חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

ארכיב עבור 'ספורט'

איך אפשר לדעת מי תזכה במונדיאל?

לכאורה, אין דבר יותר פשוט מזה. חפשו בגוגל "מי תזכה במונדיאל", ותקבלו המון תחזיות: תוכלו לדעת מה הייתה התוצאה של סימולציה שאיזה סטארט-אפ עשה, מה קבעו המומחים הפיננסיים, מה החליטו הקוראים של הארץ, והכי חשוב, מה חושבים נהגי המוניות:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

הבעיה העיקרית היא שהדרך הכי טובה לדעת מה יקרה במונדיאל כבר לא קיימת. פול התמנון, עליו השלום, כבר לא איתנו. אני מקווה שנשמתו צרורה בצרור החיים.

אבל יש מי שמנסה למצוא יורש לפול. האתר psychic-pets.com קורא לעזרתם של בעלי חיות מחמד מכל העולם ומבקש מהם לנסות לברר מה יקרה. נכון למועד כתיבת שורות אלו, קרוב לאלף חיות מחמד נרתמו למשימה, מתוכן 85 חיות מחמד מגרמניה ושתיים מאירן. גם חיית המחמד שלי נמצאת שם. זהו ברווז, כמובן. לא סתם ברווז אלא ברווז פלא, העונה לשם Coin.

אז מה הסיכוי שהחיות האלה, או אפילו רק אחת מהן, יחזו את תוצאות המונדיאל? בואו נשתעשע במספרים.[1]

קודם כל, למען הפשטות אני מוציא (בינתיים) מהמשחק את שלב הבתים, ומתרכז בשלב שאחריו, בו 16 נבחרות מתחרות בשיטת הנוק אאוט. יש בשלב הזה 15 משחקים משמעותיים (ועוד משחק אחד על המקום השלישי שהוא פחות מעניין). דרך אגב, כמה משחקים היו נערכים בשיטת הנוק אאוט אם לשלב הזה היו מגיעות לא 16 אלא 53 נבחרות? תחשבו על זה.

אז החיות שלנו צריכות לחזות את התוצאות של 15 משחקים. אני אשחק כאן את תפקיד פרקליטו של השטן ואטען שהחיות לא חוזות את התוצאות אלא מנחשות. אם כך, מה הסיכוי שחיה אחת תחזה את כל התוצאות של כל 15 המשחקים? לכל משחק יש שתי תוצאות אפשריות (אין תיקו). הסיכוי לניחוש נכון הוא לכן 50% או חצי. יש 15 משחקים, והם לא תלויים זה בזה (בדרך כלל): התוצאה של משחק קודם בדרך כלל לא משפיעה על התוצאה של המשחק הבא. אני יודע שההנחה הזו לא נכונה ב-100%. יכול להיות שנבחרת שהתאמצה מאוד במשחק מסויים תגיע יותר עייפה ומוחלשת לשלב הבא, יכול להיות ששחקן מפתח הורחק או נפצע, ועוד. אבל אם חיות המחמד מנחשות, הן לא לוקחות את כל הדברים האלה בחשבון, והניחושים שלהן לא תלויים זה בזה. לכן, ההסתברות לניחוש התוצאות של 15 משחקים היא ההסתברות לניחוש נכון של משחק אחד מוכפלת בעצמה 15 פעמים. זה יוצא 1 ל-32768, או 0.003%. סיכוי נמוך? בהחלט, אבל בכל זאת גדול מאפס.

אבל יש לנו קרוב ל-1000 חיות שמנסות לבצע את אותו התרגיל.  אולי אחת מהן תצליח? כאן אפשר להשתמש בהתפלגות פואסון כדי לחשב את ההסתברות שאף חיה לא תצליח לחזות את כל התוצאות של כל המשחקים, שחיה אחת תצליח, ששתיים יצליחו וכולי. ובכן, ההסתברות שאף חיה מתוך האלף לא תצליח לחזות את התוצאות של כל 15 המשחקים היא 96.99%, ויש הסתברות של 2.96% שחיה אחת מבין האלף תצליח במשימה (אבל לא ניתן לדעת מראש איזה).

מצד שני, אני מטיל על החיות משימה לא הוגנת. בנדיק החתול מאיסלנד לא מתעניין בתוצאת המשחק שבין הונגריה ומיקרונזיה (אם יש בכלל משחק כזה). גם פול התמנון התמחה בנבחרת שלו, גרמניה. אז בואו נתרכז במשחקים של גרמניה.

אני מניח שגרמניה תשחק בסך הכל 7 משחקים – 3 בשלב המוקדם, ועוד ארבעה בשלב הנוק אאוט (כלומר, אני מניח שתגיע לחצי הגמר). לכן המשימה של מוקמוק הארנב ושאר חבריו מגרמניה אמורה יותר קלה – בואו נראה עד כמה היא יותר קלה.

שוב, לכל משחק יש שתי תוצאות: או שגרמניה מנצחת, וזה מה שחשוב, או שלא (ואני אתעלם כאן באלגנטיות ממה שלגארי לינקר היה לומר בעניין).

הסיכוי לניחוש נכון הוא חצי, ולכן הסיכוי לסדרה של שבעה ניחושים נכונים הוא חצי מוכפל בעצמו שבע פעמים. זה יוצא 1 ל-128, או 0.78%. עדיין נמוך, ועם זאת אפשרי.

אבל רגע. יש לנו 85 חיות מחמד מגרמניה. מה הסיכוי שלפחות אחת מהן תצליח? אנו נגייס שוב את התפלגות פואסון לעזרתנו. החישוב מראה לנו כי ההסתברות שאף אחת מבין 85 חיות המחמד לא תנחש את התוצאות של כל שבעת המשחקים היא כמעט 51.5%, ומכאן שיש הסתברות של 48.5% שלפחות אחת מהן תצליח במשימה. תיראו מופתעים.

אפשר כמובן לרדת לפרטים יותר קטנים: מה ההסתברות שלפחות חיה אחת תצליח לחזות תוצאה של שישה משחקים לפחות משבעת המשחקים של גרמניה (יותר מ-48.5%) או שלפחות חיה אחת תצליח לחזות את כל התוצאות של המשחקים של גרמניה בשלב הנוק אאוט בלבד (הרבה יותר מ-48.5%). לא ערכתי את החישובים האלה. אתם מוזמנים לנסות.

ועכשיו ברצינות. משחקי הניחושים האלה הם משעשעים ובדרך כל לא מזיקים. אולם יש אנשים שמהמרים על תוצאות המשחקים האלה. במקרה כזה לשאול את דג הזהב שלך מה תהיה התוצאה לדעתו זו לא אסטרטגיה טובה. אני מחזיר אתכם לחישובי הסטארט-אפ שהוזכר בפיסקה הראשונה ולאמירתו הבלתי נשכחת של גארי לינקר: "כדורגל משחקים תשעים דקות ובסוף גרמניה מנצחת".  ב-2014, למשל, גרמניה ניצחה ב-6 משחקים מתוך השבעה ששיחקה (משחק אחד הסתיים בתיקו). הסטארט-אפ הנ"ל הכניס למודל שלו את תוצאות כל המשחקים שנערכו מאז 1930. אני אמנע מלהביע את דעתי כי אני לא מכיר את כל פרטי המודל.

אני הסתכלתי על התוצאות של נבחרת גרמניה בארבעת הטורנירים האחרונים: מ-2002 עד 2014. בתקופה הזו גרמניה ניצחה ב-9 משחקים מתוך 12 בשלב הבתים – 75% הצלחה. בשלבי הנוק אאוט גרמניה ניצחה ב-13 משחקים מתוך 16 (כולל שני משחקים על המקום השלישי) – 81% הצלחה.

לכן, בשלב הבתים ברווז הפלא שלי יטיל מטבע שנופל על עץ בהסתברות 75% ועל פלי בהסתברות 25%.  יש לו סיכוי של קצת יותר מ-42% לנחש את התוצאות של שלושת המשחקים, פי 3.4 מסיכויי הניחוש של חיית מחמד אחרת שלא יודעת סטטיסטיקה. בשלב הבתים הברווז שלי יטיל מטבע שנופלת על עץ בהסתברות של 80%, ויהיה לו סיכוי של כמעט 41% לחזות את התוצאות של כל המשחקים, סיכוי גבוה פי 6.6 מהסיכוי של מוקמוק הארנב.

לפני שאתם רצים להמר אל תשכחו שסוכנויות ההימורים מכירות אל כל החישובים האלה (וגם חישובים יותר מסובכים) ולכן קובעות את שערי ההימורים כך שבסופו של דבר הן ירוויחו.

אני, אגב, לא צופה במשחקים, אבל מאחל שעות של הנאה למי שכן.


הערות
  1. את החישובים ביצעתי בערת תוכנת R []

על מכבי תל אביב ורוג’ר פדרר

האמת, לא ראיתי את המשחק בין מכבי תל-אביב וצסק"א מוסקבה בפיינל פור 2014 של היורוליג. אני לא צופה במשחקי כדורסל מאז הזכיה האחרונה של שיקגו בולז באליפות ה-NBA, ב-1998. בלי מיקל ג'ורדן, אני פשוט משתעמם. אבל על מה שקרה במשחק של מכביי שמעתי גם שמעתי.

למי שלא שמע: כשקבוצתו בפיגור של 15 נקודות בסוף הרבע השלישי של המשחק, הורה דייויד בלאט,  מאמן מכבי, לשחקניו לנסות ללכת על כל הקופה: לעבור למשחק מהיר, הגנה אגרסיבית, וזריקות לשלוש נקודות, תוך תקווה שהיריבה תעשה יותר טעויות מהרגיל.

במונחי ספורט, אולי זה היה הימור. במונחים סטטיסטיים, בלאט החליט להגדיל את השונות. לאחר 3 הרבעים הראשונים, המשחק כבר לא היה שקול. האסטרטגיה של בלאט הגדילה את ההסתברות לתבוסה: המשחק היה יכול להגמר ב-30 נקודות הפרש לטובת צסק"א, אבל במשחק של הכל או לא כלום, זה באמת לא משנה אם ההפסד הוא בהפרש של 15 נקודות או 30 נקודות. לעומת זאת, לקיחת הסיכון גם אפשרה הסתברות לרבע שייגמר ב-16 נקודות הפרש לטובת מכבי, בניגוד לאסטרטגיות של 3 הרבעים הראשונים במשחק שמהלכם לא היה טוב במיוחד מנקודת הראות של הצהובים.

איך זה קשור לרוג’ר פדרר?

הסבר קצר על משחק הטניס. המשחק הטיפוסי מורכב משלוש מערכות, וכדי לנצח על הזוכה לנצח בשתי מערכות מתוך ה-3[1]. כל מערכה מורכבת ממשחקונים, וכדי לנצח במערכה יש לנצח ב-6 (ולפעמים 7 או יותר) משחקונים. כך יכול להווצר מצב מוזר: שחקן שהפסיד 6:1 במערכה הראשונה (כלומר ניצח במשחקון אחד והפסיד ב-6), וניצח בשתי המערכות הבאות בתוצאה 6:4, זכה המשחק כי ניצח ב-2 מערכות מתוך ה-3, אבל ניצח בסך הכל ב-13 משחקונים, בעוד שיריבו ניצח  ב-14 משחקונים. תופעה זו, המזכירה את פרדוקס סימפסון,  קורה בערך ב-5% ממשחקי הטניס המקצועניים[2]. דבר דומה קרה גם במשחק הכדורסל: צסק"א ניצחה ב-3 מתוך 4 רבעי המשחק, אך הפסידה במשחק כולו.

מסתבר כי אלוף העולם בהפסדים ב-"משחקי סימפסון" בענף הטניס הוא לא אחר מאשר רוג’ר פדרר, אחד מגדולי הטניס בכל הזמנים. הוא שיחק ב-28 משחקים בהם המפסיד זכה ביותר משחקונים מאשר המנצח. המאזן שלו? 24 הפסדים, רק 4 ניצחונות.

מעניין לציין כי השחקן בעל המאזן הטוב ביותר במשחקים כאלה הוא ג'ון אייזנר , עם מאזן של 19 נצחונות ו-5 הפסדים. אייזנר זכור גם כמנצח במשחק הארוך ביותר בהיסטוריה, בטוניר וימבלדון ב-2010, בו ניצח את יריבו בתוצאה 70:68 במערכה החמישית. במשחק הנ"ל, אייזנר זכה ב-24 נקודות פחות מאשר יריבו.[3] אייזנר מבסס את כל משחקו על חבטת הגשה חזקה במיוחד שמותירה את היריב ללא מענה במקרים רבים. כאשר ליריב יש מענה, לאייזנר בדרך כלל אין.

למי שמשחק מול פדרר אין הרבה סיכויים לנצח; פדרר ניצח ביותר מ-80% המשחקים בהם השתתף. מעבר לכך – שיטת הניקוד בטניס מוטה לטובת השחקן הטוב יותר. יתרון קטן על היריב מתורגם על ידי שיטת הניקוד להבדל משמעותי בסיכויי הניצחון במשחק. הדרך הכמעט יחידה לנסות לנצח את פדרר היא להגדיל את הסיכון על ידי משחק אגרסיבי. אתה עלול להפסיד שתי מערכות בתוצאה 6:0, אבל יש לך גם סיכוי להפסיד פחות משחקונים מאשר בדרך כלל, ואם תנצח מספיק משחקונים, אולי זה יספיק לך לנצח בשתי מערכות צמודות, ואז למי איכפת מהמערכה בה פדרר הביס אותך?


הערות
  1. 1. ישנם טורנירים בהם המנצח נקבע בשיטת הטוב מ-5 מערכות []
  2. 2. Wright, B., Rodenberg, R. M., & Sackmann, J. (2013). Incentives in Best of N Contests: Quasi-Simpson's Paradox in Tennis.International Journal of Performance Analysis in Sport13(3), 790-802. []
  3. 3. כדי לנצח במשחקון, יש לצבור יותר נקודות מאשר היריב []

מקבץ 5

ושוב, אוסף לינקים בנושאי הבלוג שהצטברו מאז המקבץ הקודם.

  • המקבץ הקודם הסתיים בלינק לפוסט בבלוג "עבודה שחורה", שהודיע על העובדה הלא מפתיעה כי התפלגות השכר בישראל מוטה, או יותר נכון, אינה סימטרית. האמת, זה קצת כמו להודיע שכלב נשך אדם. זה המצב בכל התפלגויות השכר בכל מקום, וזאת כיוון שהשכר מוגבל מלמטה (על ידי שכר המינימום, או על ידי האפס) אך אינו מוגבל מלמעלה, ותיאורטית (וגם מעשית) יש קבוצה קטנה של מקבלי שכר גבוה במיוחד שיוצרים "זנב" להתפלגות. כל זה לא מעניין במיוחד את שלומית יהב, יועצת כלכלית לעת מצוא. היא פירסמה בווינט כתבה בה הוכיחה באותות ובמופתים כי משפחה שבה שני בני הזוג מרוויחים את השכר הממוצע במשק יכולה "לחיות טוב" בארצנו. אתם יודעים מה, היא גם צודקת. כי השכר הממוצע המשק גבוה מאוד, ומי ששכרו שווה לשכר הממוצע ניצב בגאון בעשירון השלישי, כלומר, 70% מהאוכלוסיה מרוויחים פחות מהשכר הממוצע. הבעיה היא שמספר המשפחות בהן שני בני הזוג עובדים ומרוויחים את השכר הממוצע במשק זניח. אם אחד מבני הזוג מרוויח את השכר הממוצע, יש סיכוי יותר גדול כי השני מרוויח פחות מכך. כן, גם אם לוקחים בחשבון שיש תלות בין השכר של שני בני הזוג, וזאת כיוון שהשכר הממוצע למשפחה הוא פחות מפעמיים השכר הממוצע במשק. דובי קננגיסר כתב היטב על הכשלים של גברת יהב, והעריך כי התחשיב שלה נכון לגבי לא יותר מ- 10% ממשקי הבית בישראל. השורה התחתונה: אם אתה בעשירון העליון, אתה באמת יכול לחיות טוב בארץ הזו.
  • ראיון עם פרופסור אילון לינדנשטראוס, שזכה במדליית פילדס, הפרס היוקרתי ביותר במתמטיקה.
  • אין שידור טלוויזיה של משחק כדורסל, בייסבול או פוטבול (אמריקני) שאינו מלווה בשפע של נתונים סטטיסטיים אודות המתרחש במשחק. יותר מכך: ניתוחים סטטיסטיים מהווים היום חלק מתהליך קבלת ההחלטות בכל ארגון ספורט בענפים האלה. ומה קורה בכדורגל? לא הרבה. הניו יורק טיימס מנסה לברר מדוע. חלק מהסיבות: האוהדים לא מעוניינים. הקבוצות לא מתעניינות. קשה יותר להשיג נתונים סטטיסטיים על משחקי כדורגל, בין היתר בגלל האופי השונה של המשחק.
  • לא רק לענף הכדורגל יש בעיות עם הסטטיסטיקה. גם לרופאים (שוב, ידיעה מהסוג של "כלב נשך אדם"). אתר ABC מדווח על מחקר שפורסם לאחרונה לפיו רוב הרופאים אינם מבינים נתונים סטטיסטיים אודות תופעות לוואי אפשריות של תרופות. עורכי המחקר מאשימים, איך לא, את חברות התרופות. האפשרות שרופאים ילמדו קצת סטטיסטיקה לא עולה בדעתם.
  • בגליון ספטמבר של Amstat News, המגזין החודשי של האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה – ראיון עם שלושה בלוגרים סטטיסטיקאים: אנדרו גלמן, נתן יאו וקייזר פאנג.
  • ובגליון אוגוסט מובאים הזוכים בתחרות הפוסטרים השנתית של האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה – הנערכת בקרב תלמידי בתי הספר בארה"ב. מה שמראה שלא צריך להיות רופא, או סטטיסטיקאי, כדי "לעשות" סטטיסטיקה טובה. צריך רק לרצות. הנה טעימה: הזוכה במקום הראשון בקרב תלמידים מכיתות א עד ג:

מקבץ (2) – מוקדש לפול התמנון

מקבץ השבוע מוקדש לפול התמנון.

מי שלא יודע, פול התמנון חי לו בגן חיות אי שם במזרחה של גרמניה, ובמקביל לעיסוקים השגרתיים של גן החיות פיתח לו קריירה של אוראקל החוזה את תוצאות משחקיה של נבחרת גרמניה במונדיאל. לפני שעה קלה השלים פול מונדיאל מוצלח יחסית, בו ניבא ללא טעות את תוצאות כל שבעת המשחקים של נבחרת גרמניה. מוצלח "יחסית", כתבתי, כיוון שעתידו עדיין לוט בערפל, לאור הניבוי של הפסד גרמניה לספרד בחצי הגמר.

עוד לפני המשחק הגורלי (לעתידו של פול) מול ספרד ביקש ממני במייל  גדי איידלהייט להתייחס לנושא בבלוג. הסתפקתי בטוויט, בו כתבתי כי יש סיכוי די גבוה שמתישהו איפהשהו תמנון או חיה אחרת תצליח לנחש סדרה של תוצאות משחקים. על הגירפה שלא הצליחה לנחש אף תוצאה, לעומת זאת,  אף אחד לא מדווח. וזה בסך הכל תמצות של 140 תווים לרשימה שכתבתי בעקבות האירוע "יוצא הדופן" שאירע בלוטו הבולגרי.

הנה עוד כמה התייחסויות של פול השבוע ברשת:

דויד שפיגלהלטר מהבלוג understanding uncertainty נטען טיעון דומה לשלי, לפיו יש כאן הטיית פרסום, ומשום מה כל היצורים הימיים החוזים כי צפון קוריאה תזכה בגביע סובלים מהתעלמות התקשורת.

וילאים בריגס מדווח על מני, התוכי מסינגפור, שחזה נכונה את כל ארבע הנבחרות שהגיעו לחצי הגמר. אבל גם בריגס קובל על התעלמות התקשורת מבני הבולדוג וסמי הסנאי שהתחזיות שלהם היו קצת פחות מוצלחות. בריגס גם חישב ומצא כי אם יש 200 חיות המנסות לנחש תוצאות של שבעה משחקים, וכל אחת מהן מנחשת את התוצאה הנכונה של כל משחק בהסתברות של 50%, הרי יש הסתברות של 93% כי אחת מהן תצליח לנחש שבע תוצאות נכונות.

ולסיום, הנה עוד מתחרים לפול התמנון: שני מתמטיקאים מאוניברסיטת לונדון פיתחו מודל המשתמש בתורת הגרפים כדי לחזות את נצחונה של ספרד על הולנד בגמר, מחר. כיוון שלפני שבוע דיווחתי כאן על מתמטיקאי סקוטי שחוזה את נצחונה של הולנד, אני מעז להעלות כאן תחזית שבודאי תתגשם: מישהו מהחוזים האלה יטעה.

מקבץ

מי שעוקב אחרי הבלוג הזה בטח כבר שם לב שלאחרונה אין לי כח לכתוב פוסטים מושקעים, עקב עייפות החומר והרוח. זה לא אומר שהבלוג הולך למות, ואני בהחלט מקווה לחזור ולכתוב בהרחבה על נושאים שברומו של הבלוג.

זה לא אומר שנעלמתי לחלוטין. מי שעוקב אחרי בטוויטר רואה את הגיגיי ולינקים שונים שאני מפרסם. מאחר ואני יודע כי כאן בבלוג יש יותר קוראים מאשר עוקבים בטוויטר, הנה מקבץ לינקים שפרסמתי בזמן האחרון, שעוסקים בעיקר בשלושה נושאים: סטטיסטיקה, כדורגל (לכבוד המונדיאל), וסטטיסטיקה וכדורגל.

נתחיל בסטטיסטיקה.

  • בעיר סן-דייגו בקליפורניה ניתן לאסוף חתימות של 15% מבעלי זכות הבחירה ובכך לכפות העלאת נושא להצבעה במעין "משאל עם"  עירוני. הצעה שעוסקת בהפרטת שירותים עירוניים זכתה לתמיכה של כ-135000 חתימות, כ-40000 יותר מהדרוש. האם הנושא יועלה להצבעה? לא. בדיקה מדגמית ל כ-4000 מהחתימות גילתה כ-30 חתימות כפולות. המסקנה המפתיעה את מי שלא מבין סטטיסטיקה: נאספו למעשה רק כ-74000 חתימות כשרות ההצעה נפלה.
  • ג'ף סלואן, עורך במגזין compositesworld כותב "המלצה נדירה על ספר שיצא לאחרונה אודות אירועים נדירים שבקושי עונים על ציפיותינו" (באנגלית זה הרבה יותר טוב). הספר המדובר הוא "הברבור השחור" מאת נסים טאלב. אני קורא כרגע את הספר, ומתלהב פחות. מקוווה לכתוב על התרשמותי.
  • מי רוצה להיות ביוסטטיסטיקאי? מאמר במגזין של האיגוד האמריקני לסטטיסטיקה.
  • אנדרו גלמן מאוניברסיטת קולומביה סוקר כמה מהמאמרים הקלאסיים של הסטטיסטיקה.
  • עוד מאמר על אשליית זיכויי הזכיה בלוטו, הפעם בוואנקובר סאן.
  • מאמר על חייו ופועלו של ואלודי וייבול, האיש שהתפלגות וויבול קרויה על שמו, במלאות 123 להולדתו, וזאת באתר המוקדש להתפלגות וייבול ויישומיה.
  • והנה מאמר על חייו ופועלו של סיר פרנסיס גאלטון, שהיה, בין היתר, אחד מחלוצי הסטטיסטיקה המודרנית.
  • בנמל התעופה של וושינגטון הדלתות האוטומטיות נסגרות ומכות שוב ושוב במזוודות של הנוסעים. הנזק המצטבר על הדלתות הוא בצורת הפעמון המפורסם של ההתפלגות הנורמלית.

ונעבור לכדורגל.

  • מתי שתי הקבוצות המשחקות רוצות להבקיע שער עצמי? הסיפור מתואר בבלוג הכלכלי "marginal revolution", ולמאותגרי אנגלית הוא מתורגם לעברית בבלוג של שמוליק.
  • 10 השערים המוזרים ביותר. מעניין לראות את הבדלי התרבויות בין הולנד (איפופה, לצורך העניין) וברזיל (או דרום אמריקה). בשער השני ברשימה, שחקן הולנדי מבקיע שער בטעות (הוא התכוון לבעוט את הכדור החוצה כדי לאפשר טיפול בשחקן פצוע של הקבוצה היריבה, אך הכדור נחת ברשת). כשהמשחק מתחדש, הקבוצה שהבקיעה נותנת ליריבה להבקיע שער משלה כדי להחזיר את המצב לקדמותו. בשער מספר שלוש, לעומת זאת, במשחק שנערך בברזיל, כדור שנבעט לשער יוצא החוצה, אך מישהו שעומד ליד השער לוקח את הכדור ומשליך אותו לתוך הרשת. השופט פספס את כל המהלך וראה רק כדור ברשת, וממהר לשרוק שער. שחקני הקבוצה שזכתה בשער מן ההפקר מרימים ידיים בשמחה. אף אחד לא מעלה בדעתו לגשת לשופט ולהגיד לו "שמע, זה לא באמת גול". אז מי שחשב שההצגה של ריוואלדו ב-2002 שגרמה להרחקת שחקן יריב על לא עוול בכפו, או השער שהבקיעה ברזיל במונדיאל הזה תוך שימוש ביד של אחד משחקניה הם סתם מקרים, שיחשוב שוב. זו תרבות. זה בא מלמטה.

ואסיים, כמובטח, בסטטיסטיקה וכדורגל: מאמר שהופיע בעיתון סקוטי מתאר מודל סטטיסטי המנבא כי הולנד תזכה במונדיאל הקרוב. המאמר הופיע לפני הנצחון של הולנד על ברזיל. טוב, לנסים טאלב בטח יש מה להגיד על הניבוי הזה (וגם לי), אבל כרגע הסיכויים של הולנד הרבה יותר גדולים מאלה של ברזיל, וגם זה משהו.