יהודה פרל פיתח תחשיב שבהינתן מודל-סיבתי ליצירת הנתונים עונה באופן חד-משמעי על השאלה על אילו משתנים יש להסתמך.

http://bayes.cs.ucla.edu/BOOK-2K/

וגם בבלוג:
http://lifesimulator.wordpress.com/2011/03/29/simpson/

אבהיר שוב את דברי: אם נתון לך יחס כלשהו, ובוא ניצמד ליחס חוב תוצר כמו בדוגמא שדנו בה עד כה, אז אם תחלק את המונה והמכנה במה שלא תחשוב עליו: גודל האוכלוסיה, מהירות הנסיעה או כמות החסה שגודלה בשטחים, היחס יישאר יחס חוב תוצר. בדוגמא שלך יחס החוב תוצר של מדינה א הוא 0.5 (אם לא טעיתי בחישוב) וכל משתנה נוסף שתחשוב עליו לא ישנה את זה.

עכשיו אתה צריך להחליט מה אתה רוצה: האם אתה מעוניין ביחס חוב תוצר הממוצע על פני כל המדינות? אם כן, אתה צריך לסכם את כל החובות של כל המדינות, לסכם את כל התוצרים, ולחלק את הסכום הראשון בסכום השני. מבחינה אלגברית, תקבל את אותו המספר אם תיקח את יחסי חוב התוצר המדינתיים (עם או בלי חלוקת המונה והמכנה במשתנה הנוסף החביב עליך), ותשקלל אותם לפי התוצרים של כל מדינה. כל שקלול אחר ייתן לך משהו אחר, שיכול להיות משהו מאוד מעניין, אבל לא יחס חוב תוצר ממוצע על פני המדינות הנדונות.

עכשיו אני מבולבל. אתה בפירוש טענת שיש דרך אחת מבחינה מתמטית שלפיה צריך לערוך את הממוצע – אם גודל מסויים הוא מנת גדלים צריך לחשב את הממוצע כממוצע משוקלל כשהמשקולות נלקחות מהמכנה של המנה. זה לא משנה מה מופיע במנה (לפי ההגדרה שנתת) – זה יכול להיות גם כרבולות מאודות:מסמרים מטגנים ובאותו אופן (כרבולות:סירים):(מסמרים:סירים). מה שהסתבר מהדיון הזה הוא שהפעולה הזו לא ממש מוגדרת היטב. אולי צריך לחשוב על הגדרה אחרת. והנה עוד עניין (שקשור למהירות; הדוגמא עם שתי המכוניות לא מתאימה כאן) – נניח שבדוגמא שנתת עם המהירויות, ראו נוסעי הרכב בחלק הראשון של הדרך 40 עצים ובחלק השני 20 עצים. ברור למדי שאם נחשב את המהירות הממוצעת ביחס למשקולות שנגזרות מ-(זמן:עצים) נקבל תוצאה שונה. הדבר הזה לא מראה שהעניין שהעליתי שגוי אלא שיש בעיה מהותית עם הדרך שבה הגדרת את הממוצע. לי נראה שהעניין כאן הוא זה – יש כאן שני מקטעי דרך (שהם המקבילים למדינות). למקטעים הללו נקרא (1) ו-(2). יש לנו גודל שניתן למדידה שנקרא לו "זמן". את הזמן אפשר לכתוב על ציר ואם נכתוב את הפונקציה שהיא ההשתנות של הדרך ביחס לזמן נקבל את המהירות. כעת, אם יש לנו יחס כזה בין 3 משתנים, X,V,T כך ש-X ו-V הם פונקציה של T,ושהשינוי של המשתנה X ביחס למשתנה T הוא V אז הממוצע של V על המקטעים (1), (2) הוא הממוצע המשוקלל אם המשקולות שבאות מהמשתנה T (נראה לי שזו בדיוק ההגדרה של ממוצע). במצב הזה, אפשר לראות היכן הבעיה בדוגמאת המדינות – המדינות הם המקטעים אולם החוב אינו פונקציה של התוצר בלבד והיחס ביניהם אינו ההשתנות של החוב ביחס לתוצר (מושג שלא ממש מוגדר כאן). לכן, אי אפשר לערוך חשבון ממוצע בדרך יחידה ומוגדרת היטב, אלא רק לפי בחירה שרירותית.

שים לב שזה לא פשוט עניין של דרך הצגה – אתה בעצם מעוות את המשקלות.

בוא ניקח דוגמא יותר אבסורדית, של מהירויות ממוצעות. מהירות (ממוצעת) היא היחס בין סך כל הדרך לסך כל הזמן. אם נסתכל על היחס בין דרך/מספר נוסעים לבין זמן/מספר נוסעים, אז ברור כי אם מסתכלים על רכב אחד היחס נשאר אותו דבר, וברור כי אם תיקח שני כלי רכב, ותשקלל את מהירותיהם הממוצעות לפי היחס זמן למספר נוסעים, לא תקבל את המהירות הממוצעת.

האם יש לך כבר תשובה לסוגיה שהעליתי? אני ערכתי את החשבון הזה עבור עוד כמה דוגמאות ובכל פעם מתקבלת תוצאה שונה. הייתי מצפה שהממוצע ייצא אותו הדבר בלי קשר לדרך ההצגה. היכן הבעיה?

רק רציתי לוודא שראית את תגובתי לדבריך והשאלה שהופיעה בהם. עדיין לא הצלחתי להבין איך הדברים מסתדרים.

כן, ברור לי ששני החשבונות שווים, רק רציתי לבדוק שהבנתי אותך. אבל יש משהו שמפריע לי, ובטח תוכל לעזור לי איתו. נניח שבמדינה א חיים 1000 אנשים, במדינה ב חיים 1500 ובמדינה ג' 2000. את היחס חוב:תוצר אפשר גם להציג כיחס (חוב לתושב):(תוצר לתושב). זה בדיוק אותו המספר. כעת, לפי החשבון שאתה מציע הממוצע של היחס (חוב לתושב):(תוצר לתושב) הוא 2 חמישיות בדיוק (0.4), וזה שונה מהחשבון הראשון. אני גם שמתי לב לכך שאם משנים את האוכלוסיות במדינות מקבלים בכל פעם תוצאה אחרת. כיצד זה מסתדר? ושוב תודה.