חיפוש באתר

קישורים

RSS סטטיסטיקה ברשת

עמודים

קטגוריות

תגיות

אחד מהם הוא בן

לפני יומיים ערכתי סקר בטוויטר. שאלת הסקר הייתה: במשפחה יש שני ילדים. אחד מהם הוא בן. מה הסיכויים שגם הילד האחר הוא בן? הוצעו 4 תשובות אפשריות: חצי, רבע, שליש, או שאף תשובה אינה נכונה. בסקר השתתפו 205 צייצנים (שבשום אופן אינם מדגם מייצג), ולהלן התוצאות:

 

 

 

 

 

 

 

 

לאחר שהעליתי את הסקר נזכרתי כי העליתי בעבר רשימה שהציגה את החידה הזו ובנוסף הציגה ווריאציה קשה יותר של החידה, תחת הכותרת "ילדה ושמה יוספה". אתם מוזמנים לעיין ברשימה שעסקה בפתרון שתי החידות. ברשימה זו אדון שוב בפתרון החידה שהוצגה בסקר והתוצאות  מפתיעות. מתברר שיש יותר מתשובה נכונה אחת.

בואו נדון בתשובות.

התשובה הנפוצה ביותר היא חצי. איני יודע מה הוביל 131 איש לענות "חצי", אך מנסיוני אני סבור כי רובם שקלו את השיקול הבא: ילד אחד הוא בן. הילד השני יכול להיות בן או בת, וההסתברות לכך היא 50:50. הבעיה בתשובה הזו: התשובה מתעלמת מהנתון שאומר כי אחד מהילדים הוא בן. לא נאמר האם הילד הראשון הוא בן, או האם הילד השני הוא בן. צריך לקחת את זה בחשבון.

איך ניקח זאת בחשבון? צריך לשים לב כי יש ארבעה סוגי משפחות בנות שני ילדים:

  • הבכור בן, הצעירה בת
  • הבכור בן, הצעיר בן
  • הבכורה בת, הצעיר בן
  • הבכורה בת, הצעירה בת

לכל אחד מסוגי המשפחות יש הסתברות של 0.5*0.5=0.25 (תחת הנחות מסויימות, שמייד אדון בהן). המשפחה שלנו אינה משפחה עם שתי בנות (כי ידוע לנו שאחד מהילדים הוא בן). זה מותיר אותנו עם 3 סוגי משפחות אפשריות: בן-בן, בן-בת, ובת-בן. מתוכן ישש רק מבנה משפחה אחד עם שני בנים. לכן ההסתברות כי במשפחה יש שני בנים היא 1/3. וזו התשובה הנכונה (או שלא?)

כל זה נכון, בתנאי שמניחים מספר הנחות:

  1. כל ילד הוא בהכרח בן או בת
  2. הסיכוי ללידת בן שווה לסיכוי ללידת בת
  3. אין קשר בין מין הילד הבכור ומין הילד השני.

אפשר לטעון, ובהחלט בצדק כי ההנחות (או חלקן) אינן תקפות. ב-2017 כבר מכירים בעובדה שמגדר אינו הכרח בינארי[1], ולכן הנחה מספר 1 אינה בהכרח נכונה[2]. ידוע כי הנחה מספר 2 אינה נכונה. נולדים יותר בנים מבנות[3]. יש לכך סיבות רבות שלא יידונו כאן. אחת הצייצניות העלתה טענה כי אם במשפחה הילד הבכור הוא בן, אז יש סיכוי גבוה יותר כי הילד השני יהיה בן.[4]

אם מקבלים את הביקורת על תקפות ההנחות (או חלק מהביקורת) אז התשובה 1/3 אינה בהכרח נכונה, ואז התשובה ש-"אף תשובה אינה התשובה הנכונה" היא התשובה הנכונה, ותשובה זו קבילה בעיניי.

מכאן הדברים מתחילים להסתבך.

הנה טוויסט בעלילה: התשובה 1/2 יכולה להיות נכונה! אפנה אתכם לניתוח המפורט של ד"ר גדי אלכסנדרוביץ, או שאולי תעדיפו את ההסבר בויקיפדיה. ההסבר בקצרה: לא ידוע לנו איך נבחר הבן עליו נאמר לנו כי הוא בן. אם יש בן אחד במשפחה – ברור מיהו הבן עליו נמסרה האינפורמציה. אם זו משפחה עם שני בנים – אז יכול להיות שהבן עליו דיברו הוא הבכור, ויכול להיות כי הבן עליו דיברו הוא הבן הצעיר. בהנחה (שוב הנחה!) שבמקרה של שני בנים הבן עליו דיברה החידה נבחר באופן מקרי ואחיד (כלומר בהסתברות 1/2) מבין שני הבנים, החישוב ההסתברותי (שלא אפרט כאן) מראה כי ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים היא 1/2.

אבל רגע: אם לוקחים בחשבון את אופן בחירת הבן שמדברים עליו (למרות שלא נאמר על כך דבר בניסוח החידה), למה שלא ניקח בחשבון משהו אחר שלא נזכר בחידה, נניח אם הילד שעליו מדובר נולד ביום שלישי או לא נולד ביום שלישי? תשאלו מה זה משנה. ובכן, זה משנה. הראיתי כבר כי אינפורמציה נוספת משנה את התמונה[5] אסביר. ההסבר טכני, ומי שלא מעוניין יכול לדלג על הדיון והנוסחאות..

ובכן יש לנו משפחה בה שני ילדים, ידוע לנו כי אחד הילדים הוא בן, אבל לא ידוע לנו אם נולד ביום שלישי, או שלא.  מכאן שיש 9 סוגי משפחות, אך כעת לכל סוג משפחה יש הסתברות שונה. אם נסמן את ההסתברות לכך שהבן נולד ביום שלישי באות היוונית ϵ (מסיבות שיובררו בהמשך). לדוגמא, ההסתברות שילד הוא בן וגם שהוא נולד ביום שלשי היא 0.5ε, כי אין תלות בין מין הילד והיום בו הוא נולד.תשעת סוגי המשפחות וההסתברויות שלהם הן[6]:

אז מה?

נחבר את ההסתברויות של סוגי המשפחות עם שני בנים שלפחות אחד מהם נולד ביום שלישי (מספר 1, 2, ו-4 ברשימה), ואחר כך נחבר את ההסתברויות של כל המשפחות שבהן יש לפחות בן אחד שנולד ביום שלישי (מספר 1, 2, 3, 4, ו-7 ברשימה) ונקבל, נחלק את ההסתברות הראשונה בהסתברות השנייה ונקבל כי ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים אם ידוע שאחד מהם הוא בן שנולד ביום שלישי היא:

 

 

אם נציב במקום ϵ שביעית, נקבל כי ההסתברות היא 13/27.[7]

באופן דומה, נוכל לחשב כי ההסתברות  שבמשפחה יש שני בנים אם ידוע שאחד מהם הוא בן אבל אף בן לא נולד ביום שלישי היא:

 

 

בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה נוכל לצרף את שתי ההסתברויות יחד ולמצוא את ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים. הנוסחה משקללת את שתי ההסתברויות שחישבנו בהסתברויות התנאי: ההסתברות שלפחות אחד מהילדים הוא בן שנולד ביום שלישי (סכום ההסתברויות של מספרי 1, 2, 3, 4, ו-7 ברשימה)  וההסתברות המשלימה – של המאורע שאומר כי אין המשפחה ילד שנולד ביום שלישי.

על ידי סיכום ההסתברויות  1, 2, 3, 4, ו-7 נקבל כי ההסתברות שלפחות אחד מהילדים הוא בן שנולד ביום שלישי היא

 

 

ומכאן נקבל (על ידי הפחתת ההסתברות הזו מ-1) כי הסתברות המאורע המשלים (אין במשפחה בן שנולד ביום שלישי) היא 

 

כעת נוכל לשקלל את ההסתברויות ולקבל כי ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים היא

 

 

עד כאן הנוסחאות.

 

נציב בנוסחה האחרונה שקיבלנו שביעית במקום ϵ ונקבל כי ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים היא בערך 0.457. זה אומר שגם במקרה הזה תשובה ד בסקר היא התשובה הנכונה.

אבל למה לעצור כאן? לא ידועים על הילד עוד פרטים. למשל, לא ידוע לנו אם הילד נולד בין ה-1 בינואר ובין הארבעה בספטמבר, או שלא. אם נחליף את המאורע הזה במאורע "נולד ביום שלישי" נקבל כי ϵ הוא 248/365 או בקירוב 0.682. נציב 0.682 בנוסחה ונקבל כי ההסתברות שבמשפחה יש שני בנים היא 0.2501, כלומר גם תשובה ב נכונה!

מבולבלים? גם אני.[8] .

המסקנה שלי מכל הסיפור הזה היא שאסור לעשות שטויות. כשניצבת מולכם בעיה שכוללת נתונים מסויימים, עליכם להתמקד בנתונים של הבעיה, לבחון היטב את ההנחות, ולוודא כי מספר ההנחות שמניחים הוא קטן ככל האפשר.

 


הערות
  1. לא מצאתי מקור אמין הסוקר נושא זה. אשמח להפניות []
  2. היא אולי נכונה כשמדובר בשני ילדים קטנים, אבל הם יכולים להיות גם ילדים גדולים, בני 30 ו-32, למשל []
  3. קישור לנתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה – קובץ pdf []
  4. מצאתי מאמר אחד התומך בטענה הזו, אולם יש לי ביקורת עליו, ולדעתי התוצאה שלו חסרת משמעות. ראו כאן: http://www.sci-princess.info/archives/2055 []
  5. ילדה ושמה יוספה, זוכרים? []
  6. תחת שלוש ההנחות שצויינו למעלה, והנחה נוספת האומרת כן אין קשר בין מין הילוד ליום בשבוע בו נולד []
  7. זוהי, אגב, התשובה לחידה שפירסמתי כאן, ללא פיתרון []
  8. יכול להיות שיש לי טעות, ואם כן, אשמח אם מי מכם יגלה אותה ויספר לי מהי []

4 תגובות ל“אחד מהם הוא בן”

  • תגובה מאת גיל
    תאריך 29 באוקטובר 2017 15:03

    הכל טוב ויפה וגם אני חשבתי על ההנחות השונות, אבל הערה אחת: יש אכן יותר משני מגדרים אבל אני מניח שאנחנו מתייחסים למין הביולוגי שם יש אכן רק שניים. אפשר כמובן להכניס את העמימות הזו לשאלה ואז נשאל אם מדובר במין או מגדר ומי מתייחס אליו או אליה כבן או בת ואז נצטרך להכניס את כל ההגדרות של המגדר.

    • תגובה מאת A.N.
      תאריך 2 בנובמבר 2017 00:29

      גיל, אתה מניח שאינטרסקס לא קיימים, או שהמין שלאחר ניתוח שינוי מין ביילודים הוא מין הלידה?
      ההערכה היא שבין 0.05% ל-2.5% מהתינוקות (תלוי באיזור ובאוכלוסיה) הם אינטרסקס. אלא אם אתה מעוניין להגדיר פרמטר בודד למין (כרומוזומים, גונדות, צורת איברי המין וכו'), יש לך יותר משני מינים בבני אדם.

      אתה יכול לטעון שלצורך שעשוע אינטלקטואלי ההפרש זניח, אבל שלא לצורך שעשוע אינטלקטואלי, זו גסות רוח לומר לאנשים שהם לא קיימים.

      • תגובה מאת גיל
        תאריך 2 בנובמבר 2017 09:41

        שוב, ברמה הביולוגית של הכרומוזום אפשר להגדיר כל אחד כגבר או אישה. אפילו אנשים שנולדו עם כרומוזום נוסף, נניח XXY או XYY הם עדיין גברים, פשוט עם תסמונת מסוימת ולרוב לא פוריים. המונח אינטרסקס הוא מונח חברתי שנוי במחלוקת. כשיש אנשים עם איברי מין שאינם חד משמעיים ואז הההורים או הרופאים מחליטים לגדל אותם בניגוד למין הביולוגי שלהם, נגזרים על הילד חיי אומללות ואין שום מקרה מתועד שילדים כאלו גדלו כמין שנכפה עליהם כשהוא בניגוד למין הביולוגי והיו מרוצים מזה.

  • תגובה מאת נעם לבנת
    תאריך 30 באוקטובר 2017 22:22

    נדמה שיש כאן קושי בפיענוח ההסתברות, אך זה מבוסס על הטעיה ניסוחית.
    השאלה הבסיסית היא מה המידע הקונקרטי הטמון בניסוח שהגיע לאזנינו או לעינינו. המשפט 'אחד מהם הוא בן' מכריח שאין מדובר במשפחה שלה שתי בנות. אם היתה שקילות בין שני הדברים, כלומר אין במשפט 'אחד מהילדים הוא בן' שום מידע נוסף מעבר ל'אין זה נכון ששני הילדים הם בנות' – התשובה היחידה האפשרית, וממילא הנכונה, היא שליש.
    אם *יש* כאן מידע נוסף – צריך קודם כל לברר או להגדיר מה הוא, ואז להתקדם.

תגובה