חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'קבלת החלטות'

למה להצביע ומה הסיכוי שקולך ישפיע

השאלה הזו עולה שוב ושוב: יש כל כך הרבה מצביעים, אז מה יקרה אם לא אלך להצביע? מה בכלל הסיכוי שהקול שלי ישפיע? למה בכלל להצביע?

הבחירות האחרונות בארה”ב סיפקו דוגמא מאלפת. בבחירות למועצת עיריית וולטון, קנטאקי שנערכו בנובמבר 2012 נוצר תיקו בין שני מועמדים: בובי מקדונלד ואוליביה באלו. כל אחד מהם זכה בדיוק ב-669 קולות. התוצאות היו יכולות להיות שונות, אבל אשתו של המועמד מקדונלד לא הצביעה (היא סיימה משמרת בבית החולים בו עבדה, ובעלה אמר לה כי אין צורך שתטרח להצביע, הרי קולה לא ישנה כלום ממילא). הטלת מטבע מינתה את הגברת באלו למועצת העיר.

פרופ’ אייל וינטר טוען במאמר שפרסם כי “הצעתו של מקדונלד לאשתו הייתה רציונלית מאוד. גם כאשר מדובר בעיר קטנה בקנטקי הסיכוי שקול בודד יכריע את הבחירות זעום ביותר”. אז למה בכל זאת טרחו יותר מ-1300 אזרחים ואזרחיות בעיר וולטון להצביע בבחירות למועצת העיר?

לשאלה האם להצביע יש אספקטים פילוסופיים ותועלתניים כאחד. בפוסט זה אנסה לסכם את מגוון הדיעות בנושא. בפוסט המשך אציג מספר חישובי סיכויים שערכתי.

דאגלס ואנדרוורקן, סטטיסטיקאי מאוניברסיטת דיוק בצפון קרוליינה, מונה מספר טיעונים “מוסריים” בעד  הצבעה בבחירות, ומסביר את הבעייתיות שבהם (קישור לתקציר המאמר, לקריאתו דרוש מנוי): מה יקרה אם כולם יחליטו שאין טעם להצביע? הטיעון אמנם לא רלוונטי, כי לא כולם חושבים שאין טעם להצביע; ובכל זאת מסביר ואנדרוורקן כי עצם העובדה שהחלטה מסויימת (כמו לא להצביע) תגרום נזק לחברה אם כל הפרטים בחברה יישמו אותה, לא בהכרח הופך את עצם הפעולה לבלתי מוסרית. לטענה כי על כל אדם להצביע בבחירות מכיוון שזו זכותו, עונה ואנדרוורקן כי לפי אותו הגיון על כל אדם לקרוא ספר על משוואות דיפרנציאליות חלקיות, כי גם זכות זו מוקנית לכל (לינק לספריה למתמטיקה, למי שהשתכנע). הטענה כי הצבעה היא חובה אזרחית קוסמת, לדברי ואנדרוורקן, רק למי שמפיק הנאה וסיפוק ממילוי חובות אזרחיות; אחרים יכולים להפיק הנאה וסיפוק ממימוש זכותם האזרחית לא להצביע. ועם הטענה כי למי שאינו מצביע אין זכות להתלונן על המצב לאחר הבחירות הוא מסכים חלקית: אולי אין זכות מוסרית, אבל בודאי יש זכות חוקית.

כלכלנים נוטים להסביר כל דבר על ידי תועלת ותמריצים. וינטר אינו שונה בכך מאחרים. הצבעה כרוכה בטרחה משמעותית, לדבריו (צריך לצאת מהבית, ללכת עד הקלפי, לעמוד בתור, אח”כ לחזור הבייתה, אויש), והתועלת, המתבטאת בסיכוי שקולך ישנה משהו, נמוכה עד אפסית. הבעיה היא שאם כך הדבר, איש לא היה טורח להצביע. הכלכלן יענה כי ישנם אנשים עבורם התועלת שבהצבעה עולה על העלות/טרחה, ממגוון סיבות. וינטר כותב כי יש המפיקים תועלת נפשית מעצם ההצבעה ו/או משלמים מחיר נפשי/מוסרי עקב הימנעות מהצבעה. הצבעה בבחירות עשויה אפילו להיות סוג של בילוי לאנשים מסויימים. אהרון אדלין, אנדרו גלמן ונח קפלן טוענים במאמר משנת 2007 (קישור למאמר, קובץ pdf) כי הבוחרים (או חלקם) לוקחים בחשבון בשיקולי העלות/תועלת גם את התועלת החברתית, כלומר את התועלת שתיגרם לכלל כתוצאה מעצם ההצבעה של אדם בודד. במלים אחרות, הם טוענים כי הצבעה בבחירות היא תרומה לקהילה. גלמן, שהינו פרופסור לסטטיסטיקה ומדעי המדינה באוניברסיטת קולומביה בניו-יורק, מעלה הסבר אפשרי נוסף בבלוג שלו: גם אם הסיכוי כי קולך בבחירות ישפיע הוא קטן, הרווח הצפוי במקרה של השפעה הוא עצום. בפוסט שפרסם לקראת הבחירות של 2008, העריך כי הסיכוי שקול בודד ישפיע על תוצאת הבחירות הוא כ-1 למליון במדינה מתנדנדת כאוהיו, והרבה פחות מכך במדינה בה המירוץ אינו צמוד במיוחד, כמו ניו-יורק. אולם הפרס לקול הזוכה גדול במיוחד, כ-1.5 ביליון דולר לדעת גלמן, בהתחשב בגודל בתקציב הפדרלי. לדעתי מדובר בסכום גדול הרבה יותר, טריליון או יותר. (זוכרים את חבילת החילוץ שאובמה שחרר מייד בתחילת נשיאותו?) אתם מוכנים לקנות כרטיס לוטו עם סיכוי של 1 ל-10 מליון לזכיה בפרס של 1.5 ביליון דולר? כי בישראל, למשל, עשרות אלפי אנשים קונים מדי שבוע כרטיס לוטו עם סיכוי של 1 ל-14 מליון לזכות בכמה מליוני שקלים, וחושבים שזו עיסקה טובה. העיסקה של הצבעה בבחירות הרבה יותר טובה מעיסקת הלוטו, לדעתי לפחות.

כל זה טוב ויפה, אבל עדיין נשאלת השאלה מה הסיכוי שזה אכן יקרה, כלומר, מה הסיכוי שאם אצביע, קולי ישנה את תוצאת הבחירות? איזה סיכון לקח על עצמו ידידנו מוולטון, קנטאקי, בובי מקדונלד, כשאמר לרעייתו לא לטרוח להצביע, כי ממילא קול אחד לא ישנה דבר?

במאמר אחר שכתב גלמן, יחד עם ג’ונתן כץ וג’וזף באפומי, הם טוענים כי הסיכוי שקול בודד יכריע את תוצאת הבחירות הוא בסדר גודל של 1 למספר המצביעים (קישור למאמר, קובץ pdf). דאגלאס ואנדרוורקן הגיע לתוצאה אחרת. הוא ערך סימולציה של הבחירות לנשיאות ארה”ב ב-2012, במדינת צפון קרוליינה, בה יש כ-6.5 מיליון בעלי זכות בחירה, והסקרים הראו כי המירוץ בין אובמה לרומני במדינה זו היה צמוד ביותר. מסקנתו הייתה כי הסיכוי שקול בודד יכריע את גורל הבחירות במדינת מפתח זו הוא בערך 1 לרבע מליון. הסיכוי כי אותו קול יכריע את גורל כל הבחירות לנשיאות הוא כ-1 ל-10 מליון, תוצאה דומה לזו שקיבלו גלמן, סילבר ואדלין (קישור למאמר, קובץ pdf), וסילבר, אגב, הוא נייט סילבר, שהתפרסם לאחרונה בעניינים אחרים הקשורים לבחירות בארצות הברית.

נחזור לקנטאקי. אייל וינטר כתב כי “גם כאשר מדובר בעיר קטנה בקנטקי הסיכוי שקול בודד יכריע את הבחירות זעום ביותר”. האמנם?

ראשית, נזכור כי באותו יום נערכות בארה”ב, בה יש עשרות אלפי ערים, מאות אלפי מירוצי בחירות בגדלים שונים. הסיכוי שבמחוז בחירה קטן בעיירה נידחת בקנטאקי יהיה תיקו בבחירות הוא קטן, אבל הסיכוי כי באחד ממאות אלפי המירוצים הנערכים יהיה תיקו כבר אינו מבוטל. תיקו איפשהו אינו הפתעה גדולה (ראו רשימתי מה באמת קורה בלוטו הבולגרי? מאוקטובר 2009). גם את הסיכוי לתיקו באותו מירוץ ספציפי בקנטאקי קל לחשב בעזרת סימולציה. הסיכוי לתיקו הוא כ-1.1% או 1 ל-90. סיכוי זעום ביותר? הכל בעיני המתבונן, כמובן.

ומה הסיכוי כי קול בודד ישנה את תוצאת הבחירות בישראל? על כך בפוסט הבא.

“הצבעה אסטרטגית” – כן או לא?

כמקובל בכל מערכת בחירות, גם עתה שב ועולה נושא “ההצבעה האסטרטגית”. הרעיון הוא כזה: אני יכול להצביע למפלגה קטנה שדעותיי קרובות לעמדותיה, או למפלגה גדולה שדעותיי קרובות גם לעמדותיה, אבל פחות. למי להצביע?

תשובה אפשרית אחת היא להצביע למפלגה שאני הכי קרוב לעמדותיה, במקרה זה – המפלגה הקטנה.

גישה אחרת מציעה לבחור לפי שיקולים אסטרטגיים: המפלגה הגדולה ודאי תעבור את אחוז החסימה ותיוצג בכנסת, בעוד שזה לא ודאי לגבי המפלגה הקטנה. ואם המפלגה הקטנה לא תעבור את אחוז החסימה – הקול שלי יבוזבז. גם אם תעבור המפלגה הקטנה את אחוז החסימה, השפעתה תהיה קטנה יחסית להשפעת המפלגה הגדולה, וגרוע מכך – היא תגרע מכוחה של המפלגה הגדולה ובכך תגביל את השפעתה. המסקנה המתבקשת – עלי להתפשר ולהצביע למפלגה הגדולה.

עוד מילה על בזבוז הקולות: אם המפלגה לה הצבעתי לא עברה את אחוז החסימה – מדובר בהרבה קולות שמתבזבזים. שלשום פרסמה מיה בנגל סטטוס בטוויטר בו כתבה כי שלושה מנדטים בבחירות 2009 נזרקו לפח. הטענה מתבססת על חיבור הקולות שקיבלו 9 מפלגות שאינן מפלגות ימין שלא עברו את אחוז החסימה בבחירות אלה. מדובר בקצת יותר מ-88 אלף קולות, ומכיוון שבכנסת ה-18 המודד למנדט (מספר הקולות המזכים במנדט) היה 27246 קולות, הרי שאותם 88 אלף קולות הם קצת יותר משלושה מנדטים. עיון בתוצאות הבחירות לכנסת ה-18 מעלה כי בסך הכל ניתנו כ-104 אלף קולות למפלגות שלא עברו את אחוז החסימה. שאר 16 אלפי הקולות ניתנו למפלגות “ימין”, אך 16 אלף קולות אינם מזכים במנדט. כיוון שגוש המרכז שמאל בתחילת כהונת הכנסת ה-18 מנה 55 מנדטים, לו לא היו מתבזבזים אותם 104 אלפי קולות, גוש המרכז שמאל היה מונה 58 מנדטים. עדיין לא מספיק כדי לשנות את התוצאה הסופית של הבחירות – הקמת ממשלת ימין בראשות נתניהו, אך מאזן הכוחות בכנסת היה שקול יותר, וזה מצב טוב יותר לאופוזיציה (במסגרת הגילוי הנאות אספר כי אני מצביע בקביעות לאחת ממפלגות האופוזיציה).

האמנם?

התשובה המיידית היא כמובן “לא”. ההסבר פשוט: אם יצורפו אותם 88 אלף קולות למפלגות שעברו את אחוז החסימה, מספר הקולות הדרוש למנדט יגדל מ27246 ל-28100 בערך, וזה אוצר כי בחלוקה הראשונית של המנדטים וגם בהמשך החלוקה (בחישובי העודפים לפי חוק בדר-עופר) יקבלו חלק מהמפלגות פחות מנדטים. אלו מפלגות? זה כבר תלוי בפרטים.

קל לבדוק מה היה קורה אילו. נתוני ההצבעה קיימים, וכל מה שצריך זה “לקחת” את הקולות מהמפלגות שלא עברו את אחוז החסימה, להעביר אותן למפלגות שעברו אותו, ולחשב מחדש את חלוקת המנדטים לפי חוק בדר-עופר (זה דווקא מסובך, אבל אפשרי). אז עשיתי זאת.

החישובים שערכתי מתבססים על ההנחות הבאות:

1) רק המצביעים של ארבע המפלגות הגדולות ביותר שלא עברו את אחוז החסימה (התנועה הירוקה מימד, גיל – גמלאי ישראל לכנסת, עלה ירוק, מפלגת הירוקים) יצביעו “הצבעה אסטרטגית” בחישובים ההיפותטיים שלי. מפלגות אלה קיבלו 71 אלף קולות יחד. שהיו ככל הנראה מספיקים ל-3 מנדטים בכנסת (בזכות עודף הקולות הגדול שהיה נשאר לאחר חלוקת המנדטים הראשונית).

2) המצביעים של  שאר המפלגות הקטנות (שכל אחת מהן קיבלה פחות מ-7000 קולות, ובדרך כלל הרבה פחות מכך) היו מצביעים עבורן בכל מקרה, וגם לו היו משנים את הצבעתם, זה לא היה משפיע על תוצאות הבחירות.

3) המצביעים של ארבע ה-“קטנות הגדולות” יתפלגו בין המפלגות הגדולות להם הם מצביעים בניתוח ההיפותטי שלי בהתאם ליחס מספר הקולות בין המפלגות הגדולות, ובפרט:

  א. קולות  התנועה הירוקה מימד יתחלקו בין קדימה ומפלגת העבודה ביחס של 69% ל-31%.

  ב. קולות גיל – גמלאי ישראל לכנסת יתחלקו בין קדימה, הליכוד, ישראל ביתנו, ומפלגת העבודה ביחס: 34% : 33% : 18% : 15%.

  ג. קולות עלה ירוק לכנסת יתחלקו בין קדימה, ישראל ביתנו, ומפלגת העבודה ביחס: 51% : 27% : 23% .

  ד. קולות  מפלגת הירוקים יתחלקו בין קדימה ומפלגת העבודה ביחס של 69% ל-31%.

לפי הנחות אלה, מבין 71 אלפי המצביעים ל-“קטנות הגדולות”, כ-40 אלף מעבירים את קולם לקדימה, 6 אלפים לליכוד, 7 אלפים לישראל ביתנו ו- 18 אלף למפלגת העבודה.

בדקתי מספר תרחישים:

1) הצבעה אסטרטגית של כל מצביעי ארבע “הקטנות הגדולות”, כלומר אותם 71 אלף קולות מתחלקים בין קדימה, הליכוד, ישראל ביתנו והעבודה כמפורט למעלה.

2) הצבעה אסטרטגית ימין-מרכז: קדימה, הליכוד וישראל ביתנו מקבלות תוספת קולות ממצביעי ארבע “הקטנות הגדולות”, 18 אלף קולות פוטנציאליים של מפלגת העבודה הולכים לאיבוד.

3) הצבעה אסטרטגית שמאל-מרכז: קדימה, והעבודה מקבלות תוספת קולות ממצביעי ארבע “הקטנות הגדולות”, אך הקולות הפוטנציאליים של הליכוד וישראל ביתנו הולכים לאיבוד.

4) הצבעה אסטרטגית ימין-שמאל: הליכוד, ישראל ביתנו, והעבודה מקבלות תוספת קולות ממצביעי ארבע “הקטנות הגדולות”, אך הקולות הפוטנציאליים של קדימה הולכים לאיבוד.

5) הליכוד זוכה בכל הקופה ומקבל את כל 71 אלפי הקולות.

6) העבודה זוכה בכל הקופה ומקבל את כל 71 אלפי הקולות.

7) קדימה זוכה בכל הקופה ומקבל את כל 71 אלפי הקולות.

התוצאות הלא מפתיעות: גוש ה-“שמאל-מרכז” (קדימה, העבודה, מרץ, חדש, רעם-תעל ובלד) שמנה בתחילת הכהונה של הכנסת ה-18 55 מנדטים אינו משתנה באופן משמעותי. ברוב התרחישים הוא גדל ל-56 מנדטים. הנה עיקרי התוצאות (השינויים הפרסונליים על פי רשימות המועמדים באתר הכנסת, הפירוט המלא בקובץ האקסל המצורף, וכן מצוךף לינק לתכנית ה-SAS  שכתבתי לצורך חישובי המנדטים):

1) הצבעה אסטרטגית של כל מצביעי ארבע “הקטנות הגדולות”: קדימה עולה במנדט על חשבון ישראל ביתנו; גוש השמאל-מרכז מונה 56 מנדטים. יוליה שמאלוב- ברקוביץ נכנסת לכנסת במקום אלכס מילר.

2) הצבעה אסטרטגית ימין-מרכז קדימה עולה במנדט על חשבון ישראל ביתנו; גוש השמאל-מרכז מונה 56 מנדטים. יוליה שמאלוב- ברקוביץ נכנסת לכנסת במקום אלכס מילר.

3) הצבעה אסטרטגית שמאל-מרכז: קדימה עולה במנדט על חשבון ישראל ביתנו; גוש השמאל-מרכז מונה 56 מנדטים. יוליה שמאלוב- ברקוביץ נכנסת לכנסת במקום אלכס מילר.

4) הצבעה אסטרטגית ימין-שמאל: העבודה עולה במנדט על חשבון ישראל ביתנו; גוש השמאל-מרכז מונה 56 מנדטים. עינת וילף נכנסת לכנסת במקום אלכס מילר.

5) הליכוד זוכה בכל הקופה: הליכוד עולה בשני מנדטים על חשבון קדימה ושס; גוש השמאל-מרכז מונה 54 מנדטים. אללי אדמסו ויצחק דנינו נכנסים לכנסת במקום אורית זוארץ ואברהם מיכאלי.

6) העבודה זוכה בכל הקופה: העבודה עולה בשני מנדטים על חשבון קדימה וישראל ביתנו; גוש השמאל-מרכז מונה 56 מנדטים. עינת וילף וראלב מגאדלה נכנסים לכנסת במקום אורית זוארץ ואלכס מילר.

7) קדימה זוכה בכל הקופה: קדימה עולה בשני מנדטים על חשבון ישראל ביתנו ושס; גוש השמאל-מרכז מונה 57 מנדטים. יוליה שמאלוב- ברקוביץ ונינו אבסדזה נכנסים לכנסת במקום אלכס מילר ואברהם מיכאלי.

המסקנה שלי מהתרגיל התיאורטי שערכתי: ההשפעה של “הצבעה אסטרטגית” מוגבלת ביותר, ויש לה פוטנציאל מוגבל מאוד לשנות את התוצאות המהותיות של הבחירות, רק כאשר המאבק בין הגושים צמוד ביותר. לו לא היו הולכים אותם קולות שניתנו למפלגות שלא עברו את אחוז החסימה, המרוויחה הגדולה ביותר הייתה ככל הנראה יוליה שמאלוב-ברקוביץ.

את המסקנות לבחירות הקרובות מוזמן כל אחד להסיק בעצמו. אני, באופן אישי, אמשיך להצביע על פי צו מצפוני, ואתן את קולי לאותה מפלגה קטנה שקיבלה אותו מאז 1984 בכל גילגוליה.

עוד חוויות מדילמת האסירים

לפני כשנה כתבתי כאן על חויותי ממשחק דילמת האסירים ששיחקתי במסגרת קורס שלמדתי. לפני כעשרה ימים השתתפתי בקורס ניהול משא ומתן שניתן על די אותו המנחה, עו”ד יונתן קוברסקי (לחצו על הלינק כדי לראות אותו מרצה ביוטיוב), ובאחד התרגילים שנערכו, שוחקה גירסה אחרת של דילמת האסירים. אתאר כאן את חוויותי ותובנותי מהמשחק הזה. אין בכוונתי להתעמק בניחוח אנליטי של המשחק.

בשלב הראשון המשתתפים בקורס חולקו לשש קבוצות, ונערכו שלושה משחקים במקביל, כשבכל משחק מתחרות שתי קבוצות זו בזו . מאחר ובכל קבוצה היו בין שלושה לארבעה חברים, תהליך קבלת ההחלטות בכל קבוצה היה נתון למו”מ (כך לפחות זה היה בקבוצה שלי).

סיפור המסגרת למשחק (למעוניינים, הנה ההסבר המלא באנגלית, קובץ pdf): שתי מדינות, אלבה ובתיה, הן יצרניות נפט קטנות, שמוכרות את תפוקת הנפט שלהן לשכנתן הגדולה והעשירה, מדינת קפיטה. מחירי הנפט של כל מדינה נקבעים כל חודש על ידי ועדה מיוחדת לקביעת מחירי הנפט (אלה אנחנו, השחקנים). המחיר יכול להיות 10, 20 או 30 דולר לחבית. ההכנסות החדשיות ממכירת הנפט תלויות במחירים שקבעו שתי המדינות. אם בתיה, למשל, מוכרת את הנפט שלה ב-20 דולר לחבית, ואלבה קובעת מחיר של 30 דולר לחבית, אז בתיה תיהנה מהכנסה של 18 מליון דולר, בעוד אלבה תכניס לקופת שני מליון דולר בלבד. באופן כללי, אלה הן ההכנסות של מדינת בתיה בהנתן מחירי הנפט שלה ושל אלבה בחודש נתון לחבית (אני שיחקתי באחת הקבוצות של בתיה, ולכן מתאר את נקודת המבט שלה. חוץ מזה, יש לי דודה נפלאה ששמה בתיה.):

הכנסות בתיה ממכירת נפט

(במליוני דולרים)

מחיר הנפט של בתיה (דולר לחבית)
10 20 30
מחיר הנפט של אלבה

(דולר לחבית)

30 15 18 11
20 15 8 2
10 5 3 2

מטריצת ההכנסות של אלבה זהה לזו של בתיה.

אלבה ובתיה כמובן מסוכסכות ביניהן, מה שלא אפשר מו”מ או תיאום של מחירי הנפט. מטרת כל קבוצה להביא למקסימום את רווחי המדינה שלה בשמונת החודשים הקרובים, תוך כדי אדישות לביצועים של המדינה המתחרה. כמו כן נאמר לנו כי כרגע שתי המדינות מוכרות את הנפט שלהן ב-20 דולר לחבית.

בכל זאת ניתוח אנליטי קצר של המשחק, לפני שאעבור לחוויות ולתובנות. קל לראות כי האסטרטגיה של קביעת מחיר הנפט ב-20 דולר לחבית שולטת על האסטרטגיה של 30 דולר. לא משנה מה יהיה המחיר שאלבה תקבע, תמיד עדיף לבתיה למכור ב-20 ולא בשלושים. אם למשל, המחיר של אלבה הוא 30 דולר לחבית, אז במחיר של 30 דולר לחבית בתיה תרוויח 11 מליון דולר, ובמחיר של 20 דולר לחבית בתיה תרוויח 18 מליון דולר, וכן הלאה. מכאן שאף פעם לא כדאי לבתיה לקבוע מחיר של 30 דולר לחבית. אותם השיקולים נכונים גם למדינת אלבה, ולכן אם אנשי אלבה רציונליים, גם הם לעולם לא יקבעו מחיר של 30 דולר לחבית. מעשית, ניתן למחוק את המחיר 30 מטבלת התשלומים, ולהסתפק בטבלה מצומצמת:

הכנסות בתיה ממכירת נפט

(במליוני דולרים)

מחיר הנפט של בתיה (דולר לחבית)
10 20 30

מחיר הנפט של אלבה

(דולר לחבית)

30 15 18 11
20 15 8 2
10 5 3 2

הבעיה היא שעכשיו, הפלא ופלא, ניתן להפעיל את אותו השיקול על הטבלה המצומצמת, ואם מניחים שאלבה לעולם לא תקבע מחיר של 30 דולר לחבית, תמיד עדיף למכור ב-10 דולר לחבית ולא 20 דולר לחבית. אותם השיקולים אמורים להנחות גם את אלבה, ובסיכומו של דבר, נקודת שיווי המשקל (של נאש) במשחק הזה היא שכל מדינה מוכרת את הנפט שלה ב-10 דולר לחבית ונהנית מהכנסה חדשית של 5 מליון דולר, תוצאה נחותה מהתוצאה שהייתה מתקבלת לו היו קובעות שתי המדינות מחיר של 20 דולר לחבית או אפילו 30 דולר לחבית.

הדינמיקה שהתפתחה הייתה דומה לדינמיקה שהתפתחה אז. (המעוניינים יכולים לראות כאן את מהלכי שלושת המשחקים. אני שיחקתי בקבוצת בתיה במשחק 2).  שתי קבוצות התחילו מייד לשחק את נקודת שיווי המשקל 10-10. בדיון שנערך לאחר סיום המשחק הסבירו זאת ברצון להביא את הסיכון שלהם למינימום. שתי קבוצות אחרות פתחו ב-20-20, ובדיון שלאחר המשחק הסבירו זאת ברצון לשמר את המצב שהיה קיים (כזכור היה נתון כי בתחילת המשחק מחיר הנפט של שתי המדינות היה 20 דולר לחבית). המשחק השלישי החל גם הוא ב-20-20. הקבוצה ששיחקה מול הקבוצה שלי גם היא רצתה לשמר את המצב הנתון. אני, לעומת זאת, שכנעתי את חברות הקבוצה שלי כי כדאי להתחיל ב-20 כאיתות לרצון טוב, והמחיר של 20 ממזער נזקים אפשריים שיגרמו עקב מחיר תחרותי של המדינה השניה, אך עדיין נותן מרחב לתמרון. למעשה, האסטרטגיה “מידה כנגד מידה” עמדה מול עיניי.

אולם בהמשך העניינים התחממו. שתי הקבוצות שפתחו ב-10-10 עברו עוד סיבוב של 10-10, ואז אחת הקבוצות העלתה את המחיר שלה ל-20, כדי לאותת “בואו נתקדם”. שתי הקבוצות האחרות שהתחילו ב-20-20 הדרדרו לשני סיבובים רצופים של 10-10. במשחק “שלי” שיחקנו 20 גם בסיבוב השני אך קיבלנו 10 מהקבוצה השניה. לכן החלטנו להעניש אותם ב-10 בסיבוב השלישי, ולהפתעתנו הקבוצה שמולנו שיחקה 30 בסיבוב השלישי, ומאוחר יותר הסבירו זאת בכך שרצו לאותת כי הם רוצים להמנע מנקודת הקפאון של 10-10.

בשלב הזה התאפשר משא ומתן בין הקבוצות המתחרות. כמו כן נמסר כי עקב המצב בקפיטה, ההכנסות בסיבוב הרביעי יהיו כפולו מהרגיל.

מה קרה לאחר המשא ומתן? שתי קבוצות של משחק מספר 3 סיכמו על 30-30 ועמדו בסיכום בשלושת הסיבובים הבאים.

שתי הקבוצות של משחק מספר 1 סיכמו גם הן על 30-30, אך אלבה לא עמדה בסיכום, וכבר בסיבוב הראשון אחרי המו”מ “הכניסו” לבתיה 10, וגרפו 30 מליון בעוד שהכנסות בתיה צנחו ל-4 מליון. בסיבוב הבא הם שיחקו 10-10, ובסיבוב שלאחריו אני אלבה כנראה חשו רגשות אשמה על הבגידה שני סיבובים קודם לכן, ובהניחם כי בתיה תשחק שוב 10 קבעו את מחיר הנפט שלהם ל-20, כסוג של פיצוי לבתיה על הפסדיהם בסיבוב הרביעי. האם זה השתלם? אם תעשו חשבון תגלו כי אלבה הרוויחו מכל התרגיל 3 מליון דולר. האם זה היה שווה את המשקעים שנוצרו בעקבות הפרת האמון?

אצלנו, לעומת זאת הדברים התפתחו אחרת. אני נשלחתי כנציג הקבוצה שלי. לפני שיצאתי למו”מ סיכמנו ביננו כי נציע לקבוצה הבאה שנשחק 2 סיבובים 20-20 ואחר כך נעלה ל-30-30. לא היינו מעוניינים להציע לשחק מייד 30-30, משתי סיבות: ראשית, היו לנו חששות לאור ה-10 ששוחק מולנו בסיבוב השני. שנית, הפיתוי לסטות מ-30-30 גדול מדי. לכן כשבעת המו”מ הקבוצה שמולנו הציעה שנתאם את מחיר הנפט ונקבע אותו על 30 דולר סירבתי, והעליתי את ההצעה שלנו. הנציגה שמולי אמרה לי כי אין לה סמכות לקבל החלטה על כך. לכן הבהרתי כי בסיבוב הבא נשחק 20, ונמשיך לעשות כן כל עוד הם ישחקו 20 גם הם. 2 הסיבובים הבאים לאחר המו”מ התנהלו כצפוי – פעמיים 20-20. אבל בסיבוב שלאחר מכן חלה התפתחות מעניינת. שתי שותפותיי לקבוצה דרשו להוריד את מחיר הנפט ל-10, ולאחר דין ודברים נאלצתי לקבל את הכרעתן. הקבוצה שמולנו העלתה את המחיר ל-30, כי הבינו שאנו בכל זאת נעלה את המחיר ל-30 אחרי שני סיבובים ב-20. התוצאה: משבר אמון. אחרי המשחק התברר לי כי בקבוצה שמולי שיחק אדם שאני עובד איתו באופן סדיר, וגם מי שהייתה המנהלת שלי במשך יותר מ-4 שנים (עד שקודמה לתפקיד בכיר יותר). מייד שנפגשנו בסיום המשחק (במהלך המשחק ישבנו בחדרים נפרדים) הם שאלו אותי “איך עשיתי להם כזה דבר”. לא נעים.

בתום הסיבוב השישי הודיעו לנו כי תנאי המשחק משתנים שוב: בשני הסיבובים האחרונים, השביעי והשמיני, הכנסותיה של הקבוצה שתציע מחיר נמוך יותר יוכפלו פי ארבע (אם שתי הקבוצות קובעות את אותו המחיר, ההכנסות נשארות ללא שינוי), וזאת בגלל המצב במדינת קפיטה. כמו כן, התאפשר לנו לקיים עוד מפגש עם נציג הקבוצה שמולנו. הפעם סירבתי לצאת למו”מ, בעקבות התקרית שחוללנו בסיבוב השישי.

מהן האפשרויות שעמדו בפנינו? אפשרות אחת היא לשחק 30-10 ואחר כך 10-30. כך הקבוצה שתשחק 10 בסיבוב השביעי תרוויח 60 מליון והקבוצה שתשחק 30 תרוויח 2 מליון, ובסיבוב שלאחר מכן מתחלפים. באפשרות הזו כל קבוצה תרויח סך של 62 מליון בשני הסיבובים האחרונים. אם משחקים 30-20 ואח”כ 20-30, כל קבוצה תרויח 74 מליון, ואם משחקים 10-20 ואח”כ 20-10, כל קבוצה תרויח 63 מליון. כיוון שהאפשרות של 30-10 כמעט זהה לאפשרות של 20-10 היא ירדה מהפרק, והאופציה שנדונה ברצינות היא האופציה של 20-10, שוב, בגלל שהפיתוי לבגוד כאשר מנסים לשחק 30-10 גדול מדי.

השאלה העיקרית היא – מי יהיה ראשון? כלומר, איזה צד יזכה להציע את המחיר הנמוך בסיבוב השביעי, ואז הצד שכנגד ייאלץ לסמוך עליו כי יקיים את חלקו בהסכם בסיבוב השמיני? כולם רצו להיות ראשונים, גם הנציגה שלנו שיצאה למו”מ מול נציג הקבוצה שמולנו. אולם היא לא זכתה לנהל מו”מ של ממש. הנציג של הקבוצה השניה הודיעה לה כי הוא ישחק 10 בסיבוב השביעי בכל מקרה. לנו רק נותר לבחור אם נשחק בסיבוב השביעי 10 או 20. אם נשחק 20, הובהר לנו, אזי הקבוצה שמולנו תשחק 20 בסיבוב השמיני ותאפשר לנו לרבע את הכנסתנו ממשחק 10 בסיבוב השמיני. אם נבחר ב-10 בסיבוב השביעי, אז הם ישחקו 10 גם בסיבוב השמיני. אכן, מידה כנגד מידה.וכך היה: שיחקנו 20 בסיבוב השביעי, 10 בשמיני, וגרפנו 63 מליון. אותו מהלך קרה פחות או יותר (אם כי איני יודע את פרטי המו”מ) במשחק נוסף.

במשחק השלישי חלה התפתחות מעניינת. סוכם שם לשחק 20-30 ואח”כ 30-20, אולם הקבוצה שהייתה אמורה לשחק 30 בסיבוב השביעי טעתה ושיחקה 20 בטעות. התוצאה: 20-20, אף קבוצה לא קיבלה את הבונוס. בסיבוב השמיני, הקבוצה שנבגדה כמובן הורידה את המחיר ל-10, והקבוצה שטעתה העלתה את המחיר ל-30, כדי לפצות את הקבוצה שמולם על הטעות שעשו.כאן המשחק היה אמור להסתיים, וכאן באה עוד הפתעה: סיבוב נוסף. המסר: תמיד יש טווח ארוך. דובי הסביר זאת היטב בתגובה שלו לרשימה שלי על החוויות  מדילמת האסירים שפרסמתי לפני כשנה:

האיטרציה של המשחק לא באמת נגמרה אחרי הפעם העשירית. המשחק הזה היה מוטמע בתוך משחק אחר, הרבה יותר משמעותי בתועלות ובהפסדים הפוטנציאליים שלו. כאמור, אם המשחק היה על סכום כסף משמעותי, ובמיוחד אם המשחק היה עם זרים גמורים, סביר להניח שהתוצאות היו שונות בעליל. ההטמעה של המשחק במשחק החברתי הגדול יותר של מקום העבודה יצרה את התנאים הדרושים לקיומו של אמון – שבלעדיו אין משמעות לעצם יצירת התקשורת ביניכם.

עוד שלוש הערות לסיום:

בדפים שקיבלנו היה מקום לרשום את מהלי המשחק והרווחים של כל אחת מהקבוצות בכל סיבוב. מעניין שכולם, פרט למשתתפת אחת, מילאו באדיקות את כל הנתונים וחישבו את רווחי הקבוצה המתחרה, למרות שנאמר לנו בפירוש כי אנו אמורים להיות אדישים לרווחי הקבוצה שמתחרה מולנו. מתברר יכ יצר התחרות חזק מההוראות.

שנית, מתברר שהתחרות בין אלבה ובתיה הועילה להן, אך לא לקפיטה. כזכור, במצב שהיה קיים לפני תחילת המשחק, מחיר הנפט היה 20 דולר לחבית. לו נשמר המחיר בכל 8 סיבובי המשחק, אלבה ובתיה היו מכניסות 72 מליון דולר כל אחת (וקפיטה הייתה משלמת 144 מליון דולר). בפועל, הקבוצה שלי, בתיה, הרוויחה 128 מליון דולר וקבוצת אלבה שהתמודדה מולנו שלשלה לקופתה 114 מליון. קפיטה שילמה בסך הכל 98 מליון דולר יותר מאשר הייתה משלמת לו לא הייתה תחרות בין שתי ספקיות הנפט שלה. בעקבות הדיון בתגובות עם דובי, אני כבר לא בטוח בדברים האלה, ולכן הן נמחקו. ברור שחלק מההכנסות גדלו עקב סיבובי הבונוס (שעל פי סיפור המסגרת נבעו מבעיות בקפיטה – מזג אויר קשה ותקלה בכור הגרעיני שהביאו להגדלת הביקוד ליבוא נפט). אבל גם אם מוציאים אותם מהחישוב, לא ברור מה קורה. בכל מקרה, אני לוקח את דבריי בחזרה, ומודה לדובי על קריאתו הביקורתית והערותיו המועילות.

ולסיום – דבר שכבר עמדתי עליו במהלך הרשימה אבל נראה לי שחשוב להדגיש אותו: גם כאשר אין ערוץ תקשורת בין המשתתפים במשחק, ניתן בהחלט להעביר מסרים בין הקבוצות, על ידי המהלכים שמשחקים. מי שמשחק ברידג’ מכיר את הרעיון הזה היטב. המעשים שלנו מהווים מסר בפני עצמם, ולא רק הדברים שאנו אומרים. התובנה הזו מסבירה גם את התפקיד שיש במשחק למחיר של 30 דולר לחבית (ואני מודה כי הבנתי זאת רק בסיום המשחק, לא בתחילתו). באמצעות קביעת מחיר של 30 ניתן לאותת לקבוצה השניה על רצון טוב, וגם לפצות אותה על מעשים שאנו מצטערם עליהם, בין אם עשינו זאת בכוונה ובין אם לאו. כשאר מחקתי את העמודה והשורה של ה-30 מטבלת המשחק, עשיתי מעשה נכון מבחינה מתמטית, אבל לא בהכרח מעשה נכון מבחינת התנהלות.

גיל קלעי כותב על פוליטיקה ורציונליות

היום התפרסם ב”הארץ” מאמר מאת גיל קלעי, פרופסור למתמטיקה וחבר במרכז לחקר הרציונליות באוניברסיטה העברית בירושלים, שכותרתו “על פוליטיקה ורציונליות”. קלעי סוקר מספר מהלכים פוליטיים, וביניהם גם התנהלותה של הילרי קלינטון במירוץ מול ברק אובמה להשגת המועמדות לנשיאות ארה”ב.

כצפוי, מאמר של חוקר מהזרם המרכזי של תורת המשחקים הוא בהכרח שיר הלל לרציונליות. הילרי קלינטון פעלה באופן רמיונלי לגמרי במסע הבחירות שלה, טוען קלעי. בנימין נתניהו וציפי לבני פעלו ברציונליות כשהכריזו, שניהם, על ניצחון בליל הבחירות, מסביר קלעי. “תומכי מרצ שהצביעו לקדימה לא נהגו בחוסר רציונליות”, כותב קלעי, ומסביר מדוע. “מובן שגם תומכי מרצ שהצביעו מרצ פעלו באופן רציונלי”, מוסיף קלעי.

רגע, אני פיספסתי משהו. תומך מרץ שהצביע עבור מרץ פעל באופן רציונלי, את זה אני מבין. גם תומך מרץ שלא הצביע עבור מרץ אלא עבור מפלגה אחרת (קדימה, במקרה הזה) פעל באופן רציונלי? איכשהו זה לא מסתדר לי.

אני מניח שלפרופסור קלעי יש איזשהו הסבר כדי ליישב את הסתירה הזו. אני מניח שחלק מקוראיי יטרחו ויסבירו לי מדוע אין כאן שום סתירה (אולי אני לא בוחן את דבריו של קלעי באופן רציונלי?)

קוראיי הותיקים יודעים בודאי שאני לא תומך של הטענה כי אנשים תמיד מקבלים החלטות באופן רציונלי. מקבל החלטות רציונלי עושה את החיים של אנשי תורת המשחקים והמודלים הכלכליים הרבה יותר קלים. אבל יש עדויות כבדות משקל נגד הטענה הזו. דניאל כהנמן זכה בפרס נובל לכלכלה על מחקריו המשותפים עם עמוס טברסקי ז”ל, שהראו כיצד החלטות לא מתקבלות באופן רציונלי אצל בני אדם, ואף פירטו את מנגננוני ההטיה המרחיקים את מקבל ההחלטות האנושי מההחלטה שהיה מקבל “האדם הרציונלי”.

לכן אני סבור כי מסקנתו של פרופ’ קלעי, כי התנהלות הפוליטיקאים אצלנו איננה התנהגות בלתי רציונלית, אלא קושי בקבלת החלטות בתנאי אי ודאות, גורפת מדי. אני חושש שיש לנו דוגמאות רבות מדי של התנהגות בלתי רציונלית של פוליטיקאים. נכון, לא כולם, אבל ההתנהלות הנוכחית במשא ומתן להרכבת הממשלה (שהיא הטריגר לכתיבת המאמר של קלעי) בהחלט מראה כי חלק מהשחקנים אינם פועלים באופן רציונלי.

עדכון שפן הבייסבול

לפני מספר שבועות כתבתי כאן על משחק השפן שמשחקים כוכב הבייסבול מני רמירז וסוכנו סקוט בוראס מול קבות הלוס אנג’לס דודג’רס. כזכור רמירז דחה שתי הצעות שהוצעו לו על ידי הדודג’רס: תחילה דחה הצעה של 45 מליון דולר לשנתיים, אחר כך דחה הצעה של 25 מליון דולר לשנה.

הבוקר דווח כי הדודג’רס חזרו עם הצעה חדשה: שוב 45 מליון דולר לשנתיים, אך באופן שהשחקן יקבל סכום גדול יותר בשנת 2009 לעומת הסכום שהיה אמור לקבל בהצעה הראשונית. בעידן שבו הריבית קרובה ל-0 זה לא משהו, אבל עדיין מדובר בשיפור לעומת ההצעה הקודמת. עד כה לא דחה רמירז את ההצעה. האם העובדה שאימוני האביב כבר החלו בשבוע שעבר והדודג’רס כבר שיחקו אתמול את משחק הידידות הראשון שלהם גורמת לכוכב העל וסוכן העל שלו ללחוץ על הגז קצת יותר בעדינות? אמשיך לעקוב ולדווח.

עדכון: הבוקר (27.2.2009) דחה רמירז גם את ההצעה הזו.

עדכון מאוחר (שבת 7.3.2009): בתאריך 4.3.2009 חתמו רמירז והדודג’רס על חוזה חדש, לפיו רמירז ישחק בשנתיים הבאות בשורות הדודג’רס ויקבל תמורת שירותיו 45 מליון דולר. היה שווה לחכות.