חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'הימורים'

על בייסבול, גרפיקה והימורים

פיד הרסס של del.ico.us שמסנן את כל הלינקים שתויגו תחת סטטיסטיקה והומור הינו משעממם למדי. גולשים מתייגים שוב ושוב את אותם לינקים, שבדרך כלל לא קשורים לסטטיסטיקה, וגם לא ממש מצחיקים (אותי לפחות). ובכל זאת, לפעמים אני מצליח לדוג שם דברים מעניינים.

הנה למשל הלינק Flip Flop Fly Ball. לא תמצאו סטטיסטיקה, וגם לא שום דבר הומוריסטי, אבל הוא בכל זאת יכול להעלות לכם חיוך על השפתיים, בייחוד אם אתם אוהבים תיאורים גרפיים של נתונים או בייסבול (או שניהם, כמובן). הנה למשל דיאגרמה שעונה לשאלה האם קבוצת הביססבול קליבלנד אינדיאנס אכן ראויה לשמה. הדיאגרמה שמשמאל מראה את שיעורם של התושבים האמריקניים-ילידים בתוך אוכלוסיית קליבלנד. הדיאגרמה הנוספת שמוצגת כאן משווה בין אספקטים שונים של 30 האיצטדיונים של המייג’ור ליג (MLB). לחצו על התמונה כדי לעבור לאתר פליפ פלופ ולצפות בפרטים.

Flip Flop Fly Ball

את התיאורים הגרפיים האלה יצר קרייג רובינסון, חובב בייסבול מסיאטל, שלא מגביל את עצמו לבייסבול, ויוצר תיאורים גרפיים של נתונים מענפי ספורט נוספים. אם תמשיכו לשוטט באתר שלו, תמצאו עוד הרבה דברים מעניינים אחרים. אני למשל התלהבתי מהתמונה הזו, שנמצאת בפליקר שלו. זהו צילום של הלוח האלקטרוני בסיטי פארק של ניו-יורק, האיצטדיון החדש של הניו-יורק מטס:

Insurance and gambling

בתמונה אתם רואים שתי פרסומות שונות שהופיעו באותו זמן על הלוח, האחת לחברת ביטוח והשניה לקזינו, שתי תעשיות שהמודל העסקי שלהן בנוי על הסטטיסטיקה, אולם ההבדל בינהן הוא… אממממ…

איך לזכות ב-52 מליון ש"ח בטוטו

האמת, עד שקיבלתי היום בצהריים טלפון מאיזה עיתונאית מידיעות אחרונות, בכלל לא ידעתי שבארץ רוחשת לה קדחת טוטו – מה שמוכיח כי אני לא ממש יודע כל דבר.

אבל יש קדחת טוטו. לאחר כמה ששבועות שבהם איש לא ניחש נכונה את תוצאות כל  16 המשחקים בטופס הטוטו הפרס הראשון הגיע לגובה של 52 מליון ש”ח.

למי שלא יודע: כל שבת נערכים משחקי כדורגל. בטפס הטוטו מופיעים 16 משחקים כאלה. לכל משחק יש 3 תוצאות אפשריות: או שקבוצה אחת תנצח, או שהקבוצה השניה תנצח, או שהמשחק יסתיים בתיקו. חשבון פשוט מראה כי לשני משחקים יש בסה”כ 9 צירופי תוצאות אפשריים (אפשר לצרף כל תוצאה אפשרית מהמשחק הראשון עם כל תוצאה אפשרית מהמשחק השני), ולכן ל-16 משחקים יש כ-43 מליון צירופי תוצאות אפשריים (המספר מתקבל מהכפלת המספר 3 בעצמו 16 פעמים).

המשמעות המעשית של המספר הזה הוא שאם אדם שלא מתמצא בנפתולי עולם הכדורגל (עקרת בית מקריית שמונה, למשל, או כותב שורות אלה) מחליט למלא טופס טוטו שבו יש ניחוש אחד לתוצאות כל אחד מ-16 המשחקים, אזי יש לו סיכוי של 1 ל-43 מליון לזכות בפרס הראשון. מדובר במספר כל כך קטן,עד שהסיכוי לזכות בפרס הראשון של הגרלת ה-50 מליון של הלוטו (1 ל-2 מליון) נראה פתאום ריאלי.

אלא שבין הטוטו ללוטו יש הבדל משמעותי. בניגוד ללוטו, לא לכל התוצאות האפשריות בטוטו יש אותו סיכוי להתקבל. בשבת הקרובה, למשל, תשחק בית”ר ירושלים מול קבוצת הפועל כפר סבא, המייצגת את עירי בליגת העל. גם בלי להבין יותר מדי בכדורגל אני יודע שהכף נוטה לטובת הירושלמים עתירי הממון והכוכבים, וכי הסיכוי שהם ינצחו במשחק גבוה הרבה יותר משליש. גם מהמרי הטוטו יודעים את זה. השאלה מה קורה במשחקים יותר מאוזנים, שבהם יחסי הכוחות בין הקבוצות לא ברורים כמו במקרה הזה. הסוד של הטוטו הוא ביכולת לשכנע את המהמרים שהם יכולים להגדיל את הסיכוי שלהם לזכות בזכות הידע וההתמצאות שלהם בתחום הכדורגל.

אם למשל, מומחה כדורגל יכול בעזרת הידע שלו להגדיל את הסיכוי לנחש נכונה את תוצאת כל משחק משליש לחצי, הרי שהסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל 16 המשחקים מזנק ל-1 ל-65000 “בלבד”, כלומר הסיכוי שלו גדול פי 660 בערך מהסיכוי של מנחש “רגיל”.

השאלה היא, כמובן, עד כמה מגדיל הידע את הסיכוי לניחוש נכון. אני סבור שהתוספת לא משמעותית. לו היא הייתה כזו, היינו רואים הרבה יותר זכיות, ובודאי שהפרס הראשון לא היה מצטבר לגובה כזה. ייתכן וחלק מקוראיי יחלקו על דיעה זו, וכיוון שאין בידי כל נתונים לגבי אחוזי הזוכים ביחס למספר הטורים שנשלחו, אין באפשרותי לערוך ניתוח מדוייק יותר. נימוק נוסף שאני יכול לגייס הוא בכך שהטוטו מרוויח, ולכן לא ייתכן כי סיכויי הזכיה גבוהים מדי – הרי צריך לשמור על תוחלת רווח שלילית (למהמר).

אז איך בכל זאת אפשר לזכות בטוטו? יש עובדה אחת בדוקה: הסיכוי של מי ששולח טופס הימור גדול לאינסוף מהסיכוי של מי שלא מהמר. אז מי שרוצה – מוזמן להמר. רק זכרו נא כי מדובר בהימור, משחק, ולא בהשקעה. בהצלחה.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 20 במרץ 2008  שם התקבלו 4 תגובות

עמית  [אתר]  בתאריך 3/21/2008 1:36:52 AM

רק הערה קטנה

הטוטו מרוויח בלי קשר לסיכויי הזכיה, כי הוא מקצה רק כ 50% מההכנסות ממכירת טפסים לצורכי פרס, והפרס הראשון (וגם הבאים האחריו) מתחלק בין המנחשים נכונה. כלומר, אן מצב שהטוטו ישלם יותר מ52 מיליון שקל עבור הפרס הראשון בלי קשר לכמות הזוכים. נהפוך הוא, בגלל שהפרס כה גדול, יש סיכוי שימולאו הרבה יותר טפסי טוטו, מה שיגדיל בהרבה את ההכנסות בלי להגדיל את ההוצאות, כך שלמרות שהסיכוי שמישהו יזכה גדל בעקבות כך, כך גם הסיכוי שהכנסות הטוטו יגדלו.

אלעד יאיר  [אתר]  בתאריך 3/22/2008 8:04:34 AM

אכן

בשבוע בו יצליחו רבים לנחש את תוצאות כל המשחקים, הפרס הראשון עדיין יהיה רק אחד והוא יתחלק בין כל המנחשים.
מאידך, הואיל וקיימים “מומחים” רבים, כאשר ישנה “הפתעה”, ונגיד במקרה שהזכרת בית”ר ירושלים ינוצחו ע”י כפ”ס, הרי, רבים מהם ייפלו ולכן הסיכוי קטן (בכמה? אם כולם “מומחים”, אזי כולם ייפלו. בפועל, זה יהיה שונה, אני מניח. בכל מקרה, יש להם 16 משחקים ליפול בהם).
ומעל לכל, ספורט, כתחביב לצפייה והימורים, בניגוד לעשייה ופעילות, הוא רע לדעתי.

נועם  [אתר]  בתאריך 3/24/2008 5:54:04 PM

יש גם כפולים ומשולשים

או איך שהם לא קוראים לזה. אתה יכול, בתוספת תשלום, לסמן שתיים או שלוש אפשרויות לאותו משחק. למשל, אם אתה חושב שביתר ינצחו או שיהיה תיקו, תסמן את שתי האפשרויות האלה, וכו’.
כמובן שיש הגבלה (אין לי מושג כמה, ההבנה שלי בטוטו/כדורגל דומה לשלך) לכמה משחקים אתה יכול למלא כך בטור, אחרת היית יכול לנצח תמיד.
בקיצור, כל מה שרציתי לומר – העניין הזה מוסיף קצת סיבוך כשבאים לחשב סיכויים ותוחלת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/25/2008 8:18:41 AM

כפולים ומשולשים

כפולים ומשולשים הם רק שיטת כתיבה מקוצרת – המשמעות של כפול הוא הכפלת סכום ההימור, ושל משולש – שילושו.

מכתבים למערכת

להלן מספר מכתבים מעניינים שקיבלתי בתקופה האחרונה, ותשובותיי

איפה הכסף?

יובל כותב:
שלום, עקבתי אחר המאבק המוצדק שלך ברעיון להעלאת שכר הלימוד, וחשבתי שאולי תתעניין בכתבה הבאה. על פי הכתבה, קרן קיסריה שבבעלות משותפת של הברון רוטשילד והמדינה קיבלה ומקבלת הטבות מס עצומות, וכן סיוע בהשתלטות על קרקעות מדינה יקרות, אך מתחמקת מהתחייבויות לתמוך בהשכלה הגבוהה. התחיבויות אלו אינן “נדבה” של הקרן אלא הסיבה שהיא מקבלת את ההטבות ואת השליטה על אדמות מדינה כה יקרות. אולי אם במשרד האוצר היו לוקחים את הכסף המגיע להשכלה הגבוהה משם לא היה צורך לשלוח את ידי האוצר לכיסי הסטודנטים. בברכה, יובל

יובל,
הכתבה מדברת בעד עצמה. רבות מהבעיות שניצבות בפנינו, ובמיוחד סוגיית עתיד ההשכלה הגבוהה, אינן בעיות כספיות – יש הרבה כסף ציבורי פנוי להשקעה. טיפוח האקדמיה וההשכלה הגבוהה היא השקעה לכל דבר, ואף השקעה משתלמת במיוחד, כפי שכבר הבהרתי ברשימות קודמות שכתבתי כאן. מהכתבה מתברר שלאידיאולוגיה הניאו-ליברלית הקיצונית והמנטאליות של ניהול חנות מכולת השוררות בממשלתנו, חברה גם שחיתות פשוטה. זו ארצנו.

עץ או פלי?

איתי כותב:

אהלן יוסי, אני קורא את הרשימות שלך באופן קבוע ואני מאד נהנה מכך. יש לי שאלה שאני בטוח ששמעת עשרות פעמים בעבר,אך אני נאלץ לשאול אותה שוב, בשביל לסיים ויכוח עם חבר. נניח שיש מטבע שהסיכוי שלו לעץ ופלי הוא שווה, חצי וחצי. נניח שהטילו את המטבע עשרים פעמים ובכולם יצא פלי – האם: יש הבדל בין הסיכוי לעץ והפלי בהטלה ה 21 ? אחד מאיתנו אומר – ששניהם 50% וזה ממש לא משנה מספר ההטלות לפני לכן זה לא משנה אם הוא יאמר עץ או פלי שניהם באותו סיכוי בדיוק. השני אומר ששניהם 50% אבל בגלל שהסיכוי שרצף הטלות הפלי ימשיך, יורד אחרי כל הטלה נוספת, הוא היה מעדיף להמר על העץ אשמח לשמוע מקור בר סמכא שיפתור את המגבלות ההסבר והידע שלנו בנושא סטטיסטיקה והסתברות תודה רבה !
איתי,

אם המטבע אכן הוגן (סיכויים שווים לעץ ולפלי) אז גם בהטלה ה-21 הסיכויים שווים. השחקן שמטיל את המטבע זוכר את רצף ההטלות שהתקבל, אך למטבע עצמו אין זכרון. בתי קזינו מנצלים את זה כדי לעשות כסף. האסטרטגיה האופטימלית בהימור, למשל ברולטה, שם אפשר להמר בכל פעם על אדום או שחור, למשל, היא להגריל בכל פעם את הצבע עליו אתה מהמר. מי שיתפתה לעקוב אחרי סדרות ועל ידי כך יסטה מהאסטרטגיה האופטימלית, ירוויח פחות (או יותר נכון: יפסיד יותר).

אבל שאלה יותר מעניינת היא: אם אתה לא בטוח שהמטבע הוגן – מה הסיכוי שתמשיך להאמין בכך אחרי 20 הטלות רצופות של פלי?  ומה אם ההטלה ה-21 תהיה בכל זאת עץ? מה תהיה עכשיו הערכתך לסיכוי של המטבע ליפול על פלי? יש ענף שלם בסטטיסטיקה שמנסה לענות על שאלות כאלה – סטטיסטיקה בייסיאנית. הסטטיסטיקאי הבייסיאני יאמר לך כי לאחר 20 הטלות רצופות של פלי, הוא לא מאמין כי המטבע הוגן, אלא כי ההסתברות שלו ליפול על פלי היא 0.954 בערך (שזה 21 חלקי 22). באם בהטלה ה-21 אכן יצא עץ, הוא יעדכן את ההסתברות של המטבע לפילו על פלי ל-0.913 וכן הלאה.

הסטטיסטיקה הבייסיאנית היא עולם בפני עצמו, והידע שלי בתחום מועט יחסית. אני מתכוון כבר זמן רב להקדיש רשימה לנושא, אבל לא מצליח להגיע לזה. אציין רק שלתחום יש יישומים רבים בתחומים מגוונים, החל במדעי המחשב וכלה בתכנון ניסויים קליניים.

דאבל לוטו

a8145060, שמנהל את הקומונה המעניינת לוטו ומשחקי מפעל הפיס בתפוז כותב:

הנה רעיון חדש לכתיבה באתר שלך. מפעל הפיס דאבל לוטו משחק הפיס הוציא משחק חדש,בשם דאבל לוטו, אם משתתפים במשחק במידה שזכית,סכום הפרס מוכפל פי 2. גם מחיר הטבלה מוכפל פי 2 והוא עומד על 5.4 ש”ח ומה כל זה אומר? אותי לימדו בסטטיסטיקה שאם הכל מוכפל פי 2 אז התוחלת נשארת אותו הדבר, כלומר אותו ,ותסלחו לי, זבל של משחק ששום דבר לא השתנה בו OK דבר אחד השתנה אנשים מוכנים לשלם על טבלת לוטו מחירים שעוררים ביחס לעולם. בעולם מחיר טבלת משחק כמו לוטו שווה דולר והפרס הנמוך ביותר שווה ל10 דולר בערך
תשובה,

השתנה הרבה מאוד. אם כולם יבחרו באופציית ההכפלה, אז תוחלת הזכייה (או יותר נכון, תוחלת ההפסד) גם היא תוכפל פי שתיים, וזה משמפעל הפיס רוצה בסופו של דבר. יותר הימורים, בסכומים גבוהים יותר, משמעותם רווחים גדולים יותר למפעל הפיס (והפסדים גבוהים יותר למהמרים).

סופר לוטו

חנוך כותב
למר לוי שלום שמי חנוך, וקראתי באתר כמה מהמאמרים שלך, בימים אלו אני עומד לפתוח במדינה מסויימת חברה להגרלות לוטו, מכיוון שכך הייתי מעוניין לקבל ממך מספר שיעורים בנושא (במידה ואתה יכול לעשות את זה) לגבי הסיכויים בהגרלות סטטיסטיקות וכל מה שקשור לנושא. אני מקוה שיש באפשרותך לעזור לי בנושא… בכבוד רב חנוך

שלום חנוך,

יש רק דרך אחת לעשות כסף מלוטו, ואתה עלית עליה – יש רק מרוויח אחד בלוטו – וזה מי שמפעיל אותו. אני מאחל לך הצלחה. עם זאת איני עוסק בייעוץ פרטי, ולכן לא אוכל לעזור לך, למרות הפיתוי הכספי הגדול (הייתי מבקש אחוזים, כמובן….)

איך לעשות כסף מסטטיסטיקה

רובי כותב
שלום שמי רובי ואני מאוד רוצה שתעזור לי או תכוון אותי למישהוא שיוכל לעזור לי במימוש חלומותי. אני מאמין שבעזרת סטטיסטיקה והסתברות אפשר לעשות כסף אני פשוט לא יודעה איך לשלב את הנוסחאות עים הנתונים שיש לי. מודה לך מראש רובי

רובי,

ראה תשובתי לחנוך. יש עוד דרכים לעשות כסף מסטטיסטיקה מלבד ניהול עסקי הימורים – אתה יכול למשל גם לפתוח חברת ביטוח (אופס, זה בעצם אותו דבר – הנה נושא לעוד רשימה) או קרן פנסיה. גם אני עושה כסף מסטטיסטיקה, דרך אגב. אמנם לא מיליונים, אבל בהחלט חי בכבוד.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 10 באוקטובר 2007  שם התקבלו 13 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 10/10/2007 11:37:26 PM

הסטטיסטיקה הבייסיאנית תשתלט בסופו של דבר

על הססטיסטיקה השכיחותית (זו המילה הנכונה לfrequencies?). כבר היום יש מעבר של יותר ויותר כתבי עת לסטטיסטיקה בייסינאית, ובעיקר הפחתה בחשיבותם של מבני מובהקות. מבחני מובהקות לא ממש בודקים את ההשערות שאנחנו מעוניינים בהם בצורה ישירה מה שהסטטיסטיקה הבייסינאית כן עושה. יש לה כמובן גם חסרונות והיא יותר קשה ל”עיכול” אבל אני חושב שהיא תנצח בעוד דור או שניים.

יובל אחר  בתאריך 10/11/2007 8:45:16 AM

בעניין קרן קיסריה

נראה לי שיובל מסתמך על הכתבה הזו.
http://www.haaretz.co.il/hasit….ContrassID=6&sbSubContrassID=0
לשם ההגינות, יש לציין שקרן קיסריה תרמה למספר מוסדות השכלה גבוהה (ביניהם אוניברסיטת חיפה והאוניברסיטה הפתוחה).
למיטב הבנתי הויכוח הוא על שיעור התרומות, ולא על האם הן קיימות.

עופר  בתאריך 10/11/2007 9:32:47 AM

ללא נושא

ברולטה אין שום הבדל בין להמר על אותו צבע כל הזמן או להגריל את הצבע כל פעם מחדש. בכל מקרה תוחלת הרווח (ליתר דיוק ההפסד …) היא קבועה.
אם אתה מחויב להמר ברולטה, נאמר על סכום מצטבר של 1000 שח ,האסטרטגיה הטובה ביותר היא להמר על כל ה1000 שח ביחד ולא לחלק אותם להרבה הימורים קטנים.תוחלת הרווח לא משתנה אבל ההסתברות שתזכה דווקא גדלה (חוק המספרים הגדולים לא משפיע)

דני  [אתר]  בתאריך 10/11/2007 4:46:40 PM

שתי הערות

קודם כל, אני מסכים עם עופר לגבי ההימור ברולטה. בניגוד למה שכתבת, כל עוד הרולטה אכן אקראית ואתה מהמר בסכום קבוע בכל סיבוב – אין משמעות לבחירת אסטרטגיית ההימור שלך.
דבר שני, לא הבנתי את החישוב הביסייאני שעשית. הבעיה בסטטיסטיקה בייסיאנית היא שכדי להעריך את ההסתברות הפוסטריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Posterior_probability) אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית (http://en.wikipedia.org/wiki/Prior_probability), וזאת כמעט אף פעם לא ידועה כשבודקים השערות בעולם האמיתי. למשל, במקרה של הטלת המטבע אתה צריך לדעת את ההסתברות הפריורית שהמטבע מוטה לפלי בכל הסתברות שהיא (זו לא טעות… הכוונה היא להסתברות שמשהו יקרה בהסתברות).
למשל, תדמיין מצב שבו אומרים לך שיש שתי ערמות של מטבעות, אחת נופלת על פלי בסיכוי 90% ואחת נופלת על פלי בסיכוי של 10%. במקרה אחד בוחרים בסיכוי 50-50 מבין שתי הערמות האלה ואז מבצעים את הניסוי שמתואר בשאלה, ובמקרה השני בוחרים בסיכוי 75-25 מבין שתי הערמות (לטובת הראשונה) ואז ממבצעים את הניסוי.
ברור שבכל אחד מהמקרים האלה ההערכה שתינתן (אחרי הניסוי) למידת ההטיה של המטבע ע”י סטטסיטיקאי בייסיאני תהיה שונה. לכן, לא ברור לי מה ההסתברות הפריורית שהשתמשת בה עבור החישוב שעשית. אם השתמשת בהסתברות אחידה לכל הטיה – לא ברור בכלל מדוע זה הדבר הנכון לעשות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:19:06 PM

תשובה לדני

החישוב הבייסיאני שערכתי מתבסס על התפלות אפריורית אחידה של ה-p- על הקטע [0,1[
כמובן שההנחה על ההתפלגות האפריורית היא בעייתית – זו אכן הביקורת העיקרית על הגישה הבייסיאנית, ולכן אני סבור, בניגוד לגיל, שהסטטיסטיקה הבייסיאנית לא “תנצח” בסופו של דבר.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 10/22/2007 3:21:52 PM

ועוד תשובה לדני

בעניין אסטרטגיות ההימור: אכן, יש כמה אסטרטגיות שמביאות לאותה תוצאה “אופטימלית” – כלומר ממזערות את תוחלת ההפסד (ואני מתעלם כאן מהאסטרטגיה של המנעות מהימור). אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.

דני  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 2:25:11 AM

שאלה

אוקי, עכשיו סיקרנת אותי 🙂
בהינתן שמהמרים בכל סיבוב רולטה על סכום קבוע, תוכל בבקשה להסביר (או לתת הפניה) מדוע אסטרטגית הימור שבה מגרילים אדום או שחור מביאה לתוחלת רווח שונה מאסטרטגיה שבה בוחרים תמיד אדום, למשל? (או לחילופין, כל פונקציה שהיא על הטלות עבר)
על פניו נראה לי שתוחלת הרווח תהיה זהה בכל אחד מהמקרים, כיוון שתוצאת הרולטה אקראית.

אסף ברטוב  [אתר]  בתאריך 10/28/2007 9:41:06 AM

סטטיסטיקה בייסיאנית

אוסיף ששימוש נפוץ ומוצלח בסטטיסטיקה בייסיאנית בחיי היום-יום של רובנו הוא מנגנוני הסינון של דואר הזבל (“ספאם”) שמסווגים דואר לפי הסתברות. ממציא היישום הזה של ס’ בייסיאנית הוא פול גראם (Paul Graham).

אלעד  בתאריך 11/8/2007 4:56:39 PM

השתגענו?!

בתור דוקטור למדמ”ח, שעוסק בהשתברות לא מעט, אני מסכים עם דני וחושב שיוסי לוי טועה. יוסי טען ש”אסטרטגיה הלוקחת בחשבון את תוצאות העבר אינה אופטימלית.”. זה נראה שגוי לחלוטין. לא משנה אם בכל שלה בוחרים להמר על אדום או שחור, בלי תלות בהיסטוריה יש הסתברות בדיוק שווה לזכות בכל מקרה. לכן, גם אם ההחלטה שלנו על איזה צבע להמר תלויה בהיסטוריה, עדיין זה לא משנה ותוחלת הזכיה נשארת שווה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 11/10/2007 5:42:58 PM

תשובה לאלעד ולדני

במקום לצעוק שאני טועה, אני מזמין את כל מי שמעוניין להציג אסטרטגיית הימור שתשיג תוצאה טובה יותר (בתוחלת) מהאסטרטגיה לפיה בכל הימור בוחרים את הצבע עליו מהמרים בהסתברויות שוות לאדום ושחור.

דני  [אתר]  בתאריך 11/20/2007 4:43:42 AM

ובכל זאת

היי יוסי,
מדי פעם אני חוזר לפוסט הזה כדי לבדוק האם התחדש משהו בסוגית הרולטה (מסקרנות… אני אשמח להיות מופתע ולגלות פתרון שלא חשבתי עליו).
התגובה האחרונה שלך לא ברורה לי. הטענה של עופר, שלי ושל אלעד היא לא שיש אסטרטגיה טובה יותר מהימור בהסתברויות שוות, אלא שכל אסטרטגיה טובה באותה מידה.
למשל, תוחלת הרווח אם תהמר תמיד על אדום זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בכל פעם באקראי, וזו זהה בדיוק לתוחלת הרווח אם תהמר בהתאם לכל פונקציה שהיא על תוצאות העבר – כמובן, כל זאת בהנחה שהרולטה אכן אקראית ושמהמרים בכל סיבוב באותו סכום קבוע (הנק’ האחרונה חשובה, למשל, כדי להמנע מפרדוקס סט. פטרסבורג).
בקיצור, אני טוען כי התשובה לאתגר שהעלית בתגובה האחרונה היא שלא קיימת כזו אסטרטגיה. לעומת זאת, אני מזמין אותך (או כל קורא אחר) להציג אסטרטגיה שתשיג תוצאה גרועה יותר מהימור אקראי, ותעמוד בשני התנאים שלמעלה (אקראיות הרולטה, סכום שווה בכל סיבוב).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:09 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

אלעד  בתאריך 11/28/2007 7:02:19 PM

אכן

אכן, גם אני קופץ מדי פעם לראות מה חדש, ואני מצטרף לאתגר של דני (שגם ניסח יפה את ה
setting
כדי להימנע מאי-הבנות).

זכיה נדירה

הידיעה הבאה התפרסמה בתחתית עמוד 19 של “ידיעות אחרונות” ביום רביעי שעבר (19.9.2007):

rare win

אי אפשר להתווכח עם העובדות – לאיש אכן היה מזל. מעניין אותי לדעת כמה אנשים הרגישו שלמספרים שלהם יש מזל ועקב כך הימרו עליהם בסכומים גבוהים, ולא זכו. את הנתון הסטטיסטי הזה, אני מניח, מפעל הפיס לא יספק לנו.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 23 בספטמבר 2007  שם התקבלו 6 תגובות

גיל  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 8:37:16 AM

לא הבנתי מה המזל בזה

מה זה משנה אם הוא שלח טופס אחד אם אותם מספרים או טפסים שונים? בסופו של דבר הוא היה זוכה באותו פרס כי הוא מתחלק בפרס הגדול עם עצמו לא? (אלא אם כן יש זוכים נוספים בפרס הראשון).

שגיאB  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 9:56:10 AM

לי זה ישר הדליק אור אדום!!!

מי ממלא 20 טפסים עם אותם מספרים?

עידו  בתאריך 9/23/2007 9:59:44 AM

לגיל

בהגרלת 777 הפרס הראשון הוא 70,000 על ניחוש כל המספרים. הפרס לא מתחלק בין הזוכים (כלומר, אם יש כמה כרטיסים זוכים אז כל אחד מכרטיסים זוכה ב-70,000 ש”ח).

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 9/23/2007 10:23:10 AM

תשובה לגיל

קל לודא שגם אם הפרס הראשון מתחלק בין כמה זוכים, עדיין מי שישלח שני טפסים זהים יזכה ביותר כסף (למשל, אם יש שני זוכים, הם יתחלקו חצי חצי, אבל אם אחד משני הזוכים שלח זני טפסים הוא יקבל שני שליש והזוכה השני רק שליש.

אורי כהן  בתאריך 9/23/2007 1:23:15 PM

באמת נראה כמו התקפת מידע פנימי

אם מישהו גילה כי אפשר לרמות בהגרלת 777, ככה בדיוק זה אמור להראות:
– 777 היא הגרלה קטנה, בניגוד ללוטו, ולכן ייתכן שיש למפעל הפיס פחות מנגנוני הגנה.
– הוא מרוויח בה הרבה יותר משמפעל הפיס חוזה שמישהו ירוויח, וזה כבר נראה מספיק
כדי לשלם למי שעזר לו לרמות (שמסכן את משרתו + כמה שנים בכלא). עבור עשרות אלפי שקלים זה לא סביר, עבור מאות אלפי- אולי.
כמובן אין לי מידע… אם אני מפעל הפיס הייתי שוכר חוקר פרטי.

a81450606  בתאריך 10/8/2007 2:51:06 PM

הסתבריות פיס 777

באתר הזה תמצאו את ההסתבריות למשחק פיס 777
http://www.johnph77.com/keno/israel.html
השורה התחתונה היא שהתוחלת המשחק היא 60% בקירוב
פיס 777 הוא אחד מן המשחקים הרווחים של הפיס (מחוץ הלוטו)
מעוינינים בפורום לוטו?
http://www.tapuz.co.il/Communa/usercommuna.asp?CommunaId=2160

הגרלת ה-50 מליון: איך ניצחתי את השיטה

כנסו כנסו! (אחד שיודע)

כתבתה של נופר סיני בדה-מרקר על הגרלות הלוטו צוטט חתן פרס נובל לכלכלה, פרופ’ ישראל אומן, שאמר בהתייחסו לנושא: “אנשים לא קונים טפסי לוטו, הם קונים את הזכות לקוות”.

בשבוע שעבר הייתי בחופשה בנהריה, ובעת ששוטטתי בשדרות הגעתון ראיתי אנשים רבים קונים טפסי לוטו. האם פרופ’ אומן שיקר? כמובן שלא. הוא פשוט בחר לבטא במלים אלה את הדעה כי אנשים קונים כרטיס לוטו לא בגלל תוחלת הרווח הכספי הצפויה להם ממנו, אלא בגלל ה”תועלת” הנובעת ממנו.

כל סטודנט לכלכלה מכיר את המונח “פונקציית תועלת” (חפשו בגוגל ותראו מה תמצאו). פונקציית תועלת היא מן מונח ערטילאי – נסו לקרוא את ההגדרה שלה – שמאפשרת לכלכלנים לכמת את ההעדפות האישיות של הצרכנים, באופן תיאורטי לפחות. כך ניתן להצדיק פעולה כלכלית שאולי עדיפה פחות מבחינה כספית לעומת אלטרנטיבה כפעולה “רציונאלית”.

למשל, ניתן לחשב ולמצוא כי עדיף מבחינה כלכלית לקנות רכב פרטי ולהשתמש בו לעומת האלטרנטיבה של קבלת רכב ליסינג ממקום העבודה (בהנחות מסוימות). דוגמא אחרת היא הדילמה של רכישת דירה או מגורים בשכירות – לפעמים עדיף כך (מבחינה כספית) ולפעמים אחרת. ובכל זאת, רוב האנשים מעדיפים רכב ליסינג וקניית דירה.

הכלכלנים יסבירו לכם שאולי מבחינה כספית מגורים בדירה שכורה עדיפים על קניית דירה, אך את ההשוואה אין לערוך במונחי כסף אלא במונחי “תועלת”. בעשרות אלפי הדולרים שתשלם יותר עבור דירה משלך אתה קונה “תועלת”. אם קנית דירה במקום לשכור אחת למרות שמבחינה כספית אופציית השכירה זולה יותר ב-50,000 דולר (סתם), אות הוא כי התועלת הנובעת מקניית הדירה “שווה לך” את אותם 50 אלפי הדולרים.

מדוע הכלכלנים מעדיפים את התועלת על פני הכסף? ובכן, ובתחילת שנות השבעים פרסמו שני מדענים אלמונים מישראל, עמוס טברסקי ודניאל כהנמן, סדרה של מאמרים, ובהם ערערו את עקרון הרציונאליות, העומד בבסיס הכלכלה המודרנית. “הכלכלה המודרנית הניחה שאנשים ‘מכוילים’ על רציונאליות, ושהסטיות ממנה הן מקריות. העבודות שלנו (של כהנמן וטברסקי – י.ל.) מלמדות שהטעויות הן לא מקריות, ושהמקור שלהן הוא בדרך החשיבה של בני אדם”, אמר כהנמן בראיון להארץ, זמן קצר לאחר זכייתו בפרס נובל לכלכלה. את הסטיות מהרציונאליות אפשר להצדיק על ידי קיומה של “תועלת” ערטילאית, שמשנה את המאזן הכולל, וממלאת את הפערים בין ההחלטות.

בואו נחזור ללוטו ולפרופ’ אומן. פרופ’ אומן יודע היטב כי תוחלת הרווח הצפוי מהשתתפות בהגרלת הלוטו היא שלילית. אפשר להתווכח על גובה הסכום – אולי הפסד של חמישה שקלים לטבלה, אולי פחות, אבל בשורה התחתונה מפעל הפיס מרוויח. כולם יודעים את זה (טוב, כמעט כולם). אז למה אנשים קונים כרטיס? לאנשים כדאי לקנות כרטיס, אומר אומן, כי התועלת הנובעת מקניית הכרטיס שווה להם יותר מחמשת השקלים לטבלה שיפסידו, קרוב לודאי, בהגרלה עצמה. איפה אפשר לקנות תקווה בחמישה שקלים? רק במפעל הפיס.

אז הנה הטרנסקציה: אתה ניגש לדוכן, משלם חמישה שקלים (או 5000, או משהו באמצע) ומקבל חתיכת נייר שמאפשרת לך לפנטז במשך חודש בערך על מה שתעשה אחרי ש-50 מליון שקלים (בניכוי מס) ייכנסו לחשבון הבנק שלך.

מה עשו כל האנשים שקנו כרטיס להגרלה בנהריה ביום שני בערב, שעתיים לפני ההגרלה? הם משלמים את חמשת השקלים עבור פנטזיה שתימשך שעתיים בלבד? כמובן שלא. הם פינטזו על הסכום מרגע ששמעו על ההגרלה, ובאו לשלם עבור התקווה, שכבר השתמשו בחלק ממנה, ברגע האחרון.

בבדיחות הדעת שאלתי את בניי, שהיו עימי, אם כדאי לי לקנות כרטיס. “אבא, אתה סטטיסטיקאי”, אמר אחד מהם, “אתה יודע שהסיכוי לזכות אפסי”. מה שנכון נכון. לא קניתי כרטיס, וכמובן כבר לא זכיתי. אבל זה לא הפריע לחלום על הכסף במשך השבועיים שקדמו להגרלה. התקווה שלי התפוגגה ביום שני, 2.7.2007, בשעה 10 בערב, כאשר נכנסתי לחדרי במלון ללא כרטיס הגרלה, שהרי לא רכשתי אחד. התקווה של 99.99% מהמהמרים התפוגגה שעתיים מאוחר יותר, כאשר התפרסמו תוצאות ההגרלה. ההבדל הוא שהם שילמו מכספם עבור ה”תועלת” – אותה זכות לקוות עליה דיבר פרופ’ אומן. אני קיבלתי את התועלת הזאת בחינם. פיצחתי את השיטה.

 

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 8 ביולי 2007 שם התקבלו 14 תגובות

התגובות מתפרסמות על דעת ובאחריות כותביהן בלבד.

פנחש מוואי  בתאריך 7/8/2007 10:48:43 PM

ללא נושא

השיטה שלי היא אחרת
אני ממלא שתי קוביות. בשתיהן אני ממלא את אותם המספרים.
ככה, אם אני זוכה ויש איתי עוד זוכה, אני לוקח שני שליש.
במילא הסיכוי הוא אפס. אז אני נהנה גם מהחלום הנוסף של התהילה. הוא לקח 2/3 באותו מחיר (זניחים שני השקלים האלו).
תודה שהשיטה שלי טובה יותר.
עכשיו אחרי שהודית. אני אשכלל לך אותה לפי שיטתך. אני לא ממלא כלל. כלומר שיטתי שמורה עמי (ועכשיו עמכם). אני יודע שכשאמלא אזכה בשני שליש (אם יש שני זוכים כאמור). לכן כבר אין טעם למלא. כי הזכיה בטוחה.
וכדי להיות בטוח שאי זכייתי לא היתה לשווא אני מוודא כי אכן אנשים וחייהם מתרסקים לתפארת לאחר זכייה. ואני מאושר שזכיתי בחיי הפשוטים והצנועים בלי לשלם דבר. כך גם לא פשטתי רגל ואיבדתי את מיטב חברי וגם זכיתי בשני שליש הכסף.
ובגלל שאתם נחמדים אני אגלה לכם את הטריק האמיתי לזכייה ולניחוש של מספרי הלוטו.
אז ככה, במקום לנחש אילו מספרים זוכים ועולים בגורל, נחשו אילו מספרים לא יזכו. הרבה יותר קל לנחש 45 מ-52 מאשר 7 מ-52. לא? כי ממילא אתם מנחשים כל שבוע את המספרים שלא זוכים (אחרת לא הייתם ממשיכים למלא), לכם פשוט נחשו אותם בריכוז עילאי. בסיום בחירת 45 המפסרים שלא סומנו החליפו אקראית 3 מספרים (למזליסטים מביניכם שמדי פעם מנחשים 3 מספרים). זהו. זאת כל השיטה.
אני מקווה שמפעל הפיס לא יתרגז ויפסיק את ההגרלות. אבל השיטה עובדת. הנה, ראו אותי. לא ממלא וזוכה בחיי עבודה ואושר עם זוגתי וילדיי ואפילו חברי ומשפחתי המורחבת. ללא ריבים על כסף וללא קנאה. כי מה יש לקנא במי שאין לא?
יש לי מספיק. תודה.

באנדר  בתאריך 7/8/2007 10:50:29 PM

האם פיצחת את השיטה?

רק אם האמנת לעצמך שאכן תקנה כרטיס הגרלה.
מכיוון שאתה אדם ראציונאלי, וודאי חזית מראש שבסופו של דבר לא תקנה כרטיס, ולכן חלומך נפגע.
אני מציע לך את השיטה הבאה, סכם בינך לבין עצמך שאתה אכן תיקנה כרטיס, אם רק תצליח להטיל קוביה פעמים רצוף על 6.
כך תוכל לאחוז בתקווה ממשית, והתוחלת של ההשקעה תהיה נמוכה בהרבה משל אדם שקונה את הכרטיס ישר בקופה.

חן  בתאריך 7/9/2007 2:11:17 AM

כמה נקודות לחשיבה

ראשית, פוסט מרתק. נקודה אחת שרציתי להתמקד עליה היא ה”תועלת” בהשתתפות בהגרלת הפיס. אם חלקכם זוכרים, בשנות ה-70 וה-80 (ובודאי בשנותיה הראשונות של המדינה), הפרסים היו צנועים יותר והדגש היה על התרומה של הפרט (אשר רוכש כרטיס פיס), לטובת פיתוחה ויישובה של המדינה. הסיסמה הרווחת באותם ימים: “אתה זוכה, המדינה זוכה”. ודומה שאת התמימות והנאיביות של אותם ימים, החליפה החומרנות, התקווה להיות מליונר צעיר והפרסים הגדולים והמפתים אשר מציעים לנו. ובכלל אפשר להגיד שהיום מוכרים לנו יותר פנטזיות מאשר אידאלים וערכים. סתם נקודה למחשבה…

גיל  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 2:20:08 AM

מה שאתה מתאר נכון חלקית

רוב אלו שממלאים לוטו או טוטו באים מהשכבות הנמוכות ורובם לא מודעים להסתברויות הנכונות. בתפיסה שלהם יש באמת סיכוי ממשי לזכייה. גם הרבה מאוד אנשים שכן מודעים לסיכויים האמיתיים כביכול לא פועלים לפיהם כי התחושה הטבעית שלהם היא שהסיכויים גדולים יותר. גם נראה שסכום כסף גדול מעוור את האנשים לגבי הסיכויים האמיתיים ויש לו אפקט הילה שקשה להשתחרר ממנו (למה אנשים ממלאים יותר דווקא כשיש פרס גדול, הרי הסיכויים לזכות לבד דווקא קטנים אז).

יורם גת  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:43:25 AM

כמו שנדמה לי שאתה רומז

הטלאת תאוריית התועלת באמצעות הדיבורים על “הזכות לקוות” אינה משכנעת. הרי לקוות אפשר תמיד – גם מי שלא רכש כרטיס יכול לקוות לזכות בפרס אם ככתוצאה מטעות הקלדה, או כתוצאה ממותו הפתאומי של קרוב רחוק שכן רכש כרטיס.
התיאוריה שלי היא שהמוח האנושי אינו בנוי לתפוס הסתברויות נמוכות כמו מליונית, שהרי במהלך התקופה בה התפתח המוח האנושי לא היה לבני האדם שום מקור מידע שיכול היה לספק הסתברויות שכאלה. לפיכך, ומאחר שמערך הפרסום של הפיס דואג להזכיר לציבור שההסתברות לזכות גדולה מאפס, המוח האנושי מעגל את ההסתברות כלפי מעלה, לסביבות האלפית, נאמר. ביחס סיכויים שכזה, ההשתתפות בהגרלה עשוייה להיות רציונאלית.

ירון  בתאריך 7/9/2007 9:54:48 AM

אפילו שהרעיון נחמד…

א. יש הבדל גדול בין למלא או לא למלא. זה ההבדל בין לחשוב הכל בראש או לבצע זאת בפועל. לקנות כרטיס הגרלה זה לפעול בעולם, אפילו אם זה רק לנסות והסיכויים נמוכים. זה בערך כמו מישהו שיש לו רעיון מאוד טוב לעסק, אבל הוא נשאר בראש שלו ולא עושה איתו כלום. אם הוא יחליט לעשות משהו בעניין הסיכויים שלו להצליח הם כך וכך, אבל אין לו את הסיכויים האלה אם הוא לא יעשה כלום. אותו דבר עם מישהו שרוצה לכתוב ספר וכו’. יש גם הבדל פסיכולוגי משמעותי אם אתה בפועל קונה כרטיס בסוף.
ב. אני חושב שהשיקול המשמעותי הוא הסטטיסטיקה האישית של כל מי שממלא: או שאני אזכה או שלא אזכה – לא יודע אם יש כאן סיכוי של 50-50 לזכות, אבל בטוח שאם אזכה, זאת תהיה זכייה ב100 אחוז (ואני לא מתכוון ל100 אחוז מהכסף). זה מזכיר לי את אחד משיעורי ההסתברות שנתנו לי פעם בתואר הראשון, כשהמרצה הציג בעיה על ציור קווים בעיגול ששאלה על הסיכויים להיווצרות תכונה גיאומטרית מסויימת (לא זוכר בדיוק). ואז היו שני פתרונות עם סיכויים שונים לגמרי, תלוי אם מרחב המדגם הוא נקודות החיתוך עם המעגל או הזוויות שנוצרות בין הקווים. אני לא זוכר בדיוק את השאלה אבל אני זוכר שהרושם היה עז: איפה באמת נמצאים הסיכויים הנכונים?

דרור שניר  בתאריך 7/9/2007 11:15:41 AM

ללא נושא

והשאלה האמיתית היא כמובן, למה לנפוש בנהריה? ועוד בתקופת החום והלחות הנפלאה הזו?
(באנדר, רעיון יפה.)

בתאריך 7/9/2007 12:09:43 PM

ללא נושא

ויש כמה שלא ניצחו את השיטה, רק הרויחו כמה מיליונים. חבל שהם לא כל כך חכמים.

טל ירון  [אתר]  בתאריך 7/9/2007 5:06:20 PM

ללא נושא

מצויין….
תחשוב כמה כסף הרווחתי מכך שלא מילאתי מאות טפסים במשך החיים. לפחות כמה עשרות אלפי שקלים. איזה עשיר אני….

נ’  בתאריך 7/9/2007 8:00:50 PM

רציונליות, אי רציונליות

יש לי השגות על הגדרת הרציונליות בהקשר זה. אי אפשר לדעתי לפטור את קניית כרטיסי ההגרלה שסיכויי עלייתם בגורל נמוך כ”כ ב’אי רציונליות’. אנו חוזרים כאן לפוסט היפה במיוחד שלך אודות המודל התיאורטי והמציאות. כיוון שבפועל יש זוכים אי אפשר לייחס אי רציונליות לפעולת הקנייה, לדעתי.
אני, אגב, לא קניתי כל כרטיס; אולי אני נעדרת קצת רציונליות.

אלי  בתאריך 8/18/2007 4:59:07 PM

החלופה להגרלה – בורסה

לפני כמה עשרות שנים התערבתי עם חבר לעבודה שרצה כי אשתתף בהגרלה כמו כולם. התערבתי איתו על 10ל”י (של אז…) כי כל פעם שלא יזכה – יתן לי 10 ל”י. אם יזכה – אתן לו את סכום זכייתו. בסכום שקבלתי (כל שבוע כמובן…) קניתי קרן נאמנות “מרגלית”. הסיכוי שלו היה – או הכל, או כלום. שלי – גם אם יהיו ירידות, חלק יישאר לי. אחרי חצי שנה – (בהן הוא רק שלם לי) הפסיק את ההתערבות. ואז עשה חישוב, כי לו לא היה מבזבז כספו על מפעל הפיס – היה כבר יכול להחליף את מכוניתו הישנה…

אביתר  בתאריך 8/19/2007 1:04:17 PM

למעשה – מס נוסף

הכי גרוע – שבכסף שמפעל הפיס מרויח על גב קוני הכרטיסים, הוא משתמש בשביל לחלק בתי ספר, מתנ”סים, מבני ציבור וכו’, בשיטת התרומות והנדבות, וכל זה במקום שהמדינה תבנה אותם איפה שבאמת צריך. למה על בניין בית הספר של הבת שלי צריכה להתנוסס בענק הכתובת “נבנה על ידי מפעל הפיס”, או יותר גרוע “בית ספר פיס” – הרי המדינה, דרך משרד החינוך, היתה צריכה לממן ולבנות את בית הספר הזה.
אני בעיקרון איני קונה כרטיסי הגרלה, כי כל עוד המערכת עובדת ככה, עדיף שלמפעל הפיס יהיו כמה שפחות תקציבים לחלק ולא כמה שיותר.

הראל  בתאריך 8/23/2007 10:49:44 AM

למרות תוחלת רווח שלילית

אנשים “משקיעים” בגלל מה שנקרא “שווה ערך ודאי” מונח הקשור לתחום תורת התועלת של פון-נוימן ומורגנשטרן
הכוונה היא שיש לאדם פונקציית תועלת (הנמדדת במונחי תועלת- ולא במונחים כספיים) הולכת ופוחתת
שווה הערך הוודאי הוא אותו הסכום הוודאי שאדם יסכים לשלם/ לקבל במקום סכום שהוא אמנם גדול יותר (כמו למשל פיס) אבל מועד תשלומו העתידי אינו ידוע.
שווה-הערך הוודאי מחושב מתוך השוואת התועלת מקבלת סכום ודאי זה לתוחלת התועלת מקבלת התקבול האי-ודאי וקשור לפונקציית התועלת האישית של כל אחד ואחד
מקרה דומה אבל הפוך ניתן לראות למשל בביטוח, אדם ישלם היום סכום שעל פי ערך התועלת שלו קטן מאשר קרות מקרה הביטוח. אם חברת הביטוח תעלה את הפרמיה יותר ויותר, יהיה שלב שאותו אדם לא ישלם פרמיה למרות הסיכון בגלל שאותו “ערך ודאי” כבר גבוה מתוחלת ההפסד שתהיה לו במקרה של ביטוח

גילי נחום  [אתר]  בתאריך 3/10/2008 2:33:48 AM

פצח את השיטה אם פטיש

אם אתה לשקר לעצמך שתקנה כרטיס, בעוד שברור לך אפריורית שלקראת סגירת ההגרלה לא תרכוש אותו,
אז כבר שקר לעצמך שזכית ב- 50 מיליון וסגור עניין.