חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'ספרים וסרטים'

17 משוואות ששינו את העולם

לפני כשנה קראתי את הספר “17 משוואות ששינו את העולם” מאת איאן סטיוארט, וכתבתי את רשמיי בסדרת ציוצים בטוויטר. פוסט זה מבוסס על סדרת הציוצים ההיא וסוקר את שבעת הפרקים הראשונים של הספר. למה רק שבעה? התשובה בסוף הפוסט.

לפני הכל, כמה מילים על המחבר. בשתי מילים: איאן סטיוארט. סטיוארט הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת וורוויק באנגליה. הוא כתב הרבה ספרים העוסקים במתמטיקה שמיועדים לקהל הרחב, ואני מברך אותו על כך. קראתי מספר ספרים שהוא כתב, והם נמצאים על מדפי הספרייה שלי. הוא יודע מתמטיקה, והרבה, אין ספק. גם בפיזיקה הוא לא קוטל קנים. אבל לדעתי יש לו בעיה ככותב. הוא טרחן ונסחף בקלות. הוא רוצה לספר סיפורים, וזה מצויין, אבל לעיתים הוא סוטה מהנושא, ו/או נכנס לדיונים טכניים מיותרים. בספר הזה יש עוד בעיות, לדעתי לפחות.

הפרק הראשון של הספר עוסק במשפט פיתגורס.  סטיוארט  מסביר כמובן מה המשפט אומר ומסביר מה השימושים שלו. זה אכן משפט מאוד שימושי, וסטיוארט מפרט את ההתפתחות בשימושים שלו לאורך השנים. סטיוארט גם סוקר את ההיסטוריה של המשפט, שהיה מוכר עוד הרבה לפני תקופתו של פיתגורס.

הוא מנצל את ההזדמנות לדון גם באוקלידס ובגאומטריה שפיתח, ואז מתחילות הבעיות. כאשר הדיון הגיע אל האקסיומה החמישית של אוקלידס, הלא היא אקסיומת המקבילים. סטיוארט לא מצליח להסביר באופן בהיר מהי המשמעות שלה, אלא נתפס לניסוח המסורבל של אוקלידס. הוא מציין כי לא ניתן להוכיח את האקסיומה מתוך האקסיומות שקדמו לה, וזה נכון, אבל שוכח משום מה להזכיר כי גם לא ניתן לסתור אותה, וזה כל העניין כאן. העובדה שהאקסיומה בלתי תלויה באקסיומות האחרות היא מה שמאפשרת את החלפתה באקסיומה אחרת. זה שלא מצליחים להוכיח משהו לא מספיק כדי להצדיק את זניחתו. מכיוון שלא הבהיר כהלכה את הנקודה הזו הוא גם לא נותן קרדיט לניקולאי לובצ’בסקי שהוכיח את אי תלות האקסיומה באקסיומות הקודמות. ברנרד רימן ופועלו, לעומת זאת, זוכים אצלו לתיאור נרחב, אבל כאן הפרק מתדרדר. ההסברים שלו הופכים להיות יותר ויותר טכניים. אני לא יכול להעיד על כל ציבור הקוראים, אבל אני באופן אישי נשברתי ודילגתי על כל הקטעים האלה והמשכתי לפרק הבא.

מה חסר לי בפרק הזה? לפיתגורס ולכת המתמטיקאים שלו הייתה בעיה קטנה: אם יש משולש ישר זווית שאורכי הניצבים שלו שווים שניהם ל-1, אז אורך היתר צריך להיות שווה לשורש של 2. השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי, ופיתגורס סירב להכיר בקיומם של מספרים כאלה. אני לא זוכר את כל פרטי ההתמודדות של פיתגורס וחבריו עם המציאות הלא נעימה הזו, אבל האגדה מספרת כי הם הוציאו להורג את האיש שהוכיח כי השורש של 2 הוא מספר אי רציונלי. לדעתי היה מקום לדון כאן בעניין הפעוט הזה, אבל אולי יהיה מקום לדון בזה בהמשך הספר.

הפרק השני, העוסק בלוגריתמים, כתוב היטב. המשוואה/נוסחה היא שהלוג של a כפול  b שווה ללוג של a ועוד הלוג של b. לא להיבהל. סטיוארט מסביר כי הרעיון הוא שיש דרך להפוך פעולת כפל, שהינה מסובכת יחסית, לפעולת חיבור, שהיא קלה יותר לביצוע. אתם מוזמנים להיווכח בעצמכם: נסו להכפיל 24 ב-12 בלי מחשבון, רק עם נייר ועיפרון, ואחר כך תנסו לחבר את שני המספרים האלה.

סטיוארט סוקר את ההיסטוריה של הרעיון, שהגה המתמטיקאי החובב ג’ון נפייר, ושופצר על ידי המתמטיקאי הנרי בריגס. אחר כך הוא מסביר את הרעיון בצורה מאוד בהירה. הוא ממשיך בתיאור של סרגלי החישוב , שהם יישום מכני של עקרון הלוגריתמים, שהיו נפוצים כמעט עד סוף המאה הקודמת[1] , וזה תיאור קצת טכני מדי לטעמי. הוא מסיים בשני שימושים עדכניים לפונקציית הלוגריתם. הראשון הוא חישובי דעיכה רדיואקטיבית בהקשר של תאונת הכור הגרעיני בפוקושימה (כתוב היטב). היישום השני, מדידת עוצמת הקול/צליל/רעש, על ידי סולם הדציבל, כתוב באופן קצת מסורבל לטעמי.

מה היה חסר לי בפרק הזה? ובכן, אני לא יודע איך המחשבים/מחשבונים של ימינו מבצעים פעולות כפל. מהו האלגוריתם? האם האלגוריתם משתמש בלוגריתם? אני חושב שזה היה יכול לעניין את הקוראים.

הנוסחה של הפרק השלישי היא נוסחת הגדרת הנגזרת. כצפוי, סטיוארט נותן תיאור של ההיסטוריה הלא כל כך ארוכה של מושג הנגזרת, ומזכיר, בין היתר את פייר דה פרמה ואת ג’ון ואליס. הוא מסביר באופן יפה את הרעיון על ידי הדגמה של בעיית חישוב המהירות הרגעית של גוף, שהייתה גם הבעיה שנתנה לאייזק ניוטון את המוטיבציה לפיתוח התיאוריה. הוא עובר מכאן לתיאור נרחב של בעיית התנועה וסוקר את הגישות אליה, החל מאריסטו ועד ניוטון, כמובן. הוא מסביר באופן מתקבל על הדעת את שלושת חוקי התנועה של ניוטון, באופן פחות מתקבל על הדעת כיצד בעזרת חוקים אלה ניתן לחשב את מהירותו של גוף על ידי מהירותו ההתחלתית, התאוצה שלו והזמן שעבר – זו לא גזירה אלא אינטגרציה, ואחר כך מסתבך לגמרי בניסיון להסביר מה זה תנע. תוך כדי כך הוא גם משחיל דיון קטן על גרביטציה. בנוסף, הוא דן גם במושג האנרגיה. הוא גם מתייחס ללייבניץ, שכידוע פיתח את החשבון הדיפרנציאלי באופן בלתי תלוי ובערך באותו זמן כמו ניוטון. סטיוארט, אנגלי, טוען שניוטון זכאי לקרדיט גדול יותר מכיוון שהוא פיתח את הרעיון בקונטקסט פיזיקלי, בעוד שהקונטקסט של לייבניץ היה יותר “מתמטי טהור”, whatever it means.

סטיוארט לא מתעלם מהפיל הגדול שבחדר, עליו הצביע כבר בימי ניוטון הארכיבישוף ברקלי[2] . במתמטיקה של ניוטון, וגם בזו של לייבניץ, יש כשל לוגי חמור. אסביר: בנוסחאות מתמטיות, אותיות מסמלות מספרים. אחת האותיות בסימון של ניוטון היא האות o. ניוטון, וגם לייבניץ, מניחים במפורש כי o חייב שונה מאפס[3].  כדי ליישם את הנוסחה, יש צורך לבצע כל מיני מניפולציות אלגבריות: חיבור, חיסור, כפל, וחילוק. בפרט, בשלב מסויים חייבים לחלק ב-o, וזה בסדר גמור כי כזכור  o שונה מאפס. בסוף מקבלים משהו שכולל בתוכו את o, ואז ניוטון, ולייבניץ אומרים משהו כמו “עכשיו o יהיה שווה לאפס”. זה לא הולך ככה. אי אפשר שמשהו יהיה שונה מאפס כשזה מתאים לך ואחר יהיה בכל זאת שווה לאפס כי הנסיבות השתנו ועכשיו זה יותר מתאים לך. את הכשל הלוגי הזה התחילו ליישב רק לקראת סוף המאה ה-18, כאשר המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין קושי הציג את מושג הגבול. סטיוארט נכשל לחלוטין בניסיון להסביר את מושג הגבול, אבל אני לא מאשים אותו. זה קשה.

מה עוד? סטיוארט מתאר כמה יישומים נוספים של מושג הנגזרת, אבל הוא מתעלם מהשימוש העיקרי: אופטימיזציה, כלומר מציאת נקודות מינימום או מקסימום של פונקציה. הנגזרת מאפשרת למצוא את הנקודות האלה גם באופן ישיר וגם באופן עקיף על ידי חישוב נומרי (בשיטות כמו ניוטון-רפסון,gragient decent  ודומותיהן). לשיטות האלה יש שימוש מרכזי בסטטיסטיקה ובתחום הבינה המלאכותית.

מי חסר בפרק הזה? אלברט איינשטיין. אני לא מבין איך אפשר לדון כל כך הרבה בחוקי התנועה של ניוטון ולהתייחס אליהם כנקודה האחרונה בתהליך המחשבתי שנמשך דורות. התהליך המשיך גם אחרי ניוטון. לאיינשטיין היה חלק מכריע בהרחבת התיאוריה של ניוטון. אי אפשר להתעלם ממנו. אבל סטיוארט התעלם.

הפרק הרביעי של הספר עוסק בחוק הכבידה של ניוטון. במילים מאוד לא מדוייקת, החוק אומר כי כח המשיכה של גופים גדול יותר ככל שהמסה שלהם גדולה יותר, וההשפעה של כח המשיכה הולכת ונחלשת ככל שמתרחקים מהגוף המושך. מחבריי הפיזיקאים אני מבקש סליחה, אבל התיאור הזה מתאים לצרכי הטוויטר.

סטיוארט לא מדבר יותר מדי על המשוואה עצמה. הוא מביא סקירה היסטורית רחבה של תפיסת מבנה היקום, החל מהבבלים, דרך תלמי, כל הדרך עד לקפלר. הוא מתאר את סיפור התפוח המפורסם שנפל על ראשו של ניוטון כאשר נח תחת עץ (האמת היא שזה לא קרא באמת אלא שניוטון השתמש המטאפורה הזו כדי להסביר חלק מהרעיון). סטיוארט גם מדגיש כי חוק הכבידה הוא אוניברסלי – המשיכה קיימת בין כל שני גופים ביקום, וזו נקודה חשובה. מה עוד? הוא מתאר באריכות את המחלוקת בין ניוטון ורוברט הוק בעניין הקרדיט לגילוי חוק הכבידה. הוק כנראה ידע את זה לפני ניוטון, אבל ניוטון נתן את הניסוח המתמטי המדוייק, וגם נתן קרדיט להוק על התרומה שלו בספרו, ולכן הקרדיט המלא אכן מגיע לניוטון. סטיוארט מסביר בקצרה את המשמעות של חוק הכבידה בחישובי מסלולים של חלליות ולוויינים, ועובר לדיון ארוך ומייגע בתיאוריה/ספקולציה של חורי התולעת.

נחמד, אבל כאן יש לי כמה הערות: ראשית, סטיוארט כותב כי החוק מדגים את היכולת של המתמטיקה למצוא תבניות נסתרות ביקום ולגלות פשטות החבויה במורכבות של היקום. אני לא כל כך מסכים עם האמירה הזו. החוק של ניוטון הוא לדעתי מודל פשוט מאוד של היקום שנגזר מתוך תצפיות. אין עוררין על כך שהמודל הזה הוא ציון דרך סופר חשוב במדע, אבל התצפיות על היקום הובילו לתיאור המתמטי ולא להיפך. וכפי שהתברר לאחר זמן לא ארוך, כשמנסים לבנות מודל מתמטי שיתאר את כוחות המשיכה ההדדיים בין 3 גופים, המתמטיקה לא כל מצליחה לעשות את זה, בטח לא בקלות ובפשטות כמו החוק של ניוטון.

שנית,  סטיוארט כותב במקום אחד כי ניוטון פיתח את החוק/מודל שלו מתוך חוקי קפלר, ובמקום אחר הוא כותב כי ניוטון גזר את חוקי קפלר מתוך חוק הכבידה שלו. זה לא מסתדר לי ביחד. כפי שאני הבנתי מהציטוטים שסטיוארט הביא מדברי ניוטון, הטענה הנכונה היא הטענה הראשונהת ואזכיר את אמירתו של ניוטון עצמו כי הרחיק ראות מכיוון שעמד על כתפי ענקים.

ושוב: מה עם איינשטיין? איך אפשר לדבר על כבידה בלי להזכיר את איינשטיין?

המשוואה של הפרק החמישי אומרת כי i בריבוע שווה למינוס אחד.

זו בהחלט נקודת התחלה טובה לתיאור של המספרים המרוכבים. הבעיה הראשונה: זו לא המשוואה ששינתה את העולם בהקשר הזה, אלא משוואה אחרת. מצד שני, המשוואה הזו הרבה יותר פשוטה, ולכן אני לא מבקר את סטיוארט בעניין הזה.

סטיוארט מתחיל בתיאור של איטליה בתקופת הרנסנאס ואז עובר למשוואות אלגבריות. הוא חוזר אחורה בזמן אל הבבלים שידעו לפתור משוואות ריבועיות, ועובר לתקופה מאוחרת יותר בה החלו הניסיונות לפתור משוואות יותר מסובכות, כאלה שמכילות גם איקס בשלישית. הוא מציין מספר מתמטיקאים, בעיקר ערבים, שמצאו פתרונות חלקיים, כולל אל-ח’ואריזמי שמשמו נגזרה המילה אלגוריתם, ומקור המילה אלגברה הוא מכותרת ספרו “חיסאב אל-ג’אבר ואל-מוקאבלה” שיצא לאור בשנת 830. לבסוף חוזר אל איטליה והרנסנאס, ועורך לנו היכרות עם ג’ירולמו קרדאנו, איש רב פעלים ומעללים.

קרדאנו מופיע בסיפור כי הוא גילה/מצא את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה השלישית, ובמשותף עם תלמידו לודוביקו פרארי מצאו את הפתרון הכללי למשוואה מהמעלה הרביעית, כלומר משוואה שמופיע בה X בחזקת 4.

הנוסחה של הפתרון הכללי של המשוואה מהמעלה השלישית היא זו ששינתה את העולם. כמו נוסחת הפתרון למשוואה הריבועית, גם הנוסחה הזו כללה בתוכה הוצאת שורשים. אבל, לפעמים היה צורך להוציא שורש ממספר שלילי, וזאת כידוע בעיה.

פרארי פתר את הבעיה בכך שהתעלם ממנה. שורש של מספר שלילי? נו פרובלם, נמשיך כאילו כלום. מה איכפת לי אם יש שורש של מינוס ארבע עשרה? נמשיך הלאה ובסוף הוא יצטמצם, ומקבלים תשובה נכונה.

כאן נפתח הפתח אל המספרים המדומים, ומהם מגיעים אל המספרים המרוכבים. סטיוארט מתאר איך הרחיבו את המתמטיקה כדי לכלול בתוכה את המספרים האלה, ועל הדרך מספר כי e בחזקת i כפול π שווה למינוס 1. זוהי נוסחה מדהימה בלי כל ספק, אולי הנוסחה הכי יפה בכל המתמטיקה. סטיוארט מנסה להסביר איך מגיעים לשוויון הזה, אבל כושל.

בהמשך, סטיוארט אומר בקצרה שבעזרת מספרים מרוכבים אפשר לפתור משוואות דיפרנציאליות בקלות (יחסית, הכל יחסי) ואת ההשפעה העצומה של זה על התפתחות הטכנולוגיה. הוא גם מזכיר כמה אנשים שנתנו פרשנות גיאומטרית למספרים המרוכבים, כמו ואליס וגאוס, מסביר איך המילטון פיתח את ההגדרה הפורמלית, וזהו.

מה???

הנה כמה דברים שחסרים. קודם כל, זוכרים את הפרק על משפט פיתגורס? אם כבר מדברים על הרחבות של מערכת המספרים, מה עם המספרים האי רציונליים? תהיתי כבר אז, וחשבתי שהם ייכנסו במקום אחר. הפרק הזה, שבו מדברים על פתרון משוואות אלגבריות בעזרת שורשים יכול להיות מקום מצויין לדון בהם. אבל מספרים אי-רציונליים – יוק.

הנה עוד יוק אחד: סטיוארט מציין כי קארדנו ופרארי לא ידעו לפתור משוואה כללית מהמעלה החמישית, ומציין ביובש כי פיתרון כזה לא קיים, וזהו. לדעתי היה מקום לומר עוד כמה מילים או פסקאות בנושא, ולפחות להזכיר את אווריסט גלואה ואת נילס אבל. סטיוארט לא חשב שזה חשוב או מעניין.

היוק השלישי: איך אפשר לכתוב פרק שלם על המספרים המרוכבים ולהזכיר את גאוס בפחות מרבע משפט? הוא מתעלם לחלוטין מהתרומה העצומה של גאוס לתחום. המשפט  היסודי של האלגברה, מישהו?

לדעתי סטיוארט נכשל בפרק הזה בגדול.

הפרק השישי עוסק בנוסחת הפאונים של ליאונרד אוילר: לכל פאון, מספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים שווה ל-2.

אסביר: פאון הוא גוף הנדסי שמורכב ממשטחים, למשל קובייה או פירמידה.

קחו קובייה ותבדקו: לקובייה יש 6 פאות (כלומר 6 צדדים). כל שתי פאות מופרדות על ידי צלע, ובסך הכל יש לקובייה 12 צלעות. הצלעות נפגשות בקודקודים. לקובייה יש 8 קודקודים. 6 פחות 12 ועוד 8 שווה ל-2.

זה נכון גם לפירמידה. לפירמידות במצרים יש בסיסים מרובעים, ולכן לכל פירמידה יש 5 פאות: הבסיס המרובע ועוד 4 משולשים. קל להשתכנע כי לפירמידה יש 8 צלעות: 4 צלעות הבסיס, ועוד ארבע צלעות שמחברות את בסיס הפירמידה לקודקוד שלה. לסיום, לפירמידה יש 5 קודקודים: 4 בבסיס ועוד אחד בראש הפירמידה. 5 פחות 8 ועוד 5 שווה ל-2. קסם! את הנוסחה הזו הוכיח כאמור אוילר.

סטיוארט מסביר את רעיון ההוכחה, ואני אתרכז רק בפרט אחד, אבל חשוב: הרעיון הוא שלוקחים קובייה או פירמידה שעשויים מפלסטלינה, מכווצצים אותה לצורה של כדור או משהו דומה (ואיכשהו הפאות, הצלעות והקודקודים נשארים מסומנים). מה שחשוב הוא שפעולת הכווצוץ היא רציפה: אסור לקרוע את הפלסטלינה, וגם אסור להדביק קצה אחד של הגוש לקצה אחר. תוך כדי הכווצוץ מבצעים כל מיני פעולות על הגוש, ומסירים צלעות או קודקודים באופן כזה שמספר הפאות פחות מספר הצלעות ועוד מספר הקודקודים לא משתנה. למשל, אם הכווצוץ ידביק שני קודקודים זה לזה, אז שני הקודקודים יתמזגו לקודקוד אחד, אבל גם הצלע שמחברת אותם תיעלם, ולכן ההפרש בין מספר הצלעות ומספר הקודקודים לא משתנה.

ועכשיו יש טוויסט בעלילה: קחו מסגרת של תמונה. גם לה יש פאות וצלעות וקודקודים, אבל אם תחשבו את מספר הפאות של המסגרת פחות מספר הצלעות שלה ועוד מספר הקודקודים שלה לא תקבלו 2 אלא 0. הסיבה לכך היא שבמסגרת יש חור.

וכך, בשישה ציוצים, או בכמה דפים בספר, קיבלתם את ה-א”ב של הטופולוגיה. עד כאן סטיוארט עשה עבודה מצויינת. אבל כרגיל, הוא לא יודע לפרוש בשיא, וכותב כמה עמודים טובים (12 עמודים בעצם, ספרתי) של כניסה לפרטים טכניים, בשפה לא מובנת לאדם פשוט כמוני. אני אחסוך מכם את המעט שקראתי מתוך העמודים האלה.

לסיום, סטיוארט מנסה להסביר למה המשוואה הזו שינתה את העולם. האמת, המשוואה הזו שינתה בעיקר את עולם המתמטיקה בהיותה אבן היסוד לתחום הטופולוגיה. הוא מציין, ובצדק, שלטופולוגיה אין יישומים ישירים, אבל אומר משהו על פיזיקת קוונטים, ומבנה הד.נ.א.

הפרק השביעי עוסק, או אמור לעסוק, בהתפלגות הנורמלית. אני מניח שאתם מכירים אותי מספיק טוב כדי שלא תופתעו אם אומר לכם שהפעם באמת התעצבנתי. לכן הסקירה של הפרק הזה תהיה ארוכה, למרות שהתאפקתי מאוד כשכתבתי את הטיוטה לציוצים בטוויטר. מתנצל מראש.

בעיה ראשונה: בעמוד הראשון של כל פרק מופיעה המשוואה שהפרק אמור לדון בה, עם כל מיני הסברים. המשוואה שסטיוארט מציג בפרק הזה היא פשוט שגויה. לא נכונה מבחינה מתמטית. אין שום דרך לייפות את זה. השגיאה נמשכת גם בטקסט: הוא מבלבל בעקביות בין המונחים הסתברות והתפלגות (וגם צפיפות, למרות שהוא לא מזכיר את המונח).

אבל זאת לא סיבה להפסיק לקרוא כמובן. סטיוארט החליט להקדיש את כל הפרק הזה להסתברות וסטטיסטיקה, וכרגיל הוא מתחיל בסקירה היסטורית מבולבלת. הוא קופץ מקרדאנו אל לפלאס, יעקב ברנולי, קטלה, דה-מואבר, לז’נדר (תיכף ארחיב עליו), פרמה ופסקל, וסליחה אם שכחתי מישהו. אה, כן, שכחתי את גאוס. תיכף נגיע גם אליו.

נתחיל את סקירת הפרק בלז’נדר. סטיוארט מציין, ובצדק, שלז’נדר הוא שפירסם ראשון את שיטת הריבועים הפחותים, ונותן לו את כל הקרדיט על כך. מה עם גאוס? סטיוארט לא מתלהב ממנו. האמת היא שלז’נדר פירסם טכניקה, ללא כל הצדקה למה השיטה שלו עדיפה על שיטה אחרת.

גאוס הוא זה שקשר את שיטת הריבועים הפחותים להתפלגות הנורמלית, והראה מדוע זוהי השיטה האופטימלית להתאמת קו ישר לתצפיות; קוראים לזה משפט גאוס-מרקוב. אנחנו גם יודעים בוודאות כי גאוס הכיר את שיטת הריבועים עוד לפני שלז’נדר פירסם את המאמר שלו, אבל זה לא משנה לסטיוארט. ולמה בכלל קוראים להתפלגות הנורמלית גם בשם התפלגות גאוסיאנית? סטיוארט ממלמל משהו.

סטיוארט עובר לדבר על סיר פרנסיס גאלטון ועל עבודתו בחקר התורשה. כאן הוא דווקא עושה עבודה די טובה, ומתאר בפירוט את מחקריו של גאלטון שהובילו לעדויות האמפיריות הראשונות על תיאוריית האבולוציה של דודו צא’רלס דארווין. הוא מתאר את תופעת הרגרסיה לממוצע ואת הפיתוח הראשוני של מקדם המתאם. יש לו פה ושם אי דיוקים קלים, אבל בסך הכל זה בסדר.

עכשיו הגיע הזמן לסלט. סטיוארט מחליט לדבר על בדיקת השערות, וזורק לתוך הסלט הזה את רונלד פישר, קרל פירסון ובנו אגון פירסון, וכמובן גם את ג’רזי ניימן. אז קודם כל, פירסון האב לא שייך לכאן. אדרבא. הוא התנגד בעקביות לגישה של פישר לבדיקת מובהקות. מי שכן שייך אבל לא מוזכר הוא ויליאם סילי גוסט (הידוע בכינוי student) , הראשון שהגה את התובנה של בדיקת המובהקות, ועבודתו הייתה הבסיס לעבודה של פישר.

סטיוארט מנסה ניסיון אומלל להסביר מה זה בעצם בדיקת השערות. הוא מערבב את הגישה של פישר עם הגישה (המנוגדת) של ניימן ופירסון, ואני חושש שההסבר היחיד לכל הסלט הזה הוא שסטיוארט פשוט לא מבין כאן על מה הוא מדבר. אני לא מאשים אותו. זה קשה. אבל הוא היה יכול אולי להתייעץ עם מישהו שכן מבין. מצד שני, מכיוון ההסבר שלו כל כך מבולבל ומסורבל אני מעריך שאין סיכוי שמישהו יקרא את זה ולא יתייאש, ולכן לא ייגרם נזק.

לאחר הסלט, מה יותר מתאים לקינוח מאשר רגל קרושה? ב-1994 יצא לאור ספר בשם “The bell curve”  שביטא עמדות גזעניות בעזרת ניתוחים סטטיסטיים שגויים ומוטים[4]. סטיוארט מחליט להקדיש לספר האומלל הזה לא פחות מתשעה עמודים, תוך כדי התפזרות לכל מיני כיוונים שלא קשורים בכלל לסטטיסטיקה, או להתפלגות הנורמלית.

מה חסר בפרק הזה? הרבה, אבל אני רוצה להתעכב על דבר אחד חשוב באמת: סטיוארט כותב בתחילת הפרק כי ההתפלגות הנורמלית מהווה מודל טוב להרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי, וזה נכון.

אבל סטיוארט שוכח לציין כי יש הרבה מאוד תופעות מהעולם האמיתי שההתפלגות הנורמלית לא מהווה מודל טוב עבורם. המשבר הפיננסי של 2008 הוא דוגמה טובה, אם מכירים אותה כמובן. הערכת הסיכונים של כל בנקי ההשקעות השתמשו במודל שהתבסס על ההתפלגות הנורמלית, אבל ההתפלגות הייתה התפלגות קושי. אופס.

הדבר שהכי מטריד אותי בעקבות קריאת הפרק הזה הוא עד כמה ניתן לסמוך על סטיוארט בהמשך הקריאה. ככל שהספר יתקדם יהיו בו נושאים שאני פחות ופחות מכיר ומבין. האם אחרי שאקרא את הפרקים האלה אבין משהו בנושאים שלהם? מושגי יסוד? עד כמה הם אמינים? אני ממש לא יודע. ולכן החלטתי להפסיק כאן את הקריאה, והסקירה שלי הגעה לסופה.


הערות
  1. ניתן לראות את תפקידם החשוב של הסרגלים האלה באחת הסצינות הדרמטיות של הסרט “אפולו 13” []
  2. הקשר לאוניבסיטת ברקלי אינו מקרי כלל וכלל. האוניברסיטה והעיר בה היא שוכנת נקראות על שמו []
  3. לא לבלבל בין o ובין 0 ! []
  4. מצטער, אבל אני לא נותן לינק לתועבה הזו []

איך לשקר בעזרת סטטיסטיקה

ב-1954 יצא לאור ספרון בן 142 עמודים לא גדולים, עם הרבה ציורים, שהפך לרב מכר עולמי. למעשה, זהו ספר הסטטיסטיקה הנמכר ביותר בכל הזמנים. כותרתו: How to lie with Statistics“”.

מחבר הספר, דארל האף, לא היה כלל סטטיסטיקאי. הוא היה עיתונאי בהכשרתו, ובשיא הקריירה העיתונאית שלו היה עורך המגזין “Better Homes and Gardens“. עם זאת, חוסר ההשכלה הסטטיסטית של האף לא מנעה מהספר להפוך לטקסט קלאסי. כאשר סטטיסטיקאי אומר לכם על תרגיל הטעיה סטטיסטי כלשהו כי זה “תרגיל מהספר”, הוא מתכוון לספר הזה.

את הספר הזה פגשתי לראשונה כאשר הייתי סטודנט צעיר לסטטיסטיקה בירושלים. העותק שבספריה היה ישן וצהבהב. כבר אז היה מדובר בטקסט בן 30 ומשהו שנים. אולם אז, וגם היום, הטקסט רלוונטי. קראתי אותו בהנאה רבה, ושילבתי דוגמאות שלקחתי ממנו בקורסים שלימדתי במשך השנים. ספר זה גם מהווה עד היום השראה לבלוג שאני כותב. למעשה, אני יכול לומר כי לספר זה הייתה השפעה רבה להתפתחותי כסטטיסטיקאי וכספקן, ובזכותו, בין היתר, פיתחתי את המיומנות לקרוא טקסטים בצורה ביקורתית ולנסות לגלות אם ואיך מנסים לעבוד עלי. כמובן, למי שקרא את הספר הזה זה הרבה יותר קל.

למרות ההתקדמות הרבה בתחום הסטטיסטיקה בשנים שעברו מאז יציאתו לאור, תחום ההונאה בעזרת סטטיסטיקה לא התפתח באותו קצב. רוב ההונאות נעשות בעזרת אותן טכניקות המתוארות בספר.

להלן סקירה קצרה מאוד של תכני הספר, או טכניקות עבודה בעיניים שתוארו בו: מדגמים מוטים, מדדים תיאוריים לא מתאימים (זוכרים את המנהל והפועלים?), הסתרה של פרטים משמעותיים (למשל: התוצאה מתבססת על סקר שנערך בקרב 12 איש)  הבלטה של תוצאות חסרות משמעות, עיוות של גרפים, אינטרפרטציה לא נכונה או מטעה של התוצאות, וכמובן, הסקת סיבתיות בעקבות מתאם.

בעזרת שילוב כל השיטות הללו מתקבלת “סטטיסטיפולציה”, והאף דן בשאלה המתבקשת” האם סטטיסטיפולציה היא תוצאה של הטעיה מכוונת או פשוט תוצאה של חוסר ידע והבנה? לדעת האף, ברוב המקרים סטטיסטיפולציות הינן מכוונות, ומטרתן להטעות ביודעין.

הפרק האחרון בספר מסביר כיצד ניתן לנסות ולהתמודד עם הסטטיסטיפולציות האלה, ודן בנושאים המכוסים היום בכל קורס או ספר העוסק בחשיבה ביקורתית. ניתן לסכם את הגישה של האף בחמש שאלות שכל אחד חייב לשאול כאשר מוצג בפניו מידע כלשהו:

  • מי אמר את זה?
  • איך הוא יודע?
  • מה חסר?
  • האם מישהו שינה את הנושא?
  • האם כל זה הגיוני?

בעקבות הצלחת הספר כתב האף עוד שישה ספרים שעוסקים במה שמכונה היום “אוריינות כמותית” (“quantitative literacy”), הידוע שבהם הוא “How to take a chance”, אך הם הצליחו פחות מאחיהם הגדול.

כשאר מלאו 50 שנה ליציאת How to lie with Statistics לאור, הקדיש לו כתב העת Statistical Science גליון מיוחד. במאמר הסוקר את הספר ומחברו (קישור לקובץ pdf), מפרט ג’יי מייקל סטיל מאוניברסיטת פנסילבניה את הסיבות להצלחתו רבת השנים.

הסיבה הראשית להצלחה היא הכותרת הפרובוקטיבית שלו. סטטיסטיקאים לא ממש אוהבים אותה, אבל מה לעשות, אנשים משקרים בעזרת סטטיסטיקה על בסיס קבוע (אם כי יש גם טכניקות אחרות להפצת שקרים, כמו שימוש בעברית או אנגלית, למשל). אילו היה הספר נקרא “מבוא לסטטיסטיקה” (והוא אכן מבוא לסטטיסטיקה), כמה עותקים היו נמכרים?

האיורים שבספר (וכמובן המאייר, אירווינג גייס) השביחו אותו מאוד. הקלישאה “תמונה אחת שווה אלף מלים” מוצדקת מתמיד על ידי הספר הזה. גם מי שלא אוהב לקרוא יוכל להבין בכף את המסרים שבספר, פשוט על ידי הסתכלות בתמונות.

הסגנון הקליל והרענן שבו כתוב הספר בודאי לא הזיק. היום, ספרי הדרכה כמו “Idiot guide to…” ו-“ABC for Dummies” נפוצים למדי, אך ב-1954 זה היה חידוש כביר. האף הוכיח כי ניתן לכתוב על נושא רציני ומאתגר כסטטיסטיקה בשפה שווה לכל נפש.

אבל למרות הכותרת, האיורים והשפה הקלילה, הספר לא היה שורד זמן כה רב כטקסט קלאסי אלמלא התוכן המצוין שהוא מכיל (שכבר סקרתי למעלה). אני מאמין שבשנת 2054 הספר הזה עדיין יהיה ראוי לגליון מיוחד של Statistical Science, לציון 100 שנה ליציאתו לאור.

סימון סינג מדבר על הומיאופתיה, מתמטיקה ומדע

אתמול, 19.10.2010, התקיימו שתי הרצאות בבית אריאלה בתל אביב.

בהרצאה הראשונה היו שני דוברים, אדזארד ארנסט וסימון סינג, מחברי הספר “ריפוי או פיתוי“. ארנסט דיבר על הרפואה האלטרנטיבית, הגדרתה הבעייתית, ותיאר סיבות אפשריות להווצרות הרושם כי טיפולים לא יעילים נראים כאילו הם עובדים. בהמשך הוא דיבר על הדרכים לבחון שיטות ריפוי אלטרנטיביות ואת יעילותן (ניסויים קליניים), על הסכנות שבטיפול על ידי פלסבו/שיטות לא יעילות, ועל ההשלכות החברתיות/כלכליות של שימוש בשיטות כאלה.

סינג דיבר על תהליך כתיבת הספר, על עקרונות ההומיאופתיה והבעייתיות שלהם, על הגישה המדעית לבחינת טענות, וגם על תביעת הדיבה שהוגשה נגדו על ידי ארגון הכירופרקטים בבריטניה, בה זכה לאחר הליך משפטי ארוך ויקר.

הקלטת ההרצאה של סינג וארנס על הספר “ריפוי או פיתוי”

בהרצאה השניה דיבר סינג על שלושת ספריו הקודמים: “המשפט האחרון של פרמה“, “סודות ההצפנה“, ו-“המפץ הגדול“. הוא דיבר על המוטיבציה שלו לכתוב את הספרים האלה, ועל הסיפורים שמאחורי הספרים. בהרצאה שולבו קליפים מתוך הסרט על המשפט האחרון של פרמה שסינג הפיק עבור ה-BBC. בנוסף, הוכיח סינג מתמטית כי הטלטאביז הם התגלמות הרוע.

הקלטת ההרצאה של סינג על שלושת ספריו הראשונים (דברי פתיחה: אבשלום אליצור)

תורת המשחקים, הדברים החשובים והאינסוף – סקירה של ספרי חיים שפירא

למרות שחיים שפירא הוא מתמטיקאי וסטטיסטיקאי בן גילי, שלמד סטטיסטיקה בתל אביב בערך באותה תקופה בה אני למדתי בירושלים, ואחד מעמיתיי לעבודה למד יחד איתו, לא שמעתי את שמו עד לפני מספר שנים, כאשר הגיע לתת הרצאה באירוע שארגן מקום העבודה השלי.

כותרת ההרצאה הייתה “כשפו הדב פגש את וודי אלן”, ואני זוכר היטב את המשפט שפתח אותה: “שמי חיים שפירא”, אמר שפירא, “ואני מלמד את המקצוע הכי משעמם בעולם – סטטיסטיקה”. רוב מכריע של הקהל צחק, אפילו אני חייכתי. ההרצאה הייתה מרתקת ומבדרת. שפירא יכול ללא ספק לפתח קריירה של סטנדאפיסט (והוא בעצם סוג של סטנדאפיסט כאשר הוא עולה על הבמה להרצות).

כשנתיים לאחר ההרצאה הזו, בספטמבר 2008, פצח שפירא גם בקריירה של סופר, והוציא לאור את ספרו הראשון (אם מתעלמים מספרון בהוצאת האוניברסיטה המשודרת שיצא לאור כמה שנים קודם לכן: “בעקבות אליס – מסעות לעולמו של לואיס קרול“).

הספר נשא את הכותרת “שיחות על תורת המשחקים“, ונראה מבטיח. הספר, שיצא לאור מספר שנים לאחר זכייתו של פרופ’ ישראל אומן בפרס נובל לכלכלה, ענה ככל הנראה על צורך של הציבור להבין את התחום בו עוסק אומן, ולכן הפך לרב-מכר. אני מודה שלא רכשתי את הספר, בניגוד למנהגי לאסוף ספרי מתמטיקה פופולרית, והסתפקתי בשאילת הספר מהספריה לצורך קריאתו. לכן, עברו כבר שנתיים מאז שקראתי את הספר, ואף כי אתמול עיינתי בו בחטף באחד מדוכני שבוע הספר, הדברים שאכתוב עליו מבוססים על זכרוני.

בצדק נקרא הספר “שיחות על תורת המשחקים”. הוא כתוב כאילו מישהו הקליט את שפירא משוחח על נושאים שונים, ואחר כך העלה את הדברים על הכתב. מי שיקרא את הספר ייהנה ללא ספק: הוא שזור סיפורים משעשעים ודוגמאות מעניינות. חלק מהדברים אכן עוסקים בתורת המשחקים. יש את הדיון הבלתי נמנע על דילמת האסירים, וגם על משחקים קשורים, כגון משחק השפן. יש הסבר אינטואיטיבי למדי על שיווי המשקל של נאש. יש דיון במשחקי מיקוח, ומשחק/תרגיל המכירה הפומבית של הדולר (ששודרג, ככל הנראה עקב האינפלציה, המשבר הכלכלי בארה”ב והתחזקות השקל, למכירה פומבית של 100 שקלים)  נדון גם הוא. יש גם דוגמאות מעניינות מעולם הטבע – תופעות התנהגותיות של בעלי חיים שניתן להסביר באמצעות מודלים מתורת המשחקים.

אבל יש גם נושאים אחרים, שלא ממש קשורים. יש למשל, פרק שכותרתו “איך לשקר בעזרת סטטיסטיקה”, ובו מביא שפירא שתי שיטות עיקריות לעיוות נתונים. מובאת החידה הנחמדה על חלוקת המטמון בין הפיראטים. בעיית שתי המעטפות זוכה גם היא לדיון, סיכויי הזכיה בהימורים שונים נדונים באריכות וגם בעיית מונטי הול נכנסה לספר הזה. נחמד מאוד, אבל מה לזה ולתורת המשחקים?

ההתרשמות שלי הייתה שהצורך למלא 200 ומשהו עמודים במהירות גבר על הרצון להוציא ספר פופולרי רציני שיסביר את תורת המשחקים בשפה שווה לכל נפש. והאמת, אין צורך בספר כזה, כי כבר קיימים מספר ספרים טובים מאוד על התחום שתורגמו לעברית: “דילמת האסיר” מאת ויליאם פאונדסטון ו-“תורת המשחקים” מאת דיקסיט וניילבאף, שני ספרים שכן נמצאים בספריה שלי.

ההצלחה של הספר הראשון הובילה את שפירא לכתיבת ספר שני, שנשא את הכותרת המעט יומרנית, אך בהחלט מוצדקת, “על הדברים החשובים באמת“. לטעמי זהו ספרו הטוב ביותר של שפירא (עד כה). הלפר שלושה חלקים, וכל ספר עוסק באחת מבין שלוש היצירות הספרותיות הנפלאות, “סיפורי פו הדב” מאת א.א. מילן, “אליס בארץ הפלאות” (והמשכו, “מבעד למראה”) שכתב המתמטיקאי צ’רלס דודג’סון, הידוע יותר בשמו הספרותי לואיס קרול, ו-“הנסיך הקטן” של אנטואן דה סנט-אכזופרי. גם הדברים שאכתוב על הספר הזה נכתבים מהזכרון, שכן עברה כמעט שנה מאז שקראתי אותו. החלק המוקדש לפו הדב הוא למעשה הרחבה של ההרצאה ששמעתי את שפירא נושא לפני מספר שנים.שפירא מדגים בעזרת פו, אליס, הנסיך, וכמה דמויות נוספות רעיונות מתחומי הפילוסופיה, ועשה זאת בהומור רב, ובשפה ברורה. עם זאת, אני חייב לציין, לצערי, כי חלקי הספר מהווים סדרה מונוטונית יורדת. בעוד שהחלק על פו הדב הוא מצויין, הפרק על אליס פחות טוב, ועדיף לקרוא את החוברת של האוניברסיטה המשודרת המבוססת על הרצאותיו של שפירא, או לפנות להערות הקלאסיות של מרטין גרדנר . החלק השלישי על הנסיך הקטן קצר מאוד, ועושה עוול גם לספר וגם לשפירא עצמו. הערך המוסף שלו קטן ביותר, לדעתי. עם זאת, אני בהחלט ממליץ לקרוא את הספר.

עוד שנה עברה, והנה, לקראת שבוע הספר, הוציא שפירא לאור ספר שלישי: “אינסוף המסע שאינו נגמר“. עוד ספר עם כותרת יומרנית, והפעם, לצערי, היומרה ריקה מתוכן, ומוטב היה לו הספר לא נכתב. הספר לא עוסק באינסוף. זאת אומרת, חלק ממנו כן עוסק באינסוף. יש פרק שאכן עוסק בתורת הקבוצות, ובו בין היתר מביא שפירא את סיפור המלון של הילברט, מתאר את שיטת האלכסון של קנטור ומדגים כיצד מוכיחים כי המספרים הרציונליים בני מניה, אך הממשיים אינם ניתנים למניה, ועוד כהנה וכהנה. הספר גם עוסק בערב רב של נושאים אחרים: אנקדוטות מתורת המספרים, דיון במספרים הראשוניים, פרק על הקבועים פיי ו-e, ונוסחת אוילר המקשרת בינהם, מספרים מדומים, פתרון משוואות בעזרת שורשים, מספרי ארדש, המשפט האחרון של פרמה, פרקטלים, הפרדוקסים של זנון (ש”איש לא הצליח לפתור”, טוען שפירא), מספרי פיבונצ’י, מספרים ראשוניים, ועוד ועוד ועוד.

הספר בעייתי מאוד. אין לו דרך. ההסברים מסורבלים, ולו הייתי צריך לנסות להבין את ההוכחה של אויקלידס לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, למשל, מהטקסט של שפירא, הייתי מתקשה בכך. כאדם שעוסק במתמטיקה, הספר פשוט שיעמם אותי. אני לא כל כך יודע מה תהיה התגובה של מי ששנא מתמטיקה בלימודיו בבית הספר כאשר ינסה לקרוא אותו. חבל שהספר הזה יצא לאור, ואני ממליץ לכם לוותר עליו. יש מספיק ספרים טובים בעברית שעוסקים הנושאים האלה.

3 ספרים חדשים (בספריה שלי)

באחת התגובות לרשימה הקודמת תהה גיל מדוע לא קניתי מייד את הספר “טראפיק”, אלא רק סימנתי אותו לקניה בעתיד. התשובה שלי הייתה כי כבר קניתי 3 ספרים באותה נסיעה, וממילא לא אספיק לקרוא את כולם עד הנסיעה הבאה (אני בספק אם אסיים אפילו את הקריאה של אחד מהם, עדיין לא הספקתי לסיים לקרוא את אחד הספרים שקניתי באפריל).

אולם, מכיוון ששלושת הספרים האלה קשורים לנושאים שהבלוג הזה עוסק בהם, נראה לי שששת הקוראים שלי יתעניינו בהם, ולכן אסקור אותם כאן בקצרה.

הספר הראשון עוסק בבעיית מונטי-הול. למעשה, נודע לי כי הספר עומד לצאת מקריאה בבלוג של גיל. בעיית מונטי-הול עולה שוב ושוב ומציקה לאנשים המסתמכים אך ורק על האינטואיציה שלהם, ולא רק להם (אפילו פול ארדש סירב להאמין לפתרון האמיתי, גם לאחר שההוכחה הוצגה בפניו). הבעיה היא פשוטה: לפניך 3 דלתות, מאחורי אחת מהן מסתתר פרס נחשק (בימבה, למשל) ומאחורי שתי הדלתות האחרות אין כלום.  אתה צריך לנחש מאחורי איזה דלת מסתתר הפרס, ואם תצליח, הוא שלך. אולם, אחרי שניחשת, לא פותחים מייד את הדלת שבחרת, אלא פותחים בפניף דלת אחרת, ואתה רואה שמאחוריה לא מסתתר הפרס. האם כדאי לך לשנות את ניחושך הראשוני?

כתבתי על הבעיה הזו בעבר תחת הכותרת “המכונית והעיזים“, גיל כתב על ההיבטים הפסיכולוגיים של הבעיה, וגם גדי אלכסנדרוביץ כתב על הבעיה ועל בעיות דומות בבלוג שלו. אתם מוזמנים לקרוא. ומסתבר שאפשר לכתוב ספר שלם הנושא (למעשה נכתבו על הבעיה הזו יותר מספר אחד). הספר שאני קניתי נכתב על ידי פרופ’ ג’ייסון רוזנהאוז מאוניברסיטת ג’יימס מדיסון בוירג’יניה, ונושא את הכותרת המחייבת “The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brain Teaser” (לינק לאמזון). אני חייב לציין שעדיין לא עיינתי בספר מעבר להעפת מבט בתוכן העניינים ורפרוף קל, מה שאפשר לעשות באתר אמזון גם בלי לקנות את הספר. כמובן שהעיון המקוון וההמלצה של גיל גרמו לי לקנות לבסוף את הספר. תוכן העניינים מבטיח מבט על הבעיה מנקודות מבט בייסיאניות, קוגניטיביות ופילוסופיות. אני מניח שלא אתאכזב.

הספר השני נושא את הכותרת “תורת החבורות בחדר האמבטיה המיטות“. השם מבטיח. כאשר הייתי סטודנט צעיר למתמטיקה, תורת החבורות היה התחום האהוב עלי ביותר מכל הנושאים הנלמדים (טוב, חוץ מהסתברות וסטטיסטיקה), אז ברור מדוע השם הזה מדבר אלי. הספר הוא למעשה אוסף מאמרים שפרסם בריאן הייס, בעיקר בסיינטיפיק אמריקן. בינתיים קראתי את שני המאמרים הראשונים. האחד עוסק בשעון האסטרונומי של שטרסבורג, שעקף בקלילות את מכשלת Y2K למרות שנבנה ב-1843, וגם יעקוף ללא בעיה את מכשלת Y10K אם ישרוד עד אז. המאמר השני עוסק בייצור מספרים מקריים, או יותר נכון, פסאודו מקריים (גדי כתב סקירה יפה על הנושא). עד כה, הספר לא מאכזב.

הספר השלישי עוסק בקוביות דיגיטליות: כיצד ניתן לפתור באמצעות מחשב (על ידי סימולציה בשיטת מונטה קרלו) בעיות בהסתברות. לאחר הקדמה לא קצרה בה מוסבר בהרחבה (ועם דוגמאות) העקרון של שיטת מונטה קרלו (שעושה כמובן שימוש במספרים פסוודו אקראיים), מביא המחבר, פרופ’ פול נהין, רשימה של 21 בעיות אותן הוא מציע לפתור בשיטת מונטה קרלו (בינהן מופיעה בעיית נייר הטואלט של דונלד קנוט). לאחר מכן מופיעים הפתרונות, עם תכניות בשפת מטלב. נהין לא מסתפק, למרבה השמחה, בפתרונות טכניים בלבד, אלא גם מספק רקע תיאורטי רב על הבעיות, ההיסטוריה שלהן, וגם תובנות שניתן להפיק מהעיון בהן. אחרי שקראתי את ההקדמה אני מתכנן לנסות לפתור את הבעיות בעצמי לפני שאציץ בדפי הפתרונת. זה בהחלט פרוייקט ארוך טווח.