חיפוש באתר

קישורים

עמודים

קטגוריות

אפשר קצת יחס, בבקשה?

ארגון מסויים הזמין אותי לאירוע, שאמור להיערך באולם סגור. בהודעה על קיום האירוע נאמר כי במקום יהיו “זולות עישון”. הלא מעשנים שבין המוזמנים (ומה לעשות, אני נמנה עימם), נזעקו, וטענו כי קיומן של זולות העישון יפגע בהנאתם מהאירוע, ואולי אף ימנע את השתתפות חלק מהם. המעשנים, לעומת זאת, נזעקו וטענו כי איסור על עישון באירוע יפגע בהם ובהנאתם מהאירוע. התחשבות בלא מעשנים, שקולה לדעתם, לחוסר התחשבות במעשנים.

יעל משאלי, כתבה בטורה ב-Ynet לפני כחודש על “תחושה קשה של כפייה חילונית קשה” שחשה בגבעתיים בחג הפסח האחרון. זאת, כיוון שבקניון גבעתיים “מכל בתי הקפה ומתחם המזון המהיר על שפע דוכניו אין אפילו מקום אחד כשר. לא לפסח, לימות השנה!”.

איני מעוניין לדון בשני הויכוחים החשובים האלה. ברצוני לכתוב על הכלי המתמטי שהשימוש בו משותף לשני הויכוחים. ברצוני לדבר על יחסים.

בשני המקרים יש שתי קבוצות אוכלוסייה: מעשנים ולא מעשנים בראשון, דתיים וחילוניים בשני. בשני המקרים נדון יחס הכפייה בין הקבוצות. במקרה הראשון, הלא מעשנים דורשים לכפות סביבה ללא עישון על המעשנים (בזמן ובמקום מסוימים), ובו זמנית טוענים כי התרת עישון היא כפיה של רצון המעשנים עליהם. המעשנים, באופן לא מפתיע, משתמשים באותו סוג של טיעון כדי להצדיק את עמדתם.

מתמטיקאים משתמשים ביחסים ללא הרף. לכן, התכונות של היחסים נחקרו (ועדיין נחקרות) ביסודיות. הבה נסקור כמה תכונות של יחסים.

ראשית, נבהיר כי יחס תמיד מוגדר לגבי קבוצה מסויימת של עצמים. יחס הכפיה, למשל, מוגדר לגבי אוסף כל קבוצות האוכלוסייה האפשריות, והוא רלוונטי רק בהקשר הזה. אין משמעות למשפט “הלא-מעשנים כופים את דעתם על המספרים הזוגיים”.

לא כל שני עצמים מתייחסים בהכרח זה לזה. המעשנים והלא מעשנים עשויים להתגושש אלה עם אלה, אולם לא סביר כי קבוצת המעשנים מנסה לכפות את עמדתה בנושא מסויים על תושבי מצפה רמון.

האם עצם יכול להתייחס לעצמו? ייתכן. האוכלוסייה הדתית ללא ספק כופה על עצמה אורח חיים של קיום מצוות. שימו לב שאני משתמש במילה “כפיה” במובן המתמטי של יחס, לפיו קבוצת אוכלוסייה מגדירה כללי התנהגות המחייבים קבוצת אוכלוסייה. נא להתעלם מפירוש הסמנטי השלילי של המונח “כפיה”. אם כל עצם בקבוצה מתייחס לעצמו, יאמרו המתמטיקאים כי היחס הוא “רפלקסיבי”. דוגמא ליחס כזה הוא יחס הדמיון בין בני אדם – שהרי כל אדם בודאי דומה לעצמו.

relation

התמונה נלקחה מאתר המרכז הפדגוגי - מכללת "אורות ישראל" http://www.orot.ac.il

 

יחס אחר המוגדר בין בני אדם הוא יחס העושר (במובן הכספי של המילה). לגבי כל שני אנשים, אפשר לקבוע אם אדם א עשיר מאדם ב, או שאדם ב עשיר  מאדם א, או שעושרם שווה. אם אברהם עשיר מיצחק, ויצחק עשיר מיעקב, אזי ברור כי אברהם עשיר מיעקב. אם כל שלושה עצמים בקבוצה מקיימים את התכונה הזו (כלומר אם A מתייחס ל-B ו-B מתייחס ל-C אז A מתייחס ל-C, וזאת לכל A, B, ו-C), יאמרו המתמטיקאים כי היחס הוא “טרנזיטיבי”.

ומה באשר לקרבת המשפחה? האם זהו יחס טרנזיטיבי? אם משה קרוב משפחה של אהרון, ואהרון קרוב משפחה של פנחס, הרי שמשה הוא קרוב משפחה של פנחס. אני מניח שכל אחד ישכנע את עצמו כי יחס קרבת המשפחה הוא אכן טרנזיטיבי. אבל ליחס קרבת המשפחה יש עוד תכונה, שמכונה “סימטריות”: אם משה קרוב משפחה של אהרון, הרי שבהכרח אהרון קרוב משפחה של משה. המסקנה המוזרה היא, שאם משה קרוב משפחה של אהרון, אזי אהרון קרוב משפחה של משה, ולפי תכונת הטרנזיטיביות, נקבל כי משה קרוב משפחה של עצמו! אם אתם רואים כאן כשל לוגי, מערכת התגובות עומדת לרשותכם.

יחס הדמיון בן בני אדם גם הוא סימטרי: אם יוסי דומה לרוני אז בהכרח רוני דומה ליוסי. אבל אם רוני דומה גם לרמי, האם בהכרח יוסי דומה לרמי? לאו דווקא. יחס הדמיון בין בני אדם אינו טרנזיטיבי.

תכונה נוספת שיחס עשוי לקיים תסגור את המעגל. נחזור אל המעשנים והלא מעשנים. כל קבוצה חשה שאם לא תתקבל דעתה, הרי שפירוש הדבר הוא ניצחון לקבוצה היריבה, כלומר כפיית דעתה של הקבוצה היריבה. תכונה זו מכונה “אנטי סימטריות”. לצערי, האנטי-סימטריות מרימה את ראשה בהרבה מאוד סכסוכים. לו ניתן היה להימנע ממנה מדי פעם, החיים של כולנו היו הרבה יותר יפים.

פורסם לראשונה באתר “רשימות” בתאריך 29 במאי 2005 שם התקבלו 2 תגובות

יגאל  [אתר]  בתאריך 5/29/2005 11:46:41 PM

ביחס לרשימה הזו שלך

רציתי רק להגיד שהיא מצדיקה בהחלט את היחס שלי לאתר שלך! מאלף לקרוא.
לעניין הכשלים הלוגיים, אתה בטח מכיר את הסיפור על עיירה אחת שבה יש סַפַר אחד, כאשר כל אנשי העיירה מסתפרים אצל הספר הזה, חוץ מהספר עצמו…(מפי אדיר פרידור)…

אורן  [אתר]  בתאריך 5/30/2005 10:05:04 AM

ליגאל

אני חושב שכדי שיהיה כשל לוגי צריך לנסח את הסיפור על הספר בצורה קצת שונה –
הספר מספר את כל (ורק את) אנשי הכפר שאינם מספרים את עצמם.
ואז –
אם הוא לא מספר את עצמו הוא כן צריך לספר את עצמו מאחר והוא מספר את כל אלו שאינם מספרים את עצמם. אבל אם הוא מספר את עצמו, הרי הוא מספר רק את אלו שאינם מספרים את עצמם.
אני בטוח שיוסי יוכל להפוך את זה להגדשות של יחסים.

תגובה