חיפוש באתר

קישורים

RSS סטטיסטיקה ברשת

עמודים

קטגוריות

תגיות

איך להמר (אם אתה מוכרח)

איך להמר (אם אתה מוכרח)

אתם חייבים 100 אלף דולר לשוק האפור, אבל יש לכם רק 50 אלף, וצריך לשלם בערב. זה לא משנה אם יהיו לכם 50 אלף דולר, או 90 אלף, או 99,999. כל סכום קטן מ-100 אלף יגרום לתוצאות הרות אסון. הסיכוי היחיד שלכם נמצא בקזינו. אתם ניגשים לשולחן הרולטה, שם אפשר להמר על אדום-שחור. אם הימרתם בדולר אחד על אדום, והתוצאה היא אדום, תקבלו בחזרה את הדולר שלכם ודולר אחד נוסף. אם התוצאה אינה אדום[1] הפסדתם את הדולר. יש לציין כי הסתברות הזכיה כאשר מהמרים על אדום היא קצת פחות מ-50%. מה הכי כדאי לעשות? מהי האסטרטגיה שתביא למקסימום את ההסתברות שתצאו מהקזינו ובכיסכם 100 אלף דולר?

שאלה דומה לזו הוצגה בעמוד הראשון של הספר הקלאסי How to gamble if you must מאת Lester E. Dubins, ‎Leonard J. Savage, andb ‎William Sudderth. כותרת המשנה של הספר היא Inequalities for Stochastic Processes, ומעידה על כך שזהו בהחלט ספר מתמטי. ההוכחה לתשובה שמייד אציג נמצאת בפרק החמישי של הספר, למי שמתעניין. כאן אנסה לתת הסבר אינטואיטיבי לתשובה.

אבל לפני כן קצת שעשועים. בסקר שערכתי בטוויטר השתתפו 46 צייצנים. הדיעות התחלקו פחות או יותר שווה בשווה בין ארבע התשובות האפשריות שהוצעו:

לפני שנדון בתשובות קצת היסטוריה, על קצה המזלג. משחקי הימורים היו נפוצים כבר בזמנים קדומים, ויש תיעוד שלהם בכל התרבויות העתיקות. מחקרים אודות הימורים ומשחקי מזל שערכו מלומדים כקרדנו במאה ה-16, כריסטיאן הויגנס במאה ה-17, ואברהם דה-מואבר ויעקב ברנולי במאה ה-18, ואחרים, הניחו את היסודות לתורת ההסתברות. למעשה, הפתרון שאציג מייד נובע מעבודה של דה-מואבר משנת 1711.

ועוד אנקדוטה (אולי משעשעת): בראשית ימיה, עמדה חברת FedEx בפני משבר. היה עליה לשלם חוב של 24,000 דולר, כשבקופתה היו 5000 דולר בלבד. יו"ר החברה ומייסדה, נטל את הכסף שבקופה, טס ללאס וגאס, הימר בשולחן הבלאק ג'ק וזכה ב-27,000 דולר. כך ניצלה החברה, והשאר, כמו שאומרים, היסטוריה. תודה לשי אלקין שהסב את תשומת ליבי לסיפור.

למתעניינים בהיסטוריה של חקר ההימורים והנחת יסודות תורת ההסתברות, אמליץ לקרוא את הספר נגד האלים מאת פיטר ברנשטיין, או את הספר הקלאסי
Games, Gods and Gambling מאת פלורנס נייטיגייל דייויד[2] .

ועכשיו לתשובות.

תשובה אפשרית אחת היא שלא משנה מה עושים כי ממילא נפסיד הכל. זה נכון. ההימור נוטה לטובת הקזינו. ההסתברות לזכיה ברולטה בהימור על אדום (או על שחור) היא 18/38, בערך 47%. מי שיהמר לאורך זמן יצבור אט אט הפסדים, ומי שימשיך להמר עוד ועוד יפסיד בסופו של דבר את כל כספו.  את זה הוכיח כריסטיאן הויגנס. מי שענה את התשובה הזו בסקר צדק.

אבל חדי העין ישימו לב כי השאלה כפי שנוסחה כאן שונה מעט מהניסוח בטוויטר, גם בגלל מגבלת התוים בטוויטר ואולי גם בגלל חוסר דיוק מצידי. בואו נדון באסטרטגיה שתביא למקסימום את ההסתברות לצאת מהקזינו עם 100 דולר, כאשר מגיעים אליו עם 50 אלף דולר. כאן בגדול יש שתי אפשרויות. אפשרות אחת היא להמר מייד על כל הסכום, בתקוה שתזכה בהימור אדום-שחור וכספך יוכפל. ההסתברות לכך היא, כאמור, בערך 47%.

מה קורה אם מהמרים כל פעם על חלק מהסכום? בואו ניקח לדוגמא את האסטרטגיה הבאה: להמר על 25 אלף דולר, לקוות לזכות ועל ידי כך להגדיל את הונך ל-75 אלף דולר, ואחר כך להמר שוב על 25 אלף דולר, כאשר זכיה תביא אותך אל הסכום הנכסף של 100 אלף דולר. במקרה הטוב ביותר תגיע למטרה על ידי שתי זכיות רצופות של 25 אלף דולר כל אחת. ההסתברות לכך היא 0.47 כפול 0.47[3] , כלומר בערך 22.4%.

יש כמובן אפשרות שתפסיד בהימור הראשון את 25 אלפי הדולרים עליהם הימרת. עכשיו יהיה עליך להכפיל את הונך פי 4, וזה ידרוש שוב לפחות שתי זכיות רצופות[4] , וההסתברות לכך היא שוב כ-22.4%.

אם מהמרים על סכומים קטנים יותר, יש צורך ביותר זכיות, וההסתברות להגיע ל-100 אלף דולר צונחת בהתאם.

זו האינטואיציה שעומדת מאחורי הקביעה כי האסטרטגיה האופטימלית היא להמר מייד על כל הסכום בתקווה להכפילו. ברנולי ודה-מואבר הבינו זאת כבר בראשית המאה ה-18. הוכחות מתמטיות מלאות לטענות קרובות הופיעו בתחילת המאה ה-20.

רק רגע, יש עוד אפשרות: לעשות משהו אחר. אפשר להמר בשיטת ההכפלות, הידועה גם בשם  שיטת המרטינגייל.

הנה הרעיון: אתה מתחיל בהימור אדום שחור על דולר. אם זכית – קיבלת את הדולר שלך בחזרה ועוד דולר אחד כרווח. אם הפסדת, לא נורא. המר כעת על שני דולר. אם זכית, אתה מקבל את שני הדולרים שלך בחזרה, ועוד שני דולרים כרווח, בסך בכל ארבעה דולרים. אבל הימרת רק על שלושה דולרים! מכאן שהרווחת דולר.

ומה קורה אם הפסדת גם בהימור השני? אין בעיה. הכפל את סכום ההימור והמר כעת על ארבעה דולר. אם זכית, תקבל שמונה דולר, אבל הימרת רק על שבעה דולר (1+2+4). הרווחת דולר.

ומה אם הפסדת בהימור על ארבעת הדולרים? אין בעיה. הכפל את סכום ההימור ל-8 דולר. אם תזכה תקבל בחזרה 16 דולר, כשהימרת רק על 15 דולר – כלומר שוב הרווחת דולר.

ומה יקרה אם הפסדת בהימור על שמונת הדולרים? אולי עדיין אין בעיה, אבל בקרוב תהיה לך בעיה.

קודם כל נתייחס לבעיה הספציפית שלנו – להגיע מ-50 אלף דולר ל-100 אלף דולר. בשיטה הזו זה ייקח קצת זמן, ותצטרך לזכות בהרבה הימורים בדרך.

כמובן, אם עומד לרשותך סכום כסף בלתי מוגבל, השיטה הזו תוביל אותך לזכיה בהסתברות 1. אבל, הסכום שעומר לרשותך[5] מוגבל, וייתכן מאוד שתגיע למצב בו אין בידיך מספיק כסף כדי להכפיל את ההימור. למעשה, אפשר להוכיח כי אם תהמר בשיטה זו לאורך זמן, תגיע למצב בו אין בידיך די כסף כדי להכפיל את ההימור בהסתברות 1.

שלישית, ברוב בתי הקזינו יש הגבלה על גובה ההימור. שיטת ההכפלות תביא אותך בסופו של דבר אל המחסום הזה ואז לא תוכל למשיך ולהכפיל את ההימור גם אם יש בכיסך את הסכום הדרוש.

באופן אישי, אם היה לי קזינו, לא הייתי מתנגד לכך שיהמרו נגדי בשיטת ההכפלה. אדרבא. אמנם מדי פעם אפסיד דולר, אך ההפסד הזה יכוסה על ידי ההפסדים של כל המכפילים שיגיעו לגבול ההימור שלהם, והפסדים אלה יהיו יותר נפוצים ויותר גדולים מדולר אחד.

אז אם אתם רוצים להמר בשביל הכיף – סבבה. אם אתם רוצים להרוויח כסף מהימורים, כדאי שיהיה לכם קזינו. והכי חשוב, אל תסתבכו עם השוק האפור.


הערות
  1. יש עוד שתי אפשרויות – שחור וירוק []
  2. שאין לבלבל בינה ובין פלורנס נייטינגייל []
  3. בהנחה הסבירה לגמרי שאין תלות בין ההימורים []
  4. להמר על 25, לזכות, ואז להמר על 50 ושוב לזכות []
  5. ולרשות כל אחד, בעצם []

4 תגובות ל“איך להמר (אם אתה מוכרח)”

  • תגובה מאת משה חשן
    תאריך 14 בנובמבר 2017 07:35

    אני מסכים לחלוטין עם הפתרון הראשון הימור על כל הקופה. בשיטת דולר אחרי דולר לא יגיע. מדובר במהלך אקראי בשיפוע שלילי. גם יקח זמן רב ביותר שהרי התקדמות היא לפי שורש מספר המהלכים. וגם כנראה יגיע להפסד ..
    שיטת מרטינגייל מצוינת אם אני רוצה וודאי להגיע הביתה עם רווח כלשהו. נאמר דולר ואז אני חותך ברגע שהרווחתי פעם אחת. מצד שני באילוצים של הבעיה שיש לי עומק של חמישים אלף בלבד שזה ההון שבידי לא ילך. אם אני יכול נאמר לקחת סכום נוסף כגב כלכלי על ידי הוצאת משכנתא על הבית הפרטי, אז שיטת מרטינגייל תצליח . כמובן יש סיכוי שאגיע גם מעבר לעומק שבידי ואפסיד את הבית …

  • תגובה מאת שמוליק
    תאריך 14 בנובמבר 2017 11:19

    מה לגבי השיטה הבאה:
    בהימור ראשון אני מהמר על 25$ ביחס של 1:3 (לדוגמא שם את הכסף על המספרים 1-12) אם אני זוכה משלשים לי את הכסף כלומר נותנים לי 75$ וביחד עם ה 25$ שנשארו לי מההתחלה אני מגיע ל 100$. אם אני לא זוכה בהימור הראשון אני לוקח את ה 25$ שנשארו לי ומהמר ביחס של 1:4 (שם על המספרים 1-9) אם אני זוכה מכפילים לי הכסף פי 4 ואני מקבל 100$ כפי שרציתי.
    הסיכוי לזכות ב 100$ בדרך זו הוא 1/3 עבור ההימור הראשון ועוד 1/4 עבור ההימור השני סה"ככ 58% זכיה! (ליתק דיוק אם משקללים את האפסים ברולטה אז הסיכוי הוא 12/38+9/38=55% שזה עדין שיפור משמעותי אך נזניח זאת לצורך המשך הדיון).

    אפשר לפתח את השיטה עוד יותר: בהימור השני אני נוהג לפי אותה אסטרטגיה של חלוקת ה 25K שנשארו לי לשניים. אני מהמר ל 12.5K ביחס של 1/7 (נניח שזה אפשרי לצורך הדיון הסטטיסטי למרות שבמציאות ברולטה זה לא אפשרי)- אם אני זוכה יש לי 7*12.5+12.5=100 בסיכוי של 1/7 ואם אני לא זוכה אני מהמר הימור שלישי על ה 12.5 ביחס של 1:8 ומגיע ל 100 בסיכוי של 1/8 וסה"כ סיכוי הזכיה שלי הם: 1/3+1/7+1/8=60% !!

    אפשר להמשיך עם האסטרטגיה הזו עוד ועוד בסדרה אינסופית שלא חישבתי את הגבול שלה באופן מדוייק אבל היא מתכנסת לגבול של בקירוב 61% !

    • תגובה מאת שמוליק
      תאריך 14 בנובמבר 2017 12:43

      קצת מביך אבל כמה דקות לאחר שהגבתי הבנתי שטעיתי כי לא הכפלתי את הסיכוי לזכיה בהימור השני בסיכוי להגיע אליו ולכן הסיכוי הוא לא 1/3+1/4 כפי שרשמתי אלא: 1/3+2/3*1/4=0.5 כלומר זהה לכאורה לשיטה שהוצגה בפוסט כלומר להמר על הכל בהימור הראשון ביחס של 1:2 (להמר על השחור ברולטה)

      אבל הטעות שלי לא הייתה מוחלטת מסתבר וסליחה על הקטנוניות:
      בשיטה שהוצעה בפוסט הסיכוי המדוייק לזכות הוא 18/38= 0.47368

      לעומת זאת בשיטה שהצעתי לעיל הסיכוי בחישוב מדוייק שמשקלל את האפסים ברולטה הסיכוי לזכות הוא: 12/38+26/38*29/38 = 0.477839 !
      שיפור של כארבע עשיריות האחוז בלהגיע ל 100$ המיוחלים 🙂

      אם ממשיכים את האסטרטגיה שהצעתי למעלה הסיכוי גדל בעוד טיפה

  • תגובה מאת אור
    תאריך 14 בנובמבר 2017 11:21

    הסיכוי הטוב ביותר זה לא להמר .
    כי יש לך 100% להשאר עם חצי מהסכום!

תגובה