חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'הממ… מעניין…'

למה אין 180 חברי כנסת?

הנה שאלה שמישהו שאל בקבוצת “שאלה קטנה” בפייסבוק:

וגם ציוץ מטוויטר:[1]

.

מה המשמעות של גודל הכנסת/פרלמנט

בפייסבוק מישהו ענה לשאלה בדבר מספר חברי הכנסת כי יש 120 חברי כנסת בגלל שזה היה מספר החברים בסנהדרין שפעל בימי בית שני, וזה נשמע לי הגיוני, למרות שלא מצאתי סימוכין לכך לא בויקיפדיה ולא באתר הכנסת. אבל זה לא עונה לחלק השני של השאלה. מאז קום המדינה האוכלוסייה גדלה בהרבה: מ-650 אלף בעת הכרזת המדינה לבערך מ-9 מיליון. יותר מפי 10. זה כמעט פי 14. אז אולי 120 חברי כנסת באמת לא מספיקים?

מצד שני, ראיתי גם טענות בעבר[2] לפיהן החזקה של 120 חברי כנסת זה בזבוז כסף עצום וצריך להקטין את מספר חברי הכנסת ל-70. אז כמה חברי כנסת באמת צריך? ומהן ההשלכות הפוליטיות הנגזרות מבחירה כזו או אחרת?[3]

אני זוכר שדובי קננגיסר התייחס פעם לנושא בבלוג המצויין והלא פעיל שלו, אבל לא הצלחתי למצוא את הקישור. ההסבר שלו, וסלחו על אי הדיוקים, הוא שמדובר בעניין של ייצוג. בעת הקמת המדינה, כל חבר כנסת ייצג בערך 5400 אזרחים[4]. כיום כל חבר כנסת מייצג 75000 אזרחים. אם היינו רוצים לשמור על אותה רמת ייצוג שהייתה בכנסת הראשונה ב-1949, היינו צריכים כמעט 1700 חברי כנסת. זה כמובן לא סביר.

דבר שני שצריך להתייחס אליו הוא הכח הפוליטי של כל חבר כנסת. כשיש 120 חברי כנסת, הכח הפוליטי של חבר כנסת בודד הוא 1/120, כלומר 0.83% מסך הכח הפוליטי. בכנסת של 180 חברים, הכם הפוליטי של כל חבר כנסת קטן יותר: 0.55%, ובכנסת של 70 חברים, הכח הפוליטי של חבר כנסת בודד גבוה באופן משמעותי: 1.4%. יש לכך השלכות כמובן: בכנסת קטנה של 70 חברים, אם חבר כנסת מחליט למשל לעזוב את מפלגתו ולחבור למפלגה אחרת, יש לכך הרבה יותר משמעות פוליטית בהשוואה לכנסת גדולה עם 180 חברים.

מכאן שלפרלמנט גדול יש שני יתרונות: הוא מאפשר ייצוג יותר טוב של תתי אוכלוסיות, בייחוד אם יש אחוז חסימה לא גבוה מדי או בחירות איזוריות.[5]  נכון, זה כנראה יעלה יותר כסף, אבל אפשר לתמחר את זה, לפחות באופן עקרוני. מסיבה זו אני תומך בהגדלת מספר חברי הכנסת באופן משמעותי.

.

מה קורה בעולם?

עשיתי מחקר קטן. בדקתי מה קורה במדינות מערביות ודמוקרטיות שדומות לישראל מבחינת גודל האוכלוסייה. מדובר בכמה מדינות באירופה, כמה מדינות בארצות הברית, ובשלוש רפובליקות ברפובליקה הפדרלית של גרמניה. ברוב המדינות האלה יש שני בתים לפרלמנט[6], ובמקרים האלה לקחתי את נתוני הבית התחתון. הנתונים נמצאים כאן. גדלי האוכלוסייה מעוגלים פחות או יותר.

לכל מדינה חישבתי את כוחו הפוליטי של כל חבר פרלמנט כאחוז מסך מספר החברים בפרלמנט, ואת מספר התושבים המיוצגים על ידי כל חבר פרלמנט (בממוצע) על ידי חלוקת גודל האוכלוסייה במספר חברי הפרלמנט. נתונים אלה מוצגים בגרף הבא. חילקתי את המדינות לשלוש קבוצות על פי גודל האוכלוסייה, וצבעתי את הנקודות בהתאם. הנקודה של ישראל צבועה בכחול. (קוד R ליצירת הגרף נמצא כאן).

.

כצפוי אין הפתעות. גם הייצוגיות של האוכלוסייה וגם הכח הפוליטי של כל חבר פרלמנט תלויים במספר חברי הפרלמנט, ולכן הם הולכים ביחד. מקדם המתאם הוא 0.914.

מה שמעניין זו העובדה שהמתאם בין הכח הפוליטי ורמת הייצוגיות לא מושפע מגודל המדינה.  כאשר מחשבים את מקדמי המתאם לכל קבוצת מדינות בנפרד, כל השלושה גבוהים מ-0.97.

עובדה מעניינת נוספת היא שארבע המדינות בהן הייצוגיות נמוכה (כל חבר פרלמנט מייצג יותר ממאה אלף תושבים) או שהכח הפוליטי של כל חבר פרלמנט הוא לפחות אחוז אחד, הן מדינות בארצות הברית. שלוש המדינות בהן הייצוגיות גבוה והכח הפוליטי של כל חבר פרלמנט הוא פחות מחצי אחוז הן מדינות אירופאיות. אתם מוזמנים לדון במשמעות והסיבות של התוצאות האלה.

.

מה יכול לקרות בישראל

בדקתי שני תרחישים: תרחיש בו מספר חברי הכנסת מוגדל ל-180 או מוקטן ל-70. רמת הייצוגיות והכח הפוליטי של כל חבר כנסת במצב הנוכחי ובשני התרחישים מוצגים בטבלה הבאה:

מספר חברי כנסתכח פוליטירמת ייצוגיות
701.43%128500
1200.83%75000
1800.56%50000

.

חישבתי את מספר חברי הכנסת שהיו לכל סיעה בשתי הכנסות האחרונות בשני התרחישים (ללא שינויים בגובה אחוז החסימה) בשני התרחישים האלה, וכן את המפה הפוליטית בחלוקה לגושים.[7]

הנה, למשל, מפת הכנסת ה-22 אילו היו בה רק 70 חברים או 180 חברים:[8]

מפלגה/גודל הכנסת12018070
כחול לבן334819
ליכוד324719
הרשימה המשותפת13197
שס9146
יהדות התורה8135
העבודה7114
המחנה הדמוקרטי7114
ישראל ביתנו693
ימינה583

.

אבל מה שמשנה זה כמובן הגוש. הנה מפת הגושים בכנסת ה-22:[9]

גוש/ גודל הכנסת12018070
ימין548233
מרכז477027
הרשימה המשותפת13197
ישראל ביתנו693

.

וזו מפת הגושים בכנסת ה-23:[10]

גוש/ גודל הכנסת12018070
ימין588834
מרכז405923
הרשימה המשותפת15239
ישראל ביתנו7104

.

ושאלת השאלות: כמה מנדטים חסרים לגוש הימין כדי להשיג רוב בכנסת? התשובה בטבלה:

גודל הכנסתהרוב הדרושהכנסת ה-22הכנסת ה-23
1206173
1809193
703632

.

באופן לא מפתיע, בכנסת גדולה יותר חסרים לגוש הימין יותר קולות כדי להשיג רוב בכנסת. זה נכון גם עבור גוש המרכז כמובן. בכנסת ה-22 חסרו לגוש הזה 14 מנדטים כדי להשיג רוב, ואילו היו בכנסת 180 חברים היו חסרים לגוש זה 21 מנדטים.

כאשר תוצאות הבחירות צמודות ההבדל עשוי להיות משמעותי. אילו היו בכנסת הזו רק 70 חברי כנסת, אז גוש הימין היה צריך “להעביר” אליו רק 2 חברי כנסת מחוץ לגוש במקום שלושה.[11] לעומת זאת, אם היו בכנסת 180 חברים, המצב היה זהה מבחינת מספר הקולות החסרים לגוש הימין כדי להשיג רוב.


הערות
  1. כן, מישהו חסם אותי []
  2. אין לי הפניות. אני מסתמך על זכרוני. []
  3. אני נמנע בכוונה מדיון בהשלכות הכספיות במסגרת הפוסט. מי שמעוניין מוזמן לדון בכך בתגובות. []
  4. החישוב: 650000/120 []
  5. או שתיהן, כמו שנהוג למשל בגרמניה []
  6. כגון סנאט ובית הנבחרים במדינות ארצות הברית []
  7. הותרתי את ישראל ביתנו מחוץ לגוש הימין ואת הרשימה המשותפת מחוץ לגוש המרכז/שמאל, למרות שמקומן אמור להיות בשני הגושים האלה, בהתאמה []
  8. קוד R לחישובי המנדטים []
  9. הותרתי את ישראל ביתנו מחוץ לגוש הימין ואת הרשימה המשותפת מחוץ לגוש המרכז/שמאל, למרות שמקומן אמור להיות בשני הגושים האלה, בהתאמה []
  10. כן, אני יודע שגוש המרכז בכנסת הזו זה לא מה שהיה פעם []
  11. בסוף הם הצליחו להעביר כמעט 20, אבל זה סיפור אחר. []

משפט הקופים

קוף מקבל כל פעם כדור ומניח אותו באחד משני סלים בהסתברויות שוות. בכל סל יש מקום לשני כדורים ואם סל מתמלא מרוקנים אותו מייד. כאשר יש בדיוק כדור אחד בכל סל, הקוף מקבל בננה. הוא מתחיל עם שני סלים ריקים. כמה כדורים יניח בממוצע עד שיקבל בננה?

אפשר לגשת לחידה הזו בכמה צורות.

הגישה ה-“נאיבית”

מי שלא בקיא בסטטיסטיקה והסתברות, יכול לחשוב על הגישה הבאה: ברור שאחרי כדור אחד הוא לא יקבל בננה. אחרי שני כדורים הוא יקבל בננה בהסתברות חצי, או שלא יקבל בננה ואז הוא יעמוד שוב בפני שני סלים ריקים. אם לא קיבל אחרי 2 כדורים, זה בגלל שהוא שם את שני הכדורים הראשונים באותו סל, ואז הוא ניצב שוב בפני שני סלים ריקים ולכן ברור כי הוא לא יקבל בננה אחרי הכדור השלישי. אבל הוא יכול לקבל בננה אחרי הכדור רביעי אם ישים את הכדור הרביעי בסל הריק. מה הסיכוי שנגיע עד לכאן? רבע, כי הסיכוי שהקוף יגיע לכדור השלישי הוא חצי, ומכאן כמו קודם יש לו סיכוי של חצי להגיע לבננה בעוד שני כדורים, וחצי של חצי זה רבע.

מכל הדיון הזה אפשר להסיק כי מספר הכדורים עד קבלת הבננה חייב להיות זוגי, וכן כי הסיכוי לקבלת בננה אחרי שני כדורים הוא חצי, אחרי ארבעה כדורים הסיכוי הוא רבע, אחרי שישה כדורים – שמינית, וכך הלאה.

אפשר לקרוא לגישה הזו בהרבה שמות, אבל נאיבית היא לא. לאלה שהגיעו עד לכאן – אנא קבלו את התנצלותי על כך שהטעיתי אתכם בכותרת. אני קורא לגישה הזו בשם “הגישה הנכונה“. זה מה שצריך לעשות: למצוא את כל האפשרויות, ואת הסיכוי/הסתברות של כל אפשרות.

עכשיו רק צריך לשקלל את האפשרויות בהסתברויות שלהן. כלומר לחשב את זה:

זה דורש קצת אלגברה, ואני אדלג על החישוב ברשותכם. התוצאה היא 4.

גישה שניה: מציאת בעיה דומה

זו גישה מקובלת: אם עומדים בפני בעיה, מנסים למצוא בעיה דומה שכבר פתרנו, ובעזרת הפתרון הזה מגיעים לפתרון של הבעיה הנוכחית[1]

אפשר לנסח את הבעיה של הקוף באופן הבא: הוא מקבל שני כדורים, ושם כל אחד מהם בסל באופן אקראי. אם חילק אותם שווה בשווה בין שני הסלים, הוא מקבל בננה. אם לא – הוא יכול לנסות שוב.

כדי שהגישה הזו תעבוד צריך לשים לב לשני פרטים חשובים. קודם כל – שני הסלים שונים זה מזה. אני מניח שאף אחד לא יתווכח על זה. נקרא לסלים בשם הסל הימני והסל השמאלי.

הפרט השני בדרך כלל יותר בעייתי: גם שני הכדורים שונים זה מזה. אם כדור אחד היה אדום ואחד היה כחול, אז הטענה הזו הייתה ברורה לגמרי. אבל לפעמים קשה לשים לב להבדלים בין הכדורים. אולי ההבדלים הם רק בשריטות שיש על הכדורים. אפילו אם מדובר בשני כדורים חדשים מהניילון – הם עדיין שונים זה מזה. וגם אם הם זהים בכל פרט שאתם יכולים לדמיין – הם עדיין שונים זה מזה. אלה שני כדורים ולא כדור אחד. הם מורכבים מאטומים שונים. לכן נקרא לכדורים האלה בשם כדור א וכדור ב. מה יכול לקרות כשהקוף מקבל את שני הכדורים? יש ארבע אפשרויות

  • שני הכדורים בסל הימני
  • שני הכדורים בסל השמאלי
  • כדור א בסל הימני וכדור ב בסל השמאלי
  • כדור א בסל השמאלי וכדור ב בסל הימני

ומכיוון שהקוף בוחר באופן אקראי את הסל שבו יניח כל כדור, לכל ארבע האפשרויות האלה יש סיכוי שווה, והסיכוי הזה שווה לרבע. ומכיוון שבדיוק שתי אפשרויות שבהן הקוף יקבל בננה, הסיכוי שהוא יקבל בננה הוא חצי.

אז בעצם יכולנו להקל על הקוף ולתת לא להטיל מטבע. אם יצא פלי, מה חבל. אם יצא עץ, הקוף יכול לטפס על העץ ולקטוף לעצמו בננה.

וכך הפכנו את בעיית הקוף לבעיה שכולנו[2] מכירים. כמה פעמים בממוצע צריך להטיל מטבע הוגן עד קבלת עץ? התשובה היא אחד חלקי הסיכוי לקבלת עץ, כלומר אחד חלקי חצי, כלומר 2. אבל רגע, בכל “הטלת מטבע” כזו הקוף מקבל 2 כדורים, ולכן מספר הכדורים הוא 2 כפול 2, כלומר 4, אותה התשובה שקיבלנו קודם.

גישה שלישית: שרשרת מרקוב – לא להיבהל!

דיברתי כבר על שרשראות מרקוב כאשר דנתי בבעיית המטריות. שאלת הקוף היא עוד דוגמא נחמדה לשרשרת מרקוב.

ניזכר: שרשרת מרקוב היא קבוצה של מצבים, בצירוף ההסתברות לעבור ממצב למצב.

לשרשרת של הקוף יש שלושה מצבים:

  1. שני סלים ריקים. נסמן מצב זה ב-00.
  2. סל אחד ריק ובשני יש כדור. נסמן מצב זה ב-01.
  3. כדור אחד בכל סל. נסמן מצב זה ב-11.

אם הקוף במצב 00 הוא יכול לעבור רק למצב 01. יש שני סלים ריקים, הוא מקבל כדור ושם אותו באחד הסלים. זה כל מה שאפשר. ההסתברות לעבור ממצב 00 למצב 01 שווה ל-1.

אם הקוף במצב 01 יכולים לקרות שני דברים: או שהוא שם את הכדור הבא בסל שכבר יש בו כדור. בסל יש שני כדורים, מרוקנים אותו, והקוף חוזר למצב 00. זה קורה בהסתברות חצי. הדבר השני שיכול לקרות הוא שהקוף ישים את הכדור בסל הריק, יגיע למצב 11, יקבל בננה, והמשחק נגמר. גם זה יכול לקרות בהסתברות חצי.

אם הקוף במצב 11 הוא כבר לא מתעניין בנו, כי יש לו בננה. ההסתברות לעבור ממצב 11 למצב 00 או 01 היא 0. המצב הבא, אם נתעקש, יהיה שוב 11. כלומר, ממצב 11 עוברים למצב 11 בהסתברות 1.

הנה תיאור ציורי של השרשרת:

הקוף למעשה מטייל לו בין מצבים 00 ל-01 עד שבמקרה הוא מצליח לעבור למצב 11. בעזרת הציור קל לראות שמספר הכדורים שהקוף יניח עד קבלת הבננה הוא זוגי.

איך כל זה עוזר לנו?

נניח שממוצע מספר הצעדים/כדורים מ-00 ל-11 הוא X.

כפי שראינו קודם, X שווה ל-2 בהסתברות 0.5.

אבל אם בשני הצעדים הראשונים שלו הקוף יצא מ-00 וגם חזר לשם, אז ממוצע מספר הצעדים שנותרו לו מעכשיו הוא גם כן X! וזאת מכיוון שמצבו עכשיו, לאחר שני צעדים לא שונה מהמצב ההתחלתי. כלומר, ממוצע מספר הצעדים אם אנחנו יודעים שהוא כבר עשה סיבוב אחד של 00 ל-01 ל-00 הוא 2+X. ההסתברות שזה יקרה גם כן שווה לחצי. ולכן

פתרון המשוואה הזו הוא X=4.

משפט הקופים

המסקנה מתוך כל הדיון הזה: אם תתנו לקוף לתקתק מספיק זמן על מכונת כתיבה הוא ידפיס את כל כתבי שייקספיר.

רגע? מה?

בואו נחזור לבעיה המקורית, זאת עם הכדורים והבננה. מה הסיכוי שהקוף יטייל במשך כל חייו האינסופיים בין המצבים 00 ו-01?

קודם ראינו כי הסיכוי שהוא יגיע לבננה אחרי 2 צעדים הוא חצי, אחרי 4 צעדים – רבע, אחרי 6 צעדים – שמינית, וכך עד אינסוף. לכן הסיכוי שהוא יקבל בננה שווה לחצי ועוד רבע ועוד שמינית וכן הלאה. זהו סכום של טור גיאומטרי אינסופי, והסכום הזה שווה ל-1. ההסתברות שהקוף יקבל בננה היא 1.

עכשיו, בואו נרחם על הקוף שלנו, ולפני שנטיל עליו להדפיס את כל כתבי שייקספיר נבקש ממנו לתקתק את המילה “יוסי”. הקוף נמצא בעצם בשרשרת מרקוב בת שני מצבים. במצב אחד יש לו דף נייר חלק, ובמצב השני יש דף שעליו מתנוסס השם שלי.

הקוף מקבל דף חלק. זהו מצב 0. הוא מתקתק ארבע אותיות ובא אלי להראות לי מה הוא הצליח לעשות. אם כתוב “יוסי” אני נותן לו חיזוק חיובי ומשחרר אותו עד מחר. הוא הגיע למצב 1. אם לא, אני מקמט את הנייר, זורק לפח, ונותן לו דף נייר חדש, שינסה שוב, עד שיעשה את זה כמו שצריך.

זה כמו הטלת מטבע, רק שהסיכוי להטלת עץ הוא מאוד קטן. אבל לא אפס. נסמן את הסיכוי הזה באות p. הקוף מתחיל במצב 0, עובר למצב 1 בהסתברות p ונשאר במצב 0 בהסתברות p-1. אם הוא מגיע למצב 1 הוא נשאר שם בהסתברות 1.

כמו קודם, אם הוא יטיל את המטבע שוב ושוב בסוף יתקבל עץ. אפשר לחשב כמו קודם סכום של טור גיאומטרי אינסופי ולראות כי ההסתברות לקבל עץ או לתקתק את כל כתבי שייקספיר שווה ל-1. הקוף יצטרך בממוצע 1/p ניסיונות. כל מה שאתם צריכים זה לחכות.


הערות
  1. מכירים את הסיפור על המתמטיקאי והפיזיקאי שנתבקשו להרתיח מים בקומקום? []
  2. אני מקווה []

עוד שימוש מפתיע לרנדומיזציה: קבלת החלטות

לפני שבוע, הצייצן eSivion העלה סקר לא שגרתי בטוויטר, בו ביקש מהמשיבים להצביע כך התפלגות התשובות לסקר תהיה 10% לתשובה א, 20% לתשובה ב, 30% לתשובה ג ו-40% לתשובה ד:

הניסוי הצליח![1]

איך עושים את זה, או יותר נכון, איך הציבור הצליח לעשות את זה?

אחת המגיבים לסקר סיפק ספוילר כחצי שעה לאחר שהסקר פורסם:

 

טוב, אני לא יודע עד כמה הספוילר הזה השפיע על התוצאה הסופית. אומר רק שאני נתבקשתי לחוות את דעתי כמה דקות אחרי שהסקר עלה, ועניתי שאתייחס רק לאחר שהוא הסתיים. התשובה אל אותו ליאור היא אכן הדרך הנכונה להגיע להתפלגות שרוצים: רנדומיזציה, אם כי אני הייתי ממליץ על ספרת היחידות של השניות, או על מחוג השניות.

לפני כמה ימים כתבתי על רנדומיזציה בהקשר על ניסויים מבוקרים, אבל רעיון הרנדומיזציה טוב גם לדרים אחרים, כמו להשיג תוצאה מסויימת בסקר של טוויטר. אבל…

אם תצפו במשחקי טניס מקצוענים, תראו שרבים מן השחקנים עונדים שעון יד. זה לא בהכרח בלל שהם ממהרים לאן שהוא, ורוצים לסיים את המשחק בהתאם לתוכניות שלהם[2]. כאשר מגיע תורו של שחקן טניס לחבוט את חבטת הפתיחה, יש לו בגדול שתי אפשרויות: לחבוט ימינה או לחבוט שמאלה[3] . אם יחבוט כל הזמן ימינה, היריב ייערך בהתאם, וזה גם מה שיקרה אם יחבוט כל הזמן שמאלה. גם אם יחבוט ימינה ושמאלה לסירוגין, היריב יעלה על זה מהר מאוד. חייבים לשמור כל הזמן על יתרון ההפתעה. איך עושים את זה? מציצים בשעון. אם מספר השניות שעברו בדקה הנוכחית קטן משלושים, חובטים ימינה. אחרת – חובטים שמאלה. כך ליריב לא תהיה דרך טובה לחזות לאן תיחבט החבטה הבאה.

זה קורה גם בבייסבול. כאן יש פיצ’ר, שהוא השחקן שזורק את הכדור לעבר החובט. יש כל מיני סוגי זריקות שהפיצ’ר יכול לזרוק: כדור מהיר, כדור מסובב, וכדומה. אם החובט יודע מראש איזה סוג זריקה יזרוק הפיצ’ר, זה ישפר את סיכוייו לחבוט בכדור[4].

הפתרון הוא כמובן לזרוק את הכדור באופן שיקשה על החובט לנחש מראש מה יהיה סוג הזריקה. אפשר לעשות את זה על ידי רנדומיזציה, למשל על ידי מבט מהיר בשעון. גרג מאדוקס, אחד מגדולי הפיצ’רים בכל הזמנים, סיפר כי הוא השתמש בשיטה הזו כדי לקבל החלטות באשר לזריקה שאותה יזרוק. זה כמובן לא מספיק, כדי להיות כמו גרג מאדוקס צריך גם כשרון נדיר, אבל הרנדומיזציה בודאי שלא הזיקה לא.


הערות
  1. אם כי מבחן כי בריבוע מראה כי ההתפלגות של ההצבעות שונה באופן מובהק סטטיסטית מההתפלגות לה קיווה אי-שיוויון []
  2. כמו שקרה בסרטו של אלפרד היצ’קוק זרים הרכבת []
  3. אני מפשט קצת את הדברים []
  4. גם ככה הסכוי לחבוט נמוך למדי. החובטים הממש טובים מצליחים לחבוט בכדור בכ-30% מהפעמים []

מלחמת המינים

באיים המטריארכליים שבאוקיינוס השקט יש העדפה ברורה לבנות, ולכן כל משפחה מביאה ילדים לעולם עד שנולדת להם בת (לאחר שנולדת בת המשפחה מפסיקה להביא ילדים לעולם).

מהו יחס המינים באיים?

מתוך 47 איש שענו על שאלה זו בטוויטר, 36 ידעו את התשובה הנכונה: למרות שלכאורה יש משפחות עם הרבה בנים ורק בת אחת, עדיין יהיה מספר שווה בערך של גברים ונשים.

 

למה זה נכון?

כמקובל, יש צורך להניח מספר הנחות. ההנחות המקובלות הן:

  • בכל לידה נולד רק ילד אחד
  • כל ילד הוא בהכרח בן או בת
  • הסיכוי ללידת בן שווה לסיכוי ללידת בת
  • אין קשר בין המינים של הילדים השונים באותה המשפחה

ארבע ההנחות האלה יוצרות מודל: תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדוייק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שלנו.

על ההנחות אפשר להתווכח. 3 ההנחות הראשונות יקלו עלינו את החישובים. 2 ההנחות הראשונות מתעלמות ממקרים של לידות תאומים, וממקרים נדירים בהם נולדים תינוקות שאינם זכר או נקבה ביולוגיים.[1] גם ההנחה השלישית אינה נכונה בטבע: ידוע כי נולדים יותר בנים מאשר בנות, והטבע “מאזן את עצמו” בכך ששיעור התמותה של תינוקות זכרים גבוה יותר. אפשר לבנות מודל יותר מורכב שייקח בחשבון הנחות יותר מורכבות, אבל זה רק יסבך את החישובים.

ההנחה הרביעית היא קריטית. אם היא לא נכונה, אז כל הניתוח שיוצג כאן אינו נכון. שוב, אפשר להחליף את ההנחה הזו בהנחה יותר מורכבת, אבל אין לנו שום סיבה לחשוד בכך שההנחה הזו לא נכונה.

עכשיו, כשיש לנו מודל, בואו ננסה לראות מה קורה. נסתכל על דור היפותטי באיים, שבו יש 1024 משפחות חדשות בתחילת דרכן. נניח גם כי בכל שנה יש לידה (במשפחות שאין בהן בת).

בשנה הראשונה, ל-512 משפחות תיוולד בת, ול-512 משפחות ייוולד בן[2]. בסוף השנה יש 512 בנות ו-512 בנים.

בשנה השניה, 512 המשפחות שלהן יש בן יביאו עוד ילד לעולם. ל-256 מהמשפחות האלה תיוולד בת, ול-256 משפחות ייוולד בן. כעת יש 768 בנים (512+256) וגם 768 בנות. יש 256 משפחות עם שני בנים ו-256 משפחות עם בן ובת.

בשנה השלישית, 256 המשפחות שלהן יש שני בנים יביאו עוד ילד לעולם. ל-128 מהמשפחות תיוולד בת, ול-128 מהמשפחות ייוולד בן. כעת יש 896 בנים (768+128) וגם 896 בנות. יש 512 משפחות עם בת אחת, 256 משפחות עם בן ובת, 128 משפחות עם שני בנים ובת, ו-128 משפחות עם שלושה בנים.

בשנה הרביעית, 128 המשפחות שלהן יש שלושה בנים יביאו עוד ילד לעולם. ל-64 מהמשפחות תיוולד בת, ול-64 מהמשפחות ייוולד בן. כעת יש 960 בנים (896+64) וגם 960 בנות. יש 512 משפחות עם בת אחת, 256 משפחות עם בן ובת, 128 משפחות עם שני בנים ובת, 64 משפחות עם שלושה בנים ובת, ו-64 משפחות עם ארבעה בנים.

וכן הלאה. אני אעצור את החישוב הזה כאן, כי ההמשך ברור.

ומכיוון שמשספר הבנים בסופו של דבר שווה למספר הבנות, במשפחה ממוצעת יש מספר שווה של בנים ובנות.

אפשר גם לחשב את גודלה של משפחה ממוצעת: יש לנו 512 משפחות עם ילד אחד (בת), 256 משפחות עם 2 ילדים, 128 משפחות עם שלושה ילדים, וכן הלאה. ולכן (בהנחה שאם יש 10 בנים מוותרים וזהו):

אז במשפחה ממוצעת יש למעשה שני ילדים, ילד אחד הוא בהכרח בת (פרט למשפחה חסרת המזל שבה יש 10 בנים) ובכל משפחה יש רק בת אחת, ולכן הילד הנוסף במשפחה הממוצעת הוא בהכרח בן. במילים אחרות, במשפחה ממוצעת יש בת אחת ובן אחד, ולכן כמובן מספר הבנים שנולדו ל-1024 המשפחות ההיפותטיות שלו שווה למספר הבנות.

אפשר ורצוי לערוך גם חישוב הסתברותי: ההסתברות שבמשפחה יש ילד אחד היא חצי, ההסתברות שבמשפחה יש שני ילדים היא רבע, ההסתברות שבמשפחה יש שלושה ילדים היא רבע, וכן הלאה. לכן אפשר לחשב התוחלת של מספר הילדים במשפחה ולמצוא כי היא שווה ל-2:

 

את החישוב האחרון מבצעים בעזרת כמה תעלולים אלגבריים שכוללים בין השאר את הנוסחה לחישוב סכום של טור גיאומטרי/הנדסי שכנראה שמעתם עליה כשלמדתם מתמטיקה בבית הספר. זה לא מפתיע: סדרת ההסתברויות היא סדרה גיאומטרית: חצי, רבע, שמינית… כל הסתברות קטנה פי 2 מההסתברות הקודמת. לכן הסטטיסטיקאים מכנים את ההתפלגות שתוארה כאן בשם התפלגות גיאומטרית. מספר הילדים במשפחה הוא, בפי הסטטיסטיקאים, משתנה מקרי גיאומטרי. ושוב, מכיוון שעל פי תנאי השאלה תוחלת מספר הבנות במשפחה שווה ל-1, תוחלת מספר הבנים במשפחה חייבת גם היא להיות שווה ל-1, כלומר תוחלת מספר הבנים שווה לתוחלת מספר הבנות.

חישוב התוחלת הוא אולי מפחיד אבל התוצאה מאוד אינטואיטיבית. תחשבו על קוביה. אתם מטילים אותה ורוצים להוציא 5[3]. כמה הטלות בממוצע צריך להטיל עד שתקבלו 5? ההסתברות להטלת חמש היא שישית, ולכן האינטואיציה אומרת שצריך בממוצע 6 הטלות. 6 זה אחד חלקי שישית. גם במקרה הלידות אותה האינטואיציה עובדת. ההסתברות ללידת בת היא חצי, ולכן מספר הלידות הממוצע על לידת בת הוא אחד חלקי חצי, כלומר 2.

להתפלגות הגיאומטרית יש שימוש בכל מקום שבו רוצים לדעת כמה ניסיונות צריך לנסות עד להצלחה, זאת בתנאי שאין תלות בין הניסיונות וההסתברות להצלחה קבועה. איש מכירות, למשל, מעוניין לדעת כמה ניסיונות מכירה הוא צריך בממוצע לבצע עד שתתקיים מכירה. חולה הממתין לתרומת איבר להשתלה מעוניין לדעת כמה תורמים “יצטרך לחכות” עד שיימצא תורם מתאים. במקרה הזה, בהנחה שהסיכוי להתאמה של 10%, ושאין קשר בין התורמים (הנחה סבירה), יצטרכו בממוצע למצוא 10 תורמים פוטנציאליים עד שתימצא התאמה. אם בכל חודש מאותר תורם פוטנציאלי אחד, אז זמן ההמתנה הממוצע עד להשתלה הוא 10 חודשים.


הערות
  1. ואני מערבב כאן בין המין הביולוגי ובין המגדר לצורך נוחות הדיון, אבקש את סליחתכם []
  2. באופן תיאורטי כמובן, הכל באופן תיאורטי []
  3. נניח שהימרתם על 5, סתם []

איך אפשר לדעת מי תזכה במונדיאל?

לכאורה, אין דבר יותר פשוט מזה. חפשו בגוגל “מי תזכה במונדיאל”, ותקבלו המון תחזיות: תוכלו לדעת מה הייתה התוצאה של סימולציה שאיזה סטארט-אפ עשה, מה קבעו המומחים הפיננסיים, מה החליטו הקוראים של הארץ, והכי חשוב, מה חושבים נהגי המוניות:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

הבעיה העיקרית היא שהדרך הכי טובה לדעת מה יקרה במונדיאל כבר לא קיימת. פול התמנון, עליו השלום, כבר לא איתנו. אני מקווה שנשמתו צרורה בצרור החיים.

אבל יש מי שמנסה למצוא יורש לפול. האתר psychic-pets.com קורא לעזרתם של בעלי חיות מחמד מכל העולם ומבקש מהם לנסות לברר מה יקרה. נכון למועד כתיבת שורות אלו, קרוב לאלף חיות מחמד נרתמו למשימה, מתוכן 85 חיות מחמד מגרמניה ושתיים מאירן. גם חיית המחמד שלי נמצאת שם. זהו ברווז, כמובן. לא סתם ברווז אלא ברווז פלא, העונה לשם Coin.

אז מה הסיכוי שהחיות האלה, או אפילו רק אחת מהן, יחזו את תוצאות המונדיאל? בואו נשתעשע במספרים.[1]

קודם כל, למען הפשטות אני מוציא (בינתיים) מהמשחק את שלב הבתים, ומתרכז בשלב שאחריו, בו 16 נבחרות מתחרות בשיטת הנוק אאוט. יש בשלב הזה 15 משחקים משמעותיים (ועוד משחק אחד על המקום השלישי שהוא פחות מעניין). דרך אגב, כמה משחקים היו נערכים בשיטת הנוק אאוט אם לשלב הזה היו מגיעות לא 16 אלא 53 נבחרות? תחשבו על זה.

אז החיות שלנו צריכות לחזות את התוצאות של 15 משחקים. אני אשחק כאן את תפקיד פרקליטו של השטן ואטען שהחיות לא חוזות את התוצאות אלא מנחשות. אם כך, מה הסיכוי שחיה אחת תחזה את כל התוצאות של כל 15 המשחקים? לכל משחק יש שתי תוצאות אפשריות (אין תיקו). הסיכוי לניחוש נכון הוא לכן 50% או חצי. יש 15 משחקים, והם לא תלויים זה בזה (בדרך כלל): התוצאה של משחק קודם בדרך כלל לא משפיעה על התוצאה של המשחק הבא. אני יודע שההנחה הזו לא נכונה ב-100%. יכול להיות שנבחרת שהתאמצה מאוד במשחק מסויים תגיע יותר עייפה ומוחלשת לשלב הבא, יכול להיות ששחקן מפתח הורחק או נפצע, ועוד. אבל אם חיות המחמד מנחשות, הן לא לוקחות את כל הדברים האלה בחשבון, והניחושים שלהן לא תלויים זה בזה. לכן, ההסתברות לניחוש התוצאות של 15 משחקים היא ההסתברות לניחוש נכון של משחק אחד מוכפלת בעצמה 15 פעמים. זה יוצא 1 ל-32768, או 0.003%. סיכוי נמוך? בהחלט, אבל בכל זאת גדול מאפס.

אבל יש לנו קרוב ל-1000 חיות שמנסות לבצע את אותו התרגיל.  אולי אחת מהן תצליח? כאן אפשר להשתמש בהתפלגות פואסון כדי לחשב את ההסתברות שאף חיה לא תצליח לחזות את כל התוצאות של כל המשחקים, שחיה אחת תצליח, ששתיים יצליחו וכולי. ובכן, ההסתברות שאף חיה מתוך האלף לא תצליח לחזות את התוצאות של כל 15 המשחקים היא 96.99%, ויש הסתברות של 2.96% שחיה אחת מבין האלף תצליח במשימה (אבל לא ניתן לדעת מראש איזה).

מצד שני, אני מטיל על החיות משימה לא הוגנת. בנדיק החתול מאיסלנד לא מתעניין בתוצאת המשחק שבין הונגריה ומיקרונזיה (אם יש בכלל משחק כזה). גם פול התמנון התמחה בנבחרת שלו, גרמניה. אז בואו נתרכז במשחקים של גרמניה.

אני מניח שגרמניה תשחק בסך הכל 7 משחקים – 3 בשלב המוקדם, ועוד ארבעה בשלב הנוק אאוט (כלומר, אני מניח שתגיע לחצי הגמר). לכן המשימה של מוקמוק הארנב ושאר חבריו מגרמניה אמורה יותר קלה – בואו נראה עד כמה היא יותר קלה.

שוב, לכל משחק יש שתי תוצאות: או שגרמניה מנצחת, וזה מה שחשוב, או שלא (ואני אתעלם כאן באלגנטיות ממה שלגארי לינקר היה לומר בעניין).

הסיכוי לניחוש נכון הוא חצי, ולכן הסיכוי לסדרה של שבעה ניחושים נכונים הוא חצי מוכפל בעצמו שבע פעמים. זה יוצא 1 ל-128, או 0.78%. עדיין נמוך, ועם זאת אפשרי.

אבל רגע. יש לנו 85 חיות מחמד מגרמניה. מה הסיכוי שלפחות אחת מהן תצליח? אנו נגייס שוב את התפלגות פואסון לעזרתנו. החישוב מראה לנו כי ההסתברות שאף אחת מבין 85 חיות המחמד לא תנחש את התוצאות של כל שבעת המשחקים היא כמעט 51.5%, ומכאן שיש הסתברות של 48.5% שלפחות אחת מהן תצליח במשימה. תיראו מופתעים.

אפשר כמובן לרדת לפרטים יותר קטנים: מה ההסתברות שלפחות חיה אחת תצליח לחזות תוצאה של שישה משחקים לפחות משבעת המשחקים של גרמניה (יותר מ-48.5%) או שלפחות חיה אחת תצליח לחזות את כל התוצאות של המשחקים של גרמניה בשלב הנוק אאוט בלבד (הרבה יותר מ-48.5%). לא ערכתי את החישובים האלה. אתם מוזמנים לנסות.

ועכשיו ברצינות. משחקי הניחושים האלה הם משעשעים ובדרך כל לא מזיקים. אולם יש אנשים שמהמרים על תוצאות המשחקים האלה. במקרה כזה לשאול את דג הזהב שלך מה תהיה התוצאה לדעתו זו לא אסטרטגיה טובה. אני מחזיר אתכם לחישובי הסטארט-אפ שהוזכר בפיסקה הראשונה ולאמירתו הבלתי נשכחת של גארי לינקר: “כדורגל משחקים תשעים דקות ובסוף גרמניה מנצחת”.  ב-2014, למשל, גרמניה ניצחה ב-6 משחקים מתוך השבעה ששיחקה (משחק אחד הסתיים בתיקו). הסטארט-אפ הנ”ל הכניס למודל שלו את תוצאות כל המשחקים שנערכו מאז 1930. אני אמנע מלהביע את דעתי כי אני לא מכיר את כל פרטי המודל.

אני הסתכלתי על התוצאות של נבחרת גרמניה בארבעת הטורנירים האחרונים: מ-2002 עד 2014. בתקופה הזו גרמניה ניצחה ב-9 משחקים מתוך 12 בשלב הבתים – 75% הצלחה. בשלבי הנוק אאוט גרמניה ניצחה ב-13 משחקים מתוך 16 (כולל שני משחקים על המקום השלישי) – 81% הצלחה.

לכן, בשלב הבתים ברווז הפלא שלי יטיל מטבע שנופל על עץ בהסתברות 75% ועל פלי בהסתברות 25%.  יש לו סיכוי של קצת יותר מ-42% לנחש את התוצאות של שלושת המשחקים, פי 3.4 מסיכויי הניחוש של חיית מחמד אחרת שלא יודעת סטטיסטיקה. בשלב הבתים הברווז שלי יטיל מטבע שנופלת על עץ בהסתברות של 80%, ויהיה לו סיכוי של כמעט 41% לחזות את התוצאות של כל המשחקים, סיכוי גבוה פי 6.6 מהסיכוי של מוקמוק הארנב. הברווז שלי יכול לעשות הרבה יותר טוב מזה: הוא יכול “לנחש” תמיד שגרמניה תנצח: כך הסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל המשחקים יהיה מעל ל-75%.

לפני שאתם רצים להמר אל תשכחו שסוכנויות ההימורים מכירות אל כל החישובים האלה (וגם חישובים יותר מסובכים) ולכן קובעות את שערי ההימורים כך שבסופו של דבר הן ירוויחו.

אני, אגב, לא צופה במשחקים, אבל מאחל שעות של הנאה למי שכן.


הערות
  1. את החישובים ביצעתי בערת תוכנת R []