רשמים מהרצאתו של מריו ליביו

ביום חמישי האחרון הייתי בהרצאתו של מריו ליביו שנושאה היה כשם ספרו החדש: “האם אלוהים מתמטיקאי“. לשמחתי הגעתי מוקדם מספיק כדי להכנס לאולם. אלה שהגיעו מאוחר מדי מצאו אולם מלא ונאלצו לצפות בהרצאה בשידור האינטרנט באולם סמוך. המעוניינים יכולים לצפות בהקלטת ההרצאה באתר יוטיוב.

ההרצאה הייתה בהחלט מעניינת, וליביו הוא בהחלט מרצה טוב. הוא הביא במשך כשעה את ה-highlights של ספרו האחרון. אני עדיין קורא את הספר, אולם לא נתקלתי בהרצאה כספוילרים של ממש. למי שעדיין לא שמע, הספר עוסק בעצם בשאלה הפילוסופית האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה. ליביו סוקר בספרו (וסקר בהרצאתו) את הגישות הפילוסופיות שעסקו ועוסקות בשאלות האלה, תןך כדי שהוא שם על ציר הזמן את האירועים המדעיים ש השפיעו על הדיון הזה, ובינהם תצפיותיהם האסטרונומיות של קפלר וגליליאו, פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגלי על ידי ניוטון ולייבניץ, הופעתן של הגיאומטריות הלא אויקלידיות, ומשפטי אי השלמות של גדל.

במקביל, הוא הראה כיצד המתמטיקה והמדע צועדים יד ביד, כאשר פיתוחים מתמטיים חדשים נמצאים מתאימים למוגלים מדעיים חדשים. כדוגמא מרכזית בהרצאתו הביא את תורת הקשרים, שאמנם המוטיבציה הראשונית לפיתוחה הייתה תיאוריית מבנה האטום של הלורד קלווין (אשר שרדה רק כעשרים שנה לפני שהופרכה), אך המחקר המתמטי של תורה זו נמשך, ובסופו של דבר נמצאה שימושית עבור תיאוריות מדעיות חדשות, ובהן תורת המיתרים וחקר מבנה ה-DNA.

הכל טוב ויפה ומרשים, עד שליביו הציג את השאלה הבאה: האין זה מפתיע/מדהים שתורה מתמטית שפותחה ללא כל יישום שהוא, כמו תורת הקשרים, נמצאת לפתע כמתאימה ביותר לתיאור תיאוריה פיזיקלית שכלל לא הייתה מוכרת עד לפני זמן לא רב, כמו תורת המיתרים? השאלה הייתה אמורה להיות שאלה רטורית, אבל לדעתי לפחות, התשובה לשאלה הזו ברורה לחלוטין. לא, זה לא מפתיע בכלל. זה אפילו היה צפוי. יש הרבה תיאוריות מדעיות, יש הרבה תורות מתמטיות, והסיכוי שעם הופעת תיאוריה מדעית חדשה יתברר כי כבר קיימת תורה מתמטית שיכולה להתאים לה, הוא לכן, לדעתי, לא מבוטל כלל וכלל. כבר הסברתי, ברשימה על הלוטו הבולגרי, כי אירוע שנראה בהסתכלות נקודתית כצירוף מקרים מדהים אינו כל כך נדיר, אם בוחנים את כל פוטנציאל צירופי המקרים.

בסיום ההרצאה, כאשר ניתנה לקהל האפשרות לשאול שאלות, הרמתי את ידי ושאלתי אל פרופ’ ליביו בדיוק את השאלה הזו. התשובה הייתה מאכזבת (התשובה של ליביו לשאלתי נמצאת 1:04:50 שעות מתחילת הקלטת ההרצאה ביוטיוב). ליביו ענה לי כי אמנם “יש משהו” בדברי, אך מייד המשיך ושאל שאלה נוספת, שנראתה רטורית בעיניו שלפחות. איך אתה מסביר את העובדה שניוטון פיתח תיאוריה מדעית ומתמטית כה מדוייקת על הכבידה, וזאת בהסתמכות על תצפיותיו הלא מדוייקות של קפלר, שאל ליביו. והוסיף ושאל ליביו, האם אין זה מדהים כי התיאוריה של ניוטון, שנבנתה על בסיס התצפיות הלא מדוייקות של קפלר, נתנה תחזיות הרבה יותר מדוייקות? שאל ולא ענה, ואני נמנעתי מלהכנס לדיון איתו בנושא (אני מניח שהוא גם לא היה נותן לי).

אז הנה כאן תשובותיי לליביו. קודם כל, אני חושב שבדבריי יש יותר מ-“משהו”. אנחנו חיים בעולם מסויים, ומושפעים ממנו. לכן, אין זה מפתיע כלל וכלל כי גם התיאוריות המדעיות שאנו מפתחים וגם התורות המתמטיות שאנו מפתחים מושפעות מהעולם הזה ומתארות אותו בעת ובעונה אחת. קשרים, למשל, קיימים במציאות. אז מדוע שמתממטיקאים לא יחקרו את תכונותיהם המתמטיות? ולמה בדיוק אנחנו צריכים להיות מופתעים שקשרים קיימים במציאות לא רק בשרוכי נעליים ובספינות מפרשים אלא גם במקומות נוספים, לא בהכרח מעשי ידי אדם? תורת הקשרים, חקר ה-DNA ותורת המיתרים היו על מסלול התנגשות. זה שאנחנו, בני האדם, לא ראינו את זה קורה, לא אומר שהיה כאן אירוע מדהים. ליביו עצמו הביא את דוגמת המדוזה: האם מדוזה תבונית שחיה בקרקעית האוקיינוס, וכל תחושותיה הן שינויי לחץ וטמפרטורה, תפתח מספרים טבעיים? מדוזה כזו תפתח מן הסתם מתמטיקה רציפה, ובמקביל תיאוריות מדעיות על העולם הרציף שהיא חווה. האם נופתע אם נגלה שהמתמטיקה הרציפה שהמדוזה הזו תפתח תהווה שפה מתאימה למדע שאותה מדוזה מפתחת?

השאלה שליביו הציב בפני כתשובה לשאלתי גם היא אינה רטורית בעיני. קודם כל, היא לא ממש עונה על השאלה ששאלתי. מעבר לכך, אני לא מופתע מהיכולת של ניוטון לעבד מידע לא מדוייק ולהפיק ממנו תיאוריה שתפיק אינפורמציה מדוייקת יותר. עשו זאת לפניו, עשו זאת אחריו, ויעשו זאת שוב ושוב בעתיד. דוגמא קלאסית, שליביו לא התייחס אליה בספרו: גאוס השתמש במידע חלקי ביותר על מסלולו של האסטרואיד צרס כדי לחשב במדוייק את מסלולו. אני מעריך מאוד (איך לא) את היכולות של ניוטון וגאוס. מופתע? לא בטוח. זו מהות המדע: הרחבת הידע. אפילו העובדה שמדובר בשני ענקים אינה מטה את הכף לצידו של ליביו. הפיתוחים המתמטיים פורצי הדרך שלהם פותחו כמעט במקביל על ידי מתמטיקאים נוספים (ע”ע לייבניץ, לזנדר, לשתי הדוגמאות האלה). לו לא היו לנו ניוטון וגאוס, עדיין היו לנו החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ושיטת הריבועים הפחותים. אני בטוח שרוב הקוראים יוכלו להביא שפע של דוגמאות נוספות.

ואסיים בדעתי האישית (ללא נימוק, איני רואה טעם לחזור על הנימוקים בעד גישה זו שמתוארים היטב בספרו של ליביו, לצד נימוקי הנגד). אני חושב מהמתמטיקה היא פרי המצאתו של האדם. אמנם נחמד לחשוב על המתמטיקה כספר שכתב אלוהים, ואנו מגלים מתוכו דף אחר דף, כפי שתיאר זאת פול ארדש. אבל אני מתחבר יותר לאמירתו של דויד הילברט על תורת הקבוצות: “איש לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור ברא עבורנו”.