימלאים. לא מוצא חן בעיניך? הצעתי את אותו דיל גם לסיעת 'ישראל הקיקיונית'. תחליט מהר לפני שהם יקחו את זה ולא יישאר לך כלום". אולי התסריט הזה לא נראה לכם ריאלי, אבל זה בערך מה שקרה בשנותיה הראשונות של מדינת ישראל, כאשר הייתה מפלגה דומיננטית אחת והרבה מפלגות בינוניות וקטנות. אמנם הממשלה הייתה "בלי חירות ומק"י"[4], אבל כל המפלגות האחרות היו שותפות קואליציוניות זוטרות של מפא"י בשלב זה או אחר.

כדי ליצור סולם בר השוואה, שאפלי קובע כי סכום הכוחות של כל המפלגות יהיה שווה ל-1, כלומר ל-100%.

שאפלי מוסיף עוד הנחה טכנית אחת, שלא אפרט כאן, וזה מספיק כדי לבנות פתרון. הנה הרעיון: בואו ניקח מפלגה מסויימת, נקרא לה X, ונסתכל על כל הקואליציות האחרות שאפשר להרכיב בלעדיה. מה יקרה אם נוסיף את X לאחת הקואליציות האלה? יש שלוש אפשרויות:

  1. לפני הוספת X, הקואליציה לא יכלה להרכיב ממשלה, וגם אחרי הוספת X אינה יכולה להרכיב ממשלה. כלומר ערך הקואליציה היה אפס לפני הוספת X ונשאר אפס לאחר ההוספה. התרומה של X היא אפס.
  2. לפני הוספת X, הקואליציה לא יכלה להרכיב ממשלה, ואולם אחרי הוספת X הקואליציה יכולה להרכיב ממשלה. במלים אחרות, ערך הקואליציה היה אפס לפני הוספת X ועלה לאחד לאחר ההוספה. התרומה של X היא 1.
  3. לפני הוספת X, הקואליציה כבר יכלה להרכיב ממשלה, וכמובן שאחרי הוספת X הקואליציה עדיין יכולה להרכיב ממשלה. ערך הקואליציה היה 1 לפני הוספת X ונשאר 1 לאחר ההוספה. התרומה של X היא 0.

שאפלי מציע להסתכל על תהליך של הרכבת קואליציה "מקיר לקיר": יוצרים "קואליציה" של מפלגה אחת, ואחר כך מוסיפים לה עוד אחת, ועוד אחת, עד שמקבלים לבסוף קואליציה שמחברת את כל המפלגות. באיזשהו שלב גם מפלגה X נוספה לקואליציה. מה הייתה התרומה שלה בעת שצורפה לקואליציה? אם נרכיב את הקואליציה הגדולה בסדר אחר, ייתכן ש-X תצורף בשלב בו תהיה תרומתה שונה. לכן נחזור על התרגיל לכל האפשרויות, ונחשב את התרומה של X בכל אחד מהמקרים. התרומה הממוצעת היא מדד לכוחה של מפלגה, וזהו הערך של שאפלי.

הנה דוגמה. בכנסת יש 4 מפלגות: למפלגות A ו-B יש 50 מנדטים כל אחת, למפלגה C יש 19 מנדטים, ומפלגה D היא סיעת יחיד ולה מנדט 1. נחשב את ערכי שאפלי של כל המפלגות. ראשית, שימו לב כי מפלגה D היא "גולם", לכן ערך שאפלי שלה חייב להיות אפס. כמו כן, למפלגות A ו-B אותו מספר מנדטים ולכן יהיו להן ערכי שאפלי שווים. לכן אם נחשב את ערך שאפלי של מפלגה C, נוכל לחשב את הערכים של A ו-B. הנה החישוב:

יש 24 דרכים בהן אפשר להרכיב קואליציה מקיר לקיר על ידי הוספת מפלגה אחת בכל פעם. הן כולן מוצגות בטבלה הבאה (לחצו על התמונה לצפיה בגודל מלא):

 

  בשורה הראשונה לדוגמה, בונים תחילה קואליציה עם A ו-B. יש שם 100 מנדטים, ולכן ערכה של קואליציה זו הוא 1. אם מוסיפים את C, מספר המנדטים עולה ל-119, אבל זה כבר לא משנה. ערך הקואליציה נשאר 1, הערך המוסף של C הוא אפס. מבין 24 האפשרויות, יש בדיוק 8 מקרים בהם הוספת C מעלה את ערך הקואליציה מ-0 ל-1. הממוצע של 8 אחדים ו-16 אפסים הוא שליש, ולכן ערך שאפלי של מפלגה C, כלומר הכוח שלה במשחק הקואליציוני הוא 33.3%. 66.7% הנותרים מתחלקים שווה בשווה בין מפלגות A ו-B, ולכן גם ערך שאפלי שלהן הוא שליש, או 33.3%. 19 המנדטים של מפלגה C שווים כמו 50 המנדטים של מפלגות A ו-B. כל שתיים מבין 3 המפלגות A, B ו-C יכולות להקים יחד ממשלה ולזרוק את המפלגה השלישית לאופוזיציה (שם יארח להם לחברה הנציג של מפלגה D).

כעת אנתח את מה שקורה בכנסת ה-19, ומה היה עשוי לקרות בה אם אחוז החסימה המוגדל היה חל עליה, בהנחה שדפוסי ההצבעה ומספרי הקולות לכל מפלגה לא היו משתנים. בטבלה הבאה מוצגים מספרי המנדטים של כל מפלגה בכנסת הנוכחית, ומספרי המנדטים שהיו מתקבלים לו היו מחולקים על פי אחוז חסימה של 3.25%, בהרכב המפלגות הקיים, וגם בתרחיש בו 3 ה-"מפלגות הערביות" רעם-תעל, חדש ובלד היו רצות ברשימה משותפת[5]. בנוסף מוצגים גם אחוז המושבים בכנסת של כל מפלגה וערכי שאפלי[6]המתאימים להרכב כל כנסת, הנוכחית ושתי הכנסות ההיפותטיות  (לחצו על התמונה לצפיה בגודל מלא).

 

  כל אחד מוזמן לבחון את המספרים ולנתח את משמעותם. יש כמובן מספר שינויים, וכמובן יהיו עוד, שכן תוצאות הבחירות הבאות יהיו בודאי שונות מתוצאות הבחירות האחרונות. ניתן להבחין בשני שינויים עיקריים: המפלגה הגדולה נעשית חזקה יותר, ובתרחישים מסויימים חלק מהמפלגות הבינוניות (העבודה וש"ס) מתחזקות משמעותית. מעבר לכך, אין שינויים משמעותיים וה-"משילות", whatever it means, תישאר פחות או יותר כפי שהייתה. לפחות, בטווח הקצר, אין בחוק הזה פגיעה במצב הפוליטי הקיים.

עם זאת, אין פירוש הדבר כי החוק לא בעייתי ומסוכן בטווח הארוך. הבעייתיות של החוק נדונה כבר בהרחבה ולא אחזור על כך כאן. שינויים בחוקי יסוד תמיד יש לבצע בזהירות רבה, מה גם שברור לאור הניתוח שהבאתי כי תועלת לא תהיה בו, ופוטנציאל הנזק מרובה.


הערות
  1. 1. כמובן שבדברי ההסבר (קישור לקובץ rtf) הרשמיים נעשה שימוש במלים נמלצות יותר []
  2. 2. כמובן שהבעיה ששאפלי דן בה הינה כללית יותר, כמו גם הפתרון שהציג. למעוניינים, הנה קישור למצגת (קובץ pdf) המכסה את הנושא בצורה טובה. []
  3. 3. לדוגמה, הברית בין יש עתיד והבית היהודי במשא ומתן הקואליציוני לאחר בחירות 2013 אפשרה לשתי המפלגות להשיג יותר הישגים פוליטיים מאשר לו היו מנהלות משאים ומתנים נפרדים מול הליכוד []
  4. 4. ממש כמו היום []
  5. 5. אני נמנע מלהכנס לדיון פוליטי על התרחיש ההזוי והגזעני הזה. אציין רק שיש חילוקי דעות אידיאולוגיים מהותיים בין שלוש מפלגות אלה, וכן כי חדש אינה מפלגה ערבית במהותה, אלא מפלגה ללא לאומיות []
  6. 6. הערכים חושבו על ידי המחשבון הנמצא באתר Cut The Knot []

מצגת ההרצאה על תורת המשחקים

במסגרת "חודש משחקי החשיבה" שייערך ברעננה, נתתי אתמול הרצאה בנושא "נפלאות התבונה – מבט אל תורת המשחקים". ניתן לראות כאן את מצגת ההרצאה.

תורת המשחקים, הדברים החשובים והאינסוף – סקירה של ספרי חיים שפירא

למרות שחיים שפירא הוא מתמטיקאי וסטטיסטיקאי בן גילי, שלמד סטטיסטיקה בתל אביב בערך באותה תקופה בה אני למדתי בירושלים, ואחד מעמיתיי לעבודה למד יחד איתו, לא שמעתי את שמו עד לפני מספר שנים, כאשר הגיע לתת הרצאה באירוע שארגן מקום העבודה השלי.

כותרת ההרצאה הייתה "כשפו הדב פגש את וודי אלן", ואני זוכר היטב את המשפט שפתח אותה: "שמי חיים שפירא", אמר שפירא, "ואני מלמד את המקצוע הכי משעמם בעולם – סטטיסטיקה". רוב מכריע של הקהל צחק, אפילו אני חייכתי. ההרצאה הייתה מרתקת ומבדרת. שפירא יכול ללא ספק לפתח קריירה של סטנדאפיסט (והוא בעצם סוג של סטנדאפיסט כאשר הוא עולה על הבמה להרצות).

כשנתיים לאחר ההרצאה הזו, בספטמבר 2008, פצח שפירא גם בקריירה של סופר, והוציא לאור את ספרו הראשון (אם מתעלמים מספרון בהוצאת האוניברסיטה המשודרת שיצא לאור כמה שנים קודם לכן: "בעקבות אליס – מסעות לעולמו של לואיס קרול").

הספר נשא את הכותרת "שיחות על תורת המשחקים", ונראה מבטיח. הספר, שיצא לאור מספר שנים לאחר זכייתו של פרופ' ישראל אומן בפרס נובל לכלכלה, ענה ככל הנראה על צורך של הציבור להבין את התחום בו עוסק אומן, ולכן הפך לרב-מכר. אני מודה שלא רכשתי את הספר, בניגוד למנהגי לאסוף ספרי מתמטיקה פופולרית, והסתפקתי בשאילת הספר מהספריה לצורך קריאתו. לכן, עברו כבר שנתיים מאז שקראתי את הספר, ואף כי אתמול עיינתי בו בחטף באחד מדוכני שבוע הספר, הדברים שאכתוב עליו מבוססים על זכרוני.

בצדק נקרא הספר "שיחות על תורת המשחקים". הוא כתוב כאילו מישהו הקליט את שפירא משוחח על נושאים שונים, ואחר כך העלה את הדברים על הכתב. מי שיקרא את הספר ייהנה ללא ספק: הוא שזור סיפורים משעשעים ודוגמאות מעניינות. חלק מהדברים אכן עוסקים בתורת המשחקים. יש את הדיון הבלתי נמנע על דילמת האסירים, וגם על משחקים קשורים, כגון משחק השפן. יש הסבר אינטואיטיבי למדי על שיווי המשקל של נאש. יש דיון במשחקי מיקוח, ומשחק/תרגיל המכירה הפומבית של הדולר (ששודרג, ככל הנראה עקב האינפלציה, המשבר הכלכלי בארה"ב והתחזקות השקל, למכירה פומבית של 100 שקלים)  נדון גם הוא. יש גם דוגמאות מעניינות מעולם הטבע – תופעות התנהגותיות של בעלי חיים שניתן להסביר באמצעות מודלים מתורת המשחקים.

אבל יש גם נושאים אחרים, שלא ממש קשורים. יש למשל, פרק שכותרתו "איך לשקר בעזרת סטטיסטיקה", ובו מביא שפירא שתי שיטות עיקריות לעיוות נתונים. מובאת החידה הנחמדה על חלוקת המטמון בין הפיראטים. בעיית שתי המעטפות זוכה גם היא לדיון, סיכויי הזכיה בהימורים שונים נדונים באריכות וגם בעיית מונטי הול נכנסה לספר הזה. נחמד מאוד, אבל מה לזה ולתורת המשחקים?

ההתרשמות שלי הייתה שהצורך למלא 200 ומשהו עמודים במהירות גבר על הרצון להוציא ספר פופולרי רציני שיסביר את תורת המשחקים בשפה שווה לכל נפש. והאמת, אין צורך בספר כזה, כי כבר קיימים מספר ספרים טובים מאוד על התחום שתורגמו לעברית: "דילמת האסיר" מאת ויליאם פאונדסטון ו-"תורת המשחקים" מאת דיקסיט וניילבאף, שני ספרים שכן נמצאים בספריה שלי.

ההצלחה של הספר הראשון הובילה את שפירא לכתיבת ספר שני, שנשא את הכותרת המעט יומרנית, אך בהחלט מוצדקת, "על הדברים החשובים באמת". לטעמי זהו ספרו הטוב ביותר של שפירא (עד כה). הלפר שלושה חלקים, וכל ספר עוסק באחת מבין שלוש היצירות הספרותיות הנפלאות, "סיפורי פו הדב" מאת א.א. מילן, "אליס בארץ הפלאות" (והמשכו, "מבעד למראה") שכתב המתמטיקאי צ'רלס דודג'סון, הידוע יותר בשמו הספרותי לואיס קרול, ו-"הנסיך הקטן" של אנטואן דה סנט-אכזופרי. גם הדברים שאכתוב על הספר הזה נכתבים מהזכרון, שכן עברה כמעט שנה מאז שקראתי אותו. החלק המוקדש לפו הדב הוא למעשה הרחבה של ההרצאה ששמעתי את שפירא נושא לפני מספר שנים.שפירא מדגים בעזרת פו, אליס, הנסיך, וכמה דמויות נוספות רעיונות מתחומי הפילוסופיה, ועשה זאת בהומור רב, ובשפה ברורה. עם זאת, אני חייב לציין, לצערי, כי חלקי הספר מהווים סדרה מונוטונית יורדת. בעוד שהחלק על פו הדב הוא מצויין, הפרק על אליס פחות טוב, ועדיף לקרוא את החוברת של האוניברסיטה המשודרת המבוססת על הרצאותיו של שפירא, או לפנות להערות הקלאסיות של מרטין גרדנר . החלק השלישי על הנסיך הקטן קצר מאוד, ועושה עוול גם לספר וגם לשפירא עצמו. הערך המוסף שלו קטן ביותר, לדעתי. עם זאת, אני בהחלט ממליץ לקרוא את הספר.

עוד שנה עברה, והנה, לקראת שבוע הספר, הוציא שפירא לאור ספר שלישי: "אינסוף המסע שאינו נגמר". עוד ספר עם כותרת יומרנית, והפעם, לצערי, היומרה ריקה מתוכן, ומוטב היה לו הספר לא נכתב. הספר לא עוסק באינסוף. זאת אומרת, חלק ממנו כן עוסק באינסוף. יש פרק שאכן עוסק בתורת הקבוצות, ובו בין היתר מביא שפירא את סיפור המלון של הילברט, מתאר את שיטת האלכסון של קנטור ומדגים כיצד מוכיחים כי המספרים הרציונליים בני מניה, אך הממשיים אינם ניתנים למניה, ועוד כהנה וכהנה. הספר גם עוסק בערב רב של נושאים אחרים: אנקדוטות מתורת המספרים, דיון במספרים הראשוניים, פרק על הקבועים פיי ו-e, ונוסחת אוילר המקשרת בינהם, מספרים מדומים, פתרון משוואות בעזרת שורשים, מספרי ארדש, המשפט האחרון של פרמה, פרקטלים, הפרדוקסים של זנון (ש"איש לא הצליח לפתור", טוען שפירא), מספרי פיבונצ'י, מספרים ראשוניים, ועוד ועוד ועוד.

הספר בעייתי מאוד. אין לו דרך. ההסברים מסורבלים, ולו הייתי צריך לנסות להבין את ההוכחה של אויקלידס לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, למשל, מהטקסט של שפירא, הייתי מתקשה בכך. כאדם שעוסק במתמטיקה, הספר פשוט שיעמם אותי. אני לא כל כך יודע מה תהיה התגובה של מי ששנא מתמטיקה בלימודיו בבית הספר כאשר ינסה לקרוא אותו. חבל שהספר הזה יצא לאור, ואני ממליץ לכם לוותר עליו. יש מספיק ספרים טובים בעברית שעוסקים הנושאים האלה.

מחשבות על דילמת האסירים והיווצרות חוקים

רשימה זו נכתבת בעקבות דיון שנערך ביני ובין ידידי משכבר הימים ראובן בתגובות לרשימה "מה רע בקצת סטרואידים". (ניתן לראות כאן את שרשור התגובות, שהתחיל הקורא סמיילי).

הדיון התנהל סביב הטענה שהעליתי, לפיה חוקים נוצרים כדי להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים. ראובן אמר כי לדעתו זו גישה נאיבית, ולכן אנסה להסביר ברשימה הזו באופן משכנע יותר מדוע הגישה שהצגתי אינה נאיבית כלל וכלל.

בטרם אגש לשטוח את טיעוניי, אקדים ואציין כי הרעיון בדבר הקשר בין דילמת האסירים והיווצרות חוקים אינו רעיון מקורי שלי. אני שמעתי אותו לראשונה מפי פרופ' מיכאל משלר ז"ל, אצלו למדתי כמה קורסים בתורת המשחקים. פרופ' משלר אף סיפר על אחת הסטודנטיות שלו שנסעה עד לפיטסבורג הרחוקה כדי לכתוב שם דיסרטציה בפילוסופיה שעסקה ברעיון הזה ממש, והוכתרה בתואר דוקטור בזכות עבודתה זו. לצערי, לא הצלחתי למצוא זכר לכך בחיפושיי ברשת. אם למישהו מהקוראים יש מידע על כך, אשמח לשמוע.

בואו וניזכר בדילמת האסירים "המקורית". המשטרה עוצרת שני אנשים החשודים בביצוע פשע חמור כלשהו. ברור לחלוטין (למשטרה לפחות) כי השניים אכן אשמים, אך אין די ראיות כדי להרשיעם בבית המשפט. חוקר המשטרה נוקט גישת הפרד ומשול, וכולא את כל אחד מהחשודים בתא נפרד. לאחר מכן הוא מביא בפני כל אחד מהחשודים סיכום מצב קצר. אם שני החשודים ישתקו בחקירתם, המשטרה לא תוכל להאשימם בפשע החמור שביצעו, אך הם יואשמו באחזקת נשק בלתי חוקי, וכל אחד מהם צפוי למאסר של חצי שנה. אם שניהם יודו בפשע בו הם חשודים, כל אחד מהם צפוי ל-10 שנות מאסר. אבל, אם אחד החשודים יודה בפשע בעוד חברו שותק בחקירה, הוא יוכל לשמש כעד מדינה נגד חברו ולהשתחרר ללא מאסר כלל, בעוד שחברו יישלח למאסר של 15 שנה. ניתן לסכם את כל התוצאות האפשריות (מנקודת מבטו של אחד החשודים) בטבלה הבאה:

מה אני אקבל מה השותף שלי עושה
שותק בחקירה מודה באשמה
מה אני עושה שותק בחקירה חצי שנה 15 שנים
מודה באשמה יוצא לחפשי 10 שנים

הנה השיקול של החשוד: אם השותף שלו שותק, עדיף לו להודות באשמה, כי אז יצא לחופשי, וזה יותר טוב מחצי שנה שיקבל אם גם הוא ישתוק. לעומת זאת, אם שותפו מודה באשמה, אז בודאי עדיף להודות באשמה ולקבל 10 שנים, שכן זו תוצאה טובה יותר ממאסר של 15 שנים שיקבל אם ישתוק במקרה זה. לסיכום, לא משנה מה יעשה השותף, בכל מקרה עדיף להודות באשמה מאשר לשתוק.

החשוד השני, השותף לפשע, עומד בדיוק מול אותה טבלת תוצאות, שוקל את אותם שיקולים, ומגיע בהכרח לאותה מסקנה: עדיף לדבר.

התוצאה הסופית: שני החשודים מודים באשמה ונשלחים למאסר של 10 שנים כל אחד, כאשר יכלו לקבל עונש קל של חצי שנת מאשר, לו שניהם מילאו את פיהם מים.

כל זה טוב ויפה בתיאוריה. למה חוקרי המשטרה לא משתמשים בתרגיל הזה שוב ושוב כדי להוציא הודאות מהחשודים? כי גם הפושעים מתוחכמים. הם אולי לא למדו קורסים בתורת המשחקים, אבל יודעים היטב כי מי שיעיד נגד חברו לא יסתובב חפשי זמן רב, ותוך זמן קצר יימצא עם כדור בראש. החוק הבלתי כתוב של העולם התחתון שינה את טבלת התוצאות של דילמת האסירים:

מה אני אקבל מה השותף שלי עושה
שותק בחקירה מודה באשמה
מה אני עושה שותק בחקירה חצי שנה 15 שנים
מודה באשמה יוצא לחפשי כדור בראש 10 שנים

עכשיו, אם השותף שותק, גם לחברו עדיף לשתוק. עדיף לשבת חצי שנה בכלא מלקבל כדור בראש. יש נסיונות מצד רשויות החוק להתחכם ולשנות עוד את הטבלה על ידי החלפת "כדור בראש" ל-"תכנית להגנת עדים". לפעמים יש פושעים שזה משתלם להם, לפעמים לא. בכל מקרה, דילמת האסירים שוב אינה דילמה.

לא תמיד ניתן לשנות את הדילמה באמצעות חוק. בואו ניקח לדוגמא סטודנט שגר לו בבניין 9 במעונות שבגבעת רם. לבניין הזה יש מטבח אחד המשמש את כל דייריו. כאשר הסטודנט מכין לעצמו במטבח חביתה לארוחת ערב, הוא יכול לנקות אחריו את משטח העבודה והכיריים, או להשאיר אותם מלוכלכים. אתם מוזמנים לבדוק כי זו וריאציה על דילמת האסירים. לא משנה מה הדיירים האחרים עושים, לכל דייר תמיד כדאי יותר לא לנקות אחריו. המטבח נשאר מלוכלך עד שעובדי הנקיון של המעונות ינקו אותו למחרת בבוקר. אפשר לקבוע בחוק (או בתקנון המעונות) כי כל סטודנט המשתמש במטבח חייב לנקות אחריו (ואולי יש כלל כזה בתקנון). אבל אם הכלל הזה לא יאכף, איש לא ינקה.

לפעמים אין צורך באכיפה של ממש, די בחינוך. דוגמא מצוינת היא שמירת פרחי הבר. אם כל אחד יקטף לעצמו פרח בר אחד, הוא ירוויח בטווח הקצר, התוצאה הרסנית לכולם. דילמת אסירים. יש חוק להגנת פרחי בר. הוא לא נאכף באינטנסיביות. אין צורך. שנים של חינוך טבעו בתודעת כולנו את הכלל לפיו אין לקטוף פרחי בר.

לעומת זאת, אם תתבוננו בצומת הקרוב למקום מגוריכם, תגלו שם דילמת אסירים מסוג אחר. כאשר כמה מכוניות מתקרבות לצומת, כל נהג יכול לבחור אם להכנס לצומת או לתת זכות קדימה לנהגים האחרים. בדקו ותראו כי תמיד "משתלם יותר" לנהג להכנס לצומת ולא לתת זכות קדימה לאחרים, בין אם האחרים נותנים לו זכות קדימה ובין אם לאו. הבעיה היא שהתשלום המשולם בנקודת שיווי המשקל בה איש לא נותן זכות קדימה הוא כבד למדי: פקק במקרה הטוב, תאונה + פקק במקרה הפחות טוב. הפתרון: בכל צומת מוצבים תמרורים ואף רמזורים המסדירים את סדר הקדימויות בין הנהגים השונים. תמרורים ורמזורים הם נגזרות של חוקים. כאן, לצערנו, יש צורך גם לאכוף את החוקים האלה, כיוון שרב מספר הנהגים המתייחסים לתמרורי עצור ולרמזורים אדומים כאל המלצות בלבד. שימו לב, אגב, שהפתרון שמציעים התמרורים והרמזורים אינו בהכרח "צודק". חלק מהנהגים עלולים להמתין יותר זמן בצומת מאשר נהגים אחרים. אבל הפקקים והתאונות נמנעים, לפחות חלקית.

הבאתי כאן מספר דוגמאות הממחישות כיצד מצבים הדומים לדילמת האסירים נפתרים על ידי שינוי טבלת התשלומים באמצעות כלל, תקנה או חוק. האם זה מוכיח שכל חוק בא למנוע מצב של דילמת אסירים? ודאי שלא. אבל נדמה לי שהעקרון הובהר. גם אם תובא דוגמא של חוק שלא נובע ממצב של דילמת אסירים (ואשמח לראות דוגמא כזו, אני עצמי לא הצלחתי לחשוב על אחת), עדיין יהיה אפשר לומר כי ניתן להמנע מנקודת שיווי המשקל של דילמת האסירים באמצעות שינוי טבלת התשלומים על ידי חיקוק, וגם זו טענה חזקה מאוד.