איך אפשר לדעת מי תזכה במונדיאל?

לכאורה, אין דבר יותר פשוט מזה. חפשו בגוגל “מי תזכה במונדיאל”, ותקבלו המון תחזיות: תוכלו לדעת מה הייתה התוצאה של סימולציה שאיזה סטארט-אפ עשה, מה קבעו המומחים הפיננסיים, מה החליטו הקוראים של הארץ, והכי חשוב, מה חושבים נהגי המוניות:

הבעיה העיקרית היא שהדרך הכי טובה לדעת מה יקרה במונדיאל כבר לא קיימת. פול התמנון, עליו השלום, כבר לא איתנו. אני מקווה שנשמתו צרורה בצרור החיים.

אבל יש מי שמנסה למצוא יורש לפול. האתר psychic-pets.com קרא לעזרתם של בעלי חיות מחמד מכל העולם ומבקש מהם לנסות לברר מה יקרה. נכון למועד כתיבת שורות אלו, קרוב לאלף חיות מחמד נרתמו למשימה, מתוכן 85 חיות מחמד מגרמניה ושתיים מאירן. גם חיית המחמד שלי נמצאת שם. זהו ברווז, כמובן. לא סתם ברווז אלא ברווז פלא, העונה לשם Coin.

אז מה הסיכוי שהחיות האלה, או אפילו רק אחת מהן, יחזו את תוצאות המונדיאל? בואו נשתעשע במספרים. ((את החישובים ביצעתי בערת תוכנת R ))

קודם כל, למען הפשטות אני מוציא (בינתיים) מהמשחק את שלב הבתים, ומתרכז בשלב שאחריו, בו 16 נבחרות מתחרות בשיטת הנוק אאוט. יש בשלב הזה 15 משחקים משמעותיים (ועוד משחק אחד על המקום השלישי שהוא פחות מעניין). דרך אגב, כמה משחקים היו נערכים בשיטת הנוק אאוט אם לשלב הזה היו מגיעות לא 16 אלא 53 נבחרות? תחשבו על זה.

אז החיות שלנו צריכות לחזות את התוצאות של 15 משחקים. אני אשחק כאן את תפקיד פרקליטו של השטן ואטען שהחיות לא חוזות את התוצאות אלא מנחשות. אם כך, מה הסיכוי שחיה אחת תחזה את כל התוצאות של כל 15 המשחקים? לכל משחק יש שתי תוצאות אפשריות (אין תיקו). הסיכוי לניחוש נכון הוא לכן 50% או חצי. יש 15 משחקים, והם לא תלויים זה בזה (בדרך כלל): התוצאה של משחק קודם בדרך כלל לא משפיעה על התוצאה של המשחק הבא. אני יודע שההנחה הזו לא נכונה ב-100%. יכול להיות שנבחרת שהתאמצה מאוד במשחק מסויים תגיע יותר עייפה ומוחלשת לשלב הבא, יכול להיות ששחקן מפתח הורחק או נפצע, ועוד. אבל אם חיות המחמד מנחשות, הן לא לוקחות את כל הדברים האלה בחשבון, והניחושים שלהן לא תלויים זה בזה. לכן, ההסתברות לניחוש התוצאות של 15 משחקים היא ההסתברות לניחוש נכון של משחק אחד מוכפלת בעצמה 15 פעמים. זה יוצא 1 ל-32768, או 0.003%. סיכוי נמוך? בהחלט, אבל בכל זאת גדול מאפס.

אבל יש לנו קרוב ל-1000 חיות שמנסות לבצע את אותו התרגיל.  אולי אחת מהן תצליח? כאן אפשר להשתמש בהתפלגות פואסון כדי לחשב את ההסתברות שאף חיה לא תצליח לחזות את כל התוצאות של כל המשחקים, שחיה אחת תצליח, ששתיים יצליחו וכולי. ובכן, ההסתברות שאף חיה מתוך האלף לא תצליח לחזות את התוצאות של כל 15 המשחקים היא 96.99%, ויש הסתברות של 2.96% שחיה אחת מבין האלף תצליח במשימה (אבל לא ניתן לדעת מראש איזה).

מצד שני, אני מטיל על החיות משימה לא הוגנת. בנדיק החתול מאיסלנד לא מתעניין בתוצאת המשחק שבין הונגריה ומיקרונזיה (אם יש בכלל משחק כזה). גם פול התמנון התמחה בנבחרת שלו, גרמניה. אז בואו נתרכז במשחקים של גרמניה.

אני מניח שגרמניה תשחק בסך הכל 7 משחקים – 3 בשלב המוקדם, ועוד ארבעה בשלב הנוק אאוט (כלומר, אני מניח שתגיע לחצי הגמר). לכן המשימה של מוקמוק הארנב ושאר חבריו מגרמניה אמורה יותר קלה – בואו נראה עד כמה היא יותר קלה.

שוב, לכל משחק יש שתי תוצאות: או שגרמניה מנצחת, וזה מה שחשוב, או שלא (ואני אתעלם כאן באלגנטיות ממה שלגארי לינקר היה לומר בעניין).

הסיכוי לניחוש נכון הוא חצי, ולכן הסיכוי לסדרה של שבעה ניחושים נכונים הוא חצי מוכפל בעצמו שבע פעמים. זה יוצא 1 ל-128, או 0.78%. עדיין נמוך, ועם זאת אפשרי.

אבל רגע. יש לנו 85 חיות מחמד מגרמניה. מה הסיכוי שלפחות אחת מהן תצליח? אנו נגייס שוב את התפלגות פואסון לעזרתנו. החישוב מראה לנו כי ההסתברות שאף אחת מבין 85 חיות המחמד לא תנחש את התוצאות של כל שבעת המשחקים היא כמעט 51.5%, ומכאן שיש הסתברות של 48.5% שלפחות אחת מהן תצליח במשימה. תיראו מופתעים.

אפשר כמובן לרדת לפרטים יותר קטנים: מה ההסתברות שלפחות חיה אחת תצליח לחזות תוצאה של שישה משחקים לפחות משבעת המשחקים של גרמניה (יותר מ-48.5%) או שלפחות חיה אחת תצליח לחזות את כל התוצאות של המשחקים של גרמניה בשלב הנוק אאוט בלבד (הרבה יותר מ-48.5%). לא ערכתי את החישובים האלה. אתם מוזמנים לנסות.

ועכשיו ברצינות. משחקי הניחושים האלה הם משעשעים ובדרך כל לא מזיקים. אולם יש אנשים שמהמרים על תוצאות המשחקים האלה. במקרה כזה לשאול את דג הזהב שלך מה תהיה התוצאה לדעתו זו לא אסטרטגיה טובה. אני מחזיר אתכם לחישובי הסטארט-אפ שהוזכר בפיסקה הראשונה ולאמירתו הבלתי נשכחת של גארי לינקר: “כדורגל משחקים תשעים דקות ובסוף גרמניה מנצחת”.  ב-2014, למשל, גרמניה ניצחה ב-6 משחקים מתוך השבעה ששיחקה (משחק אחד הסתיים בתיקו). הסטארט-אפ הנ”ל הכניס למודל שלו את תוצאות כל המשחקים שנערכו מאז 1930. אני אמנע מלהביע את דעתי כי אני לא מכיר את כל פרטי המודל.

אני הסתכלתי על התוצאות של נבחרת גרמניה בארבעת הטורנירים האחרונים: מ-2002 עד 2014. בתקופה הזו גרמניה ניצחה ב-9 משחקים מתוך 12 בשלב הבתים – 75% הצלחה. בשלבי הנוק אאוט גרמניה ניצחה ב-13 משחקים מתוך 16 (כולל שני משחקים על המקום השלישי) – 81% הצלחה.

לכן, בשלב הבתים ברווז הפלא שלי יטיל מטבע שנופל על עץ בהסתברות 75% ועל פלי בהסתברות 25%.  יש לו סיכוי של קצת יותר מ-42% לנחש את התוצאות של שלושת המשחקים, פי 3.4 מסיכויי הניחוש של חיית מחמד אחרת שלא יודעת סטטיסטיקה. בשלב הבתים הברווז שלי יטיל מטבע שנופלת על עץ בהסתברות של 80%, ויהיה לו סיכוי של כמעט 41% לחזות את התוצאות של כל המשחקים, סיכוי גבוה פי 6.6 מהסיכוי של מוקמוק הארנב. הברווז שלי יכול לעשות הרבה יותר טוב מזה: הוא יכול “לנחש” תמיד שגרמניה תנצח: כך הסיכוי שלו לנחש נכונה את תוצאות כל המשחקים יהיה מעל ל-75%.

לפני שאתם רצים להמר אל תשכחו שסוכנויות ההימורים מכירות אל כל החישובים האלה (וגם חישובים יותר מסובכים) ולכן קובעות את שערי ההימורים כך שבסופו של דבר הן ירוויחו.

אני, אגב, לא צופה במשחקים, אבל מאחל שעות של הנאה למי שכן.