חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'היסטוריה'

הליידי טועמת תה

עצמו את עינכם ודמיינו לכם אחר הצהריים אביבי בקיימברידג’, אנגליה, בשנות העשרים של המאה הקודמת. אדונים וגבירות מתכנסים על אחת המדשאות למסיבת תה.

הליידי, גיבורת הסיפור שלנו, היא מוריאל בריסטול. היא לא רק ליידי, אלא מדענית בזכות עצמה, ביולוגית החוקרת את תהליכי הפוטוסינתזה. למרבה הצער, לא ידועים לנו עוד פרטים רבים אודותיה, ואפילו תמונה שלה לא השתמרה.

הגיבור הראשי של הסיפור שלנו הוא דווקא הגבר שיתייצב מייד מול הליידי – הג’נטלמן, אם אפשר לקרוא לו כך, כיוון שהדעות חלוקות.

הוא היה איש נמוך ורזה בעל זקן תיש, לבוש ברישול, חובש משקפיים עבות זגוגית, ומקטרת נצחית בפיו (שלא משה מפיו גם כאשר עסק בשחיה). הוא היה נקמן. נוטר טינה. יהיר. כאשר שיחה שעממה אותו, הפגין זאת על ידי הוצאת שיניו התותבות מפיו וניקויין. הוא היה מהתומכים הגדולים באאוגניקה, תחום מדעי שעסק באפשרויות להשבחת המין האנושי באמצעים גנטיים, ואף כיהן כפרופסור לאאוגניקה באוניברסיטת קיימברידג’. הוא היה שוחר מדון. בהזדמנות אחת כתב מאמר שאורכו עמוד אחד בלבד. חלקו הראשון של המאמר עסק בתיאור הבעיה והמאמצים הרבים שהשקיע אחד מיריביו המדעיים להגיע לפתרון. לאחר מכן הופיע הפתרון לבעיה שאורכו שלוש שורות. המאמר הוגש לפרסום בכתב העת היוקרתי אותו ערך יריבו (אך זה סירב לפרסמו)*. עוד מסופר עליו כי באמצע הרצאה של אחד מעמיתיו בקיימברידג’ קם לפתע ממקומו, נטל את הגיר מידיו של המרצה ההמום, ושרטט על הלוח דוגמה שהפריכה את טענותיו של המרצה. הוא לא הסתפק בכך, אלא גם נזף בו: “אני מקווה שמעתה והלאה יעסוק המרצה הנכבד רק בנושאים שבהם הוא מבין. איך אפשר לטעות בשאלה כה פשוטה?”**

הוא היה גנטיקאי נודע, ולפי ריצ’רד דוקינס הוא הביולוג הגדול ביותר מאז דרווין.  הוא חקר את עבודתו של גרגור מנדל ואת הנתונים שפרסם. במחקרו הגיע למסקנה כי מנדל הגדול “שיפץ” את הנתונים שלו, כך שיתאימו יותר לתיאוריה הגנטית שפיתח.

הוא היה עקשן, וכמעשן כבד סירב להפסיק לעשן גם כאשר החלו להופיע עדויות הקושרות בין עישון וסיכול לחלות בסרטן. ב-1958 אף פרסם שני מאמרים בכתב העת Nature, בהם כתב, נאמן לעקרון כי מתאם אינו מעיד על סיבתיות,  כי לא ניתן לטעון על סמך הנתונים שנאספו עד כה כי עישון אכן גורם לסרטן. הוא אף הציע תיאוריה חליפית לפיה מחלת הסרטן גורמת לרצון לצריכת ניקוטין, כלומר לעישון.

הוא הלך לעולמו ב-1962 ממחלת הסרטן.

הוא היה סיר רונלד פישר, אחד המדענים המשפיעים ביותר של המאה ה-20.

ומשהכרנו את גיבורינו, נחזור אל מסיבת התה בקיימברידג’.

אחד ממשתתפי המסיבה הגיש לליידי, ד”ר מוריאל בריסטול, ספל תה. מייד לאחר שטעמה ממנו הניחה הליידי בריסטול את הספל, כיוון שהתה שבתוכו לא הוכן כהלכה: החלב הוסף לתה לאחר שנמזגו לתוכו המים הרותחים, ותה ראוי לשמו יש להכין בתהליך הפוך: קודם יש למזוג את החלב לספל, ורק אחר כך להוסיף מים רותחים. הטעם, טענה ד”ר בריסטול, שונה לגמרי.

פישר שמע את הטענה ונדרך. כמדען, הוא לא היה מוכן לקבל טענה כה פסקנית ללא סימוכין או נתונים תומכים. והאובססיה ששוכת בליבו של כל מדען טוב, דחקה בו לבדוק מייד את נכונות הטענה. הוא הציע לליידי בריסטול לעמוד מול אתגר טעימה, והיא נענתה בשמחה. לאחר מספר דקות ששל תכנון, הניסוי, שכולל בתוכו את כל העקרונות הבסיסיים שחייבים להמצא בכל ניסוי מדעי, יצא לדרך.

פישר התייצב מול בריסטול ובידיו שני ספלי תה; באחד מהם החלב נמזג לפני המים, בשני המים נמזגו לפני החלב. שני ספלים, כי כל ספל משמש כביקורת לרעהו.  בריסטול לא ידעה איזה ספל תה הוכן באיזה אופן. היא טעמה את התה בכל אחד מהספלים, ואמרה כיצד לדעתה הוכן התה בכל ספל. מבלי לומר מילה, מבלי להזיז שריר בפניו, רשם פישר את התשובה בפנקס קטן. תוצאות הניסוי יישארו סמויות עד סופו. הוא פנה לאחור וחזר עם זוג ספלים חדש. כך שמונה פעמים. הסדר בו הוגשו הספלים לליידי (מים לפני חלב בספל שביד ימין או בספל שביד שמאל) נקבע באופן מקרי, כך שלא תהיה אפשרות לניחוש על סמך תבנית כלשהי.

ולאחר שתם הניסוי, יש כמובן נתונים שצריך לנתח באופן סטטיסטי, לחשב p-value  ולהודיע מהן התוצאות, ומי אם לא רונלד פישר הוא האיש המתאים לעשות זאת?

האם היו הדברים מעולם או שזו רק אגדה? פישר פרסם מאמר שהפך ברבות השנים למאמר קלאסי בענף הסטטיסטי של תכנון ניסויים: The mathematics of the lady tasting tea (קישור לקובץpdf). במאמר מתאר פישר את סיפור המעשה, ומציג מספר ניסויים אפשריים שבעזרתם ניתן לבחון את טענת הליידי ואת הדרך לניתוח סטטיסטי של הנתונים. אולם, הוא לא מזכיר את שמה של הליידי, ואינו מציין אם מדובר בסיפור אמיתי או רק בדוגמא משעשעת.

אבל אני מכיר מישהו שטוען בספרו כי הוא מכיר מישהו שסיפר לו כי הוא היה שם, במסיבת התה בקיימברידג’, וראה כל זאת במו עיניו. והליידי, ד”ר מוריאל בריסטול, הייתה ליידי אמיתית. היא לא טעתה אפילו פעם אחת.


סיפרתי סיפור זה ב-“סיפור נובה – ערב סיפורי מדע ומדענים” שנערך במסגרת אירוע ספקנים בפאב בספטמבר 2012.

*  היריב הוא הסטטיסטיקאי קרל פירסון, המייסד והעורך הראשון של כתב העת ביומטריקה.

** המרצה הנזוף הוא הסטטיסטיקאי ג’רזי ניימן, שיחד עם בנו של קרל פירסון, אגון, פיתח את התיאוריה של בדיקת השערות סטטיסטיות

ההיסטוריה של הניסויים הקליניים – עכשיו הסרט

ביולי האחרון הרציתי במסגרת ערב “ספקנים בפאב” שנערך בבאר שבע על ההיסטוריה של הניסויים הקליניים (הרצאה שכבר ננתי כמה פעמים בעבר תחת הכותרת “מהלימון ועד הקופקסון“). ההרצאה בבאר-שבע צולמה, והועלתה לאחרונה לערוץ היוטיוב של קהילת הספקנים הישראלית, שם תוכלו לצפות בהרצאות מרתקות נוספות. כאן תוכלו כמובן לצפות בהרצאה שלי. צפיה מהנה!

סיפורם של שני חברים

הקוראים שלי שמים בודאי לב שתדירות הרשימות כאן נמוכה לאחרונה. תירוצים יש למכביר, אבל הסיבה העיקרית היא שאין לי כל כך חשק לכתוב לאחרונה. המצב במדינתנו לא ממש מרנין, אותי לפחות. אני פותח כל בוקר על המחשב וקורא על שחיקת מעמד הביניים, מחדלים ממשלתיים – במקרה הטוב, מעשי הממשלה – במקרה הפחות טוב, חוסר אופק מדיני, הטרדות מיניות (רק אם זה יום טוב),  בעלי הון חמדנים, שנאת זרים, התגברות הכפיה הדתית, נסיונות לדה-לגיטימציה למי שמנסה להעביר ביקורת על הממשלה, ועוד ועוד.

שוב, יכול להיות שזה רק אני שחי לו במציאות מדומיינת, והאמת היא שיש לנו ארץ נהדרת. אבל זה לא ממש עוזר. זה מה שאני מרגיש, ואם זה מה שאני מרגיש, קשה לי לשים הכל בצד ולכתוב, סתם כך, על סטטיסטיקה ומתמטיקה.

יש לי כמה מעגלים של חברים, ובכולם אני שומע יותר ויותר דיבורים על דרכונים זרים והרהורים בדבר עזיבת הארץ, באופן זמני או לתמיד. רק ביום חמישי האחרון הועברה אלי הודעה על משרה פנויה לסטטיסטיקאי בפריז, בארגון OECD. אשתי אמרה לי בלי להסס: לך על זה. אני לא אלך על זה, כי אני לא מתאים לתפקיד הספציפי וגם התפקיד לא מתאים לי. אבל אני מודה שהאפשרות לגור ולעבוד בפריז קורצת לי.

כבר עשיתי זאת פעם. ב-1996 נסעתי עם משפחתי לפוסט דוקטורט בשיקגו, ונשארנו שם כמעט ארבע שנים. לכן, אני יודע שמעבר כזה הוא בכלל לא פשוט, והקשיים רבים מאוד – זה לא גן עדן שם. אבל הקשיים היו קשיים מסוג אחר, והעובדה שאת רוב ימי ממשלת נתניהו הראשונה ביליתי בניכר רק עשתה לי טוב.

למה חזרתי? היו הרבה סיבות, רובן אישיות. אבל אני יכול להגיד שכאן, עם כל הקשיים, זו בכל זאת המדינה שלי. עומר דוידוביץ, אדם שאיני מכיר כלל, צייץ את זה לפני כמה ימים:

תשובה לכל אלה ששואלים למה השמאלנים נשארים בארץ: אנחנו כאן כי אנחנו אוהבי ישראל. אנחנו כאן כי אנחנו רוצים ישראל טובה, סובלנית ודמוקרטית יותר

הציוץ הזה גרם לי בעצם לחשוב סוף סוף על הרשימה הזו. אספר בה את סיפורם של שני חברים, שחשו כי ארצם האהובה הופכת למקום שקשה יותר ויותר לחיות בו. זו אינה ארץ ישראל, אלא ארץ אחרת לגמרי, למרות ששני החברים האלה היו יהודים. אותה ארץ הגיעה בסופו של דבר אל שפל המדרגה, אל תחתית המדרון. לא, ישראל אינה דומה כלל וכלל לאותה ארץ, ומי שחושב שיש כאן השוואה בין שתי המדינות עושה זאת על אחריותו בלבד. שני החברים ראו איך החיים במולדתם הופכים לבלתי נסבלים. האחד בחר להשאר בארצו האהובה, למרות כל הקשיים. השני בחר לגלות ממנה, ולחפש את מזלו מעבר לים.

אדמונד לנדאו 1877-1938

ריכרד קוראנט 1888-1972

אדמונד לנדאו היה אריסטוקרט. אביו היה רופא, אמו בת למשפחת בנקאים. חותנו זכה בפרס נובל לרפואה. הוא למד מתמטיקה וקיבל את הדוקטורט שלו, על מחקריו בתורת המספרים, בגיל 22. האוניברסיטה שהעניקה לו את תואר הדוקטור היא האוניברסיטה של העיר בה נולד וגדל – אוניברסיטת ברלין. אדמונד לנדאו היה גרמני. הוא תמיד ראה את עצמו כגרמני, ולא סתם כגרמני, אלא גם כפטריוט גרמני. לנדאו היה ללא ספק אחד מגדולי המתמטיקאים של תקופתו, ניצב בשורה הראשונה של חזית המחקר המתמטי יחד עם דויד הילברט ופליקס קליין, עמיתיו למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת גטינגן, המכה של עולם המתמטיקה, האוניברסיטה של גאוס, דיריכלה ורימן. אדמונד לנדאו, אגב, היה גם יהודי, והוא ראשון הפרופסורים למתמטיקה של האוניברסיטה העברית. הוא אמנם שקל לעזוב את מולדתו ולעבור לחיות בירושלים, אך לבסוף לא עשה כן.

ריכרד קוראנט, הצעיר מלנדאו ב-11 שנה, היה בן למשפחה מהמעמד הבינוני הנמוך. משפחתו הייתה בקשיים כלכליים. העסק של אביו כשל, והוא עבד כפקיד בחברת ביטוח. בגיל 14 היה על קוראנט לתת שיעוריפ פרטיים כדי לעזור בכלכלת המשפחה. את לימודיו באוניברסיטה התחיל בגיל שבו לנדאו כבר היה כמעט דוקטור. קוראנט גם הוא למד מתמטיקה, בגטינגן, ומדריך עבודת הדוקטורט שלו היה דויד הילברט. שנתיים לאחר שסיים את לימודיו והחל ללמד מתמטיקה באוניברסיטת גטינגן, פרצה מלחמת העולם הראשונה. קוראנט היה גרמני. פטריוט גרמני. הוא התגייס לצבא הגרמני, לחם בשורותיו ונפצע בקרב. לאחר מכן חזר ללמד בגטינגן. קוראנט, כמו לנדאו, גם הוא היה יהודי.

ב-1933 קרו כמה דברים בגרמניה. באמת לא חשוב מה. מי שיודע יודע. זה לא משנה לסיפור שלנו. לנדאו היה אז בן 56, קוראנט בן 45, שניהם פרופסורים מכובדים, באוניברסיטה שהיא עדיין המכה של המתמטיקה. שניהם גילו שחייהם באוניברסיטה הפכו לבלתי נסבלים. לנדאו הגיע בוקר אחד להרצאה שלו וגילה שכמה מתלמידיו חוסמים את כניסתו. הם אמרו לו שלאנשים כמוהו אין מקום בגטינגן, וגם לא בכל אוניברסיטה אחרת בגרמניה. הוא הושעה ממשרתו באוניברסיטה. למרות שיכול היה למצוא מייד משרה באוניברסיטה אחרת מחוץ לגרמניה (מדובר כאן הרי באחד מגדולי המתמטיקאים של התקופה), העדיף לחזור אל ביתו בברלין. כזכור, הוא היה בן המעמד הגבוה, והיה אמיד דיו כדי להמשיך לחיות מחוסר עבודה במולדתו האהובה, למרות שזו שברה את ליבו ואת רוחו. לנדאו מת ב-1938, בברלין.

קוראנט לא הושעה ממשרתו בגטינגן. אחרי הכל, הוא היה לוחם בצבא הגרמני. הוא העדיף לא להמתין ולראות עד מתי תעמוד לו זכות זו (מכתב ההשעיה הגיע לבסוף, למי שחשש). הוא עבר לאנגליה לאוניברסיטת קיימברידג’, וכעבור שנה חצה את האוקיינוס אל אוניברסיטת ניו יורק, שביקשה ממנו להקים עבורה מכון למתמטיקה. הוא נשאר בניו יורק עד מותו ב-1972. שמו של המכון שהקים שונה ל-“מכון קוראנט” עוד בחייו, ב-1964.

איך לשקר בעזרת סטטיסטיקה

ב-1954 יצא לאור ספרון בן 142 עמודים לא גדולים, עם הרבה ציורים, שהפך לרב מכר עולמי. למעשה, זהו ספר הסטטיסטיקה הנמכר ביותר בכל הזמנים. כותרתו: How to lie with Statistics“”.

מחבר הספר, דארל האף, לא היה כלל סטטיסטיקאי. הוא היה עיתונאי בהכשרתו, ובשיא הקריירה העיתונאית שלו היה עורך המגזין “Better Homes and Gardens“. עם זאת, חוסר ההשכלה הסטטיסטית של האף לא מנעה מהספר להפוך לטקסט קלאסי. כאשר סטטיסטיקאי אומר לכם על תרגיל הטעיה סטטיסטי כלשהו כי זה “תרגיל מהספר”, הוא מתכוון לספר הזה.

את הספר הזה פגשתי לראשונה כאשר הייתי סטודנט צעיר לסטטיסטיקה בירושלים. העותק שבספריה היה ישן וצהבהב. כבר אז היה מדובר בטקסט בן 30 ומשהו שנים. אולם אז, וגם היום, הטקסט רלוונטי. קראתי אותו בהנאה רבה, ושילבתי דוגמאות שלקחתי ממנו בקורסים שלימדתי במשך השנים. ספר זה גם מהווה עד היום השראה לבלוג שאני כותב. למעשה, אני יכול לומר כי לספר זה הייתה השפעה רבה להתפתחותי כסטטיסטיקאי וכספקן, ובזכותו, בין היתר, פיתחתי את המיומנות לקרוא טקסטים בצורה ביקורתית ולנסות לגלות אם ואיך מנסים לעבוד עלי. כמובן, למי שקרא את הספר הזה זה הרבה יותר קל.

למרות ההתקדמות הרבה בתחום הסטטיסטיקה בשנים שעברו מאז יציאתו לאור, תחום ההונאה בעזרת סטטיסטיקה לא התפתח באותו קצב. רוב ההונאות נעשות בעזרת אותן טכניקות המתוארות בספר.

להלן סקירה קצרה מאוד של תכני הספר, או טכניקות עבודה בעיניים שתוארו בו: מדגמים מוטים, מדדים תיאוריים לא מתאימים (זוכרים את המנהל והפועלים?), הסתרה של פרטים משמעותיים (למשל: התוצאה מתבססת על סקר שנערך בקרב 12 איש)  הבלטה של תוצאות חסרות משמעות, עיוות של גרפים, אינטרפרטציה לא נכונה או מטעה של התוצאות, וכמובן, הסקת סיבתיות בעקבות מתאם.

בעזרת שילוב כל השיטות הללו מתקבלת “סטטיסטיפולציה”, והאף דן בשאלה המתבקשת” האם סטטיסטיפולציה היא תוצאה של הטעיה מכוונת או פשוט תוצאה של חוסר ידע והבנה? לדעת האף, ברוב המקרים סטטיסטיפולציות הינן מכוונות, ומטרתן להטעות ביודעין.

הפרק האחרון בספר מסביר כיצד ניתן לנסות ולהתמודד עם הסטטיסטיפולציות האלה, ודן בנושאים המכוסים היום בכל קורס או ספר העוסק בחשיבה ביקורתית. ניתן לסכם את הגישה של האף בחמש שאלות שכל אחד חייב לשאול כאשר מוצג בפניו מידע כלשהו:

  • מי אמר את זה?
  • איך הוא יודע?
  • מה חסר?
  • האם מישהו שינה את הנושא?
  • האם כל זה הגיוני?

בעקבות הצלחת הספר כתב האף עוד שישה ספרים שעוסקים במה שמכונה היום “אוריינות כמותית” (“quantitative literacy”), הידוע שבהם הוא “How to take a chance”, אך הם הצליחו פחות מאחיהם הגדול.

כשאר מלאו 50 שנה ליציאת How to lie with Statistics לאור, הקדיש לו כתב העת Statistical Science גליון מיוחד. במאמר הסוקר את הספר ומחברו (קישור לקובץ pdf), מפרט ג’יי מייקל סטיל מאוניברסיטת פנסילבניה את הסיבות להצלחתו רבת השנים.

הסיבה הראשית להצלחה היא הכותרת הפרובוקטיבית שלו. סטטיסטיקאים לא ממש אוהבים אותה, אבל מה לעשות, אנשים משקרים בעזרת סטטיסטיקה על בסיס קבוע (אם כי יש גם טכניקות אחרות להפצת שקרים, כמו שימוש בעברית או אנגלית, למשל). אילו היה הספר נקרא “מבוא לסטטיסטיקה” (והוא אכן מבוא לסטטיסטיקה), כמה עותקים היו נמכרים?

האיורים שבספר (וכמובן המאייר, אירווינג גייס) השביחו אותו מאוד. הקלישאה “תמונה אחת שווה אלף מלים” מוצדקת מתמיד על ידי הספר הזה. גם מי שלא אוהב לקרוא יוכל להבין בכף את המסרים שבספר, פשוט על ידי הסתכלות בתמונות.

הסגנון הקליל והרענן שבו כתוב הספר בודאי לא הזיק. היום, ספרי הדרכה כמו “Idiot guide to…” ו-“ABC for Dummies” נפוצים למדי, אך ב-1954 זה היה חידוש כביר. האף הוכיח כי ניתן לכתוב על נושא רציני ומאתגר כסטטיסטיקה בשפה שווה לכל נפש.

אבל למרות הכותרת, האיורים והשפה הקלילה, הספר לא היה שורד זמן כה רב כטקסט קלאסי אלמלא התוכן המצוין שהוא מכיל (שכבר סקרתי למעלה). אני מאמין שבשנת 2054 הספר הזה עדיין יהיה ראוי לגליון מיוחד של Statistical Science, לציון 100 שנה ליציאתו לאור.

סטטיסטיקאי בפריז

אין כמו ביקור בפריז לשיפור מצב הרוח והנפש. ביום רביעי של השבוע שעבר נסענו זוגתי ואני לחופשה של חמישה ימים בפריז. מועד הנסיעה, שלא במקרה, היה יום הולדתי הראשוני ה-15. זה לא היה ביקורנו הראשון בעיר, ולכן הביקור הנוכחי דילג על “אתרי החובה” השונים של העיר. הפעם בחרנו לסייר בעיקר ברחובות וכיכרות שעדיין לא ביקרנו בהם, בגנים ובשווקים. אמנם תיכננו ביקור במוזיאון האורנז’רי, אך הוא היה סגור עקב שביתה. ביקרנו במוזיאון אחד בלבד – מוזיאון המוזיקה, ואני ממליץ לכולם בחום לבקר בו.

יש מוזיאון אחד בפריז שאני רוצה מאוד לבקר בו, אך מוזיאון כזה אינו קיים: מוזיאון המתמטיקה. אמנם, ב”ארמון התגליות” (Palais de la découverte) יש תערוכה קטנה שעוסקת במתמטיקה, אך היא מאכזבת למדי (ביקרתי בה לפני כמה שנים).

פריז היא המשכן הטבעי למוזיאון מתמטיקה. היא הייתה עיר הבירה של המתמטיקה העולמית במאה ה-18, ובמשך מהמאה ה-19 הייתה עדיין אחד ממרכזי המתמטיקה העולמיים (יחד עם ברלין וגטינגן). בפריז נשא דויד הילברט את נאומו המפורסם בו הציג את 23 הבעיות שיתוו את כיוון המתמטיקה במאה ה-20. בין המתמטיקאים הגדולים שחיו ופעלו בעיר (ואני דולה את השמות מהזיכרון בלבד) ניתן למנות את קושי, לפלס, לגראנז’, גלואה, דקארט, האדמר, פואנקרה, ג’רמיין, פורייה, וגם את הרוזן בופון (שמייד אכתוב עליו בהרחבה). אני תמיד מופתע מכך שהעיר פריז די מבליעה את ההיסטוריה המפוארת שלה בתחום הכל כך חשוב הזה.

אחת הדרכיםבהן חולקת פריז כבוד לאנשים היא על ידי קריאת רחובות על שמם. בפריז יש כ-100 רחובות וככרות הנקראים על שם מתמטיקאים, לאו דווקא צרפתיים. יש גם רחובות על שם ברנולי, לייבניץ, ליאונרדו, אך אין רחובות על שם גאוס ורימן. יש כיכר בה נפגשים רחובות ניוטון, גליליאו ואוילר. הנה השלט של רחוב דקארט, ברובע הלטיני:

במרחק מספר דקות הליכה מרחוב דקארט נמצא רחוב בופון, המוביל אל הגנים הבוטניים של פריז (Jardin des Plantes) ובמרכזם ניצב, הפלא ופלא, פסלו של הרוזן בופון!

הרוזן בופון ואני

הרוזן בופון היה איש אשכולות קלאסי של המאה ה-18: הוא היה חוקר טבע, מתמטיקאי, קוסמולוג ועורך אנציקלופדיות. מתברר גם שהוא היה בין מקימי הגנים הבוטניים ומנהלם, ולכן אין זה פלא שפסלו ניצב במרכזם.

לפני כחמש שנים כתבתי כאן על רשימת 100 המשפטים הגדולים של המתמטיקה שהופיעה באחד מאתרי האינטרנט. במקום ה-99 של אותה רשימה הופיעה בעיית המחט של בופון. מהי בעיית המחט של בופון?

תארו לעצמכם דף נייר גדול, עליו משורטטים קווים מקבילים שהמרחק בינם קבוע. נסמן את המרחק בין הקווים באות d. ניקח מחט, שאורכה L, (כאשר L<d), ונטיל אותה על הגליון. מה ההסתברות כי המחט תחצה את אחד הקווים?

בשרטוט שלמעלה מוצגות 7 מחטים, שמתוכן 4 חוצות קווים. הניסוי שתואר למעלה נותן אמדן להסתברות המבוקשת: 4/7.

בופון חישב ומצא כי ההסתברות שהמחט תחצה את אחד הקווים, P, היא

במקרה המיוחד בו אורך המחט שווה למרחק בין הקווים (כלומר L=d), מקבלים כי P=2/π.

π הוא, כמובן, היחס בין היקף המעגל וקוטרו. איך הוא הגיע לכאן? כדי לחשב את ההסתברות נחוצים שני ערכים: מרחק מרכז המחט מהקו הקרוב, והזוית בין המחט ובין הקו. עם הזווית מקבלים כבונוס את הסינוס שלה, והוא מכניס את פיי לתמונה.

נחמד, אבל למה פתרון הבעיה הזו ראוי להמנות בין 100 המשפטים הגדולים של המתמטיקה?

התשובה המפתיעה: בעזרתה ניתן לחשב את ערכו של פיי!

אפשר לבצע את הניסוי של הטלת המחט מספר גדול של פעמים ולאמוד את ההסתברות P על ידי היחס בין מספר הפעמים בהן המחט חצתה את הקו לבין מספר ההטלות. חוק המספרים הגדולים מבטיח כי האמדן קרוב לערך האמיתי של ההסתברות, אם מספר הנסיונות מספיק גדול. כעת, כשיש לנו אמדן טוב ל-P, וידועים לנו ערכי L ו-d, אפשר לחשב את פיי באופן הבא:

או פשוט π=2/P אם d=L.

ב-1901 פרסם המתמטיקאי האיטלקי מריו לזריני קירוב של פיי שהשיג על ידי ניסוי בופון. הוא הטיל מחט שאורכה היה 5/6 מהמרחק בין הקוים 3408 פעמים, והמחט חצתה את הקוים 1808 פעמים. האמדן שקיבל לערכו של פיי היה לכן 355/113, או …3.1415929 בעוד שהערך האמיתי הוא …3.1415926. אמנם, לזריני בחר בקפידה את אורך המחט ואת מספר ההטלות (ויש הטוענים יותר מדי בקפידה), אך התוצאה עדיין מרשימה. מי שמעוניין יכול לנסות בעצמו בבית, או להשתמש באחד מהסימולטורים של הניסוי ברשת.

העקרון לפיו מחושב הערך של פיי מתוצאה של ניסוי מקרי ידוע היום בסטטיסטיקה כ”שיטת מונטה קרלו“. כיום יש שימוש נרחב בסימולציה לחישוב ערכים של פרמטרים שונים, הודות ליכולות המחשוב המודרניות. מדהים ששיטה זו מתבססת על עקרונות שהיו ידועים כבר במאה ה-18.