נסיכת המדעים

הבלוג "מציאות נושכת" מספק כמעט כל שבוע חידה שבועית, בדרך כלל מתמטית, לקוראיו, ביחד עם עוד כל מיני פוסטים מעניינים. מה שיפה הוא שהחידות האלה דורשות בדרך כלל הגיון פשוט, קצת מתמטיקה של בית ספר, וזהו. אני ממליץ.

מוריס הניח את המעטפה על השולחן. א', שישב מולו בסבר פנים חמור נטל אותה לידיו והתכונן לפתוח אותה, אבל מוריס עצר בעדו. הוא שלף מכיסו מעטפה נוספת.

"לפני שבאתי לכאן הכנתי שתי מעטפות", סיפר. "סכום הכסף באחת המעטפות היה כפול מהסכום שבמעטפה השניה. בתחילה פשוט שלפתי את אחת המעטפות מהכיס באופן מקרי. האם אתה מעוניין להחליף את המעטפה שנתתי לך במעטפה הזו?"

"זה תלוי", אמר א', "נניח שבמעטפה הזו יש 1000 דולר. האם במעטפה השניה יש 2000 דולר, או רק 500?". "את זה", אמר מוריס, "תדע רק אם תחליף את המעטפות".

א' ניסה לחשוב: נניח שאכן יש כאן 1000 דולר. אם במעטפה השניה יש 2000 דולר, אז הוא ירוויח 1000 דולרים נוספים, אבל אם יש בה רק 500 דולר, הוא יפסיד 500 דולר. 50% סיכוי להרוויח 1000, 50% סיכוי להפסיד 500. הוא חישב את תוחלת הרווח: חצי מאלף הם 500, חצי ממינוס חמש מאות הם מינוס 250, לכן תוחלת הרווח היא 250 דולר. "אוקי, אני מחליף", אמר. הוא החזיר את המעטפה שבידו למוריס, וקיבל את המעטפה השניה לידיו.

מוריס חייך. "ועכשיו, האם אתה מעוניין להחליף את המעטפה שלך במעטפה שבידי?"

ההתרחשות שתוארה זה עתה לא קרתה מעולם. ובכל זאת, האם לדעתכם א' יחליף שוב את מעטפתו במעטפה השניה? אם תחשבו על כך, תהיו חייבים להודות כי אותם השיקולים שהובילו אותו להחלפה הראשונה, יוליכו אותו להחלפה נוספת, ולהחלפות נוספות, אם תוצע אפשרות ההחלפה שוב. גם אילו פתח א' את אחת המעטפות וגילה את הסכום שבתוכה, השיקול שהוצג לא היה משתנה, ושוב היה בוחר בהחלפה, ובעוד החלפה וחוזר חלילה. תמיד כדאי להחליף.

האם יש כאן פרדוקס? ממש לא. הסבר מעניין ניתן למצוא במאמרו של מריוס כהן שפורסם גם ב-Ynet: פרדוקס שתי המעטפות: איזו רווחית יותר?  גדי אלכסנדרוביץ, שתיאר את הבעיה הזו בבלוג שלו לפני זמן לא רב, אמר כי "חישובי ההסתברויות הם בלוף אחד גדול". אני הייתי משתמש במלים קצת יותר עדינות, ואומר פשוט כי חישובי ההסתברות שהוצגו בשיקוליו של א' היו שגויים.

שימו לב: מוריס הכין את המעטפות מראש. אם במעטפה הראשונה יש 1000 דולר, אז ההסתברות שבמעטפה השניה יש 2000 דולר היא לא 0.5. הסכום שבמעטפה השניה אינו משתנה מקרי אלא קבוע. לכן ההסתברות הזו היא או 0, אם מוריס הכין מעטפות שבן 1000 דולר ו-500 דולר, או 1, אם מוריס הכין מעטפות שבן 1000 דולר ו-2000 דולר.

השיקול ההסתברותי הנכון שעל א' היה לעשות הוא כזה: "נניח שהיו שתי מעטפות, באחת מהן 1000 דולר ובשניה 2000 דולר. יש סיכוי של 50% שאני מחזיק את המעטפה עם 1000 הדולרים (כי מוריס הושיט לי את אחת משתי המעטפות ששלף באקראי מכיסו), ולכן אם אחליף ארוויח עוד 1000 דולר. יש גם סיכוי של 50% שאני כבר מחזיק את המעטפה עם הסכום הגבוה שהוא 2000 דולר, ולכן אם אחליף אפסיד 1000 דולר. מכאן שתוחלת הרווח מהחלפת המעטפות היא 0, ולכן לא משנה (בתוחלת) אם אחליף את המעטפה או לא אחליף אותה."

מה קורה כאשר הסכום במעטפה הוא משתנה מקרי?

מתברר שאפשר לקחת את הבעיה הזו ולסבך אותה עוד. לפני כשלושה חודשים כתבתי כאן על הרצאתו של פרופ' נוגה אלון שנשאה את הכותרת "חשיבה הסתברותית", והזכרתי בחטף את "בעיית המעטפות המוכללת" שאלון הציג במהלך ההרצאה. אלכסנדרוביץ שמע גם הוא את אלון מרצה על הנושא, ודן בבלוג שלו גם בבעיה המוכללת. אני ממליץ לכם לקרוא את הדיון של אלכסנדרוביץ בבלוג המצויין שלו , כיוון שבהמשך דברי אסתמך על חלק מדבריו.

אפתח בתיאור הבעיה המוכללת כפי שהציג אותה פרופ' אלון. הרעיון הוא שהסכומים המוכנסים למעטפות לא נקבעים באופן שרירותי, אלא על ידי מנגנון הסתברותי: תחילה בוחרים מספר טבעי באופן הבא: המספר 1 נבחר בהסתברות 0.5, 2 נבחר בהסתברות 0.25, 3 נבחר בהסתברות 0.125, וכן הלאה – המספר k נבחר בהסתברות 0.5 בחזקת k. (בניסוח סטטיסטי פורמלי – המספר שנבחר הוא משתנה מקרי גיאומטרי עם פרמטר 0.5). לאחר שנבחר המספר, שנסמנו ב-m, מכניסים למעטפה אחת 10 בחזקת m דולרים, ולשניה מכניסים 10 בחזקת m+1 דולרים. למשל, אם נבחר המספר 3 מכינים שתי מעטפות, באחת מהן יהיו 1000 דולר, בשניה 10000. כעת בוחרים את אחת משתי המעטפות ונותנים אותה לשחקן, עם האופציה להחליף אותה במעטפה השניה. האם כדאי לו להחליף?

שימו לב כי כעת שני הסכומים שבמעטפות הם משתנים מקריים, ולכן הטיעון שבו פתרתי את הבעיה הפשוטה שהוצגה בראית המאמר שוב אינו תקף. כעת דווקא שיקול הסתברותי הדומה לשיקול שהיה שגוי בבעיה ההתחלתית יהיה דווקא תקף.

קודם כל יש לשים לב כי אם תמיד מנצלים את אופציית ההחלפה תוחלת הזכיה תהיה שווה לתוחלת הזכיה במקרה שבו לא מנצלים את אופציית ההחלפה. הסיבה לכך הוא שאם תמיד מחליפים את המעטפה הראשונה בשניה – זה כאילו קיבלתם ישירות את המעטפה השניה. האם תמיד כדאי להחליף את המעטפות?

ברור שאם פותחים את המעטפה ומוצאים בה 10 דולר, הרי שבמעטפה השניה יש 100 דולר בהסתברות 1, וכדאי להחליף. מה קורה אם פותחים את המעטפה ומוצאים בה 100 דולר (ההסתברות לכך היא 3/8)? במקרה כזה יש שתי אפשרויות: או שבמעטפה השניה יש 10 דולר, או שיש בה 1000 דולר. קל לחשב (ואלכסנדרוביץ הסביר את החישוב) כי הסיכוי שבמעטפה השניה יש 10 דולר בלבד הוא 2/3 והסיכוי כי במעטפה השניה יש 1000 דולר הוא 1/3. לכן תוחלת תוספת הסכום המתקבל כתוצאה מההחלפה היא 240 דולר, וכדאי להחליף. הטיעון הזה תקף לכל סכום שנמצא במעטפה הראשונה, ולכן ניתן לסכם ולומר כי כאשר מקבלים מעטפה במשחק הזה כדאי להחליף אותה במעטפה השניה.

טוב, החלפנו את המעטפה הראשונה שקיבלנו במעטפה השניה, ועכשיו מוצע לנו להחליף שוב את המעטפות. האם כדאי להחליף שוב? התשובה שלילית. אם במעטפה הראשונה שקיבלנו לידנו היו 10 דולר, עכשיו אנחנו מחזיקים במעטפה שבה 100 דולר, ולא כדאי להחליף. ואם במעטפה הראשונה שקיבלנו לידנו הייתה חזקה גדולה מ-1 של 10, ואשאר שוב בדוגמא של 100 דולר במעטפה הראשונה שהוחלפה, הרי יש שתי אפשרויות: או שבידנו 1000 דולר ואם נחליף שוב נפסיד 900 דולר, וההסתברות לכך היא 1/3, או שבידנו 10 דולר ואם נחליף שוב את המעטפות נרוויח 90 דולר, וההסתברות לכך היא 2/3. ההחלפה השניה תוביל אותנו לתוחלת רווח שלילית של 240-, ולכן לא כדאי להחליף שוב את המעטפות. שימו לב כי הטיעון הזה תקף גם אם פותחים את המעטפה הראשונה, וגם אם לא.

את תוחלת הזכיה הכללית במשחק המעטפות הזה מחשבים על ידי שקלול הרווח המתקבל בכל מצב בהסתברות שלו. אלכסנדרוביץ עורך את החישוב ומוצא כי תוחלת הרווח היא אינסופית, גם כאשר מנצלים את אופציית ההחלפה, וגם כשלא. בנקודה הזו אלכסנדרוביץ מתבלבל: "הייתי שמח לומר שזה מסביר את הכל. שבגלל שבשני המקרים התוחלת היא אינסופית, אין פלא שנוצר הבלבול לפיו נראה שתמיד כדאי להחליף. להגיד שה'כדאי' הזה מבוסס, אי שם עמוק בפנים, על חיסור שתי התוחלות, חיסור שפשוט אינו מוגדר. לרוע המזל, למרות שמבחינה מתמטית כל זה כנראה נכון, האינטואיציה שלי לא משתפת פעולה…"

את הבעיה שבלבלה את אלכסנדרוביץ קל לפתור. בואו נחזור לבעיה המקורית, זו שבה יש שתי מעטפות עם סכומים שנקבעו מראש. האם זה משנה אם הסכום באחת המעטפות גדול פי 2 מהסכום שבמעטה השניה? לא ממש. גם אם הוא היה גדול פי 10, או רק פי 1.5 הניתוח לא היה משתנה. מה שמשנה באמת זה לא היחס בין שני הסכומים, אלא בכך שהם שונים זה מזה, ולכן אחד מהם גדול ממשנהו. זה הכל. אם השתכנעתם, תשתכנעו גם מהטענה הבאה: בעיית המעטפות הציג פרופ' אלון לא תשתנה בצורה עקרונית אם נשנה אותה כך שתוחלת הרווח של מקבל המעטפה תהיה סופית. ניתן לשנות את הבעיה כך שהתוחלת תהיה סופית בשתי דרכים: על ידי שינוי הפרמטר של ההתפלגות הגיאומטרית, או על ידי שינוי היחסים בין סכומי הכסף במעטפות. לכן, בואו נניח כי במקום חזקות של 10 יופיעו כעת בבעיה חזקות של 1.5.

כלומר, אם מוגרל המספר 1 מההתפלגות הגיאומטרית, נכין שתי מעטפות שבאחת מהן 1.5 דולרים (או אלפי דולרים, אם תרצו, זה לא משנה), ובשניה 2.25 דולרים, ואם יעלה המספר 5 נכין שתי מעטפות שבאחת מהן 7.59375 דולרים ובשניה 11.390625 דולרים. עכשיו נוכל לחזור על השיקול שערכנו קודם: אם במעטפה הראשונה שקיבלנו יש 1.5 דולר, כדאי להחליף כי במעטפה השניה יש בודאות סכום גבוה יותר של 2.25 דולר. לעומת זאת, אם במעטפה יש חזקה של 1.5 הגדולה מ-1, נניח 2.25, הרי שהחלפה תוביל לרווח של 1.25 דולר (3.375 פחות 2.25) בהסתברות 1/3, ולהפסד של 0.75 (2.25 פחות 1.5) בהסתברות 2/3. שקלול הרווח וההפסד על פי ההסתברויות מגלה כי החלפה תוביל להפסד של 0.125, ולכן לא כדאי להחליף.

שקלול על פני כל האפשרויות יראה כי אם תמיד מנצלים את אופציית ההחלפה תוחלת הרווח היא 3.75 (הנוסחה שפיתח אלכסנדרוביץ תעבוד אם תחליפו את 10 ב-1.5). זוהי כמובן גם תוחלת הרווח אם  מותרים באופן גורף על אופציית ההחלפה.  האסטרטגיה האופטימלית, בה מנצלים את אופציית ההחלפה רק במקרה שבמעטפה הראשונה יש 1.5 דולר, מובילה לתוחלת רווח של 3.9375.

עד כאן פתרון בעיית המעטפות המוכללת. אפשר להמשיך ולהשתעשע בנושא. אפשר, למשל, לבדוק מה קורה אם במקום חזקות של 10 או של 1.5 מכניסים למעטפות חזקות אחרות.

מתברר באופן לא מפתיע כי אם הסכומים שבמעטפות הן חזקות של 2 או יותר מכך, תוחלת הרווח במשחק היא אינסופית. זה בעצם מקרה יותר כללי של הבעיה שהציג אלון. באופן מקומי, כאשר מחשבים את התוחלת המותנה במספר שנבחר בתחילה, כדאי להחליף. כאשר משקללים כל פני כל המספרים הטבעיים (כלומר, מחשבים את התוחלת הבלתי מותנה) התוחלת אינסופית.

תוחלת הזכיה במשחק תהיה סופית אם הסכומים במעטפות הם חזקות של מספר הקטן מ-2. אם הסכומים במעטפות הם חזקות של מספר הנמצא בין 1 ל-2, כדאי להחליף רק במקרה בו יודעים בודאות כי במעטפה השניה יש סכום גדול יותר (זה הניתוח שעשיתי עבור הדוגמא של 1.5). אם במעטפות יש חזקות של 1, אז בכל המעטפות יש אותו סכום ולא משנה מה עושים. באופן מפתיע (לפחות האינטואיציה שלי הופתעה בתחילה, ובדקתי שוב ושוב את הפיתוח והפתרון של אי השוויון הריבועי עד שהשתכנעתי), אם הסכומים שבמעטפות הם חזקות של מספר הקטן מ-1, אז בדרך כלל כדאי להחליף. בואו ניקח חזקות של 0.5 כדוגמא. יש מקרה אחד בו יודעים בודאות כי הסכום במעטפה השניה קטן יותר. זהו המקרה בו פותחים את המעטפה ומוצאים בה 0.5 דולר, במעטפה השניה יש בהכרח 0.25 דולר ולא כדאי להחליף. בכל מקרה אחר כדאי להחליף.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 11 באוגוסט 2008 שם התקבלו 11 תגובות

גדי אלכסנדרוביץ'  [אתר]  בתאריך 8/11/2008 11:12:09 PM

תגובה (שפרסמתי גם בבלוג שלי)

היי יוסי. ראשית, אתה יותר ממוזמן לקרוא לי "גדי" בבלוג שלך. אין כל צורך באלכסנדרוביץ הזה. שנית, לכבוד הוא לי שאתה טורח לקרוא את הבלוג שלי, לא כל שכן להגיב לו בפוסטים משלך. שלישית, תודה על זווית הראייה הנוספת שלך על הבעיה – בהחלט לא ניסיתי לתקוף אותה מהכיוון הזה עד עתה (והייתי צריך).
כעת, לעניין עצמו – ייתכן שאני מתבלבל בחשבון שלי, אבל הרושם שאני מקבל הוא שאכן, אם אתה בוחר בתור בסיס לכפולות של הכסף משהו שהוא קטן מ-2 אתה מקבל תוחלת רווח סופית, ולכן מפיל לקרשים את טיעון ה"תוחלת אינסופית" המדובר, אבל מצד שני, גם החישוב המקורי שממנו נובע שכדאי להחליף כבר לא עובד. שיחקתי עם זה קצת כרגע וקיבלתי שהנוסחה הכללית של "תוחלת הרווח מההחלפה", כש-a הוא הבסיס שלך, היא הנוסחה הבאה:
a^(n-1)*(a^2-3a+2)/3
בפרט, שים לב שאם מציבים a=10 מקבלים את הנוסחה שקיבלתי לעיל. הנוסחה הזו לא חיובית תמיד; עבור ערכים של a שקטנים מ-2 (וגדולים מ-1) מקבלים תוחלת רווח שלילית, כך שלא כדאי להחליף. מכאן שיש שתי בעיות – אחת עם a קטן מ-2, שהיא "מנוונת" – אמנם, התוחלת לא אינסופית בה, אך גם לא כדאי להחליף ולכן אין פרדוקס, ואחת עם a גדול מ-2, שבה התוחלת אינסופית ותמיד כדאי להחליף.
לסיכום, אני לא בטוח שאני מסכים עם הטענה שלך של "בעיית המעטפות הציג פרופ' אלון לא תשתנה בצורה עקרונית אם נשנה אותה כך שתוחלת הרווח של מקבל המעטפה תהיה סופית". ייתכן שאפשר לשנות את פרמטר ההתפלגות הגאומטרית; אבל שינוי היחס בין הסכומים הוא כן בעל חשיבות, לטעמי. מצד שני, ייתכן מאוד שאני סתם מתחרבש עם המתמטיקה.

דובי  [אתר]  בתאריך 8/12/2008 3:00:25 AM

ומה אם פותחים את המעטפה השניה?

הנה מה שהתקשיתי בו בדיון אצל גדי:
מציגים לי שתי מעטפות. אני בוחר אחת. עכשיו האיש שמולי פותח את המעטפה שהוא מחזיק, ומראה לי שיש שם 100 דולר. לפי החישוב שלך, לא כדאי לי להחליף בשלב הזה (זהה לשלב שאחרי ההחלפה בתיאור שלך). כלומר, השאלה אם כדאי לי להחליף או לא תלויה במשתנה הלכאורה לא רלוונטי של איזה מעטפה נפתחה. וזה לא נראה לי הגיוני.
נניח שאנחנו מוסיפים למשחק שלנו שלב נוסף לפני פתיחת המעטפה: מטילים מטבע. אם יוצא עץ, פותחים את המעטפה שלי וכדאי לי להחליף. אם יוצא פלי, פותחים את המעטפה שלא אצלי, ולא כדאי לי להחליף.
זה נשמע לי פסיכי לגמרי, אבל אני לא מצליח להבין איפה הטעות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/13/2008 9:30:49 AM

תגובה לגדי

חשבתי שהבהרתי את זה במאמר, אבל אנסה לחדד את הנקודה.
ההבדל העקרוני בין שתי הבעיות הוא שבבעיה הפשוטה הסכומים שבמעטפות אינם משתנים מקריים, בעוד שבבעיה השניה הסכומים הם כן משתנים מקריים. לכן בבעיה הראשונה השחקן אדיש לאופציה של ההחלפה – תוחלת הרווח מההחלפה היא 0, ולכן לא איכפת לו להחליף את המעטפות שוב ושוב עד שיימאס לו.
בבעיה המוכללת ייתכן שכדאי לשחקן להחליף, וייתכן שלא (זה תלוי בפונקציית ההסתברות של הסכומים, שנקבעת על ידי הפרמטר של ההתפלגות הגיאומטרית ובסיס החזקה). הנקודה העדינה היא שאם במצב מסויים כדאי להחליף את המעטפה, הרי שאחרי ההחלפה לא כדאי להחליף חזרה.
המצבים שבהם כדאי להחליף מתחלקים לשני סוגים – המקרה בו התוחלת הכללית (הבלתי מותנה) היא אינסופית – הבעיה המקורית שאלון הציג היא כזו. מתקבלת לכן תוצאה לא אינטואיטיבית, אך גם לא פרדוקסלית, לפיה התוחלת המותנה חיובית וסופית (כלומר כדאי להחליף) אך התוחלת הבלתי מותנה היא כבר אינסופית (ולכן לא משנה אם מחליפים או לא). איזה תוחלת היא "הנכונה" – המותנה או הבלתי מותנה? זה תלוי אם משחקים את המשחק פעם אחת או "הרבה" פעמים. במקרה של משחק בודד, התוחלת המותנה היא הרלוונטית, ובמקרה של סדרה ארוכה של משחקים, התוחלת הבלתי מותנה צריכה לקבוע את כלל ההחלטה.
אם בסיס החזקה קטן מ-1 אנו נהנים משני העולמות: גם תוחלת בלתי מותנה חיובית כמעט תמיד, וגם תוחלת בלתי מותנה סופית, ואז הכל מסתדר גם עם האינטואיציה. עדיין במקרה שבו כדאי להחליף, אחרי שמחליפים לא כדאי להחליף שוב.

דובי  [אתר]  בתאריך 8/13/2008 8:20:02 PM

ללא נושא

אני עדיין לא מבין איך זה שהסכומים נקבעים בצורה מקרית משנה משהו – הם נקבעו, ועכשיו הם במעטפות, וזהו. אין שתי אופציות למה שיש במעטפה השניה, יש רק אופציה אחת. זה שאנחנו לא יודעים מה הסכום לא משנה את זה.
אני חושב שהבעיה היא שאנחנו מקבלים את ההנחה שבמעטפה שלנו יש את ה-X, ולכן במעטפה השניה יש או 0.1*X או 10X. אבל זה לא נכון. יש שתי מעטפות, אחת מהן מכילה X, ואחת מהן מכילה 10X. אנחנו מחזיקים באחת מהן (בהסתברות של חצי) – אנחנו לא יודעים איזה, ולכן אין סיבה להחליף אף פעם: התוחלת של ההחלפה היא 0. יש רק מצב אחד שבו פתיחת אחת המעטפות מוסיפה לנו מידע – כשהיא מכילה 10 (כלומר, את המינימום) – ואז אנחנו יודעים שהמעטפה השניה עדיפה. זהו, בכל שאר המקרים, כמו שאומרת האינטואיציה שלנו, להחלפה אין משמעות.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/14/2008 8:24:51 AM

תשובות לדובי

1) זה לא ממש משנה איזו מעטפה פותחים – זו שאצלך או זו שאצל מוריס, זה רק משנה את הכיוון של שיקולי ההחלפה.
2) בתגובה השניה שלך אתה נופל בכשל ידוע: זה שיש שתי תוצאות אפשריות, זה לא אומר שלכל תוצאה הסתברות שווה. האם ירד מחר שלג בירושלים (היום 14 באוגוסט, להזכירך)? או שכן, או שלא, כמובן, אבל הסיכוי שמחר ירד שלג בירושלים הוא ממש לא 50%. איך אתה יודע את זה? יש לך קצת אינפורמציה על מזג האויר בירושלים. גם כאן, אם אתה יודע את המנגנון לפיו נקבעו הסכומים שבמעטפות, אתה יכול לנצל את האינפורמציה הזו (על ידי שימוש במשפט בייס.
דוגמא קצת יותר מסובכת המדגימה את הכשל הזה – התעלמות מאינפורמציה המאפשרת להעריך מחדש את ההסתברויות – היא בעיית שלושת הדלתות (הידועה גם כבעיית מונטי הול), עליה כתבתי כאן בעבר:
http://www.sci-princess.info/archives/29602.asp

דובי  [אתר]  בתאריך 8/14/2008 4:05:58 PM

ללא נושא

יוסי, אני מכיר את הכשל, אבל אני לא מצליח להבין איך הוא רלוונטי לפה. לפני שאני יודע איזה סכום יש במעטפה, כשאני בוחר אותן באופן רנדומלי, יש שתי אופציות, והסיכוי שלי לבחור כל אחת מהן שווה: או שאני אקח את המעטפה עם יותר כסף, או שאני אקח את המעטפה עם פחות כסף. אחרי שפתחתי את אחת המעטפות, אני יכול לחשב את הסיכוי שמבין אם המעטפה הזו משתייכת לזוג א' (היא הגבוהה יותר) או זוג ב' (היא הנמוכה יותר). אבל זה בדיוק מה שמוזר פה: שההחלטה שלי איזו מעטפה לפתוח קובעת אם כדאי לי להחליף או שכדאי למוריס להחליף.
כלומר, אם פתחתי את המעטפה שלי וגיליתי שיש לי אלף שקלים, כדאי לי להחליף (כי התוחלת חיובית). אבל אם במקום זה פתחתי את המעטפה של מוריס וגיליתי שם 100 שקלים, לא כדאי לי להחליף (ולמוריס כן כדאי), כי התוחלת שלי שלילית (כי זה מצב זהה למצב הראשון אחרי ההחלפה).
בוא נדמיין עוד משחק: בחרתי מעטפה אחת, החלפתי אותה בשניה בלי לפתוח, ואז פתחתי את המעטפה שבידיים שלי (כלומר, השניה). פתאום – שוב כדאי לי להחליף!

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/17/2008 8:29:46 AM

דובי – הסבר קצר על הסתברות מותה

אם פתחת מעטפה ויש בה 1000 שקלים (שער הדולר נמוך, אה?), אז יש אחת משתי אפשרויות: או שהמספר שעלה בגורל בשלב הראשון היה 2, או שהוא היה 3. מאחר ו-2 עולה בהסתברות גבוהה כפליים מההסתברות של שבה עולה 3 (רבע מול שמינית), הרי שגם ההסתברות המותנה של 2 (כלומר ההסתברות ש-2 עלה כאשר אתה כבר יודע כי המספר שעלה הוא 2 או 3) גדולה כפליים מההסתברות המותנה של 3. ההסתברות המותנה של כל המספרים האחרים היא 0 (למשל, אם אתה יודע כי המספר שעלה בגורל הוא 2 או 3, אז ההסתברות כי 4 עלה בגורל היא אפס), ולכן ההסתברות המותנה של 2 היא 2/3, שזה כפליים מההסתברות המותנה של 3 השווה לשליש.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/17/2008 8:34:59 AM

דובי – הסבר אלטרנטיבי

הסבר אלטרנטיבי מדוע במקרה של 1000 שקלים במעטפה, ההסתברות המותנה של 100 שקלים במעטפה השניה היא 2/3:
בוא נניח שאתה עושה את התרגיל הזה מליון פעמים. בערך ברבע מהמקרים תגריל 2 ותכין מעטפות עם 100 שקלים ו-1000 שקלים, ובערך בשמינית מהמקרים תגריל 3 ותכין מעטפות עם 1000 שקלים ו-10000 שקלים. בשאר המקרים תקבל משהו אחר. עכשיו תזרוק את כל המקרים האחרים – תשאר עם 250000 זוגות של 100-1000 (בערך) ו-125000 זוגות של 1000-10000. עכשיו מתוך 375000 זוגות המעטפות האלה תבחר באופן מקרי זוג אחד. מה הסיכוי שייבחר זוג של 100-1000? בערך 250000 חלקי 375000 כלומר 2/3

דובי  [אתר]  בתאריך 8/17/2008 4:08:00 PM

ללא נושא

יוסי, באמת שאין ולא הייתה לי שום בעיה להבין למה הסיכוי לזוג מספרים 100-1000 היא 2/3 לעומת הסיכוי לזוג המספרים 1000-10000 בהנתן שאחד מהם הוא 1000. מה שאני עדיין לא מצליח להבין זה איך זה שכשאני פותח את המעטפה שלי כדאי לי להחליף, אבל אם אני פותח את המעטפה שלא בחרתי בה, לא כדאי לי להחליף.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 8/17/2008 4:30:22 PM

אוקיי

אתה לוקח מעטפה, ופותחים את המעטפה השניה. יש בה 1000 דולרים קנדיים. לכן, בהסתברות 2/3 יש במעטפה שלך 100 דולר, ואם תחליף תרוויח 900 דולר, ובהסתברות 1/3 יש במעטפה שלך 10000 דולר, ואם תחליף תפסיד 9000 דולר. שקלל את הרווחים בהסתברויות, ותקבל כי תוחלת הרווח מההחלפה במקרה זה היא מינוס 2400 דולר, ולכן לא כדאי להחליף.

אותו 1  בתאריך 8/27/2008 1:40:38 PM

אבל אבל אבל

כל העוקץ בפרדוקס הוא שאתה נשאל אם ברצונך להחליף את המעטפה *לפני* שפתחת אותה בכלל.

מדורי חדשות והכלכלה רעשו אתמול.

שופט בית המשפט המחוזי מגן אלטוביה קיבל את ערעורה של עו"ד ורד פרי, והתיר לה לנכות כהוצאה מותרת במס את התשלומים ששילמה עבור טיפול בשני ילדיה.

מה יכול להיות יותר שוויוני מזה? "צעד חשוב בדרך לשוויון" – כתב ד"ר אביעד הכהן ב"ישראל היום".  "יש אמהות שהשיקול הזה מנע מהן לצאת לעבוד", אמרה ל-ynet עו"ד ורד פרי, שהובילה את המאבק. יו"ר שדולת הנשים, רינה בר-טל, אמרה: "אנו קוראות לנשים נוספות לעשות את הצעד ולדרוש ממס הכנסה החזרי מס על הוצאות טיפול בילדים". אל המברכים הצטרפו גם ח"כ גדעון סער מהליכוד וח"כ זהבה גלאון ממרץ.

מה בדיוק הבעיה פה? רמז נתנה לנו בנעמת: יותר מ-60 אחוז מהנשים כלל לא מגיעות לסף המס.

האם יש פה חגיגה למעמד האישה וחג לשוויון?

לא. ממש לא.

בואו ננסה להבין מה משמעות פסק הדין (וגם הצעות חוק שהוגשו בנושא אך לא עברו בהצבעה בכנסת).

אישה רוצה לעבוד? רוצה. אבל מישהו צריך לטפל בילדים? צריך. למה לא לנכות את הוצאת הטיפול כהוצאה מוכרת? נניח שגברת לוי עובדת במשרה מלאה בשכר של 4500 ₪ בחודש (ברוטו, כמובן) – כ-20% יותר משכר המינימום. כדי שתצא לעבודה, מר לוי צריך להישאר בבית לטפל בילדם המשותף. אפשרות אחרת – לשכור מטפל שיטפל בילד בשעה שההורים נמצאים בעבודתם, ולשלם לו, נניח, 2000 ₪ בחודש. 2000 השקלים המשולמים למטפל הם הוצאה שהוציאה הגברת כדי שתוכל לייצר הכנסה, ולכן אך טבעי שיותר לה לנכות אותם מהכנסתה החייבת במס. כלומר, במקום לשלם מס הכנסה על שכר של 4500 ₪, תשלם הגברת הכנסה על סכום של 2500 ₪ בלבד.ובפועל, לפני הניכוי תשלום מס ההכנסה שהיה עליה לשלם הוא 0 (אפס) שקלים, ולאחר הניכוי תשלום מס ההכנסה שיהיה עליה לשלם הוא 0 (אפס) שקלים. אתם מוזמנים לבדוק ב"אשף הנטו" שבאתר חברת חילן. למה זה קורה? כי גברת לוי נמצאת מתחת לסף המס. משכורתה כה נמוכה, עד שהמדינה סבורה (בצדק, לדעתי) כי יש לפטור אותה כליל מהחובה לשלם מס הכנסה.

וכשירות לציבור אני מביא כאן את הטבלה שהתפרסמה היום בעיתון "ישראל היום". אשה (או משפחה, במקרה של חישוב משפחתי) שהכנסה החדשית 8000 ₪ ברוטו תקבל החזר מס חודשי של 104 עד 211 ₪ על פי הפסיקה המהפכנית (תלוי במספר הילדים), ואשה ששכרה החדשי 15000 ₪ תקבל החזר חדשי של כ-300 עד 700 ₪.

עכשיו צריך לשאול כמה שאלות: האם העובדה שעו"ד ורד פרי, אם לשניים, שילמה מס הכנסה מופקע (לדעתה), מנעה ממנה לצאת לשוק העבודה? לא, אני לא חושב ש-500 השקלים העודפים (אולי) ששילמה כיוון שהוצאות הטיפול בילדים לא הותרו כהוצאה מותרת לניכוי מס היוו עבורה חסם יציאה לשוק העבודה. אני גם לא חושב שאם יורידו את שכרה החדשי ב-500 ₪ לחודש היא תשבור את הכלים ותישאר בבית.

האם הפסיקה המהפכנית מהווה לגברת לוי ההיפותטית תמריץ יציאה לשוק העבודה? אני לא חושב שתוספת של 0 ₪ לנטו מהווה תמריץ כזה. ואין בכך כל תמריץ עבור 60% מהנשים שנמצאות מתחת לסף המס, ועוד נשים שאינן עובדות כי יימצאו מתחת לסף המס אם יצאו לעבודה.

אז מה המהפכה בפסיקה המהפכנית? ובכן, מדובר כאן בסובסידיה. אבל הסובסידיה הזו ניתנת רק לבעלי הכנסה גבוהה, כ-8000 ₪ לחודש או יותר. ב-2006 (השנה האחרונה עבורה יש נתונים הכנסות זמינים באתר הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה), גבול השכר העליון של העשירון השביעי היה 7656 ₪, כלומר שכר של 8000 ₪ או יותר היה נחלתם של שלושת העשירונים העליונים בלבד. ב-2008 ייתכן שגם חלק מהעשירון השביעי זוכה לשכר כזה, אבל עדיין רוב האוכלוסיה לא תיהנה מההטבה הזו. הטבת מס היא סובסידיה לעשירים.

אבל כאן לא סוף הסיפור. כמו ששאל אליק, גיבורו של משה שמיר, גם אנו צריכים לשאול: "מי ישלם?"כי ההטבה הזו תעלה כסף, והרבה – כ-2 מיליארד ₪ בשנה (שוב, כפי שנמסר ב"ישראל היום"). כל הכסף הזה לא ייכנס לקופת המדינה, ואני לא חושב כי הסכום הזה יתקזז עם המון מס שישלמו נשים שעד עכשיו לא יצאו לעבוד בגלל שהוצאות הטיפול בילדים לא מוכרות במס. כבר הסברתי כי אין כאן תמריץ ממשי. לכן הכסף הזה, או רובו, יהיה חסר בקופה. האפשרויות לאיזון מחדש של התקציב אינן רבות: מס אחר (חדש או מוגדל) שיוטל, קיצוץ בתקציב (אולי רוחבי – כלומר קיצוץ ללא הפעלת שיקול דעת), גירעון תקציבי או הקטנת העודף התקציבי (לא סביר שדווקא זה יקרה). בכל מקרה, מישהו יצטרך לשלם, ואנחנו יכולים להיות בטוחים שחלק ניכר מהתשלום ישולם על ידי 70% מהאוכלוסיה שלא ייהנו מהפסיקה המהפכנית.

מהפכה לא הייתה כאן. מה כן יש? יותר כסף לשלושת העשירונים העליונים, שימומן על ידי כולם, כולל שבעת העשירונים התחתונים, שזה במלים פשוטות עוד הגדלה של אי השוויון, עטופה במלים גבוהות וריקות מתוכן על שוויון וקידום מעמד האישה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 7 באפריל 2008 שם התקבלו 27 תגובות

הכלכלן המתוסכל  [אתר]  בתאריך 4/7/2008 11:49:03 PM

ללא נושא

מצוין, מנומק, ומאיר עיניים כרגיל
איפה היית אתמול כשהייתי צריך אותך?
ורק שאלה אחת – למה אתה קורא דווקא ישראל היום?

דרומי  [אתר]  בתאריך 4/7/2008 11:51:02 PM

ללא נושא

אני שותף לביקורת שלך על הפסיקה, אבל השאלה היא לא רק שאלה של יציאה לעבודה אלא גם שאלה של היקף משרה.
אף אחת לא תצא לעבודה בגלל הפסיקה הזו, אבל אשה שעבדה במשרה חלקית עשויה עכשיו להגדיל את היקף המשרה שלה, כי הפער בין תוספת השכר שלה לבין תוספת התשלום על מטפלת גדל בגלל זיכוי המס.

יואב (לונדון)  בתאריך 4/8/2008 12:20:06 AM

שאלה

אם שני בני הזוג עובדים, אז ההוצאה על הטיפול בילדים היא הוצאה ששניהם מוציאים על מנת להגדיל את הכנסתם, לא? אם כן, האם שניהם מקבלים את ההקלה במס, או רק אחד מהם? ואם רק אחד, אז מי ולמה?

אייל רוזנברג  בתאריך 4/8/2008 1:19:01 AM

ואם סופרים לחומרה….

אם סופרים בטבלה רק נשים שכירות כדי למצוא מי מרויחה מעל 8000, אנו מוצאים כי מדובר ב-20% מן השכירות.
מה לגבי האחוז מקרב האימהות?
שיעור ההשתפות של נשים בגילאי 24-52 בכוח העבודה בישראל הוא כ-68% לפי:
http://www.bankisrael.gov.il/press/heb/011218/011218a.htm
(נתון קצת מיושן, אבל זה מה שמצאתי)
תחת ההנחה כי רוב הטיפול בילדים קורה בגיל הזה, וכי שיעור האימהות בקרב הלא-מועסקות גבוה לפחות כמו בקרב המועסקות מדובר ב-13.6% מן האימהות. ואם נהיה מחמירים עוד יותר ונתחשב בכך שנשים בעלות מספר ילדים משתתפות בשיעור נמוך משמעותית בכוח העבודה מכלל הנשים, ונעשה מין חישוב שמשקלל את מספר הילדים הרי שאנו מדברים על 10% מן האימהות-פר-ילד או פחות שייהנו מהטבת המס הזו.
ולסיום כמה קישורים בענייני המאבק הפמיניסטי:
http://www.achoti.org.il
http://www.isha.org.il

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 8:51:57 AM

לכלכלן

תודה על המחמאות.
אתמול, כמו כל יום, הייתי במשרד כמובן, במירוץ נואש אחרי הדדליינים שלי.
ואני לא ממש קורא את ישראל היום, הוא פשוט נוחת לי בתיבה והיה הכי זמין לצורך הרשימה הזו.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 8:54:18 AM

דרומי

אני לא ממש מבין את הטיעון שלך. איך מעבר מחצי משרה בשכר מינימום למשרה מלאה בשכר מינימום ישנה את הפער?
הפסיקה תשנה רק את מצבם.מצבן של בעלי השכר הגבוה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 8:56:39 AM

לאייל

בכלכליסט של היום ממסר כי מדובר ב-17% מהאימהות. אבל אני לא חושב שאחוז לכאן או לכאן משנה את העקרון.
אם רוצים לעודד נשים לא עובדות לעבוד – הפתרון הוא לא בהטבות מס, אלא בסבסוד מעונות יום – שעלותם תהיה דיפרנציאלית לפי שכר האם.

מרק ק.  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 10:29:59 AM

ללא נושא

אני מסכים לניתוח אבל לא לתוצאה. עובדתית עניים לא משלמים הרבה מיסים ואת רוב המיסים משלמים שני העשירונים העליונים, לכן בפועל לדעתי לא יהיה גידול מוחשי באי שיוויון בין העשירונים.
מצד שני נקודת ההנחה בדיון היא שמיסוי יועלה בשביל לכסות את ההוצאה הנוספת, אבל במקום למסות ניתן גם להקטין תקציב והרבה יותר קל לתקצב פחות קבוצות חלשות באוכלוסיה.

יובל  בתאריך 4/8/2008 10:32:34 AM

גם בהארץ

נראה שכתבת את מאמר המערכת שלהם:
http://www.haaretz.co.il/hasite/spages/972737.html

אמא של  בתאריך 4/8/2008 10:55:29 AM

ומה לגבי עצמאים ופמיניסטים

ראשית עצם ההתייחסות ליציאת האם לעבודה בלבד, ללא קשר לכך שעדיין (סטטיסטית… סטטיסטית) ברב המשפחות יש שני הורים, כך שכל ניסוח התקדים והרמז העבה לכך שזה צעד לשיוויון וגו' מאוד מקומם אותי. כאילו זה רק בעיית הכנסה לאישה, ולא לכל היחידה המשפחתית. (כמובן בהנחה שהאב היה מתישהו אחראי ליצירת הילד ולא רק ליצירת מרבית ההכנסה).
דבר שני, אני חושבת שהתקדים מאוד משמעותי לגבי הורים שיש ביניהם עצמאיים, כי כך אפשר לנכות, אולי, את כל ההוצאה, לא בטוח אבל שווה בדיקה.
ועכשיו כולנו ביחד – אם כבר, אז למה המשכנתא לא מוכרת כהוצאה?
הכותבת מרוויחה הרבה יותר מבעלה, ועדיין מצרה על שיעורי התשלום למטפלות

שחר  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 11:23:27 AM

יש שיוויון ויש שיוויון

אין ספק שכל הוצאה מוכרת לצורכי מס מיטיבה עם העשירונים העליונים ולכן מגדילה את האי-שיוויון בינם לבין העשירונים שמתחתיהם.
אבל כשמדברים על תרומה של פסיקה כזו לשיוויון לא מתכוונים בהכרח לזה שבין העשירונים השונים. מה שפסיקה כזו יכולה לעזור בתיקונו הוא האי-שיוויון הבסיסי בשוק העבודה בין גברים לנשים. כן התיקון הזה יורגש רק בעשירונים הגבוהים, אבל הוא יכול להיות משמעותי. במשפחה מהמעמד הבינוני-גבוה, כזו שגרה באיזור מבוסס (שמשמעותו גם שכר גבוה יותר לטיפול בילדים) נוצר מצב שבו חזרה של האם לעבודה אחרי הלידה אינה משתלמת כלכלית, וכך נשים מקצועיות בתחילת הקריירה קוטעות אותה לא אחת. הפסיקה תבטיח שהחלטה כזו, אם תתקבל, לא תהיה על בסיס כלכלי בלבד.
אז כן, הפער בין העשירונים יגדל, במידה קטנה למדי אני מעריך, אבל ייתכן ונראה יותר נשים מצליחות ליצור לעצמן רצף קריירה שמאפשר להן להתקדם לדרגים גבוהים ולהשתוות לעמיתיהן הגברים.

שפי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 11:46:45 AM

מרוב מספרים

מרוב מספרים אתם לא רואים את היער, כלומר את הג'ונגל:
משרד האוצר אמור להיות מרוצה מהפסיקה הזאת. כי לפחות על-פניו אחת הבעיות המרכזיות שלו היא ההון ה'שחור', כלומר הכסף שעובר מיד ליד מבלי לדווח לו. ומעכשיו, כדי לקבל זיכוי האמהות תדרושנה חשבוניות, וכתוצאה מכך אפשר יהיה לגבות מהבייביסיטרים למיניהם מס אמת, ובכלל, לדעת עליהם יותר.
לא, אני ממש לא בצד של האוצר, אלא שבמאמר שמתיימר להיות מקצועי אי אפשר שלא להעלות את הנקודה הזאת.

מיכל  בתאריך 4/8/2008 12:18:14 PM

ללא נושא

יוסי, הטענה של דרומי רלבנטית לעניין השורה האחרונה בפוסט שלך. לא מילים גבוהות וריקות מתוכן על קידום ומעמד האישה, אלא מציאות חיים ממשית שנשים חוות מדי יום ביומו. האפשרות להרחיב את היקף המשרה טומנת בחובה פוטנציאל קידום, השתכרות וסיפוק גדולים יותר, שנמנעת מנשים רבות, כמו גם מאבות חד-הוריים.

יפעת  בתאריך 4/8/2008 4:14:25 PM

אני חולקת על דבריך

נשים רבות מרוויחות מתחת לשכר המינימום מאחר והן נאצלות לעבוד בחלקיות משרה ולטפל בילדים בגלל שהעלות של מטפלת וגן עד שעה 16:00 גבוהה מאוד. אם יוכרו הוצאות אלה לניכוי הרי שיוכלו הנשים הללו לצאת לעבוד במשרה מלאה ולהרוויח יותר. כשאשה מרוויחה 3,500 ש"ח נטו, חבל לה לקחת מטפלת ולשלם לה משכורת זהה. אז היא כבר נשארת בבית או עובדת באופן חלקי. לעומת זאת אם האם תוכל לעבוד במשרה מלאה – היא תרחיב את אפשרויות ההעסקה שלה ותוכל, ככל הנראה, גם להרוויח יותר כסף. אם הוצאות מטפלת יהיו מוכרות – יותר כסף ישאר בכיס של האם והיא לא תהייה בדילמה של "האם כדאי שהבוס שלי כבר יעביר את המשכורת שלי ישירות למטפלת".

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 4:51:37 PM

תשובה למרק

1. בעקבות פסק הדין, בעלי הכנסות נמוכות יישארו באותה רמת הכנסה (כי לא יהנו מזיכוי מס) בעלי הכנסות גבוהות יעברו להכנסה יותר גבוהה (כי כן יקבלו זיכוי מס) – זה נראה כמו הגדלת אי שוויון – או שפיספסתי משהו?
2. אין נקודת הנחה שיועלה מיסוי כדי לממן את הטבת המס הזו. זו אחת האפשרויות, והקיצוץ תקציבי הוא אפשרות נוספת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 4:55:19 PM

תשובה לאמא של

אני לא מאמין שצריך להסביר זאת שוב, אבל בכל זאת.
בעניין המשכנתא – זה בדיוק אותו סיפור. אם שרי אריסון, לצורך העניין, תיקח משכנתא כדי לקנות לעצמה טירה חדשה, ותוכל לנכות את תשלום המשכנתא מהכנסתה החייבת במס, אז אנחנו נממן לה בעצם את המשכנתא. לעומת זאת, משק בית שהכנסתו כ-8000 ש"ח לחודש ומשלם משכנתא לא יהנה מהטבת המס – שוב, כי הוא מתחת לסף המס ולא משלם מס.
וחוץ מזה – מה עניין המשכנתא ליצירת הכנסה?

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 4:59:33 PM

לשחר

אני ממש לא מבין איך יציאה לעבודה לא משתלמת כלכלית. אולי בטווח הקצרצר זה נכון אבל כל מי שרואה מעבר לקצה אפו חייב להבין שזה לא כך.
אם דנים באשה בת 30 שקוטעת קריירה – זה משתלם כלכלית? מתי היא תחזור לעבודה? בעוד 10 שנים? 15? כאשר איבדה שנים יקרות בהן יכלה לצבור נסיון מקצועי וקידום? לא לחזור לעבודה זה לא משתלם כלכלית. ואם חלק נכבד מהשכר הולך להוצאות טיפול בילדים – זו השקעה, לא הוצאה.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 5:02:41 PM

לשפי

אני מת על התגובה שלך – "מאמר המתיימר להיות מקצועי". נו באמת, אם אתה חושב שאני לא מקצועי, תכתוב את זה וזהו, אל תתבייש.
בעניין ההון השחור – יש משהו בדברים שלך, אבל ממש לא הרבה. מטפל/בייבי סיטר יהיה מתחת לסף המס כמעט בכל מקרה, אז הרבה כסף לא יצא מכך

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 5:03:54 PM

מיכל

אני מסכים עם רוח דברייך, אבל ממש לא חושב שהפסיקה הזו תביא לכך.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 5:07:34 PM

יפעת

לך צריך להקדיש רשימה נפרדת.
אני מביא נתונים, ואת חולקת על דברי כי "את יודעת"
לדוגמא שנתת- אשה שמקבלת 3500 ש"ח לחצי משרה (נטו או ברוטו – לא משנה – זה כמעט אותו דבר) אמורה לקבל על משרה מלאה דומה כ-7000 ש"ח, ולכן ניכוי ההוצאות לא יעזור לה – ההבדל יהיה לא משמעותי (אם בכלל יהיה הבדל). אז מה מונע ממנה לצאת עכשיו לעבוד במשרה מלאה?

שחר  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 5:22:11 PM

יוסי

הנקודה המרכזית שלי לא היתה בשאלה אם משתלם או לא משתלם לאם צעירה להפסיק לעבוד. הנקודה היא שמובן מאליו שהפסיקה הזו לא יכולה להקטין את האי-שיוויון בין העשירונים (אלא להפך במידת מה) אבל יש בה פוטנציאל להקטין את האי-שיוויון בין המינים.

דרומי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 5:43:41 PM

ללא נושא

לא דיברתי על אישה שמשתכרת שכר מינימום.
קח אישה שמשתכרת, נניח, פי שלושה משכר מינימום – זה יוצא משהו כמו 60 ש"ח לשעה. כרגע היא עובדת בחצי משרה ולא משלמת מס. אם תעבור לעבוד במשרה מלאה, תרוויח כפול בברוטו, אבל תתחיל לשלם מס ולכן הנטו שלה יהיה פחות מכפול. במקביל, היא תצטרך להעסיק מטפלת במשך יותר שעות, כך שהנטו ישחק עוד יותר.
זיכוי מס על מטפלת יקטין את המס שהיא תאלץ לשלם, ולכן עשוי לעודד אותה להרחיב את היקף המשרה.

מרק ק.  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 6:00:42 PM

ללא נושא

פשוט נראה לי שרוב האמאות שיקבלו החזר שיכות לעשירונים שמשלמים מיסים ולכן תהיה יותר חלוקה מחדש של כסף בתוך העשירונים מאשר לקיחה מהעניים ומתן לעשירים.

שפי  [אתר]  בתאריך 4/8/2008 9:00:18 PM

ליוסי לוי

לא התכוונתי להגיד על המאמר שלך משהו רע, רק להוסיף את האלמנט שנראה לי הכי חשוב ומשמעותי בסוגייה זאת, הרבה יותר משמעותי מאיך שאתה מציג אותו בתגובתך. אין לי כוח כרגע להרחיב. צר לי שנפגעת מהמילה מתיימר, שהיא לא בהכרח שלילית. אולי ליתר בטחון הייתי צריך לבחור מילה אחרת.

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/10/2008 7:53:37 AM

נדב

אשה נשואה עם שני ילדים שעובדת בחצי משרה ב60 ש"ח לשעה אכן לא משלמת מס הכנסה, ותקבל תשלום נטו של 5230 שח. אם תעבור למשרה מלאה תשלם מס הכנסה בגובה 940 ש"ח לחודש, והנטו שלה יהיה כ-9200 שח, כלומר הפרש של כמעט 4000 ש"ח. הזיכוי על הוצאות הטיפול יעלה לה את הנטו ב-290 שח בערך. אתה באמת חושב שזה יהווה את התמריץ לעבור למשרה מלאה?

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 4/10/2008 7:57:16 AM

מרק

יש הבדל בין מה ש"נראה" ומה שיקרה בפועל. ברור שתהיה חלוקה מחדש של הכסף, אבל לא בהכרח בתוך העשירונים הגבוהים.

יונתן  בתאריך 4/12/2008 10:03:07 AM

היכן תהליך החקיקה

בעוד אני מסכים עם האנומליות שהפסיקה יוצרות, הרי שהדבר המטריד לטעמי בכל התהליך הוא ההתעלמות של השופט מתהליך החקיקה.
זו אינה הפעם הראשונה ששופט מרשה לעצמו לחוקק באמצעות תהליך השיפוט (ע"ע חוק המצות). בעוד אפשר להבין את התסכול של השופטים מעבודת המחוקק, הרי שגל החקיקה באמצעות פסיקות הינו מטריד הרבה יותר.

נחמיה שטרסלר הביא במאמר שפורסם רק לפני שבוע את כביש 431 כמשל לנפלאות השוק הפרטי: "כביש 431 שאמור לחבר בין כביש 6 לכביש החוף, נבנה בחלקו על ידי המגזר הפרטי ובחלקו על ידי המגזר הציבורי. ומה קורה? החלק הפרטי יהיה גמור חצי שנה לפני המועד. החלק הציבורי יגיע באיחור של שנה. לפחות.".
לא ברור מה האינטרס של חברה פרטית לסיים פרוייקט לפני הזמן (אלא אם היו בחוזה תמריצים כספיים לכך).

בכל מקרה, מתברר שהחברה הפרטית המופלאה הבונה חלק מכביש 431 אולי נחפזה קצת. לפי פרסום בדה-מרקר היום, "חברת התשתיות והבנייה דניה סיבוס, שבשליטת אפריקה של לב לבייב, פרסמה לפני דקות אזהרת רווח. החברה מציינת כי היא צפויה להציג בתוצאותיה לשנת 2007 הפסד בהיקף של כ-100-60 מיליון שקל. הפסד זה נובע, לפי דניה סיבוס, עקב גידול מהותי באומדן עלויות הביצוע של עבודות קבלניות בפרויקט להקמת כביש 431". האם לבייב יספוג את ההפרש, או יבקש מהמדינה תשלומים מוגדלים בתקופת הזיכיון? או שאולי ההפסד הזה פשוט יתקזז עם רווחים אחרים שיעשה לבייב על חשבוננו (לא תסריט סביר)? ימים יגידו.

אם מישהו מהקוראים מרחם על לבייב, נא לא לדאוגלו יותר מדי. בידיעה אחרת שפורסמה בדה-מרקר היום נאמר כי " עלות הכליאה בבית הכלא הפרטי, שבנייתו מסתיימת בימים אלה בבאר שבע, תהיה גבוהה ב-30% לפחות לעומת עלות הכליאה בבית כלא ממשלתי; זאת בניגוד לעמדת משרד האוצר, שקבע כי הפעלת בית כלא פרטי תחסוך למדינה כ-20% מעלויות הכליאה – כך עולה מתחשיב שערך באחרונה בכיר בשירות בתי הסוהר." את הכלא הפרטי בונה כזכור חברה בבעלות לב לבייב. את ההפרש נשלם אנחנו.

מעניין כי הכותרת קובעת כי "הכליאה בכלא של לב לבייב תהיה יקרה בכ-50% לעומת השב"ס". העורך של דה-מרקר צריך לחזור על נושא האחוזים. העלות בכלא של לבייב תהיה גדולה ב-30% לעומת עלות הכליאה בכלא ממשלתי – כך נמסר במפורש. העלות תהיה גבוהה מעלות הצפויה, לעומת זאת, לא ב-50%, אלא ב- 62.5%. (חשבון פשוט, אם העלות בשב"ס היא 100, אז העלות בכלא של לבייב הייתה צפויה להיות 80 ולבסוף תהיה 130. חלקו 130 ב-80 וקבלו את התוצאה).

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 3 במרץ 2008 שם התקבלו 4 תגובות

עומר  בתאריך 3/4/2008 12:26:54 AM

ראשית,

לפי האמור בכתבה, הכליאה תעלה אכן 50% יותר מאשר בשב"ס – לפי אותו תחשיב שפורסם בכתבה עלות הכליאה בשב"ס היא 155 ש"ח ליום ואילו אצל לבייב היא 235 ש"ח ליום, קרי – 50% יותר; אם נתעלם מהנתונים ונתייחס רק לאמור בכתבה הרי שהעלות היומית צריכה להיות גבוהה ב-30% מזו של השב"ס ו-62.5% יותר מהצפוי (לא מהשב"ס).
שנית – המקור למידע מעיד על מהימנות לוקה בחסר…

חזי  [אתר]  בתאריך 3/4/2008 1:39:32 AM

לבייב באמת נראה כמו סוהר

אני יכול לדמיין אותו במדים של השב"ס, פותח את הפה ואומר: "אבל משה, אני הייתי אמור לעשות משמרת בשבת הבאה לא השבוע!"

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 3/4/2008 8:32:44 AM

עומר

תודה על ההארה – אכן לפי הנתונים שפורסמו בתחתית הכתה עהעלות בכלא לבייב תהיה גבוהה ב-50% מהעלות בשב"ס.
חבל שלא נתון כמה הייתה אמורה להיות העלות המקורית של כליאה בכלא לבייב, אבל בכל זאת נאמר כי היא הייתה אמורה להיות נמוכה ב-20% מהעלות הכלא שב"ס.
נקווה שהנתונים הנכונים והמדוייקים יפורסמו מתי שהוא.

אותו 1  בתאריך 3/23/2008 5:21:38 PM

ללא נושא

על פי הסכם הזיכיון, נתיבי היובל תקבל תשלום מהמדינה מהיום בו תסיים את סלילת הכביש (כולל המחלף); זאת גם אם העבודות יסתיימו לפני תאריך היעד הנקוב בהסכם הזיכיון – סוף 2007. נתיבי היובל מבצעת את העבודות סביב השעון, ולפי ההערכות, היא תסיים את העבודות באמצע 2007.
(מתוך http://finance.walla.co.il/?w=/134/907686
)

 

ותודה לתם ונישלם מפורום אחל"ה בתפוז שהעלה לשם את הידיעה.

פורסם לראשונה באתר "רשימות" בתאריך 18 ביוני 2007  שם התקבלו 9 תגובות

מרק ק.  [אתר]  בתאריך 6/18/2007 10:08:47 AM

ללא נושא

בסוף עוד יתברר שמדובר באלפי אגורות . (כמה אנשים כבר משלמים במזומן בתחנת דלק?)

ד.ט  בתאריך 6/18/2007 10:29:02 AM

פשוט נפלה ו"ו מהכותרת

מאות ואלפי שקלים נגנבו…

להיפך  [אתר]  בתאריך 6/18/2007 2:51:09 PM

אלה שלש ידיעות שונות

מאות אלפי שקלים נשדדו מעובדת בתחנת דלק אלמונית.
עשרות אלפי שקלים נשדדו מעובדת בת 23 בתחנת דלק הפרטיה מפורטים בכתבה.
ובכלל במקום אחר לגמרי הגיע שודד שבאיומי סכין שדד רק אלפי שקלים.
מה פה לא ברור?

שחר  בתאריך 6/18/2007 3:15:18 PM

לא הבנת –

הם לא נשדדו היא נתנה עודף של 250 ש"ח, זו לא הייתה תחנת דלק אלא כספומט, וזה לא היה עודף אלא מישהי הוציאה כסף כדי לקנות בשבוע הספר, וזה לא היה בת"א אלא בחיפה.

רשקולניקוב  בתאריך 6/19/2007 2:05:22 PM

תיקון קרדיט

את הידיעה (מעיתון "הצופה", דרך אגב) סרקתי והעליתי דווקא אני, בפורום ארץ פו"ח:
http://forums.ort.org.il/scrip….p?which_forum=165&mess=2440113

זוריק  בתאריך 6/21/2007 11:17:18 AM

הכתבה מדויקת אך לא מפורטת מספיק

למעשה נשדדו מאות אלפי שקלים (כמו שמופיע בכותרת)
ובגוף הכתבה- "עשרות שקלים" (כמה עשרות,? המון עשרות בטוח שיותר מ-20 עשרות)
ובסיום הכתבה: "אלפי שקלים" (כמה – המון המון המון אלפי, יותר מ- 200 זה בטוח)
ותודה לעורך, למגיהה, ולסורק
ותודה לבעלי תחנת הדלק, שאינם מפקידים את הקופה בסוף יום העבודה, אלא צוברים עשרות (או אלפי) ימי עבודה בפדיון.
אגב, יוסי, משום מה מנגנון ההפצה לא עובד ומאז מאי לא קיבלתי התרעה מיילית שיש לך פוסטים חדשים, סתם ניכנסתי במקרה.
אשמח אם מישהו יוכל לבדוק את זה (ברשימות, לא אתה אישית)
תודה

יוסי לוי  [אתר]  בתאריך 6/21/2007 1:00:04 PM

לזוריק

הודעה על פוסטים חדשים אינה אוטומטית. כדי לא להטריד מדי את קוראיי, אני שולח הודעה רק כאר יש רשימה שאני מייחס לה חשיבות מיוחדת.

אלעד יאיר  [אתר]  בתאריך 6/27/2007 10:14:05 AM

הבנתי כבר שזה מהצופה

האם ידוע גם באיזה תאריך זה פורסם?

רשקולניקוב  בתאריך 7/13/2007 10:47:30 AM

ללא כותרת

חבל שהקרדיט תרם תוקן.
אלעד:
זה פורסם לפני זמן די רב. הייתי מעריך שלפני שנה לפחות. כשאגיע הביתה אבדוק, נדמה לי שעדיין יש לי את העיתון המקורי.